3. KÎ ®êng kÝnh DK cña ®êng trßn ®êng kÝnh AB. Dùng h×nh b×nh hµnh ABCD. Chøng minh tõ gi¸c ABOC néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn. BE song song víi DM.. Khi h×nh thoi ABCD cè ®Þnh. Chøng[r]
(1)ơn tập hình học đờng trịn – góc với đờng trịn A) Đờng trịn:
1, Định nghĩa: Tập hợp điểm cách điểm cho trớc khoảng cách R > không đổi gọi đờng trịn tâm bán kính R Kí hiệu : ( 0; R)
2, Vị trí t ơng đối:
* Của điểm với đờng tròn : xét (0 ; R ) điểm M
vị trí tơng đối Hệ thức
M n»m ngoµi ( O ; R ) OM > R
M n»m trªn ( O ; R ) hay M thuéc ( O ; R) OM = R
M n»m ( O ; R ) OM < R
* Của đờng thẳng với đờng tròn : xét ( O; R ) đờng thẳng a ( với d khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng a )
vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức
a c¾t ( O ; R ) d < R
a tiÕp xóc ( O ; R ) d = R
a ( O ; R ) không giao d > R * Của hai đờng tròn :xét ( O; R) (O’; R’) ( với d = O O’ )
vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức
Hai đờng tròn cắt R – r < d < R - r Hai đờng tròn tiếp xúc :
+ tiÕp xóc ngoµi : + tiÕp xóc :
1 d = R + r
d = R – r Haiđờng trịn khơng giao :
+ hai đờng tròn ngồi :
+ đờng trịn lớn đựng đờng tròn nhỏ :
0 > R + r
d < R - r TiÕp tuyÕn đ ờng tròn :
a nh ngha : đờng thẳng d đợc gọi tiếp tuyến đờng trịn có điểm chung với đờng
b, TÝnh chÊt :
(2)+ Tính chất : Nếu hai tiếp tuyến đờng tròn cắt điểm giao điểm cách hai tiếp điểm tia kẻ từ giao điểm qua tâm đờng trịn tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến
c, C¸ch chøng minh :
Cách : chứng minh đờng thẳng có điểm chung với đờng trịn
Cách : chứng minh đờng thẳng vng góc với bán kính đờng trịn điểm điểm thuộc đờng trịn
4 Quan hệ đ ờng kính dây cung :
* Định lí : Đờng kính vuông góc với dây cung chia dây cung thành hai phần
* Định lí : Đờng kính qua trung điểm dây cung không qua tâm vuông góc với d©y cung Êy
5 Quan hệ dây cung khoảng cách đến tâm :
* Định lí : Trong đờng trịn hai dây cung chúng cách tâm
* Định lí : Trong hai dây cung khơng đờng trịn, dây cung lớn gần tâm
B Góc với đờng trịn:
1, C¸c loại góc đ ờng tròn: - Góc tâm
- Góc có đỉnh bên hay bên ngồi đờng trịn - Góc nội tiếp
- Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung 2, Mối quan hệ cung dây cung:
* Định lí 1: Đối với hai cung nhỏ đờng tròn: a, Hai cung căng hai dây
b, Đảo lại, hai dây trơng hai cung * Định lí 2: Đối với hai cung nhỏ đờng tròn:
a, Cung lớn căng dây lớn b, Dây lớn trơng cung lớn 3, Tứ gi¸c néi tiÕp:
a, Định nghĩa: Tứ giác nội tiếp đờng trịn tứ giác có bốn đỉnh nằm đờng trịn Đơng trịn đợc gọi đờng tròn ngoại tiếp tứ giác
b, C¸ch chøng minh :
(3)* Cách 2: chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện 1800
* Cách 3: chứng minh tứ giác có đỉnh kề nhìn cạnh đối diện dới góc
Bài tập đờng trịn
Bài Cho (O) đờng kính AB = 2R, C trung điểm OA dây MN OA C Gọi K điểm tuỳ ý cung nhỏ BM, H giao điểm AK MN
1 Chøng minh BCHK néi tiÕp TÝnh tÝch AH.AK theo R Bµi Cho ABC ( AC > AB,
¿ A
^
❑ ¿
= 900 ) Gọi I tâm đờng tròn nội tiếp ABC, tiếp điểm đờng tròn nội tiếp với cạnh AB, BC, AC lần lợt M, N, P
1 Chứng minh tứ giác AMIP hình vuông
2 Đờng thẳng AI cắt PN D Chứng minh điểm M, B, N, D, I nằm đờng trũn
3 Cho BI CI kéo dài cắt AC, AB lần lợt E F Cmr : BE CF = BI CI
Bµi Cho đường cao hạ từ A B Δ ABC cắt H ( góc ACB 900 )
và
cắt đường tròn ngoại tiếp Δ ABC D E a) Chứng minh : CD = CE
b) Chứng minh Δ BHD cân CD = CH
c) Cho AD cắt BC M Gọi N F hình chiếu D AB AC Chứng minh điểm N; M; F thẳng hàng
Bµi Cho (O; R) đường kính AB Trên tia đối tia AB lấy điểm E Từ E vẽ tiếp tuyến EM với (O) ( M tiếp điểm) Vẽ tiếp tuyến A ; B cắt EM C; D
a) Chứng minh : AC + BD = CD góc COD = 900. b) Chứng minh: AC.BD = R2.
c) Vẽ MH AB vµ đường kính MON (O) EN cắt (O) F Cmr: MHFE nội tiếp
d) Cho AD cắt BF K Tính AK.AN + BK.BF theo R
Bµi Cho ABCD nội tiếp (O; R) có AB đường kính, hai đường chéo AC DB cắt I Dựng IK AB K
a) C/m: ADIK BCIK nội tiếp Xác định tâm E tâm F đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác
b) C/m: KI phân giác DKC I tâm đường tròn ngoại tiếp Δ DKC
c) C/ m: DEKC nội tiếp
(4)Bµi Cho ABC nhọn , nội tiếp (O; R) Phân giác góc BAC cắt BC D cắt cung nhỏ BC M
a) C/m: OM BC
b) Dựng đường cao AH Δ ABC Cmr: AM tia phân giác góc OAH c) Từ H kẻ đường thẳng song song với tiếp tuyến C (O) cắt AC I Chứng
minh: BI đường cao ABC d) C/m: AD2 = AB.AC – DB DC
Bµi Cho (O) đường kính AB Trên đường tròn lấy điểm D khác A B
Trên đường kính AB lấy điểm C kẻ CH AD H Đường phân giác
DAB cắt đường tròn E cắt CH F, đường thẳng DF cắt đường tròn N a) Chứng minh rằng: ANF = ACF
b) Chứng minh rằng: Tứ giác AFCN tứ giác nội tiếp đường tròn c) Chứng minh rằng: Ba điểm C, N, E thẳng hàng
Bµi Cho (O) vµ điểm A nằm bên (O) Vẽ tiếp tuyến AB AC , cát tuyến ADE Gọi H trung điểm DE
a) Chứng minh tứ giác BHOC néi tiÕp
b) Chøng minh HA lµ tia phân giác góc BHA
c) Gọi I giao điểm BC DE Chứng minh : AB2 = AI AH. d) Cho BH cắt (O) K Chøng minh AE // CK
Bài Cho ABC ( AB > AC ) nội tiếp (O) Vẽ đờng phân giác  cắt (O) M Nối OM cắt BC I
1.Chøng minh tam giác BMC cân 2.Chứng minh: góc BMA < góc AMC
3.Chøng minh: gãc ABC + gãc ACB = góc BMC
4.Đờng cao AH BP tam giác ABC cắt Q Chứng minh OH // AH 5.Trên AH lấy điểm D cho AD = MO Tứ giác OMDA hình gì?
6.Chứng minh AM phân giác góc OAH
7.OM kéo dài cắt (O) N Vẽ OE vuông góc với NC Chøng minh OE=1 2MB
8.Chứng minh OICE nội tiếp Xác định tâm đờng tròn ngoại tiếp OICE 9.Chứng minh tứ giác ABHP QPCH nội tiếp
10.Tõ C vÏ tiÕp tuyÕn cña (O) cắt BM K Cmr: CM phân giác BCK 11.So sánh góc KMC KCB víi gãc A
(5)14.Chøng minh gãc SBC = gãc NCM 15.Chøng minh gãc ABF = gãc AON
16.Tõ A kỴ AF // BC, F thc (O) Chøng minh BF = CA
Bài 10 Cho ABC có ba góc nhọn Đờng trịn tâm O đờng kính BC cắt AB, AC theo thứ tự D, E Gọi I giao điểm BE CD
1. Chøng minh AI vu«ng gãc víi BC 2. Chøng minh gãc IDE = gãc IAE 3. Chøng minh : AE EC = BE EI
4. Cho góc BAC = 600 Chứng minh tam giác DOE đều.
Bài 11 Cho ABC vuông cân A ( AB > AC ), đờng cao AH Vẽ đờng trịn tâm I đờng kính BH cắt AB E, đờng tròn tâm K đờng kính CH cắt AC F
a) Tø gi¸c AEHF hình gì?
b) Chứng minh tứ giác BEFC néi tiÕp c) Chøng minh AE AB = AF AC
d) Chømg minh EF lµ tiÕp tun chung cđa (O) vµ (I)
e) Gọi Ax tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp ABC Chứng minh Ax // EF Bài 12 Tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn đờng kính AC ( AB > BC ; AD > CD )
Gäi
E giao điểm AB CD, F giao điểm AD BC Chứng minh rằng: a) EF AC
b) DA DF = DC DE c) Tứ giác BDFE nội tiếp Bài 13
Cho đờng trịn tâm O đờng kính BC, điểm A thuộc (O) Vẽ bán kính OK // BA ( K A nằm phía BC ) Tiếp tuyến với (O) C cắt OK I
a) Chøng minh IA lµ tiÕp tun cđa (O)
b) Chứng minh CK tia phân giác cña gãc ACI c) Cho BC = 30 cm; AB = 18 cm TÝnh OI, CI Bµi 14
Cho (O) (O’)tiếp xúcngoài A Đờng thẳng OO’ cắt (O) (O’) theo thứ tự tạu B C ( khác A ) Gọi DE tiếp tuyến chung ngồi hai đờng trịn ( D thuộc (O); E thuộc (O’)) M giao điểm BD CE Chứng minh :
a) Gãc DME góc vuông
(6)Bài 15
Cho nửa đờng trịn đờng kính AB = 2R Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đờng tròn C D hai điểm di động nửa đờng tròn Các tia AC AD cắt Bx lần lợt E F ( F nằm B E )
a) Chứng minh hai tam giác ABF BDF đồng dạng b) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp
c) Khi D C di động nửa đờng tròn , Cmr :AC AE = AD AF = số Bài 16 Cho (O) Vẽ hai dây AB CD vng góc M bên (O) Từ A vẽ
mét
đờng thẳng vng góc với BC H, cắt CD E F điểm đối xứng C qua AB Tia AF cắt tia BD K Chứng minh rằng:
a) Gãc MAH = gãc MCB b) Tam gi¸c ADE cân c) Tứ giác AHBK nội tiếp
Bi 17 Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC), đờng cao AH Trên đoạn thẳng HC
lÊy D cho HD = HB VÏ CE vu«ng gãc víi AD (EAD) a) Chøng minh tø gi¸c AHCE néi tiÕp
b) Chứng minh AB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp AHCE c) Chứng minh CH tia phân giác góc ACE
d) Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng CA, CH cung nhỏ AH đ-ờng tròn nói trªn biÕt AC = 6cm; gãc ACB = 30o.
Bµi 18
Cho đờng trịn đờng kính AB, điểm C, D đờng tròn cho C, D không nằm nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC Gọi điểm cung AC, AD lần lợt M, N; giao điểm MN với AC, AD lần lợt H, I; giao điểm MD với CN K
a) CMR: ΔNKD; ΔMAK c©n
b) CMR tứ giác MCKH nội tiếp đợc Suy KH // AD c) So sánh góc CAK với góc DAK
Bµi 19
Cho nửa đờng trịn đờng kính AB = 2R điểm M nửa đờng tròn ( M khác A B ) Đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn M cắt đờng trung trực đoạn AB I Đờng tròn (I) tiếp xúc với AB cắt đờng thẳng d C D ( D nằm góc BOM )
(7)b) CMR : CA DB vng góc với AB c) CMR : ΔAMB đồng dạng ΔCOD
d) CMR : AC.BD = R2
Bµi 20 Cho ABC(AB = AC ), cung tròn BC nằm bên ABC vµ tiÕp xóc víi
AB , AC B , C cho A tâm cung BC nằm khác phía BC Trên cung BC lấy điểm M kẻ đờng vng góc MI , MH , MK xuống cạnh tơng ứng BC , CA , AB Gọi giao điểm BM , IK P ; giao điểm CM , IH Q
a) CMR tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc b) CMR : MI2 = MH MK
c) CMR tứ giác IPMQ nội tiếp đợc Suy PQ MI d) CMR KI = KB IH = IC
Bài 21 Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B ( B ≠ C )
vẽ đờng tròn tâm (O’) đờng kính BC Gọi M trung điểm đoạn AB Qua M kẻ dây cung DE vng góc với AB , DC cắt đờng trịn (O’) I
a) Tø gi¸c ADBE hình ? Tại ? b) Chứng minh ba điểm I , B , E thẳng hàng
c) CMR: MI tiếp tuyến đờng tròn (O’) MI2 = MB.MC
Bµi 22 Cho (O, R) đường kính AB, tiếp tuyến Bx, Bx lấy BM = R, kẻ tiếp tuyÕn
MC, AM caét (O) E
a) Chứng minh: OCMB hình vuông
b) Chứng minh:MA.ME = R2
c) Chứng minh: Δ CME ~ Δ AMC
d) Tính độ dài CE SOEB theo R
Bµi 23 Cho nửa(O) đường kính AB, C thuộc (O), kẻ OH vng góc BC, OH cắt tiếp
tuyến B E Gọi D giao điểm OE với (O), M giao điểm AD với BC
a) Chứng minh: AC B^ =A^B E H trung điểm BC
b) Chứng minh: AD phân giác C^A B
c) Chứng minh: EC tiếp tuyến (O)
d) AD cắt BE I, IH cắt BD K Chứng minh: KH.BI = IK.BH
(8)tại D, AI cắt tiếp tuyến B O’ Vẽ (O’) bán kính O’B
a) Chứng minh: O’B2 = O’A.O’I
b) Chứng minh:AO’ phân giác D^A B .
c) Chứng minh: AD tiếp tuyến (O’)
d) Kẻ dây cung EF (O’) qua I Chứng minh: IE.AF = IF.AE
Bµi 25 Cho (O) đường kính AB, dây AD > DB, kéo dài AD đoạn DM = AD BM cắt (O) C, gọi H giao điểm AC BD
a) Chứng minh:AB = BM
b) Chứng minh: AH.BC = HC.AB
c) Chứng minh:MH vng góc AB I
d) Chứng minh: AC.AH + BH.BD = 4R2
e) Gọi K trung điểm MH Chứng minh: DK tiếp tuyến của(O) Bµi 26
Cho nửa (O) đờng kính AB tiếp tuyến Bx nửa đờng tròn Trên tia Bx lấy hai điểm C, D ( C nằm B D) Các tia AC, AD lần lợt cắt đờng tròn E F Hai dây AE , BF cắt M Hai tia AF, BE cắt N Chứng minh :
a) Tø gi¸c FNEM néi tiếp b) Tứ giác CDFE nội tiếp Bài 27
Cho ABC Hai đờng cao BE CF cắt H Gọi D điểm đối xứng H qua trung điểm M BC
a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp Tìm tâm O đờng trịn
b) Đờng thẳng DH cắt (O) điểm thứ hai I Chứng minh A, I, F, H, E nằm đờng trịn
Bµi 28
Cho ABCD nội tiếp nửa đờng trịn đờng kính AD Hai đờng chéo AC BD cắt E Vẽ EF AD Gọi M trung điểm DE Chứng minh :
a) C¸c tø gi¸c ABEF, DCEF nội tiếp b) Tia CA phân giác góc BCF c)* Tø gi¸c BCMF néi tiÕp.
Bài 29 cho hình thang ABCD nội tiếp (O) Các đờng chéo AC, BD cắt
E, cạnh AD, BC kéo dài cắt F CMR: a) A, D, O, E nằm đờng tròn b) Tứ giác AOCF nội tiếp
(9)Cho (O; R) điểm A (O) Qua A vẽ tiếp tuyến AB (O), B tiếp điểm; vẽ cát tuyến ACD thay đổi cắt (O) C D Gọi H hình chiếu B lên AO
a) Chøng minh AB2 = AC.AD
b) cho BH cắt CD I , J trung điểm CD Cmr : AI.AJ = AH.AO
Bµi 31 (4,0đ) Cho nửa (O), đường kính BC Lấy điểm A cung BC cho AB < AC
D trung điểm OC, từ D kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt AC E a) Chứng minh tứ giác ABDE nội tiếp đường tròn, xác định tâm b) Chứng minh BAD BED
c) Chứng minh CE.CA = CD.CB Bµi 32
Cho (O) cát tuyến (d) cố định không qua O cắt (O) điểm E , F Lấy A (d) (E nằm A, F) vẽ tiếp tuyến AB, AC (B, C tiếp điểm ) Gọi H trung điểm EF
a./ C/minh : AO BC
b./ C/m: A , B, O, H , C thuộc đ.tròn
c./ BC cắt OA , OH I K C/minh OI.OA = OH.OK = R2 d./ C/minh KE OE KEOF nội tiếp
Bµi 33
Cho đờng tròn (O; R) điểm S ngồi đờng trịn Vẽ tiếp tuyến SA SB Vẽ đờng thẳng a qua S cắt (O) M; N với M nằm S N (O a)
a) Chøng minh SO AB
b) Gọi H giao điểm SO AB; I trung điểm MN Hai đờng thẳng OI AB cắt E Chứng minh :L ISHE nội tiếp
c) Chøng minh OI.OE = R2
d) Cho SO = 2R vµ MN = R TÝnh diÕn tích tam giác ESM theo R Bài 34
Cho tam giác vuông MNP (góc M = 900) Từ N dựng đoạn thẳng NQ phía tam giác MNP cho NP = NQ vµ gãc MNP = gãc PNQ, gọi I trung điểm PQ, MI cắt NP E
1.Chứng minh góc PMI gãc QNP b»ng Chøng minh tam gi¸c MNE tam giác cân Chứng minh MN.PQ = NP.ME
(10)Cho ABCD nội tiếp đờng trịn đờng kính AD Hai đờng chéo AC, BD cắt E Hình chiếu vng góc E AD F Đờng thẳng CF cắt đờng tròn điểm thứ hai M Giao điểm BD CF N Chứng minh:
a) CEFD néi tiÕp
b) Tia FA tia phân giác góc BFM c) BE.DN = EN.BD
Bµi 36 Cho ABC có AB = AC đường cao AG; BE; CF gặp H a Cmr : AEHF nội tiếp Xác định tâm I đường tròn ngoại tiếp tứ giác b Chứng minh: GE tiếp tuyến (I)
c Chứng minh: AH.BE = AF.BC
d cho bán kính (I) R ·BAC = a Tính độ dài đường cao BE ABC.
Bµi 37
Cho (O, R) , dây cung AB < 2R Gọi M điểm cung nhỏ AB Kẻ hai dây MC, MD lần lợt cắt AB E F CMR:
a) Tam giác MAE MCA đồng dạng b) ME MC = MF MD
c) Tø gi¸c CEFD néi tiÕp
d) Khi AB=R√3 tam giác OAM
Bµi 38
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), đờng cao BD, CE , M trung điểm BC
a) Chøng minh tø gi¸c BCDE néi tiÕp
b) Chứng minh tam giác ADE ABC đồng dạng c) Kẻ tiếp tuyến Ax với (O) Chứng minh Ax // DE
d) Chứng minh góc BAC = 600 tam giác DME tam giác đều. Bài 39
Cho (O), đờng tròn AB Vẽ tiếp tuyến xBy Gọi C, D hai điểm di động hai nửa mặt phẳng bờ AB đối Tia AC cắt Bx M, tia AD cắt By N
a) Chứng minh tam giác ACD AMN đồng dạng b) Tứ giác MNDC nội tiếp
c) Chứng minh AC AM = AD AN tích khơng đổi C, D di động Bài 40
(11)a) Tø gi¸c CPKB néi tiÕp b) AI.BK = AC.CB
c) APB vu«ng
d) Giả sử A, B, I cố định Xác định vị trí điểm C cho diện tích hình thang vng ABKI lớn
Bµi 41
Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng trịn tâm O Các đờng cao AD , BK cắt H , BK kéo dài cắt đờng F Vẽ đờng kính BOE
a) Tø gi¸c AFEC hình ? Tại ?
b) Gọi I trung điểm AC , chứng minh H , I , E thẳng hàng c) CMR OI = BH
2 H ; F đối xứng qua AC
Bµi 42 Cho ABC ( AB = AC , A < 900 ), cung tròn BC nằm ABC
tiếp xúc với AB , AC B C Trên cung BC lấy điểm M hạ đờng vng góc MI , MH , MK xuống cạnh tơng ứng BC , CA , AB Gọi P giao điểm MB , IK Q giao điểm MC , IH
a) CMR tứ giác BIMK , CIMH nội tiếp đợc b) CMR tia đối tia MI phân giác HMK c) CMR tứ giác MPIQ nội tiếp đợc Suy PQ BC Bài 43
Cho (O) đờng kính AB, dãy AC < CB.Tia phãn giaực AOC^ caột tieỏp tuyeỏn ụỷ A taùi M, keỷ CH vuoõng goực AB
a) Chứng minh: MC tiếp tuyến (O)
b) Chứng minh: OM // BC
c) OM.CH = MC.BC
d) Gọi I giao điểm CH MB Chứng minh: I trung điểm CH Bµi 44
Cho AB AC tiếp tuyến của(O, R) Kẻ đường kính CM, kẻ OH vng góc BC H, AM cắt (O) N
a) Chứng minh: AB C^ =AC B^
b) Chứng minh: O, H, A thẳng hàng
c) Chứng minh: AB2 = AM.AN.
(12)(13)I ) Gãc tâm liên hệ cung dây. Bài 45
Cho (O) (O’) cắt hai điểm A, B Dây AC đờng tròn (O) vng góc với AO’, dây AD (O’) vng góc với AO So sánh góc AOD AO’D
Bµi 46
Trên đờng trịn (O) có cung AB 140o Gọi A’ B’ lần lợt đối xứng A, B qua O; lấy cung AD nhận B’ làm điểm giữa; lấy cung CB nhận A’ làm điểm Tính số đo cung nhỏ CD
Bài 47 Cho hai đờng tròn (O) , (O’) cắt A, B Kẻ đờng kính AOC AO’D Gọi E giao điểm thứ hai đờng thẳng AC với (O’)
a) So s¸nh c¸c cung nhá CB, BD
b) Chứng minh B điểm cung EBD
Bài 48 Cho (O), dây AB Gọi M điểm cung AB Vẽ dây MC cắt dây AB
ti D V ng vng góc với AB D, cắt OC K KCD tam giác ? Bài 49
Cho M, N, P, Q bốn điểm tùy ý (O) Các tiếp tuyến (O) bốn điểm cắt tạo thành tứ giác ABCD Tính số đo tổng góc AOB + COD ?
Bµi 50
Cho đờng trịn (O), dây AB Trên dây AB lấy D nối D với C đờng tròn (C khác A, B; A, O, C không thẳng hàng) Các đờng trung trực AD DC cắt M CMR: đờng thẳng MO qua điểm cung AC
Bµi 51
Cho hai đờng tròn đồng tâm (O; R) (O; 2R) P điểm (O; 2R) Vẽ đ-ờng tròn (P; PO) cắt đđ-ờng tròn (O; 2R) C D, cắt đđ-ờng tròn (O; R) E F OC OD cắt (O; R) A B CMR:
a) CD // EF
b) PA vµ PB lµ hai tiÕp tun cđa (O; R)
Bài 52 Cho hình thoi ABCD có cạnh AB = cm đờng chéo AC = cm Đờng trịn
tâm A bán kính R = cm tiếp xúc với đờng tròn tâm C M thuộc đoạn AC Đờng tròn cắt CB E cắt CD F Tính tỉ số độ dài cung BD cung EF
(14)Bµi 53
Cho góc xOy x độ dài l Hai điểm A, B di động hai cạnh tơng ứng cho độ dài AB l Gọi I tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác OAB
a) CMR: Tam giác IAB có kích thớc khơng đổi b) Tìm quỹ tích điểm I
Bµi 54
Cho hai đờng tròn (O) (O’) cắt A, B Qua A kẻ cát tuyến cắt đờng tròn (O), (O’) điểm thứ hai C, D Tia DB cắt (O) điểm thứ hai M Các tia OB, BO’ lần lợt cắt (O’) điểm thứ hai N, P
a) So s¸nh hai góc ACB BOO' b) So sánh hai góc CAM vµ PAN.
Bµi 55
Cho hai đờng tròn (O) (O’) cắt A, B Hai dây AC BD cắt I cắt (O’) C’, D’ Chứng minh C’D’ // CD
Bµi 56
Cho tam giác ABC nội tiếp (O), đờng cao AD, BE, CF đồng quy H Các tia AD, BE, CF cắt (O) điểm thứ hai tơng ứng A’, B’, C’
a) CMR: AB, BC, CA trung trực đoạn thẳng tơng ứng HC’, HA’, HB’ b) CMR: H tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF
c) CMR: Tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác DEF Từ so sánh bán kính đ-ờng trịn ngoại tiếp tam giác DEF bán kính đđ-ờng trịn (O)
Bµi 57
Cho đờng thẳng d và đoạn thẳng AB cắt C Dựng điểm M d cho MC phân giác góc AMB.
Bµi 58
Cho (O) (O’) tiếp xúc với A Qua A vẽ cát tuyến cắt (O) B, cắt (O’) C Một cát tuyến thứ hai qua A cắt (O) D, cắt (O’) E Cmr : CE // BD Bài 59 Cho nửa đờng trịn đờng kính AB Gọi O điểm cung AB M
lµ
một điểm nửa đờng trịn Tia AM cắt đờng trịn (O; OA) điểm thứ hai N Chứng minh : MN = MB
Bµi 60
(15)b) Gọi K giao điểm EB với (O) Chøng minh r»ng OD AK Bµi 61
Cho hai đờng tròn (O) (O’) cắt A, B, O nằm (O’) Dây AC (O) cắt (O’) D, dây OE (O’) cắt (O) F Chứng minh :
a) OD BC
b) Điểm F cách ba cạnh tam giác ABE Bài 62
Cho hai đờng thẳng song song Một đờng tròn tiếp xúc với đờng thẳng A cắt đờng thẳng B, C Trên đờng trịn lấy điểm D ( khơng trùng A, B, C ) Chứng minh A cách hai đờng thẳng BD CD
Bµi 63
Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB điểm C chạy nửa đờng tròn Vẽ đờng tròn (I) tiếp xúc với (O) C tiếp xúc với đờng kính AB D, đờng trịn cắt CA, CB lần lợt điểm thứ hai M, N CMR:
a) Ba ®iĨm M, I, N thẳng hàng b) ID MN
c) Đờng thẳng CD qua điểm cố định d) Suy cách dựng đờng trịn (I) nói
Bµi 64 Cho MA vµ MB lµ hai tiÕp tuyến (O) Vẽ (M; MA), C điểm n»m trªn
cung AB (M) ( cung AB nằm đờng tròn (O) ) Tia AC, BC cắt (O) P, Q Chứng minh : P Q đối xứng với qua O
Bµi 65
(16)III ) gãc gi÷a tiÕp tuyến dây. Bài 66
Hai tip tuyến A B đờng tròn (O1) cắt C Vẽ đờng tròn (O2) qua C, tiếp xúc với đờng thẳng AB B cắt đờng tròn (O1) M Chứng minh đ-ờng thẳng AM chia đoạn BC thành hai phần
Bµi 67
Cho (O; R) vµ (O’; r) với R > r tiếp xúc A Dây BC cđa (O; R) tiÕp xóc víi (O’; r) t¹i M (3 điểm O, A, M không thẳng hàng ) Cmr : tia AM phân giác BAC Bài 68
Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính EF Vẽ (O’) tiếp xúc với nửa đờng trịn tâm O A Kẻ đờng thẳng vng góc với EF cắt nửa đờng tròn tâm O B tiếp xúc với (O’) M Chứng minh tia AM qua đầu đờng kính EF
Bài 69 cho ABC vuông A, đờng cao AH Vẽ đờng trịn tâm I đờng kính BH, cắt AB M Vẽ đờng trịn tâm K đờng kính CH, cắt AC N
a) Tứ giác AMHN hình ?
b) CMR: MN tiếp tuyến chung hai đờng tròn (I) (K)
c) Vẽ tiếp tuyến Ax đờng tròn ngoại tiếp ABC CMR: Ax // MN
Bài 70 Cho hai đờng tròn (O) (O’) cắt B, C Tiếp tuyến C đờng tròn (O) cắt (O’) điểm thứ hai M Vẽ cát tuyến MBA ( A thuộc đờng tròn tâm O ) Từ M vẽ tiếp tuyến xy đờng tròn (O’) Chứng minh :
a) MC2 = MA.MB b) AC // xy
Bµi 71
Cho ABC ngoại tiếp (O) Gọi D, E, F tiếp điểm cạnh AB, BC, CA Gọi M, N, P lần lợt giao điểm (O) với tia OA, OB, OC Cmr : điểm M, N, P lần lợt tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADF, BDE CEF
Bµi 72
Cho (O) (O’) cắt A, B Một đờng thẳng tiếp xúc với (O) C tiếp xúc với (O’) D Vẽ đờng tròn (I) qua ba điểm A, C, D cắt đờng thẳng AB điểm thứ hai E CMR:
a) CAD + CBD = 180o.
b) Tứ giác BCED hình bình hành
Bài 73 Cho (O) ngoại tiếp ABC Gọi I J lần lợt giao điểm hai phân giác góc B góc C ABC Đờng thẳng IJ cắt (O) t¹i M
a) CMR: MBI = BIM
(17)Bài 74 Cho hai đờng tròn (O) (O’) cắt A, B Vẽ dây BC (O) tiếp xúc với
(O’) VÏ d©y BD cđa (O’) tiÕp xóc víi (O) Chøng minh r»ng : a) AB2 = AC.AD
b)
BC AC
BD AD
Bài 75 Cho điểm A cố định đờng tròn cố định tâm O Một góc xAy = x khơng
đổi quay quanh A, Ax cắt (O) B, Ay cắt (O) C Các đờng thẳng qua B C lần lợt vng góc với Ay Ax, cắt (O) theo thứ tự P Q
a) Chứng minh P, Q c nh
b) Tìm tập hợp điểm H giao BP CQ
Bài 76 Cho ABC cân A dây di động AM đờng tròn ngoại tiếp tam giỏc
ấy Đờng thẳng qua B, vuông góc với AM A, cắt CM P a) Chứng tá DMB = BMP
b) Chứng minh P thuộc đờng trịn cố định
IV ) góc có đỉnh bên - bên ngồi đờng trịn.
Bài 77 Cho ABC nội tiếp (O), Các tia phân giác góc A góc B cắt I
cắt (O) theo thứ tự M N
a) Chứng minh : MB =NC; NA = NC b) Chøng minh : MB = MI = MC
c) Gọi K điểm đối xứng với I qua M CMR: K tâm đờng tròn bàng tiếp ABC Bài 78 Cho (O), đờng kính AB vng góc với dây CD Qua M thuộc cung AD kẻ
tiÕp
tuyến với đờng tròn cắt CD I Gọi E giao điểm BM CD a) Chứng minh : IM = IE
b) Gọi F giao điểm AM CD Chøng minh r»ng AFC = ABM Bµi 79
Từ điểm A bên (O) ta vẽ tiếp tuyến AB cát tuyến ACD Vẽ dây BM vuông góc với tia phân giác góc BAC, dây cắt CD E Chứng minh :
a) Tia BM phân giác gãc CBD b) MD2 = ME.MB
Bµi 80
(18)Cho ABC cân B Qua B kẻ đờng thẳng xy song song với AC Gọi O điểm xy Vẽ đờng tròn tâm O tiếp xúc với AC D, cắt cạnh AB BC E F Chứng minh số đo cung EDF không đổi O di chuyển xy
Bµi 82
Cho ABC néi tiÕp (O) Gäi CM, AN, BP lÇn lợt phân giác ABC chúng giao I MN cắt AB E
a) BNI tam giác ? b) CMR: AE.BN = EB.AN c) CMR: EI // BC
d) Gäi D lµ giao cđa AN vµ BC CMR:
AN AB BN BD Bài 83
Cho hình thang vuông ABCD ( BC // AD ) Trên AB lấy hai điểm M, N cho M, N nhìn CD dới góc vuông CMR: SABCD = SMCD + SNCD
Bµi 84
Cho ABC nội tiếp (O) D điểm cung BC Một đờng tròn thay đổi qua A D cắt đờng thẳng AB, BD, AC theo thứ tự E, F, G Chứng minh :
a) D lµ ®iĨm chÝnh gi÷a cung EG
b) EF song song với đờng thẳng cố định
Bài 85 Cho góc nhọn xAy, lấy B C Ax Ay Dựng đờng tròn qua B C cắt Ax P, Ay Q cho PQ = m ( m độ dài cho trớc )
Bµi 86
Cho (O) vµ (O’) tiÕp xóc A Gọi TT' tiếp tuyến chung (O) (O), T T tiếp điểm tơng ứng (O) (O) Đờng thẳng OO cắt (O) B (khác A) cắt (O) C (khác A) BT cắt CT D Cmr : BCD ATT’
Bài 87 Cho ABC nhọn ; chân đờng cao xuất phát từ A, B, C cạnh BC, CA, AB D, E, F Cmr : trực tâm ABC trùng với tâm dờng tròn nội tiếp DEF
Bài 88 Cho ABC nội tiếp (O) BD CE hai đờng cao xuất phát từ B C (d)
tiÕp tun cđa (O) t¹i A CMR: d // DE
V ) tø gi¸c néi tiÕp Bµi 89
Cho ba đờng trịn qua điểm P Gọi giao điểm lại chúng A, B, C Từ điểm D đờng tròn (PBC) kẻ tia DB, DC cắt đờng tròn (PAB) (PAC) M N CMR: M, A, N thẳng hàng
(19)Cho hai đờng tròn (O) (O’) cắt A B Tia OA cắt (O’) C Tia O’A cắt (O) D CMR: O, O’, B, C, D nằm đờng trịn
Bµi 91
Cho hình vuông ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M Đờng thẳng qua C vuông góc với CM cắt tia AB, AD lần lợt E F Tia CM cắt AD N Cmr :
a) Các tứ giác AMCF ANEC nội tiÕp b) CM + CN = EF
Bµi 92
Cho (O) (O) cắt M P Kẻ dây MA (O) tiếp xúc với (O) M Kẻ dây MB (O) tiếp xúc víi (O) ë M Trªn tia MP lÊy H cho PH = PM
CMR: Tø gi¸c MAHB néi tiếp
Bài 93 cho ABC vuông C Trên AB dựng hình vuông ABMN có tâm I Chứng minh : CI phân giác góc tạo AC BC
Bài 94
Hai cạnh AB DC tứ giác ABCD kéo dài cắt E, AD BC kéo dài cắt F Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác AED, EBC, ABF CDF qua điểm
Bµi 95
Hai đờng tròn (O) (O’) cắt A B Một cát tuyến qua A cắt đờng tròn M, N Các tiếp tuyến A (O), (O’) theo thứ tự cắt BN BM P Q Chứng minh PQ // MN
Bµi 96
Cho ABC vuông A Trên đoạn AB lấy D Đờng trịn đờng kính BD cắt BC E CD F Chứng minh :
a) Tø gi¸c ACBF néi tiÕp
b) D tâm đờng tròn nội tiếp AEF c) B tâm đờng tròn bàng tiếp AEF
Bài 97 Cho ABC Một nửa đờng trịn có tâm O cạnh AB, tiếp xúc với AC,
BC K I Kẻ tiếp tuyến với nửa đờng tròn cắt cạnh BC AC M N Đoạn thẳng KI cắt OM ON P, Q CMR: MN = 2PQ
Bài 98 Cho hai đờng tròn (O) (O’) cắt B C A điểm (O) AB cắt (O’) D, AC cắt (O’) E AO cắt DE H I trung điểm BC
a) Chøng minh tø gi¸c OIDH néi tiÕp Suy AH DE b) Gäi (d) tiếp tuyến (O) A Chứng minh (d) // DE
Bài 99 Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có đờng trung bình cạnh bên
(20)Bài 100 Cho đờng tròn (O) tiếp tuyến A Trên tiếp tuyến lấy điểm C (khác A) Gọi B trung điểm AC Kẻ cát tuyến BEF (E F thuộc (O) ) Các tia CE CF cắt (O) M N Chứng minh MN // AC
VI ) bài tập tổng hợp đờng trịn
Bµi 101 (3điểm)Cho ABC vng A(AB < AC), đường cao AH Trên đoạn thẳng
HC lấy điểm D cho HD = HB Kẻ CE vng góc với AD (E thuộc đường thẳng AD) a) Chứng minh tứ giác AHEC nội tiếp
b) Chứng minh CH tia phân giác góc ACE
c) Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng CA, CH cung nhỏ AH đ -êng tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC Biết AC = 6cm, góc ACB 300
Bµi 102 (3,5điểm)
Cho (O ; R) dây cung AB cố định không qua tâm M điểm cung lớn AB (M khác A B) Các đường cao AC BD AMB cắt H
a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp
b) Chứng minh : MA.MD = MB.MC
c) Cho điểm M di động cung lớn AB Xác định vị trí điểm M cho diện tích AMB lớn
Bµi 103 (3,5điểm) Cho (O), từ điểm M tùy ý nửa đường tròn (M khác A, B) vẽ
tiếp tuyến thứ ba với nửa đường tròn cắt tiếp tuyến A, B theo thứ tự H, K
a) Chứng minh: Tứ giác AHMO nội tiếp
b) Chứng minh: AH + BK = HK
c) Chứng minh: HAOAMB HO.MB = 2R2.
d) Cho MOB 1200, R = 3cm Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn hai tiếp
tuyến MK, MB cung BM
Bµi 104 Cho ABC cân có đáy BC 200 Trên nửa nặt phẳng bờ AB không
chứa
điểm C lấy điểm D cho DA = DB D 400 Gọi E giao điểm AB CD
a) Chứng minh ACBD tứ giác nội tiếp, b) Tính góc AED
(21)Cho ABC cân A có cạnh đáy nhỏ cạnh bên nội tiếp (O) Tiếp tuyến B C đường tròn cắt tia AC AB D E Chứng minh:
a) Tứ giác BCDE tứ giác nội tiếp
b) BC song song DE
Bµi 106 Cho ABC cân C nội tiếp (O), = 370; Vẽ BD //AC (D (O))
Tính DC , D , D C
C
Bµi 107 (3,5đ) Cho đường trịn (O; R) Từ điểm M (O) cho MO = 2R, ta
kẻ hai tiếp tuyến MA MB (A B tiếp điểm) Một cát tuyến qua M cắt đường tròn C D Kẻ tia phân giác CAD cắt dây CD E đường tròn N.
Chứng minh tứ giác OAMB nội tiếp Chứng minh MA = ME
Tính tích số MC.MD theo R
Bµi 108 (4đ) Cho hình vng ABCD, điểm E thuộc cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vng góc với DE, đường thẳng cắt đường thẳng DE, DC H K
a) Chứng minh tứ giác BHCD nội tiếp
b) Tính góc CHK
c) Chứng minh KC.KD = KH.KB
d) Tìm quỹ tích H
Bµi 109 Cho nửa (O; R) đường kính AB, Ax By tiếp tuyến với nửa đường tròn lấy điểm C tia Ax vẽ tiếp tuyến CE (E tiếp điểm) cắt By D
a) C/minh : tứ giác OACE nội tiếp b) C/minh : COD = 1v
c) C/m COD AEB đồng dạng
d) Cho AE = R C/minh DEB Tính phần d.tích DEB nằm ngồi (O) Bµi 110 ( 3,25đ) Cho (O; R ) Từ S ngồi đường trịn vẽ tiếp tuyến SA SB
(A
B tiếp điểm ) đường kính AC (O) a./ Chứng minh tứ giác SAOB nội tiếp b./ Chứng minh SO song song với BC
(22)Bµi 111 Cho (O; R ) đường kính AB CD vng góc nhau.M thuộc cung AC nhỏ.Từ D hạ DE MA DF MB ; MD cắt EF I
a./ C/minh MD phân giác góc AMB b./ C/minh O, I, E thẳng hàng
c./ Khi M chạy cung ACB I chạy đường ?
d./ Khi MC cạnh lục giác nội tiếp Tính d.tích tứ giác MEDF
Bµi 112 Cho nửa (O; R) đường kính AB dây CD Qua C vẽ đường thẳng vng góc với CD cắt AB I Các tiếp tuyến A B nửa đ.tròn cắt CD theo thứ tự E F
a./ C/minh tứ giác AECI BFCI nội tiếp b./ Chứng minh CIE = CBA
c./ C/minh IEF vuoâng
d./ Khi CD = R Tiếp tuyến C D (O) cắt S ODSC
hình ? Tính chu vi diện tích đường trịn ngoại tiếp SCOD
Bµi 113 Cho ABC có Â = 1v Vẽ đường cao AH trung tuyến AM Đường tròn
tâm H bán kính HA cắt AB D AC taïi E a./ C/minh D , H , E thẳng hàng
b./ C/minh AM DE
c./ C/m tứ giác DBEC nội tiếp Tâm O? C/minh OHAM h.bình hành d./ cho C = 300 , AH = a Tính diện tích HEC theo a
Bµi 114 (3đ) Cho ABC nội tiếp (O) Gọi D điểm cung nhỏ BC ( điểm
A thuoäc cung nhỏ BD) Hai tiếp tuyến C D (O) cắt E Gọi P giao điểm đường thẳng AB CD ; Q giao điểm đ.thẳng AD CE
a./ C/m tứ giác CODE APQC nội tiếp b./ C/minh QP // BC
Bµi 115 Trên nửa ( O; R ) đ.kính AD lấy điểm B vaøC cho AB = BC = CD Qua
C
(23)a./ C/m tứ giác HDTB nội tiếp
b./ Tiếp tuyến nửa ( O; R ) B cắt tia HC F C/m FBE = FEB c./ Tiếp tuyến D cắt BF M C/minh MBD M , C , O thẳng hàng
d./ Tính theo R diện tích TAH
Bµi 116
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng trịn ( O; R), hai đờng cao AD BE cắt H ( D BC; EAC; AB < AC ).
a) Chøng minh c¸c tø gi¸c AEDB CDHE tứ giác nội tiếp b) Chứng minh CE.CA = CD CB vµ DB.DC = DH.DA
c) Chøng minh OC vu«ng gãc víi DE
d) Đờng phân giác AN BAC cắt BC N đờng tròng ( O ) K ( K khác A) Gọi I tâm đờng tròn ngoại tiếp CAN Cmr : KO CI cắt điểm thuộc đờng trịn (O)
Bµi 117
Trên đờng trịn (O; R) đờng kính AB lấy hai điểm M, E theo thứ tự A, M, E, B AM cắt BE C; AE cắt MB D
a) Chứng minh MCED tứ giác nội tiếp CD vuông góc với AB
b) Gọi H giao điểm cảu CD AB Chứng minh r»ng BE BC = BH BA
c) Cmr : tiếp tuyến M E (O) cắt điểm nằm đờng thẳng CD Bài 118
Cho MNP vuông M, đờng cao MH ( H cạnh NP ) Đờng tròn đờng kính MH cắt cạnh MN A cắt cạnh MP B
1 Chứng minh : AB đờng kính Đờng trịn đờng kính MH Chứng minh tứ giác NABP tứ giác nội tiếp
3 Từ M kẻ đờng thẳng vng góc với AB cắt cạnh NP I Cmr : IN = IP
Bài 119 Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng (theo thứ tự ấy) Gọi (O) đờng tròn qua B C Từ A vẽ tiếp tuyến AE AF với đờng tròn(O) (E F tiếp điểm) Gọi I trung điểm BC
a) Chứng minh điểm A, E, O, I, F năm đờng thẳng b) Đờng thẳng FI cắt đờng tròn (O) G Chứng minh : EG//AB c) Nối EF cắt AC K Chứng minh : AK.AI = AB.AC
Bµi 120
Cho tam giác nhọn ABC, đờng cao kẻ từ đỉnh B đỉnh C cắt H cắt đ-ờng tròn ngoại tiếp ABC lần lợt E F
1 Chứng minh AE = AF
(24)Bµi 121
Cho PQR ( ¿ P
^
❑ ¿
= 900 ) nội tiếp (O), kẻ đờng kính PD.
1 Chứng minh tứ giác PQDR hình ch÷ nhËt
2 Gọi M N thứ tự hình chiếu vng góc Q, R PD PH đờng cao tam giác ( H cạnh QR ) Chứng minh HM vng góc với cạnh PR
3 Xác định tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MHN
4 Gọi bán kính đờng trịn nội, ngoại tiếp PQR r R Cmr : r + R √PQ PR
Bµi 122
Cho ABC vng C O trung điểm AB D AB ( D A, O, B ) Gọi I J thứ tự tâm đờng tròn ngoại tiếp ACD BCD
1 Chøng minh OI // BC
2 Chứng minh điểm I, J, O, D nằm đờng tròn
3 Chứng minh CD phân giác góc ACB vµ chØ OI = OJ Bµi 123
Cho đờng tròn tâm O M điểm ngồi đờng trịn Qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB ( A, B tiếp điểm ) cát tuyến cắt đờng tròn C, D
1 Gọi I trung điểm CD Cmr : điểm A, B, O, I nằm đờng tròn AB cắt CD E Chứng MA2 = ME.MI
3 Giả sử AD = a C trung điểm MD Tính đoạn AC theo a Bµi 124
Cho điểm A bên ngồi đờng tròn tâm O Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn(B, C tiếp tuyến) M điểm cung nhỏ BC (M ≠ B, M ≠ C) Gọi D, E, F tơng ứng hình chiếu vng góc M đờng thẳng AB, AC, BC; H giao điểm MB DF ; K giao điểm MC EF
1 Chøng minh:
a MECF néi tiÕp b MF HK
2 Tìm vị trí điểm M cung nhỏ BC để tích MD.ME lớn Bài 125
Cho hình vngABCD, M điểm đờng chéo BD, gọi H, I K lần lợt hình chiếu vng góc M AB, BC, AD
1. Chøng minh tam gi¸c MIC tam giác HMK 2. Chứng minh CM vuông góc víi HK
3. Xác định vị trí M để diện tích tam giác CHK đạt giá trị nhỏ Bài 126
(25)B Qua M kẻ cát tuyến song song với AB cắt đờng tròn (O1), (O2) thứ tự C, D Đờng thẳng CA đờng thẳng DB cắt I
2. Chøng minh IM vu«ng gãc víi CD
3. Chứng minh tứ giác IANB tứ giác nội tiÕp
4. Chứng minh đờng thẳng MNđi qua trung điểm AB Bài 127
Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự Dựng đờng trịn đờng kính AB, BC, gọi D E thứ tự hai tiếp điểm tiếp tuyến chung với đờng trịn đờng kính AB BC, M giao điểm AD với CE
1 Chøng minh tứ giác ADEC tứ giác nội tiếp
2 Chứng minh MB tiếp tuyến hai đờng trịn đờng kính AB BC
3 Kẻ đờng kính DK đờng trịn đờng kính AB Chứng minh K, B, E thẳng hàng
Bµi 128
Cho nửa đờng trịn đờng kính AB Lấy điểm D tuỳ ý nửa đờng tròn (D ≠ A D ≠ B) Dựng hình bình hành ABCD Từ D kẻ DM vng góc với đờng thẳng AC M từ B kẻ BN vng góc với đờng thẳng AC N
a) Chứng minh bốn điểm D, M, B, C nằm đờng tròn b) Chứng minh AD.ND = BN.DC
c) Tìm vị trí D nửa đờng tròn cho BN.AC lớn Bài 129
Cho đờng trịn (O) đờng kính AB Một dây CD cắt AB H Tiếp tuyến B đ-ờng tròn (O) cắt tia AC, AD lần lợt M N
1 Chứng minh tam giác ACB đồng dạng với tam giác ABM
2 Các tiếp tuyến C D đờng tròn (O) cắt MN lần lợt E F Chứng minh EF = MN/2
3 Xác định vị trí dây CD để tam giác AMN tam giác
Bài 130 Cho đờng tròn (O) đờng thẳng a khơng có điểm chung với (O) Từ điểm A thuộc đờng thẳng a, kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đờng tròn (O) (B, C (O)) Từ O kẻ OH a H Dây BC cắt OA D cắt OH E
1 Chứng minh từ giác ABOC nội tiếp đợc đờng tròn Gọi R bán kính đờng trịn (O) Chứng minh OH.OE = R2
3 Khi A di chuyển đờng thẳng a, Cmr : BC qua điểm cố định Bài 131
Cho tam giác ABC cân A, có góc BAC = 450, nội tiếp đờng tròn (O ; R) Tia AO cắt đờng tròn (O; R) D khác A Lấy điểm M cung nhỏ AB (M khác A, B) Dây MD cắt dây BC I Trên tia đối tia MC lấy điểm E cho ME = MB Đờng trịn tâm D bán kính DC cắt MC điểm thứ hai K Chứng minh rằng:
(26)Bµi 132
Cho hình thoi ABCD , có góc A = 600, M điểm cạnh BC, đờng thẳng AM cắt cạnh DC kéo dài N
1 Chứng minh đẳng thức: AD2 = BM.DN.
2 Đờng thẳng DM cắt BN E Chứng minh BECD tứ giác nội tiếp
3 Khi hình thoi ABCD cố định Chứng minh điểm E năm cung tròn cố định điểm M thay đổi cạnh BC
Bài 133 Cho đờng tròn ( ), AB dây cố định đờng trịn khơng qua tâm M điểm cung lớn AB cho MAB tam giác nhọn Gọi D C thứ tự điểm cung nhỏ MA, MB, đờng thẳng AC cắt đờng thẳng BD I, đờng thẳng CD cắt cạnh MA MB thứ tự P, Q
1 Chứng minh tam giác BCI tam giác cân Chứng minh tứ giác BCQI tø gi¸c néi tiÕp Chøng minh QI = MP
4 Đờng thẳng MI cắt đờng tròn N, M chuyển động cung lớn AB trung điểm MN chuyển động đờng ?
Bài 134 Cho tam giác vuông cân ABC ( AB = AC ), cạnh BC lấy điểm M Gäi (O1)
là tâm đờng tròn tâm 01qua M tiếp xúc với AB B, gọi ( O2 ) tâm đờng tròn tâm O2 qua M tiếp xúc với AC C Đờng tròn ( O1) ( O2 ) cắt D ( D M )
1 CMR tam giác BDC tam giác vuông
2 Chng ming 01D l tip tuyến đờng tròn tâm ( O2 )
3 B01 cắt C02 E Chứng minh điểm A, B, D, E, C năm đờng tròn Xác định vị trí M cho đoạn thẳng O102 ngắn
Bµi 135 Từ A nằm (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ANM ®ến (O) Gọi E
là trung điểm MN Đường thẳng CE cắt (O) I
a) Chứng minh: điểm A, B, O, E, C thuộc đường trịn có tâm S b) Chứng minh: góc AOC = góc BIC
c) Xác định vị trí cát tuyến ANM cho tổng AM + AN lớn ?
Bài 136 Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB Trên đờng trịn (O) lấy điểm C (C khơng
trùng với A, B CA > CB) Các tiếp tuyến đờng tròn (O) A, C cắt điểm D, kẻ CH vng góc với AB ( H thuộc AB), DO cắt AC E
1) Chøng minh tø gi¸c OECH néi tiÕp
2) Đờng thẳng CD cắt đờng thẳng AB F Chứng minh 2BCF CFB 90 3) BD cắt CH M Chứng minh EM//AB
(27)E Trên ®oạn DA lấy H cho DH = DE Tia BH cắt AC K; cắt (O) F a) Chứng minh : Tứ giác CDHK ABDK nội tiếp đường tròn b) Chứng minh: KD // EF H trực tâm Δ ABC
c) Chứng minh: BM.AB + CK.AC = BC2 d) Cho biết DK = 12AB Tính DK theo R
Bµi 138 Cho ∆ABC có góc nhọn Vẽ (O) đường kính BC cắt AB E cắt AC F
a/BF, CE đường cao AK ABC đồng quy H b/C/m : BH.HF = HC.HE
c/Chứng tỏ điểm : B; K; H; E nằm đường trịn từ suy EC phân giác KEF
Bµi 139
Cho Δ ABC có góc nhọn nội tiếp (O; R) , dường kính AD đường cao AH Δ ABC
a) Chứng minh: AB.AC = AH.AD
b) Đường thẳng AH cắt (O) E Gọi K điểm đối xứng E qua BC c) Chứng minh: K trực tâm Δ ABC
d) Hai đường thẳng CK AB cắt M Hai đường thẳng BK AC cắt N Chứng minh hai đường thẳng AD MN
e) Cho góc BAC = 450 Chu7ng1 minh điểm B, M, O, N, C thuộc đường trịn có tâm I Tính diện tích hình phẳng giới hạn dây MN cung MN ( I ) theo R
Bµi 140 Cho (O; 2R) và (O’; R) tiếp xúc I Vẽ tiếp tuyến chung AB
của (O) (O’) ( B (O) A (O’) Tiếp tuyến chung I cắt AB M
a) Chứng minh : tam giác O’MO AIB tam giác vuông
b) OM cắt BI E ; O’M cắt AI F Chứng minh: EMFI hình chữ nhật c) Chứng minh: OEFO’ nội tiếp
d) Cho AB = 8cm Tính diện tích tam giác MEF
Bµi 141 Cho ABC nhọn Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC F
(28)a) C/m: tứ giác AEHF nội tiếp.Xác định tâm I đường tròn ngoại tiếp tứ giác b) C/m: OI EF
c) AH cắt BC D cắt (O) M ; N Chứng minh: HM HN = HD HA
d) Cho góc ABC = 600 , góc ACB = 750 BC = cm Tính diện tích hình phẳng giới
hạn IE, IF cung nhỏ EF (O)
Bµi 142 Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R kẻ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn C điểm nửa đường tròn cho cung AC cung CB Trên cung AC lấy điểm D tuỳ ý (D khác A C).các tia BC, BD cắt Ax E F
a/ C.m ∆BAE vuông cân b/C/m tứ giác ECDF nội tiếp
c/ Cho C động nửa đường tròn (C khác A B ) D di động cung AC (D khác A C) Cmr : BC.BE + BD.BF có giá trị khơng đổi
Bµi 143 Cho nửa (O) đường kính BC = 2a điểm A nằm nửa đường tròn
cho AB = a, M điểm cung nhỏ AC , BM cắt AC I.Tia BA cắt CM D a/ C/m ∆AOB
b/ AIMD nội tiếp đường tròn , xác định tâm K đường tròn ngoại tiếp tứ giác c/ Tính ADI
d/ Cho ABM = 450 Tính độ dài cung AI diện tích hình quạt AKI đường trịn
tâm K theo a
Bµi 144 (3 đ) C h o đường trịn (O) đường kính AB Vẽ dây CD vng góc với đường
kính AB H Gọi M điểm cung nhỏ CB, I giao điểm CB OM a Chứng minh: MA tia phân giác CMD
b Chứng minh: Bốn điểm O, H, C, I nằm đường trịn
c Cmr :Đường vng góc vẽ từ M đến AC tiếp tuyến (O) M
Bài 145 Cho ABC ( Â = 1v ), đờng cao AH Đờng tròn đờng kính AH cắt cạnh AB, AC lần lợt ti E v F
b.CM: AEHF hình ch÷ nhËt c. CM: EFCB néi tiÕp
(29)Bµi 146 Cho ABC nhän néi tiếp (O) Đờng cao AH tam giác ABC cắt (O) D ,
AO kéo dài cắt (O) E
a. Chứng minh tứ giác BDEC hình thang cân
b.Gọi M điểm cung DE, OM cắt BC I Chứng minh I trung điểm BC
c. Tính bán kÝnh cđa (O) biÕt BC = 24 cm vµ IM = cm
Bài 147 Trên nửa (O) đờng kính AB lấy hai điểm M N cho cung AM, MN,
NB b»ng Gäi P giao điểm AM BN, H giao ®iĨm cđa AN víi BM a) CMR: AMNB hình thang cân
b) CMR: PH AB Từ suy P, H, O thẳng hàng c) CMR: ON tiếp tuyến đờng trịn đờng kính PH
Bài 148 Xét nửa (O), đờng kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax dây AC Tia phân giác góc Cax cắt nửa đờng trịn D, tia AD BC cắt E
a) Chứng minh tam giác ABE cân B
b) Các dây AC BD cắt t¹i K Chøng minh EK AB c) Tia BD cắt tia Ax F Chứng minh tứ giác AKEF hình thoi
Bài 149 Cho (O) (O) có bán kính R R ( R > R) tiếp xúc C Gọi AC
BC hai đờng kính qua C (O) (O’) DE dây cung (O) vng góc với AB trung điểm M AB Gọi giao điểm thứ hai đờng thẳng DC với (O’) l F
a) Tứ giác AEBD hình gì?
b) Chøng minh r»ng ba ®iĨm B, E, F thẳng hàng c) Chứng minh tứ giác MDBF nội tiếp
d) DB cắt (O’) G Chứng minh DF, EG, AB đồng qui e) Chứng minh MF=1
2DE vµ MF lµ tiÕp tun cđa (O’)
Bài 150 Cho ABC vuông cân A Điểm D thuộc AB Qua B vẽ đờng thẳng vng góc với CD H, đờng thẳng BH cắt CA E
a) Chøng minh tø gi¸c AHBC néi tiÕp b) TÝnh gãc AHE
c) Chứng minh tam giác EAH EBC đồng dạng d) Chứng minh AD = AE
(30)Cho đoạn thẳng AB O trung điểm AB Vẽ phía với AB tia Ax, By vuông góc với AB Các điểm M, N theo thứ tự di chuyển Ax vµ By cho gãc MON = 900 Gäi I trung điểm MN Chứng minh :
a) AB lµ tiÕp tun cđa (I ; IO)
b) MO tia phân giác góc AMN
c) MN tiếp tuyến đờng tròn đờng kớnh AB
d) Khi điểm M, N di chuyển Ax, By tích AM BN không dổi Bµi 152
Cho (O; R) (O’; r)tiếp xúc A Gọi BC tiếp tuyến chung ngồi hai đờng trịn ( B thuộc (O); C thuộc (O’) ) Tiếp tuyến chung hai đờng tròn A cắt BC M
a) Chứng minh A, B, C thuộc đờng tròn tâm M
b) Đờng thẳng OO’ có vị trí tơng đối với (M) nói trên? c) Xác định tâm đờng trịn qua ba điểm O, O’, M
d) Chứng minh BC tiếp tuyến đờng tròn qua ba điểm O, O’, M
Bài 153 Từ điểm A bên ngồi đờng trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN đờng trịn Gọi I trung điểm dây MN
a) Chứng minh điểm A, B, I, O, C nằm đờng tròn
b) Nếu AB = OB ABOC hình ? Tại sao? Tính diện tích hình trịn độ dài đờng trịn ngoại tiếp ABOC theo bán kính R (O)
Bài 154 Cho ABC nội tiếp đờng tròn tâm O , tia phân giác góc A cắt BC
E cắt đờng tròn M a) CMR OM BC
b) Dựng tia phân giác Ax góc A CMR Ax qua điểm cố định c) Kéo dài Ax cắt CB kéo dài F CMR FB EC = FC EB
Bµi 155 Cho ABC nhän néi tiÕp (O), H trực tâm tam giác ABC, M điểm
trên cung BC không chứa điểm A
a) Xác định vị trí M để tứ giác BHCM hình bình hành
b) Gọi N E lần lợt điểm đối xứng M qua AB AC Chứng minh ba điểm N H , E thẳng hàng
c) Xác định vị trí M để NE có độ dài lớn
Bài 156 Cho nửa lục giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn (O ; R) Hai tip tuyn
tại B D cắt t¹i T
a) Chøng minh r»ng OT // AB
(31)c) TÝnh chu vi vµ diƯn tÝch TBD theo R
d) TÝnh diÖn tÝch hình giới hạn hai cạnh TB, TD cung BCD theo R Bµi 157
Cho đờng trịn tâm O, đờng kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B vẽ đờng trịn tâm O’ đờng kính BC Gọi M trung điểm AB Từ M kẻ dây cung DE vng góc với AB, DC cắt (O) ti I
a) Tứ giác ADBE hình ? sao? b) Chứng minh BI // AD
c) Chứng minh ba điểm I, B, E thẳng hµng vµ MD = MI
d) Xác định giải thích vị trí tơng đối đờng thẳng MI với (O’)
Bài 158 Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB, bán kính OC vng góc với AB Gọi M điểm di động cung BC ( M ≠ B, M ≠ C) AM cắt OC N
a) Chứng minh tích AM AN không đổi
b) Vẽ CD AM Chứng minh tứ giác MNOB AODC nội tiếp c) Xác định vị trí điểm M cung BC để tam giác COD cân D
Bài 159 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Tia phân giác góc A cắt BC D, c¾t (O)
tại E Tiếp tuyến đờng trịn A cắt đờng thẳng BC M a) Chứng minh MA = MD
b) Gọi I điểm đối xứng với D qua M, gọi F giao điểm IA với (O) Chứng minh E, O, F thng hng
Bài 160 Cho tam giác ABC vuông A
a) Nêu cách dựng (O) qua A tiếp xúc với BC B Nêu cách dùng (O’) qua tiÕp xóc víi BC t¹i C
b) Hai đờng trịn (O) (O’) vị trí tơng đối nào?
c) Gọi M trung điểm BC Cmr : AM tiếp tuyến chung (O) (O’) d) Cho AB = 36cm, AC = 48 cm Tính độ dài BC bán kính (O) , (O’) Bài 161
Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng (O) đờng kính MC Đờng thẳng BM cắt (O) D Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) S
a) Chøng minh tø gi¸c ABCD néi tiếp CA tia phân giác góc SCB
b) Gọi E giao điểm BC với (O) Cmr: đờng thẳng BA, EM, CD đồng qui c) Chứng minh DM phân giác góc ADE
(32)Bµi 162
Cho (O, R) (O’, r) tiếp xúc M ( R > r ) Đ ờng thẳng OO’ cắt (O) C, cắt (O’) D Tiếp tuyến chung ngồi AB ( A∈(O), B∈(O ') ) cắt địng thẳng OO’ H Tiếp tuyến chung hai đờng tròn M cắt AB I
a) Chøng minh tam giác OIO AMB tam giác vuông b) Chứng minh AB=2R.r
c) Tia AM cắt (O) A, tia BM cắt (O) B Chứng minh ba điểm A, O, B A , O , B thẳng hàng CD2 = BB2 + AA2.
d) Gọi N N’ lần lợt giao điểm AM với OI BM với O’I Tính độ dài đoạn thẳng MI, AB, OI, O’I, OH, O’H theo R r
Bµi 163
Cho (O) đờng kính AB, điểm C ( khác A, B ) nằm đờng tròn Tiếp tuyến Cx (O) cắt tia AB I Phân giác góc CIA cắt OC O’
a) Chứng minh (O’; O’C) vừa tiếp xúc với (O) vừa tiếp xúc với đờng thẳng AB b) Gọi D, E theo thứ tự giao điểm thứ hai CA, CB với (O)
Chứng minh D, O, E thẳng hàng
c) Tìm vị trí C cho đờng tròn ngoại tiếp OCI tiếp xúc với AC Bài 164
Cho (O) điểm A nằm (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN với (O) (B, C, M, N thuộc (O); AM < AN) Gọi E trung điểm dây MN, I giao điểm thứ hai đờng thẳng CE với (O)
a) Chứng minh bốn điểm A, O, E, C nằm đờng trịn b) Chứng minh góc AOC = góc BIC
c) Chøng minh BI//MN
d) Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích AIN lớn
Bài 165 Cho (O) có đờng kính BC Gọi A điểm thuộc cung BC (cung AB < AC)
D OC Đờng vuông góc với BC D cắt AC E, cắt tia BA ë F a) Chøng minh tø gi¸c ADCF néi tiếp
b) Gọi M trung điểm EF Chøng minh: gãc AME = gãc ACB c) Chøng minh AM lµ tiÕp tun cđa (O)
d) TÝnh diện tích hình giới hạn đoạn thẳng BC, BA vµ cung nhá AC cđa (O) biÕt BC = 8cm; gãc ABC = 60o.
Bài 166 Cho đờng trịn (O) đờng kính AB = 2R điểm M di chuyển nửa đờng tròn Ngời ta vẽ đờng tròn tâm E tiếp xúc với (O) M tiếp xúc với AB N Đ-ờng tròn cắt MA, MB lần lợt điểm thứ hai C, D
(33)b) Chứng minh MN tia phân giác góc AMB đờng thẳng MN qua điểm K cố định
c) Chứng minh tích KM.KN cố định
d) Gọi giao điểm tia CN, DN với KB, KA lần lợt C', D' Tìm vị trí M để chu vi NC'D' đạt GTNN
Bµi 167
Cho đờng trịn đờng kính AB, điểm C, D đờng tròn cho C, D không nằm nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC Gọi điểm cung AC, AD lần lợt M, N Giao điểm MN với AC, AD lần lợt H, I Giao điểm MD với CN K
a) CM: NKD MAK cân
b) CM: tứ giác MCKH nội tiếp đợc Suy KH//AD c) So sánh góc CAK với góc DAK
d) Tìm hệ thức số đo AC, số đo AD điều kiện cần đủ để AK//ND Bài 168
Cho (O1) (O2) tiếp xúc với điểm A tiếp tuyến chung Ax Một đ-ờng thẳng d tiếp xúc với (O1), (O2) lần lợt B, C cắt Ax điểm M Kẻ đờng kính BO1D, CO2E
a) Chøng minh M trung điểm BC b) Chứng minh O1MO2 vuông
c) Chứng minh B, A, E thẳng hàng; C, A, D thẳng hàng
d) Gi I l trung điểm DE Cmr : đờng tròn ngoại tiếp IO1O2 tiếp xúc với d Bài 169
Cho hai đờng trịn tâm O O’ có R > R’ tiếp xúc C Kẻ đờng kính COA CO’B Qua trung điểm M AB , dựng DE AB.
a) Tø gi¸c ADBE hình ? Tại ?
b) Ni D với C cắt đờng tròn tâm O’ F CMR ba điểm B , F , E thẳng hàng c) Nối D với B cắt đờng tròn tâm O’ G CMR : EC qua G
d) *Xét vị trí MF (O’), vị trí AE với đờng trịn ngoại tiếp MCFE Bài 170
Cho nửa đờng tròn đờng kính COD = 2R Dựng Cx , Dy CD Từ điểm E nửa đờng tròn , dựng tiếp tuyến với đờng tròn , cắt Cx P , cắt Dy Q
a) Chứng minh POQ vuông ; POQ đồng dạng với CED b) Tính tích CP.DQ theo R
c) Khi PC = R
2 CMR
ΔPOQ ΔCED=
(34)Bµi 171
Cho ABC ( AC > AB ; B^A C > 900 ) I , K theo thứ tự trung điểm
AB , AC Các đờng trịn đờng kính AB , AC cắt điểm thứ hai D ; tia BA cắt đờng tròn (K) điểm thứ hai E ; tia CA cắt đờng tròn (I) điểm thứ hai F
a) CMR ba điểm B , C , D thẳng hàng b) CMR tứ giác BFEC nội tiếp đợc
c) Chứng minh ba đờng thẳng AD , BF , CE đồng quy
d) Gọi H giao điểm thứ hai tia DF với đờng tròn ngoại tiếp AEF Hãy so sánh độ dài đoạn thẳng DH , DE
Bµi 172
Cho đờng trịn tâm O bán kính R có hai đờng kính AOB , COD vng góc với Lấy điểm E OA , nối CE cắt đờng tròn F Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đờng tròn , qua E dựng Ey vng góc với OA Gọi I giao điểm Fx Ey
a) Chứng minh I, F, E, O nằm đờng trịn b) Tứ giác CEIO hình ?
c) Khi E chuyển động AB I chuyển động đờng ? Bài 173
Cho đờng tròn tâm O điểm A đờng tròn Qua A dựng tiếp tuyến Ax Trên Ax lấy điểm Q , dựng tiếp tuyến QB
a) CMR tứ giác QBOA nội tiếp đợc
b) Gọi E trung điểm QO , tìm quỹ tích E Q chuyển động Ax c) Hạ BK Ax , BK cắt QO H CMR OBHA hình thoi
Bµi 174
Cho (O, R) (O’, R’ ) (với R > R’ ) tiếp xúc A Đờng nối tâm cắt đờng tròn O’ đờng tròn O B C Qua trung điểm P BC dựng dây MN BC Nối A với M cắt đờng tròn O’ E
a) So s¸nh AMO víi NMC
b) Chứng minh N , B , E thẳng hàng O’P = R ; OP = R’ c) Xét vị trí PE với đờng trịn tâm O’
Bµi 175
Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB Lấy B làm tâm vẽ đờng trịn bán kính OB Đ-ờng trịn cắt đĐ-ờng tròn O C D
a) Tứ giác ODBC hình ? Tại ? b) CMR OC AD ; OD AC
(35)Cho đờng tròn tâm O đờng thẳng d cắt đờng trịn hai điểm cố định A B Từ điểm M đờng thẳng d nằm ngồi đoạn AB ngời ta kẻ hai tiếp tuyến với đờng tròn MP MQ ( P, Q tiếp điểm )
a) TÝnh c¸c gãc cđa ΔMPQ biÕt góc hai tiếp tuyến MP MQ 45
❑0
b) Gọi I trung điểm AB CMR điểm M , P , Q , O , I nằm đờng tròn
Bài 177 Cho đờng tròn (O; R) điểm A với OA = R√2 , đờng thẳng (d) quay quanh A cắt (O) M , N ; gọi I trung điểm đoạn MN
a) CMR OI MN Suy I di chuyển cung tròn cố định với hai điểm giới hạn B , C thuộc (O)
b) Tính theo R độ dài AB , AC Suy A , O , B , C bốn đỉnh hình vng c) Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn đoạn AB , AC cung nhỏ BC
cña (O)
Bài 178 Cho nửa đờng trịn đờng kính AB = 2R , C trung điểm cung AB Trên cung AC lấy điểm F Trên dây BF lấy điểm E cho BE = AF
a) AFC vµ BEC cã quan hƯ víi nh ? Tại ? b) CMR FEC vuông cân
c) Gi D l giao im đờng thẳng AC với tiếp tuyến B nửa đờng tròn CMR tứ giác BECD nội tiếp đợc
Bài 179 Cho đờng tròn (O; R) hai đờng kính AB , CD vng góc với E điểm cung nhỏ BD ( E ≠ B ; E ≠ D ) EC cắt AB M , EA cắt CD N
a) CMR AMC đồng dạng ANC b) CMR : AM.CN = 2R2
c) Gi¶ sư AM = 3MB TÝnh tØ sè CN ND
Bài 180 Một điểm M nằm đờng trịn tâm (O) đờng kính AB Gọi H , I lần lợt hai điểm cungAM , MB ; gọi Q trung điểm dây MB , K giao điểm AM , HI
a) Tính độ lớn góc HKM
b) Vẽ IP AM P , CMR IP tiếp xúc với đờng trịn (O)
c) Dựng hình bình hành APQR Tìm tập hợp điểm R M di động nửa đờng trịn (O) đờng kính AB
Bài 181 Gọi O trung điểm cạnh BC ABC Vẽ góc xOy = 600 cho tia Ox,
Oy cắt cạnh AB , AC lần lợt M, N
(36)c) CMR đờng thẳng MN tiếp xúc với đờng trịn cố định , góc xOy quay xung quanh O cho tia Ox, Oy cắt cạnh AB, AC tam giác ABC
Bài 182 Cho M điểm nửa (O) đờng kính AB = 2R ( M ≠ A , B ) Vẽ tiếp
tuyến Ax , By , Mz nửa đờng trịn Đờng Mz cắt Ax , By lần lợt N P Đờng thẳng AM cắt By C đờng thẳng BM cắt Ax D Chứng minh :
a) Tứ giác AOMN nội tiếp đờng tròn NP = AN + BP b) N P lần lợt trung điểm đoạn thẳng AD BC c) AD.BC = 4R2
d) Xác định vị trí M để t giác ABCD có diện tích nhỏ
Bài 183 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tâm (O) I điểm cung AB (cung AB khơng chứa C D ) Dây ID , IC cắt AB lần lợt M N
a) CMR tứ giác DMNC nội tiếp đờng tròn
b) IC AD cắt E ; ID BC cắt F CMR EF // AB Bµi 184
Cho (O) đờng kính AB = 2R điểm M di động nửa đờng tròn Ngời ta vẽ đờng tròn tâm (E) tiếp xúc với đờng tròn (O) M tiếp xúc với đờng kính AB N Đờng tròn cắt MA , MB lần lợt điểm thứ hai C , D
a) Chøng minh : CD // AB
b) Chứng minh MN tia phân giác góc AMB đờng thẳng MN qua điểm K cố định
c) CMR : KM.KN không đổi
Bài 185 Cho ba điểm A , B , C đờng thẳng theo thứ tự đờng thẳng (d) vng góc với AC A Vẽ đờng trịn đờng kính BC lấy điểm M Tia CM cắt đờng thẳng d D ; tia AM cắt đờng tròn điểm thứ hai N ; tia DB cắt đờng tròn điểm thứ hai P
a) CMR tứ giác ABMD nội tiếp đợc CMR : CM.CD khơng phụ thuộc vị trí M b) Tứ giác APND hình ? Tại ?
c) Cmr : trọng tâm G MAC chạy đờng tròn cố định M di động Bài 186 Cho nửa đờng trịn tâm O đờng kính AB Một điểm M nằm cung AB ; gọi H điểm cung AM Tia BH cắt AM điểm I cắt tiếp tuyến A (O) điểm K Các tia AH ; BM cắt S
a) BAS tam giác ? Tại ? Suy điểm S nằm đờng tròn cố định b) Xác định vị trí tong đối đờng thẳng KS với đờng tròn (B; BA)
c) Đờng tròn qua B , I , S cắt đờng tròn (B; BA) điểm N CMR đờng thẳng MN qua điểm cố định M di động cung AB
(37)Bµi 187
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn P điểm cung AB không chứa C D Hai dây PC PD lần lợt cắt dây AB E F Các dây AD PC kéo dài cắt I ; dây BC PD kéo dài cắt K CMR:
a) Góc CID góc CKD b) Tứ giác CDFE nội tiếp đợc c) IK // AB
d) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AFD tiếp xúc với PA A
Bài 188 Cho hai đờng tròn (O1) (O2) tiếp xúc với A , kẻ tiếp tuyến chung Ax Một đờng thẳng d tiếp xúc với (O1) , (O2) lần lợt điểm B , C cắt Ax điểm M Kẻ đờng kính BO1D CO2E
a) CMR: M lµ trung điểm BC b) CMR: O1MO2 vuông
c) Chứng minh B , A , E thẳng hàng ; C , A , D thẳng hàng
d) Gọi I trung điểm DE Cmr : đờng tròn ngoại tiếp IO1O2 tiếp xúc với đ-ờng thẳng d
Bài 189 Cho (O; R) có dây AB = R √2 cố định điểm M di động
cung lớn AB cho tam giác MAB có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác MAB ; P , Q lần lợt giao điểm thứ hai đờng thẳng AH , BH với đờng tròn (O) ; S giao điểm đờng thẳng PB , QA
a) CMR : PQ đờng kính đờng trịn (O) b) Tứ giác AMBS hình ? Tại ?
c) Chứng minh độ dài SH không đổi
d) Gọi I giao điểm đờng thẳng SH , PQ Chứng minh I chạy đ-ờng tròn cố định
Bµi 190
Cho đờng trịn (O; R) đờng kính AB , kẻ tiếp tuyến Ax lấy điểm P cho AP > R Kẻ tiếp tuyến PM (M tiếp điểm )
a) CMR : BM // OP
b) Đờngthẳng vuông gócvới AB O cắt tia BM N Tứ giác OBNP hình ? Tại ?
c) Gọi K giao điểm AN với OP ; I giao điểm ON với PM ; J giao điểm PN víi OM CMR : K , I , J thẳng hàng
d) Xỏc nh v trớ ca P cho K nằm đờng tròn (O) Bài 191
Cho (O; R) , hai đờng kính AB CD vng góc Trong đoạn thẳng AB lấy điểm M ( khác điểm O ) , đờng thẳng CM cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai N Đờng thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N với (O) điểm P
(38)b) Tứ giác CMPO hình ? Tại ? c) CMR : CM.CN không đổi
d) CMR : M di động đoạn AB P chạy mộtđờng thẳng cố định Bài 192
Cho nửa (O) đờng kính AB hai điểm C , D thuộc nửa đờng tròn cho cung AC < 900
CO D^ =900 Gọi M điểm nửa đờng trịn cho C điểm chính cung AM Các dây AM , BM cắt OC , OD lần lợt E F
a) OEMF hình ? Tại ?
b) CMR : D điểm cña cung MB
c) Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn M cắt tia OC , OD lần lợt I , K CMR tứ giác OBKM ; OAIM nội tiếp đợc
d) Giả sử tia AM cắt tia BD S Xác định vị trí C D cho điểm M , O , B , K , S thuộc đờng tròn
Bµi 193
Cho hai đờng trịn (O) , (O’) cắt hai điểm A B Các đờng thẳng AO , AO’ cắt đờng tròn (O) lần lợt điểm thứ hai C , D cắt đờng tròn (O’) lần lợt điểm thứ hai E , F
a) CMR: B , F , C thẳng hàng b) Tứ giác CDEF nội tiếp đợc
c) Chứng minh A tâm đờng trịn nội tiếp tam giác BDE
d) Tìm điều kiện để DE tiếp tuyến chung đờng trịn (O) , (O’)
LUYỆN TẬP ø VỊ TIẾP TUYẾN Bµi 194
Cho (O, R) đường kính BC, kẻ dây AD vng góc OB trung điểm OB > Vẽ BM, CN tiếp tuyến (A) (M N tiếp điểm)
a) Chứng minh:OBAC hình thoi
b) Chứng minh:BM + NC = BC
c) Chứng minh:M, A, N thẳng hàng
d) Tính SBMNC theo R
Bµi 195
Cho (O) đường kính AB, kẻ bán kính OI vng góc BC H, gọi M giao điểm BC AI Vẽ (I) bán kính IB, AC cắt (I) K
a) Chứng minh: H trung điểm BC
b) Chứng minh: AI phân giác C^A B
c) Chứng minh: B, I, K thẳng hàng
(39)Bµi 196
Cho (O, R) đường kính AB, Trên tiếp tuyến A lấy AD = 2R, (O) lấy điểm C cho AD = DC vẽ (I) đường kính OA cắt AC M
a) Chứng minh: hai đường tròn tâm O I tiếp xúc
b) Chứng minh: OM // BC điểm O, M, D thẳng hàng c) Chứng minh: DC tiếp tuyến (O)
d) Keû AI // OC ( I AD) Cmr: AOCI hình thoi tính SAOCI theo R
Bµi 197 Cho (O, R) đường kính AB, tiếp tuyến Ax, Ax lấy điểm M cho OM =
2R, kẻ tiếp tuyến MC, kẻ CH AB OK AC Tiếp tuyến B cắt AC D
a) Chứng minh: O, K, M thẳng hàng
b) Chứng minh: AC.AD = 4R2
c) Kẻ CE vng góc AM cắt OM P Chứng minh: OCPA hình thoi
d) Gọi I làtrung điểm CH, AI cắt BD N Cmr: CN tiếp tuyến của(O) Bµi 198
Cho Δ ABC có góc nhọn , vẽ (O) đường kính BC cắt AB AC M N Gọi H giao điểm BN CM
a) Chứng minh: AH vng góc BC D
b) Chứng minh: điểm B, M, H, D thuộc đường tròn, xác định tâm K đường tròn
c) Chứng minh: AH.AD + BH.BN = AB2