éể kết thỳc bài viết này, tụi muốn chỳc cỏc em học thật giỏi mụn toỏn ngay từ đầu bậc THCS và cho tụi được núi riờng với cỏc quý thầy cụ : nguyờn tắc chung để chứng minh một số tự nhiờn [r]
(1)đầy đủ các dạng bài toán bồi giỏi đã tổng hợp Dãy các số viết theo qui luật Bài1:Tính: A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100 HD: 3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+ +99.100.(101-98) 3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ +99.100.101-98.99.100 3A = 99.100.101 Bài2:Tính: A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101 HD: A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+ +99(100+1) A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+ +99.100+99 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99) Bài3:Tính: A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102 HD: A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+ +99(100+2) A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+ +99.100+99.2 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+2(1+2+3+ +99) Bài4:Tính: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100 HD: 4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+ +98.99.100.(101-97) 4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+ +98.99.100.10197.98.99.100 4A = 98.99.100.101 Bài5:Tính: A = +2 +3 + +99 +100 HD: A = 1+2(1+1)+3(2+1)+ +99(98+1)+100(99+1) A = 1+1.2+2+2.3+3+ +98.99+99+99.100+100 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99+100) Bài6:Tính: A = 2 +4 +6 + +98 +100 HD: A = 2 (1 +2 +3 + +49 +50 ) Bài7:Tính: A = +3 +5 + +97 +99 (2) HD: A = (1 +2 +3 + +99 +100 )-(2 +4 +6 + +98 +100 2) A = (1 +2 +3 + +99 +100 )-2 (1 +2 +3 + +49 +50 2) Bài8:Tính: A = -2 +3 -4 + +99 -100 HD: A = (1 +2 +3 + +99 +100 )-2(2 +4 +6 + +98 +100 2) Bài9:Tính: A = 1.2 +2.3 +3.4 + +98.99 HD: A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ +98.99(100-1) A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ +98.99.100-98.99 A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+ +98.99) CHUYÊN Đề ƯC - BC Bài toán mẫu :Trong số trường hợp, cú thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt ƯCLN, BCNN và tớch hai số nguyờn dương a, b, đú là : ab = (a, b).[a, b], đú (a, b) là ƯCLN và [a, b] là BCNN a và b Việc chứng minh hệ thức này khụng khú : Theo định nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z + ; (m, n) = (*) Từ (*) => ab = mnd ; [a, b] = mnd => (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd = ab => ab = (a, b).[a, b] (**) Bài toỏn : Tỡm hai số nguyờn dương a, b biết ab = 216 và (a, b) = Bài toỏn : Tỡm hai số nguyờn dương a, b biết a/b = 2,6 và (a, b) = Bài toỏn : Tỡm a, b biết a/b = 4/5 và [a, b] = 140 Bài toỏn : Tỡm hai số nguyờn dương a, b biết a + b = 128 và (a, b) CHUYÊN Đề DãY Số VIếT THEO QUY LUậT Dạng1 : TỪMỘT BẻI TOẽN TÍNH TỔNG Chỳng ta cựng bài toỏn tớnh tổng quen thuộc sau: (3) Bài toỏn A : Tớnh tổng : Lời giải : Vỡ = 2; =6 ; ; 43 44 =1892 ; 44 45 =1980 ta cú bài toỏn khú chỳt xớu Bài : Tớnh tổng : Và tất nhiờn ta nghĩ đến bài toỏn ngược Bài : Tỡm x thuộc N biết : Hơn ta cú: ta cú bài toỏn Bài : Chứng minh : Do vậy, cho ta bài toỏn“tưởng khú” Bài : Chứng tỏ tổng : khụng phải là số nguyờn Chỳng ta nhận a1 ; a2 ; ; a44 là cỏc số tự nhiờn lớn hơn1 và khỏc thỡ Giỳp ta đến với bàitoỏn Hay và Khú sau : Bài : Tỡm cỏc số tự nhiờn khỏc a1 ; a2 ; a3 ; ; a43 ; a44 cho Ta cũn cú cỏc bài toỏn “gần gũi” với bài toỏn sau : Bài : Cho 44 số tự nhiờn a1 ; a2 ; ; a44 thỏa món Chứng minh rằng, 44 số này, tồn haisố Bài : Tỡm cỏc số tự nhiờn a1 ; a2 ; a3 ; ; a44 ; a45 thỏa món a1 < a2 a3 < < a44 < a45 và Cỏc bạn cũn phỏt điều gỡ thỳ vị chăng? Dạng2 : so sánh Bài : Chứng minh : 1/5 + 1/6 + 1/7 + + 1/17 < Lời giải : Cú khỏ nhiều cỏch chứng minh nhờ “đỏnh giỏ” vế trỏi cỏc kiểu khỏc Ta gọi vế trỏi bất đẳng thức là A Cỏch : Ta cú: 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 < 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 = 6/5 (1) 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16 + 1/17 < 1/11 + 1/11 + 1/11 + 1/11 +1/11 + 1/11 + 1/11 = 7/11 (2) Từ (1) và (2) => : A < 6/5 + 7/11 = 101/55 < 110/55 = (4) Cỏch : Ta cú: 1/5 + 1/6 + 1/7 < 1/5 + 1/5 + 1/5 = 3/5 (3) 1/8 + 1/9 + 1/10 + + 1/17 < 10.1/8 = 5/4 (4) Từ (3), (4) => : A < 3/5 + 5/4 = 37/20 < Cỏch :1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 < 5.1/5 = (5) 1/10 + 1/11 + + 1/17 < 8.1/8 = (6) Từ (5), (6) => : A < + = Cỏch : 1/6 + 1/7 + + 1/11 < 6.1/6 = (7) 1/12 + 1/13 + + 1/17 < 6.1/12 = 1/2 (8) Từ (7), (8) => : A < 1/5 + + 1/2 = 17/10 < Cỏch : 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 < 5.1/5 = (9) 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14< 5.1/10 = 1/2 (10) 1/15 + 1/16 + 1/17 < 3.1/15 = 1/5 (11) Từ (9), (10), (11) => : A < + 1/2 + 1/5 = 17/10 < éỀ SỐ HỌC NÂNG CAO Viết cỏc tập hợp sau cỏch liệt kờ cỏc phần tử nú: a) Tập hợp A cỏc số tự nhiờn cú hai chữ số đú chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị là b) Tập hợp B cỏc số tự nhiờn cú ba chữ số mà tổng cỏc chữ số bằng5 *Ghi số nhỏ cú:a) chớn chữ số b) n chữ số (nN*) c) mười chữ số khỏc **Ghi số lớn cú: a) chớn chữ số b) n chữ số (nN*) c) mười chữ số khỏc Người ta viết liờn tiếp cỏc số tự nhiờn thành dóy số sau: 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Hỏi: a) Chữ số hàng đơn vị số 52 đứng hàng thứ mấy? b) Chữ số đứng hàng thứ 873 là chữ số gỡ? Chữ số đú số tự nhiờn nào? éiền kớ hiệu thớch hợp vào ụ vuụng: a) {1; 2; 6} e) {a} b) {1; 2; 6} f) {0} c) {1} {1; 2; 6} g) {3; 4} N d) {2;1; 6} {1; 2; 6} h) N* Trong đợt thi đua "Bụng hoa điểm 10" mừng ngày Nhà giỏo Việt Nam - (5) Lớp 6/1 cú 45 bạn đạt từ điểm 10 trở lờn, 38 bạn đạt từ điểm 10 trở lờn, 15 bạn đạt từ điểm 10 trở lờn, bạn đạt điểm 10, khụng cú đạt trờn điểm10 Hỏi đợt thi đua đú, lớp 6/1 cú tất bao nhiờu điểm 10? Trong đợt dự thi "Hội khoẻ Phự éổng", kết điều tra lớp cho thấy; cú25 học sinh thớch búng đỏ, 22 học sinh thớch điền kinh, 24 học sinh thớch cầu lụng, 14 học sinh thớch búng đỏ và điền kinh, 16 học sinh thớch búng đỏ và cầu lụng, 15 học sinh thớch cầu lụng và điền kinh, học sinh thớch mụn, cũn lại là học sinh thớch cờ vua Hỏi lớp đú cú bao nhiờu học sinh? Muốn viết tất cỏc số tự nhiờn từ đến 1000 phải dựng bao nhiờu chữ số 5? éiền cỏc chữ số thớch hợp vào ụ trống để tổng ba chữ số liền 23: Tỡm số cú hai chữ số cho số đú lớn lần tổng cỏc chữ số nú là đơn vị 10 Tỡm số bị chia và số chia nhỏ để thương phộp chia là 15 và số dư là 36 11 Em hóy đặt cỏc dấu (+) và dấu (-) vào cỏc chữ số số 3456 (cú thể ghộp chỳng lại với nhau) để kết phộp tớnh 200 12 Tỡm số tự nhiờn cú hai chữ số, biết tổng cỏc chữ số nú là 11 và đổi chỗ hai chữ số đú cho ta số số cũ 63 đơn vị (6) 13 Một phộp chia cú tổng số bị chia và số chia là 97 Biết thương là và số dư là Tỡm số bị chia và số chia 14 So sỏnh: 1000 và 400 15 Tỡm n N, biết: a) n = 512 b) (2n + 1) = 729 16 Tớnh giỏ trị biểu thức: a) :3 + 2 b) - 16 : 14 17 Tỡm x, y N, biết rằng: x + 242 = y 18 Tỡm x N, biết: a) 1440 : [41 - (2x- 5)] = b) 5.[225 - (x- 10)] -125 = 19 Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức sau: a) [545 - (45 + 4.25)] : 50 - 2000 : 250 + 15 : 13 b) [504 - (25.8 + 70)] : - 15 + 19 c) {26 - [3.(5 + 2.5) + 15] : 15} d) [1104 - (25.8 + 40)] : + 16 : 12 20 Tỡm x biết: a) (x- 15) : + 22 = 24 b) 42 - (2x + 32) + 12 : = c) 134 - 2{156 - 6.[54 - 2.(9 + 6)]} x = 86 21 Xột xem: a) 2002 2003 + 2003 2004 cú chia hết cho khụng? c) 6 13 d) 16 +2 13 +2 (7) b) 4n - cú chia hết cho khụng? (n N*) c) 2001 2002 - cú chia hết cho 10 khụng? 22 Tỡm x, y để số xy 30 chia hết cho và 3, và chia cho dư 23 Viết số tự nhiờn nhỏ cú năm chữ số, tận cựng và chia hết cho NANG CAO Bài1 Cho số M = (1/16)2002 Tớnh tổng 2002 chữ số đầu tiờn sau dấu phẩy số M viết dạng số thập phõn Error! Bookmark not defined Bài2:Em hóy thay mật chữ cỏi mật chữ số để phộp tớnh đõy đỳng (chữ cỏI khỏc thỡ thay chữ số khỏc nhau) TIME + TIME = MONEY éẳng thức trờn cũn cú ý nghĩa gỡ khụng? Error! Bookmark not defined Bài3 :TỪ MỘT BẻI TOẽN TÍNH TỔNG Bài : Chứng minh : 1/5 + 1/6 + 1/7 + + 1/17 < Bài2 :Tỡm tổng cỏc chữ số 999999999982 Error! Bookmark not defined Bài 2(1) : Cho A = - + 13 - 19 + 25 - 31 + Error! Bookmark not defined a) Biết A cú40 số hạng Tớnh giỏ trị A Error! Bookmark not defined b) Biết A cú n số hạng Tớnh giỏ trị A theo n Error! Bookmark not defined Bài4(1) :Cho số tự nhiờn a1, a2, a3,a4,a5, a6 thoả món : Error! Bookmark not defined 2003 = a1 < a2 < a3 < a4 < a5 < a6 Error! Bookmark not defined 1) Nếu tớnh tổng hai số bất kỡ thỡ bao nhiờu tổng? Error! Bookmark (8) not defined 2) Biết tất cỏc tổng trờn là khỏc Chứng minh a6 ≥ 2012 Error! Bookmark not defined AD Bài5(1) : Bạn hóy khụi phục lại chữ số bị xúa (để lại vết tớch chữ số là dấu *) để phộp toỏn đỳng Error! Bookmark not defined Error! Bookmark not defined Bài 1(2) :Tỡm tất cỏc số chớnh phương dạng Error! Bookmark not defined Bài 1(4) : Cho số : gồm2003 chữ số bờn trỏi dấu * và 2003 chữ số bờn phải dấu * Hóy thay dấu * chữ số nào để số chia hết c ho Error! Bookmark not defined Bài2(5) :Phõn số Ai Cập Error! Bookmark not defined Biểu diễn phõn số 1/2 dạng tổng phõn số dương cú tử số bằng1 Cú bao nhiờu cỏch ? Error! Bookmark not defined Bài3(5) :So sỏnh A và B biết : Error! Bookmark not defined A = (20032002 + 20022002)2003 Error! Bookmark not defined B = (20032003 + 20022003)2002 Error! Bookmark not defined Bài1(6) :Cho a, b là cỏc số nguyờn dương thỏa món p = a2 + b2 là số nguyờn tố, p - chia hết cho Giả sử cỏc số nguyờn x, y thỏa món ax2 by2 chia hết cho p Chứng minh hai số x, y chia hết cho p Error! Bookmark not defined Bài2(6) :Cho hỡnh lập phương Người ta gắn cho đỉnh nú đỉnh A, theo chiều mũi tờn8 số tự nhiờn liờn (9) tiếp và thực : lần cộng vào đỉnh mặt cựng với số nguyờn nào đú Hỏi sau bao nhiờu lần thỡ t a số đỉnh ? Error! Bookmark not defined Bài2(8) :Cho dóy số tự nhiờn liờp tiếp :150 O 149 O 148 O … O 51 O50 Chứng minh rằng, điền vào cỏc vũng trũn “O” dấu “+” dấu “-” thỡ kết khụng thể 2003 Error! Bookmark not defined Lời giải:Cỏc bạn đó lớ luận nhiều cỏch để :khi điền vào cỏc hỡnh trũn dấu “+” dấu “-” thỡ kết là số chẵn nờn kết khụng thể 2003 Error! Bookmark not defined Bài3(9) :Trong giải búng đỏ Nhi đồng theo thể thức thi đấu vũng trũn lượt Thắng điểm, hũa điểm, thua điểm éội Măng Non hũa trận, thua trận và tất 16 điểm Chứng minh vào bất kỡ lỳc nào tỡm ớt hai đội đó đấu cựng số trận Error! Bookmark not defined Bài1(11) :Phõn tớch số 8030028 thành tổng 2004 số tự nhiờn chẵn liờn tiếp Error! Bookmark not defined Bài2(11) :Tỡm số nguyờn a lớn cho số T = 427 + 41016 + 4a là số chớnh phươn g Error! Bookmark not defined Bài3(11) :Bạn Hải đó làm bài toỏn nhõn đỳng cỏch cỏc chữ số rời Hà, em Hải, đó đổi chỗ số chữ số bờn Hóy lại vị trớ cỏc chữ số ban đầu mà Hải đó làm đỳng (10) Error! Bookmark not defined Bài toỏn thỏch đấu :So sỏnh 5255 và 2572 Error! Bookmark not defined Bài3(13) :Cho 25 số nguyờn phõn biệt, biết tổng số bất kỡ chỳng dương Error! Bookmark not defined a) Chứng minh : Trong25 số cú ớt 22 số dương Error! Bookmark not defined b) Tổng 25 số này lớn 316 Error! Bookmark not defined Bài2(14) :Chứng minh phương trỡnh sau khụng cú nghiệm nguyờn x, y: Error! Bookmark not defined 36x2 + 144y2 - 276x- 120y + 25 = (*) Error! Bookmark not defined Bài1(18) :Cú bao nhiờu số tự nhiờn chia hết cho ; viết cỏc chữ số 0, 1,2 và khụng lớn 2004 ? Error! Bookmark not defined Bài2(20) :Tỡm tất cỏc số nguyờn dương a, b cho : ab = 3(b a) (1) Error! Bookmark not defined Bài1(21) :Cho ba số chớnh phương A, B, C Chứng tỏ : Error! Bookmark not defined (A- B)(B- C)(C - A) chia hết cho 12 Error! Bookmark not defined Bài1(22) :Giả sử (a1 ; a2 ; ;a37) ; (b1 ;b2 ; ; b37) ; (c1 ; c2 ; ;c37) là số nguyờn bất kỡ Chứng minh tồn cỏc số k, l, n thuộc tập hợp số {1 ; ; ;37} để cỏc số a= 1/3(ak+ al+ an) ; b = 1/3(bk + bl+ bn) ; c = 1/3(ck +cl+ cn) ; đồng thời là cỏc số nguyờn Error! Bookmark not (11) defined Bài2(24) :Tồn hay khụng số nguyờn n thỏa món n3 + 2003n = 20052005 + ? Error! Bookmark not defined MỘT DẠNG TOẽN VỀ ƯCLN Vẻ BCNN Trong chương trỡnh số học lớp 6, sau học cỏc khỏi niệm ước chung lớn (ƯCLN) và bội chung nhỏ (BCNN), cỏc bạn gặp dạng toỏn tỡm hai số nguyờn dương biết số yếu tố đú cú cỏc kiện ƯCLN và BCNN Phương phỏp chung để giải : 1/ Dựa vào định nghĩa ƯCLN để biểu diễn hai số phải tỡm, liờn hệ với cỏc yếu tố đó cho để tỡm hai số 2/ Trong số trường hợp, cú thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt ƯCLN, BCNN và tớch hai số nguyờn dươnga, b, đú là :ab = (a, b).[a, b], đú (a, b) là ƯCLN và [a, b] là BCNN a và b Việc chứng minh hệ thức này khụng khú : Theo định nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z + ; (m, n) = (*) Từ (*) => ab = mnd ; [a, b] = mnd => (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd = ab => ab = (a, b).[a, b] (**) Chỳng ta hóy xột số vớ dụ minh họa Bài toỏn : Tỡm hai số nguyờn dương a, b biết [a, b] = 240 và (a, b) = 16 Lời giải:Do vai trũ a, blà nhau, khụng tớnh tổng quỏt, giả sử a ≤ b Từ (*), (a, b) = 16 nờn a = 16m ; b = 16n (m≤ n a ≤ b) với m, n thuộc Z + ; (m, n) = Theo định nghĩa BCNN : [a, b] = mnd = mn.16 = 240 => mn = 15 (12) => m = , n = 15 m = 3, n = => a = 16, b = 240 a = 48, b = 80 Chỳ ý : Ta cú thể ỏp dụng cụng thức (**) để giải bài toỏn này: ab = (a, b).[a, b] => mn.16 = 240.16 suyy mn = 15 Bài toỏn : Tỡm hai số nguyờn dương a, b biết ab = 216 và (a, b) = Lời giải : Lập luận bài 1, giả sử a ≤ b Do (a, b) = => a = 6m ; b = 6n với m, n thuộc Z + ; (m, n) = ; m≤ n Vỡ vậy: ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 tương đương mn = tương đương m = 1, n = m = 2, n = tương đương với a = 6, b = 36 hoặcc là a = 12, b = 18 Bài toỏn : Tỡm hai số nguyờn dương a, b biết ab = 180, [a, b] = 60 Lời giải : Từ (**) => (a, b) = ab/[a, b] = 180/60 = Tỡmđược (a, b) = 3, bài toỏn đưa dạng bài toỏn Kết : a = 3, b = 60 a = 12, b = 15 Chỳ ý : Ta cú thể tớnh(a, b) cỏch trực tiếp từ định nghĩa ƯCLN, BCNN :Theo (*) ta cú ab = mnd = 180 ; [a, b] = mnd = 60 => d = (a, b) = Bài toỏn : Tỡm hai số nguyờn dương a, b biết a/b = 2,6 và (a, b) = Lời giải : Theo (*), (a, b) = => a = 5m ; b = 5n với m, n thuộc Z + ; (m, n) = Vỡ vậy: a/b = m/n = 2,6 => m/n = 13/5 tương đương với m = 13 và n =5 hay a = 65 và b = 25 Chỳ ý : phõn số tương ứng với2,6 phải chọn là phõn số tối giản (m, n) = Bài toỏn : Tỡm a, b biết a/b = 4/5 và [a, b] = 140 Lời giải : éặt (a,b) = d.Vỡ, a/b =4/5 , mặt khỏc (4, 5) = 1nờn a = 4d, b = 5d Lưu ý [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 => d = => a = 28 ; b = 35 (13) Bài toỏn : Tỡm hai số nguyờn dương a, b biết a + b = 128 và (a, b) = 16 Lời giải : Lập luận bài 1, giả sử a ≤ b Ta cú : a = 16m ; b = 16n với m, n thuộc Z + ; (m, n) = ; m≤ n Vỡ vậy: a + b = 128 tương đương 16(m + n) = 128 tương đương m + n=8 Tương đương với m = 1, n = m = 3, n = hay a = 16, b = 112 a = 48, b = 80 Bài toỏn : Tỡm a, b biết a + b = 42 và [a, b] = 72 Lời giải : Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z + ; (m, n) = Khụng tớnh tổng quỏt, giả sử a ≤ b => m ≤ n Do đú : a + b = d(m + n) = 42 (1) [a, b] = mnd = 72 (2) => d là ước chung 42 và 72 => d thuộc {1 ; ; ; 6} Lần lượt thay cỏc giỏ trị d vào (1) và (2) để tớnh m, n ta thấy cú trường hợp d = => m+ n= và mn= 12 => m= và n= (thỏa món cỏc điều kiện m, n) Vậy d = và a = 3.6 = 18 , b = 4.6 =24 Bài toỏn : Tỡm a, b biết a - b = 7, [a, b] = 140 Lời giải : Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z + ; (m, n) = Do đú : a - b = d(m- n) = (1’) [a, b] = mnd = 140 (2’) => d là ước chung và 140 => d thuộc {1 ; 7} Thay cỏc giỏ trị d vào (1’) và (2’) để tớnh m, n ta kết : d = => m- n = và mn = 20 => m = 5, n = Vậy d = và a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28 Bài tập tự giải : 1/ Tỡm hai số a, b biết 7a = 11b và (a, b) = 45 2/ Tỡm hai số biết tổng chỳng bằng448, ƯCLN chỳng bằng16 và chỳng cú cỏc chữ số hàng đơn vị giống 3/ Cho hai số tự nhiờn a và b Tỡm tất cỏc số tự nhiờn c cho ba số, tớch hai số luụn chia hết cho số cũn lại (14) CHỨNG MINH MỘT SỐ KHễNG PHẢI Lẻ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Trong chương trỡnh Toỏn lớp 6, cỏc em đó học cỏc bài toỏn liờn quan tới phộp chia hết số tự nhiờn cho số tự nhiờn khỏc và đặc biệt là giới thiệu số chớnh phương, đú là số tự nhiờn bỡnh phương số tự nhiờn(chẳng hạn : ; ; ; ;16 ; 25 ; 121 ; 144 ; …) Kết hợp cỏc kiến thức trờn, cỏc em cú thể giải bài toỏn :Chứng minh số khụng phải là số chớnh phương éõy là cỏch củng cố cỏc kiến thức mà cỏc em đó học Những bài toỏn này làm tăng thờm lũng say mờ mụn toỏn cho cỏc em Nhỡn chữ số tận cựng Vỡ số chớnh phương bỡnh phương số tự nhiờn nờn cú thể thấy số chớnh phương phải cú chữ số tận cựng là cỏc chữ số0 ; ; ; ; ; 9.Từ đú cỏc em cú thể giải bài toỏnkiểu sau đõy : Bài toỏn : Chứng minh số : n = 2004 + 2003 + 2002 - 2001 khụng phải là số chớnh phương Lời giải : Dễ dàng thấy chữ số tận cựng cỏc số20042 ; 20032 ; 20022 ; 20012 là ; ; ; 1.Do đú số n cú chữ số tận cựng là nờn n khụng phải là số chớnh phương Chỳ ý : Nhiều số đó cho cú chữ số tận cựng là cỏc số ;1;4 ; ; ; khụng phải là số chớnh phương Khi đú cỏc bạn phải lưu ý thờm chỳt : Nếu số chớnh phương chia hết cho số nguyờn tố p thỡ phải chia hết cho p2 (15) Bài toỏn : Chứng minh số 1234567890 khụng phải là số chớnh phương Lời giải : Thấy số 1234567890 chia hết cho (vỡ chữ số tận cựng là 0) khụng chia hết cho 25 (vỡ hai chữ số tận cựng là 90) Do đú số 1234567890 khụng phải là số chớnh phương Chỳ ý : Cú thể lý luận1234567890 chia hết cho (vỡ chữ số tận cựng là 0), khụng chia hết cho (vỡ hai chữ số tận cựng là 90) nờn1234567890 khụng là số chớnh phương Bài toỏn : Chứng minh số cú tổng cỏc chữ số là 2004 thỡ số đú khụng phải là số chớnh phương Lời giải: Ta thấy tổng cỏc chữ số số 2004 là nờn2004 chia hết cho mà khụng chia hết nờn số cú tổng cỏc chữ số là 2004 chia hết cho mà khụng chia hết cho 9, đú số này khụng phải là số chớnh phương Dựng tớnh chất số dư Chẳng hạn cỏc em gặp bài toỏn sau đõy: Bài toỏn :Chứng minh số cú tổng cỏc chữ số là 2006 khụng phải là số chớnh phương Chắc chắn cỏc em dễ bị “choỏng” Vậy bài toỏn này ta phải nghĩ tới điều gỡ ?Vỡ cho giả thiết tổng cỏc chữ số nờn chắn cỏc em phải nghĩ tới phộp chia cho cho Nhưng lại khụng gặp điều “kỡ diệu” bài toỏn3 Thế thỡ ta núi điều gỡ số này? Chắc chắnsố này chia cho phải dư Từ đú ta cú lời giải Lời giải : Vỡ số chớnh phương chia cho3 cú số dư là mà thụi (coi bài tập để cỏc em tự chứng minh !) Do tổng cỏc chữ số số (16) đú là 2006 nờn số đú chia cho dư Chứng tỏ số đó cho khụng phải là số chớnh phương Tương tự cỏc em cú thể tự giải bài toỏn : Bài toỏn : Chứng minh tổng cỏc số tự nhiờn liờn tiếp từ đến2005 khụng phải là số chớnh phương Bài toỏn : Chứng minh số : n = 2004 + 2004 + 2004 + 23khụng là số chớnh phương Bõy cỏc em theo dừi bài toỏn sau để nghĩ tới “tỡnh huống” Bài toỏn : Chứng minh số : n = 4 + 44 44 + 444 444 + 4444 4444 + 15 khụng là số chớnh phương Nhận xột : Nếu xột n chia cho 3, cỏc em thấy số dư phộp chia là 1, là khụng “bắt chước” cỏch giải cỏc bài toỏn3 ; ; ; Nếu xột chữ số tận cựng cỏc em thấy chữ số tận cựng n là nờn khụng làm “tương tự” cỏc bài toỏn1 ; Số dư phộp chia n cho là dễ thấy nhất, đú chớnh là Một số chớnh phương chia cho4 cho số dư nào ? Cỏc em cú thể tự chứng minh và kết :số dư đú cú thể là Như là cỏc em đó giải xong bài toỏn “Kẹp” số hai số chớnh phương “liờn tiếp” Cỏc em cú thể thấy :Nếu n là số tự nhiờn và số tự nhiờn k thỏa món n < k < (n + 1) thỡ k khụng là số chớnh phương Từ đú cỏc em cú thể xột cỏc bài toỏn sau : Bài toỏn : Chứng minh số 4014025 khụng là số chớnh phương Nhận xột : Số này cú hai chữ số tận cựng là 25, chia cho dư 1, chia cho dư Thế là tất cỏc cỏch làm trước khụng vận dụng Cỏc em cú thể thấy lời giải theo hướng khỏc (17) Lời giải : Ta cú2003 = 4012009 ; 2004 = 4016016 nờn 2003 < 4014025 < 2004 Chứng tỏ 4014025 khụng là số chớnh phương Bài toỏn : Chứng minh A= n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3) khụng là số chớnh phương với số tự nhiờn n khỏc Nhận xột : éối với cỏc em đó làm quen với dạng biểu thức này thỡ cú thể nhận A+ là số chớnh phương(đõy là bài toỏn quen thuộc với lớp 8) Cỏc em lớp 6, lớp cú thể chịu khú đọc lời giải Lời giải : Ta cú: A + = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = (n + 3n)(n + 3n + 2) + = (n + 3n) + 2(n2 + 3n) +1 = (n + 3n +1) Mặt khỏc : (n + 3n) < (n + 3n) + 2(n + 3n) = A éiều này hiển nhiờn đỳng vỡ n≥ Chứng tỏ : (n + 3n) < A < A + = (n + 3n +1) => A khụng là số chớnh phương Cỏc em cú thể rốn luyện cỏch thử giải bài toỏn sau : Bài toỏn 10 : Hóy tỡm số tự nhiờn n cho A= n - 2n + 3n - 2n là số chớnh phương Gợi ý: Nghĩ đến (n - n + 1) Bài toỏn 11 : Chứng minh số 23 + 23 12 + 23 2003 khụng là số chớnh phương Gợi ý :Nghĩ đến phộp chia cho phộp chia cho Bài toỏn 12 : Cú1000 mảnh bỡa hỡnh chữ nhật, trờn mảnh bỡa ghi số cỏc số từ đến1001 cho khụng cú hai mảnh nào ghi số giống Chứng minh : Khụng thể ghộp tất cỏc mảnh bỡa này liền để số chớnh phương Bài toỏn 13 : Chứng minh :Tổng cỏc bỡnh phương bốn số tự nhiờn liờn tiếp khụng thể là số chớnh phương Gợi ý :Nghĩ tới phộp chia cho Bài toỏn 14 : Chứng minh số 333 333 + 555 555 + 777 777 khụng là số chớnh phương (18) Gợi ý :Nghĩ đến phộp chia cho … chục(?) Bài toỏn 15 : Lỳc đầu cú hai mảnh bỡa, cậu tinh nghịch cầm mảnh bỡa lờn lại xộ làm bốn mảnh Cậu ta mong làm đến lỳc nào đú số mảnh bỡa là số chớnh phương Cậu ta cú thực mong muốn đú khụng ? éể kết thỳc bài viết này, tụi muốn chỳc cỏc em học thật giỏi mụn toỏn từ đầu bậc THCS và cho tụi núi riờng với cỏc quý thầy cụ : nguyờn tắc chung để chứng minh số tự nhiờn khụng là số chớnh phương, đú là dựa vào cỏc điều kiện cần để số là số chớnh phương(mà cỏc quý thầy cụ đó biết : điều kiện cần trờn đời là dựng để … phủ định !) Từ đú cỏc quý thầy cụ cú thể sỏng tạo thờm nhiều bài toỏn thỳ vị khỏc Mong cỏc em và quý thầy cụ phỏt thờm nhiều điều kiện cần để chỳng ta cú thể tỡm hiểu kĩ số chớnh phương CHỨNG MINH MỘT SỐ Lẻ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Cỏc bạn đó giới thiệu cỏc phương phỏp chứng minh số khụng phải là số chớnh phương TTT2 số Bài viết này, tụi muốn giới thiệu với cỏc bạn bài toỏn chứng minh số là số chớnh phương Phương phỏp : Dựa vào định nghĩa Ta biết rằng, số chớnh phương là bỡnh phương số tự nhiờn Dựa vào định nghĩa này, ta cú thể định hướng giải cỏc bài toỏn Bài toỏn : Chứng minh :Với số tự nhiờn n thỡ an = n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3) + là số chớnh phương Lời giải : Ta cú: an = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + = (n + 3n) (n + 3n + 2) + = (n + 3n) + 2(n + 3n) + (19) = (n + 3n + 1) Với n là số tự nhiờn thỡ n + 3n+ là số tự nhiờn, theo định nghĩa, an là số chớnh phương Bài toỏn : Chứng minh số : là số chớnh phương Lời giải : Ta cú : Vậy : là số chớnh phương Phương phỏp : Dựa vào tớnh chất đặc biệt Ta cú thể chứng minh tớnh chất đặc biệt :“Nếu a, b là hai số tự nhiờn nguyờn tố cựng và a.b là số chớnhphương thỡ a và b là cỏc số chớnh phương” Bài toỏn : Chứng minh :Nếu m, n là cỏc số tự nhiờn thỏa món 3m + m = 4n + n thỡ m- n và 4m+ 4n+ là số chớnh phương Lời giải : Ta cú : 3m + m = 4n2 + n tương đương với 4(m - n2) + (m- n) = m hay là (m- n)(4m + 4n + 1) = m (*) Gọi d là ước chung lớn m - n và 4m+ 4n+ thỡ (4m + 4n + 1) + 4(m - n) chia hết cho d => 8m+ hết cho d Mặt khỏc, từ (*) ta cú: m chia hết cho d => m chia hết cho d Từ 8m+ chia hết cho d và m chia hết cho d ta cú1 chia hết cho d => d = Vậy m - n và 4m+ 4n+ là cỏc số tự nhiờn nguyờn tố cựng nhau, thỏa món (*) nờn chỳng đềulà cỏc số chớnh phương Cuối cựng xin gửi tới cỏc bạn số bài toỏn thỳ vị số chớnh phương: 1) Chứng minh cỏc số sau đõy là số chớnh phương : 2) Cho cỏc số nguyờn dương a, b, c đụi nguyờn tố cựng nhau, thỏa món : 1/a + 1/b = 1/c Hóy cho biết a + b cú là số chớnh phương hay khụng ? (20) 3) Chứng minh rằng, với số tự nhiờn n thỡ n + 4khụng là số chớnh phương 4) Tỡm số tự nhiờn n để n + 2n + 2004là số chớnh phương 5) Chứng minh : Nếu : và n là hai số tự nhiờn thỡ a là số chớnh phương NGUYấN LÍ éI - RÍCH - Lấ Nguyờn lớ éi-rớch-lờ phỏt biểu sau :“Nếu cú m vật đặt vào n cỏi ngăn kộo và m> n thỡ cú ớt ngăn kộo chứa ớt hai vật” Nguyờn lớ éi-rớch-lờ giỳp ta chứng minh tồn “ngăn kộo” chứa ớt hai vật mà khụng đú là “ngăn kộo” nào Cỏcbạn hóy làm quen việc vận dụng nguyờn lớ qua cỏc bài toỏn sau đõy Bài toỏn : Chứng minh trong11 số tự nhiờn bất kỡ tồn ớt số cú hiệu chia hết cho 10 Lời giải : Với 11 số tự nhiờn chia cho 10 ta 11 số dư, mà số tự nhiờn bất kỡ chia cho 10 cú 10 khả dư là ; ; ; ; ; Vỡ cú11 số dư mà cú10 khả dư, theo nguyờn lớ éi-rớch-lờ, tồn ớt số chia cho 10 cú cựngsố dư đú hiệu chỳng chia hết cho 10 (đpcm) Bài toỏn : Chứng minh tồn số cú dạng19941994 199400 chia hết cho 1995 Lời giải : Xột 1995 số cú dạng: 1994 ; 19941994 ; ; Nếu cỏc số trờn chia hết cho 1995 thỡ dễ dàng cú đpcm Nếu cỏc số trờn khụng chia hết cho 1995 thỡ chia số cho 1995 cú 1994 khả dư là ; ; ; ; 1994 (21) Vỡ cú1995 số dư mà cú1994 khả dư, theo nguyờn lớ éirớch-lờ tồn ớt số chia cho 1995 cúcựng số dư, hiệu chỳng chia hết cho 1995 Giả sử hai số đúlà : Khi đú : = 1994 199400 chia hết cho 1995 (đpcm) Bài toỏn : Chứng minh tồn số tự nhiờn k cho (1999^k - 1) chia hết cho104 Lời giải : Xột 104 + số cú dạng: 19991 ; 19992 ; ; 1999104 + Lập luận tương tự bài toỏn2 ta : (1999m- 1999n) chia hết cho 104 (m > n) hay 1999n (1999m-n- 1) chia hết cho 104 Vỡ 1999n và 104 nguyờn tố cựng nhau, đú (1999m-n - 1) chia hết cho 104 éặt m- n = k => 1999^k - chia hết cho 104 (đpcm) Bài toỏn : Chứng minh tồn số viết hai chữ số chia hết cho 2003 Lời giải : Xột 2004 số cú dạng1 ; 11 ; 111 ; ; Lập luận tương tự bài toỏn2 ta : hay 11 100 chia hết cho 2003 (đpcm) Một số bài toỏn tự giải : Bài toỏn : Chứng minh số nguyờn tố p ta cú thể tỡm số viết hai chữ số chia hết cho p Bài toỏn : Chứng minh số tự nhiờn khụng chia hết cho và thỡ tồn bội nú cú dạng : 111 Bài toỏn : Chứng minh tồn số cú dạng1997k (k thuộc N) cú tận cựng là 0001 Bài toỏn : (22) Chứng minh cỏc số nguyờn m và n nguyờn tố cựng thỡ tỡm số tự nhiờn k cho mk - chia hết cho n Cỏc bạn hóy đún đọc số sau: Nguyờn lớ éi-rớch-lờ với bài toỏn hỡnh học thỳ vị SUY NGHĨ TRấN MỖI BẻI TOẽN Giải hàng trăm bài toỏn mà cốt tỡm đỏp số và dừng lại đú thỡ kiến thức thu lượm chẳng là bao Cũn giải ớt bài tập mà lại luụn suy nghĩ trờn bài đú, tỡm thờm cỏch giải, khai thỏc thờm ý bài toỏn, đú là đường tốt để lờn học toỏn Dưới đõy là thớ dụ Bài toỏn : Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8+ 8.9 +9.10 và B= A.3 Tớnh giỏ trị B Lời giải : Theo đề bài ta cú: B = (1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = 1.2.(3 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + 5.6.(7 - 4) + 6.7.(8 - 5) + 7.8.(9 6) + 8.9.(10 - 7) + 9.10.(11 - 8) = 1.2.3- 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - … + 8.9.10 - 8.9.10 + 9.10.11 = 9.10.11 = 990 Trước hết, ta nghĩ rằng, bài toỏn yờu cầu tớnh tổng A, ta cú : A = B/3 = 330 Bõy giờ, ta tạm thời quờn đỏp số 990 mà chỳ ý tới tớch cuối cựng 9.10.11, đú9.10 là số hạng cuối cựng A và 11 là số tự nhiờn kề sau 10, tạo thành tớch ba số tự nhiờn liờn tiếp Ta dễ dàng nghĩ tới kết sau : Nếu A= 1.2 + 2.3+ 3.4+ … + (n- 1).n thỡ giỏ trị B= A.3 = (n - 1).n (n + 1) Cỏc bạn cú thể tự kiểm nghiệm kết nàybằng cỏch giải tương tự (23) trờn Bõy ta tỡm lời giải khỏc cho bài toỏn Lời giải : B = (1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = (0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = [1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) + 7.(6 + 8) + 9.(8 + 10)].3 = (1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + 7.7.2 +9.9.2).3 = (1 + + + + ).2.3 = (1 + + + + ).6 Ta chưa biết cỏch tớnh tổng bỡnh phương cỏc số lẻ liờn tiếp 1, liờn hệ với lời giải1, ta cú : (1 + + + + ).6 = 9.10.11, hay (1 + + + + ) = 9.10.11/6 Hoàn toàn hợp lớ ta nghĩ đến bài toỏn tổng quỏt : Bài toỏn : Tớnh tổng : P = + + + + … + (2n + 1) Kết : P = (2n + 1)(2n + 2)(2n + 3)/6 Kết này cú thể chứng minh theo cỏch khỏc, ta xem xột sau Loạt bài toỏn sau là kết liờn quan đến bài toỏn1 và bài toỏn Bài toỏn : Tớnh tổng : Q = 11 + 13 + 15 + … + (2n + 1) Bài toỏn : Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6+ 6.7 +7.8 +8.9 +9.10 và C = A+ 10.11 Tớnh giỏ trị C Theo cỏch tớnh A bài toỏn 1, ta kết là : C = 10.11.12/3 Theo lời giải bài toỏn 1, ta đến kết : C = 2.(2 + + 2+82+ 10 ) Tỡnh cờ, ta lại cú kết bài toỏn tổng quỏt :tớnh tổng bỡnh phương cỏc số tự nhiờn chẵn liờn tiếp, Bài toỏn : Chứng minh : 2 + + + …+ (2n) = 2n.(2n + 1).(2n + 2)/6 Từ đõy, ta tiếp tục đề xuất và giải cỏc bài toỏn khỏc Bài toỏn : Tớnh tổng : 20 + 22 + … + 48 + 50 (24) Bài toỏn : Cho n thuộc N* Tớnh tổng : n + (n + 2) + (n + 4) + … + (n + 100) Hướng dẫn giải : Xột hai trường hợp n chẵn và n lẻ ; ỏp dụng kết bài toỏn2, bài toỏn5 và cỏch giải bài toỏn Bài toỏn cú kết nhất, khụng phụ thuộc vào tớnh chẵn lẻ n Bài toỏn : Chứng minh : + 2 + + … + n = n.(n + 1)(n + 2)/6 Lời giải : Xột trường hợp n chẵn: + 2 + + … + n = (1 + + + … + (n- 1) ) + (2 + 2+62+…+ n2) = [(n- 1).n.(n + 1) + n.(n + 1).(n + 2)]/6 = n.(n + 1).(n-1 + n + 2)/6 = n.(n + 1).(2n + 1)/6 Tương tự với trường hợp n lẻ, ta cú đpcm Lời giải : Ta cú : 13=13 = (1 + 1) = + 3.1 + 3.1.1 + 3 = (2 + ) = + 3.2 + 3.2.1 + ……… (n + 1) = n + 3.n + 3.n.1 + Cộng vế cỏc đẳng thức trờn : + + 3 + … + n + (n + 1) = = (1 + + 3 + … + n ) + 3(1 + 2 + + … + n ) + 3(1 + + + … + n) + (n + 1) => (n + 1) = 3(1 + 2 + + … + n ) + 3(1 + + + … + n) + (n + 1) => 3(1 + 2 + + … + n ) = (n + 1) - 3(1 + + + … + n) - (n + 1) = (n + 1) (n + 1) - 3.n.(n + 1)/2 - (n + 1) = (n + 1)[2(n + 1) - 3n + 2]/2 = (n + 1).n.(2n + 1)/2 => + 2 + + … + n = (n + 1).n.(2n + 1)/6 Bài toỏn : Tớnh giỏ trị biểu thức : A = - + 2 - + - … - 19 + 20 Lời giải : éương nhiờn, ta cú thể tỏch A = (2 + + … + 20 ) - (1 2+32+ (25) …+ 19 ) ; tớnh tổng cỏc số ngoặc đơn tỡm kết bài toỏn Song ta cũn cú cỏch giải khỏc sau : A = (2 -1 ) + (4 - ) + … + (20 -19 ) = (2 + 1)(2 - 1) + (4 + 3)(4 - 3) + … + (20 + 19)(20 - 19) = + + 11 + 15 + 19 + 23 + 27 + 31 + 35 + 39 = (3 + 39).10/2 = 210 Trở lại bài toỏn1 Phải bài toỏn cho B= A.3 vỡ là số tự nhiờn liền sau nhúm đầu tiờn :1.2 Nếu đỳng thỡ ta cú thể giải bài toỏn sau : Bài toỏn 10 : Tớnh A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 Lời giải : A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10).4/4 = [1.2.3.(4 0) + 2.3.4.(5 - 1) + … + 8.9.10.(11 - 7)] : = (1.2.3.4 - 1.2.3.4 + 2.3.4.5 2.3.4.5 + … + 7.8.9.10 - 7.8.9.10 + 8.9.10.11) : = 8.9.10.11/4 = 1980 Tiếp tục hướng suy nghĩ trờn, ta cú kết tổng quỏt bài toỏn 10 : Bài toỏn 11 : Tớnh A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + (n- 1).n.(n + 1) éỏp số: A = (n-1).n.(n + 1)(n + 2)/4 <DD.BàI Cỏc bạn thấy !Chỉ với bài toỏn1, chịu khú tỡm tũi, suy nghĩ, ta cú thể tỡm nhiều cỏch giải, đề xuất bài toỏn thỳ vị, thiết lập mối liờn hệ cỏc bài toỏn Kết tất yếu quỏ trỡnh tỡm tũi suy nghĩ trờn bài toỏn, đú là làm tăng lực giải toỏn cỏc bạn Chắc chắn cũn nhiều điều thỳ vị xung quanh bài toỏn1 Cỏc bạn hóy cựng tiếp tục suy nghĩ nhộ NGUYấN LÍ éI-RÍCH-Lấ (26) & NHỮNG BẻI TOẽN HèNH HỌC THÚ VỊ Tạp Toỏn Tuổi thơ số 12 đó đề cập đến cỏc bài toỏn số học vận dụng nguyờn lớ éi-rớch-lờ để giải Nguyờn lớ cú thể mở rộng sau :Nếu cú m vật đặt vào n cỏi ngăn kộo và m> k.n thỡ cú ớt ngăn kộo chứa ớt k + vật Với mở rộng này, ta cũn cú thể giải thờm nhiều bài toỏn khỏc Sau đõy xin giới thiệu để bạn đọc làm quen việc vận dụng nguyờn lớ éirớch-lờ với số bài toỏn hỡnh học Bài toỏn : Trong tam giỏc cú cạnh bằng4 (đơn vị độ dài, hiểu đến cuối bài viết) lấy17 điểm Chứng minh trong17 điểm đú cú ớt hai điểm mà khoảng cỏch chỳng khụng vượt quỏ Lời giải:Chia tam giỏc cú cạnh bằng4 thành16 tam giỏc cú cạnh bằng1 (hỡnh1) Vỡ 17 > 16,theo nguyờn lớ éi-rớch-lờ, tồn ớt tam giỏc cạnh bằng1 cú chứa ớt điểm số 17 điểm đó cho Khoảng cỏch hai điểm đú luụn khụng vượt quỏ (đpcm) Bài toỏn2 :Trong hỡnh vuụng cạnh bằng7, lấy51 điểm Chứng minh cú3 điểm trong51 điểm đó cho nằm hỡnh trũn cú bỏn kớnh Lời giải : Chia hỡnh vuụng cạnh bằng7 thành25 hỡnh vuụngbằng nhau, cạnh hỡnh vuụng nhỏ 5/7 (hỡnh 2) Vỡ 51 điểm đó cho thuộc 25 hỡnh vuụng nhỏ, mà 51 > 2.25 nờn theo nguyờn lớ éi-rớch-lờ, cú ớt hỡnh vuụng nhỏ chứa ớt điểm(3 = + 1) số 51 điểm đó cho Hỡnh vuụng cạnh cú bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp là : Vậy bài toỏn chứng minh Hỡnh trũn này chớnh là hỡnh trũn bỏn kớnh (27) bằng1, chứa hỡnh vuụng ta đó trờn Bài toỏn : Trong mặt phẳng cho 2003 điểm cho điểm bất kỡ cú ớt điểm cỏch khoảng khụng vượt quỏ Chứng minh : tồn hỡnh trũn bỏn kớnh bằng1 chứa ớt 1002 điểm Lời giải : Lấy điểm A bất kỡ trong2003 điểm đó cho, vẽ đường trũn C1 tõm A bỏn kớnh + Nếu tất cỏc điểm nằm hỡnh trũn C1 thỡ hiển nhiờn cú đpcm + Nếu tồn điểm B mà khoảng cỏch A và B lớn hơn1 thỡ ta vẽ đường trũn C2 tõm B bỏn kớnh Khi đú, xột điểm C bất kỡ số 2001 điểm cũn lại Xột điểm A, B, (28)