Bai giang gioi han va dao ham

Định nghĩa Ta nói rằng dãy số un có giới hạn 0 nếu với mọi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dươ[r]

Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Chuyên đề toán phổ thông Phạm Đào Thanh Tú Giới hạn và đạo hàm Ngày 25 tháng năm 2012 Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Chương Giới hạn Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục Chương Đạo hàm Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm các hàm lượng giác Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục Giới hạn dãy số • Dãy số có giới hạn Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục Giới hạn dãy số • Dãy số có giới hạn Định nghĩa Ta nói dãy số (un ) có giới hạn với số dương nhỏ tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương đó Khi đó ta viết lim un = hay lim un = n→∞ Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục Giới hạn dãy số • Dãy số có giới hạn Định nghĩa Ta nói dãy số (un ) có giới hạn với số dương nhỏ tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương đó Khi đó ta viết lim un = hay lim un = n→∞ • Dãy số có giới hạn hữu hạn Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục Giới hạn dãy số • Dãy số có giới hạn Định nghĩa Ta nói dãy số (un ) có giới hạn với số dương nhỏ tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương đó Khi đó ta viết lim un = hay lim un = n→∞ • Dãy số có giới hạn hữu hạn • Dãy số có giới hạn vô cực Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục Giới hạn dãy số • Dãy số có giới hạn Định nghĩa Ta nói dãy số (un ) có giới hạn với số dương nhỏ tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương đó Khi đó ta viết lim un = hay lim un = n→∞ • Dãy số có giới hạn hữu hạn • Dãy số có giới hạn vô cực Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục Giới hạn hàm số I Các định nghĩa giới hạn hàm số: Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục Giới hạn hàm số I Các định nghĩa giới hạn hàm số: • Giới hạn hàm số điểm Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục Giới hạn hàm số I Các định nghĩa giới hạn hàm số: • Giới hạn hàm số điểm Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục Giới hạn hàm số I Các định nghĩa giới hạn hàm số: • Giới hạn hàm số điểm Định nghĩa Giả sử (a; b) là khoảng chứa điểm x0 và f là hàm số xác định trên tập hợp (a; b)\{x0 } Ta nói hàm số f có giới hạn là số thực L x dần đến x0 (hoặc điểm x0 với dãy số (xn ) tập hợp (a; b)\{x0 } mà lim xn = x0 ta có lim f (xn ) = L Khi đó ta viết lim f (x) = L x→x0 Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục Giới hạn hàm số I Các định nghĩa giới hạn hàm số: • Giới hạn hàm số điểm Định nghĩa Giả sử (a; b) là khoảng chứa điểm x0 và f là hàm số xác định trên tập hợp (a; b)\{x0 } Ta nói hàm số f có giới hạn là số thực L x dần đến x0 (hoặc điểm x0 với dãy số (xn ) tập hợp (a; b)\{x0 } mà lim xn = x0 ta có lim f (xn ) = L Khi đó ta viết lim f (x) = L x→x0 • Giới hạn hàm số vô cực Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục I Một số định lý giới hạn hữu hạn: Giả sử lim f (x) = L và lim g(x) = M , L, M ∈ R Khi đó: x→x0 x→x0 Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục I Một số định lý giới hạn hữu hạn: Giả sử lim f (x) = L và lim g(x) = M , L, M ∈ R Khi đó: x→x0 x→x0 • lim [f (x) + g(x)] = L + M x→x0 Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục I Một số định lý giới hạn hữu hạn: Giả sử lim f (x) = L và lim g(x) = M , L, M ∈ R Khi đó: x→x0 x→x0 • lim [f (x) + g(x)] = L + M x→x0 • lim [f (x) − g(x)] = L − M x→x0 Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục I Một số định lý giới hạn hữu hạn: Giả sử lim f (x) = L và lim g(x) = M , L, M ∈ R Khi đó: x→x0 x→x0 • lim [f (x) + g(x)] = L + M x→x0 • lim [f (x) − g(x)] = L − M x→x0 • lim [f (x).g(x)] = L.M x→x0 Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục I Một số định lý giới hạn hữu hạn: Giả sử lim f (x) = L và lim g(x) = M , L, M ∈ R Khi đó: x→x0 x→x0 • lim [f (x) + g(x)] = L + M x→x0 • lim [f (x) − g(x)] = L − M x→x0 • lim [f (x).g(x)] = L.M x→x0 • Nếu M 6= thì lim x→x0 L f (x) = g(x) M Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục Hàm số liên tục • Hàm số liên tục điểm Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục Hàm số liên tục • Hàm số liên tục điểm Định nghĩa Giả sử hàm số f (x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b) Hàm số f gọi là liên tục điểm x0 lim f (x) = f (x0 ) x→x0 Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục Hàm số liên tục • Hàm số liên tục điểm Định nghĩa Giả sử hàm số f (x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b) Hàm số f gọi là liên tục điểm x0 lim f (x) = f (x0 ) x→x0 Hàm số không liên tục x0 gọi là gián đoạn điểm x0 Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục Hàm số liên tục • Hàm số liên tục điểm Định nghĩa Giả sử hàm số f (x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b) Hàm số f gọi là liên tục điểm x0 lim f (x) = f (x0 ) x→x0 Hàm số không liên tục x0 gọi là gián đoạn điểm x0 • Hàm số liên tục trên khoảng Định lý Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] Nếu f (a) 6= f (b) thì với số thực M nằm f (a) và f (b), tồn ít điểm c ∈ (a; b) cho f (c) = M Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm các hàm lượng giác Khái niệm đạo hàm • Đạo hàm hàm số điểm Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm các hàm lượng giác Khái niệm đạo hàm • Đạo hàm hàm số điểm Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a, b) và x0 ∈ (a, b) f (x) − f (x0 ) Giới hạn hữu hạn (nếu có) tỉ số x → x0 x − x0 gọi là đạo hàm hàm số đã cho điểm x0 , kí hiệu là f (x0 ), nghĩa là f (x0 ) = lim x→x0 f (x) − f (x0 ) x − x0 Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm các hàm lượng giác Khái niệm đạo hàm • Đạo hàm hàm số điểm Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a, b) và x0 ∈ (a, b) f (x) − f (x0 ) Giới hạn hữu hạn (nếu có) tỉ số x → x0 x − x0 gọi là đạo hàm hàm số đã cho điểm x0 , kí hiệu là f (x0 ), nghĩa là f (x0 ) = lim x→x0 f (x) − f (x0 ) x − x0 • Ý nghĩa hình học đạo hàm Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm các hàm lượng giác Khái niệm đạo hàm • Đạo hàm hàm số điểm Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a, b) và x0 ∈ (a, b) f (x) − f (x0 ) Giới hạn hữu hạn (nếu có) tỉ số x → x0 x − x0 gọi là đạo hàm hàm số đã cho điểm x0 , kí hiệu là f (x0 ), nghĩa là f (x0 ) = lim x→x0 f (x) − f (x0 ) x − x0 • Ý nghĩa hình học đạo hàm • Ý nghĩa học đạo hàm Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm các hàm lượng giác Các qui tắc tính đạo hàm • Đạo hàm tổng hay hiệu hai hàm số: Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm các hàm lượng giác Các qui tắc tính đạo hàm • Đạo hàm tổng hay hiệu hai hàm số: Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm các hàm lượng giác Các qui tắc tính đạo hàm • Đạo hàm tổng hay hiệu hai hàm số: [u(x) ± v(x)]0 = Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm các hàm lượng giác Các qui tắc tính đạo hàm • Đạo hàm tổng hay hiệu hai hàm số: [u(x) ± v(x)]0 = u0 (x) ± v (x) Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm các hàm lượng giác Các qui tắc tính đạo hàm • Đạo hàm tổng hay hiệu hai hàm số: [u(x) ± v(x)]0 = u0 (x) ± v (x) • Đạo hàm tích hai hàm số: Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm các hàm lượng giác Các qui tắc tính đạo hàm • Đạo hàm tổng hay hiệu hai hàm số: [u(x) ± v(x)]0 = u0 (x) ± v (x) • Đạo hàm tích hai hàm số: Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm các hàm lượng giác Các qui tắc tính đạo hàm • Đạo hàm tổng hay hiệu hai hàm số: [u(x) ± v(x)]0 = u0 (x) ± v (x) • Đạo hàm tích hai hàm số: [u(x).v(x)]0 = u0 (x)v(x) + u(x)v (x) Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm các hàm lượng giác Các qui tắc tính đạo hàm • Đạo hàm tổng hay hiệu hai hàm số: [u(x) ± v(x)]0 = u0 (x) ± v (x) • Đạo hàm tích hai hàm số: [u(x).v(x)]0 = u0 (x)v(x) + u(x)v (x) • Đạo hàm thương hai hàm số: Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm các hàm lượng giác Các qui tắc tính đạo hàm • Đạo hàm tổng hay hiệu hai hàm số: [u(x) ± v(x)]0 = u0 (x) ± v (x) • Đạo hàm tích hai hàm số: [u(x).v(x)]0 = u0 (x)v(x) + u(x)v (x) • Đạo hàm thương hai hàm số: Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm các hàm lượng giác Các qui tắc tính đạo hàm • Đạo hàm tổng hay hiệu hai hàm số: [u(x) ± v(x)]0 = u0 (x) ± v (x) • Đạo hàm tích hai hàm số: [u(x).v(x)]0 = u0 (x)v(x) + u(x)v (x) • Đạo hàm thương hai hàm số:   u(x) v(x) = Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm các hàm lượng giác Các qui tắc tính đạo hàm • Đạo hàm tổng hay hiệu hai hàm số: [u(x) ± v(x)]0 = u0 (x) ± v (x) • Đạo hàm tích hai hàm số: [u(x).v(x)]0 = u0 (x)v(x) + u(x)v (x) • Đạo hàm thương hai hàm số:   u(x) v(x) = u0 (x)v(x) − u(x)v (x) v (x) Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm các hàm lượng giác Các qui tắc tính đạo hàm • Đạo hàm tổng hay hiệu hai hàm số: [u(x) ± v(x)]0 = u0 (x) ± v (x) • Đạo hàm tích hai hàm số: [u(x).v(x)]0 = u0 (x)v(x) + u(x)v (x) • Đạo hàm thương hai hàm số:   u(x) v(x) = u0 (x)v(x) − u(x)v (x) v (x) • Đạo hàm hàm số hợp: Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm các hàm lượng giác Các qui tắc tính đạo hàm • Đạo hàm tổng hay hiệu hai hàm số: [u(x) ± v(x)]0 = u0 (x) ± v (x) • Đạo hàm tích hai hàm số: [u(x).v(x)]0 = u0 (x)v(x) + u(x)v (x) • Đạo hàm thương hai hàm số:   u(x) v(x) = u0 (x)v(x) − u(x)v (x) v (x) • Đạo hàm hàm số hợp: Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm các hàm lượng giác Các qui tắc tính đạo hàm • Đạo hàm tổng hay hiệu hai hàm số: [u(x) ± v(x)]0 = u0 (x) ± v (x) • Đạo hàm tích hai hàm số: [u(x).v(x)]0 = u0 (x)v(x) + u(x)v (x) • Đạo hàm thương hai hàm số:   u(x) v(x) = u0 (x)v(x) − u(x)v (x) v (x) • Đạo hàm hàm số hợp: Với g(x) = f (u(x)) thì g (x) = f [u(x)].u0 (x) Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm các hàm lượng giác Đạo hàm các hàm lượng giác • (sin x)0 = cos x Nếu u = u(x) thì (sin u(x))0 = (cos u(x)).u0 (x) Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm các hàm lượng giác Đạo hàm các hàm lượng giác • (sin x)0 = cos x Nếu u = u(x) thì (sin u(x))0 = (cos u(x)).u0 (x) Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm các hàm lượng giác Đạo hàm các hàm lượng giác • (sin x)0 = cos x Nếu u = u(x) thì (sin u(x))0 = (cos u(x)).u0 (x) • (cos x)0 = − sin x Nếu u = u(x) thì (cos u(x))0 = −(sin u(x)).u0 (x) Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm các hàm lượng giác Đạo hàm các hàm lượng giác • (sin x)0 = cos x Nếu u = u(x) thì (sin u(x))0 = (cos u(x)).u0 (x) • (cos x)0 = − sin x Nếu u = u(x) thì (cos u(x))0 = −(sin u(x)).u0 (x) Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm các hàm lượng giác Đạo hàm các hàm lượng giác • (sin x)0 = cos x Nếu u = u(x) thì (sin u(x))0 = (cos u(x)).u0 (x) • (cos x)0 = − sin x Nếu u = u(x) thì (cos u(x))0 = −(sin u(x)).u0 (x) u0 (x) • (tan x)0 = Nếu u = u(x) thì (tan u(x))0 = cos x cos2 u(x) Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm các hàm lượng giác Đạo hàm các hàm lượng giác • (sin x)0 = cos x Nếu u = u(x) thì (sin u(x))0 = (cos u(x)).u0 (x) • (cos x)0 = − sin x Nếu u = u(x) thì (cos u(x))0 = −(sin u(x)).u0 (x) u0 (x) • (tan x)0 = Nếu u = u(x) thì (tan u(x))0 = cos x cos2 u(x) Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm các hàm lượng giác Đạo hàm các hàm lượng giác • (sin x)0 = cos x Nếu u = u(x) thì (sin u(x))0 = (cos u(x)).u0 (x) • (cos x)0 = − sin x Nếu u = u(x) thì (cos u(x))0 = −(sin u(x)).u0 (x) u0 (x) • (tan x)0 = Nếu u = u(x) thì (tan u(x))0 = cos x cos2 u(x) • (cot x)0 = − Nếu u = u(x) thì sin x u (x) (cot u(x)) = − sin u(x) Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm các hàm lượng giác Đạo hàm các hàm lượng giác • (sin x)0 = cos x Nếu u = u(x) thì (sin u(x))0 = (cos u(x)).u0 (x) • (cos x)0 = − sin x Nếu u = u(x) thì (cos u(x))0 = −(sin u(x)).u0 (x) u0 (x) • (tan x)0 = Nếu u = u(x) thì (tan u(x))0 = cos x cos2 u(x) • (cot x)0 = − Nếu u = u(x) thì sin x u (x) (cot u(x)) = − sin u(x) Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm các hàm lượng giác Đạo hàm các hàm lượng giác • (sin x)0 = cos x Nếu u = u(x) thì (sin u(x))0 = (cos u(x)).u0 (x) • (cos x)0 = − sin x Nếu u = u(x) thì (cos u(x))0 = −(sin u(x)).u0 (x) u0 (x) • (tan x)0 = Nếu u = u(x) thì (tan u(x))0 = cos x cos2 u(x) • (cot x)0 = − Nếu u = u(x) thì sin x u (x) (cot u(x)) = − sin u(x) Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Nội dung Chương Giới hạn Chương Đạo hàm Khái niệm đạo hàm Các qui tắc tính đạo hàm Đạo hàm các hàm lượng giác Định lý Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm trên J thì hàm số y = u(x).v(x) có đạo hàm trên J và [u(x).v(x)]0 = u0 (x)v(x) + u(x)v (x) Xem chi tiết chứng minh Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Kết luận Định lý Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm trên J thì hàm số y = u(x).v(x) có đạo hàm trên J và [u(x).v(x)]0 = u0 (x)v(x) + u(x)v (x) Chứng minh Đặt f (x) = u(x)v(x) Ta tìm đạo hàm f điểm x tùy ý thuộc J Khi biến số nhận số gia ∆x thì ∆u = u(x + ∆x) − u(x) nên u(x + ∆x) = u(x) + ∆u Tương tự, ∆v = v(x + ∆x) − v(x) nên v(x + ∆x) = v(x) + ∆v Ta sử dụng các Phạm đẳngĐàothức để tính đạophổhàm Thanh trên Tú Chuyên đề toán thông hàm số f Kết luận Ví dụ y= −x2 + 2x + x3 − Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Kết luận Ví dụ −x2 + 2x + x3 − 0  −x2 + 2x + ⇒y = x3 − y= Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Kết luận Ví dụ −x2 + 2x + x3 − 0  −x2 + 2x + ⇒y = x3 − y= = Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Kết luận Ví dụ −x2 + 2x + x3 − 0  −x2 + 2x + ⇒y = x3 − 2 (−x + 2x + 3)0 (x3 − 2) − (−x2 + 2x + 3)(x3 − 2)0 = (x3 − 2)2 y= Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Kết luận Ví dụ −x2 + 2x + x3 − 0  −x2 + 2x + ⇒y = x3 − 2 (−x + 2x + 3)0 (x3 − 2) − (−x2 + 2x + 3)(x3 − 2)0 = (x3 − 2)2 y= = Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Kết luận Ví dụ −x2 + 2x + x3 − 0  −x2 + 2x + ⇒y = x3 − 2 (−x + 2x + 3)0 (x3 − 2) − (−x2 + 2x + 3)(x3 − 2)0 = (x3 − 2)2 (−2x + 2)(x − 2) − (−x2 + 2x + 3)3x2 = (x3 − 2)2 y= Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Kết luận Ví dụ −x2 + 2x + x3 − 0  −x2 + 2x + ⇒y = x3 − 2 (−x + 2x + 3)0 (x3 − 2) − (−x2 + 2x + 3)(x3 − 2)0 = (x3 − 2)2 (−2x + 2)(x − 2) − (−x2 + 2x + 3)3x2 = (x3 − 2)2 y= = Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Kết luận Ví dụ −x2 + 2x + x3 − 0  −x2 + 2x + ⇒y = x3 − 2 (−x + 2x + 3)0 (x3 − 2) − (−x2 + 2x + 3)(x3 − 2)0 = (x3 − 2)2 (−2x + 2)(x − 2) − (−x2 + 2x + 3)3x2 = (x3 − 2)2 −2x + 2x + 4x − − 3x4 + 6x3 + 9x2 = (x3 − 2)2 y= Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Kết luận Ví dụ −x2 + 2x + x3 − 0  −x2 + 2x + ⇒y = x3 − 2 (−x + 2x + 3)0 (x3 − 2) − (−x2 + 2x + 3)(x3 − 2)0 = (x3 − 2)2 (−2x + 2)(x − 2) − (−x2 + 2x + 3)3x2 = (x3 − 2)2 −2x + 2x + 4x − − 3x4 + 6x3 + 9x2 = (x3 − 2)2 y= = Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Kết luận Ví dụ −x2 + 2x + x3 − 0  −x2 + 2x + ⇒y = x3 − 2 (−x + 2x + 3)0 (x3 − 2) − (−x2 + 2x + 3)(x3 − 2)0 = (x3 − 2)2 (−2x + 2)(x − 2) − (−x2 + 2x + 3)3x2 = (x3 − 2)2 −2x + 2x + 4x − − 3x4 + 6x3 + 9x2 = (x3 − 2)2 x − 4x − 9x + 4x − = (x3 − 2)2 y= Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Kết luận Ví dụ −x2 + 2x + x3 − 0  −x2 + 2x + ⇒y = x3 − 2 (−x + 2x + 3)0 (x3 − 2) − (−x2 + 2x + 3)(x3 − 2)0 = (x3 − 2)2 (−2x + 2)(x − 2) − (−x2 + 2x + 3)3x2 = (x3 − 2)2 −2x + 2x + 4x − − 3x4 + 6x3 + 9x2 = (x3 − 2)2 x − 4x − 9x + 4x − = (x3 − 2)2 y= Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Kết luận Ví dụ y = sin2 x cos x + cos2 x Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Kết luận Ví dụ y = sin2 x cos x + cos2 x =⇒ y = 3(sin2 x)0 cos x + sin2 x(cos x)0 + (cos2 x)0 Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Kết luận Ví dụ y = sin2 x cos x + cos2 x =⇒ y = 3(sin2 x)0 cos x + sin2 x(cos x)0 + (cos2 x)0 = sin x cos2 x − sin3 x − cos x sin x Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Kết luận Ví dụ y = sin2 x cos x + cos2 x =⇒ y = 3(sin2 x)0 cos x + sin2 x(cos x)0 + (cos2 x)0 = sin x cos2 x − sin3 x − cos x sin x = sin x(6 cos2 x − sin2 x − cos x) Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông Kết luận Kết luận Công cụ giới hạn và đạo hàm quan trọng học sinh lớp 11 và sau này Chuyên đề đã chứng minh số định lý giới hạn và đạo hàm Chuyên đề chưa sâu chứng minh đạo hàm hàm hợp và các kết vi phân, đạo hàm cấp cao Phạm Đào Thanh Tú Chuyên đề toán phổ thông