3 Toán 10 năm 2021 sở GD&ĐT Quảng Nam - TOANMATH.com

Ghi chú:  Trong những ý chưa phân rã ra 0,25đ thì nếu cần Ban Giám khảo có thể thống nhất rã ra chi tiết 0,25đ, nhưng lưu ý tổng điểm cả ý đó vẫn không đổi ;  Nếu học sinh có cách giải[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI OLYMPIC 24/3 TỈNH QUẢNG NAM NĂM 2021 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi : TOÁN 10 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 20/03/2021 Câu (5,0 điểm) a) Giải phương trình x   3  x   x  x     y  x  xy  b) Giải hệ phương trình   x  x  y   2( y  x  2) x   Câu (4,0 điểm)   x    x x   x  x  12 x  a) Cho hàm số y   có đồ thị (C) Tìm tất các điểm trên đồ thị (C) có tung độ b) Cho parabol ( P ) : y  x  bx  c Tìm các hệ số b, c để ( P ) qua A(2;1) và cắt trục hoành hai điểm B, C cho tam giác IBC đều, với I là đỉnh ( P ) Câu (4,0 điểm) trên nửa khoảng 1;   2x b) Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn x  y  xy  a) Tìm giá trị nhỏ hàm số f ( x)  3x  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  y y x x   x  3y y  3x Câu (3,0 điểm) a) Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm BC , N nằm trên cạnh CD cho NC  ND, K là trung điểm AB Hai điểm I , J là trọng tâm hai tam giác AMN , BCN    Hãy biểu thị vectơ IJ theo hai vectơ AB, AD và chứng minh IJ vuông góc với DK   1500 Điểm M nằm trên cạnh BC b) Cho tam giác ABC có AB  3, AC  4, BAC   1200 Tính độ dài các đoạn thẳng MB , MC cho BAM Câu (4,0 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(3;1) và đường thẳng (d) có phương trình x  y   Viết phương trình đường tròn (C) qua A và tiếp xúc với đường thẳng (d) B(1;3) b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân B Các điểm M, N là trung điểm AB, AC và I (7;3) là trọng tâm tam giác ABN Điểm E thuộc cạnh AC cho IE  IA ( E khác A ) và đường thẳng IE có phương trình x  y  13  Điểm M thuộc đường thẳng ( d1 ) : x  y  12  , B thuộc đường thẳng ( d ) : x  y   và A có hoành độ lớn Tìm tọa độ các điểm A, B, C –––––––––––– Hết –––––––––––– Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: … ………………………….……… Số báo danh: ……….……… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI OLYMPIC 24/3 TỈNH QUẢNG NAM NĂM 2021 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Môn thi: TOÁN 10 (Đáp án – Thang điểm gồm 06 trang) Câu Đáp án a) Giải phương trình x   3  x   x  x    Điểm 2,5 Điều kiện:  x  3 x    x2  4x   3  x    3( x    x )  ( x  1)(3  x )   (1) Đặt t  x    x (t  0)  t   ( x  1)(3  x ) Phương trình (2) trở thành: 3t  2(t  2)   t    2t  3t      t   (loai)  2 t 2 x    x   x  (thỏa) Câu b) Giải hệ phương trình (5,0 điểm)  y  x  xy    x  x  y   2( y  x  2) x   , y0 y  x  xy   ( y  x)  ( x  xy )   ( y  x )( y  x )  Điều kiện x   y  x  ( y  x  0)  y  x Khi đó pt thứ hai viết lại: x  x   2( x  2) x   x  x    2( x  2) x   (2 x  1)    x   2x 1   0 x  2x 1  x     x5 x  6x   Suy nghiệm hệ: (5 ; 20) Trang 1/6 2,5   x    x x  a) Cho hàm số y   có đồ thị (C) x   x  x  12 Tìm tất các điểm trên đồ thị (C) có tung độ  2,0 y   x    x ( x  3) y   x 1  x    x  x  x    x  3   2 3  x  ( x  3) x  7x    x  3   x  1  A(1; 4)  x  1  x  6  y  x  x  12 ( x  3)  x  2(loai) y   x  x  12     B(4; 4) x  Vậy có hai điểm thỏa đề A(1; 4), B(4; 4) b) Cho parabol ( P ) : y  x  bx  c Tìm các hệ số b, c để ( P ) qua A (2;1) và cắt trục hoành hai điểm B , C cho tam giác IBC đều, với I là đỉnh ( P ) Câu (4,0 điểm)  Parabol y  x  bx  c qua A(2;1) nên 2b  c   (1)  Phương trình hoành độ giao điểm (P) và trục hoành là x  bx  c  (*) (P) cắt trục hoành hai điểm phân biệt B, C  Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2    b  4c  b 4c  b2 I (  ; )  Parabol (P) có đỉnh  Giả sử : B ( x1 ; 0), C ( x2 ; 0) ; đó x1 , x2 là hai nghiệm pt (*) Tam giác IBC IH  BC 4c  b   x1  x2 (4c  b2 )2 (4c  b )2  ( x1  x2 )2  x1 x2    (b  4c) 16 16  (b  c)  12(b  4c )  b  4c  12 (2)   2b  c    b  8 b    c  13  c  3 b  4c  12 Từ (1) và (2) ta có hệ :  Trang 2/6 2,0 a) Tìm giá trị nhỏ hàm số f ( x)  3x  f ( x )  3x  trên nửa khoảng 1;   2x 1,5 5x  x      2x  2x  5.1 x 2   2 2x x   Dấu “ = ” xảy  x  x    2 x  Vậy giá trị nhỏ hàm số f ( x) trên nửa khoảng 1;   là b) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x  y  xy  Câu (4,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x x  x  3y Đặt t  x  y , t  , ta có:  x  y  xy  x  y  y y y  3x  ( x  y )2 t2 t 4  t  4t  12   (t  6)(t  2)   t  Suy x  y  (dấu “=” xảy x  y  ) P  x x  x  3y y y y  3x  x2 y2  x( x  y ) y ( y  3x) 4x2 y2 (bất đẳng thức Côsi)  x  y y  3x 4( x  y )2 a b2 (a  b)2 (bất đẳng thức với x  0, y  )   8( x  y ) x y x y x y  1 Suy ra: P  , P   x  y  Vậy P  x  y   Trang 3/6 2.5 a) Cho hình vuông ABCD có cạnh a, M là trung điểm BC , N nằm trên cạnh CD cho NC  ND, K là trung điểm AB Hai điểm I , J là    trọng tâm hai tam giác AMN , BCN Hãy biểu thị IJ theo hai vectơ AB, AD ; chứng minh IJ vuông góc với DK    IJ  AJ  AI        AB  AC  AN  AA  AM  AN 3      1  AB  AC  AM 3      1,5         AB  AB  AD   AB  AD  3 3      AB  AD       IJ DK  ( AB  AD)( AB  AD ) 1  AB  AD  6 Suy IJ vuông góc với DK   1500 Điểm b) Cho tam giác ABC có AB  3, AC  4, BAC   1200 Tính MB , MC BC cho BAM Câu (3,0 điểm) MB S AMB  MC SAMC BC  M nằm trên cạnh  AB AM sin BAM    AM AC.sin MAC   13 AB  AC  AB AC.cos BAC 13 BC  5 13 MC  BC  5 Cách khác : S ABC  S AMB  S AMC   AB AM sin BAM   AM AC.sin MAC   AB AC.sin BAC 2 1  3.4.sin1500  AM sin1200  AM 4.sin 300 2 MB  1 1  3.4  AM  AM  AM  2 2 2   13 AB  AM  AB AM cos BAM   13 MC  AM  AC  AM AC cos MAC MB  Trang 4/6 1,5 a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(3;1) và đường thẳng (d) có phương trình x  y   Viết phương trình đường tròn (C) qua A và tiếp xúc 1,5 với đường thẳng (d) B(1;3) + Gọi I ( a ; b ) là tâm đường tròn (C)   BI  (a  1; b  3)  + (d) có vectơ phương là u  (1; 2) + Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng (d) B(1;3) nên   BI u   1( a  1)  2(b  3)   a  2b  (1) + Đường tròn (C) qua A(3;1) nên AI  BI  a  b  (2) 7 Từ (1) và (2) suy a  b  Suy I ( ; ) 3 7 20 Suy phương trình đường tròn (C): ( x  )2  ( y  )2  3 b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân B Các điểm M,N là trung điểm AB, AC và I (7;3) là trọng tâm tam giác ABN Điểm E thuộc cạnh AC cho IE  IA ( E khác A ) và đường thẳng IE có phương trình x  y  13  Điểm M thuộc đường thẳng ( d1 ) : x  y  12  , B Bán kính đường tròn là R  IA  thuộc đường thẳng ( d ) : x  y   và A có hoành độ lớn Tìm tọa độ Câu các điểm A, B, C (4,0 điểm) (HV: 0,25 điểm)   90 Chứng minh tứ giác BINE nội tiếp và suy BIE Viết phương trình đường thẳng BI là x  y  11  Mặt khác B thuộc ( d ) : x  y   ,suy B(3; 5) M thuộc (d1 )  M (12  3m; m)    m   M (3;3) MB.MI      m   M (9;1)  A(3;11) (loai)  Vậy M (9;1), A(15;7)  A(15;7)   MN  3MI  N (3; 7) Suy ptđt AC là y   C (  9; 7) Trang 5/6 2,5 Ghi chú:  Trong ý chưa phân rã 0,25đ thì cần Ban Giám khảo có thể thống rã chi tiết 0,25đ, lưu ý tổng điểm ý đó không đổi ;  Nếu học sinh có cách giải khác đúng, chính xác và logic thì Ban Giám khảo thảo luận và thống thang điểm cho điểm phù hợp với Hướng dẫn chấm Trang 6/6