Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình hộp chữ nhật đó là Bài 5 Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước 3cm,4cm,và 6cm.Tính diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật Bài 6 Tính di[r]
(1)BAØI 1: NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC A KIẾN THỨC CƠ BẢN Tính biểu thức : A = mx( x – y) + y3(x + y) x = -1,y = Tìm x, biết: 8(x – 2) – 2(3x – 4) = Tìm hệ số x2 đa thức : Q = 5x( 3x2 – x + 2) – 2x2( x – 2) + 15(x – 1) A(B + C) = AB + AC B BÀI TẬP Bài 1: Tính : a./ (- 4xy)(2xy2 – 3x2y) b./ (- 5x)(3x3 + 7x2 – x) Rút gọn: A = x2(a – b) + b(1 – x) + x(bx + b) – ax(x + 1) B = x2(11x – 2) + x2(x – 1) – 3x(4x2 - x – 2) Tìm hệ số x3 và x2 đa thức sau: Q x3 x x 1 x x x x 1 Bài 2: 1) 2) 3) 4) 5) 3 a b ab a b Tính : Rút gọn và tính giá trị biểu thức: 12 Q 3 x x y y y x , cho x 4, y 5 Tìm x, biết : 2x3(2x – 3) – x2(4x2 – 6x + 2) = Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x và y: M = 3x(x – 5y) + (y – 5x)(- 3y) – 3(x2 – y2) – Cho S = + x + x2 + x3 + x4 + x5.Cm : xS – S = x6 -1 BAØI 2: NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC A KIẾN THỨC CƠ BẢN A B C D AC AD BC BD B BÀI TẬP Bài 1: Tính : ( 2a – b)(4a2 + 2ab + b2) Rút gọn và tính giá trị biểu thức: Tìm x, biết : (3x + 2)(x – 1) – 3(x + 1)(x – 2) = 4 Tìm hệ số x4 đa thức: P = ( x3 - 2x2 +x – 1) ( 5x3 – x) Bài 2: Chứng minh: với a = - 3,5 giá trị biểu thức A a 3 9a a (9a 1) – 29 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: Q x x 11 x 3 x Q x ( x 2) ( x 1)( x 3), cho x 1 Bài 3: Tính (3a3 – 4ab + 5c2)(- 5bc) Biết (x – 3)(2x2 + ax + b) = 2x3 – 8x2 + 9x – Rút gọn và tính giá trị biểu thức: Tìm a,b A = 4a2( 5a – 3b) – 5a2(4a + b),với a = -2,b = -3 Bài 3: Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào x: Tính : B = x(x2 + x + 1) – x2( x + 1) – x +5 a./ (2 + x)(2 – x)(4 + x2) b./ ( x2 – 2xy + 2y2)(x – y)(x Tìm x,biết : x(x – 1) – x2 + 2x = + y) Tìm m,biết: ( x2 – x + 1)x – ( x + 1)x2 + m = - 2x2 Tìm x,biết : x(x – 4) – ( x2 - 8) = + x + Tìm m cho: 2x3 – 3x2 + x + m = (x + 2)(2x2 – Bài 4: 7x + 15) Rút gọn: 9y3 – y(1 – y + y2) – y2 + y Bài 4: Tìm hệ số x2 đa thức: Rút gọn : A = ( 5x – 1)(x + 3) – ( x – 2)(5x – 4) Q x a( x a ) 3(a x ) 2ax 2ax 4(a 2ax ) B = (3a – 2b)( 9a2 + 6ab + 4b2) Chứng minh biểu thức : n( 2n – 3) – 2n( n + 2) Tìm m, biết: – x2(x2 + x + 1) = - x4 – x3 – x2 + m luôn chia hết cho 7,với số nguyên n Chứng minh : a = 10, b = -5 giá trị biểu thức : Biết : x4 – 3x +2 = ( x – 1)(x3 + bx2 + ax – 2) A = a( 2b + 1) – b(2a – 1) Tìm x,biết: 10( 3x – 2) – 3(5x + 2) + 5( 11 – 4x) = Bài 5: Tìm m,biết : x4 – x3 + 6x – x + m = (x2 – x + 5)(x2 25 + 1) Bài 5: Rút gọn : ( 2x – 1)(3x + 2)(3 – x) Tính : ( -a x )(- a x + 2a x – 11ax ) Dương Thị Thuỷ (2) Chứng minh: ( x – y)(x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4) = x5 – y5 BAØI 3+4+5: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ A KIẾN THỨC CƠ BẢN A B A2 AB B 2 A B A2 AB B A2 B A B A B A B A3 A2 B AB B 3 A B A3 A2 B AB B3 A3 B3 A B A2 AB B A3 B3 A B A2 AB B B BÀI TẬP Bài 1: 49 Chứng minh : ( a + b)2 – (a – b)2 = 4ab Rút gọn: ( a +2)2 – ( a + 2)(a – 2) Tìm x,biết : ( 2x + 3)2 – 4(x – 1)(x + 1) = Tìm giá trị lớn biểu thức: Q = - x2 + 6x +1 Chứng minh (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 thì ay – bx = Bài 5: CMR: a + b + c = 2p thì b2 + c2 + 2bc – a2 = 4p(p – a) CMR a2 + b2 + c2 = ab +bc + ca thì a = b = c Tìm x,y biết : x2 + y2 – 2x + 4y + = Bài 6: Chứng minh : (a + b)3 – 3ab(a +b) = a3 + b3 Tính x3 + y3,biết x + y = và xy = Cho a + b = 1.Chứng minh : a3 + b3 = – 3ab Bài 7: Chứng minh : (a – b)3 + 3ab(a - b) = a3 + b3 Rút gọn: (x – 3)3 – (x + 3)3 Cho a - b = 1.Chứng minh : a3 - b3 = + 3ab Bài : 3 1 1 a b a b 2 Rút gọn : 2 Tìm x,biết : x3 – 3x2 + 3x – = Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: x 1 x 3 16 x 3 Tìm giá trị biểu thức: Q x 3 x 3 ( x 3) 2( x 2)( x 4), cho x Bài : Rút gọn biểu thức : (x + 5)3 – x3 – 125 Tìm x, biết : (x – 2)3 + 6(x + 1)2 - x3 + 12 = Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc Bài 2: 2 vào x: Rút gọn biểu thức : A (4 x y )(2 x y )(2 x y ) x 1 x3 3x 3x Chứng minh: (7x + 1)2 – (x + 7)2 = 48(x2 – 1) Tìm x,biết : 16x2 - (4x – 5)2 = 15 Bài 10: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = x2 + 2x + Tìm x,biết : x3 + 6x2 + 12x +8 = Cho a +b +c = 0.Chứng minh : a3 + b3 + c3 = 3abc Bài 3: Chứng minh rằng: (a + 2)3 – (a +6)(a2 +12) + 64 = Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc 0,với a vào m: Bài 11 : Rút gọn biểu thức : A (2m 5) (2m 5) 40 A = (m – n)(m2 + mn + n2) - (m + n)(m2 - mn + Chứng minh hiệu hai số nguyên liên tiếp n2) là số lẻ Chứng minh: (a – 1)(a – 2)(1 + a + a2)(4 + 2a + a2) Rút gọn biểu thức : P = (3x +4)2 – 10x – (x – 4)(x = a6 – 9a3 + +4) Tìm x, biết : (x +2 )(x2 – 2x + 4) – x(x -3)(x + 3) = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q = x2 – 4x +5 26 Bài 4: Bài 12 : Chứng minh rằng: (x – y)2 – (x + y)2 = - 4xy 2 Tính giá trị biểu thức: Chứng minh: (7n – 2) – (2n – 7) luôn luôn chia hết cho 9, với n là giá trị nguyên Dương Thị Thuỷ (3) A = x(x – 2)(x + 2) – (x – 3)(x2 + 3x +9),với x Tìm x,biết ( 4x + 1)(16x2 – 4x +1) – 16x(4x2 – 5) = 17 Rút gọn : Q = (a2 – 1)(a2 – a +1)(a2 +a +1) Bài 13: Tính giá trị biểu thức : Q = (2x – 1)(4x2 + 2x +1) – 4x(2x2 – 3),với x = 2 Tìm x, biết : (x – 3)(x2 + 3x +9) – (3x – 17) = x3 – 12 Cho x + y = và xy = -1.Tính x3 + y3 Bài 14 : Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào x A x 1 x x 1 x 1 x x 1 Tìm x,biết: 5x – (4 – 2x + x2)(x + 2) + x(x – 1)(x + 1) = Cho x + y = 1.Tính giá trị biểu thức:Q = 2(x3 + y3) – 3(x2 + y2) Bài 15 : Rút gọn biểu thức : A = (2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2) Tìm x, biết: (4x2 + 2x + 1)(2x – 1) – 4x(2x2 – 3) = 23 Cho a – b = và ab = 6.Tính a3 – b3 Bài 16: Ruùt goïn: a) m ( m+ )+ ( 2m −3 ) ( m− ) Bài 19:Chứng minh biểu thức luôn dương: a) A= 16 x 2+8 x +3 b) c) B= y −5 y +8 C=2 x −2 x+2 d) D=9 x − x+ 25 y2 +10 y + Bài 20: Tìm Min Max các biểu thức sau: a) M =x + x −1 b) N=10 y −5 y − Bài 21:Thu goïn: a) ( 2+1 ) ( 22+1 ) ( +1 ) ( 232+ ) − 264 b) ( 5+3 ) ( 52 +32 ) ( 54 + 34 ) 128 128 ( 564 +364 ) + − ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (Thùc hiÖn tiÕt) A ThÕ nµo lµ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ? Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành tích đơn thức và đa thức khác Bµi to¸n Trong các cách biến đổi đa thức sau đây, cách nào là ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ?T¹i nh÷ng c¸ch biÕn đổi còn lại không phải là phân tích đa thức thành nhân tử ? 2x2 + 5x – = x(2x + 5) - (1) 2x2 + 5x – = x(2x + ) (2) x 2x2 + 5x – = 2(x2 + x ) (3) 2 b) ( x + ) ( x − ) − ( x +1 ) 2x2 + 5x – = (2x - 1)(x - 3) (4) c) ( y − ) − ( y+ )( y −1 ) 2x2 + 5x – = 2(x )(x + 3) (5) d) ( a+2 ) − a ( a −3 ) B Những phơng pháp nào thờng dùng để phân tích đa Bài 17: CM các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến thøc thµnh nh©n tư? - Phơng pháp đặt nhân tử chung x, y: - Phơng pháp dùng đẳng thức - Ph¬ng ph¸p nhãm nhiÒu h¹ng tö ( x −5 ) ( x+5 ) − ( x − ) − 12 x a) Mét sè ph¬ng ph¸p kh¸c nh : - Ph¬ng ph¸p t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng b) ( y −1 ) −2 y ( y − ) − y ( y −2 ) tö - Ph¬ng ph¸p thªm bít cïng mét h¹ng tö c) ( x+ ) ( x −3 x+ ) − ( 20+ x3 ) - Ph¬ng ph¸p gi¶m dÇn luü thõa cña sè h¹ng cã d) bËc cao nhÊt 2 - Phơng pháp đặt ẩn phụ(đổi biến) y ( −3 y −2 ) − ( y − ) ( y 2+3 y +1 ) − ( − y − ) - Phơng pháp hệ số bất định Bài 18: Tìm x: - Ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng - Ph¬ng ph¸p t×m nghiÖm cña ®a thøc a) ( x +5 ) ( x −7 ) − ( −4 x −3 ) =16 Ph¬ng ph¸p 1: §Æt nh©n tö chung 2 2 b) ( x + ) ( x −3 ) − ( x −1 ) =22 Nội dung phơng pháp đặt nhân tử chung lµ g× ? Ph¬ng ph¸p nµy dùa trªn tÝnh chÊt c) 49 x + 14 x+1=0 nµo cña c¸c phÐp to¸n vÒ ®a thøc? Cã thÓ nªu d) ( x − ) − x ( x −2 ) − ( x − )=0 công thức đơn giản cho phơng pháp này kh«ng ? Dương Thị Thuỷ (4) NÕu tÊt c¶ c¸c h¹ng tö cña ®a thøc cã mét nh©n tö Néi dung c¬ b¶n cña ph¬ng ph¸p nhãm nhiÒu chung thì đa thức đó biểu diễn đợc thành tích h¹ng tö lµ g× ? nhân tử chung đó với đa thức khác Nhóm nhiều hạng tử đa thức cách hợp lí để Phơng pháp này dựa trên tính chất phân phối có thể đặt đợc nhân tử chung dùng đợc đẳng thức đáng nhớ phép nhân phép cộng các đa thức Chó ý: C«ng thøc : AB + AC + … + AF = A(B + C +… + - Mét ®a thøc cã thÓ cã nhiÒu c¸ch nhãm F) Sau nhóm ta có thể áp dụng phơng pháp đặt nhân Ph¬ng ph¸p: T×m nh©n tö chung tö chung, phơng pháp dùng đẳng thức để xuất - LÊy ¦CLN cña c¸c hÖ sè nhân tử chung đẳng thức - LÊy c¸c biÕn chung cã mËt tÊt c¶ c¸c h¹ng tö - §Æt nh©n tö chung ngoµi ngoÆc theo c«ng thøc VÝ dô Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö AB + AC + … + AF = A(B + C +… + F) a) x2 - 2xy + 5x - 10y b) x(2x -3y) - 6y + 4xy c) Chó ý: 8x3 + 4x2 - y3 - y2 - Ph¬ng ph¸p nµy ¸p dông c¸c h¹ng tö cña ®a thøc Gi¶i cã nh©n tö chung a) x2 – 2xy + 5x – 10y = ( x2 – 2xy) + ( 5x – 10y) - Nhiều muốn có nhân tử chung ta phải đổi dấu các = x(x – y) + (x – 2y) = (x sè h¹ng b»ng c¸ch ®a sè h¹ng vµo ngoÆc hoÆc ®a – y)(x + 5) vào ngoặc đằng trớc có dấu cộng trừ b) x(2x – 3y) – 6y2 + 4xy = x(2x – 3y) + (4xy - 6y2 VÝ dô Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö = x(2x – 3y) + 2y(2x - 3y) a) 3x2 + 12xy = (2x – 3y)(x + 2y) + 4x2 – y3 – y2 = (8x3 - y3) + (4x2 – y2) b) 5x(y + 1) - 2(y + 1) c) 8x c) 14x2(3y - 2) + 35x(3y - 2) + 28y(2 - 3y) = (2x -y)( x2 + xy + y2) + (2x – y) Gi¶i ( 2x +y) a) 3x2 + 12xy = 3x(x + 4y) = (2x -y)( x2 + xy + y2 + 2x +y) b) 5x(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(5x - 2) Ph¬ng ph¸p 4: Phèi hîp nhiÒu ph¬ng ph¸p c) 14x2(3y - 2) + 35x(3y - 2) + 28y(2 – 3y) = 14x2(3y - 2) + 35x(3y - 2) - 28y(3y - 2) Khi cÇn ph©n tÝch mét ®a thøc thµnh nh©n tö, = (3y - 2) (14x2 + 35x - 28y) đợc dùng riêng rẽ phơng pháp hay có thể dùng phối hợp các phơng pháp đó ? Phơng pháp 2: Dùng đẳng thức Có thể dùng phối hợp các phơng pháp đã biết Néi dung c¬ b¶n cña ph¬ng ph¸p dïng h»ng VÝ dô Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö đẳng thức là gì ? a) a3 - a2b - ab2 + b3 b) ab 2c3 + 64ab2 Nếu đa thức là vế đẳng thức đáng nhớ nào 3 đó thì có thể dùng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức c) 27x y - a b y Gi¶i nµy thµnh mét tÝch c¸c ®a thøc a) a3 – a2b – ab2 + b3 = a2(a – b) – b2(a - b) = Phơng pháp dùng đẳng thức: (a - b)(a2 - b2) = (a - b) (a + b) - Nhận dạng các đẳng thức b) ab2c3 + 64ab2 = ab2(c3+64) = ab2(c3+ 43) = ab2(c - Kiểm tra xem có phải đúng là đẳng thức không – 4c + 16) + 4)(c Chú ý: Nhiều phải đổi dấu áp dụng đợc c) 27x3y – a3b3y = y(27x3 – a3b3) = y(3 - ab) (9x2 đẳng thức – 3ab + a2b2) VÝ dô Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö KiÕn thøc N©ng cao a) x2 – 4x + b) 8x + 27y3 c) 2 9x - (x - y) Ph¬ng ph¸p 5: Ph¬ng ph¸p t¸ch Gi¶i 2 Khi ph©n tÝch ®a thøc : ax2 + bx + c thµnh nh©n tö a) x – 4x + = (x - 2) 3 2 b) 8x + 27y = (2x + 3y)(4x – 6xy + 9y ) 2 c) 9x2 – (x - y)2 = [3x – (x –y)][3x + (x - y)] = (3x C¸ch 1: T¸ch ax + bx + c = a x + b1x + b2x + c –x +y)(3x + x - y) Víi b = b1+ b2 vµ b1.b2 = a.c = (2x + y) C¸ch 2: T¸ch ax2 + bx + c = X2 - B2 (4x - y) VÝ dô VÝ dô 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a, (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 a) 2x2 - 3x + HD: nhãm h¹ng tö ®Çu a3 + b3 = 3(x – z)(x- y)(z – y) b) 6x2 + x - b, (x2 +y2)3 + (z2- x2) – (y2 + z2)3 c) x2 - 2x - = 3(x2 + y2)(y2 + z2)(x – z)(x + z) Gi¶i c, a3 + b3 + c3 – 3abc a) 2x2 – 3x + = 2x2 – 2x – x + = 2x(x – 1) – (x 3 = (a + b) + c – 3ab(a +b + c) – 1) = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc) = (x – 1)(2x – 1) d, x3 + y3 – z3 + 3xyz + x – = 6x + 4x – 3x – = 2x(3x + 2) – (3x b) 6x = (x + y)3 – z3 – 3xy( x + y – z) = + 2) = (3x + 2) (2x – 1) Ph¬ng ph¸p 3: Nhãm nhiÒu h¹ng tö Dương Thị Thuỷ (5) c) x2 – 2x - = x2 + x – 3x – = VÝ dô 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x2 – 2x – b) x2 - 10x + 16 Gi¶i a)x2 – 2x – = x2 – 2x + – = (x- 1)2 – 22 = (x – 3)(x+1) b)x2 – 10x + 16 = x2 – 10x + 25 – = (x – 5) – 32 = (x – 8)(x – 2) Ph¬ng ph¸p 6: Ph¬ng ph¸p thªm bít VÝ dô 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) y4 + 64 b) x(y2 - z2) + y(z2 - x2) + z(x2 - y2) c) a2b2(b -a) + b2c2(c - b) - a2c2( c - a) Gi¶i a) y4 + 64 = y4 +16y2 + 64 - 16y2 = (y2 + 8) - (4y) = (y2 + - 4y) (y2 + + 4y) b) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) = x( y2 – x2 + x2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) = x( y2 – x2) + x(x2 – 2 2 z ) - y(x -z ) - z( y – x ) = (y2- x2) ( x – z) + (x – z2)(x – y) = (y – x)( x – z) (y +x – x – z) c) a2b2(b – a) + b2c2(c – b) – a2c2( c – a) = a2b2(b- c + c – a) + 2 2 b c (c – b) – a c ( c – a) = = (b – c) (a – c)(b- a) (ab + bc + ca) Ph¬ng ph¸p 7: §Æt biÕn phô Trong ®a thøc cã biÓu thøc xuÊt hiÖn nhiÒu lÇn ta đặt biểu thức đó làm biến phụ đa đa thức đơn gi¶n Sau ph©n tÝch ®a thøc nµy nh©n tö råi l¹i thay biÕn cò vµo vµ tiÕp tôc ph©n tÝch VÝ dô 1: A , (x2 + 4x + 8)2 + 3x( x2 + 4x + 8) + 2x2 B , (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x - 3) -5 C , ( x2 - 2x + 2)4 - 20x2(x2 - 2x + 2)2 + 64 x4 D , (x +1)(x + 3)(x + 5) (x + 7) + 15 E , (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12 F , (x2 + x)(x2 + x + 1) - Gi¶i A.§Æt y = x2 + 4x + råi dïng ph¬ng ph¸p t¸ch ph©n tÝch KÕt qu¶: A = (x2 + 5x + 8) ( x + 2) ( x+ 4) B đặt y = x2 + 3x +1 B = (x +1)(x + 2)(x - 1)(x + 4) C.§Æt y = x2 – 2x + C = (x2 + 2)(x2 – 4x + 2)(x2 – 6x + 2)(x2 + 2x + 2) D = (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15 = (x2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6) F (x2 + x)(x2 + x + 1) – (*) §Æt(x2 + x) = y Th× (*) trë thµnh: y(y + 1) – = y2+ y - – = (y2 - 1) + (y – 1) Dương Thị Thuỷ = (y + 1)(y – 1) + (y – 1) = (y – 1)(y + 2) (**) Thay trë l¹i vµo (**) ta cã : (x2 + x - 1) )(x2 + x + 2) VËy(x2 + x)(x2 + x + 1) – = (x2 + x - 1) )(x2 + x + 2) VÝ dô 2: a (x + 1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24 b 4(x2 + 15x + 50)(x2 + 18x + 72) - 3x2 c 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+ y2z2 HD: c 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+ y2z2 = 4x (x+y+z) (x+y) (x+z)+ y2z2 = (x2 +xy+xz)(x2 +xy 2 +xz +yz)+ y z (§Æt t = x2 +xy+xz) = 4t (t + yz) + y2z2 = (2t + yz)2 VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh a (2x2 + x)2 - 4(2x2 + x) + = b (x + 1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24 = HD: Ph©n tÝch vÕ tr¸i thµnh nh©n tö, ®a Pt vÒ d¹ng PT tÝch a (t - 1)(t- 3) = * t = 2x2 + x = (x +1)(2x-1)= * t = 2x2 + x = 3 (x -1)(2x+ 3)= Ph¬ng ph¸p 8: Ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng KiÕn thøc: x = a lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) f(a) = x = a lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) => f (x) (x a) Lợc đồ Hoor ne Sơ đồ Hoóc - ne NÕu ®a thøc bÞ chia lµ a0x3 + a1x2 + a2x + a3, ®a thø chia là x - a ta đợc thơng là b0x2 + b1 x + b2 Theo sơ đồ Hoãc - ne ta cã: a0 a1 a2 a3 a b0 = a0 b1 = ab0 + b2 = ab1 + r = ab2 + a1 a2 a3 céng a nh©n Điều kiện để tam thức bậc hai phân tích đợc thµnh nh©n tö §èi víi tam thøc bËc hai d¹ng ax + bx + c, muèn xÐt xem đa thức này có phân tích đợc thành nhân tử hay kh«ng thêng dïng ph¬ng ph¸p sau: - TÝnh = b2 – 4ac - Nếu thì phân tích đợc - Nếu < thì không phân tích đợc VÝ dô 1: f(x) = x3 -x2 - LÇn lît kiÓm tra víi íc cña – lµ 1, - 1, 2, - 2, - 4, f(-1) = (-1)3 - (-1)2 - = - => x= -1 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm f(1) = (1)3- (1)2 - = - => x = kh«ng ph¶i lµ nghiÖm f(2) = 23 - 22 - = f(-2) = -16 => x = - kh«ng ph¶i lµ nghiÖm (6) f(4) = 44 => x = kh«ng ph¶i lµ nghiÖm f(- 4) = - 48 => x = - kh«ng ph¶i lµ nghiÖm Đa thức có nghiệm x = đó đa thức chứa thừa số (x – 2) Sử dụng lợc đồ Hoor ne ta có: f(x) = (x – 2)(x – x + 2) VÝ dô 2: Ph©n tÝch f(x) = x3 - 2x - Gi¶i Ta cã f(2) = => x = lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) => f (x) (x 2) => f(x) = (x - 2)(x2 + 2x + 2) VÝ dô 3: g(x) = 4x3 - 7x2 -x - = (x - 2)(4x2 + x +1) VÝ dô : H(x) = x3 - x2 - 14x + 24 = (x-2)(x - 3)(x + 4) VÝ dô P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y) P = x (y - z) + y2( z - x) + z2(x - y) Ta thÊy nÕu thay x bëi y, y bëi z, z bëi x th× ®a thøc P không thay đổi Do đó đa thức P có dạng: P = k(x - y)(y - z)( z - x) (k lµ h»ng sè) => P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)( z x) §óng víi mäi x, y, z, nªn ta cho c¸c biÕn x, y, z gi¸ trÞ riªng, ch¼ng h¹n x = 2, y = 1, z = (gi¸ trÞ riªng cña c¸c biÕn x, y, z tuú chän cho (x - y)(y - z)( z x) 0) Ta đợc: k = -1 VËy P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y) = - (x - y) (y - z)( z - x) = (y - x)(y z)( z - x) VÝ dô A = x(y2 - z2) + y(z2 - x2) + z(x2 - y2) Gi¶i +.NÕu x = y => A = => A (x - y) +.V× vai trß cña x,y,z nh =>A (y-z); (z-x) =>A (x - y)(y-z)(z-x) +.V× cã bËc cao nhÊt lµ cßn bËc cña (x - y)(y-z)(z-x) lµ => A = k (x - y)(y-z)(z-x) đúng với x, y, z Cho x = 0; y = 1; z = thay vµo => k = VËy A = (x - y)(y-z)(z-x) VÝ dô P = ab(a - b) + bc(b-c) + ca(c - a) HD: làm tơng tự nh VD6, thay a = 2; b = 1; c = o tìm đợc k = -1 Phơng pháp 9: Phơng pháp hệ số bất định VÝ dô 1: Ph©n tÝch : x3 – 15x – 18 thµnh ®a thøc bËc nhÊt vµ bËc hai Gi¶i Giả sử đa thức trên đợc phân tích thì x3 – 15x – 18 = (x+ a)(x2 + bx + c) x3 – 15x – 18 = x3 + (a+b)x2 + (ab+ c)x + ac Dương Thị Thuỷ Đồng đa thức vế ta đợc: a b 0(1) ab c 15(2) ac 18(3) Tõ (3)chän a = 3; th× c = -6; b = -3 tho¶ m·n (2) VËy: x3 – 15x – 18 = (x + 3) (x2 – 3x – 6) VÝ dô Ph©n tÝch : x3 – 19x - 30 thµnh ®a thøc bËc nhÊt vµ bËc hai Gi¶i Giả sử đa thức trên đợc phân tích thì x3 – 19x - 30 = (x + a) (x2 + bx + c) x3 – 19x - 30 = x3 + (a + b)x2 + (ab+ c)x + ac a b 0(1) ab c 19 (2) ac 30(3) §ång nhÊt ®a thøc ta cã Tõ (3) chän a = th× c =- 15; b = -2 tho¶ m·n (2) VËy x3 – 19x - 30 = (x +2)(x2 – 2x - 15) VÝ dô x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + Gi¶i x 1; Ta thÊy kh«ng lµ nghiÖm cña ®a thøc ®a thøc kh«ng cã nghiÖm nguyªn, kh«ng cã nghiÖm h÷u tØ, nªn ®a thøc cã d¹ng §Ó ph©n tÝch ®a thøc nµy thµnh thõa sè th× ph¶i cã d¹ng: (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a+c)x3 + (ac + b +d)x2 +(ad + bc)x + bd Đồng đa thức này với đa thức đã cho, ta đợc hệ điều kiÖn: ¿ a+c=6 a=−2 a+ c=−6 ac +b+d =12 b=3 ¿ ¿ ac=8 ad + bc=− 14 c=− a+3 c=−14 bd=3 ¿ d=1 ¿ VËy ®a thøc x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + = (x2 - 4x + 1)(x2 - 2x + 3) C¸ch x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + = x4 – 4x3 – 2x3 + x2 + 8x2 + 3x2– 2x - 12x + = x2 (x2 - 4x + 1) - 2x(x - 4x + 1) + 3(x - 4x + 1) = (x2 - 4x + 1)(x2 - 2x + 3) VÝ dô a x3 + 4x2 + 5x +2 b 2x4 - 3x3 -7x2 + 6x + Gi¶i a.ta cã x = - 1; x = -2 lµ nghiÖm cña ®a thøc => x3 + 4x2 + 5x +2 (x+1);(x+2) => x3 + 4x2 + 5x +2 = (x+1)(x+2)(x+b) b = b.Ta cã x = 2; x = -1 lµ nghiÖ cña ®a thøc { { (7) => 2x4 – 3x3 – 7x2 + 6x + (x+1);(x-2) => 2x4 – 3x3 – 7x2 + 6x + 8= (x+1)(x-2)(2x2 + a x+ b) §ång nhÊt ®a thøc ta cã a = -1; b =- a b c d e HD: x2 + y2 = (x-1)2 + (y+2)2 = 4x2 + y2 - 2(2x+y - 1) = x2 + 2y2 + 2y(1-x) = -1 2x2 (1 - y) + y(y + xy -2x) = Ph¬ng ph¸p 10: Ph¬ng ph¸p h¹ bËc VÝ dô 1: A 0 a) a + a +1 B 0 §a vÒ d¹ng A2 + B2 = Gi¶i 5 4 3 2 a) a + a +1= a + a – a + a – a + a – a + a + x y 0 x y 0 = (a5 + a4 + a3 ) – ( a4+a3 + a2) + ( a2 + a + 1) = a3( a2 + a + 1) – a2( a2 + a + 1) + ( a2 + a + + x2(y +1)2 = x 0 y 0 e.(x -y) hoÆc 1) VÝ dô T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh = ( a2 + a + 1) (a3– a2 + 1) a.x+ xy + y + = b x + y = xy C øng dông c x2 + 21 = y2 ViÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cã thÓ cã Ých HD: Biến đổi dạng X.Y = a (const) cho viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ t×m nghiÖm cña ®a thøc, chia => X, Y ¦(a) ®a thøc, rót gän ®a thøc VÝ dô T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh I T×m x + 21 = y2 a x VÝ dô Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a) 2(x + 3) - x(x + 3) = b) x3 + 27 + b.(x + 1)y - 2x = HD: a (y- x)(y+ x) = 21 > (x + 3)(x - 9) = y +x > y – x > c) x2 + 5x = Gi¶i y x 7 y x 21 a) 2(x + 3) – x(x + 3) = (x + 3)(2 – x) = y x 3 hoÆc y x 1 x +3=0 x=−3 II.TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc 2− x=0 x=2 Ph¬ng ph¸p : Thu gän biÓu thøc ¿ ¿ T×m gi¸ trÞ cña biÕn thay vµo S ={-3; 2} VÝ dô 1: TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc b) x3 + 27 + (x + 3)(x – 9) = (x + 3)(x2 - 3x + 9) + (x A = (x2 + 2)2 – (x+ 2)(x - 2)(x2 + 4) víi x = + 3)(x – 9) = -1/2 (x + 3)(x2 - 3x + 9) + (x + + Rót gän A = 4x2 + 20 3)(x – 9) = +.Thay A = 21 (x + 3)(x2 - 3x + + x – VÝ dô TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc 9) = a) A = 9x2 +42x + 49 víi x = (x + 3)(x - 2x) = 5x - 2xy + y x(x + 3)(x - 2) = 25 b) B = víi x= : y = - x=0 x=0 2 x +3=0 x=−3 x x y xy y3 + + + x − 2=0 x=2 S ={-3; 0; 2} 27 víi x = - 8; y = c) C = ¿ ¿ ¿ ¿ d) D = x + 15x + 75x + 125 víi x = - 10 ¿ ¿ c) x2 + 5x = x2 + 5x – = e) E = x - 9x + 27x - 27 víi x = 13 x - x + 6x – = (x2 - x) + (6x – 6) = g) G = x (x - 1) + 6(x – 1) = x -1 - 4x x -1 x +1 + x -1 x + x +1 v x +6=0 x=−6 (x + 6)( x – 1) = x − 1=0 x=1 S = {-6; íi x = - ¿ ¿ 1} x -1 x - x + x +1 + 2x + x VÝ dô Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau h) H = víi x = a (x2 + 2x)2 - x2 - 2x - = b x4 - x3 - x2 - x - = [ (x+1)(x-2)(x2+1)= 0] c x3 - 2x2 - 9x +18 = [(x-3)(x+3)(x-2) = ] VÝ dô T×m c¸c cÆp sè (x; y) tho¶ m·n VÝ dô : Cho x - y = TÝnh Dương Thị Thuỷ (8) A = x(x + 2) + y(y - 2)- 2xy + 37 B = x2(x + 1) - y2 (y - 1) + xy - 3xy(x - y + 1) - 95 ( = (x-y)3 + (x -y)2 - 95 = 297 ) VÝ dô 4: a) Cho x + y = 7, tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc M = (x + y)3 + 2x2 + 4xy + 2y2 M = (x + y)3 + 2(x + y)2 = 441 b) Cho x - y = - 5, tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc N = (x - y)3 - x2 + 2xy - y2 N = (x - y)3 - (x - y)2 = - 150 VÝ dô Chøng minh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña biÕn a) P = (x + 2)3 + (x - 2)3 - 2x(x + 12) P=0 b) Q = (x - 1)3 - (x + 1)3 + 6x(x + 1)(x - 1) Q=-8 c) A = y(x2 - y2)(x2 + y2) - y(x4 - y4) A=0 d) B = (x - 1)3 - (x - 1)(x2 +x + 1) - 3(1 - x)x B=2 1 1 2 + 2x 4x - x 9 e) M = M = 27 8x 27 D Bµi tËp ¸p dông Bµi Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) (3x - 1)2 - (5x + 3)2 b) (2x + y 4z)2 - (x + y - z)2 c) ( x2 + 2 2 xy) - (x - xy - 2y ) d) x4 - x22x-1 Bµi TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc sau: a) A = 2x2 + 4x + xy + 2y víi x=88 vµ y=-76 b) B = x2 + xy -7 x - 7y víi x= vµ y= Bµi Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x2 - (a + b)xy + aby2 b) ab(x2 + y2) + xy(a2 + b2) c) (xy + ab)2 + (ay - bx)2 d) a2(b - c) + b2(c - a) + c2(a - b) Bµi Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) - 6x2 - 5y + 3xy + 10x b) x2 + y2 - 2xy - x + y c) (x - z)2 - y2 + 2y - d) x + y3 + 3y2 + 3y + Bµi TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc sau: A = x2 - 5x - 2xy + 5x + y2 + 4, biÕt x - y = B = x2(x + 1) - y2(y - 1) + xy - 3xy(x - y + 1), biÕt x - y = Bµi Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) (1 + x2)2 - 4x(1 - x + x2) b) x2 - y2- 2yz - z c) 3a2 - 6ab + 3b - 12c2 d) x - 2xy + y2 2 m + 2mn - n Bµi Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö Dương Thị Thuỷ a) a 2- 10a + 25 - y2 - 4yz - 4z2 b) x - 2x3 + 2x -1 ROI c) x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + d) x + 4x2 + 5x + Bµi TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc sau: a) A = x2- 5x - 2xy + 5y + y2 + 4, biÕt x - y=1 ROI b) B = x2(x +1) - y2(y - 1) + xy - 3xy(x - y +1), biÕt x - y=7 Bµi Cho x = y = z = Chøng minh r»ng x 3+ x2y - y2x xyz + y3 = Bµi 10 Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c th× 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 - a4 - b4 - c4 > Bµi 11 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + b) 5x4 + 9x3 - 2x2 - 4x - Bµi 12 T×m c¸c hÖ sè a,b,c,d cho ®a thøc: f(x) = x4 + ax3 + bx2 - 8x + là bình phơng đúng cña ®a thøc g(x) = x2 + cx + d Bµi 13 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) (x2 - 8)2 + 36 b) 81x4 + c) x + x + Bµi 14 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö A = (x2 + 2x)2 + 9x2 +18 + 20 B = x2 - 4xy + 4y2 - 2x + 4y - 35 C = (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16 D = (x2 + 4x + 8)2 + 3x( x2 + 4x + 8) + 2x2 Bµi 15 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) (x2 + x +1)(x2 + x + 2) - 12 b) (x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 Bài 16 Tìm giá trị x để phân thức sau a) x +5 x −2 b) x − x+2 x −7 x +12 ¿2 ¿ x − ¿2 x−4¿ −¿ ¿ ¿ ¿ Bµi 17 Cho biÓu thøc: A= 2 4x x+ 2− x x − x2 + + x − x −4 x −4 x x−2 a) Tìm điều kiện biến x để giá trị biểu thức đợc xác định b) TÝnh gi¸ trÞ cña A biÕt |2 x −1|=3 Bài 18 a) Tìm x để x +3 10 x +12 =0 x −4x b) Tìm các số nguyên x để x − 16 cã gi¸ trÞ nguyªn x − x +8 x −16 x +16 Bµi 19 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x2 + 25 +10x - y2 - 2y – b) x2 + 4y2 4xy - z + 6z - Bµi 20 Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña c¸c biÕn: (x + y – z t)2 - (z + t – x - y)2 [ ][ ] (9) Chuyên đề: số phơng pháp phân tích ®a thøc mét biÕn thµnh nh©n tö C¸c ph¬ng ph¸p: - T¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö - Thªm, bít cïng mét h¹ng tö - §æi biÕn sè - Hệ số bất định - XÐt gi¸ trÞ riªng (§èi víi mét sè ®a thøc nhiÒu biÕn) I) Ph¬ng ph¸p t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö: §èi víi c¸c ®a thøc mµ c¸c h¹ng tö kh«ng cã nh©n tö chung, ph©n tÝch nh©n tö ta thêng ph¶i t¸ch hạng tử nào đó thành nhiều hạng tử khác để nhóm víi c¸c hạng tử đã có đa thức các nhóm có nhân tử chung, từ đó các nhóm có nhân tử chung xuất các đẳng thức quen thuéc VÝ dô 1: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: f(x) = 2x2 - 3x + Gi¶i: C¸ch 1: T¸ch h¹ng tö thø hai: -3x = -2x - x Ta cã f(x) = (2x2 - 2x) - (x - 1) = 2x(x - 1) - (x - 1) = (x - 1)(2x - 1) C¸ch 2: Ta cã f(x) = (x2 - 2x + 1) + (x2 - x) = (x - 1)2 + x(x - 1) = (x - 1)[(x - 1) + x] = (x - 1)(2x - 1) Tæng qu¸t: §Ó ph©n tÝch tam thøc bËc hai f(x) = ax2 + bx + c nh©n tö, ta t¸ch h¹ng tö bx thµnh b1x + b2x cho b1b2 = ac Bµi tËp 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau nh©n tö: a) 4x2 - 4x - 3; c) 3x2 - 5x - 2; b) 2x2 - 5x - 3; d) 2x2 + 5x + VÝ dô 2: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: f(x) = x3 - x2 - Gi¶i: Ta lÇn lît kiÓm tra víi x = 1; 2; 4 ta thÊy f(2) = Đa thức f(x) có nghiệm x = 2, đó phân tích nh©n tö, f(x) chøa nh©n tö x - Từ đó: f(x) = x3 - x2 - = (x3 - 2x2) + (x2 - 2x) + (2x - 4) = x2(x - 2) + x (x - 2) + (x - 2) = (x - 2)(x2 + x + 2) Tæng qu¸t: NÕu ®a thøc f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 cã nghiÖm nguyªn lµ x = x0 th× x0 lµ mét íc cña hÖ sè tù a0, ph©n tÝch f(x) nh©n tö th× f(x) cã chứa nhân tử x - x0 Vì đa thức mét biÕn bËc cao, ta nªn t×m lÊy nghiệm nó để định hớng việc phân tích nh©n tö Bµi tËp 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau nh©n tö: a) x3 + 2x - 3; e) x3 - 9x2 + 6x + 16; b) x3 - 7x + 6; f) x3 - x2 - x - 2; Dương Thị Thuỷ c) x3 - 7x - 6; (NhiÒu g) x3 + x2 - x + 2; c¸ch) h) x3 - 6x2 - x + 30 d) x + 5x + 8x + 4; VÝ dô 3: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - Gi¶i: Theo vÝ dô 2, ta thÊy c¸c sè 1; 5 kh«ng lµ nghiÖm cña ®a thøc Nh vËy ®a thøc kh«ng cã nghiÖm nguyªn, vËy ®a thøc cã thÓ cã nghiÖm h÷u tØ kh¸c Ta chứng minh đợc điều sau đây: Tæng qu¸t: NÕu ®a thøc f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 c p x= (d¹ng tèi gi¶n) th× p lµ mét íc cña hÖ sè tù q hÖ sè cao nhÊt an Khi ph©n tÝch f(x) nh©n tö th× f(x) Trë vÒ vÝ dô 3: XÐt c¸c sè ± ; ± , ta thÊy 3 là nghiệm đa thức, đó ph©n tÝch nh©n tö, ®a thøc chøa nh©n tö 3x - Từ đó: f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - = (3x3 - x2) - (6x2 2x) + (15x - 5) = x2(3x - 1) 2x(3x - 1) + 5(3x - 1) = (3x - 1)(x2 2x + 5) Bµi tËp 3: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau nh©n tö: a) 6x2 - x - 1; e) 2x3 - 5x2 + 5x - b) 6x - 6x - 3; f) 2x3 + 3x2 + 3x + 1; c) 15x2 - 2x - 1; g) 3x3 - 2x2 + 5x + 2; d) 2x - x + 5x + 3; h) 27x3 - 27x2 + 18x 4; §¸p sè: a) (2x - 1)(3x + 1); e) (2x - 3)(x2 - x + 1); b) (2x + 3)(3x - 1); f) (2x + 1)(x2 + x + c) (3x + 1)(5x - 1); 1); d) (2x + 1)(x2 - x + 3); g) (3x + 1)(x2 - x +2); h) (3x - 1)(9x2 - 6x + 4); II) Ph¬ng ph¸p thªm bít cïng mét h¹ng tö: Mục đích: Thêm, bớt cùng hạng tử để nhóm với các hạng tử đã có đa thức nhằm xuất nhân tử chung xuất đẳng thức, đặc biệt là xuÊt hiÖn hiÖu cña hai b×nh ph¬ng III) Phơng pháp đổi biến: Một số đa thức có bậc cao, nhờ đặt biến phụ đa đa thức có bậc thấp để thuận tiÖn cho viÖc ph©n tích nhân tử, sau phân tich nhân tử đa thøc míi, thay trở lại biến cũ để đợc đa thức với biến cò VÝ dô 4: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: f(x) = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 Gi¶i: Ta cã: f(x) = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128 §Æt x2 + 10x + 12 = y, ®a thøc trë thµnh: (10) f(y) = (y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16 = (y 4)(y + 4) IV) Phơng pháp hệ số bất định: VÝ dô 5: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Gi¶i: VÝ dô 4’: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: NhËn xÐt: C¸c sè 1; 3 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm f(x) = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + cña ®a thøc f(x) nªn ®a thøc kh«ng cã nghiÖm nguyªn, Gi¶i: còng kh«ng cã nghiÖm h÷u tØ Nh vËy nÕu f(x) ph©n tÝch Cách 1: f(x) = x4 + (6x3 - 2x2) + (9x2 - 6x + 1) = đợc thµnh nh©n tö th× ph¶i cã d¹ng: (x2 + ax + b)( x2 + 2 x + 2x (3x - 1) + (3x - 1) cx + d), víi a, b, c, d Z Khai triển dạng này ta đợc đa thức: x4 + (a+c)x3 + (ad+bc)x + bd 2 + (ac+b+d)x §ång nhÊt ®a thøc = (x + 3x - 1) nµy víi f(x) ta đợc hÖ ®iÒu kiÖn: C¸ch 2: Gi¶ sö x ≠ 0; Ta cã: ¿ a+c=−6 + ) = x2[(x2 + f(x) = x2(x2 + 6x + x x ac+ b+d=12 1 ad+ bc=− 14 ) + 6(x ) + 7] x bd=3 x2 ¿{{{ 1 §Æt x = y, suy ra: x2 + = y2 + Do ¿ x x XÐt bd = 3, víi b, d Z, b {1; 3} Víi b = đó đa thức trở thành: th× d = 1, hÖ ®iÒu kiÖn trë thµnh: f(x; y) = x2(y2 + + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + ¿ 3x) a+c=− = [x(x ac=8 ) + 3x]2 = (x2 + 3x - 1) a+3 c=−14 x ¿{{ Bµi tËp 4: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau nh©n tö: ¿ 2 2 a) (x + x) d) x + 2xy + y - x - y - 12; Tõ đó t×m đợc: a = -2; c = -4 VËy f(x) = (x2 - 2x + 2(x + x) e) (x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + 3)( x2 - 4x + 1) 15; 4a) + a4; Ta tr×nh bµy lêi gi¶i nh sau: b) (x + x + 1) f) (x2+y2+z2)(x+y+z)2 + f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x4 - 4x3 + x2) 2 ( x + x + 2) (xy+yz+zx) ; (2x + 8x2 - 2x) + (3x2 -12x +3) - 12; = x2(x2 - 4x + 1) c) (x + 2)(x + - 4x + 1) + 3(x2 - 4x + 1) 2x(x 3)(x + 4)(x + = (x2 - 4x + 1)(x2 5) - 24; g) A = 2(x4 + y4 + z4) - (x2 + y2 + z2)2 - 2(x2 + y2 + z2) 2x +3) (x + y + z)2 + (x + y + z)4 Bµi tËp 5: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau nh©n tö, dïng phơng pháp hệ số bất định: §¸p sè: a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + c) x4 - 8x + 63; a) Đặt x2 + x = y Ta phân tích đợc thành: (x2 + x - 5) 2x + 1; (x + x + 3) d) (x+1)4 + (x2 + x b) §Æt x2 + x + = y §¸p sè: (x2 + x + 5)(x+2)(xb) x4 - 7x3 + 14x2 - 7x +1)2 1) + 1; c) Biến đổi thành: (x2 + 7x + 10)( x2 + 7x + 12) - 24; §Æt x2 + 7x + 11 = y §¸p sè: (x2 + 7x + 16)(x + 1) §¸p sè: (x + 6) 2 a) (2x + x + 1) Cã thÓ dïng ph¬ng ph¸p t¸ch: 5x2 = d) §Æt x + y = z §¸p sè: (x + y + 3)(x + y -4) 2 2 4x2 + x2 e) §Æt x + 5ax + 5a = y §¸p sè: (x + 5ax +5a ) f) Đặt x2+y2+z2 = a; xy + yz + zx = b Ta đợc: a(a + b) (x2 - 3x + 1)(x2 - 4x + 1) 2 2b) + b = (a + b) = … c) (x2 - 4x + 7)(x2 + 4x + 9) 4 g) Đặt các biểu thức đối xứng: x + y + z = a; x + d) (x2 + 2x + 2)(2x2 + 2x +1) y2 + z2 = b; x + y + z = c C¸ch kh¸c: (x+1)4 + (x2 + x +1)2 = (x+1)4 + x2(x Ta cã: A = 2a - b2 -2bc2 + c4 = (2a - 2b2) + (b2 + 2x(x + 1) + +1) 2bc2 + c4) = 2(a - b2) + (b - c2)2 = (x + 1)2[(x + 1)2 Thay a - b2 = -2(x2y2 + x2z2 + y2z2); b - c2 = -2(xy 2 + x ] + (2x + 2x + 1) + xz + yz) = (x2 + 2x + 1)(2x2 2 2 2 Ta đợc M = -4(x y + x z + y z ) + 4(xy + xz + + 2x + 1) + 2x + 1) + (2x yz)2 = (2x2 + 2x + 1)(x2 = 8x2yz + 8xy2z + 8xyz2 = 8xyz(x + y + 2x +2) + z) V) Ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng: = (x2 + 10x + 8)( x2 + 10x + 16) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + 8) Dương Thị Thuỷ (11) (§èi víi mét sè ®a thøc nhiÒu biÕn, cã thÓ ho¸n vÞ vßng quanh) VÝ dô 6: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) Gi¶i: NhËn xÐt: NÕu thay x bëi y th× P = 0, nªn P chia hÕt cho x - y H¬n n÷a nÕu thay x bëi y, y bëi z, z bëi x th× P không thay đổi (Ta nói đa thức P cã thÓ ho¸n vÞ vßng quanh) Do đó: P chia hết cho x - y thì P chia hết cho y - z vµ z - x Từ đó: P = a(x - y)(y - z)(z - x); đó a là số, không chứa biến vì P có bậc tập hợp các biến, còn tích (x - y)(y - z)(z - x) có bậc tËp hîp c¸c biÕn Ta cã: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = a(x - y) (y - z)(z - x) (*) đúng với x, y, z R nªn ta chän các giá trị riêng cho x, y, z để tìm số a là xong Chó ý: C¸c gi¸ trÞ cña x, y, z ta cã thÓ chän tuú ý, cần chúng đôi khác để tránh P = là đợc Chẳng hạn: Chọn x = 2; y = 1; z = thay vào đẳng thức (*), ta tìm đợc a = - VËy: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = -(x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z) Bµi tËp 8*: Chøng minh r»ng: sè A = (n + 1)4 + n4 + chia hÕt cho mét sè chÝnh ph¬ng kh¸c víi mäi sè n nguyªn d¬ng (181) Bµi tËp 9: T×m c¸c sè nguyªn a, b, c cho ph©n tÝch đa thức (x + a)(x - 4) - nhân tử ta đợc (x + b)(x + c) <182> Bµi tËp 10: T×m c¸c sè h÷u tØ a, b, c cho ph©n tÝch ®a thøc x3 + ax2 + bx2 + c thµnh nhân tử ta đợc (x + a) (x + b)(x + c) <183> Bµi tËp 11:(184)Sè tù nhiªn n cã thÓ nhËn bao nhiªu gi¸ trÞ, biÕt r»ng ph©n tÝch ®a thøc x2 + x - n nhân tử ta đợc (x - a)(x + b) với a, b là c¸c sè tù nhiªn vµ < n < 100 ? Bài tập 12: (185)Cho A = a2 + b2 + c2, đó a và b là hai sè tù nhiªn liªn tiÕp vµ c = ab CMR: √ A lµ mét sè tù nhiªn lÎ Chủ đề 1: Tính chia hết tập hợp số nguyên A KiÕn thøc c¬ b¶n - Nắm đợc tính chất chia hết tập hợp số nguyªn - Vận dụng tốt tích chất để làm các bài tập B Ph¬ng ph¸p chung I Chøng minh tÝnh chia hÕt tËp hîp sè nguyªn Bµi tËp 6: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau nh©n tö: Q = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c(a + b - c)2 + (a + b - c)( b + c - a)( c + a - b) Gi¶i: NhËn xÐt: víi a = th× Q = 0, cho nªn a lµ mét nhân tử Q Do vai trò bình đẳng a, b, c nên b và c là nhân tử Q, mà Q có bậc tập hợp các biÕn nªn Q = k.abc Chọn a = b = c = đợc k = Vậy Q = 4abc Gäi A(n) lµ mét biÓu thøc phô thuéc vµo n (n N hoÆc n Z) §Ó chøng minh A(n) chia hÕt cho mét sè m, ta thêng phân tích A(n) thành thừa số, đó có thừa số là m Nõu m lµ mét hîp sè ta ph©n tÝch m thµnh tÝch c¸c thõa số đôi nguyên tố cùng nhau, chứng minh A(n) Bµi tËp tù luyÖn: chia hết cho tất các số đó Bµi tËp 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau nh©n tö (173): NhËn xÐt: Trong k sè nguyªn liªn tiÕp bao giê a) 4x4 - 32x2 + 1; c) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 còng tån t¹i mét béi cña k + x + 1) ; b) x6 + 27; 2 d) (2x - 4) + 9; VÝ dô 1: Chøng minh r»ng: Bµi tËp 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau nh©n tö (174): 2 a) 4x4 + 1; b) 4x4 + y4; c) x4 + A = n (n - 7) - 36n chÝ hÕt cho 5040 víi mäi sè tù nhiªn 324 n Bµi tËp 3: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau nh©n tö (175): Gi¶i: a) x5 + x4 + 1; d) x5 - x4 - 1; Ph©n tÝch thõa sè: 5040 = 24.32.5.7 b) x5 + x + 1; e) x7 + x5 + 1; Ta cã: ROI c) x8 + x7 + 1; A = n[n2(n2 - 7)2 - 36] f) x8 + x4 + 1; Bµi tËp 4: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau nh©n tö (176): = n[(n3 - 7n)2 - 62] a) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6; b) * x3 + 3xy = n(n3 - 7n - 6)(n3 - 7n + 6) + y3 - Bµi tËp 5: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau nh©n tö (172): A = (a + b + c)3 - 4(a3 + b3+ c3) - 12abc b»ng c¸ch Ta l¹i cã: n3 - 7n - = (n + 1)(n + 2)(n - 3) đổi biến: đặt a + b = m, a - b = n Bµi tËp 6**: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau nh©n tö (178): n3 - 7n + = (n - 1)(n - 2)(n + 3) a) x8 + 14x4 + 1; b) x8 + 98x4 Do đó: A = (n - 3)(n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2)(n - 3) + Bµi tËp 7: Chøng minh r»ng tÝch cña sè tù nhiªn liªn tiÕp céng thªm lµ mét sè chÝnh ph¬ng (180) Dương Thị Thuỷ (12) §©y chÝnh lµ tÝch cña b¶y sè nguyªn liªn tiÕp Trong b¶y sè nguyªn liªn tiÕp - Tån t¹i mét béi cña nªn A chia hÕt cho - Tån t¹i mét béi cña nªn A chia hÕt cho - Tån t¹i hai béi cña nªn A chia hÕt cho - Tồn ba bội 2, đó có bội nên A chia hÕt cho 16 A chia hết cho các số 5, 7,9,16 đôi nguyên tố cïng nªn A chia hÕt cho 5.7.9.16 = 5040 ¸p dông: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn a th× a) a2 - a chia hÕt cho b) a3 - a chia hÕt cho c) a5 - a chia hÕt cho d) a7 - a chia hÕt cho Gîi ý: Ph©n tÝch thµnh tÝch cña c¸c sè nguyªn liªn tiếp, đó tồn các số là bội 2, 3, 5, VÝ dô 2: Sè chÝnh ph¬ng a) Chøng minh r»ng mét sè chÝnh ph¬ng chia cho chØ cã thÓ cã sè d b»ng hoÆc b) Chøng minh r»ng mét sè chÝnh ph¬ng chia cho chØ cã thÓ cã sè d b»ng hoÆc Gi¶i: Gäi A lµ sè chÝnh ph¬ng A = n2 (n N) a) XÐt c¸c trêng hîp: Lu ý: Các đẳng thức hay dùng để chứng minh tính chia hÕt cña mét luü thõa an - bn = (a - b)(an-1 + an-2.b + an-3 b2 + + a.bn-2 + bn-1) víi n N* an + bn = (a + b)(an-1 - an-2.b + an-3 b2 - - a.bn-2 + bn-1) víi mäi n lÎ C«ng thøc Niu-t¬n (a + b)n = an + c1an-1b + c2an-2b2 + + cn-1abn-1 + bn Các hệ số ci đợc xác định tam giác Pa-xcan ¸p dông vµo tÝnh chÊt chia hÕt ta cã: an - bn Chia hÕt cho a - b (a b) a2n+1 + b2n+1 Chia hÕt cho a + b (a - b) (a + b)n = BS a + bn (BS a lµ béi sè cña a) VÝ dô: Bµi tËp ¸p dông: 1/ Cho A = 11100 -1 Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 10, chia hÕt cho 1000 2/ Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n, biÓu thøc 16n chia hÕt cho 17 vµ chØ n lµ sè ch½n 3/ Chøng minh r»ng víi n N: a) 11n+1 + 122n+1 chia hÕt cho 133 b) 34n+2 + 2.43n+1 chia hÕt cho 17 c) 3.52n+1 + 23n+1 chia hÕt cho 17 II T×m sè d VÝ dô: T×m sè d chia 2100 a) Cho b) Cho 25 c) Cho 125 n = 3k (k N) A = 9k2 chia hÕt cho n = 3k (k N) A = 9k2 6k +1 chia Gi¶i: a) Luü thõa cña s¸t víi béi cña lµ 23 = = - cho d Ta cã: 2100 = 2.(23)33 = 2.(9 - 1)33 = 2.(BS - 1) = BS - VËy sè chÝnh ph¬ng chi cho chØ cã thÓ cã sè d = BS + b»ng hoÆc Sè d chia 2100 cho lµ b) XÐt c¸c trêng hîp b) Luü thõa cña s¸t víi mét béi sè cña 25 lµ 210 = n = 2k (k N) ) A = 4k2 chia hÕt cho 1024 = BS 25 - n = 2k + (k N) A = 4k2 + 4k +1 = 4k(k + 1) + chia Ta cã: 2100 = (210)10 = (BS 25 - 1)10 = BS 25 + cho d VËy sè d chia 2100 cho 25 lµ VËy sè chÝnh ph¬ng chi cho chØ cã thÓ cã sè d b»ng c) Dïng c«ng thøc Niu-t¬n: hoÆc ¸p dông: Trong c¸c sè sau cã sè nµo lµ sè chÝnh ph¬ng kh«ng? M = 19922 + 19932 + 19942 N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952 P = + 9100 + 94100 + 1994100 Dương Thị Thuỷ 50.49 2100 = (5 - 1)50 = 550 - 50.549 + + 52 - 50.5 + Ta thÊy 48 sè h¹ng ®Çu tiªn chøa luü thõa cña víi sè mò lín h¬n nªn chia hÕt cho 125 hai sè h¹ng tiÕp theo còng chia hÕt cho 125, sè h¹ng cuèi cïng lµ 1 (13) VËy sè d chia 2100 cho 125 lµ Bµi tËp ¸p dông: a) T×m sè d cña phÐp chia Sn = 1n + 2n + 3n + 4n cho b) Chøng minh r»ng: 52n + 5n + chia hÕt cho 31 víi mäi n kh«ng chia hÕt cho III T×m ch÷ sè cuèi cïng biÓu diÔn thËp ph©n cña mét sè Ph¬ng ph¸p: XÐt sè tù nhiªn A = nk víi n, k N C¸ch 1: Muèn t×m ch÷ sè cuèi cïng cña A ta chØ cÇn biÓu diÔn A díi d¹ng: 1) T×m ch÷ sè tËn cïng cña 51994 viÕt hÖ thËp ph©n 2) Tìm chữ số hàng đơn vị số 171983 + 111983 - 71983 3) T×m ba ch÷ sè cuèi cïng cña sè A = m100 đó m là số tự nhiên khác IV T×m ®iÒu kiÖn chia hÕt Ví dụ: Tìm số nguyên n để giá trị biểu thức A chia hết cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc B A = n3 + 2n2 - 3n + B = n2 - n Biến đổi n3 + 2n2 - 3n + = (n2 - n)(n + 3) + Muèn A chia hÕt cho B th× ph¶i chia hÕt cho n2 A = 10a + b = ab Th× b lµ ch÷ sè cuèi cïng cña A n hay n(n - 1) đó phải chia hết cho n k k k Ta viÕt A = n = (10q + r) = 10t + r n -1 -2 -2 -3 Th× ch÷ sè cuèi cïng cña A còng chÝnh lµ ch÷ sè cña cïng n-1 n(n 1) 2 cña rk Lo¹i Lo¹i VËy n = -1 ; n = - NÕu A = 100b + ab = abc th× bc lµ hai ch÷ sè Bµi tËp: cuèi cïng cña A 1) Tìm số nguyên dơng n để n5 + chia hết cho n3 + - C¸ch 2: 2) T×m sè tù nhiªn n cho Khi lÊy k lÇn lît nh÷ng gi¸ trÞ tù nhiªn kh¸c a) 2n - chia hÕt cho th× biÓu diÔn thËp ph©n cña sè A = nk ch÷ sè cuèi b) 2n - chia hÕt cho cïng hoÆc mét ch÷ sè cuèi cïng xuÊt hiÖn tuÇn hoµn Ta chØ cÇn t×m chu k× cña hiÖn tîng nµy vµ A ë trêng hîp nµo c) n2 - 3n + chia hÕt cho với giá trị k đã cho d) n3 - n + Chia hÕt cho C¸ch 3: Dïng phÐp chia cã d e) 2.3n + chia hÕt cho 11 VÝ dô: T×m ch÷ sè tËn cïng cña 2100 viÕt hÖ thËp ph©n f) 10n - chia hÕt cho 81 Gi¶i: g) 10n - chia hÕt cho 11 100 100 Ba ch÷ sè tËp cïng cña lµ sè d cña phÐp chia cho h) 10n -1 chia hÕt cho 121 1000 V Tính chia hết đa thức Theo vÝ dô trªn ta cã 2100 = BS 125 + 1, mµ 2100 lµ sè ch½n, T×m sè d cña phÐp chia mµ kh«ng thùc hiÖn phÐp nªn ba ch÷ sè t©n cïng cña nã chØ cã thÓ lµ 126, 376, 626 chia hoÆc 876 Mµ 2100 chia hÕt cho nªn ba ch÷ sè tËn cïng cña nã còng Ph¬ng ph¸p: * §a thøc chia cã d¹ng x - a víi a lµ h»ng sè ph¶i chia hÕt cho Trong bèn sè trªn chØ cã 376 tho¶ m·n Sè d cña phÐp chia ®a thøc f(x) cho x - a b»ng gi¸ ®iÒu kiÖn trÞ cña ®a thøc f(x) t¹i x = a VËy ba ch÷ sè tËn cïng cña 2100 lµ 376 * §a thøc cã bËc tõ bËc hai trë lªn Bµi tËp: Dương Thị Thuỷ (14) C¸ch 1: T¸ch ®a thøc bÞ chia thµnh nh÷ng ®a thøc chia hÕt cho ®a thøc chia C¸ch 2: XÐt c¸c gi¸ trÞ riªng Chó ý: an - bn Chia hÕt cho a - b (a b) Gi¶i: = x8n + 2x4n + - x4n = (x4n + 1)2 - (x2n)2 = (x4n + x2n +1) (x4n - x2n +1) x4n + x2n +1 = x4n + 2x2n +1- x2n = (x2n + 1)2 - (xn)2 a2n+1 + b2n+1 Chia hÕt cho a + b (a - b) = (x2n + xn +1) (x2n - xn +1) VÝ dô 1: VËy x8n + x4n + chia hÕt cho x2n + xn + Chøng minh r»ng nÕu ®a thøc f(x) cã tæng c¸c hÖ * Biến đổi các đa thức chia thành tổng các đa sè b»ng th× ®a thøc Êy chia hÕt cho x - thøc chia hÕt cho ®a thøc chia Gi¶i: n n-1 VÝ dô 2: Gäi f(x) = a0x + a1x + + an-1x + an Chøng minh r»ng x3m+1 + x3n+2 + chia hÕt cho ®a thøc x2 Theo gi¶ thiÕt: a0 + a1 + + an-1 + an = + x + víi mäi sè tù nhiªn m, n Sè d cña phÐp chia f(x) cho x - lµ Gi¶i: r = f(1) = a0 + a1 + + an-1 + an = x3m+1 + x3n+2 + = x3m+1 - x + x3n+2 + - x2 + x2 + x VËy f(x) chia hÕt cho x - +1 VÝ dô 2: = x(x3m - 1) + x2(x3n - 1) + x2 Chøng minh r»ng nÕu ®a thøc f(x) cã tæng c¸c hÖ sè +x+1 luü thõa bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè luü thõa bËc lÎ th× Ta thÊy x3m - vµ x3n - chia hÕt cho x3 - f(x) chia hÕt cho x + Do đó x3m - và x3n - chia hết cho x2 + x + T×m th¬ng vµ sè d cña phÐp chia c¸c ®a thøc VËy x3m+1 + x3n+2 + chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + Ph¬ng ph¸p: * Sử dụng các biến đổi tơng đơng, chẳng hạn để - §Æt phÐp chia chøng minh f(x) chia hÕt cho g(x), cã thÓ chøng minh f(x) - Dùng sơ đồ Hoóc-ne + g(x) chia hÕt cho g(x) hoÆc §a thøc bÞ chia f(x) - g(x) chia hÕt cho g(x) a0 x n a1 x n a2 x n an x xVÝ dô 3: §a thøc chia lµ x - a th¬ng lµ Chøng minh r»ng f(x) chia hÕt cho g(x) f(x) = x99 + x88 + x77 + + x11 + n n b0 x b1 x bn x bn sè d r g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + Gi¶i: Víi f(x) - g(x) = x99 - x9+ x88 - x8 + + x11 - x b0 = a0 = x9(x90 - 1) + x8(x80 - 1) + + x(x10 b1 = a.b0 + a1 - 1) b2 = a.b1 + a2 Các biểu thức ngoặc chia hết cho x10 - 1, mµ x10 - chia hÕt cho g(x) bn-1 = a.bn-2 + an-1 VËy f(x) chia hÕt cho g(x) r = abn-1 + an * Chứng tỏ nghiệm đa thức chia Chøng minh mét ®a thøc chia hÕt cho mét ®a thøc lµ nghiÖm cña ®a thøc bÞ chia Ph¬ng ph¸p: VÝ dô: * Phân tích đa thức bị chi thành nhân tử, đó Cho f(x) = (x2 + x - 1)10 + (x2 - x + 1)10 - chøng cã mét nh©n tö lµ ®a thøc chia ming r»ng f(x) chia hÕt cho x2 - x VÝ dô 1: Gi¶i: Chøng minh r»ng x8n + x4n + chia hÕt cho x2n + xn + víi mäi mét sè tù nhiªn n Dương Thị Thuỷ x8n + x4n + 1 (15) §a thøc x2 - x cã hai nghiÖm lµ x = vµ x = Ta sÏ chøng minh x=0 vµ x = còng lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) Dương Thị Thuỷ (16) Chủ đề 2: Giải phơng trình A KiÕn thøc c¬ b¶n - Nắm đợc khái niệm phơng trình bậc ẩn, ph¬ng tr×nh tÝch, ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu - Cã kü n¨ng gi¶i ph¬ng tr×nh mét c¸ch thµnh th¹o B Néi dung I Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh a2x + b = a(x + b) Gi¶i: a2x + b = a(x + b) a2x + b = ax + ab a2x - ax = ab - b ax(a - 1) = b(a - 1) (1) NÕu a 0, a 1th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt x b a NÕu a = th× (1) cã d¹ng 0x = 0, ph¬ng tr×nh nghiÖm đúng với x NÕu a = th× (1) cã d¹ng 0x = -b, ph¬ng tr×nh nghiÖm đúng với x b = 0, vô nghiệm b KÕt luËn: NÕu a 0, a 1th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt x b a Nếu a = a = và b = 0, phơng trình nghiệm đúng víi mäi x NÕu a = vµ b 0, ph¬ng tr×nh v« nghiÖm Bµi tËp ¸p dông: Gi¶i ph¬ng tr×nh: Dương Thị Thuỷ a+x a x 3a a-1 a 1 a x-a x b x c b) 3 b+c c a a b x-a x b x c 3x c) b+c c a a b a b c a+b-x a+c-x b+c-x 4x d) 1 c b a abc a) II Ph¬ng tr×nh tÝch §Þnh nghÜa: Ph¬ng tr×nh tÝch mét Èn lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng: A(x).B(x) = (1) Trong đó A(x), B(x), là các đa thức C¸ch gi¶i: Gi¶i tõng ph¬ng tr×nh A(x) = 0, B(x) = 0, råi lÊy tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña chóng Chó ý: ViÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cã vai trß quan träng viÖc ®a ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng ph¬ng tr×nh tích Ngoài ta còn dùng phơng pháp đặt ẩn phụ VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x + 3)3 - (x + 1)3 = 56 Gi¶i: (x + 3)3 - (x + 1)3 = 56 x3 + 9x2 + 27x + 27 - x3 - 3x2 - 3x- = 56 6x2 + 24x -30 = 6(x2 + 4x - 5) = x2 - x + 5x - = x(x - 1) + 5(x - 1) = (x - 1)(x + 5) = KÕt luËn: S = {1; -5} Chó ý: Có thể dùng phơng pháp đặt ẩn phụ x + = y (x + lµ trung b×nh céng cña x + vµ x + 1) VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x - 6)4 + (x - 8)4 = 16 Gi¶i: §Æt x - = y, ph¬ng tr×nh trë thµnh: (y + 1)4 + (y - 1)4 = 16 (17) Rút gọn ta đợc: y + 6y - = §Æt y = z (z 0), ta cã z2 + 6z - = (z - 1)(z + 7) = Ph¬ng tr×nh nµy cho z1 = 1, z2 = -7 (lo¹i) Víi z = 1, nªn y = Từ đó x1 = ; x2 = Chó ý: Khi gi¶i ph¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng (x + a)4 + (x + 2 y x b)4 = c ta thờng đặt ẩn phụ ¸p dông: Gi¶i ph¬ng tr×nh: C¸ch 2: Chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho x2 (v× x = không là nghiệm phơng trình) ta đợc: x x2 y x §Æt 1 x 0 x 1 x y2 x x th× , ta đợc: y2 - 3y + = nªn y1 = 1; y2 = Víi y1 = 1, ta cã x2 - x + = 0, v« nghiÖm Víi y = 2, ta cã x2 - 2x + = nªn x = Bµi tËp ¸p dông: Gi¶i ph¬ng tr×nh ab a) (x + 3)4 + (x + 5)4 = a) x4 + 3x3 + 4x2 + 3x + = b) (x + 1)4 + (x - 3)4 = 82 b) x5 - x4 + 3x3 + 3x2 - x + = c) (x - 2)4 + (x - 3)4 = c) x4 - 3x3 + 4x2 - 3x + = d) (x - 2,5)4 + (x -1,5)4 = * Phơng trình đối xứng (các hệ số có tính đối xứng) d) 6x4 + 5x3 - 38x2 + + = Ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu C¸c bíc gi¶i: - Tìm điều kiện xác định phơng trình Trong phơng trình đối xứng a là nghiệm thì a là - Quy đồng mẫu thức hai vế phơng trình nghiÖm khö mÉu thøc + Phơng trình đối xứng bậc lẻ có - Giải phơng trình vừa nhận đợc c¸c nghiÖm lµ x = -1 - Nghiệm phơng trình là các giá trị tìm đợc + Phơng trình đối xứng bậc chẵn 2n đa đợc phẩn thoả mãn điều kiện xác định VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: y x ơng trình bậc n cách đặt ẩn phụ VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x x 3 (1) x x ( x 2)(4 x ) x Gi¶i: a) 2x3 + 7x2 + 7x + = b) x4 - 3x3 + 4x2 - 3x + = Gi¶i: a) Biến đổi phơng trình thành: (x + 1)(x + 2)(2x + 1) = x3 Ph¬ng tr×nh cã ba nghiÖm: x1 = -1 ; x2 = -2 ; b) C¸ch 1: §a ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: (x + 1)2(x2 - x + 1) = Ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = -1 Dương Thị Thuỷ §KX§ cña ph¬ng tr×nh lµ x 2, x Biến đổi phơng trình (1) ta đợc: (x - 1)(x - 4) + (x + 3)(x - 2) = -2 Thu gọn phơng trình ta đợc: 2x(x - 2) = (2) NgiÖm cña (2) x1 = ; x2 = x1 = tho¶ m·n §KX§; x2 = kh«ng tho¶ m·n §KX§ VËy S = {0} Bµi tËp: Gi¶i ph¬ng tr×nh víi c¸c tham sè a, b (18) a) b) 1 1 a b x ab x x+a x 2 x+3 x a Khi gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh, ngoµi ẩn đã chọn đôi ngời ta còn biểu thị đại lợng cha biết khác chữ Điều lý thú là các chữ đó tham gia vµo qu¸ tr×nh gi¶i to¸n nhng chóng l¹i kh«ng cã mÆt đáp số bài toán VÝ dô 2: Một ngời nửa quãng đờng AB với vận tốc 20 km/h, vµ ®i phÇn cßn l¹i víi vËn tèc 30 km/h TÝnh vËn tèc trung bình ngời đó trên quãng đờng Gi¶i: Gäi vËn tèc trung b×nh ph¶i t×m lµ x (km/h) Ta biểu thị nửa quãng đờng AB là a km (a > 0) 4) Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: a) C¸c bíc gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: Bíc 1: - Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn - Biểu diễn các đại lợng cha biết theo ẩn và các đại lợng đã biết - Lập phơng trình biểu thị tơng quan các đại a lîng Thời gian ngời đó nửa đầu quãng đờng là 20 Bíc 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh Bíc 3: Chän kÕt qu¶ thÝch hîp vµ tr¶ lêi a VÝ dô 1: Vào kỉ thứ III trớc công nguyên, vua xứ Xi-ra- giờ, thời gian ngời đó nửa sau quãng đờng là 30 giờ, cót giao cho Ac-si-met kiÓm tra xem chiÕc mò b»ng vµng a a 2a cña m×nh cã pha thªm b¹c hay kh«ng ChiÕc mò cã träng Ta cã ph¬ng tr×nh: 20 30 x lợng niutơn (theo đơn vị nay), nhúng ngập Giải phơng trình ta đợc x = 24 níc th× träng lîng gi¶m ®i 0,3 niut¬n Vậy vận tốc trung bình ngời đó trên quãng đờng là 24km/h BiÕt r»ng c©n níc, vµng gi¶m 20 träng l- Bµi tËp: 1) Một khách du lịch từ A đến B nhận thấy 15 phót l¹i gÆp mét xe buýt ®i cïng chiÒu vît qua, cø 10 10 phót l¹i gÆp mét xe buýt ch¹y ngîc l¹i BiÕt r»ng c¸c xe îng, b¹c gi¶m träng lîng Hái chiÕc mò chøa bao buýt chạy với cùng vận tốc, khởi hành sau nhiªu gam b¹c (vËt cã khèi lîng 100 gam tr× träng lîng khoảng thời gian và không dừng lại trên đờng b»ng niut¬n) (trên chiều từ A đến B nh chiều ngợc lại) Hỏi sau Gi¶i: Gäi träng lîng b¹c mò lµ x (niut¬n) (0 < x < bao nhiªu ph¸t th× c¸c xe buýt l¹i lÇn lît rêi bÕn? 2) Trên quãng đờng AB thành phố, 5) Träng lîng vµng mò lµ - x (niut¬n) phút lại có xe buýt theo chiều từ A đến B và Khi nhóng ngËp níc, träng lîng b¹c gi¶m cø phót l¹i cã mét xe buýt ®i theo chiÒu ngîc l¹i C¸c xe x 5 x này chuyển động với cùng vận tốc nh Một khách du lịch từ A đến B nhận thấy 10 (niut¬n), träng lîng vµng gi¶m 20 (niut¬n) phót l¹i gÆp mét xe ®i tõ B vÒ phÝa m×nh Hái cø bao nhiªu x 5 x 0,3 phút lại có xe từ A vợt qua ngời đó? Ta cã ph¬ng tr×nh: 10 20 Giải phơng trình ta đợc x = VËy träng lîng b¹c mò lµ niut¬n ChiÕc mò chøa 100 gam b¹c Chó ý: Dương Thị Thuỷ (19) Chủ đề 3: Chứng minh bất đẳng thức A Môc tiªu Học sinh nắm đợc các tính chất bất đẳng thức, nắm đợc các bất đẳng thức, các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Biết chứng minh bất đẳng thức cách thành th¹o B KiÕn thøc c¬ b¶n I Các tính chất bất đẳng thức - TÝnh b¾c cÇu: a > b ; b > c a > c - Cộng hai vế bất đẳng thức với cùng số a 0 a a a b a b a > b ; c > d ac > bd - N©ng lªn luü thõa bËc nguyªn d¬ng hai vÕ cña bÊt đẳng thức: a > b > an > bn a > b an > bn víi n lÎ ab an > bn víi n ch½n - So s¸nh hai luü thõa cïng c¬ sè víi sè mò d¬ng: Xẩy đẳng thức ab Xẩy đẳng thức ab > và a b Một số bất đẳng thức khác có thể sử dụng nh bổ đề để giải toán a2 + b2 2ab; ab ab Hay (a + b)2 4ab (bất đẳng thức C«-si); 1 a b a b víi a, b > a>b;c>da+c>b+d - Trừ vế hai bất đẳng thức ngợc chiều, đợc bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ: a>b;c<da-c>b–d - Nhân vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế kh«ng ©m Xẩy đẳng thức a ab a b a>ba+cb+c - Nhân hai vế bất đẳng thức với cùng số: a > b ; c > ac > bc a > b ; c < ac < bc - Cộng vế hai bất đẳng thức cùng chiều, Xẩy đẳng thức a = a b 2 b a víi a, b > (a2 + b2)(x2 + y2) (ax + by)2 (Bất đẳng thức Bunhi-a-cốp-xki) III Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức: Dùng định nghĩa §Ó chøng minh A > B, ta xÐt hiÖu A - B vµ chøng minh A-B>0 VÝ dô 1: Chøng minh r»ng: (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) -1 Gi¶i: XÐt hiÖu (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) - (-1) = (x2 - 5x + 4)(x2 5x + 6) + Đặt x2 - 5x + = y ta đợc a > am > an a = am = an < a < am < an - Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức (y - 1)(y + 1) + = y VËy (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) -1 hai vÕ cïng dÊu Dùng phép biến đổi tơng đơng 1 VÝ dô 2: Cho c¸c sè d¬ng a vµ b tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a + b = a > b , ab > a b NÕu m > n > th×: II Các bất đẳng thức: Ngoài các bất đẳng thức a ; -a 0, cần nhớ các bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối: Dương Thị Thuỷ a b 9 Chøng minh r»ng: (1) Ta cã: (20) MÆt kh¸c ta cã: (a - b)2 2ab a2 + b2 a2 + 2ab + b2 2(a2 + b2) Mà 2(a2 + b2) (giả thiết), đó a2 + 2ab + b2 M©u thuÉn víi (1) VËy a + b C Bµi tËp ¸p dông: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1) Chứng minh bất đẳng thức a+1 b 1 a b 9 a b 9 ab + a + b + 9ab (v× ab > 0) a + b + 8ab (v× a + b = 1) 8ab 4ab (a + b)2 4ab (v× a + b = 1) (a - b)2 luôn đúng Vậy bất đẳng thức (1) đợc chứng minh Xẩy đẳng thức và a = b Dùng các tính chất bất đẳng thức VÝ dô 3: a2 b2 c c b a 2 2 b c a b a c 2) Chứng minh các bất đẳng thức với a, b , c là các số d¬ng: a4 b4 Cho a + b > Chøng minh r»ng: Gi¶i: Ta cã a) a+b+1>0 (1) B×nh ph¬ng hai vÕ: (a + b)2 > 1 a2 + 2ab + b2 > (2) MÆt kh¸c (a - b)2 a2 - 2ab + b2 (3) Céng tõng vÕ (2) vµ (3) a b c 1,5 bc ca ab b) 3) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh r»ng: a) 1 1 1 ab c b c a c a b a b c 2(a2 + b2) > a2 + b2 > (4) B×nh ph¬ng hai vÕ cña (4) a4 + 2a2b2 + b4 > Gîi ý: 1 áp dụng bất đẳng thức x y x y với x, y > b) (5) MÆt kh¸c (a2 - b2)2 a4 - 2a2b2 + b4 Céng tõng vÕ (5) vµ (6) (6) a b c 3 b c a a c b a b c 1 2(a4 + b4) > a4 + b4 > Dïng ph¬ng ph¸p ph¶n chøng VÝ dô 4: Cho a2 + b2 Chøng minh r»ng: a + b Gi¶i: Giả sử a + b > 2, bình phơng hai vế ta đợc: a2 + 2ab + b2 > (1) Dương Thị Thuỷ 1 1 9 a b c a b c a b c 2 bc c a ab c) 4) Cho a + b + c = Chøng minh r»ng a b2 c 5) Chøng minh r»ng víi a, b, c > th× (21) a) a2 b2 a b b2 a2 b a b) a2 b2 c a b c b c a c) a2 b2 c2 abc bc c a ab Dương Thị Thuỷ (22) - - Chủ đề 4: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ A Môc tiªu Học sinh nắm đợc nào là giá trị lớn nhất, giá trị nhá nhÊt cña mét biÓu thøc Biết cách xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ cña mét biÓu thøc B C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n Cho biÓu thøc f(x,y, ) Ta nãi M lµ GTLN cña biÓu thøc f(x,y, ) nÕu tho¶ m·n hai ®iÒu kiÖn sau: Với x, y, để f(x,y, ) xác định thì f(x,y, ) M (M lµ h»ng sè) (1) Tån t¹i x0 , y0 cho f(x0, y0, ) = M (2) Cho biÓu thøc f(x,y, ) Ta nãi M lµ GTNN cña biÓu thøc f(x,y, ) nÕu tho¶ m·n hai ®iÒu kiÖn sau: Với x, y, để f(x,y, ) xác định thì (1’) b) B = -5x2 - 4x + = 4 2 9 x x x 25 5 5 Max B = vµ chØ x = ¸p dông: Cho tam thøc bËc hai P = ax2 + bx + c a) T×m GTNN cña P nÕu a > b) T×m GTLN cña P nÕu a < §a thøc bËc cao h¬n hai VÝ dô 2: T×m GTNN cña A = x(x - 3)(x - 4)(x - 7) Gi¶i: Ta cã: A = x(x - 3)(x - 4)(x - 7) = (x2 - 7x)(x2 - 7x + 12) §Æt x2 - 7x + = y th× f(x,y, ) m (m lµ h»ng sè) - Tån t¹i x0 , y0 cho f(x0, y0, ) = m (2’) Chó ý: NÕu chØ cã ®iÒu kiÖn (1) vµ (1’) th× cha thÓ nãi g× vÒ cùc trÞ cña mét biÓu thøc Ch¼ng h¹n ta xÐt biÓu thøc A = (x - 1)2 + (x - 3)2 A = (y - 6)(y + 6) = y2 - 36 -36 VËy Min A = -36 x2 - 7x + = x1 = 1; x2 = Ph©n thøc cã tö lµ h»ng sè mÉu lµ tam thøc bËc hai VÝ dô 3: MÆc dï A nhng cha thÓ kÕt luËn GTNN cña A = vì không tồ giá trị nào x để A = C Néi dung I Gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña mét biÓu thøc chøa mét biÕn Tam thøc bËc hai VÝ dô 1: Gi¶i: a) T×m GTNN cña A = 2x2 - 8x + A T×m GTNN cña A a) A = 2x2 - 8x + = 2(x2 - 4x + 4) - = 2(x - 2)2 - 2 2 x x x 1 Ta thÊy (3x - 1)2 nªn (3x - 1)2 + Do đó 3x 1 b) T×m GTLN cña B = -5x2 - 4x + Gi¶i: x 9x2 A -7 Min A = -7 vµ chØ x = 2 4 2 3x 1 4 2 Min A 1 3x-1 =0 x= Ph©n thøc cã mÉu lµ b×nh ph¬ng cña mét nhÞ thøc Dương Thị Thuỷ (23) VÝ du 4: T×m GTNN cña c) T×m GTNN cña A + B 2) T×m GTNN cña c¸c biÓu thøc A = (x + 8)4 + (x + 5)4 B = (x - 1)(x - 3)(x2 - 4x + 5) 3x x A x 2x 1 C x x 7 Gi¶i: Ta cã: D x2 x x x 2 2 4 x 2cña GTLN 2 x x x x x x 3) T×m GTNN, A 2 x 2x 1 1 x x 1 x12 27 A Min A = vµ chØ x = x2 II Gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña mét x 2x biÓu thøc cã quan hÖ rµng buéc gi÷a c¸c B biÕn x2 1 VÝ dô 1: 4) T×m GTNN cña T×m GTNN cña A = x3 + y3 + xy biÕt r»ng x 1 1 +y=1 A ab Gi¶i: a b víi a, b > Sử dụng kiều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A: 1 1 B a b c a b c A = (x + y)(x2 - xy + y2) + xy = x2 - xy + y2 + xy = x + y2 §Õn ®ay cã nhiÒu c¸ch gi¶i: C¸ch 1: Biểu thị y theo x đa tam thức bậc hai x: Thay y = x - 1vào biểu thức A ta đợc 1 1 1 B a b c d a b c d víi a, b, c, d > 2 1 ,y= Min A = vµ chØ x = C¸ch 2: Sử dụng các điều kiện đã cho làm xuất biÓu thøc míi cã chøa A: Bµi tËp: 1) Cho x + y + z = a) T×m GTNN cña A = x2 + y2 + z2 b) T×m GTLN cña B = xz + yz + zx Dương Thị Thuỷ víi a, b, c > 1 1 A x x 1 2 x x = x- 2 2 2 (24) Chủ đề 5: Phơng pháp diện tích chứng minh h×nh häc A Môc tiªu - Sử dụng các công thức tính diện tích để thiết lập quan hệ độ dài các đoạn thẳng để chứng minh h×nh häc - Cã kü n¨ng sö dông c¸c c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch để chứng minh hình học B Sử dụng các công thức tính diện tích để chøng minh h×nh häc VÝ dô 1: Cho tam giác ABC a) Chøng minh r»ng nÕu ®iÓm M thuéc miÒn cña tam gi¸c ABC th× tæng c¸c kho¶ng c¸ch tõ M đến ba cạnh tam giác chiều cao tam giác b) Quan hệ trên thay đổi nh nào điểm M thuéc miÒn ngoµi tam gi¸c Gi¶i: Gäi a vµ h lµ c¹nh vµ chiÒu cao cña tam gi¸c ABC, MA’, MB’, MC’ là các khoảng cách từ M đến BC, AC, AB a) NÕu M thuéc miÒn ABC th× A C' B' M C B A' SMBC + SMAC + SMAB = SABC 1 1 BC MA ' AC MB ' AB MC ' BC AH 2 2 a a MA ' MB ' MC ' h 2 MA ' MB ' MC ' h Dương Thị Thuỷ (25) b) NÕu M thuéc miÒn ngoµi ABC vµ thuéc miÒn gãc A (miÒn 2) th×: A B C' A' C B' M SMAC + SMAB - SMBC = SABC 1 1 AC MB ' AB MC ' BC MA ' BC AH 2 2 a a MB ' MC ' MA ' h 2 MB ' MC ' MA ' h T¬ng tù: NÕu M thuéc miÒn ngoµi ABC vµ thuéc miÒn gãc B (miÒn 3) th×: NÕu M thuéc miÒn ngoµi ABC vµ thuéc miÒn gãc C (miÒn 4) th×: Nếu M thuộc miền góc đối đỉnh với góc A (miền 5) thì: MA ' MA ' MC ' MB ' h MA ' MB ' MC ' h MB ' MC ' h Nếu M thuộc miền góc đối đỉnh với góc B (miền 6) thì: MB ' MA ' MC ' h Nếu M thuộc miền góc đối đỉnh với góc C (miền 7) thì: MC ' MA ' MB ' h Bµi tËp: 1) C¸c ®iÓm E, F n»m trªn c¸c c¹nh AB, BC cña h×nh b×nh hµnh ABCD cho AF = CE Gäi I lµ giao ®iÓm cña AF, CE Chøng minh r»ng ID lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AIC Dương Thị Thuỷ (26) B E A H I F K D C Gîi ý: §Ó chøng tá D thuéc tia ph©n gi¸c cña gãc AIC , ta vÏ DH AF, DK IC, råi chøng minh DH = DK Hai đoạn thẳng này là các đờng cao AFD và CED có cạnh đáy tơng ứng là AF và CE, đo cần chứng minh SAFD = SCED (các diện tích này nửa SABCD) 2) Cho ABC cã A 90 , D lµ ®iÓm n»m gi÷a A vµ C Chøng minh r»ng tæng c¸c kho¶ng c¸ch tõ A vµ tõ C đến BD lớn đờng cao kẻ từ A và nhỏ đờng cao kẻ từ C ABC K F A D E B C H Gợi ý: Gọi AH, CK là các đờng cao ABC Kẻ AE và CF vuông góc với BD Ta cần chứng tỏ AH < AE + CF < CK CÇn biÓu diÔn c¸c ®o¹n th»ng AE, CF, AH, CK theo diÖn tÝch ABC §Ò c¬ng «n tËp häc k× I A) §¹i sè Bµi : T×m x biÕt: a) 2x (x-5) - x(3+2x) = 26 b) 5x (x-1) = x- c) 2(x+5) - x2- 5x = 2 3) - (x+5) = e) ( 3x – )( 2x + ) – ( x + )( 6x – ) = 16 f) ( x + )2 – ( x + ) ( x – 1) = 16 g) ( 2x – ) – ( x + ) ( x – ) = h ) 5( x + ) - 2x ( + x ) = i) ( x – ) – 36 = j) x( x – ) – 4x + 20 = k) ( 2x + ) ( 2x – ) + ( x5 – x4 ) : (-x3) = 15 Bµi 2: Chøng minh r»ng biÓu thøc: A = x(x - 6) + 10 lu«n lu«n d¬ng víi mäi x B= 4x2- 4x +3 > víi mäi x R Bµi : Với giá trị nào a để đa thức ( 3x3 + 10x2 + a – 5) chia hết cho đa thức ( 3x + ) Bµi : Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh sau: x x 4xy x +1 2x + 3 x-6 2 2 a) 2x + + x + 3x b) 2x + 2x + 6x c) x - 2y + x + 2y + 4y - x x3 - x + 4x e) 5x + 20 x + 2x + x - 3x - 1 2x + x 3-x Bµi 5) Cho biểu thức : A = a) Tìm điều kiện xác định A & Rút gọn A 1 3x - ❑ ❑ 3x + - 9x d) 3x - Dương Thị Thuỷ x2 + x 3x + : f) 5x -10x + 5x - d) (2x- (27) b) Tìm x để A = va` Tính giá trị biểu thức A với x = x - x2 x+2 + : 2 x x x + x x 1 Bai 6) Cho biểu thức B = a/ Tìm điều kiện xác định B & Rút gọn B b/ Tính giá trị biểu thức B với x = 2008 x +1 −3 x x −1 + : Bai`7) Cho phân thức P = x −1 x 3+ x x +1 a) Tìm điều kiện x để giá trị phân thức xác định b) Rút gọn biểu thức P Tính giá trị P x = c) Tìm x để phân thức có giá trị là số nguyên x −2 x+1 Bai`8) Cho phân thức: x3 − x a) Tìm x để phân thức xác định .b) Tìm x để phân thức có giá trị c) Rút gọn phân thức x +1 −3 x x −1 + : x −1 x 3+ x x +1 d) Chứng minh đẳng thức 1 a2 = − e) Tính a+ + n(n+1) n n+1 1− a a+1 Bai 9) a) Phát biểu tính chất phân thức đại số? Dạng tổng quát b) Rút gọn 2 a+ac − b − bc x x +4 1 − − = Chứng minh đẳng thức 2 a −b x −2 x x − x x =2 x x +2 x 1) a) Phát biểu quy tắc đổi dấu? & Áp dụng Rút gọn: x −1 − x − y ; b −a x −x x −1 =0 2) Tìm giá trị x để phân thức: x2 − x Bai`10 Tìm a để đa thức 6x3 + x2 - 29x + a chia hết cho đa thức 2x - 3 6x x − + Bµi 11 Cho biÓu thøc A= x − − x x +3 a) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× biÓu thøc A cã nghÜa b) Rót gän A.c) T×m x cho A = d) T×m giá trị nguyên x để A nhận giá trị dơng SGK –tr62 Bµi tËp 58 -> 64 SBT : bµi 54 ,55 ,56 ,59 ,61 64 ,65, 66, 67 B) H×nh Häc : Bai`1) Cho đường cao AH Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm AB, AC, BC a) Chứng minh tứ giác BMNP là hình bình hành b) Tứ giác MHPN là hình gì? vì sao? Bai` ) Cho tam giac ABC đường cao AH Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm AB, AC, BC a) Chứng minh tứ giác BMNP là hình bình hành b) Tứ giác MHPN là hình gì? vì sao? c) ABC th/m d/kien g× th× AMPN lµ h×nh ch÷ nhËt , thoi , vu«ng? Bai` 3) -Cho hcn ABCD QuaA vẽ Ax// BD, Ax cắt đường thẳng CB E a) Chứng minh ABDE làhbh , Chứng minh ACE cân c) Vẽ AM BD (M thuộc BD); BN AE (N thuộc AE).Chứng minh AMBN là hcn ( ( Dương Thị Thuỷ ) ) (28) Bài 4) Cho tam giác ABC cân A, đường phân giác AM Gọi I là trung điểm AC, K là điểm đối xứng M qua I a) Tứ giác AMCK là hình gì ? Vì ? b) Chứng minh AKMB là hình bình hành c) Tam giác ABC với điều kiện gì để tứ giác AKCM là hình vuông ? d) Cho AM = 4,5cm; MB = 2cm Tính diện tích tam giác ABC Bµi Cho tam gi¸c ABC ,I n»m gi÷a B vµ C Qua I vẽ đờng thẳng // AB cắt AC H ,đờng thẳng // AC cắt AB K Tø gi¸c AHIK lµ h×nh g× ? I ë ®©u thuéc BC th× AHIK lµ h×nh thoi ? Tam gi¸c ABC cã ®iÒu kiÖn g× th× AHIK lµ h×nh ch÷ nhËt ? Bµi Cho tam gi¸c ABC M, N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AC vµ AB P vµ Q lÇn lît thuéc BM vµ CN cho BP = 1/3 BM ; CQ = 1/3 CN a) MNPQ lµ h×nh g× ? v× sao? b) Tam gi¸c ABC ph¶i tháa m·n ®/k g× th× th× MNPQ lµ h×nh ch÷ nhËt? c) Tam gi¸c ABC, BM , CN tháa m·n ®k g× th× MNPQ lµ h×nh thoi , h×nh vu«ng Bµi Cho h×nh thang c©n ABCD (AB//CD),E lµ trung ®iÓm cña AB a) C/m EDC c©n b) Gäi I,K,M theo thø tù lµ trung ®iÓm cña BC,CD,DA Tg EIKM lµ h×nh g×? V× sao? c) Tinh S ABCD,SEIKM biet EK = 4, IM = Ba`i Cho tam giác ABC đường trung tuyến AE Gọi M là trung điểm AB và D là điểm đối xứng E qua M a Tứ giác AEBD là hình gì ? Vì ? b Chứng minh : AC // DE ; ADEC la` hinh` binh` hanh` c Tam giỏc ABC cú thờm điều kiện gỡ thỡ AEBD là hỡnh thoi Là hình vuụng? từ đó tớnh diện tớch tứ giỏc AEBD biết AE = 5cm và BC = 6cm.N là trung điêmAC D’ đối xứng E qua N cm :D ,A ,D’ thẳng hàng Bai` Cho ABC cân A , đường cao AH Gọi E , F là trung điểm AB , AC ; I là điểm đối xứng H qua E Chứng minh : a) Tứ giác EFCB là hình thang cân b) AIBH là hình chữ nhật c) Tứ giác IACH là hình gì ? d) AFHE laø hình thoi Bµi 10 Cho h×nh b×nh hµnh ABCD cãi AB= AD E, F thø tù lµ trung ®iÓm AB , CD a)C¸c tø gi¸c AEFD , AECF lµ h×nh g×? t¹i sao? b) M lµ giao ®iÓm cña AF vµ DE , Giao ®iÓm cña BF ,CE lµ N C/m EMFN lµ h×nh ch÷ nhËt c)ABCD cã thªm d/k g× th× EMFN lµ h×nh vu«ng? Bài 11 Tam giác ABC có góc a = 900 ,AM trung tuyến D là trung điểm AB ,E đối xứng M qua D a) c/m E đối xứng M qua AB b) AEMC , AEBM lµ h×nh g×?v× sao? c) Cho BC = cm tÝnh chu vi t gi¸c AEBM d) Tam gi¸c ABC cã ®/k g× th× AEBM lµ h×nh vu«ng? e) AB =3cm AC =4cm Tính diện tích t giác AEBM và độ dài đoạn thẳng AM H×nh SGK + SBT : «n tËp ch¬ng II ĐỀ CƯƠNG HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP NĂM HỌC 2009- 2010 I LÝ THUYẾT : A Một số câu hỏi lý thuyết và áp dụng lý thuyết I/ Đại số Câu 1: Định nghĩa phương trình bậc ẩn? Cho ví dụ Dương Thị Thuỷ (29) Câu Nêu quy tắc biến đổi tương đương để giải phương trình ? Áp dụng giải phương trình - 3x = x - ? Câu Định nghĩa hai phương trình tương đương ? Hai phương trình cho đây có tương đương hay không ? Vì ? 3x - = và x2 - = 2− x = Câu Điều kiện xác định phương trình là gì ? Áp dụng tìm ĐKXĐ phương trình ? x x +1 Câu : Nêu các bước để giải phương trình chứa ẩn mẫu thức ? Áp dụng giải phương trình x x 2x + = ? x − x+ ( x+ 1)( x −3) Câu Nêu các bước để giải bài toán cách lập phương trình ? Câu 7: Nêu định nghĩa bất phương trình bậc ẩn ? Cho ví dụ Câu Định nghĩa hai bất phương trình tương đương ? Áp dụng hãy chứng tỏ hai bất phương trình cho đây là bất phương trình tương đương : - 3x + > và 2x + < Câu Phát biểu hai quy tắc biến đổi để giải bất phương trình ? Áp dụng giải bất phương trình ax + b ( với a và ẩn là x ) ? Câu 10: Định nghĩa giá trị tuyệt đối số a? 4x Áp dụng: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn biểu thức: A = -2x + + hai trường hợp x 0, x II Hình học: Câu Phát biểu ,vẽ hình , ghi GT, KL, định lý Ta-lét thuận ? Áp dụng cho tam giác ABC có M AB và N AC Biết MN // BC và AM = 4cm, AN = 5cm, NC = 3cm Tính độ dài AB Câu Phát biểu,vẽ hình , ghi GT , KL, định lý Ta-lét đảo ? Áp dụng cho tam giác ABC có M AB và N BC cho AM = 2, BM = 4, BN = và CN = Chứng tỏ MN // AC ? Câu Phaùt bieåu ,vẽ hình , ghi GT , KL heä quaû cuûa ñ/l ta leùt Câu Phát biểu tính chất đường phân giác tam giác ? Áp dụng cho tam giác ABC, đường phân giác BD Qua D kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB I Biết DI = 9cm, BC = 15cm Tính độ dài AB ? Câu Phát biểu định nghĩa hai tam giác đồng dạng ?Áp dụng cho ABC có AB:AC:BC = :5:6 MNK đồng dạng vớiABC và có chu vi 90cm.Tính độ dài cạnh MNK Câu Phát biểu trường hợp đồng dạng ( c-c -c ) hai tam giác ? Áp dụng cho ABC và MNK có độ dài các cạnh là : AB = 3cm, AC = 5cm, BC = 6cm và MN = 10cm, NK = 6cm, MK = 12cm Hỏi tam giác ABC đồng dạng với tam giác nào ? Câu Phát biểu trường hợp đồng dạng ( g-g) hai tam giác ? Áp dụng cho hai tam giác cân ABC và DEF có góc A góc E Hỏi ABC đồng dạng với tam giác nào ? Câu Phát biểu trường hợp đồng dạng ( c-g-c ) hai tam giác ? Câu Phát biểu các trường hơp đồng dạng hai tam giác vuông ? Câu 10 Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng và tỉ số đồng dạng hai tam giác đó có quan hệ nào ? Áp dụng cho ABC đồng dạng với RPQ với tỉ số đồng dạng 2,5 Biết diện tích RPQ 50cm2 Hãy tính diện tích ABC ? Câu 11: Các vị trí hai đường thẳng không gian? Cách chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng? Cách chứng minh hai mặt phẳng song song? Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng? Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc? Câu 12 Cho hình hộp chữ nhật ABCDMNPQ có đáy ABCD tương ứng với đáy MNPQ Hãy viết : a) Các đường thẳng song song với đường thẳng MN ? b) Các đường thẳng BC ? c) Các mặt phẳng // mp(ABNM) d) Các mặt phẳng mp(ADQM) Câu 13 - Hình lập phương có mặt, cạnh, đỉnh? Các mặt là hình gì ? - Hình hộp chữ nhật có mặt, cạnh , đỉnh ? - Hình lăng trụ đứng tam giác có cạnh, đỉnh, mặt ? B/ Một số bài tập luyện tập I/ Đại số Giải các phương trình sau: Dương Thị Thuỷ (30) a) 6x – = -2x + b) 2(x – 1) + 3( 2x + 3) = 4(2 – 3x) - 7x 16 x 2(1 x ) 3x 2(3x 1) 2x 2 ; d) ; e) c) – 2x(25 -2x ) = 4x2 + x – 40 3x 2 x 1 3x f) ; x x 2( x 2) x 2 x 4 ; g) x x(2 x 3) x h) x x i) (x-2)(2x-3) = ( 4-2x)(x-2) k) ; x 1 x 5x l) m) = 3x + Giải các bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số: x x 1 ; a) 12 – 3x < ; b) 3(x -1) – 4(2 – 4x) > 3(x+ 2) ; c) 3x 4x x x 1 x 3 ; e) ; f) d) ; g) (x - 3)(x + 3) < (x + 2)2 + 3) Giải các bài toán tìm x đưa BPT : 1/ Tìm x để phân thức : không âm 5−2x >1 2/ Tìm x biết x −1 x −5 3/ Cho A = Tìm giá trị x để A dưong x −8 4/ Tìm x cho giá trị biểu thức 2-5x nhỏ giá trị biểu thức 3(2-x) 5/ Tìm x cho giá trị biểu thức -3x nhỏ giá trị biểu thức -7x + 6/ Tìm x cho: a) Giá trị biểu thức – 7x không lớn giá trị biểu thức 4x – b ) Giá trị biểu thức - 4x + không vượt quá giá trị biểu thức 5x – GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH 1) Một người xe đap từ A đến B với vận tốc 12km/h.Khi từ B trở A người với vận tốc 9km/h Vì thời gian nhiều thời gian là Tính quãng đường từ A đến B 2) Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng là 30 Tỉ số hai số là 3) Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng 80 và hiệu chúng là 30 4) Mẫu số phân số lớn tử số nó là Nếu tăng tử và mẫu nó thêm đơn vị thì dược phân số phân số Tìm phân số ban đầu 5) Một đội máy cày dự định ngày cày 40 Khi thực ngày cày 52 Vì đội không đã cày xong trước thời hạn ngày mà còn cày thêm Tính dtích ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch 6) Số lượng dầu thùng thứ gấp đôi số lượng dầu thùng thứ hai Nếu bớt thùng thứ 75 lít và thêm vào thùng thứ hai 35 lít thì số lượng dầu hai thùng Tính số lượng dầu lúc đầu thùng 7) Một người ôtô từ A đến B với vân tốc trung bình là 50km/h Lúc ôtô với vận tốc nhanh lúc là 10km /h Nên thời gian ít hơn thời gian là 1giờ.Tính quãng đường AB 8) Một ngưòi ôtô từ A đến B với vtốc dự định là 48 km/h Nhưng sau với vận tốc ấy, người đó nghỉ 10 phút và tiếp tục tiếp Để đến B kịp thời gian đã định, người đó phải tăng vận tốc thêm 6km/h Tính qđường AB 9) Một canô xuôi dòng từ bến A đến bến B và ngược dòng từ bến B bến A Tính khoảng cách bến A và bến B Biết vận tốc dòng nước là 2km/h 10) Một người xe máy từ A đến B với quãng đường dài 270km Cùng lúc đó người thứ hai ô tô từ B A với vận tốc trung bình nhanh vtốc người xe máy là 10km/h Biết sau 3giờ thì hai xe gặp Tính vtốc xe Dương Thị Thuỷ (31) 11/ Khu vườn hình chữ nhật có chu vi 82m Chiều dài chiều rộng 11m Tính diện tích khu vườn 12/ Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B giờ, và ngược dòng từ bến B đến bến A 5h Tính khoảng cách hai bến , biết vận tốc dòng nước là 2km/h BÀI TẬP HÌNH HỌC : Bài 1: Cho ABC, các đường cao BD, CE cắt H Đường vuông góc với AB B và đường vuông góc với AC C cắt K Gọi M là trung điểm BC Chứng minh: a) ADB AEC b) HE.HC = HD.HB c) H, M, K thẳng hàng d) ABC phải có điều kiện gì thì tứ giác HBCK là hình thoi ? Là hình chữ nhật Bài 2: Cho ABC ( Â=900 ), AB = 12cm, AC = 16cm, tia phân giác  cắt BC D a) Tính tỉ số diện tích tam giác ABD và ACD Tính độ dài cạnh BC b) Tính độ dài BD, CD c)Tính chiều cao AH ABC Bài : Cho hình hộp chữ nhật ABCDMNPQ có đáy ABCD tương ứng với đáy MNPQ Hãy viết : a) Các đường thẳng song song với đường thẳng MN ? b) Các đường thẳng BC ? c) Các mặt phẳng // mp(ABNM) d) Các mặt phẳng mp(ADQM) Bài : Cho tam giác ABC vuông A, có AB = 3cm, AC = 5cm , đường phân giác AD Đường vuông góc với DC cắt AC E a) Chứng minh tam giác ABC và tam giác DEC đồng dạng b) Tính độ dài các đoạn thẳng BC , BD c) Tính độ dài AD d) Tính diện tích tam giác ABC và diện tích tứ giác ABDE Δ ABC vuông A có đường cao AH Cho biết AB=15cm, AH=12cm a) Chứng minh Δ AHB, ΔCHA đồng dạng b) Tính độ dài đoạn thẳng HB;HC;AC c) Trên cạnh AC lấy điểm E cho CE=5cm ;trên cạnh BC lấy điểm F cho CF=4cm.Chứng minh Δ CE F vuông Bài : Cho d) Chứng minh :CE.CA=CF Bài : Cho hình chữthẳng nhật DH, ABCD c) Tính độ dài đoạn AH.có AB = 8cm, BC = 6cm Vẽ đường cao AH tam giác BàiADB : Cho ABC vuông A có AB = 8cm, AC = 15cm, đuờng cao AH a) Chứng minh tam giác AHB đồng dạng tam giác BCD a/ Tính BC, AH; b/ Gọi M, N là hình chiếu H nên AB, AC Tứ giác AMNH là hình gì? Tính độ dài MN c/ Chứng minh A M.AB = AN.AC Bài : Cho tam giác ABC vuông A, trung tuyến BD Phân giác góc ADB và góc BDC cắt AB, BC M và N Biết AB = 8cm, AD = 6cm a/ Tính độ dài các đoạn BD, BM; b/ Chứng minh MN // AC; c/ Tứ giác MNCA là hình gì? Tính diện tích tứ giác đó Bài : Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 36cm,AD = 24cm,E là trung điểm AB.Tia DE cắt AC F cắt CB G a/ Tính độ dài các đoạn DE, DG, DF; b/ Chứng minh rằng: FD2 = FE.FG Bài 10 : Cho ABC vuông A ; AB = 48 cm ; AC = 64cm Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = 27 cm ; trên tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = 36 cm a/ Chứng minh ABC đồng dạng ADE b/ Tính độ dài các đoạn BC ; DE c/ Chứng minh DE // BC d/ Chứng minh EB Dương Thị Thuỷ BC (32) Cho ABC ( AB < AC ), Phân giác AD Trên nưả mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A , vẽ tia Cx cho BCx BAD Gọi I là trung điểm Cx và AD Chứng minh : a/ ADB đồng dạng với ACI ; ADB đồng dạng với CDI b/ AD2 = AB.AC – DB.DC Bài12:Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnhAB = 8cm,cạnh bên SA = 5cm a/ Tính trung đoạn SH hình chóp; b/ Tính đường cao SO hình chóp; c/ Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích hình chóp Bài 13 : Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân vớt độ dài cạnh góc vuông là AB = AC = 6cm và chiều cao lăng trụ là AA’ = 12cm Tính: Diện tích xung quanh; diện tích toàn phần; Thể tích lăng trụ MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO ĐỀ SỐ A LÝ THUYẾT ( điểm)( Chọn câu sau) Câu1: Phát biểu định nghĩa phương trình bật môt ẩn Cho ví dụ Câu2: Phát biểu tính chất đường phân giác góc tam giác Vẽ hình ghi giả thuyết , kết luận Phần : TỰ LUẬN ( điểm ) Bài : điểm: Giải các phương trình sau: a) 2x +1 = 15-5x x −3 x +2 b) + =2 x −2 x Bài : 1điểm Giải bất phương trinh và biểu diễn tập hợp nghiệm trên trục số x − x −7 ≥ Bài3: 1.5điểm: Giải bài toán băng cách lập phương trình Hai thùng dầu A và B có tất 100 lít Nếu chuyển từ thùng A qua thùng B 18 lít thì số lượng dầu hai thùng Tính số lượng dầu thùng lúc đầu Bài4: 3.5điểm Cho Δ ABC vuông A,vẽ đường cao AH Δ ABC a) Chứng minh Δ ABH đồng dạng với ΔCBA b) Tính độ dài BC,AH,BH Biết AB=15cm,AC=20cm c) Gọi E,Flà hai điểm đối xứng H qua AB và AC Tính diện tích tứ giác EFCB Bài 11 : ĐỀ SỐ Bài : Giải các phương trình sau : a/ 3x – = 2x + b/ ( x – ) ( x–6)=0 x −3 x +2 + =2 c/ x −2 x Bài : a/Giải bất phương trình và biểu diễn tập hợp nghiệm trên trục số 3x – (7x + 2) > 5x + b/Chứng minh : 2x2 +4x +3 > với x Bài : Giải bài toán cách lập phương trình : Tổng hai chồng sách là 90 Nếu chuyển từ chồng thứ hai sang chồng thứ 10 thì số sách chồng thứ gấp đôi chồng thứ hai Tìm số sách chồng lúc ban đàu Bài 4: Một hình hộp chữ nhật có chiều dài là 10cm , chiều rộng là 8cm , chiều cao là 5cm Tính thể tích hình hộp chữ nhật đó Bài : Cho Δ ABC có AB=12cm , AC= 15cm , BC = 16cm Trên cạnh AB lấy điểm M cho AM =3cm Từ M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC N , cắt trung tuyến AI K a/ Tính độ dài MN b/ Chứng minh K là trung điểm MN Dương Thị Thuỷ (33) c/ Trên tia MN lấy điểm P cho MP= 8cm Nối PI cắt AC Q chứng minh Δ QIC đồng dạng với Δ AMN ĐỀ SỐ A/Lý thuyết: (2 điểm) Câu 1: (1 điểm) Định nghĩa phương trình bậc ẩn Cho ví dụ Câu 2: (1 điểm) Viết công thức tính thể tích hình lập phương cạnh a Áp dụng: Tính thể tích hình lập phương với a = 15 cm B/ Bài toán: (8 điểm) Bài 1: (1.75đ) Giải các phương trình sau: a/ x – = 18 b/ x(2x – 1) = x −1 x −2 + =2 c/ x x+1 Bài 2: (1.5đ) a/ Giải bất phương trình sau: – + 2x < Hãy biểu diễn tập nghiệm trên trục số x −5 b/ Cho A = Tìm giá trị x để A dưong x −8 Bài 3: (1.25đ) Giải bài toán cách lập phương trình Một đoàn tàu từ A đến B với vận tốc 45 km/h Lúc đoàn tàu đó với vận tốc 35 km/h, nên thời gian nhiều thời gian là 12 phút Tính quãng đưòng AB Bài 4: (3.5đ) Cho tam giác ABC, có  = 900, BD là trung tuyến DM là phân giác góc ADB, DN là phân giác góc BDC (M AB, N BC) a/ Tính MA biết AD = 6, BD = 10, MB = b/ Chứng minh MN // AC c/ Tinh tỉ số diện tích tam giác ABC và diện tích tứ giác AMNC ĐỀ SỐ x x 2x + = Bài Giải phương trình: 2( x −3) x+ ( x+1)(x − 3) Bài Một người xe đạp từ A đến B với vận tốc trung bình 12km/h Lúc trở về, người đó xe máy với vận tốc trung bình là 40km/h nên thời gian ít thời gian là 30 phút Tính quãng đường AB Bài Cho tứ giác ABCD có AC BD, gọi M, N, P và Q là trung điểm AB, BC, CD và DA Chứng minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật ĐỀ SỐ æ1 ö x ÷ ç ÷ ç ÷: x - ç è ø x + x Bài Cho biểu thức A= với x≠1, x≠-1, x≠4 a Rút gọn biểu thức A b Tính A x=6 Câu Hai nhóm công nhân đóng gạch xây dựng, nhóm thứ I đóng nhiều nhóm thứ II là 10 viên gạch Sau làm việc tổng số gạch hai nhóm đóng là 930 viên Hỏi nhóm đóng bao nhiêu viên gạch? Câu Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB cạnh bên AD và BC, đáy lớn CD gấp đôi dáy nhỏ AB a) Tính các góc hình thang b) Đáy lớn DC = 20 cm Tính chu vi hình thang c) Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD Chứng minh OC = 2OA ĐỀ SỐ Dương Thị Thuỷ (34) x 1 x 1 Câu 1: Giải Bất phương trình: Câu 2: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B và ngược dòng từ bến B bến A Tính khoảng cách hai bến A và B Biết vận tốc dòng chảy nước là km/h Câu 3: Cho tam giác ABC vuông A Đường cao AH Chứng minh: a) ∆AHC ~ ∆BAC b) ∆AHC ~ ∆BHA ĐỀ SỐ x 6 x Câu 1: Giải phương trình: x Câu 2: Tìm số học sinh lớp 8A biết học kì I số học sinh giỏi 1/10 số học sinh lớp Sang học kì II có thêm ban phấn đấu trở thành học sinh giỏi nửa, đó số học sinh giỏi 15% số học sinh lớp Bài :(4 điểm) Trên cạnh góc có đỉnh A đặt đoạn thẳng AE = 3cm, AC = 8cm Trên cạnh thứ góc đó đặt các đoạn thẳng AD = 4cm, AF = 6cm a Chứng minh AEF ADC b.Gọi I là giao điểm CD và EF Tính tỉ số diện tích hai tam giác IDF và IEC Câu 4; Tính thể tích hình chóp bên, biết đường cao AO = 12cm, BC = 10cm A B D O H C ĐỀ SỐ − =0 Câu 1: Giải phương trình x − x+ Câu 2: Một đội công nhân dự định ngày đắp 45 m đường Khi thực ngày đội đắp 55 m vì đội không đã đắp xong đoạn đường đã định trước thời hạn ngày mà còn đắp thêm 25 m Hỏi đoạn đường mà đội dự định đắp dài bao nhiêu mét? Câu 3: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có AB = CD Cho AB = cm; BC = cm a)Tính chu vi hình thang b)Tính đường cao AH và diện tích hình thang c)Gọi O là giao điểm AC và BD Đường thẳng qua O và song song với đáy hình thang cắt BC M Tính BM AC BD + =3 d)Chứng minh OC OD Ngµy so¹n Ngµy gi¶ng: Buæi Dương Thị Thuỷ (35) định lý ta lét tam giác I- Môc tiªu - Củng cố và khắc sâu định lí đảo và hệ định lý Talét - RÌn kÜ n¨ng tÝnh to¸n cho HS - RÌn tÝnh cÈn thËn, chÝnh x¸c cho HS II- ChuÈn bÞ GV: B¶ng phô, thíc HS: Thớc; Ôn lại định lí đảo định lí Talét, hệ III- TiÕn tr×nh d¹y häc Néi dung Bài 1: Ph¬ng ph¸p Cho đoạn thẳng MN lấy P cho MP MP NP Np TÝnh MN vµ MN Bµi 2: A Trªn c¹nh AB cña tam gi¸c ABC lÊy D H¹ K H BH, DK vu«ng gãc víi AC VÏ DD’//BC DK DD ' Chøng minh BH BC D' D C B Bµi 3: A Cho tam giác ABC Trên tia đối tia Ba AB lÊy M cho BM VÏMN//BC (N a BiÕt MN=2,7 TÝnh BC b BiÕt BC=1,7 TÝnh MN C B thuéc AC) M N Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC cã AB=9cm,AC=12cm A Trªn AB lÊy R cho AR=3cm Trªn AC R lÊy N cho NC=8cm N J a Chøng minh: NR//BC b Gäi I lµ trung ®iÓm cña ; AI c¾t NR B Dương Thị Thuỷ I C (36) RJ t¹i J TÝnh NR Bµi 5: Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB A ED Trªn DC lÊy E cho CD Gäi M lµ B M N giao ®iÓm cña AE vµ BD ; N lµ giao ®iÓm cña BE vµ AC a Chøng minh: ME.AB MA.EC vµ D E C ME.NB NE.MA b Chøng minh: MN//DC Cñng cè ? Định lý ta lét đợc dùng để giải dạng bài tập nào ? ? Hệ qủ củađịnh lý ta lét đợc dùng để giải dạng bài tập nào ? ? Định lý đảo định lý ta lét đợc dùng để giải dạng bài tập nào ? Híng dÉn häc ë nhµ Xem lại các bài tập đã chữa Lµm c¸c bµi tËp s¸ch bµi tËp Ngµy so¹n: Ngµy gi¶ng: Buæi tính chất đờng phân giác I- Môc tiªu - Củng cố cho HS định lý Talét, hệ định lý Talét, định lý đờng phân giác tam gi¸c - áp dụng tính chất đờng phân giác để làm bài tập tính toán - Rèn cho HS kỹ vận dụng định lý vào việc giải bài tập để tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh hai đờng thẳng song song II- ChuÈn bÞ GV:B¶ng phô, thíc, com pa HS: Thíc, com pa Dương Thị Thuỷ (37) III- TiÕn tr×nh d¹y häc Néi dung Bµi 1: Cho tam g¸c ABC cã trung tuyÕn AM Ph¬ng ph¸p A Vẽ phân giác ME góc AMC đờng th¼ng vu«ng gãc víi ME t¹i M c¾t AB E D t¹i D Chøng minh DE//BC B M Bµi 2: C A Cho tam giác ABC có BE, CF là các đờng phân giác E Chøng minh r»g: F AB.EC.FA = AC.FB.EA B C Bµi 3: M Cho tam gi¸c ABC §êng ph©n gi¸c ngoµi gãc B c¾t c¹nh Ac t¹i M Chøng A MA BA minh: MC BC X C B H Bµi :Cho tam gi¸c ABC §êng cao AH Trªn a AM BH c¹nh AC lÊy M cho AC BC m a) Chøng minh : HM//AB d BH b) BiÕt HM=4 vµ BC c) Chøng minh trung tuyÕn CD cña tam gi¸c ABC còng lµ trung tuyÕn cña tam b gi¸c CMH HD : Dương Thị Thuỷ h c (38) Bài : Cho hình thang ABCD có đờng trung i b×nh MN ( M thuéc AD) , hai c¹nh bªn DA vµ CB kÐo dµi c¾t t¹i I BiÕt AB<CD a m Chøng minh a) IM.NC = IN.AM d HD : a) im MA in NC n c b) HD : 2MN IB AB CD IC IB 1 DC IC DC IC AB CD IC IB AB CD CD DC IC IC IB IC 2MN IB 1 IC b) DC im.nc = in.ma b hay im MA in NB Dựa vào định lý Ta lét với tam gi¸c IMN 2MN IB 1 IC b) DC Gi¶i : Theo hệ định lý ta lét ta có : IB AB CD AB AB CD IC CD IC IB IB IC CD 2MN 2MN IB IC IB 1 CD IC IC Hay IC IB IC Híng dÉn häc ë nhµ Xem lại các bài tập đã chữa Lµm c¸c bµi tËp s¸ch bµi tËp Ngµy so¹n: Ngµy gi¶ng: Buæi Tam giác đồng dạng I- Môc tiªu - Củng cố cho HS đinghj nghĩa , tính chất, tam giác đồng dạng - áp dụng các trờng hợp đồng dạng tam giác để làm bài tập tính toán - Rèn cho HS kỹ vận dụng kiến thức ý vào việc giải bài tập để tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh hai đờng thẳng song song… II- ChuÈn bÞ GV:B¶ng phô, thíc, com pa HS: Thíc, com pa III- TiÕn tr×nh d¹y häc Dương Thị Thuỷ (39) Néi dung Bµi : Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác A’B’C’ theo tû sè k BiÕt chu vi tam gi¸c ABC b»ng 12cm a Chøng minh: AB AC BC k A ' B ' A ' C ' B ' C ' b TÝnh chu vi tam gi¸c A’B’C’ víi k Ph¬ng ph¸p Bµi 3: Cho tam giác ABC vuông Acó đờng cao AH Chøng minh: a ABC đồng dạng với CAB AB BC b AH AC c b c' b' Bµi 2: Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác A’B’C’ theo tû sè k BiÕt diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 24 cm2 S ABC k a Chøng minh: S A' B 'C ' b TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c A’B’C’ k víi a a' a a' c' b' b h c a Bµi 4: Cho h×nh thang ABCD vu«ng t¹i A, đáy nhỏ AD , đờng chéo BD vuông gãc víi c¹nh bªn BC Chøng minh: a ABD BCD b Tam giác ABD đồng dạng tam gi¸c BCD c BD2 = AB.DC a b c d Dương Thị Thuỷ c b (40) Bµi 5: Cho tam gi¸c ABC cã trung tuyÕn AM Gäi I lµ trung ®iÓm cña AM ; BI c¾t AC t¹i E Gäi F lµ trung ®iÓm cña BE a) Chøng minh: + Tam giác BFM đồng dạng với tam gi¸c BEC; + Tam giác IFM đồng dạng với tam gi¸c IEA AE b) TÝnh tû sè AC Cho h×nh b×nh hµnh ABCD cã B>900 VÏ CE vu«ng gãc víi AB, VÏ CF vu«ng gãc víi AD, VÏ BI vu«ng gãc víi AC a) Chøng minh: + Tam giác ABI đồng dạng với tam gi¸c ACE; + Tam giácEAFC đồng dạng với tam gi¸c CIB dc af ac ad b) ae ac ; ci a Cho tam gi¸c ABC cã B 2c Trªn tia đối tia BA lấy K cho BK = BC Chøng minh : a) Tam giác ABc đồng dạng với tam gi¸c AKC b b) AC AB.AK c k Híng dÉn häc ë nhµ Xem lại các bài tập đã chữa Lµm c¸c bµi tËp s¸ch bµi tËp Dương Thị Thuỷ (41) Dương Thị Thuỷ (42) Ngµy so¹n: Ngµy gi¶ng: Buæi Tam giác đồng dạng I- Môc tiªu - Củng cố cho HS đinghj nghĩa , tính chất, tam giác đồng dạng - áp dụng các trờng hợp đồng dạng tam giác để làm bài tập tính toán - Rèn cho HS kỹ vận dụng kiến thức ý vào việc giải bài tập để tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh hai đờng thẳng song song… II- ChuÈn bÞ GV:B¶ng phô, thíc, com pa HS: Thíc, com pa III- TiÕn tr×nh d¹y häc Néi dung Ph¬ng ph¸p Bµi : Cho hình bình hành ABCD Từ A vẽ đờng thẳng cắt đờng chéo BD I, cắt c¹nh BG t¹i J, c¾t phÇn kÐo dµi c¹nh DC t¹i K Chøng minh a) BI.AI = DI.IJ ; DI.AB = DK.BI AB KC KJ b) AJ Bµi 2: Cho h×nh thang ABCD cã c¹nh bªn AD vµ Bc c¾t t¹i M §êng th¼ng qua M cắt cạnh đáy Dc và AB E và F DC DE EC Chøng minh: AB AF FB Bµi 3: Cho tam giác ABC vuông Acó đờng cao AH Chøng minh: a AHB đồng dạng với CHA AB HB b AC HC Dương Thị Thuỷ (43) Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC cã trùc t©m H, träng t©m G Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC, N lµ trung ®iÓm cña AC, O lµ giao điểm các đờng trung trực tam giác Chøng minh: a Tam giác AHB đồng dạng với tam OM gi¸c OMN vµ tÝnh tû sè AH GM MN b Chøng minh: GA AB c Tam giác AHG đồng dạng với tam gi¸c MOG Bài 5: Cho hình thang ABCD có đờng a b chÐo BD vu«ng gãc víi c¹nh bªn BC, BiÕt BD2= AB.DC Chøng Minh ABCD lµ h×nh thang vu«ng HD: BD2= AB.DC BD DC AB BD c d L¹i cã: ABD BDC => ABD BDC(g.g) => A DBC(90 ) Híng dÉn häc ë nhµ Xem lại các bài tập đã chữa Lµm c¸c bµi tËp s¸ch bµi tËp Dương Thị Thuỷ (44) Ngµy so¹n: Ngµy gi¶ng: Buæi Tam giác đồng dạng I- Môc tiªu - Củng cố cho HS đinghj nghĩa , tính chất, tam giác đồng dạng - áp dụng các trờng hợp đồng dạng tam giác để làm bài tập tính toán - Rèn cho HS kỹ vận dụng kiến thức ý vào việc giải bài tập để tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh hai đờng thẳng song song… II- ChuÈn bÞ GV:B¶ng phô, thíc, com pa HS: Thíc, com pa III- TiÕn tr×nh d¹y häc Néi dung Ph¬ng ph¸p Bµi : Cho hình bình hành ABCD Từ A vẽ đờng thẳng cắt đờng chéo BD I, cắt c¹nh BC t¹i J, c¾t phÇn kÐo dµi c¹nh DC t¹i K Chøng minh a)AI2 = KI.KJ b) BJ.DK=BA.DA HD : AI2 = KI.KJ Bµi 2: Cho h×nh thang ABCD cã c¹nh bªn AD vµ Bc c¾t t¹i M §êng th¼ng qua M cắt cạnh đáy Dc và AB E và F DC DE EC Chøng minh: AB AF FB Bµi 3: Cho tam giác ABC vuông Acó đờng cao AH Chøng minh: c AHB đồng dạng với CHA AB HB d AC HC Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC cã trùc t©m H, träng t©m G Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC, N lµ trung ®iÓm cña AC, O lµ giao điểm các đờng trung trực tam giác Chøng minh: a) Tam giác AHB đồng dạng với tam OM gi¸c OMN vµ tÝnh tû sè AH GM MN b) Chøng minh: GA AB Dương Thị Thuỷ (45) c) Tam giác AHG đồng dạng với tam gi¸c MOG Bài 5: Cho tam giác ABC Trên tia đối a cña tia BA lÊy K cho BK=BC BiÕt AC2= AB.AK Chøng minh a) Tam giác ABC đồng dạng với tam gi¸c ACK b b) B 2C c k Híng dÉn häc ë nhµ Xem lại các bài tập đã chữa Lµm c¸c bµi tËp s¸ch bµi tËp TOÁN I/ ĐẠI SỐ: A/ Lý thuyết: Định nghĩa phương trình bậc ẩn? Cho ví dụ Định nghĩa bất phương trình bậc ẩn? Cho ví dụ Hai quy tắc biến đổi phương trình Một phương trình bậc ẩn có nghiệm Khi giải phương trình chứa ẩn mẫu, ta phải chú ý điều gì? Nêu các bước giải phương trình chứa ẩn mẫu? Nêu các bước giải bài toán cách lập phương trình? Nêu quy tắc cộng, quy tắc nhân bất đẳng thức Thế nào là hai phương trình tương đương? Hai bất phương trình tương đương? Cho ví dụ Phát biểu quy tắc chuyển vế để biến đổi bất phương trình Quy tắc này dựa trên tính chất nào thứ tự trên tập số? 10 Phát biểu quy tắc nhân để biến đổi bất phương trình Quy tắc này dựa trên tính chất nào thứ tự trên tập số B/ Bài tập : Giải các phương trình sau: a) 7x + 21 = l) (2x - 1) – (2x + 1)2 = 4(x - 3) b) -2x + 14 = m) (2x - 1)(x - 2) = c) 6534 = − x n) (3,5x – 0,7)(x – 0,5) = d) 3x + = 7x – 11 o) 3x(2x + 5) – 5(2x + 5) = e) 15 – 8x = – 5x p) (x - 3)(2x - 5)(3x + 9) =0 f) 1,2 – (x – 0,8) = -2 (0,9 + x) q) ) g) 3,6 – 0,5 (2x + 1) = x – 0,25(2 – 4x) k) (x +2) (3 – 4x) + (x2 + 4x + 4) = i) 2,5(x 3) 3(x 4) (5x 15,3) − + − Dương Thị Thuỷ (46) Giải các bài toán sau đây cách lập phương trình: Web side xem điểm: http://BuonHo.net Trang1Trường THCS Nguyễn Trường Tộ – Đề cương ôn tập cuối năm – Môn Toán Bài 1: Một ô tô từ A đến B với vận tốc trung bình là 15km/h Lúc người đó với vaän toác trung bình laø 12 km/h nên thời gian nhiều thời gian là 45 phút Tính độ dài quãng đường AB Bài 2: Một ô tô từ A đến B với vận tốc 50 km/h và sau đó quay trở từ B A với vận tốc 40 km/h Cả ñi vaø 5h 24’ Tính chiều dài quãng đường AB Bài 3: Một ô tô dự định từ A đến B với vận tốc trung bình là 40 km/h Lúc đầu ô tô với vận tốc đó, coøn 60 km thì nửa quãng đường AB, ô tô tăng thêm vận tốc 10 km/h trên quãng đường còn lại, đó đến B sớm so với dự định Tính quãng đường AB ( Gọi chiều dài quãng đường AB là x (km) (x > 120)) Baøi : Lúc sáng cano xuôi dòng từ bến A đến bến B, cách 36 km, quay trở đến bến A lúc 11 30 phút Tính vận tốc cano xuôi dòng, biết vận tốc nước chảy là 6km/h Bài 5: Một đội thợ mỏ theo kế hoạch ngày phải khai thác 50m3 than Do cải tiến kỹ thuật, ngày đội đã khai thác 57m3 than, vì đội đã hoàn thành trước kế hoạch ngày và còn vượt mức dự định 13m3 Tính số m3 than đội phải khai thác theo kế hoạch Bài 6: Thùng thứ chứa 60 gói kẹo, thùng thứ hai chứa 80 gói kẹo Người ta lấy từ thùng thứ hai số goùi keïo nhiều gấp lần số gói kẹo lấy từ thùng thứ Hỏi có bao nhiêu gói kẹo lấy từ thùng thứ nhất, biết raèng số gói kẹo còn lại thùng thứ nhiều gấp lần số gói kẹo còn lại thùng thứ hai Bài 7: Một lớp học có 53 học sinh Nếu thêm vào học sinh nam và bớt học sinh nữ thì số học sinh nữ baèng số học sinh nam Tính số học sinh nam và nữ lớp (ĐS: 23 nam và 30 nữ) Bài 8: Tìm hai số biết tổng chúng là 100 và tăng số thứ lên lần và cộng thêm vào số thứ hai ñôn vị thì số thứ gấp lần số thứ hai Bài 9: Một số có hai chữ số đó chữ số hàng chục gấp lần chữ số hàng đơn vị Nếu đổi chỗ hai chữ soá cho thì số nhỏ số đã cho là 18 đơn vị Tìm số đó Bài 10: Một khu vườn HCN có chu vi là 82m, chiều dài chiều rộng là 11m Tính diện tích khu vườn đó Bài 11: a) Khi nhận lớp 8A, cô chủ nhiệm dự định chia lớp thành tổ có số học sinh Nhưng sau đó lớp nhận thêm học sinh Do đó cô chủ nhiệm đã chia số học sinh lớp thành tổ Hỏi lớp 8A có bao nhiêu học sinh Biết so với phương án dự định ban đầu, số học sinh tổ có ít học sinh b) Một người xe máy từ A đến B với vận tốc 30 km/h Đến B người đó làm việc quay A với vận tốc 24km/h Biết thời gian tổng cộng hết 5h30phút Tính quãng đường AB ? c) Mẫu số phân số lớn tử số nó đơn vị Nếu tăng tử và mẫu nó thêm đơn vị thì phân số Dương Thị Thuỷ (47) Tìm phân số ban đầu ? d) Hiện tuổi ba gấp lần tuổi Sau mười năm thì tuổi cha còn gấp lần tuổi Tính tuổi ? e) Đầu năm , giá xe máy tăng 5% cuối năm lại giảm % Vì giá xe máy vào cuối nămlại rẻ trước lúc tăng giá là 50000đồng Hỏi giá xe máy trước lúc tăng giá là bao nhiêu? Web side xem điểm: http://BuonHo.net Trang2Trường THCS Nguyễn Trường Tộ – Đề cương ôn tập cuối năm – Môn Toán Giải các bất phương trình sau đây và biểu diễn tập nghiệm trên trục số: Bài 1: a) 2x – ≥0 d) ≤ 3 + x b) -3x – > f) 2(3x – 1) < 2x + 4/ Với giá trị nào x để: i/ Giá trị biểu thức 5x − là số dương, là số âm ii/ Gía trị biểu thức 2(x 1)(x 1) + − − nhỏ giá trị tương ứng biểu thức 5x (2x 1)(3 x) iii/ Giá trị biểu thức 22(2x 1) lớn giá trị tương ứng biểu thức 8(x 3)(x 3) iv/ Hiệu hai biểu thức 3x − x vaø x - 4x − baèng tích cuûa chuùng 5/ Tìm giá trị nguyên x thỏa mãn đồng thời hai bất phương trình: 5x + 4x 35 vaø 8x + 2x 6/ Chứng minh rằng: a) 24x 12x 11 + + > x Q b) 2x 3x 2x 3x ≤ x Q 7/ Tìm x cho: a) Giá trị biểu thức – 2x không nhỏ giá trị biểu thức x + b) Giá trị biểu thức – 5x nhỏ giá trị biểu thức 3(2 - x) 8/ Giải phương trình: a) − = + x x b) + = − x x c) 3,5x 1,5x 10; = + d) x 4x; − = II/ HÌNH HỌC: A/ Lý thuyết: Phát biểu và viết tỉ lệ thức biểu thị hai đoạn thẳng AB và CD tỉ lệ với hai đoạn thẳng A’B’ và C’D’ Phát biểu, vẽ hình, ghi giả thuyết và kết luận định lí Talét tam giác Phát biểu, vẽ hình, ghi giả thuyết và kết luận định lí Talét đảo Phát biểu, vẽ hình, ghi giả thuyết và kết luận hệ định lí Talét Phát biểu định lí tính chất đường phân giác tam giác (vẽ hình, ghi giả thuyết và kết luận) Phát biểu định nghĩa hai tam giác đồng dạng Phát biểu định lí đường thẳng song song với cạnh tam giác và cắt hai cạnh (hoặc kéo dài hai cạnh) còn lại Phát biểu các định lí ba trường hợp đồng dạng hai tam giác Phát biểu định lí trường hợp đồng dạng đặc biệt hai tam giác vuông (trường hợp cạnh huyền và cạnh góc vuông) Web side xem điểm: http://BuonHo.net Trang3Trường THCS Nguyễn Trường Tộ – Đề cương ôn tập cuối năm – Môn Toán A TRAÉC NGHIEÄM: Hãy chọn câu trả lời đúng các câu sau: Caâu 1: Xem hình veõ cho bieát DE // BC, AB = 40mm, AC = 50mm, BC = 24mm, AD = 18mm, x=AE, y=DE Giaù trò cuûa x, y laø: Dương Thị Thuỷ (48) A x = 22,5mm ; y = 10,8mm B x = 20mm ; y = 10mm C x = 20,5mm ; y = 10,5mm D x = 19,5mm ; y=10,25mm Câu 2: Cho ∆ABC, ∆A’B’C’ với tỉ số đồng dạng là , ; và ∆A’B’C ’, ∆A"B"C" với tỉ số đồng dạng laø : ; Vaäy ∆ A"B"C" , ∆ABC theo tæ soá laø bao nhieâu? A ; B 10 ; C ; 10 D Moät tæ soá khaùc Caâu 3: Xem hình veõ, cho bieát AB = 25mm, AC = 40mm, BD = 15mm vaø AD laø phaân giaùc cuûa goùc BAD Vaäy x =? A x = 18mm B x = 24mm C x = 28mm D x = 32mm Câu 5: Hai tam giác đồng dạng có tỉ số đồng dạng là 3, tổng độ dài hai cạnh tương ứng là 24cm Vậy độ dài hai cạnh đó là: A 18cm; 6cm B 14cm; 10cm C.16cm; 8cm D.Moät keát quaû khaùc Câu 6: Bóng cây trên mặt đất có độ dài 8m, cùng thời điểm đó cọc sắt 2m vuông góc với mặt đất có bóng dài 0,4m Vậy chiều cao cây là bao nhiêu? A 30m ; B 36m ; C 32m ; D 40m Câu 7: Hai tam giác vuông cân, tam giác thứ có độ dài cạnh góc vuông là 8cm, tỉ số chu vi tam giác thứ và tam giác thứ hai là ; Vậy độ dài cạnh huyền tam giác thứ hai là: A 24 cm B.12 cm C ; ; ; cm D.14,2 cm Câu 8: Hai tam giác vuông cân, độ dài cạnh huyền tam giác thứ gấp lần độ dài cạnh huyền tam giác thứ hai Gọi S1, S2 là diện tích tam giác tam giác thứ và tam giác thứ hai, câu nào sau đây đúng? A S1 = 3S2 B S2 = 3S1 C S1 = 9S2 D S2= 9S1 Câu 9: Cho tam giác ABC, độ dài cạnh là 12cm và tam giác A’B’C’ Gọi S1, S2 là diện tích ∆ABC vaø ∆ A’B’C’ Cho biết S1 = 9S2 Vậy độ dài cạnh tam giác A’B’C’ là: A 12 ; B 4cm ; C.36cm ; D.108cm Câu 10: Tỉ số hai cạnh tương ứng hai tam giác đồng dạng là ; Chu vi tam giác thứ là 16cm, thì chu vi tam giác thứ hai là:A.8cm ; B.16cm ; C.32cm ; D Đáp số khác Câu 11: Tỉ số hai cạnh tương ứng hai tam giác đồng dạng là ; Diện tích tam giác thứ là 20cm2 , thì diện tích tam giác thứ hai là: A 40cm2 ; B 60cm2 ; C 90cm2 ; D Đáp số khác Câu 12: Công thức Sxq = 2p.h, đó p là nửa chu vi đáy, h là chiều cao là công thức tính dtích xung quanh cuûa:Web side xem điểm: http://BuonHo.net Trang4Trường THCS Nguyễn Đề cương ôn tập cuối năm – Môn Toán A Hình lăng trụ đứng ; B Hình hộp chữ nhật C Hình lập phương; D Cả câu đúng Caâu 13: Moät hình laäp phöông coù caïnh laø 3cm Vaäy theå tích cuûa hình laäp phöông laø: A 9cm2 B 18cm2 C 27cm2 Dương Thị Thuỷ (49) D Moät keát quaû khaùc Câu 14: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy là tam giác ABC vuông A, AB = 6cm,BC =10cm,AA’= 4cm.Diện tích toàn phần hình lăng trụ đứng là: A 96cm2 B 120cm2 C 144cm2 D 192cm2 Câu 15: Một hình lập phương có diện tích toàn phần là 600mm2 Thể tích hình lập phương là bao nhiêu? A 100mm3 B 1000cm3 C 1200m3 D 3600cm3 B/ Bài tập: Bài 1/ Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Chứng minh tam giác AHB đồng dạng với tam giác AHC Bài 2/ Cho tam giác ABC Trên cạnh AB và AC lấy hai điểm M và N Biết AM = 3cm, MB = 2cm, AN = 7,5cm, NC = 5cm a) Chứng minh MN // BC b) Gọi I là trung điểm BC, K là giao điểm AI và MN.Chứng minh K là trung điểm MN Bài 3/ Hình thang ABCD (AB // CD) có AB =2,5 cm, AD = 3,5 cm, BD = cm, DAB = DBC a) Chứng minh ∆ADB ∆ BCD b) Tính độ dài các cạnh BC, CD Bài 4/ Cho tam giác vuông ABC ( = 900), AB = 12 cm, AC = 16 cm Tia phân giác góc A cắt BC D, AH là đường cao tam giác ABC a) Tính tỉ số diện tích hai tam giác ABD và ACD b) Tính BC, BD, CD, AH Bài 5/ Trên cạnh góc có đỉnh là A đặt đoạn thẳng AE = cm, AC = cm Trên cạnh đặt các đoạn thẳng AD = cm, AF = cm a) Hỏi tam giác ACD và tam giác AEF có đồng dạng không? Vì sao? b) Gọi I là giao điểm CD và EF Tính tỉ số chu vi hai tam giác IDF và IEC Bài 6/ Cho tam giác ABC vuông A, AC = cm, BC = cm Kẻ tia Cx BC ( tia Cx và điểm A khác phía so với đường thẳng BC), lấy trên tia Cx điểm D cho BD = cm a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác CDB b) Gọi I là giao điểm AD và BC Tính IB, IC Bài 7/ Cho hình chữ nhật ABCD có hai AB = cm, BC = cm Vẽ đường cao AH tam giác ADB a) Chứng minh Tam giác AHB và tam giác ADB đồng dạng b) Chứng minh AD2 = DH DB c) Tính DH và AH Bài 8: Cho ∆ABC cân A, có AB = AC = 100cm, BC = 120cm, hai đường cao AD, BE cắt H a/ Tìm các tam giác đồng dạng với tam giác BDH; b/ Tính độ dài các đoạn HD, AH, BH, HE Bài 9: Cho ∆ABC vuông A, AB = 6cm, AC = 8cm, đường cao AH, đường phân giác BD a/ Tính độ dài các đoạn AD, DC; b/ Gọi I là giao điểm AH và BD Chứng minh AB.BI = BD.HB; c/ Chúng minh tam giác AID là tam giác cân Bài 10: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD) Đường cao BH chia cạnh đáy CD thành hai đoạn DH = 16cm, HC = 9cm Biết BD ⊥ BC a/ Tính đường chéo AC và BD hình thang; Dương Thị Thuỷ (50) b/ Tính diện tích hình thang; c/ Tính chu vi hình thang Bài 11: Cho ∆ABC vuông A có AB = 8cm, AC = 15cm, đuờng cao AH a/ Tính BC, AH; b/ Gọi M, N là hình chiếu H nên AB, AC Tứ giác AMNH là hình gì? Tính độ dài MN c/ Chứng minh A M.AB = AN.AC Bài 12: Cho tam giác ABC vuông A, trung tuyến BD Phân giác góc ADB và góc BDC cắt AB, BC M và N Biết AB = 8cm, AD = 6cm a/ Tính độ dài các đoạn BD, BM; b/ Chứng minh MN // AC; Web side xem điểm: http://BuonHo.net Trang5Trường THCS Nguyễn Trường Tộ – Đề cương ôn tập cuối năm – Môn Toán c/ Tứ giác MNCA là hình gì? Tính diện tích tứ giác đó Bài 13: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 36cm,AD = 24cm,E là trung điểm AB.Tia DE cắt AC F cắt CB G a/ Tính độ dài các đoạn DE, DG, DF; b/ Chứng minh rằng: FD2 = FE.FG Bài 14: Cho VABC vuông A ; AB = 48 cm ; AC = 64cm Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = 27 cm ; trên tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = 36 cm a/ Chứng minh VABC đồng dạng VADE b/ Tính độ dài các đoạn BC ; DE c/ Chứng minh DE // BC d/ Chứng minh EB ⊥ BC Bài 15: Cho VABC ( AB < AC ), Phân giác AD Trên nưả mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A , vẽ tia Cx cho · · BCx BAD = Goïi I laø trung ñieåm cuûa Cx vaø AD Chứng minh : a/ VADB đồng dạng với VACI ; VADB đồng dạng với VCDI b/ AD2 = AB.AC – DB.DC Baøi 16: Bài 17: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, có các cạnh 5cm Gọi O và O’ là giao điểm caùc đường chéo AC vớt BC và A’B’ với C’D’ a/ Tính diện tích toàn phần và thể tích hình lập phương; b/ Tính theå tích cuûa hình choùp O’.ABCD; c/ Tính theå tích cuûa hính choùp B’.ABC Baøi 18: Baøi 19: Web side xem điểm: http://BuonHo.net Trang6 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân vớt độ dài caïnh goùc vuoâng laø AB = AC = 6cm vaø chieàu cao cuûa laêng truï laø AA’ = 12cm Tính: Diện tích xung quanh; diện tích toàn phần; Thể tích lăng trụ Hình bên biểu diễn hình chóp cụt Biết AD = 6dm, A’B’ = 3dm, SO’ = 4,5dm, O’O = 4,5dm Tính theå tích hình choùp cuït Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh AB = 8cm, cạnh bên SA = 5cm Dương Thị Thuỷ (51) a/ Tính trung đoạn SH hình chóp; b/ Tính đường cao SO hình chóp; c/ Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích hình chóp DẠNG I: Giải các phương trình sau Bài a) 2x +1 = 15-5x d/ 2x + = 20 – 3x b/ 3x – = 2x + e/- 4x + = g/ x(2x – 1) = h/ 3x – = x + j/ 2(x +1) = 5x - k) 2x + = m) 2x - = n) 4x + 20 = p) 15 - 7x = - 3x Bài c) 7(x - 2) = 5(3x + 1) f/ x – = 18 - 5x x −4 16 x+ = i/ x +1 x − −2 x − = −x l) x−5 3− x o/ + = x 1 x r) 2x x4 q) + x = )( 2y + ) = c) 4y2 +1= 4y d) y2 – 2y = 80 g) (2y – 1)2 – (y + 3)2 = h) 2y2 11y = i) (2y - 3)(y +1)+ y(y - 2) = 3(y +2) j) (y ❑2 - 2y + 1) – = Bµi x x 5( x 2) |x − 3|=x −1 x x 2x a) b) c) d) a) y(y2-1) = y2 - 5y + = b) y( y - x 3 e) ¿ x −5∨¿ i) |x − 3|=x −1 Bài x −3 x +2 + =2 a) x −2 x f) x x − x +3 − = d) x +1 x − x −1 x −1 x −2 + =2 f/ x x+1 b/ ( x – ) ( g) |x +5| = 3x - 2 x–6)=0 x +3 x −2 + − =5 =2 i) x +1 x x +1 x −1 2x x + =1+ x − x +1 ( x −1 ) ( x +1 ) x −11 x −1 x+5 − = − =1 k) l) x +1 x −2 ( x +1)(x −2) x −1 x −3 h) n) x+ 2 − = x −2 x x( x −2) o) x −2 +¿ x+ x2 −11 = x −2 x − h) x x 2 x x −3 x +2 + =2 x −2 x x x 2 x g) x c/ j) m) x 4 x 2x p) x 1 x x 2 2x x −5 x −x x 7x −3x + = − = q) x −1 x +2 x −3 x +3 x+3 x − 9− x DẠNG II: Giải bất phương trình và biểu diễn tập hợp nghiệm trên trục số Bài 1: Giải bất phương trình sau và biểu diễn tập hợp nghiệm trên trục số p) Dương Thị Thuỷ (52) a) x − x −7 ≥ 2 x +2 3 x − + < 10 g) − x <20 3( x 1) x2 1 j) x 1 x 1 10 l) >1 n) x −1 b)3x – (7x + 2) > 5x + d) q) 3x + > 2x +3 e) 2x + h) x 1 x c) - <1 f)2x – ≥ x − x+1 > i) – + 2x < k) 2x + 3( x – ) < 5x – ( 2x – ) m) 2(2x - )( x + ) < ( x - )2 + o) x(x - 2) – (x + 1)(x + 2) <12 r) 3x- x +2 3( x − 2) ≤ +5 − x p) 5x - (10x - ) > - 2x s) 4x - 3(3x - ) - 2x + x +2 3 x − 2−x 3−2x + < < u) 3x – (7x + 2) > 5x + v) 10 Bài a) Tìm x cho giá trị biểu thức 2-5x nhỏ giá trị biểu thức 3(2-x) x −5 b) Cho A = Tìm giá trị x để A dưong x −8 c) Tìm x để phân thức : không âm 5−2x d) Chứng minh : 2x2 + 4x +3 > với x DẠNG III: Giải bài toán cách lập phương trình Bài Hiệu hai số 50.Số này gấp ba lần số Tìm hai số đó ? Bài Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B giờ, và ngược dòng từ bến B đến bến A 5h Tính khoảng cách hai bến , biết vận tốc dòng nước là 2km/h Bài Khu vườn hình chữ nhật có chu vi 82m Chiều dài chiều rộng 11m Tính diện tích khu vườn Bài Một người xe máy từ A đến B với vận tốc 30 km/h Đến B người đó làm việc quay A với vận tốc 24 km/h Biết thời gian tổng cộng hết 30 phút Tính quãng đường AB Bài Một người xe đạp từ A đén B với vận tốc trung bình 12km/h Khi từ B đến A Người đó với vận tốc trung bình là 10 km/h, nên thời gian nhiều thời gian là 15 phút Tính độ dài quảng đường AB ? Bài Lúc 7giờ Một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách 36km quay bên A lúc 11giờ 30 phút Tính vận tốc ca nô xuôi dòng Biết vận tốc nước chảy là 6km/h ( 2đ) Bài Một người xe đạp từ địa điểm A đến địa điểm B với vận tốc 15km/h và sau đó quay trở từ B đến A với vận tố12km/h Cả lẫn 4giờ30 phút Tính chiều dài quãng đường ? Bài Tổng số học sinh hai lớp 8A và 8B là 78 em Nếu chuyển em tờ lớp 8A qua lớp 8B thì số học sinh hai lớp Tính số học sinh lớp? Bài Hai thùng dầu A và B có tất 100 lít Nếu chuyển từ thùng A qua thùng B 18 lít thì số lượng dầu hai thùng Tính số lượng dầu thùng lúc đầu Bài 10 Tổng hai chồng sách là 90 Nếu chuyển từ chồng thứ hai sang chồng thứ 10 thì số sách chồng thứ gấp đôi chồng thứ hai Tìm số sách chồng lúc ban đàu Bài 11 Một xe ô tô từ A đến B hết 3g12ph Nếu vận tốc tăng thêm 10km/h thì đến B sớm 32ph Tính quãng đường AB và vận tốc ban đầu xe ? Bài 12 Lúc sáng, canô xuôi dòng từ bến A đến bến B, cách 36km, quay trở và đến bến A lúc 11 30 phút Tính vận tốc ca nô xuôi dòng, biết vận tốc nước chảy là 6km/h Bài 13 Một người từ A đến B ,nếu xe máy thì thời gian là 3giờ 30 phút , còn ô tô t) Dương Thị Thuỷ (53) thì thời gian là 30 phút Tính quãng đường AB ,biết vận tốc ôtô lớn vận tốc xe máy là 20 km /h Bài 14 Một đoàn tàu từ A đến B với vận tốc 45 km/h Lúc đoàn tàu đó với vận tốc 35 km/h, nên thời gian nhiều thời gian là 12 phút Tính quãng đưòng AB Bài 15 Một xe máy từ A đến B với vận tốc 25km/h Lúc người đó với vận tốc 30km/h nên thời gian ít thời gian là 20’ Tính quảng đường AB Bài 16 Một bạn học sinh học từ nhà đến trường với vận tốc trung bình km/h Sau 2/3 quãng đường bạn đã tăng vận tốc lên km/h Tính quãng đường từ nhà đến trường bạn học sinh đó , biết thời gian bạn từ nhà đến trường là 28 phút Bài 17 Một hình chữ nhật có độ dài cạnh 5cm và độ dài đường chéo 13cm Tính diện tích hình chữ nhật đó Bài 18 Có 15 gồm hai loại : loại I giá 2000 đồng , loại II giá 1500 đồng Số tiền mua 15 là 26000 đồng Hỏi có loại ? DẠNG IV: Các bài toán hình học phẳng Bài Cho tam giác ABC vuông A AB = 15cm, AC = 20cm.Vẽ tia Ax//BC và tia By vuông góc với BC B, tia Ax cắt By D a, Chứng minh ∆ ABC ∆ DAB b Tính BC, DA, DB C AB cắt CD I Tính diện tích ∆ BIC Bài Cho hình chữ nhật có AB = 8cm; BC = 6cm Vẽ đường cao AH tam giác ADB a/ Chứng minh tam giác AHB đồng dạng tam giác BCD b/ Chứng minh AD2 = DH.DB c/ Tính độ dài đoạn thẳng DH, AH Bài Cho tam giác ABC vuông A có AB = 6cm, AC = cm Trên tia đối AB lấy điểm D cho AD = 1/3AB Kẻ DH vuông góc với BC a/ Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBD b/ Tính BC, HB, HD, HC c/ Gọi K là giao điểm DH và AC Tính tỉ số diện tích AKD và ABC Bài Cho tam giác ABC cân A và M là trung điểm BC Lấy các điểm D,E theo thứ tự thuộc các cạnh AB, AC cho góc DME góc B a/ Chứng minh Δ BDM đồng dạng với Δ CME b/ Chứng minh BD.CE không đổi c/ Chứng minh DM là phân giác góc BDE Bài Cho Δ ABC vuông A có đường cao AH Cho biết AB=15cm, AH=12cm \a) Chứng minh Δ AHB, ΔCHA đồng dạng \b) Tính độ dài đoạn thẳng HB;HC;AC \c) Trên cạnh AC lấy điểm E cho CE=5cm ;trên cạnh BC lấy điểm F cho CF = 4cm.Chứng minh Δ CEF vuông \d) Chứng minh :CE.CA = CF Bài Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm, BC = 6cm AH là đường cao ADB a) Chứng minh tam giác AHB đồng dạng tam giác BCD b) Chứng minh AD2 = DH.DB c) Tính độ dài đoạn thẳng DH, AH Bài Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH a) Tìm AD ? Biết AB=6cm AC= 8cm b) Chứng minh : Δ ABC đồng dạng với ΔDBF c) Chứng minh : DF EC = FA.AE Bài : Cho hình thang ABCD (AB // CD) có góc DAB DBC và AD = 3cm, AB = 5cm, BC = 4cm a) Chứng minh tam giác DAB đồng dạng với tam giác CBD b) Tính độ dài DB, DC c) Tính diện tích hình thang ABCD, biết diện tích tam giácABD 5cm2 Bài Cho Δ ABC vuông A,vẽ đường cao AH Δ ABC a) Chứng minh Δ ABH đồng dạng với Δ CBA b) Tính độ dài BC,AH,BH Biết AB=15cm,AC=20cm c) Gọi E,Flà hai điểm đối xứng H qua AB và AC Tính diện tích tứ giác EFCB Dương Thị Thuỷ (54) Bài 11 Cho Δ ABC có AB=12cm, AC= 15cm, BC = 16cm Trên cạnh AB lấy điểm M cho AM =3cm Từ M kẻ đường thẳng // với BC cắt AC N, cắt trung tuyến AI K a/ Tính độ dài MN b/ Chứng minh K là trung điểm MN c/ Trên tia MN lấy điểm P cho MP= 8cm Nối PI cắt AC Q c/m ΔQIC đồng dạng với Δ AMN Bài 12 Cho hình thang ABCD có = D =90º Hai đường chéo AC và BD vuông góc với I Chứng minh : a / ΔABD ~ ∆DAC Suy AD2 = AB DC b/ Gọi E là hình chiếu B xuống DC và O là trung điểm BD Chứng minh ba điểm A, O , E thẳng hàng c/ Tính tỉ số diện tích hai tam giác AIB và DIC.? d) Chứng minh tam giác DAB đồng dạng với tam giác CBD e) Tính độ dài DB, DC Bài 15 Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) có góc DAB góc DBC và AD= 3cm, AB = 5cm, BC = 4cm a/ Chứng minh tam giác DAB đồng dạng với tam giác CBD b/ Tính độ dài DB, DC c/ Tính diện tích hình thang ABCD, biết diện tích tam giácABD 5cm2 Bài 16 Cho tam giác ABC, có  = 900, BD là trung tuyến DM là phân giác góc ADB, DN là phân giác góc BDC (M AB, N BC) a/ Tính MA biết AD = 6, BD = 10, MB = b/ Chứng minh MN // AC c/ Tinh tỉ số diện tích tam giác ABC và diện tích tứ giác AMNC Bài 17 Cho tam giác ABC cân A Vẽ các đường cao BH và CK ( H AC , K AB) a/ Chứng minh BKC CHB theo tí số đồng dạng b/ Chứng minh KH // BC c/Cho biết BC = a , AB = AC =b Tính độ dài đoạn thẳng HK theo a và b Bài 18 Cho tam giác ABC vuông A, có AB = 3cm, AC = 5cm , đường phân giác AD Đường vuông góc với DC cắt AC E e) Chứng minh tam giác ABC và tam giác DEC đồng dạng f) Tính độ dài các đoạn thẳng BC , BD g) Tính độ dài AD h) Tính diện tích tam giác ABC và diện tích tứ giác ABDE Bài 19 Cho tam giác ABC vuông tai A có AB = cm; AC = 8cm Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B vẽ tia Ax song song với BC Từ C vẽ CD Ax ( D ) 1) Chứng minh hai tam giác ADC và CAB đồng dạng 2) Tính DC 3) BD cắt AC I Tính diện tích tam giác BIC Bài 20 Cho ABC vuông A có AB = 9cm ; BC = 15cm Lấy M thuộc BC cho CM = 4cm , vẽ Mx vuông góc với BC cắt AC N a/Chứng minh CMN đồng dạng với CAB , suy CM.AB = MN.CA b/Tính MN c/Tính tỉ số diện tích CMN và diện tích CAB Bài 21 Cho hình thang cân ABCD có AB// CD và AB< CD, đường chéo BD vuông góc với cạnh bên BC.Vẽ Đường cao BH Δ HBC a/ Chứng minh Δ BDCS b/ Cho BC =15; DC =25.Tính HC, HD c/ Tính diện tích hình thang ABCD 2)Cho hình thoi có độ dài hai đường chéo là d1= cm và d2= cm.Tìm diện tích S và chiều cao h hình thoi đó? ( 1đ ) Δ ABC Bài 22 cho vuông A có AB> AC , M là điểm tuỳ ý trên BC Qua M kẻ Mx ⊥ BC và cắt AB I cắt CA D Δ MDC a) Chứng minh Δ ABC Dương Thị Thuỷ (55) B) Chứng minh : BI BA =BM BC S 60cm C) Cho góc ACB = 60 và CDB Tính S ΔCMA DẠNG V: Các bài toán hình học ko gian Bài 1Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy AB = 20 cm, cạnh bên SA= 24 cm a/ Tính chiều cao SO tính thể tích hình chóp b/ Tính diện tích toàn phần hình chóp Bài Cho hình lăng trụ đứng đáy là tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông là 3cm và 4cm.Thể tích hình lăng trụ là 60cm ❑2 Tìm chiều cao hình lăng trụ ? Bài Một hình hộp chữ nhật có chiều dài là 10cm , chiều rộng là 8cm , chiều cao là 5cm Tính thể tích hình hộp chữ nhật đó Bài a) Một hình hộp chữ nhật có chiều dài là 10cm , chiều rộng là 8cm , chiều cao là 5cm Tính thể tích hình hộp chữ nhật đó b) Cho hình hộp chữ nhật có các kích thước là cm; cm; 5cm Tính diện tích xung quanh và thể tích hình hộp chữ nhật đó là Bài Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước 3cm,4cm,và 6cm.Tính diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật Bài Tính diện tích toàn phần hình lăng trụ đứng có chiều cao 6m đáy là tam giác vuông có cạnh góc vuông là 3cmvà 4cm Bài Một hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông ( hình vẽ ) Độ dài A' C' hai cạnh góc vuông đáy là 5cm, 12cm , chiều cao lăng trụ là 8cm Tính diện tích xung quanh và thể tích hình lăng trụ đó 8cm B' Bài Một lăng trụ đứng có chiều cao cm, đáy là tam giác vuông có hai cạnh A góc vuông là 3cm và cm C 5cm 12cm a) Tìm diện tích xung quanh hình lăng trụ B b) Tìm thể tích hình lăng trụ Bài Cho hình chóp tứ giác có độ dài cạnh tứ giác đáy cm và độ dài đường cao cm Tính thể tích hình chóp đó DẠNG VI: Các bài toán rút gọn biểu thức Bài 1: x +2 x −5 x −8 + − a) 3x 5x 4x 2x − : 3+ 1−x x − x+3 x −3 x +2 − + d) x +3 x + x − − x ( Dương Thị Thuỷ )( b) x −3 x −1 : x x2 c) ) e) x ( x+5x − 5−5 x +10x −25 ).( 1− 5x ) (56)