0 Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau tại trọng tâm G.. Tính theo a diện tích tam giác ABC..[r]
(1)Bài (5 điểm)
Tìm tham số ,b csao cho hàm số y f x( ) x2 bxccó đồ thị đường parabol với đỉnh ( 2;5).I
2 Lập bảng biến thiên hàm số y x 2x4 Từ tìm tham số m cho phương trình
x
2
x
4
m
có nghiệmBài 2.(4 điểm)
1 Giải phương trình 4x2 1 2x 1 (x1)( 2x 1 1)
2. Biết
f x
( )
x
2
2
mx
n
0,
x
.
Tìm tham sốm n
,
để biểu thứcP m n n đạt giá trị nhỏ Bài 3.(2 điểm)
Giải hệ phương trình
2
2
3
.
2
2
3
x
y
x
y
Bài 4.(8 điểm)
1. Cho hình chữ nhật ABCD với AB3 2, AD Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD, I G trung điểm CD OB
a) Chứng minh 1( )
OG ABAD
4
IG AB AD b) Chứng minh AI IG
c) Tìm tập hợp điểm M cho MA2MB2MC2MD2 37
Cho tam giác ABC có BC a BAC, 60 Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM CN vng góc với trọng tâm G Tính theo a diện tích tam giác ABC
Bài (1 điểm)
Cho tam giác ABC có chu vi độ dài cạnh tam giác a, b, c Chứng minh 4(a3b3c3) 15 abc27
………HẾT ………
Họ tên thí sinh:……….SBD:……… SỞ GD&ĐT HÀ NỘI
LIÊN CỤM TRƯỜNG THPT THANH XUÂN
CẦU GIẤYMÊ LINH
SĨC SƠN ĐƠNG ANHĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2020-2021 MƠN TỐN LỚP 10
(2)ĐÁP ÁN MÔN TỐN 10
KÌ THI OLYMPIC LIÊN CỤM TRƯỜNG THPT THANH XN-CẦU GIẤY, MÊ LINH-SĨC SƠN, ĐƠNG ANH HÀ NỘI
Năm học: 2020-2021 …………o0o………
Bài Đáp án Điểm
Bài (5 đ)
1.1. Vì parabol có đỉnh I( 2;5) nên 2
b
1,0
và f( 2) 5 (hoặc 4a
) 1,0
Khi đó:
4 b
b c
0,75
4 b c
Vậy b=4, c=9
0,75
1.2 Ta có: 4 khi
3 khi
x x x x x
y x x
x x x x x
0,5
-Hàm số đồng biến khoảng (2;), hàm số nghịch biến khoảng
(;2)
0,5 -BBT
-1
2 +∞
+∞ +∞
-∞
y x
-Ta có: PT x 2x 4 m 3, từ BBT ta thấy PT có nghiệm
m m
0,5
2.1 ĐK: x
PT 2x1( 2x 1 1) (x1)( 2x 1 1)
0,5
( 2x 1)( 2x x 1)
0,5
+) 2x 1 2x 1 2x 1 x 1(TM) 0,5
+) 1 1 2
2 ( 1) x
x x x x
x x
(3)Bài (4đ)
2
1
4( )
4
4 x x
x TM
x
x x
x
Vậy: x
1;0,5
2.2. Vì f x( ) 0, x hệ số a=1>0 nên 2 ' m n n m
0,5
Ta có:
5
P m n n m m m 0,25
Ta lại có: 2
5 4 ( ) ( 2) ( )
m m m m m m m m m m 0,25
Vì
(m2) 0 0,25
và m m m m P Dấu “=”
2
2
0
4 m
m m
n n m
Vậy MinP 4 m 2 &n4
0,25
Bài (2đ)
ĐK: x 2
Ta có: x 2 2y 0,5
2
2 3
2 (3 )
4 12
y y
x y
x y y
0,5
Thế x theo y vào PT lại ta được:
2 2
4y 12y 7 2y 3 2y 12y10 0 y 6y 5 0,5 ( )
5 ( ) y TM y KTM
Với y=1 x 1 Vậy ( ; )x y ( 1;1)
0,5
4.1a.
3
3
I
G O
A
D C
B
-Ta có: 1( )
4
OG DB ABAD
-Ta có: IGIO OG 1 AD 4DB
(4)Bài (8đ)
1
( )
2 AD AB AD
4AB 4AD
4.1 b Ta có:
2
AI ADDI AD AB 0,5
1
4
IG AI AB AD AD AB
0,5
Vì AB ADAB AD 0, theo giả thiết AB3 2; AD 0,5
nên 3
.18
8
IG AI AB AD AI IG
0,5 4.1c
Ta có: OA OB OC OD 0 0,25
nên
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
MA MB MC MD MOOA MOOB MOOC MOOD
0,25
2 2 2 2
4MO OA OB OC OD 4MO 4.OA
0,25
2 2 2
4.OM 4.OA 4.OM AC 4.OM 21 37 OM OM
Vậy tập hợp điểm M đường trịn tâm O bán kính
0,25
4.2 Đặt AB=c, AC=b Theo định lý Pytago, ta có: BC2 BG2CG2 0,5
2 2
2 2
( )
9 b c
a b c
a m m
2
5 b c a
0,5
Theo định lý cosin tam giác ABC, ta có:
2 2 2
2 cos cos60
a b c bc A a bc a bcbc a 0,5
Do đó: sin 1.4 sin 602
2
ABC
S bc A a a 0,5
Bài (1đ)
Ta có:
3 3 2
4( ) 27 4( )( ) 27
E a b c abc abc a b c a b c ab bc ca abc 2
12(a b c ab bc ca) 27abc
0,25
Chứng minh được: abc (a b c b c a c a b)( )( ) 0,25 Mà a+b+c=3 nên abc (3 )(3 )(3 )a b c
27 18( ) 12( )
abc a b c ab bc ca abc
9abc 12(ab bc ca) 27 3abc 4(ab bc ca)
0,25
Do đó:
2 2
12( ) 9.[4( ) 9]
E a b c ab bc ca ab bc ca 12(a b c )28127 Dấu “=” a=b=c=1