Đang tải... (xem toàn văn)
a Tính độ dài của đoạn thẳng AM và tính côsin của góc BAM; b Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM; c Tính độ dài đường trung tuyến vẽ từ đỉnh C của tam giác ACM; d Tính dieän[r]
(1)Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 CHÖÔNG I VECTÔ - oOo - CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Đoạn thẳng, đường thẳng và tia: Cho hai điểm A, B ta có đoạn thẳng nhất, kí hiệu: AB BA (Giới hạn hai đầu) Troïng taâm tam giaùc: Đường thẳng d (Không giới hạn - dài vô tận) Tia Ax (Giới hạn đầu) Trọng tâm G tam giác là giao điểm ba đường trung tuyeán, vaø AG= AM Đường trung bình tam giác: Đường trung bình tam giác song song và baèng cạnh đáy Hình bình haønh: Cho hình bình haønh ABCD Ta coù: AB // DC vaø AB = DC BC // AD vaø BC = AD AC và BD cắt trung điểm O đường Khi đó O gọi là tâm hình bình hành Ghi chuù: - Võ Thanh Hùng - THPT Trần Quốc Toản - Đồng Tháp - - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (2) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 §1 CAÙC ÑÒNH NGHÓA Khaùi nieäm vectô: Cho đoạn thẳng AB Nếu ta chọn điểm A làm điểm đầu, điểm B làm điểm cuối thì đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B Khi đó ta nói AB là đoạn thẳng có hướng Định nghĩa: Vectơ là đoạn thẳng có hướng AB Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B kí hiệu là: ⃗ Khi không cần rõ điểm đầu và điểm cuối vectơ thì vectơ kí hiệu là: ⃗a , ⃗b , ⃗x , ⃗y , gọi là các vectơ tự Từ hai điểm phân biệt ta có bao nhiêu vectơ? Nhận xét khác đoạn thẳng và vectơ? Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng: Đường thẳng qua điểm đầu và điểm cuối vectơ gọi là giá vectơ đó Định nghĩa: Hai vectơ gọi là cùng phương giá chúng song song trùng Nhận xét: Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng ngược hướng AC cuøng AB vaø ⃗ Ba ñieåm phaân bieät A, B, C thaúng haøng vaø chæ hai vectô ⃗ phöông Khaúng ñònh: "Neáu ba ñieåm A, B, C thaúng haøng thì hai vectô ⃗ BC cùng hướng" đúng hay sai? vì sao? AB vaø ⃗ Hai vectô baèng nhau: Mỗi vectơ có độ dài, đó là khoảng cách điểm đầu và điểm cuối vectơ đó Độ dài vectơ ⃗ AB kí hiệu là |⃗ AB| Vaäy: |⃗ AB|=AB=BA Vectơ có độ dài gọi là vectơ đơn vị DC hình veõ sau: AB vaø ⃗ Hãy nhận xét hướng và độ dài hai vectơ ⃗ - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (3) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 Hai vectô ⃗a =⃗b Hãy dựng vectơ ⃗a vaø ⃗b gọi là chúng có cùng hướng và cùng độ dài, kí hiệu ⃗ OA baèng vectô ⃗a * Chú ý: Khi cho trước vectơ ⃗a và điểm O, thì ta luôn tìm điểm A cho ⃗ OA=⃗a Vectô - khoâng: Vectơ đặc biệt có điểm đầu và điểm cuối là A (điểm đầu và điểm cuối trùng nhau), kí hiệu AA vaø goïi laø vectô - khoâng laø: ⃗ Vectơ - không cùng phương, cùng hướng với vectơ AA| = 0, nên vectơ - không Độ dài vectơ - không: |⃗ Vectơ - không kí hiệu: ⃗0 Ghi chuù: - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (4) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Cho ba vectơ ⃗a , b⃗ , ⃗c khác vectơ ⃗0 Các khẳng định sau đúng hay sai? a) Nếu hai vectơ ⃗a , ⃗b cùng phương với ⃗c thì ⃗a và ⃗b cùng phương b) Nếu ⃗a , ⃗b cùng ngược hướng với ⃗c thì ⃗a và ⃗b cùng hướng Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, tâm O Gọi M, N là trung điểm AD, BC a) Có bao nhiêu vectơ khác vectơ ⃗0 có điểm đầu và điểm cuối là số các điểm A, B, C, D, O, M, N b) Chỉ hai vectơ có điểm đầu, điểm cuối lấy số các điểm A, B, C, D, O, M, N mà: AB ; AB ; AB i/ cùng phương với ⃗ ii/ cùng hướng ⃗ iii/ ngược hướng với ⃗ ⃗ ⃗ c) Chæ caùc vectô baèng vectô MO , OB Bài 3: Chỉ các vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng và các vectơ hình sau: DC AB = ⃗ Bài 4: Cho tứ giác ABCD Chứng minh tứ giác đó là hình bình hành và ⃗ Bài 5: Cho lục giác ABCDEF có tâm O OA ; a) Tìm các vectơ khác ⃗0 và cùng phương với ⃗ AB b) Tìm caùc vectô baèng vectô ⃗ CD EF = ⃗ Bài 6: Cho tam giác ABC có D, E, F là trung điểm BC, CA, AB Chứng minh ⃗ Bài 7: Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M và N là trung điểm BC và AD Điểm I là giao AM=⃗ NC , ⃗ DK=⃗ NI điểm AM và BN, K là giao điểm DM và CN Chứng minh ⃗ - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (5) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 §2 TOÅNG VAØ HIEÄU CUÛA HAI VECTÔ Toång cuûa hai vectô: Ñònh nghóa: Cho hai vectô ⃗a vaø ⃗b AB=⃗a vaø Laáy moät ñieåm A tuøy yù, veõ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ BC = b Vectơ AC gọi là tổng cuûa hai vectô ⃗a vaø ⃗b Ta kí hieäu toång hai vectô ⃗a vaø ⃗b laø ⃗a + b⃗ Vaäy: ⃗ AC=⃗a + b⃗ Quy taéc hình bình haønh: Neáu ABCD laø hình bình haønh thì: ⃗ AB+ ⃗ AD=⃗ AC Tính chaát cuûa pheùp coäng caùc vectô: Với ba vectơ ⃗a , ⃗b , ⃗c tùy ý ta có: ⃗ b+ ⃗ ⃗a (tính chất giao hoán) a⃗ + b= (⃗a + ⃗b)+ ⃗c =⃗a +( ⃗b+ ⃗c ) (tính chất kết hợp) ⃗a + 0⃗ =0⃗ + ⃗a=⃗a (tính chaát cuûa vectô - khoâng) Hieäu cuûa hai vectô: Hãy nhận xét hướng và độ dài hai vectơ ⃗ CD hình bình haønh ABCD: AB vaø ⃗ a) Vectơ đối: Cho vectơ ⃗a Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với ⃗a gọi là vectơ đối vectô ⃗a , kí hieäu laø - ⃗a AB laø ⃗ BA , nghóa laø * Chú ý: Vectơ đối vectơ ⃗ ⃗ ⃗ − AB= BA Vectơ đối vectơ ⃗0 là vectơ ⃗0 Ví dụ: Cho tam giác ABC, gọi D, E, F là trung điểm BC, AC, AB Tìm ít ba cặp vectơ đối nhau? Giaûi: - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (6) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 b) Ñònh nghóa hieäu cuûa hai vectô: Cho hai vectô ⃗a vaø ⃗b Ta goïi hieäu cuûa ⃗ , kí hieäu hai vectô ⃗a vaø ⃗b laø vectô ⃗a +(− b) ⃗a − b⃗ Vaäy: ⃗ a +(− ⃗b) ⃗a − b=⃗ * Chú ý: Phép toán tìm hiệu hai vectơ còn gọi là phép trừ vectơ c) Quy taéc ba ñieåm: Với ba điểm A, B, C tùy ý, ta có: ⃗ AB+ ⃗ BC=⃗ AC ⃗ AB − ⃗ AC=⃗ CB AB+ ⃗ CD=⃗ AD+⃗ CB Ví dụ: Chứng minh với bốn điểm bất kì A, B, C, D ta luôn có ⃗ Giaûi: Trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác: Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB và Ñieåm G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC vaø chæ ⃗ IA+ ⃗ IB=0⃗ ⃗ GA+ ⃗ GB+ ⃗ GC=0⃗ Ghi chuù: - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (7) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Chứng minh tứ giác ABCD bất kì ta luôn có AB+ ⃗ BC+⃗ CD+ ⃗ DA=⃗0 ; AB − ⃗ AD=⃗ CB− ⃗ CD a) ⃗ b) ⃗ Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Chứng minh CO − ⃗ OB=⃗ BA ; AB − ⃗ BC=⃗ DB ; a) ⃗ b) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ c) DA − DB= OD− OC ; d) DA − DB+ DC=0̄ MA+ ⃗ MC=⃗ MB+⃗ MD Bài 3: Cho hình bình hành ABCD và điểm M tùy ý Chứng minh ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Bài 4: Cho sáu điểm M, N, P, Q, R, S bất kì Chứng minh rằng: MP+ NQ + RS=MS+ NP+ RQ AB+ ⃗ BC , ⃗ AB − ⃗ AC , ⃗ AB+ ⃗ AC , Bài 5: Cho tam giác ABC, cạnh a Tính độ dài các vectơ ⃗ ⃗ ⃗ AB − BC Bài 6: Cho tam giác ABC Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS Chứng RJ+ ⃗ IQ+ ⃗ PS= ⃗0 minh raèng ⃗ AB=⃗ CD và trung điểm hai đoạn thẳng AD và BC trùng Bài 7: Chứng minh ⃗ MA+ ⃗ MB vaø Bài 8: Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm A và B cho AM > MB Vẽ các vectơ ⃗ ⃗ ⃗ MA − M B Bài 9: Cho ⃗a , ⃗b là hai vectơ khác ⃗0 Khi nào có đẳng thức a) |a⃗ + ⃗b|=|⃗a|+|⃗b| ; b) |a⃗ + ⃗b|=|⃗a − b⃗| Bài 10: Cho |a⃗ + ⃗b|=0 So sánh độ dài, phương và hướng hai vectơ ⃗a và ⃗b F3 =⃗ MC cùng tác động vào vật điểm M và vật F 1= ⃗ MA , ⃗ F2 =⃗ MB vaø ⃗ Bài 11: Cho ba lực ⃗ ⃗ ⃗ đứng yên Biết cường độ F1 , F là 100N và góc AMB 600 Tìm cường độ và hướng F3 lực ⃗ - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (8) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 §3 TÍCH CỦA VETƠ VỚI MỘT SỐ Ñònh nghóa: Cho số k và vectơ ⃗a ⃗0 Tích vectơ ⃗a với số k là vectơ, kí hiệu là k ⃗a , cùng hướng với ⃗a k > 0, ngược hướng với ⃗a k < và có độ dài k ⃗a Ta còn gọi tích vectơ với số là tích số với vectơ Quy ước: ⃗a = ⃗0 , k ⃗0 = ⃗0 Tính chaát: Với hai vectơ ⃗a và ⃗b bất kì, với số h và k, ta có: k( ⃗a + b⃗ ) = k ⃗a + k ⃗b (h + k) ⃗a =h ⃗a +k ⃗a a ⃗ a ⃗ h(k ) = (hk) 1 ⃗a = ⃗a , (-1) ⃗a = - a⃗ 1) Cho hình bình hành MACB, gọi I là giao điểm AB và MC Nhận xét gì mối quan hệ ⃗ MI 2) Cho G là trọng tâm tam giác ABC Dựa vào đẳng thức với ⃗ MA+ ⃗ MB ⃗ GA+ ⃗ GB+ ⃗ GC=0⃗ , chứng minh ⃗ MA+ ⃗ MB+ ⃗ MC=3 ⃗ MG Trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác: MA+ ⃗ MB=2 ⃗ MI a) Nếu I là trung điểm đoạn thẳng AB thì với điểm M ta có: ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ MG b) Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì với điểm M ta có: MA+ MB+ MC=3 ⃗ AB+2 ⃗ AC+ ⃗ AD=3 ⃗ AC Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD Chứng minh ⃗ Giaûi: Điều kiện để hai vectơ cùng phương: Điều kiện cần và đủ để hai vectơ ⃗a và ⃗b ( ⃗b ⃗0 ) cùng phương là có số k để k ⃗b AB=k ⃗ AC Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng và có số k khác để ⃗ = ⃗a Phaân tích moät vectô theo hai vectô khoâng cuøng phöông: Cho hai vectô ⃗a vaø ⃗b khoâng cuøng phöông Khi đó vectơ ⃗x phân tích cách nhaát theo hai vectô ⃗a vaø ⃗b , nghóa laø coù nhaát caëp soá h, k cho ⃗x =h ⃗a + k ⃗b Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Cho các điểm D, E, F là trung điểm các cạnh BC, CA, AB và I là giao điểm AD và EF Đặt ⃗u=⃗ AI , ⃗ AG , ⃗ DE , ⃗ DC AE , ⃗v =⃗ AF Hãy phân tích các vectơ ⃗ theo hai vectơ ⃗u , ⃗v - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (9) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 Giaûi: Ví dụ 2: Cho điểm A, B, C, M thỏa mãn hàng Giaûi: ⃗ MA+ 2⃗ MB −3 ⃗ MC=⃗0 Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng Ghi chuù: - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (10) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN AB+ ⃗ AC+⃗ AD=2 ⃗ AC Bài 1: Cho hình bình hành ABCD Chứng minh rằng: ⃗ Bài 2: Gọi AM là trung tuyến tam giác ABC và D là trung điểm đoạn AM Chứng minh rằng: DA+ ⃗ DB+⃗ DC=⃗0 ; OA+ ⃗ OB+ ⃗ OC=4 ⃗ OD , với O là điểm túy ý a) ⃗ b) ⃗ Bài 3: Gọi M và N là trung điểm các cạnh AB và CD tứ giác ABCD Chứng minh rằng: 2⃗ MN=⃗ AC+ ⃗ BD=⃗ BC +⃗ AD AB , ⃗ BC , ⃗ CA theo Baøi 4: Cho AK vaø BM laø hai trung tuyeán cuûa tam giaùc ABC Haõy phaân tích caùc vectô ⃗ AK , ⃗v =⃗ BM hai vectô ⃗u=⃗ MB=3 ⃗ MC Haõy Bài 5: Trên đường thẳng chứa cạnh BC tam giác ABC lấy điểm M cho ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ phaân tích vectô AM theo hai vectô ⃗u= AB vaø ⃗v =AC KA+ ⃗ KB=0⃗ Baøi 6: Cho hai ñieåm phaân bieät A vaø B Tìm ñieåm K cho: ⃗ MA+ ⃗ MB+ 2⃗ MC=⃗0 Baøi 7: Cho tam giaùc ABC Tìm ñieåm M cho ⃗ Bài 8: Cho lục giác ABCDEF Gọi M, N, P, Q, R, S là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA Chứng minh hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm Bài 9: Cho tam giác ABC có O là trọng tâm và M là điểm tùy ý tam giác Gọi D, E, F lần MD+⃗ ME+⃗ MF= ⃗ MO lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB Chứng minh ⃗ - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (11) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 §4 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Trục và độ dài đại số trên trục: Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là đường thẳng trên đó đã xác định điểm O gọi là điểm gốc vaø moät vectô ñôn vò ⃗e Kí hieäu: (O; ⃗e ) OM = k ⃗e Ta goïi soá Cho điểm M nằm trên trục (O; ⃗e ) Khi đó có số k cho ⃗ k đó là tọa độ điểm M trục đã cho AB = a ⃗e Ta goïi Cho hai điểm A, B nằm trên trục (O; ⃗e ) Khi đó có số a cho ⃗ ⃗ AB số a đó là độ dài đại số vectơ AB hệ trục đã cho và kí hiệu a = ⃗ ⃗ e ⃗ AB * Nhận xét: Nếu AB cùng hướng thì = AB, còn AB ngược hướng ⃗e thì AB = -AB Độ dài đại số vectơ ⃗ OM chính là tọa độ điểm M Nếu hai điểm A và B trên trục (O; ⃗e ) có tọa độ là a và b thì AB = b - a Ví dụ: Trên trục cho các điểm A, B, M, N có tọa độ là -4; 3; 5; -2 a) Hãy biểu diễn các điểm đó trên trục số; AB , ⃗ AM , ⃗ MN b) Hãy xác định độ dài đại số các vectơ ⃗ Giaûi: Hệ trục tọa độ: a) Ñònh nghóa: Hệ trục tọa độ (O; ⃗i , ⃗j ) gồm hai trục (O; ⃗i ) và (O; ⃗j ) vuông góc với Điểm gốc O chung hai trục gọi là gốc tọa độ Trục (O; ⃗i ) gọi là trục hoành và kí hiệu Ox Trục (O; ⃗j ) gọi là trục tung và kí hiệu Oy Caùc vectô ⃗i vaø ⃗j laø caùc vectô ñôn vò treân Ox vaø Oy vaø |i⃗|=|⃗j| = Hệ trục tọa độ (O; ⃗i , ⃗j ) còn gọi là Oxy * Chú ý: Khi mặt phẳng đã cho hệ trục tọa độ Oxy, gọi mặt phẳng đó là mặt phẳng tọa độ Oxy hay maët phaúng Oxy b) Tọa độ vectơ: Đối với hệ trục tọa độ (O; ⃗i , ⃗j ), vectơ ⃗u biểu diễn ⃗u = x ⃗i +y ⃗j với (x; y) laø caëp soá nhaát Khi đó: cặp số (x; y) gọi là tọa độ vectơ ⃗u , kí hiệu là: ⃗u = (x; y) hay ⃗u (x; y) - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (12) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 Nhö vaäy: ⃗u = (x; y) ⃗u = x ⃗i + y ⃗j * Nhận xét: Hai vectơ và chúng có hoành độ và tung độ x=x ' Neáu ⃗u=( x ; y ) , ⃗u '=( x '; y ') thì ⃗u=⃗u ' y= y ' OM gọi là tọa độ c) Tọa độ điểm: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ vectơ ⃗ ñieåm M OM = (x; y) Ta viết: M(x; y) M = (x; Cặp số (x; y) là tọa độ điểm M và ⃗ y) { Hoành độ điểm M còn kí hiệu xM, tung độ điểm M còn kí hiệu yM Gọi M1, M2 là hình chiếu M trên Ox, Oy Khi đó, M(x; y) thì x = OM1 y = OM2 Ví duï 1: Xác định tọa độ các điểm A, B, C, D, E, F trên hình veõ Giaûi: Ví duï 2: Bieåu dieãn caùc ñieåm sau ñaây treân heä truïc toïa độ Oxy: M(-2; 3), N(0; -4), P(3; 0), Q(-5; 6), I(-4; -2) d) Liên hệ tọa độ điểm và tọa độ vectơ mặt phẳng: AB = (xB - xA; yB - yA) Với hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) thì: ⃗ - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (13) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(2; 5), B(1; 2) và C(4; 1) Tìm tọa độ điểm D cho tứ giaùc ABCD laø hình bình haønh Giaûi: Tọa độ các vectơ ⃗u + ⃗v , ⃗u − ⃗v , k ⃗u : Cho ⃗u = (u1; u2) và ⃗v = (v1 ; v2) Khi đó: ⃗u + ⃗v = (u1 + v1; u2 + v2); ⃗u − ⃗v = (u1 - v1; u2 - v2); k ⃗a = (kx; ky) với k R; Ví dụ 1: Cho ⃗a =(1 ; −2) , ⃗b=(3 ; 4) , ⃗c =(5 ; −1) Tìm tọa độ vectơ u⃗ =2 a⃗ + ⃗b − c⃗ Giaûi: ⃗ 1) Haõy phaân tích vectô ⃗c =(4 ; − 1) theo ⃗a vaø ⃗b Ví duï 2: Cho ⃗a =(1 ; −1), b=(2; Giaûi: * Chuù yù: Vectô ⃗u =(u1; u2) cùng phương với vectơ u 1=kv số thực k khác cho ⃗u=k ⃗v hay u 2=kv ⃗v =(v1; v2) với ⃗v ⃗0 vaø chæ toàn taïi { Ví dụ 1: Cho ⃗u =(2; -5) Tìm x biết ⃗b = (6; x) cùng phương với ⃗u Giaûi: Ví duï 2: Cho ba ñieåm A(-2; -1), B(3; ), C(2; 1) Hãy chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng Hai AC cùng hướng hay ngược hướng? AB vaø ⃗ vectô ⃗ Giaûi: - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (14) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 Tọa độ trung điểm đoạn thẳng Tọa độ trọng tâm tam giác: Cho A(xA; yA), B(xB; yB), gọi I(xI; yI) là trung điểm AB Từ đăng thức ⃗ IA+ ⃗ IB=0⃗ , hãy tìm tọa độ điểm I? Cho đoạn thẳng AB có A(xA; yA), B(xB; yB) Khi đó tọa độ trung điểm I(x I; yI) AB tính theo x A+ xB y A + yB công thức: x I = , yI = 2 Cho A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC), goïi G(xG; yG) laø troïng taâm tam giaùc ABC Haõy phaân tích vectô ⃗ OA , ⃗ OB , ⃗ OC Từ đó hãy tính tọa độ G theo tọa độ A, B, C ⃗ OG theo ba vectô Cho tam giác ABC có A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC) Khi đó tọa độ trọng tâm G(x G; yG) tính theo xA + xB + xC y A+ yB + yC công thức x G= , y G= 3 Ví dụ: Cho tam giác ABC có ba đỉnh A(2; 3), B(6; 7), C(1; 2) Tìm tọa độ trung điểm I cạnh AB và troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC Giaûi: Ghi chuù: - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (15) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Trên trục (O; ⃗e ) cho các điểm A, B, M, N có tọa độ là -1; 2; 3; -2 a) Hãy vẽ trục và biểu diễn các điểm đã cho trên trục; AB vaø ⃗ MN Từ đó suy hai vectơ ⃗ AB vaø ⃗ MN ngược hướng b) Tính độ dài đại số ⃗ Bài 2: Tìm tọa độ các vectơ sau: a) ⃗a =2 i⃗ ; b) ⃗b=−3 ⃗j ; c) ⃗c =3 i⃗ − ⃗j ; d) ⃗d=0,2 i⃗ +¿ √ ⃗j Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có A(-1; -2), B(3; 2), C(4; -1) Tìm tọa độ đỉnh D Baøi 4: Cho ⃗a =(2; -2), ⃗b =(1; 4) Haõy phaân tích vectô ⃗c =(5; 0) theo hai vectô ⃗a vaø ⃗b Bài 5: Các điểm A'(-4; 1), B'(2; 4) và C'(2; -2) là trung điểm các cạnh BC, CA và AB tam giác ABC Tính tọa độ các đỉnh tam giác ABC Chứng minh trọng tâm tam giác ABC và A'B'C' truøng CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (16) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 * OÂN TAÄP CHÖÔNG I * - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (17) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN AB có điểm đầu và điểm cuối Bài 1: Cho lục giác ABCDEF có tâm O Hãy các vectơ ⃗ là O các đỉnh lục giác AB+⃗ AC| ; Bài 2: Cho tam giác ABC có cạnh a Tính: a) |⃗ b) ⃗ ⃗ |AB− AC| MP+⃗ NQ + ⃗ RS=⃗ MS+ ⃗ NP+ ⃗ RQ Bài 3: Cho sáu điểm M, N, P, Q, R, S bất kì Chứng minh rằng: ⃗ Bài 4: Chứng minh G và G' là trọng tâm các tam giác ABC và A'B'C' thì ta có đẳng GG '=⃗ AA '+⃗ BB ' + ⃗ CC ' thức: 3⃗ a ⃗ Baøi 5: Cho = (2; 1), ⃗b = (3; -4), ⃗c = (-7; 2) a) Tìm tọa độ vectơ ⃗u=3 ⃗a +2 ⃗b− ⃗c ; b) Tìm tọa độ vectơ ⃗x cho ⃗x + ⃗a= ⃗b − c⃗ ; c) Tìm caùc soá k vaø h cho ⃗c =k ⃗a +h ⃗b Bài 6: Cho u⃗ = i⃗ −5 ⃗j , ⃗v =m i⃗ −4 ⃗j Tìm m để ⃗u và ⃗v cùng phương Bài 7: Cho tam giác OAB Gọi M, N là trung điểm OA và OB Tìm các số m, n cho: OM=m ⃗ OA+ n ⃗ OB ; AN=m ⃗ OA+ n ⃗ OB ; a) ⃗ b) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ M N=m O A +n O B M B=m O A+ n OB c) ; d) CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (18) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 CHƯƠNG II TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VAØ ỨNG DỤNG - oOo - CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Caùc ñieåm ñaëc bieät tam giaùc: Troïng taâm G cuûa tam giaùc Trực tâm H tam giác Tâm O đường tròn ngoại Tâm I đường tròn nội là giao điểm ba đường trung ABC laø giao ñieåm ba tieáp ABC laø giao ñieåm tieáp ABC laø giao ñieåm đường cao tuyeán, vaø AG= AM ba đườ n g trung trự c ba đường phân giác Tam giaùc vuoâng ABC vuoâng taïi A: Hệ thức lượng: sin = AC BC cos = AB BC tan = AC AB Nghịch đảo đường cao bình phương: Độ dài đường trung tuyến AM = cot = AB AC Ñònh lí Pitago: BC2 = AB2 + AC2 Dieän tích: S = AB.AC Các công thức đặc biệt: Công thức khác: AB.AC = AH.BC Diện tích tam giác đều: S = (cạnh)2 √3 Độ dài đường chéo hình vuông: l = cạnh Dieän tích caùc hình ñaëc bieät khaùc: Hình vuoâng: S = caïnh caïnh 1 = 2+ 2 AH AB AC BC BA2 = BH.BC CA2 = CH.CB Chiều cao tam giác đều: h = cạnh √3 √2 (cheùp daøi cheùo ngaén) Hình thang: S = (đáy lớn + đáy bé) chiều cao Hình bình hành: S = đáy chiều cao Hình thoi: S = Hình chữ nhật: S = dài rộng Hình troøn: S = R2 Hai tam giác đồng dạng và định lí Talet: ABC ∽MNP chúng có hai góc tương ứng - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (19) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 Neáu ABC ∽MNPthì AB MN = AC MP AM AN MN = = AB AC BC §1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 0 ĐẾN 1800 Ñònh nghóa: Nửa đường tròn đơn vị: Nửa đường tròn tâm O nằm phía trên trục hoành bán kính R = gọi là nửa đường tròn đơn vị Nếu cho trước góc nhọn thì ta có thể xác định điểm M trên nửa đường tròn đơn vị cho góc xOM Giả sử điểm M có tọa độ (x0; y0) Hãy chứng tỏ sin = y0, cos = x0, tan = y0 , cot = x0 x0 y0 Với góc (00 1800) ta xác định điểm M trên nửa đường tròn đơn vị cho góc xOM và giả sử điểm M có tọa độ M(x0; y0) Khi đó ta định nghĩa: sin cuûa goùc laø x0, kí hieäu sin = y0; coâsin cuûa goùc laø x0, kí hieäu cos = x0; y0 y0 tang cuûa goùc laø (x0 ≠ 0), kí hieäu tan = ; x0 x0 x0 x0 coâtang cuûa goùc laø (y0 ≠ 0), kí hieäu cot = y0 y0 Các số sin, cos, tan, cot gọi là các giá trị lượng giác góc Nhắc lại mối quan hệ tọa độ điểm M(x0; y0) và độ dài đại số các vectơ ⃗ OH vaø ⃗ OK hình veõ sau: Ví dụ: Tìm các giá trị lượng giác góc 135 Giaûi: * Chuù yù: Neáu laø goùc tuø thì cos, tancot tan chæ xaùc ñònh ≠ 900, cot chæ xaùc ñònh ≠ 00 vaø ≠ 1800 Tính chaát: - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (20) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 sin(1080 - = sin cos(1080 - = -cos tan(1080 - = -tan cot(1080 - = -cot Giá trị lượng giác các góc đặc biệt: Giaù trò 00 lượng giác sin cos tan cot 300 450 600 900 √3 √3 √2 √3 √2 2 1 √3 √3 1 √3 Ví dụ: Tìm các giá trị lượng giác các góc 120 và 1500 Giaûi: Góc hai vectơ: Định nghĩa: Cho hai vectơ ⃗a và ⃗b khác vectơ ⃗0 Từ điểm O bất kì ta vẽ ⃗ OA=⃗a vaø ⃗ OB=b⃗ 0 Góc AOB với số đo từ đến 180 gọi là góc hai vectơ ⃗a và ⃗b Ta kí hiệu góc hai vectơ ⃗a và ⃗b laø (⃗a , ⃗b) Neáu (⃗a , ⃗b) = 900 thì ta noùi raèng ⃗a vaø ⃗b vuoâng góc với nhau, kí hiệu là ⃗a ⊥ ⃗b ⃗b ⊥ ⃗a * Chú ý: Từ định nghĩa ta có (⃗a , ⃗b) = ( ⃗b , ⃗a ) BA , ⃗ BC ), ( ⃗ AB , ⃗ BC ), ( Ví duï: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A vaø coù goùc B = 50 Tính caùc goùc ( ⃗ ⃗ CA , ⃗ CB ), ( ⃗ AC , ⃗ BC ), ( ⃗ AC , ⃗ CB ), ( ⃗ AC , ⃗ BA ) Giaûi: Sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị lượng giác góc: Tính các giá trị lượng giác góc : AÁn MODE maøn hình xuaát hieän Deg Rad Gra ấn để chọn đơn vị đo góc là "độ" - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (21) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 "Độ" "Radian" Để tính sin, cos, tan góc ấn sin, cos hay tan ấn góc Ví dụ: Tính sin góc = 63052'41'' ta thực hiện: AÁn sin aán 63 aán o''' aán 52 aán o''' aán 41 aán o''' aán = ta kết 0.897859012 * Chuù yù: = 60', 1' = 60'' Xác định độ lớn góc biết giá trị lượng giác góc đó: Để xác định xem giá trị a là sin, cos, tan góc là bao nhiêu độ ta thực hiện: Choïn ñôn vò cho maùy laø "Deg" aán sin-1, cos-1 hay tan-1 aán soá a aán = Ví dụ: Tìm góc x biết sinx = 0.3502 ta thực hiện: AÁn sin-1 aán 0.3502 aán = SHIFT aán o''' ta kết 20029'58'' Công thức sin2 + cos2: Với góc bất kì ta có: sin2 + cos2 * Chú ý: (sin)2 kí hiệu sin2 Ví duï1: sin2(2a) + cos2(2a) = x x sin2 + cos2 = 2 Ví dụ 2: Cho góc tù x biết sinx = 0,2 Hãy tính các giá trị lượng giác góc x Giaûi: Ghi chuù: - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (22) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Chứng minh rằng: a) sin1050 = sin750; b) cos1700 = -cos100; c) cos1220 = -cos580 Baøi 2: Tính 3sin1350 + cos600 + 4sin1500 Bài 3: Chứng minh tam giác ABC ta có: a) sin sin(B + C); b) cosA = -cos(B + C) Bài 4: Cho góc x, với cosx = Tính giá trị biểu thức P = 3sin2x + cos2x Bài 5: Cho AOB là tam giác cân O có OA = a và có các đường cao OH và AK Giả sử góc AOH Tính AK vaø OK theo a vaø AC , ⃗ BA ) , sin( ⃗ AC , ⃗ BD) , cos (⃗ AB , ⃗ CD) Baøi 6: Cho hình vuoâng ABCD Tính: cos (⃗ CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (23) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 §2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Ñònh nghóa: Cho hai vectơ ⃗a và ⃗b khác vectơ ⃗0 Tích vô hướng ⃗a ⃗b , xác định công thức sau: ⃗ |⃗a||b⃗| cos(⃗a , b) ⃗ ⃗a b= ⃗a vaø ⃗b laø moät soá, kí hieäu laø ⃗0 ta quy ước ⃗a ⃗b = ⃗0 ta coù ⃗a ⃗b=0 ⇔ ⃗a ⊥ ⃗b tích vô hướng ⃗a ⃗a = |a⃗|.|a⃗| cos kí hiệu là ⃗a2 và số này gọi là bình phương vô hướng vectơ ⃗a * Chuù yù: Neáu a⃗ = Với ⃗a và Khi ⃗a =b⃗ ⃗0 ⃗b = ⃗b khaùc vectô (bình phương vô hướng vectơ bình phương độ dài nó) AB ⃗ AC , Ví dụ: Cho tam giác ABC có cạnh a và có chiều cao AH Tính các tích vô hướng ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ AC CB , AH BC Giaûi: Ta coù: a⃗ 2=|⃗a| Các tính chất tích vô hướng: Với ba vectơ ⃗a , ⃗b , ⃗c bất kì và số k ta có: ⃗ b ⃗ a⃗ (tính chất giao hoán) ⃗a b= ⃗ ⃗ ⃗a (b+ ⃗c )=⃗a b +⃗a ⃗c (tính chaát phaân phoái) ⃗ ⃗ ⃗ (k ⃗a ) b=k (⃗a b)=⃗a (k b) ⃗a2 ≥ 0, ⃗a2=0 ⇔ ⃗a=0⃗ Từ các tính chất tích vô hướng, ta có: ⃗ 2 ⃗ ⃗2 ⃗ 2 ⃗ ⃗2 ⃗ a2 − ⃗b2 ⃗a + b ¿ =⃗a +2 a⃗ b+ b ⃗a − b ¿ =⃗a −2 ⃗a b+ b (⃗a + ⃗b)(⃗a − b)=⃗ ¿ ¿ Biểu thức tọa độ tích vô hướng: Trên mặt phẳng tọa độ (O , i⃗ , ⃗j) , cho hai vectơ ⃗a =( a1 ; a2) , ⃗b=(b ; b 2) Khi đó: ⃗a ⃗b=a1 b1+ a2 b2 * Nhận xét: Cho hai vectơ ⃗a =( a1 ; a2) , ⃗b=(b ; b 2) khác vectơ ⃗0 Ta có: ⃗a ⊥ ⃗b ⇔ a⃗ ⃗b=0 Ví dụ 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(2; 4), B(1; 2), C(6; 2) Chứng minh ⃗ AB ⊥ ⃗ AC Giaûi: Ví dụ 2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm M(-3; 4), N(1; -3) Tìm điểm P trên trục Ox cho tam giaùc MNP vuoâng taïi P Giaûi: - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (24) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 Ứng dụng: a1 ; a2 ) tính theo công thức: ⃗a =¿ |a⃗|=√ a1 +a b) Góc hai vectơ: Cho hai vectơ ⃗a =( a1 ; a2) , ⃗b=(b ; b 2) khác 0⃗ thì ta có: a b +a b ⃗a b⃗ cos (⃗a , ⃗b)= = 12 2 2 |⃗a||b⃗| √ a1 +a2 √b 1+ b2 a) Độ dài vectơ: Độ dài vectơ 2 OM=(−2 ; −1) vaø ⃗ ON=(3 ; −1) Ví dụ: Tính góc hai vectơ ⃗ Giaûi: c) Khoảng cách hai điểm: Khoảng cách hai điểm A(xA; yA), B(xB; yB) tính: y B − y A ¿2 x B − x A ¿2 +¿ ¿ ⃗ AB=|AB|=√ ¿ Ví dụ: Tính khoảng cách hai điểm M(-2; 2), N(1; 1) Giaûi: Ghi chuù: - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (25) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN AB ⃗ AC , ⃗ AC ⃗ CB Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = AC = a Tính các tích vô hướng ⃗ Bài 2: Cho tam giác ABC cạnh a, có trọng tâm G AB ⃗ CA , ⃗ GA ⃗ GB theo a a) Tính các tích vô hướng: ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ GA , ⃗ BG) , cot( ⃗ AB , ⃗ BC) b) Tính sin( GA , GB) , cos ( AB , CG) , tan (⃗ ⃗ Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy hãy tính góc hai vectơ ⃗a , b các trường hợp sau: ⃗ − 1) ; a) ⃗a =(2 ; −3), ⃗b=(6 ; ) ; b) ⃗a =(3 ; 2) , b=(5; c) ⃗ ⃗a =(− 2; − √ 3) , b=(3 ; √3) Bài 4: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A(7; -3), B(8; 4), C(1; 5), D(0; -2) Chứng minh tứ giác ABCD laø hình vuoâng Bài 5: Trên mặt phẳng Oxy cho điểm A(-2; 1) Gọi B là điểm đối xứng với điểm A qua gốc tọa độ O Tìm tọa độ điểm C có tung độ cho tam giác ABC vuông C Baøi 6: Treân maët phaúng Oxy, cho hai ñieåm A(1; 3), B(4; 2) a) Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox cho DA = DB; b) Tính chu vi tam giaùc OAB; c) Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(2; 1), B(8; 9), C(5; -3) a) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng b) Tính: chu vi tam giác ABC, số đo góc A ABC, tọa độ trực tâm H ABC MA ⃗ MB theo AB vaø MI Bài 8: Cho I là trung điểm đoạn thẳng AB Với điểm M tùy ý, tính ⃗ OA ⃗ OB hai Bài 9: Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và biết OA = a, OB = b Tính tích vô hướng ⃗ trường hợp: a) Điểm O nằm ngoài đoạn AB; b) Điểm O nằm đoạn AB Bài 10: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn cho hai daây cung AM vaø BN caét taïi I AI ⃗ AM=⃗ AI ⃗ AB vaø ⃗ BI ⃗ BN=⃗ BI ⃗ BA a) Chứng minh ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ BN theo R b) Hãy dùng kết câu a) để tính AI AM + BI ⃗ CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (26) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 §3 CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VAØ GIẢI TAM GIÁC Ñònh lí coâsin: a) Định lí: Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c ta coù: a2 = b2 + c2 - 2bccosA b2 = a2 + c2 - 2accosB c2 = a2 + b2 - 2abcosC b) Heä quaû: b2+c − a2 a2 + c2 −b cos A= cos B= bc ac a2 +b − c2 cos C= ab Ví dụ: Tam giác ABC có BC = 8, AB = 3, AC = Lấy điểm D trên cạnh BC cho BD = Tính độ dài đoạn AD Giaûi: c) Công thức tính độ dài đường trung tuyến: Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c Gọi m a, mb, mc là độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B và C Ta có: 2 b +c a − 2 a +c b m2b= − 2 a +b c2 m2c = − m2a= Ví dụ: Cho tam giác ABC có a = 7cm, b = 8cm, c = 6cm Hãy tính độ dài các đường trung tuyến tam giác ABC đã cho Giaûi: - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (27) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 Ñònh lí sin: Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC, ta coù: a b c = = =2 R sin A sin B sin C Ví duï: Cho tam giaùc ABC coù b = 7cm, c = 5cm vaø cosA = Tính a, sinA và bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC Giaûi: Công thức tính diện tích tam giác: Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c Gọi R và r là bán kính đường tròn a+b+ c ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp ABC Gọi p = là nửa chu vi ABC Kí hiệu ha, hb, hc là chiều cao ABC ứng với các đỉnh A, B, C và S là diện tích ABC Ta có: 1 ah a= bhb = ch c 2 moät phaàn hai caïnh 1 đáy nhân chiều cao ab sin C= bc sin A= ac sin B S= 2 abc S= nửa tích số hai cạnh 4R nhân sin góc xen S = pr S = √ p ( p − a)( p −b)( p −c ) (công thức Hê-rông) S= Ví duï 1: Cho tam giaùc ABC coù caùc caïnh a = 13m, b = 14m vaø c = 15m a) Tính dieän tích tam giaùc ABC; b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC Giaûi: Ví duï 2: Tam giaùc ABC coù caïnh a = √ , caïnh b = vaø goùc C = 30 Tính caïnh c, goùc A vaø dieän tích tam giaùc ABC - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (28) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 Giaûi: Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc: a) Giaûi tam giaùc: Giaûi tam giaùc laø tìm moät soá yeáu toá cuûa tam giaùc cho bieát caùc yeâu toá khaùc Ví duï 1:Cho tam giaùc ABC bieát caïnh a = 17,4m, goùc B = 44 030' vaø goùc C = 64 Tính goùc A vaø caùc caïnh b, c Giaûi: Ví duï 2: Cho tam giaùc ABC coù caïnh a = 49,4cm, b = 26,4cm vaø goùc C = 47 020' Tính caïnh c, goùc A vaø goùc B Giaûi: b) Ứng dụng vào việc đo đạc: Vấn đề 1: Để đo chiều cao cây sân (không leo lên cây) ta làm nào? - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (29) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 Vấn đề 2: Muốn biết sông rộng bao nhiêu ta làm sao? (không có phương tiện qua sông) Ghi chuù: - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (30) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Cho tam giác ABC có a = √ , b = 2, c = √ + Tính các góc A, B, bán kính R đường tròn ngoại tiếp, trung tuyến ma tam giác ABC Baøi 2: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, goùc B = 58 vaø caïnh a = 72cm Tính goùc C, caïnh b, caïnh c vaø đường cao Baøi 3: Cho tam giaùc ABC bieát caùc caïnh a = 52,1cm, b = 85cm vaø c = 54cm Tính caùc goùc A, B vaø C Baøi 4: Cho tam giaùc ABC coù goùc A = 120 0, caïnh b = 8cm vaø c = 5cm Tính caïnh a vaø caùc goùc B, C cuûa tam giác đó Bài 5: Tính diện tích S tam giác có số đo các cạnh là 7, và 12 Baøi 6: Tam giaùc ABC coù goùc A = 1200 Tính caïnh BC cho bieát caïnh AC = m vaø AB = n Baøi 7: Cho tam giaùc ABC coù caùc caïnh a = 8cm, b = 10cm vaø c = 13cm a) Tam giác đó có góc tù không? b) Tính độ dài đường trung tuyến MA tam giác ABC đó Bài 8: Tính các góc lớn tam giác ABC biết a) Caùc caïnh a = 3cm, b = 4cm vaø c = 6cm; b) Caùc caïnh a = 40cm, b = 13cm vaø c = 37cm Baøi 9: Cho tam giaùc ABC bieát caïnh a = 137,5cm, goùc B = 83 vaø goùc C = 570 Tính goùc A, baùn kính R cuûa đường tròn ngoại tiếp, cạnh b và c tam giác Bài 10: Chứng minh tam giác ABC ta có: a) a = bcosC + ccosB; b) sinA = sinBcosC + sinCcosB 2 b +c − a Bài 11: Chứng minh tam giác ABC ta có: cotA = 4S Bài 12: Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b, BD = m và AC = n Chứng minh ta có đẳng thức sau: m2 + n2 = 2(a2 + b2) CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (31) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 * OÂN TAÄP CHÖÔNG II * - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (32) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ ⃗a =(− ;1) và vectơ ⃗b=(2 ; 2) , hãy tính tích vô hướng ⃗a ⃗b Bài 2: Cho tam giác ABC có góc A = 600, BC = Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó Baøi 3: Cho tam giaùc ABC coù a = 12, b = 16, c = 20 Tính dieän tích S cuûa tam giaùc, chieàu cao h a, caùc baùn kính R, r các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác và đường trung tuyến m a tam giác Bài 4: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: a) Goùc A nhoïn vaø chæ a2 < b2 + c2; b) Goùc A tuø vaø chæ a2 > b2 + c2; c) Goùc A vuoâng vaø chæ a2 = b2 + c2 CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (33) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG - oOo - CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Đường thẳng y = ax + b: Đồ thị hàm số y = ax + b là đường thẳng gọi là đường thẳng y = ax + b Hệ số góc đường thẳng: Tang góc tạo đường thẳng d với trục Ox gọi là hệ số góc đường thẳng d k = tan Đường thẳng y = ax + b có hệ số góc là a Đường tròn: Đường tròn tâm O, bán kính R là hình gồm các điểm cách điểm O khoảng R Đường tròn tâm O, bán kính R thường kí hiệu C(O; R) C(O; R) = {M OM = R} Tiếp tuyến đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với đường tròn điểm Tiếp tuyến đường tròn vuông góc với bán kính taïi tieáp ñieåm Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O; R) và khoảng cách từ O đến bán kính R Quan hệ hai vectơ: Hai vectơ gọi là cùng phương giá chúng song song trùng ⃗u cuøng phöông ⃗v k R\{0} : ⃗u =k ⃗v ⃗u ⊥ ⃗v ⃗u ⃗v = Ghi chuù: - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (34) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 §1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Vectơ phương đường thẳng: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng Δ là đồ thị hàm số y= x Δ , có hoành độ là và ⃗ M M u ⃗ = ( ; ) b) Cho vectô Hãy chứng tỏ cùng phương với ⃗u a) Tìm tung độ hai điểm M0 và M nằm trên ⃗ gọi là vectơ phương đường thẳng Vectô u ⃗u ≠ 0⃗ và giá ⃗u song song trùng với Nhaän xeùt: Nếu ⃗u là vectơ phương đường thẳng thì k ⃗u (k ≠ 0) là vectơ phương Do đó đường thẳng có vô số vectơ phương Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm và vectơ phương đường thẳng đó Phương trình tham số đường thẳng: a) Ñònh nghóa: Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng qua điểm M0(x0; y0) và nhận vectơ ⃗u=(u1 ; u2) ¿ x=x +u1 t vectơ phương có phương trình tham số là: y= y +u t , đó t R là tham số ¿{ ¿ ¿ x=5 −6 t Hãy tìm ít ba điểm trên đường thẳng : y=2+8 t và hai vectơ phương nó ¿{ ¿ laøm b) Liên hệ vectơ phương và hệ số góc đường thẳng: Nếu đường thẳng có vectơ phương ⃗u=(u1 ; u2) với u1 ≠ thì Δ coù heä soá goùc k = u2 u1 Ví dụ: Viết phương trình tham số đường thẳng d qua hai điểm A(2; 3) và B(3; 1) Tính hệ số góc cuûa d Giaûi: Vectơ pháp tuyến đường thẳng: - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (35) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 ¿ x=−5+ 2t Cho đường thẳng : y=4+3 t ¿{ ¿ vaø vectô ⃗n= ( 3; − ) Hãy chứng tỏ ⃗n vuông góc với vectơ phương Vectơ ⃗n gọi là vectơ pháp tuyến đường thẳng ⃗n ≠ ⃗0 và ⃗n vuông góc với vectơ phöông cuûa Δ Nhaän xeùt: Nếu ⃗n là vectơ pháp tuyến đường thaúng thì k ⃗n ( k ≠ ) cuõng laø moät vectô phaùp tuyeán cuûa Do đó đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến Một đường thẳng hoàn toàn xác định bieát moät ñieåm vaø moät vectô phaùp tuyeán cuûa noù Phương trình tổng quát đường thẳng: a) Ñònh nghóa: Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng qua điểm M0(x0; y0) và nhận ⃗n= ( a ; b ) làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là: a(x - x0) + b(y - y0) = hay ax + by + c = với c = ax0 + by0 Nhận xét: Nếu đường thẳng có phương trình tổng quát ax + by + c = thì có vectơ pháp tuyeán laø ⃗n = (a; b) vaø coù moät vectô chæ phöông laø ⃗u = (-b; a) Ví dụ: Lập phương trình tổng quát đường thẳng qua hai điểm A(2; 2) và B(4; 3) Giaûi: b) Các trường hợp đặc biệt: Cho đường thẳng có phương trình tổng quát ax + by + c = (1) Nếu a = thì (1) trở thành bx + c = hay y=− c b Khi đó đường thẳng vuông góc với trục Oy điểm (0; − c b ) Nếu b = thì (1) trở thành ax + c = hay x = − c a c Khi đó đường thẳng vuông góc với trục Ox điểm ( − ; a ) - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (36) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 Nếu c = thì (1) trở thành ac + by = Khi đó đường thẳng Δ qua gốc tọa độ O Nếu a, b, c khác ta có thể đưa (1) dạng x y + =1 a0 b c c a0 =− ,b 0=− Đây là phương trình đường thẳng theo đoạn a b chaén cuûa Δ Đường thẳng này cắt Ox và Oy M(a0; O) và N(0; b0) với Vị trí tương đối hai đường thẳng: Xét hai đường thẳng 1 và 2 có phương trình tổng quát là: a1x + b1y + c1 = vaø a2x + b2y + c2 = Tọa độ giao điểm Δ vaø Δ2 ¿ a1 x+ b1 y + c1 =0 a x+ b2 y+ c 2=0 laø nghieäm cuûa heä phöông trình: (I ) ¿{ ¿ Ta có các trường hợp sau: a) Heä (I) coù moät nghieäm (x0; y0) caét Δ taïi ñieåm b) Heä (I) coù voâ soá nghieäm ⇔ Δ truøng Δ c) Heä (I) voâ nghieäm ⇔ Δ song song Δ M ( x0 ; y0 ) Ví dụ : Cho đường thẳng d có phương trình x - y + = 0, xét vị trí tương đối d với đường thẳng sau: 1: 2x + y - = 0, 2: x - y - = 0, 3: 2x - 2y + = Giaûi: - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (37) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 Góc hai đường thẳng: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I và các cạnh AB = 1, AD = √ Tính soá ño caùc goùc ∠ AID vaø ∠ DIC Cho hai đường thẳng 1: a1x + b1y + c1 = 0, 2: a2x + b2y + c2 = Góc hai đường thẳng 1, 2 kí hiệu là (1, 2) Đặt = (1, 2), đó ta có: |a1 a2+ b1 b2| cos ϕ= 2 2 √ a1 +b1 √ a2 +b Ví dụ: Tính góc hai đường thẳng 1: 3x - y + = và 2: 2x - 4y + 19 = Giaûi: * Chuù yù: 1 2 ⃗n1 ⊥ n⃗ a1a2 + b1b2 = Nếu 1 và 2 có phương trình y = k1x + m1 và y = k2x + m2 thì 1 2 k1.k2 = -1 Công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng có phương trình ax + by + c = và điểm M 0(x0; y0) Khoảng cách từ điểm M0 đến đường thẳng , kí hiệu là d(M0, ), tính công thức: |ax + by 0+ c| d ( M , Δ )= √ a2 +b Ví dụ: Tính khoảng cách từ các điểm M(-2; 1) và O đến đường thẳng có phương trình 3x - 2y - = Giaûi: Ghi chuù: - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (38) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Lập phương trình tham số đường thẳng d trường hợp sau: a) d ñi qua ñieåm M(2; 1) vaø coù vectô chæ phöông ⃗u = (3; 4) b) d ñi qua ñieåm M(-2; 3) vaø coù vectô phaùp tuyeán laø ⃗n =(5; 1) Bài 2: Lập phương trình tổng quát đường thẳng trường hợp sau: a) ñi qua M(-5; -8) vaø coù heä soá goùc k = -3; b) ñi qua hai ñieåm A(2; 1) vaø B(-4; 5) Bài 3: Viết phương trình tổng quát, phương trình tham số đường thẳng trường hợp sau: a) qua điểm A(1; -2) và song song đường thẳng d: 2x - 3y - = a) ñi qua hai ñieåm M(1; -1) vaø N(3; 2) a) qua điểm P(2; 1) và vuông góc đường thẳng d: x - y + = Baøi 4: Cho tam giaùc ABC, bieát A(1; 4), B(3; -1) vaø C(6; 2) a) Lập phương trình tổng quát các đường thẳng AB, BC và CA; b) Lập phương trình tổng quát đường cao AH và trung tuyến AM Baøi 5: Cho tam giaùc ABC, bieát A(-4; 1), B(2; 4) vaø C(2; -2) a) Tính cosA; b) Tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB Bài 6: Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng d và d sau đây: d2: x=5+ t a) d : x − 10 y+1=0 vaø d : x + y +2=0 ; b) d :12 x − y+ 10=0 vaø ; y=3+2 t ¿{ d2: x=− 1−5 t x=− 6+5 t ' x=−6 +5 t c) d : x +10 y − 12=0 vaø ; d) d : vaø d : y=2+ t y=2 − t ' y =3+t ¿{ ¿ x=2+2 t Bài 7: Cho đường thẳng d có phương trình tham số y=3+ t Tìm điểm M thuộc d và cách điểm A(0; 1) ¿{ ¿ khoảng Bài 8: Tìm số đo góc hai đường thẳng d1: 4x - 2y + = và d2: x - 3y + = Bài 9: Tìm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng các trường hợp sau: a) A(3; 5), : 4x + 3y + = 0; b) B(1; -2), d: 3x - 4y - 26 = 0; c) C(1; 2), m: 3x + 4y - 11 = { - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - { (39) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 Bài 10: Tìm bán kính đường tròn tâm C(-2; -2) tiếp xúc với đường thẳng : 5x + 12y - 10 = CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (40) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 §2 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước: Đường tròn tâm I(a; b), bán kính R có phương trình là: (x - a)2 + (y - b)2 = R2 * Chú ý: Phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ O vaø coù baùn kính R laø: x2 + y2 = R2 Ví dụ: Lập phương trình đường tròn (C) các trường hợp sau: a) (C) coù taâm I(1; -2) vaø ñi qua ñieåm A(3; 5) b) (C) nhận AB làm đường kính với A(3; -4) và B(-3; 4) c) (C) có tâm I(1; -2) và tiếp xúc với đường thẳng x + y = d) (C) ñi qua ñieåm M(1; 2), N(5; 2) vaø P(1; -3) Giaûi: - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (41) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 Nhaän xeùt: Phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = là phương trình đường tròn (C) và a + b2 - c > Khi đó (C) có bán kình là R = √ a2 +b2 −c Ví dụ: Tìm tọa độ tâm và độ dài bán kính đường tròn (C) x2 + y2 - 2x + 4y - = Giaûi: Hãy cho biết phương trình nào các phương trình sau đây là phương trình đường tròn: 2x2 + y2 - 8x + 2y - = 0; x2 + y2 + 2x - 4y - = 0; x2 + y2 - 2x - 6y + 20 = 0; x2 + y2 + 6x + 2y + 10 = Phương trình tiếp tuyến đường tròn: Cho đường tròn (C) tâm I(a; b), bán kính R Tiếp tuyến điểm M(x0; y0) nằm trên đường tròn (C) có phöông trình: 0 0 (x - a)(x - x ) + (y - b)(y - y ) = Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến điểm M(3; 4) thuộc đường tròn (C): (x - 1) + (y - 2)2 = Giaûi: Ghi chuù: - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (42) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Tìm tâm và bán kính các đường tròn sau: a) x2 + y2 - 2x - 2y - = 0; b) 16x2 + 16y2 + 16x - 8y - 11 = 0; c) x2 + y2 - 4x + 6y - = Bài 2: Lập phương trình đường tròn (C) các trường hợp sau: a) (C) coù taâm I(-2; 3) vaø ñi qua M(2; -3); b) (C) có tâm I(-1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng x - 2y + = 0; c) (C) có đường kính AB với A(1; 1) và B(7; 5) Bài 3: Lập phương trình đường tròn qua ba điểm: a) A(1; 2), B(5; 2), C(1; -3) b) M(-2; 3), N(5; 5), P(6; -2) Bài 4: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy và qua điểm M(2; 1) Bài 5: Cho đường tròn có phương trình x2 + y2 - 4x + 8y - = a) Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn điểm A(-1; 0); b) Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn, biết nó vuông góc với đường thẳng x + 2y = Bài 6: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm trên đường thẳng có phöông trình 4x - 2y - = Bài 7: Cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 - 4x + 8y - = a) Tìm tọa độ tâm và bán kính (C); b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) qua điểm A(-1; 0); c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng 3x - 4y + = CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (43) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 §3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP Định nghĩa đường elip: Cho hai điểm cố định F1 , F2 và độ dài không đổi 2a lớn F1 F2 Elip là tập hợp các điểm M maët phaúng cho: F1M F2 M 2a Các điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm elip Độ dài F1 F2 2c gọi là tiêu cự elip Phöông trình chính taéc cuûa elip: Cho elip (E) có các tiêu điểm F và F2 Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho F1(-c; 0), F2(c; 0) Khi đó phương trình chính tắc elip (E) coù daïng: x2 y2 + =1 với b2 = a2 - c2 a2 b2 Hình daïng cuûa elip: (E) có các trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc O (E) caét truïc Ox taïi hai ñieåm A1(-a; 0), A2(a; 0) vaø caét (E) caét truïc Oy taïi hai ñieåm B1(0; -b), B2(0; b) Caùc ñieåm A1, A2, B1, B2 goïi laø caùc ñænh cuûa elip Đoạn thẳng A1A2 gọi là trục lớn, đoạn thẳng B1B2 gọi là trục nhoû cuûa elip c Tæ soá = e gọi là tâm sai elip a x2 y2 E : 1 Hãy xác định các đỉnh, tiêu điểm và độ dài các trục elip E Ví duï 1: Cho elip Giaûi: Ví duï 2: Vieát phöông trình chính taéc cuûa elip (E) bieát: a) (E) có độ dài trục lớn 10 và tiêu cự 6; √3 b) (E) có độ dài trục lớn 8, tăm sai e = Giaûi: - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (44) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 Liên hệ đường tròn và đường elip: 2 a) Từ hệ thức b a c ta thấy tiêu cự elip càng nhỏ thì b càng gần a, tức là trục nhỏ elip càng gần trục lớn Lúc đó elip có dạng gần đường tròn b) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình 2 x y a Với điểm M(x; y) thuộc đường tòn ta xét điểm M'(x'; y') x ' =x b cho y '= y (với < b < a) thì tập hợp các điểm M’ có tọa độ a x '2 y '2 + =1 là elip (E) Khi đó ta nói thoûa maõn phöông trình a2 b2 đường tròn (C) co thành elip (E) Ghi chuù: { BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh các elip có phương trình sau: x2 y + =1 ; a) b) 4x2 + 9y2 = 1; c) 4x2 + 9y2 = 36 25 Baøi 2: Laäp phöông trình chính taéc cuûa elip (E) , bieát: 12 a) (E) có độ dài trục lớn, trục nhỏ là và 6; b) (E) ñi qua hai ñieåm M(0; 3), N(3; − ); √ ) naèm treân (E) c) Elip coù moät tieâu ñieåm laø F1( − √ ; 0) vaø ñieåm M(1; Bài 3: Để cắt bảng hiệu quảng cáo hình elip có trục lớn là 80 cm và trục nhỏ là 40 cm từ ván ép hình chữ nhật có kích thước 80 cm x 40 cm, người ta vẽ hình elip đó lên ván ép hình 3.19 Hỏi phải ghim hai cái đinh cách các mép ván ép bao nhiêu và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu? CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (45) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 * OÂN TAÄP CHÖÔNG III * - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (46) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD Biết các đỉnh A(5; 1), C(0; 6) và phương trình CD: x + 2y - 12 = Tìm phương trình các đường thẳng chứa các cạnh còn lại Baøi 2: Cho ba ñieåm A(4; 3), B(2; 7) vaø C(-3; -8) a) Tìm tọa độ trọng tâm G và trực tâm H tam giác ABC; b) Gọi T là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh T, G và H thẳng hàng; c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 3: Lập phương trình hai đường phân giác các góc tạo đường thẳng : x − y +12=0 và đường thẳng d: 12 x +5 y − 7=0 Bài 4: Tìm góc hai đường thẳng Δ và Δ các trường hợp sau: a) Δ :2 x+ y − 4=0 vaø Δ :5 x − y +3=0 ; b) Δ : y=− x + vaø Δ : y= x + 2 x2 y2 + =1 Tìm tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm và vẽ elip đó Baøi 5: Cho elip (E): 16 Bài 6: Cho đường thẳng : x - y + = và hai điểm O, A(2; 0) a) Tìm điểm đối xứng O qua Δ ; b) Tìm điểm M trên cho độ dài đường gấp khúc OMA ngắn Bài 7: Cho đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính Chứng minh tập hợp các điểm M mà từ đó ta vẽ hai tiếp tuyến với (C) tạo với góc 60 là đường tròn Hãy viết phương trình đường tròn đó Bài 8: Cho A(1; 2), B(-3; 1) và C(4; -2) Tìm tập hợp các điểm M cho MA 2+ MB2=MC2 Bài 9: Tìm tập hợp các điểm cách hai đường thẳng 1: 5x + 3y - = và 2: 5x + 3y + = Bài 10: Ta biết Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là elip mà Trái Đất là tiêu điểm Elip đó có chiều dài trục lớn và trục nhỏ là 769 266 km và 769 106 km Tính khoảng cách ngắn và khoảng cách dài từ Trái Đất đến Mặt Trăng, biết các khoảng cách đó đạt Trái Đất và Mặt Trăng nằm trên trục lớn elip CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (47) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10 * OÂN TAÄP CUOÁI NAÊM * Bài 1: Cho hai vectơ ⃗a và ⃗b có |a⃗| = 3, |b⃗| = 5, (⃗a , ⃗b) = 1200 Với giá trị nào m thì hai vectơ ⃗a + m ⃗b và ⃗a −m ⃗b vuông góc với nhau? AM=β ⃗ AC AM=α ⃗ AB , ⃗ Baøi 2: Cho tam giaùc ABC vaø hai ñieåm M, N cho ⃗ 2 a) Haõy veõ M, N = ,= − ; 3 b) Hãy tìm mối liên hệ và để MN song song với BC Bài 3: Cho tam giác ABC cạnh a a) Cho M là điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tính MA 2+ MB2+ MC2 theo a; b) Cho đường thẳng d tùy ý, tìm điểm N trên đường thẳng d cho NA 2+ NB2 +NC nhỏ Bài 4: Cho tam giác ABC có cạnh cm Một điểm M nằm trên cạnh BC cho BM = cm a) Tính độ dài đoạn thẳng AM và tính côsin góc BAM; b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM; c) Tính độ dài đường trung tuyến vẽ từ đỉnh C tam giác ACM; d) Tính dieän tích tam giaùc ABM Bài 5: Chứng minh tam giác ABC có: a) a = bcosC + ccosB; b) sinA = sinBcosC + sinCcosB; c) = 2RsinBsinC Baøi 6: Cho caùc ñieåm A(2;3 ), B(9; 4), M(5; y) vaø P(x; 2) a) Tìm y để tam giác AMB vuông M; b) Tìm x để ba điểm A, P và B thẳng hàng Bài 7: Cho tam giác ABC với H là trực tâm Biết phương trình đường thẳng AB, BH và AH là 4x + y - 12 = 0, 5x - 4y - 15 = và 2x + 2y - = Hãy viết phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh còn lại và đường cao thứ ba Bài 8: Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng : 4x + 3y - = và tiếp xúc với hai đường thẳng d1: x + y + = và d2: 7x - y + = 2 x y + =1 Baøi 9: Cho elip (E): 100 36 a) Hãy xác định tọa độ đỉnh, các tiêu điểm elip (E) và vẽ elip đó; b) Qua tiêu điểm elip dựng đường thẳng song song với Oy và cắt elip hai điểm M và N Tính độ dài đoạn MN CAÂU HOÛI OÂN TAÄP HEØ - Taøi lieäu löu haønh noäi boä - (48)