nào đó chia hết cho 10 thì bài toán được chứng minh.. Theo nguyên tắc Di-ric- lê, phải có ít nhất 2 số dư bằng nhau.[r]
(1)ĐỀ 4
Thời gian làm 120 phút Câu : (2 điểm) Cho biểu thức A= a3
+2a2−1 a3+2a2+2a+1 a, Rút gọn biểu thức
b, Chứng minh a số nguyên giá trị biểu thức tìm câu a, phân số tối giản
Câu 2: (1 điểm)
Tìm tất số tự nhiên có chữ số abc cho abc=n2−1 n −2¿2
cba=¿
Câu 3: (2 điểm)
a Tìm n để n2 + 2006 số phương
b Cho n số nguyên tố lớn Hỏi n2 + 2006 số nguyên tố hợp số
Câu 4: (2 điểm)
a Cho a, b, n N* Hãy so sánh a+nb+n ab b Cho A = 1011−1
1012−1 ; B = 1010
+1
1011+1 So sánh A B Câu 5: (2 điểm)
Cho 10 số tự nhiên : a1, a2, , a10 Chứng minh có số tổng số số liên tiếp dãy chia hết cho 10
Câu 6: (1 điểm)
(2)ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ I Câu 1:
Ta có: A= a
+2a2−1
a3+2a2+2a+1 =
(a+1)(a2
+a −1) (a+1)(a2+a+1)=
a2 +a−1 a2
+a+1 Điều kiện a ≠ -1 ( 0,25 điểm)
Rút gọn cho 0,75 điểm
b.Gọi d ước chung lớn a2 + a – a2+a +1 ( 0,25 điểm). Vì a2 + a – = a(a+1) – số lẻ nên d số lẻ
Mặt khác, = [ a2+a +1 – (a2 + a – 1) ] ⋮ d
Nên d = tức a2 + a + a2 + a – nguyên tố ( 0, điểm) Vậy biểu thức A phân số tối giản ( 0,25 điểm)
Câu 2:
abc = 100a + 10 b + c = n2-1 (1)
cba = 100c + 10 b + c = n2 – 4n + 4 (2) (0,25 điểm) Từ (1) (2) 99(a-c) = n – 4n – ⋮ 99 (3) (0,25 điểm) Mặt khác: 100 n2-1
999 101 n2 1000 11 n31 39 4n – 119 (4) ( 0, 25 điẻm)
Từ (3) (4) 4n – = 99 n = 26 Vậy: abc = 675 ( , 25 điểm)
Câu 3: (2 điểm)
a) Giả sử n2 + 2006 số phương ta đặt n2 + 2006 = a2 ( a Z) a2 – n2 = 2006
(a-n) (a+n) = 2006 (*) (0,25 điểm)
+ Thấy : Nếu a,n khác tính chất chẵn lẻ vế trái (*) số lẻ nên không thỏa mãn (*) ( 0,25 điểm)
+ Nếu a,n tính chẵn lẻ (a-n) ⋮ (a+n) ⋮ nên vế trái chia hết cho vế phải không chia hết không thỏa mãn (*) (0,25 điểm)
Vậy không tồn n để n2 + 2006 số phương (0,25 điểm).
b) n số nguyên tố > nên không chia hết cho Vậy n2 chia hết cho dư 1 n2 + 2006 = 3m + + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hết cho 3. Vậy n2 + 2006 hợp số ( điểm).
Bài 4: Mỗi câu cho điểm
Ta xét trường hợp ab=1 a b>1
a
b<1 (0,5 điểm) TH1: ab=1 a=b a+n
b+n a+n b+n =
a
b =1 (0 , ,5 điểm) TH1: ab>1 a>b a+m > b+n
Mà a+b+nn có phần thừa so với a− bb+n a
b có phần thừa so với a− b
b , a− b
b+n < a− b
b nên a+n
b+n < a
(3)TH3: ab <1 a<b a+n < b+n
Khi a+nb+n có phần bù tới a− bb , a− bb < bbb − a+n nên a+n
b+n > a
b (0,25 điểm) b) Cho A = 1011−1
1012−1 ;
rõ ràng A< nên theo a, ab <1 a+nb+n > ab A< (1011−1)+11
(1012−1)+11=
1011+10
1012+10 (0,5 điểm) Do A< 1011+10
1012+10 =
10(1010+1)
10(1011+1)=¿
1010 +1
1011+1 (0,5 điểm) Vây A<B
Bài 5: Lập dãy số Đặt B1 = a1
B2 = a1 + a2 B3 = a1 + a2 + a3
B10 = a1 + a2 + + a10
Nếu tồn Bi ( i= 1,2,3 10) chia hết cho 10 tốn chứng minh ( 0,25 điểm)
Nếu không tồn Bi chia hết cho 10 ta làm sau:
Ta đen Bi chia cho 10 10 số dư ( số dư { 1,2.3 9}) Theo nguyên tắc Di-ric- lê, phải có số dư Các số Bm -Bn, chia hết cho 10 ( m>n) ĐPCM
Câu 6: Mỗi đường thẳng cắt 2005 đường thẳng lại tạo nên 2005 giao điểm Mà có 2006 đường thẳng có : 2005x 2006 giao điểm Nhưng giao điểm tính lần số giao điểm thực tế là: