Đề Olympic Toán 10 năm 2020 - 2021 liên cụm trường THPT - Hà Nội - TOANMATH.com

0 Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau tại trọng tâm G.. Tính theo a diện tích tam giác ABC..[r]

Bài (5 điểm)

Tìm tham số ,b csao cho hàm số y  f x( ) x2 bxccó đồ thị đường parabol với đỉnh ( 2;5).I 

2 Lập bảng biến thiên hàm số y   x 2x4 Từ tìm tham số m cho phương trình x 2x 4 m có nghiệm

Bài 2.(4 điểm)

1 Giải phương trình 4x2 1 2x 1 (x1)( 2x 1 1)

2. Biết f x( ) x2 2mx   n 0, x . Tìm tham số m n, để biểu thức

P m n n đạt giá trị nhỏ Bài 3.(2 điểm)

Giải hệ phương trình

2

2 3

. 2 2 3 x y

x y

    



  



Bài 4.(8 điểm)

1. Cho hình chữ nhật ABCD với AB3 2, AD Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD, I G trung điểm CD OB

a) Chứng minh 1( )

OG ABAD

4

IG AB AD b) Chứng minh AI IG

c) Tìm tập hợp điểm M cho MA2MB2MC2MD2 37

Cho tam giác ABC có BC a BAC, 60 Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM CN vng góc với trọng tâm G Tính theo a diện tích tam giác ABC

Bài (1 điểm)

Cho tam giác ABC có chu vi độ dài cạnh tam giác a, b, c Chứng minh 4(a3b3c3) 15 abc27

………HẾT ………

Họ tên thí sinh:……….SBD:……… SỞ GD&ĐT HÀ NỘI

LIÊN CỤM TRƯỜNG THPT THANH XUÂN CẦU GIẤY

MÊ LINH SĨC SƠN ĐƠNG ANH

ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2020-2021 MƠN TỐN LỚP 10

ĐÁP ÁN MÔN TỐN 10

KÌ THI OLYMPIC LIÊN CỤM TRƯỜNG THPT THANH XN-CẦU GIẤY, MÊ LINH-SĨC SƠN, ĐƠNG ANH HÀ NỘI

Năm học: 2020-2021 …………o0o………

Bài Đáp án Điểm

Bài (5 đ)

1.1. Vì parabol có đỉnh I( 2;5) nên 2

b   

1,0

và f( 2) 5 (hoặc 4a 

 ) 1,0

Khi đó:

4 b

b c

 

   



0,75

4 b c

 

  

 Vậy b=4, c=9

0,75

1.2 Ta có: 4 khi

3 khi

x x x x x

y x x

x x x x x

     

 

     

      

 

0,5

-Hàm số đồng biến khoảng (2;), hàm số nghịch biến khoảng

(;2)

0,5 -BBT

-1

2 +∞

+∞ +∞

-∞

y x

-Ta có: PT  x 2x  4 m 3, từ BBT ta thấy PT có nghiệm

m m

      0,5

2.1 ĐK: x

PT 2x1( 2x  1 1) (x1)( 2x 1 1)

0,5

( 2x 1)( 2x x 1)

       0,5

+) 2x   1 2x  1 2x   1 x 1(TM) 0,5

+) 1 1 2

2 ( 1) x

x x x x

x x

            

  

Bài (4đ)

2

1

4( )

4

4 x x

x TM

x

x x

x   

 

    

  

  

 

Vậy: x 1;

0,5

2.2. Vì f x( )  0, x hệ số a=1>0 nên 2 ' m n n m

      0,5

Ta có:

5

P m n  n  m m  m 0,25

Ta lại có: 2

5 4 ( ) ( 2) ( )

m  m m m  m  m m   m  m m  0,25

Vì

(m2) 0 0,25

và m   m m    m P Dấu “=”

2

2

0

4 m

m m

n n m

  

     

  

  



Vậy MinP 4 m 2 &n4

0,25

Bài (2đ)

ĐK: x 2

Ta có: x  2 2y 0,5

2

2 3

2 (3 )

4 12

y y

x y

x y y



  

 

 

  

     0,5

Thế x theo y vào PT lại ta được:

2 2

4y 12y 7 2y   3 2y 12y10 0 y 6y 5 0,5 ( )

5 ( ) y TM y KTM

 

  

 Với y=1 x 1 Vậy ( ; )x y  ( 1;1)

0,5

4.1a.

3

3

I

G O

A

D C

B

-Ta có: 1( )

4

OG DB ABAD

-Ta có: IGIO OG 1 AD 4DB 

Bài (8đ)

1

( )

2 AD AB AD 

  

4AB 4AD

 

4.1 b Ta có:

2

AI ADDI AD AB 0,5

1

4

IG AI  AB AD AD AB

      

   

0,5

Vì AB ADAB AD 0, theo giả thiết AB3 2; AD 0,5

nên 3

.18

8

IG AI  AB  AD     AI IG

0,5 4.1c

Ta có: OA OB OC OD   0 0,25

nên

2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

MA MB MC MD  MOOA  MOOB  MOOC  MOOD

0,25

2 2 2 2

4MO OA OB OC OD 4MO 4.OA

       0,25

2 2 2

4.OM 4.OA 4.OM AC 4.OM 21 37 OM OM

          

Vậy tập hợp điểm M đường trịn tâm O bán kính

0,25

4.2 Đặt AB=c, AC=b Theo định lý Pytago, ta có: BC2 BG2CG2 0,5

2 2

2 2

( )

9 b c

a b c

a m m  

    2

5 b c a

   0,5

Theo định lý cosin tam giác ABC, ta có:

2 2 2

2 cos cos60

a b  c bc A a  bc   a bcbc a 0,5

Do đó: sin 1.4 sin 602

2

ABC

S  bc A a  a 0,5

Bài (1đ)

Ta có:

3 3 2

4( ) 27 4( )( ) 27

E a   b c abc  abc a b c a  b  c ab bc ca   abc 2

12(a b c ab bc ca) 27abc

      

0,25

Chứng minh được: abc  (a b c b c a c a b)(   )(   ) 0,25 Mà a+b+c=3 nên abc (3 )(3 )(3 )a  b  c

27 18( ) 12( )

abc a b c ab bc ca abc

        

9abc 12(ab bc ca) 27 3abc 4(ab bc ca)

          0,25

Do đó:

2 2

12( ) 9.[4( ) 9]

E a b  c ab bc ca   ab bc ca   12(a b c  )28127 Dấu “=” a=b=c=1