Chuyen de tiep tuyen

Để giúp các em học sinh ôn luyện thi một cách có hệ thống và đạt được kết quả cao trong các kỳ thi, trong thời gian qua từ kinh nghiệm giảng dạy và đọc các sách tham khảo chúng tôi viết [r]

LỜI NÓI ĐẦU Trong chương trình môn toán lớp 12, bài toán tiếp tuyến đồ thị hàm số đóng vai trò quan trọng phần hàm số và đồ thị, bài toán tiếp tuyến thường xuyên có mặt các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông và các đề thi vào đại học và cao đẳng Để giúp các em học sinh ôn luyện thi cách có hệ thống và đạt kết cao các kỳ thi, thời gian qua từ kinh nghiệm giảng dạy và đọc các sách tham khảo chúng tôi viết chuyên đề nhỏ “Các bài toán tiếp tuyến đồ thị hàm số” Do kinh nghiệm còn hạn chế nên không thể tránh khỏi thiếu sót, mong đóng góp bổ sung bạn đọc để đề tài hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn Tổ toán trường THPT Quế Võ số PHẦN I: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Cho hàm số: y = f(x) có đồ thị là (C), điểm Mo(xo ; f(xo))  (C) 1) Ý nghĩa hình học đạo hàm: Đạo hàm hàm số y = f(x) điểm xo là hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số đó điểm Mo(xo ; f(xo)) 2) Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm Mo(xo ; f(xo)) là: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm điểm xo thì tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm Mo(xo ; f(xo)) có phương trình là: y  f '( x0 ).( x  x0 )  f ( x0 ) 3) Điều kiện để hai đồ thị hàm số tiếp xúc nhau: a) Định nghĩa: Giả sử hai hàm số f và g có đạo hàm điểm x0 Ta nói hai đường cong y  f ( x ) và y g ( x) tiếp xúc với điểm M ( x0 ; y0 ) M là điểm chung chúng và hai đường cong có tiếp tuyến chung M Điểm M gọi là tiếp điểm hai đường cong đã cho b) Điều kiện để hai đồ thị tiếp xúc nhau: Hai đường cong y  f ( x ) và y g ( x) tiếp xúc với và  f ( x) g ( x)  f '( x) g '( x) hệ phương trình sau có nghiệm:  ( Nghiệm hệ phương trình trên là hoành độ tiếp điểm) PHẦN II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI Bài toán 1: ( Biết tọa độ tiếp điểm) Cho đồ thị (C) hàm số y  f ( x ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm M ( x0 ; f ( x0 )) Cách giải: +) Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) có dạng: y  f '( x0 ).( x  x0 )  f ( x0 ) +) Tính f '( x) và tính f '( x0 ) +) Viết phương trình tiếp tuyến cần lập Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho hàm số y x  x  (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm A(0; 2) Bài giải: Ta thấy A(0;2)  (C) Ta có: y ' 3x  ; y '(0)  Phương trình tiếp tuyến cần lập là: y  x  Ví dụ 2: Cho hàm số y x  x  x , có đồ thị là (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm trên đồ thị có hoành độ x = Bài giải: Gọi điểm M ( x; y )  (C )    y 2 x 2  Ta có: y ' 3x  12 x ; y '(2)  Phương trình tiếp tuyến cần lập là: y  3( x  2)   y  3x   x2  x y x 1 Ví dụ 3: Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số các giao điểm đồ thị với trục hoành Bài giải: Hoành độ giao điểm đồ thị với trục hoành là nghiệm  x 0  x2  x 0   x 1  phương trình: x   x2  x  y'  ( x  1) Ta có: y '(0) 1; y '(1)  Các phương trình tiếp tuyến cần lập là: y x y  Nhận xét: 1 x 2 Khi viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số dạng này cần kiểm tra xem điểm đã cho thuộc đồ thị hàm số chưa? Nếu cho hoành độ điểm thì phải tìm tung độ còn cho tung độ thì phải tìm hoành độ Bài tập tương tự: 1) Cho hàm số y x  x Viết phương trinh tiếp tuyến đồ thị điểm trên đồ thị có tung độ y=-4 2) Cho hàm số y  x  x  Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm là tâm dối xứng đồ thị hàm số 3) Cho hàm số y x  x  Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm cực đại đồ thị hàm số Bài toán 2: ( Biết hệ số góc) Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị là (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết hệ số góc là k Cách giải: +) Tính y '  f '( x) +) Hoành độ tiếp điểm x0 là nghiệm phương trình: f '( x0 ) k +) Giải phương trình tìm x0, từ đó tìm , từ đó tìm y0  f  x0  +) Viết phương trình tiếp tuyến cần lập: y k ( x  x0 )  y0 Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho hàm số y 2x 1 x Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y  x  Bài giải: Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y  x  nên có hệ số góc là: k = -3 y'  Ta có 3 ( x  1) ; x 1 3  ( x  1) Hoành độ tiếp điểm x0 là nghiệm phương trình:  x0 0  ( x0  1)2 1    x0 2 Với x0 =  y0  y (0)  , phương trình tiếp tuyến cần lập là: y  x  Với x0 = y0  y (2) 5 , phương trình tiếp tuyến cần lập là: y  3( x  2)   y  3x  11 y  x3  x  3x Ví dụ 2: Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y  x 1 Bài giải: Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y  x 1 nên có hệ số góc k = Ta có: y ' x  x  Hoành độ tiếp điểm x0 là nghiệm phương trình: x  x  3  x 0  x  x 0    x 4 Với x0 0  y0 0 , phương trình tiếp tuyến cần lập là: y 3 x Với x0 = y 3( x  4)   y0  , phương trình tiếp tuyến cần lập là: 32 y 3 x  hay y  x3  x  3 Ví dụ 3: Cho hàm số Tìm trên đồ thị điểm mà đó tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y  x 3 Bài giải: Từ giả thiết ta có hệ số góc tiếp tuyến cần lập là: k = Ta có y ' x  Hoành độ tiếp điểm x0 là nghiệm phương trình:  x0  x0  3    x0 2 Với x = -2, ta có y = Với x = 2, ta có y 4 ( 2;0); (2; ) Vậy có hai điểm cần tìm: Ví dụ 4: Cho hàm số: y 2 x  x  Tìm trên đồ thị điểm mà đó hệ số góc tiếp tuyến đạt giá trị nhỏ Bài giải: Ta có y ' 6 x  x 1   x2  x    4 =  1 3   x     2 2 = 6 Vậy hệ số góc tiếp tuyến đồ thị đã cho nhỏ x   đạt  1   ;  Điểm cần tìm là:  2  Nhận xét: Dựa vào bài toán tiếp tuyến biết hệ số góc ta tìm tiếp điểm đồ thị hàm số với tiếp tuyến Bài tập tương tự: 1) Cho hàm số y x  x  Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y 3 x  13 y  x3  x  2) Cho hàm số Trong tất các tiếp tuyến đồ thị hàm số hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ y  x  x  3x 3) Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm là tâm đối xứng đồ thị và chứng minh tiếp tuyến đó có hệ số góc nhỏ Bài toán 3: (Biết qua điểm) Cho hàm số y  f ( x ) , viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua điểm M ( x1; y1 ) Cách giải: Cách 1: (Dùng điều kiện tiếp xúc) +) Lập phương trình đường thẳng d qua điểm M ( x1; y1 ) và có hệ số góc k : y k ( x  x1 )  y1 +) Đường thẳng d là tiếp tuyến đồ thị hàm số và hệ phương trình sau có nghiệm:  f ( x) k ( x  x1 )  y1   f '( x) k +) Giải hệ phương trình tìm x và k suy phương trình tiếp tuyến (Nghiệm x hệ chính là hoành độ tiếp điểm) Cách 2: +) Gọi tọa độ tiếp điểm là: ( x0 ; f ( x0 )) Thì phương trình tiếp tuyến có dạng: y  f '( x0 ).( x  x0 )  f ( x0 ) +) Vì tiếp tuyến qua điểm M ( x1; y1 ) nên ta có: y1  f '( x0 ).( x1  x0 )  f ( x0 ) +) Giải phương trình tìm x0  f ( x0 ) suy phương trình tiếp tuyến cần lập Các ví dụ: y  x  x  Viết phương trình đồ Ví dụ 1: Cho hàm số thị hàm số qua điểm A( 1; 0) Bài giải: Đường thẳng d qua điểm A( 1; 0), hệ số góc k phương trình có dạng: y k ( x  1) Đường thẳng d là tiếp tuyến đồ thị hàm số và hệ  x  3x  k ( x  1)  phương trình sau có nghiệm: 3x  x k Thế k từ phương trình (2) vào phương trình (1) ta được: x3  3x  (3 x  x).( x  1)  ( x  1).(2 x  x  2) 0  x 1 Với x = 1, ta k = - Vậy phương trình tiếp tuyến cần lập là: y  3x  Nhận xét: Thấy A( 1; 0) thuộc đồ thị hàm số nên hệ phương trình luôn có nghiệm x = Ví dụ 2: Cho hàm số y x  x Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số kẻ từ điểm M( - 1; 2) Bài giải: Đường thẳng d qua điểm M( - 1; 2), hệ số góc k có phương trình là: y k ( x  1)  Đường thẳng d là tiếp tuyến đồ thị hàm số  hệ phương trình  x3  x k ( x  1)   sau có nghiệm: 3x  k Giải hệ tìm : x  1, k 0 x  , k   y 2   y  x  4 Vậy các phương trình tiếp tuyến cần lập là:  Ví dụ 3: Cho hàm số y 2 x  x  12 x  Tìm điểm M trên đồ thị hàm số cho tiếp tuyến đồ thị hàm M qua gốc tọa độ Bài giải: Đường thẳng d qua gốc 0(0; 0), hệ số góc k phương trình có dạng: y kx Đường thẳng d là tiếp tuyến đồ thị hàm số  hệ phương trình 2 x  x  12 x  kx  sau có nghiệm: 6 x  x  12 k Giải hệ tìm x   y  f (  1) 12 Vậy điểm cần tìm là: M (  1;12) Ví dụ 4: Cho hàm số y x  x  Tìm điểm trên trục tung cho qua điểm đó có thể kẻ tiếp tuyến với đồ thị hàm số Bài giải: Gọi điểm M (0; b)  oy Đường thẳng qua điểm M, hệ số góc k phương trình có dạng: y kx  b Đường thẳng là tiếp tuyến  hệ phương trình sau có nghiệm:  x  x  kx  b  4 x  x k Dùng phương pháp ta phương trình: x  x  b  0 (*) Để kẻ đúng tiếp tuyến đến đồ thị hàm số thì phương trình (*) phải có đúng nghiệm phân biệt Đưa phương trình (*) pt: 3t  t  b  0 (**) Để thỏa mãn bài toán thì pt(**) phải có nghiệm: t1  t2   12b  13      b  0  b 1  1   g (0) 0  0 S   3 Vậy điểm cần tìm là: M (0;1) Ví dụ 5: Cho hàm số y x 1 x Tìm trên trục tung điểm mà từ đó kẻ đúng tiếp tuyến đến đồ thị hàm số Bài giải: Gọi điểm M (0; b)  oy Đường thẳng qua điểm M, hệ số góc k phương trình có dạng: y kx  b Đường thẳng là tiếp tuyến  hệ phương trình sau có nghiệm:  x 1  x  kx  b   k  ( x  1) Dùng phương pháp đưa phương trình: (b  1) x  2(b  1) x  b  0 (*) Để kẻ đúng tiếp tuyến đến đồ thị hàm số thì phương trình (*) phải có đúng nghiệm khác 1 +) Nếu b 1: Phương trình (*) có đúng nghiệm x = +) Nếu b = 1: Phương trình (*) có đúng nghiệm   '    g (1) 0   b    '     g (1) 0 Vậy điểm cần tìm là: M (0;1); M (0;  1) Bài tập tương tự: 1) Cho hàm số y x  x  Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số qua điểm M(0; 4) y  x3  x 2) Cho hàm số Viết phương trình các tiếp tuyến đồ thị hàm số xuất phát từ điểm A(3; 0) y  x3  3x 3) Cho hàm số Cho điểm M thuộc đồ thị hàm số có hoành độ x 2 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và là tiếp tuyến đồ thị hàm số 4) Tìm trên trục hoành các điểm cho từ đó kẻ đúng tiếp tuyến đến đồ thị hàm số: y x2  x  x2 x2  y x Viết phương trình các tiếp tuyến 5) Cho đồ thị hàm số đồ thị hàm số kẻ từ điểm A(  2;0) Kiểm nghiệm các tiếp tuyến đó vuông góc với x 