VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản.. Tìm nguyên hàm Fx của fx, rồi sử dụng trực tiếp định ngh[r]
(1)CHÖÔNG III NGUYÊN HAØM, TÍCH PHÂN VAØ ỨNG DỤNG II TÍCH PHAÂN Khaùi nieäm tích phaân Cho haøm soá f lieân tuïc treân K vaø a, b K Neáu F laø moät nguyeân haøm cuûa f treân K thì: b F(b) – F(a) đgl tích phân f từ a đến b và kí hiệu là f ( x )dx a b f ( x )dx F (b) F (a) a Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì chữ khác thay cho x, tức là: b b b a a a f ( x )dx f (t )dt f (u)du F (b) F (a) Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị y = f(x), trục Ox và hai đường thaúng x = a, x = b laø: b S f ( x )dx a Tính chaát cuûa tích phaân f ( x )dx 0 a a b f ( x )dx f ( x )dx b b a a kf ( x )dx k f ( x )dx b b b a a a (k: const) f ( x ) g( x ) dx f ( x )dx g( x )dx b b c b a a c f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx b Neáu f(x) treân [a; b] thì f ( x )dx 0 a Neáu f(x) g(x) treân [a; b] thì Phöông phaùp tính tích phaân b b a a f ( x )dx g( x )dx (2) a) Phương pháp đổi biến số b u(b ) a u(a ) f u( x ) u '( x )dx f (u)du đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác ñònh treân K, a, b K b) Phương pháp tích phân phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b K thì: b b b udv uv a vdu a a Chuù yù:– Caàn xem laïi caùc phöông phaùp tìm nguyeân haøm – Trong phương pháp tích phân phần, ta b caàn choïn cho vdu a b deã tính hôn udv a VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng các nguyên hàm Tìm nguyên hàm F(x) f(x), sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân: b f ( x )dx F (b) F (a) a Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải: – Nắm vững bảng các nguyên hàm – Nắm vững phép tính vi phân Baøi Tính caùc tích phaân sau: √2 ( x3 +2 x+ 1) dx a) ( x2 + 3x +e x +1) dx b) 1 d) 1x g) ( x 2 −1 dx e) x 1)( x h) ( x +4 ) x −2 x 1)dx dx x x−1 c) ( x 2 e dx f) ( x x 1 x x )dx x x x )dx i) ( √ x +2 √3 x −4 √4 x ) dx k) x2 x x3 e2 dx l) x 7x dx x 8 x m) dx x (3) Baøi Tính caùc tích phaân sau: a) x 1dx b) xdx 0 1 x d) Baøi Tính caùc tích phaân sau: e) b) cos2 x e) dx h) k) Baøi Tính caùc tích phaân sau: a) e e ln d) g) 0 x e) 0 (2 cot sin i) 2 x x ln x h) e x )dx x x e (1 1 x x dx m) cos 0 dx l) x xe dx x dx 0 2x 4 e 2 x 2x e i) x 1e f) x cos2 xdx 1e c) x 5) dx 1 dx x m) e dx VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân phương pháp đổi biến số b Dạng 1: Giả sử ta cần tính g( x )dx a Nếu viết g(x) dạng: b u( b) a u( a ) g( x )dx f (u)du g( x ) f u( x ) u '( x ) dx ln x dx x 2 ( x 1).dx cos x 4e sin xdx 1 b) dx ex 1 e cos x sin x cos x dx x dx 1 cos x dx x 9dx f) dx ex e ln x k) x x x x )dx c) sin( x ) 4 dx sin( x ) l) x f) 0 x 2 (tan x cot x ) dx e e x dx x 3tan tan x dx 1 sin x 1 x g) 0 3x c) (2sin x 3cosx x )dx sin(2 x + π6 )dx d) x2 x 2 ( x π a) dx dx thì (4) Dạng 2: Giả sử ta cần tính f ( x )dx Đặt x = x(t) (t K) và a, b K thoả mãn = x(a), = x(b) thì b b a a f ( x )dx f x(t ) x '(t)dt g(t )dt g(t) f x(t) x '(t) Dạng thường gặp các trường hợp sau: f(x) có chứa Cách đổi biến x a sin t, t 2 x a cos t, t a2 x x a cot t, t 2 t a , sin t a x , cos t t ; \ 0 2 t 0; \ 2 x a tan t, a2 x x x a2 Bài Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1): 1+ x ¿3 ¿ ¿ x b) ¿ 19 a) 1− x ¿ dx x¿ ¿ x5 c) dx x +1 ¿ 1 xdx d) √ x +1 e) k) n) √3 dx √5 x √ x +4 ln3 π h) e x dx x e 1 e dx sin x2 √ cos x+ sin x l) o) f) √3 g) x x dx π x x dx ln x +2 x2 dx √ 1+ x i) e √ 2+ ln x dx 2x cos x sin x 1+sin2 x dx m) ex ex dx √1+3 lnx x ln x dx p) (5) π 2x dx sin 2sin x +cos x Bài Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 2): a) dx √1 − x b) x dx √ − x2 c) x √ − x dx 1 g) dx x 2x 2 k) x −1 √ dx h) 2 dx x x2 l) x i) x2 x2 xdx x + x +1 f) √2 1 dx e) 2 (x +1)(x +2) dx d) x +3 dx dx m) x √( 1+ x ) x x dx VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân phương pháp tích phân phần Với P(x) là đa thức x, ta thường gặp các dạng sau: b P( x ).e x dx a u dv P(x) e x dx b b b a a a P( x).cos xdx P( x).sin xdx P(x) cos xdx P( x).l n xdx P(x) sin xdx lnx P(x) Baøi Tính caùc tích phaân sau: π a) π b) x sin2 xdx d) x tan xdx e) ln g) x2 cos xdx 0 x cos c) (x+ sin2 x )cos xdx 2 2π xdx ( x −2)e2 x dx f) e xe x dx h) i) x ln x dx ln( x − x )dx k) π e 3x sin xdx l) π e e cos x sin xdx m) ln3 xdx (6) e lnx x2 dx e x ln2 x dx o) p) q) e e x + √3 x +1 x (¿)dx ¿ −1 VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối Để tính tích phân hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) sử dụng công thức phân đoạn để tính tích phân trên đoạn nhỏ Baøi Tính caùc tích phaân sau: a) |x − x|dx b) |x −2|dx c) |x +2 x −3|dx d) x dx e) 3 g) ( x f) √ x − x +4 x dx h) 2 i) x dx x x 9dx x )dx 2 x dx 1 Baøi Tính caùc tích phaân sau: 2π a) d) g) b) sin x dx 2 sin xdx e) tan2 x cot x 2dx sin x dx √1 −cos x dx cos x h) c) cos xdx f) cos x cos3 xdx 2 i) cos2xdx sin xdx VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ Xem lại cách tìm nguyên hàm các hàm số hữu tỉ Baøi Tính caùc tích phaân sau: √3 dx a) x+ x x dx d) ( 1+ x ) dx b) x −5 x +6 x2 dx e) ( 1− x ) c) x dx x2 +2 x+ f) (7) dx x2 (1+ x ) ( x +11 ) dx x +5 x+ h) x3 x2 x x 3x d) ( x 2) g) x (1 x ) ( x 3) k) dx k) Baøi Tính caùc tích phaân sau: dx a) x −2 x+ 2 x +2 x + x +9 dx x2 + 1 dx g) x ( x −1) dx l) 3x 3x b) x3 x 1 dx x e) h) l) x (1 x 2008 ) 1 x 1 x 1 x dx c) dx dx 4 x dx m) (3x 1) x 2+1 2008 x2 ( x2 +2 ) dx x3 3x √3 i) x3 x x dx f) x 1 x dx i) x4 (x dx m) dx dx 1)2 x4 1 x dx VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ Xem laïi caùch tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá voâ tæ Baøi Tính caùc tích phaân sau: a) √2 1+ √xx −1 dx d) 10 g) e) dx x 2 h) x4 dx f) √ x +1 x 1 2 √3 x +1 x √ x +1dx dx dx √ x +1+ √ x dx 2 x k) c) x x +1 x dx b) x+ √ x +1 x √ x +1 dx l) i) dx 2+4√x3−3 x +1 dx x x2 m) 1 x dx 1 x n) Baøi Tính caùc tích phaân sau: o) 2 dx x x2 p) dx x x3 1 x5 x3 1 x dx (8) a) x x dx b) d) e) 2 x2 1 h) (1 x ) k) Baøi Tính caùc tích phaân sau: a) d) cos x b) e) cos2 x x2 ex 1 ln3 x b) ln2 x ln ln x ln3 ex x x (e 1) e 0 dx e) h) c) 3cos x f) ex 1 c) x 1)dx cos2 x cos xdx cos x sin x sin x f) ln dx i) cos x e x dx (e x 1)3 e x 1dx Xem lại cách tìm nguyên hàm các hàm số lượng giác Baøi Tính caùc tích phaân sau: a) sin x cos xdx π x dx sin 1+ cos x b) π tan xdx dx ln x ln x dx x VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác π 8dx cos xdx ln e x e x e ex i) dx e2 x dx x(e 12 x x dx tan x 2x x dx x x2 1 cos x cos2 xdx 1 dx m) cos x cos2 x ln2 dx sin x sin x dx i) cos xdx h) f) x dx sin x (1 x )3 1 x dx x 2008 cos3 x sin x cos5 xdx ln3 g) l) cos xdx g) Baøi Tính caùc tích phaân sau: d) c) dx a) x2 x2 1 dx x 10 x dx 2 dx dx 11 x x2 1 x 2008dx g) c) (9) π d) π e) sin3 xdx sin sin g) x cos4 xdx (sin k) x cos x )dx l) tan n) cos3 x cos x dx 3 tan xdx o) sin3 x dx r) x cos5 xdx π cos x dx sin1+2 xcos x m) xdx dx p) 2 q) cos x Baøi Tính caùc tích phaân sau: sin x.cos3 x /3 cos3 x 1 cos x dx s) dx /6 sin x.cos x π π a) sin i) sin2 x cos xdx h) π cos x f) x dx 0 π 1+sin x +cos x dx sin x +cos x b) ❑√ 1− cos3 x sin x cos xdx c) π π tan x π cos x √1+ cos2 x d) cos x(sin dx x cos x )dx e) sin x.ln(cos x )dx g) Baøi Tính caùc tích phaân sau: h) sin x dx a) d) cos x 1 cos x dx e) (tan x 1)2 cos5 x ( 1+sin x ) f) dx i) c) sin x cos2 x 2 sin x dx f) sin x dx cos x 2 cos x dx π dx 2 cos x cos x )dx sin3 x b) (tan x +e sin x sin x 2 sin x dx dx (10) g) h) (1 sin x ) cos x dx k) (1 sin x )(2 cos x ) Baøi Tính caùc tích phaân sau: π (2 x −1)cos xdx l) d) sin xdx e) x g) h) 2x e sin xdx n) l) e sin2 x cosx2 x dx sin x.e f) ln(sin x ) cos2 x x tan sin x cos xdx i) o) xdx xdx m) (2 x 1)cos xdx ln(1 tan x )dx dx dx x 1 π c) cos xdx k) cos(ln x )dx m) sin x sin( x ) xdx 1+ cos x b) dx π sin x cos( x ) cos x cos( x ) dx dx i) a) sin x cos x sin x cos x dx sin x cos x dx x sin x cos π dx cos x p) VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit Sử dụng các phép toán luỹ thừa và logarit Xem lại các phương pháp tìm nguyên haøm Baøi Tính caùc tích phaân sau: 1 ln e x dx x a) 1+ e dx x b) e +5 x c) e ln ex dx x ln √ e +1 ln x 1−e 1+e x dx d) g) 1 e e x dx x (ln x 1) k) dx ln x √ e x +1 e x dx e) h) e2 x x 0e 1 l) e dx e x x f) 1 i) e x x 0e ln3 dx m) 1 dx ex 1 dx dx (11) Baøi Tính caùc tích phaân sau: π a) e x b) sin xdx xe2 x dx c) 0 xe− x dx π (e x +cos x) cos xdx d) g) e) e2 ln x ln(ln x ) dx x x ln ( 1+ x ) dx h) f) e e e lnx √xln x +1 +ln2 x ( 1 ln2 x dx x ) dx i) e3 ln(ln x ) dx x e2 k) ln x x ln(sin x ) dx l) cos x dx m) ln( x 1) x 1 dx VẤN ĐỀ 9: Một số tích phân đặc biệt Daïng Tích phaân cuûa haøm soá chaün, haøm soá leû a Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc vaø laø haøm soá leû treân [-a; a] thì Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc vaø laø haøm soá chaün treân [-a; a] thì a a a f ( x )dx 0 a f ( x )dx 2f ( x )dx Vì caùc tính chaát naøy khoâng coù phaàn lyù thuyeát cuûa SGK neân tính caùc tích phaân có dạng này ta có thể chứng minh sau: a a a I f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx a Bước 1: Phân tích a J f ( x )dx; K f ( x )dx a J f ( x )dx a Bước 2: Tính tích phân phương pháp đổi biến Đặt t = – x – Neáu f(x) laø haøm soá leû thì J = –K I = J + K = – Neáu f(x) laø haøm soá chaün thì J = K I = J + K = 2K Daïng Neáu f(x) lieân tuïc vaø laø haøm chaün treân R thì: f ( x) x dx f ( x)dx a 1 (với R+ và a > 0) Để chứng minh tính chất này, ta làm tương tự trên (12) I f ( x) f ( x) f (x) f (x) J dx; K dx x x a a f ( x) dx dx dx x x ax 1 a 1 a 1 Để tính J ta đặt: t = –x 0 f (sin x )dx f (cos x)dx 0; Daïng Neáu f(x) lieân tuïc treân thì t x Để chứng minh tính chất này ta đặt: Dạng Nếu f(x) liên tục và f (a b x ) f ( x ) f (a b x ) f ( x ) thì ñaët: t=a+b–x Ñaëc bieät, neáu a + b = thì ñaët t=–x neáu a + b = 2 thì ñaët t = 2 – x Dạng Tính tích phân cách sử dụng nguyên hàm phụ Để xác định nguyên hàm hàm số f(x) ta cần tìm hàm g(x) cho nguyên hàm các hàm số f(x) g(x) dễ xác định so với f(x) Từ đó suy nguyên hàm f(x) Ta thực các bước sau: Bước 1: Tìm hàm g(x) Bước 2: Xác định nguyên hàm các hàm số f(x) g(x), tức là: F ( x ) G( x ) A( x ) C1 (*) F ( x ) G( x ) B( x ) C2 Bước 3: Từ hệ (*), ta suy A( x ) B( x ) C laø nguyeân haøm cuûa f(x) F( x) Baøi Tính caùc tích phaân sau (daïng 1): a) x x x x 1 cos4 x d) sin x cos x e) dx x2 1 x dx a) x4 sin2 x x dx d) b) 1 f) xdx x sin x 1 sin x i) x2 1 2x 1 x cos x.ln x dx g) h) Baøi Tính caùc tích phaân sau (daïng 2): 1 x )dx x dx 1x 2 c) 1 cos x ln( x dx b) ln x x dx x2 1 x cos x sin2 x dx c) (e dx dx x 1)( x 1) dx x1++1 x e) − dx f) (4 dx x 1)( x 1) (13) sin x sin x cos x ex dx g) h) Baøi Tính caùc tích phaân sau (daïng 3): n cos x n n a) cos x sin x sin x sin x cos x d) sin x cos4 x sin x sin x cos x 6x 1 sin x dx x sin2 x 1 2x dx dx 7 (n N ) b) sin x cos x * i) c) dx x sin 2009 x cos2009 x sin 2009 dx dx e) cos4 x cos4 x sin x dx f) dx Baøi Tính caùc tích phaân sau (daïng 4): a) x.sin x 4 cos2 x dx b) d) x cos x 4 sin2 x dx e) x 1 sin x dx x sin x 2 cos x dx l) x sin x cos 0 x.sin xdx x sin x i) cos x x sin x sin x ln(1 tan x )dx f) h) sin x ln cos x dx x.cos xdx k) c) 2 ln(1 tan x )dx g) cos2 x dx dx m) xdx Baøi Tính caùc tích phaân sau (daïng 5): a) sin x sin x cos x dx b) d) cos x sin x cos x dx sin x 6 g) sin x cos x cos x sin x cos x dx e) dx c) sin x sin x cos4 x cos6 x 6 h) sin x cos x sin x sin x cos x dx dx f) cos4 x sin x cos4 x dx i) dx (14) 2sin x.sin xdx k) 2 cos x.sin xdx x x l) e e ex x x n) e e ex dx dx e x x x o) e e e x x x m) e e dx dx VẤN ĐỀ 10: Thiết lập công thức truy hồi b I n f ( x , n)dx a Giả sử cần tính tích phân (n N) phuï thuoäc vaøo soá nguyeân döông n Ta thường gặp số yêu cầu sau: Thiết lập công thức truy hồi, tức là biểu diễn In theo các In-k (1 k n) Chứng minh công thức truy hồi cho trước I Tính giá trị n0 cụ thể nào đó Bài Lập công thức truy hồi cho các tích phân sau: a) I n sin n xdx b) I n cosn xdx Ñaët u sin n x dv sin x.dx u cosn x dv cos x.dx Ñaët c) I n tan n xdx n n n Phaân tích: tan x tan x tan x tan x d) I n x n cos x.dx Jn x n sin x.dx e) I n x n e x dx e f) I n ln n x.dx Ñaët u x n dv cos x.dx u x n dv sin x.dx Ñaët u x n x Ñaët dv e dx u ln n x dv dx Ñaët (15) g) I n (1 x )n dx Ñaët x cos t dx I n n (1 x ) h) n Phaân tích (1 x ) 1 i) I n x n x dx dx In dx n cos x k) u sin2 n t dv sin t.dt Ñaët x2 (1 x )n x J n dx n (1 x ) Tính u x n Ñaët dv x dx n Phaân tích cos x x2 (1 x )n u x x dv dx n (1 x ) Ñaët cos x cosn1 x Ñaët t cosn1 x (16)