Hướng mở rộng định lý giới hạn trung tâm đối với dãy biến ngẫu nhiên tam giác được giới thiệu trong định lý Lindeberg- Feller.. Tài liệu tham khảo[r]
(1)Định lý giới hạn trung tâm định lý giới
hạn hàm
Nguyễn Thanh X
Ngày 23 tháng năm 2012
Mục lục
1 Định lý giới hạn trung tâm 3
1.1 Định lý 1.2 Hội tụ theo phân phối
2 Định lý giới hạn hàm 3
2.1 Định lý 2.2 Các nhận xét 3 Định lý Lindeberg - Feller mở rộng định lý giới hạn trung tâm cho dãy
tam giác 6
3.1 Định lý Lindeberg-Feller 3.2 Nhận xét
4 Phân phối ổn định 7
4.1 Định nghĩa 4.2 Nhận xét
5 Chuyển động ổn định 8
(2)Tóm tắt
Bài báo cáo giới thiệu định lý giới hạn trung tâm mở rộng thành định lý giới hạn hàm Hướng mở rộng định lý giới hạn trung tâm dãy biến ngẫu nhiên tam giác giới thiệu định lý Lindeberg-Feller Hướng mở rộng định lý giới hạn hàm cho biến ngẫu nhiên có phân phối ổn định đề cập đến
1
Định lý giới hạn trung tâm
1.1
Định lý
Định lý 1.1 Nếu (Xn)n≥1 là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối với
EXi =µvàV arXi =σ2thì: Sn
√
n d
=⇒Z ∼N(0,1)
trong đó,Sn=
n X
i=0
Xi0, vớiXi0 = Xi−µ
σ ∼N(0,1)
1.2
Hội tụ theo phân phối
Ký hiệu "=⇒d ": dãy biến ngẫu nhiênXn, hội tụ theo phân phối biến ngẫu
nhiênX(ta viếtXn d
=⇒X),
FXn(x) =P(Xn ≤x) n→∞ //FX(x) = P(X≤x)
với mọix∈Rmà hàmFX(x)liên tục điểm
2
Định lý giới hạn hàm
2.1
Định lý
Định lý 2.1 Xét đường gấp khúc ngẫu nhiên với đỉnh
k n,
Sk
√
n
, đặt làBn(t) =
k n,
Sk
√
n
(3)b0 bt
b
S1
√ n
b
1
n
b
S2
√ n
b
Sk
√ n
b
k n
b
Sn−1
√ n
b
n−1 n
b
Sn
√ n
b
n n =
b
2
n
khi đó:
(Bn(t))0≤t≤1
W
=⇒(B(t))0≤t≤1
Trong đóB(t)là chuyển động Brown, "=W⇒" dạng hội tụ yếu quá trình ngẫu nhiên liên tục trên[0, 1].
2.2
Các nhận xét
Nhận xét 2.1 Định lý giới hạn hàm, gọi nguyên lý bất biến, dạng mở rộng định lý giới hạn trung tâm cổ điển.
Nhận xét 2.2 Ta xem trình ngẫu nhiên liên tụcX(t), 0≤t≤1như một biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gianC[0,1](Không gian hàm liên tục trên[0,1]), tức là
X(ω) =X(t, ω); 0≤t ≤1, ω ∈Ω
, trình ngẫu nhiên không gianC[0,1]nếu {ω ∈ Ω : X(ω) ∈
B} ∈ F, với tập BorelB ∈ B(C[0,1]), đóB(C[0,1])làσ−trường Borel trênC[0,1]sinh tập mở trongC[0,1]với chuẩn
kxk=sup{|x(t) : 0≤t≤1|}
Nhận xét 2.3 Với dãy trình ngẫu nhiênXnnhận giá trị (quĩ đạo) trong
khơng gianC[0,1].
(4)b O
b
1
b
b
b
Xn(ω)
b
Xn(t, ω)
b
t
• Ta nói Xn hội tụ yếu về X, ký hiệu Xn W
=⇒ X, đó X là quá trình liên tục trên [0,1], với hàm liên tục f : C[0,1] −→ R, ta có
f(Xn) =⇒f(X)khin−→ ∞.
• Các ví dụ hàm liên tục trênC[0,1]:
• f1(x) =kxk= sup 0≤t≤1
|x(t)|;
• f2(x) =x(a), với0≤a≤1.
Nhận xét 2.4 Quá trình tới hạn định lý giới hạn hàm hồn tồn được xác định (với xác suất 1) định nghĩa gần tương đương chuyển động Brown; ký hiệu(B(t))0≤t≤1là chuyển động Brown nếu(B(t))0≤t≤1là q trình với quĩ đạo liên tục có tính chất sau:
• B(0) = 0;
• B(t)là trình với số gia độc lập, tức với mỗi0 < t0 < t1 <
< tn, số giaB(t1)−B(t0), , B(tn)−B(tn−1)là biến ngẫu nhiên
độc lập;
(5)3
Định lý Lindeberg - Feller mở rộng định lý giới hạn
trung tâm cho dãy tam giác
3.1
Định lý Lindeberg-Feller
• Xét dãy tam giác biến ngẫu nhiênY1,1, Y1,2, Yi,k(i),
Yn,1, Yn,2, Yn,k(n),
trong với mỗin ≥1, biến ngẫu nhiên(Yn,i)1≤i≤k(n)độc lập
• Với >0, đặt
Uj(n)() =
(
0, với|Yj(n)| ≤;
Yj(n), với|Yj(n)| ≥; viết dạng thu gọn củaYj(n): Uj(n)() = Yj(n)()I{|Y(n)
j |>}
• Giả sử {Yn,1, , Yn,k(n)}n≥1 dãy tam giác biến ngẫu nhiên với
EYn,i= 0, giả sử
lim
n→∞V ar
k(n)
X
j=1
Uj(n)()
=
(Điều kiện Lindeberg-Feller)
• Vớin ≥1, xétSn =Yn,1+ .+Yn,k(n)và giả sử rằng, khin → ∞
V ar(Sn)−→σ2 >0
khi
Sn=d⇒Z ∼N(0, σ2)
(6)• Khi lim
n→∞V ar
n X
j=1
Uj(n)()
!
= lim
n→∞V ar
n X i=1 √ nX
iI{X0
i> √ n} ! = lim n→∞ n n X i=1
V arXi0I{X0
i> √ n} = lim n→∞
n.nV ar
X10I{X0 1>
√
n}
=
Tức điều kiện Lindeberg-Feller thỏa
• Cuối cùng, vớiSn =Yn,1+ .+Yn,n =
1 √ n n X i=1
Xi0, ta có
V ar(Sn) =
1
n n X
i=1
V arXi0 =
n.n.σ
2
=σ2
do tất điều kiện định lý Lindeberg-Feller thỏa mãn Như vậy,Sn
d
=⇒Z ∼N(0,1)
4
Phân phối ổn định
4.1
Định nghĩa
Định nghĩa 4.1 Giả sửY1, Y2, là biến ngẫu nhiên độc lập phân phối
vớiEYi =µ, V arYi =σ2sao cho tồn sốan >0vàbn ∈Rthỏa:
an n X
i=1
Yi−bn !
d
=⇒X (1)
khi phân phối củaXchỉ phân phối ổn định, tức làXcó phân phối
Sα(σ, β, µ)với0< α≤2, 1, >0vàR.
ãNu= 2thỡX N(0,1).
4.2
Nhận xét
• Nếu (1) xảy thì(Yi)i≥1được gọi miền xác định biến ngẫu nhiên ổn
địnhX ∼ Sα(σ, β, µ), vàancó dạngan = n
1
αL(n), đóL(n)là hàm
thay đổi vô cùng, tức lim
n→∞
L(kn)
(7)• Nếuan = c.n
1
α, đóc > 0là số thì(Yi)i≥1 gọi miền
xác định chuẩn củaX ∼Sα(σ, , à)
ã Nu (Yi)i1 l xỏc nh củaX ∼ Sα(σ, β, µ)thì số chuẩn hóa an>0vàbncó thể xác định cách định lý Mijnheer
(1975) sau:
Định lý 4.1 Giả sử(Yi)i≥1 là biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối
với hàm phân phối làFYi(x) = F(x), thì
an n X
i=1
Yi−bn !
d
=⇒X ∼Sα(1, β,0)
nếu điều kiện sau thỏa mãn:
(10)xα[1−F(x) +F(−x)] =xαP(|Yi|> x) =L(x), đóL(x)ít thay đổi
tại vơ cùng. (20) F(−x)
1−F(x) +F(−x) =
P(Y1 <−x)
P(|Y1|> x)
−→ 1−β
2 khix→ ∞.
• Hơn nữa, dãy chuẩn hóaanphải thỏa:
lim
n→∞
nL(an) aα n =
Γ(1−α) cos(πα
2 ), nếu 0< α <1
π, nếu α=
Γ(2−α)
α−1 |cos(
πα
2 )|, nếu 1< α <2
• Và sốbncó thể chọn sau:
bn =
0, với 0< α <1
nan Z +∞
−∞ sin x an
dF(x), với α=
n Z +∞
−∞
xdF(x), với 1< α <2
5
Chuyển động ổn định
(8)trong đóSlà biến ngẫu nhiênSαSchuẩn, tức là
EeiθS =e−|θ|α, θ ∈R
.
• Xét bước nhảy ngẫu nhiênLn(t)
bt
b
Ln(t)
b
S1
nα1
b
S2 nα1
b
Sn−1 nα1
b
Sn
nα1
b
1
n
b
2 n
b
n−1
n
b
n n=
b
k n
b· · · b· · ·
• Ln(t)là q trình có quĩ đạo khơng gianD[0,1]gồm hàm liên
tục phải có giới hạn tráix(t), 0≤t≤1, x(t+) =x(t), x(t−)tồn tại
(Ln(t))0≤t≤1
W
=⇒(L(t))0≤t≤1
trong
• Ký hiệu "=W⇒" dạng hội tụ yếu q trình có quĩ đạo không gian metricD[0,1]với metric Skorohod:
d(x, y) = inf n > : ∃ hàm liên tục tăng λ(t) [0,1]sao cho λ(0) = 0, λ(1) = 1, sup
0≤t≤1
|λ(t)−t| ≤và sup
0≤t≤1
|x(t)−y(λ(t))| ≤ o
• (L(t))0≤t≤1là chuyển động ổn định trên[0,1], tức là:
(10)L(0) = 0;
(20) Với0 ≤ t0 < t1 < < tn, số giaL(t1)−L(t0), , L(tn)−L(tn−1)
đều độc lập;
(30)L(t)−L(s)∼Sα((t−s)
1
α,0,0)vớit > s≥0
5.2
Nhận xét
(9)Tài liệu tham khảo
[1] Svetlozar RachevLecture 2, Continuous Time Finance, Central Limit Theo-rem and Functional Limit TheoTheo-rem