Toán ứng dụng trong Kinh doanh

Kiến thức chuyên ngành luôn yêu cầu bạn phải cập nhật và trau dồi từng ngày.Để có nền tảng kiến thức vững chắc trước các kì thi…bạn không thể thiếu các tài liệu tham khảo hay được chia sẻ trên mạng Internet.Share to be share more

Chương I ĐỒ THỊ HỆ TỌA ĐỘ: (Coordinates System) 1.1 Hệ toạ độ vng góc: (Cartersian Coordinates System) Hệ toạ độ vng góc mặt phẳng cấu tạo hai trục số thực vng góc với Trục nằm ngang (Horizontal axes) gọi trục hoành x’ox, trục thẳng đứng (Vertical axes) gọi trục tung y’oy Giao điểm hai trục gọi gốc tọa độ (Origin) O Hệ tọa độ vng góc chia mặt phẳng làm vùng I, II, III IV y M(x,y) y x' x x y' 1.2 Tọa độ điểm mặt phẳng: Vị trí M mặt phẳng xác định hoành độ x (Abscisga) tung độ (Ordinade) y (x,y) gọi tọa độ điểm M ký hiệu M(x,y) 1.3 Khoảng cách hai điểm: Cho hai điểm M1(x1,y1) M2(x2,y2) mặt phẳng khoảng cách hai điểm M1,M2 tính theo cơng thức sau: Cao Hào Thi y y2 M2(x2,y2) ∆ y = y2-y1 y1 M1(x1,y1) x x' x1 y' d = M1 M = d= x2 ∆x = x2-x1 ( x − x ) + ( y − y1 ) ( x − x ) + ( y − y1 ) = (6 − 2) + (4 − 1) d=5 1.4 Gia số: Gia số x ∆x = x2 -x1 y ∆y = y2 -y1 ĐƯỜNG THẲNG 2.1 Phương trình đường thẳng - Dạng tổng quát (Dạng chuẩn): Ax + By = C Là phương trình bậc theo x y A, B, C số - Dạng thông dụng: y = mx + b m: độ dốc (slope) b: tung độ gốc (intercept): x = ⇒ y = b Cao Hào Thi 2.2 Độ dốc: y (D) M2(x2, y2) y2 x ∆y = y2 - y1 M1(x1, y1) α y1 ∆x = x2 - x1 b x1 x2 Gọi m độ dốc đường thẳng (D) m= ∆y y − y1 = tgα = ∆x x − x1 Ý nghĩa độc dốc: Khi thay đổi đơn vị y thay đổi m đơn vị Cao Hào Thi Nhận xét: Đường thẳng (D) Dạng đồ thị + Đi lên (Đồng biến) Độ dốc m (D) y x + Đi xuống (Nghịch biến) m>0 y m 0⎥ x − x1 ⎣ ⎦ y y = f(x) f(x2) y f(x1) x x2 x1 b Hàm số nghịch biến: Hàm số f nghịch biến (a,b) ⇔ [∀x1 , x ∈ (a , b), x1 p x ⇒ f ( x1 ) f f ( x )] ⎡ ⎤ f ( x ) − f ( x1 ) ⇔ ⎢∀x1 , x ∈ (a , b), p 0⎥ x − x1 ⎣ ⎦ y y = f(x) f(x2) ∆y f(x1) x a x1 x2 b c Sự dịch chuyển đồ thị hàm số: Dịch chuyển theo phươngđứng Gọi (C) đồ thị hàm số y = f(x) (C) dịch lên trên: y = f(x) + k, k > (C) dịch xuống dưới: y = f(x) - k, k > Cao Hào Thi Dịch chuyển theo phương ngang Dịch qua phải: y = f(x - h), h > Dịch qua trái: y = f(x + h), h>0 y y = f(x)+h y = f(x) y = f(x+k) x Đối xứng qua trục X: y = -f(x) y y = f(x) x y = -f(x) Giãn co đồ thị: Giãn đồ thị: y = C f(x), C > Co đồ thị: y = C f(x), < C < Cao Hào Thi 10 n b= ∑( i =1 )( xi − x yi − y n ∑( i =1 xi − x ) n ) ∑x y = i =1 n ∑ i =1 i i − nxy x − nx a = y − bx Người ta chứng minh a, b ước lượng không chệch vững A,B ∧ Đường thẳng Y = a + bX gọi đường hồi qui thực nghiệm ∧ Đường thẳng Y = A + BX gọi đường hồi qui lý thuyết Ví dụ Tìm đường hồi qui thực nghiệm y theo x cho bời bảng tương quan sau: xi yi Giải Gọi phương trình đường hồi qui y = a + bx => xác định a, b yi xì2 xi Tổng 2 10 12 16 12 25 30 15 20 55 66 x= n= b= xiyi ∑x y i i =1 n ∑x i =1 i i − nx y − nx = 15 =3 y= 20 =4 66 − * * = = 0,6 10 55 − * a = y − b x = − 0,6 * = 2,2 Phương trình đường hồi qui thực nghiệm y = 0,6x + 2,2 Cao Haøo Thi Chương 10 PHÂN TÍCH CHUỖI TUẦN TỰ THEO THỜI GIAN VÀ DỰ BÁO ( Time seties Analysis and Forecoasting) 8.1 Chuỗi theo thời gian ( Time series) 8.1.1 Định nghĩa: - Chuỗi theo thời gian chuỗi gía trị đại lượng ghi nhận theo thời gian Ví dụ: • Số lượng hàng bán 12 tháng công ty - Các gía trị chuỗi theo thời gian đại lượng X ký hiệu X1, X2, ………, Xt, … Xn, với Xt, gía trị quan sát X thời điểm t 8.1.2 Các thành phần chuỗi theo thời gian: (Components of time series) Các nhà thống kê thường chia chuỗi theo thời gian làm thành phần: - Thành phần xu hướng dài hạn (long-term trend component) - Thành phần mùa (Seasonal component) - Thành phần chu kỳ (Cyclical component) - Thành phần bất thường (irregular component) 8.1.2.1 Thành phần xu hướng dài hạn: Thành phần dùng để xu hướng tăng giảm đại lượng X khoảng thời gian dài Về mặt đồ thị thành phần diễn tả đường thẳng hay đường cong tròn (Smooth curve) X Xu hướng giảm theo thời gian Xt t t 8.1.2.2 Thành phần mùa: Thành phần thay đổi đại lượng X theo mùa năm (có thể theo tháng năm) Cao Hào Thi Ví dụ: - Lượng tiêu thụ chất đốt tăng vào mùa đông giảm vào mùa hè Ngược lại lượng tiêu thụ xăng tăng vào mùa hè giảm vào mùa đông - Lượng tiêu thụ đồ dùng học tập tăng vào mùa khai trường Chất đốt Thay đổi theo mùa 12 Xu hướng tăng theo thời gian 12 12 t 8.1.2.3 Thành phần chu kỳ: Thành phần thay đổi đại lượng X theo chu kỳ Sự khác biệt thành phần so với thành phần mùa chu kỳ dài năm Để đánh gía thành phần chu kỳ gía trị chuỗi theo thời gian quan sát năm Ví dụ: Lượng dòng chảy đến hồ chứa Trị An từ năm 1959 đến 1985 Q (m3/s) 1959 1960 1985 t (năm) 8.1.2.4 Thành phần bất thường: Thành phần dùng để thay đổi bất thường gía trị chuỗi theo thời gian Sự thay đổi khơng thể dự đốn số liệu kinh nghiệm qúa khứ, mặt chất khơng có tính chu kỳ Cao Hào Thi 8.1.3 Mơ hình hóa việc dự báo gía trị đại lượng X 8.1.3.1 Mơ hình nhân: ( Multiplicative model) Xt = Tt * St * Ct * It Xt: Gía tị đại lượng X thời điểm t Tt: Gía trị thành phần xu hướng thời điểm t Tt có đơn vị với Xt St, Ct, It: hệ số đánh gía ảnh hưởng thành phần mùa, thành phần chu kỳ thành phần đến gía trị X thời điểm t Trong thực tế việc xác định It khó khăn nên thường bỏ qua, đó: Xt = Tt * St *Ct 8.1.3.2 Mơ hình cộng: (Additive model) Xt = Tt + St + Ct + It Xt: gía trị đại lượng X thời điểm t Tt, St, Ct, It: Gía trị thành phần xu hướng, mùa, chu kỳ bất thường thời điểm t Trong thực tế, để dự báo gía trị đại lượng X ta phối hợp loại mơ hình 8.2 Các phương pháp làm trơn: (Smoothing methods) Trong số chuỡi theo thời gian thành phần mùa thành phần bất thường thay đổi lớn làm cho việc xác định thành phần xu hướng thành phần chu kỳ gặp nhiều khó khăn Sự thay đổi lớn giảm nhỏ phương pháp làm trơn Các phương pháp làm trơn đề cập chương gồm phương pháp trung bình dịch chuyển phương pháp làm trơn hàm số mũ (Moving average and exponential smoothing methods) 8.2.1 Phương pháp trung bình dịch chuyển: (Trung bình trượt – Moving average) Nội dung phương pháp thay gía trị quan sát Xt gía trị trung bình với m gía trị trước m gía trị sau Nghĩa thay Xt X*t, với: Xt* = Xt* = Cao Hào Thi m ∑ X t+ j 2m + j = − m X t − m + X t − m +1 + + X t + + X t + m −1 + X t + m 2m + X*t : gía trị trung bình dịch chuyển (2m+1) điểm Ví dụ: Nếu m =2, ta có gía trị trung bình trượt điểm tính theo cơng thức: Xt* = X t − + X t −1 + X t + X t +1 + X t + Nếu t = X *3 = X1 + X + X + X + X 5 8.2.2 Phương pháp làm trơn hàm số mũ đơn giản: (Simple exponential smoothing method) Phương pháp làm trơn hàm số mũ tiến hành dựa việc xem xét cách liên tục gía trị q khứ, dựa trung bình có trọng số chuỗi liệu Trong phương pháp trọng số có gía trị nhỏ cách xa thời điểm dự báo Với ý nghĩa ta có: X t = α Xt + (1-α) α Xt-1 + (1-α)2 α Xt-2 + (1-α)3 α Xt-3 +…+(1-α)t-1 α X1 Tương Tự Hàm 2 t −2 X αX t −1 = αX t −1 + (1 − α )αX t − + (1 − α ) αX t − + (1 − α ) αX t − + + (1 − α ) Cho (1-α) (1 − α ) X t −1 = (1 − α )αX t −1 + (1 − α ) αX t − + (1 − α ) αX t −3 + + (1 − α ) t −1 αX Từ phương trình ta có: Với ≤ α ≤ X t = αX t + (1 − α) X t −1 α: số làm trơn (Smoothing Constant) Trong tóm tắt ta lấy X = X1 Và trị số Xt lấy từ số liệu quan sát X = αX + (1 − α ) X X = αX + (1 − α ) X X t = αX t + (1 − α) X t −1 X n = αX n + (1 − α) X n −1 Ví dụ: Bảng số liệu sau cho thấy số lượng máy tính bán cửa hàng 24 tháng vừa qua a) Tìm chuỗi thời gian trung bình trượt tháng b) Tìm gía trị trung bình phương pháp làm trơn hàm mũ với hệ số làm trơn Cao Hào Thi c) STT Tháng t Số liệu quan sát Xt năm trước Một Hai Ba Tư Năm Sáu Bảy Tám Chín Mười Mười Một Mười Hai năm trước Môt Hai Ba Tư Năm Sáu Bảy Tám Chín Mười Mười Mười hai 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 21 20 19 18 14 15 22 28 25 25 25 20 25 25 24 28 36 32 25 23 22 23 22 27 Số trung bình trượt tháng X*t Số trung bình PP làm trơn hàm mũ Xt 18,4 17,2 17,6 19,4 20,8 23,0 25,0 24,6 24,0 24,0 21,0 20,0 19,8 18,9 16,5 15,8 18,9 23,5 24,3 24,7 24,9 22,5 23,8 24,4 27,6 29,0 29,0 28,8 27,6 25,0 23,0 23,4 23,8 24,4 24,2 26,1 31,0 31,5 28,3 25,7 23,8 23,4 22,7 24,9 8.3 Dự báo: 8.3.1 Khái niệm chung : Dự báo khả nhận thức vận động đối tượng nghiên cứu tương lai dựa phân tích chuỗi thơng tin q khứ Cho đến nay, nhu cầu dự báo trở nên cần thiết lĩnh vực 8.3.1.1 Bản chất khái niệm liên quan đến dự báo: 8.3.1.1.1 Tiên đoán (Predicting) Đoán trước vận động đối tượng nghiên cứu tương lai Đó kết nhận thức chủ quan người dựa số sở định Có thể nêu mức độ tiên đốn khía cạnh Cao Hào Thi a) Tiên đốn khơng tưởng: Đó tiên đốn khơng có sở khoa học, dựa mối liên hệ không tưởng thiếu b) Tiên đốn kinh nghiệm: Đó tiên đốn dựa chuỗi thơng tin lịch sử Mức độ nhiều có sở khách quan, nhiên có nhược điểm loại tiên đốn khơng giải thích xu vận động đối tượng nghiên cứu đa số dừng lại bước định tính c) Tiên đốn khoa học: Đó tiên đốn dựa phân tích mối liên hệ qua lại đối tượng nghiên cứu phương pháp xử lý thông tin khoa học nhằm phát tính quy luật đối tượng 8.3.1.1.2 Dự báo (Forecasting) Dự báo tiên đoán khoa học mang tính xác suất tính phương án khoảng thời gian hữu hạn tương lai phát triển đối tượng nghiên cứu a) Tính xác suất : Do dự báo dựa việc xử lý chuỗi thông tin bao gồm yếu tố xu phát triển yếu tố ngẫu nhiên, kết dự báo so với thực tế có chên lệch mang tính xác suất b) Tính chất phương án: Dự báo thể nhiều dạng kết xảy tương lai (dạng định tính, dạng định lượng, dạng khoảng, dạng điểm, …) c) Tính chất thời gian hữu hạn: Sự chênh lệch thời điểm dự báo thời điểm gọi khoảng cách dự báo (tầm xa dự báo l), khoảng cách khơng thể tùy tiện mà phụ thuộc vào mức độ ổn định đối tượng nghiên cứu trình phát triển Vì dự báo tiến hành với khoảng cách dự báo thích hợp tương ứng khoảng thời gian hữu hạn 8.3.1.2 Phân loại dự báo : a) Dựa vào thời gian : Căn vào khoảng cách dự báo, người ta chia dự báo thành loại chính: - Dự báo ngắn hạn : Khoảng cách dự đoán ngắn hạn dùng cho cấp quản lý trung bình thấp, cho chiến lược tức thời - Dự báo dài hạn : Khoảng cách dự báo dài dùng cho quản lý cấp cao, cho đối tượng nghiên cứu mang tầm cỡ chiến lược Cao Hào Thi b) Dựa theo kết : - Dự báo điểm : Kết dự báo thể giá trị F t+l = A Ft+l : giá trị dự báo thời điểm t+l - Dự báo khoảng : Kết dự báo thể dạng khoảng tin cậy với xác suất xảy chủ định Ft+l = A ± ε c) Dựa theo đối tượng nghiên cứu: - Dự báo tài nguyên Dự báo khoa học kỹ thuật Dự báo dân số lao động Dự báo xã hội Dự báo thị trường… 8.3.2 Các bước dự báo: Công tác dự báo gồm bước: 8.3.2.1 Thu thập số liệu: u cầu phải có số liệu - Chính xác - Đúng mục đích dự báo Đây phần khó khăn tốn thời gian 8.3.2.2 Xử lý sơ số liệu: - Bỏ số liệu không cần thiết, khơng xác - Bổ xung số liệu thiếu - Chia tập số liệu thành nhóm : nhóm đầu nhóm kiểm tra 8.3.2.3 Lựa chọn phương pháp xây dựng mơ hình dự báo - Phương pháp dự báo chọn cho phù hợp với số kiệu thuộc nhóm đầu với đối tượng nghiên cứu - Lập mơ hình dự báo cho sai số dự báo nhỏ Sai số dự báo kiểm định nhóm số liệu kiểm tra 8.3.2.4 Dự báo: - Từ mơ hình dự báo xác định giá trị dự báo - Phân tích kết nhận Cao Hào Thi 8.3.3 Các phương pháp dự báo thông dụng: Các phương pháp dự báo thường dùng chia làm loại: - Phương pháp giản đơn (naive method) - Phương pháp trung bình (average method) - Phương pháp làm trơn (smoothing method) 8.3.3.1 Phương pháp dự báo giản đơn: A Phương pháp 1: Trong phương pháp người ta giả thiết giá trị gần giá trị cho tương lai Ft+1 = Xt Ft+1 : giá trị dự báo thời điểm t+1 Xt : trị quan sát thời điểm t Nhận Xét: Đây mơ hình đơn giản Mơ hình khơng thể thành phần chuỗi thời gian Để đánh giá độ xác cơng tác dự báo người ta phải tính sai số dự báo e et+1 = Xt+1 – Ft+1 Ví dụ: Lượng hàng bán theo qúy công ty từ năm 1979 đến 1985 cho bảng số liệu Dựa vào bảng số liệu lập mơ hình dự báo lượng hàng bán theo quý tương lai Năm Quý T Lương sp bán 1979 1 500 2 350 3 250 4 400 Cao Hào Thi 1980 450 350 200 300 1981 10 350 200 11 12 150 400 1982 13 14 15 16 550 350 250 550 1983 17 18 19 20 550 400 350 600 1984 21 22 23 24 750 500 400 650 1985 25 26 27 28 850 600 450 700 Giải: Nếu sử dụng số liệu từ năm 1979 đến năm 1984 làm phần đầu nhóm số liệu sử dụng số liệu năm 1985 phần kiểm tra Giá trị dự báo cho quí I năm 1985 (thời điểm 25) F25 = F24 + = X24 = 650 Sai số dự báo thời điểm 25 e25 = X25 – F25 = 850 – 650 = 200 Tương tự, giá trị dự báo cho quí II năm 1985 (thời điểm 26) F26 = X25 = 850 Sai số dự báo thời điểm 26 e26 = X26 – F26 = 600 –850 = -250 Nhận Xét: Sai số lớn cần phải sửa đổi mơ hình B Phương pháp 2: Trong phương pháp này, người ta thêm vào số hạng để đánh giá ảnh hưởng thành phần xu hướng chuỗi thời gian Mơ hình có dạng: Cao Hào Thi a) Ft+1 = Xt + ( Xt – Xt – 1) Đánh giá ảnh hưởng thành phần xu hướng Ví dụ: Giá trị dự báo thời điểm 25 F25 = X24 + ( X24 - X23 ) = 650 + ( 650 – 400) F25 = 900 Sai số dự báo thời điểm 25 E25 = X25 - F25 = 850 - 900 e25 = -50 b) Ft+1 = Xt * Xt X t −1 Ví dụ: F25 = X24 * = 650 * X 24 X 23 650 400 F25 = 1050 e25 = X25 - F25 = 850 -1056 e25 = -206 C Phương pháp 3: Trong phương pháp này, người ta có ý đến ảnh hưởng thành phần mùa chuỗi thời gian Ft+1 = Xt-3 Cao Hào Thi 10 Với công thức lượng sản phẩm bán quý dự báo lượng sản phẩm bán quý tương ứng năm trước Nhược điểm phương pháp không ý tới tác động khác năm thành phần xu hướng Ví dụ: F25 = X21 = 750 e25 = X25 - F25 = 850 – 750 e25 = 100 D Phương pháp 4: Trong phương pháp này, người ta ý đến ảnh hưởng thành phần mùa thành phần xu hướng chuỗi thời gian Ft+1 = Xt-3 + T/phần mùa (X t − X t −1 ) + + (X t −3 − X t − ) Giá trị trung bình thay đổi T/phần xu hướng qúy gần Ví dụ: F25 = X21 + (X 24 − X 23 ) + (X 23 − X 22 ) + X 22 − X 21 ) + (X 21 − X 20 ) = 750 + (650 − 400) + (400 − 500) + (500 − 750) + (750 − 600) = 750 +12,5 F25 = 762,5 e25 = X25 - F25 = 850 - 762.5 e25 = 87.5 Cao Hào Thi 11 Nhận xét chung: Phương pháp Naive có ưu điểm đơn giản phù hợp cho phân tích ban đầu sai số lớn 8.3.3.2 Các phương pháp trung bình: a Phương pháp trung bình giản đơn: Trong phương pháp này, người ta sử dụng giá trị trung bình tồn số liệu có trước thời điểm dự báo làm giá trị dự báo Ft+1 = n n ∑X t =1 t Ví dụ: giá trị dự báo cho quí I/1985 (thời điểm t = 25) F25 = = 24 24 ∑X t =1 t * (9800) 24 F25 = 408,33 e25 = X25 – F25 = 850 – 408,33 e25 = 441,67 Giá trị dự báo cho quí II/1985 (thời điểm t = 26) F26 = = F26 = 25 ⎡ 24 ⎤ = X X t + X 25 ⎥ ∑ ∑ t ⎢ 25 t =1 25 ⎣ t =1 ⎦ [9800 + 850] 25 * 10650 = 426 25 e26 = X26 - F26 = 600 - 426 Cao Hào Thi 12 e26 = 174 Trong ví dụ này, sai số dự báo lớn → dự báo khơng xác Phương pháp trung bình đơn giản thường sử dụng dãy số liệu không biến đổi theo mùa,khơng có hướng, khơng đối xứng với tập số liệu lớn b Phương pháp trung bình dịch chuyển ; (Moving – Average) Trong phương pháp này, người ta sử dụng giá trị trung bình n số liệu quan sát trước thời điểm dự báo Ft+1 = (Xt + Xt-1 + Xt-2 +….+ Xt-n+1) n Nhận xét: - Mơ hình ý đến n số liệu quan sát biết gần thời điểm dự báo - Số n khơng thay đổi tính giá trị trung bình dịch chuyển • n = 1⇒ Ft+1 = Xt : Phương pháp naive n • n = 1⇒ Ft+1 = ∑ X t :Phương pháp trung bình giản đơn n t =1 (tồn số liệu) - Tổng quát, phương pháp trung bình dịch chuyển tốt phương pháp trung bình giản đơn Ví dụ: Giá trị dự báo cho quí I/1985 với n = F25 = = (X24 +X23 + X22 +X21 ) 1 (650 + 400 +500 +750 ) = * 2300 4 F25 = 575 e25 = X25 - F25 = 850 – 575 e25 = 275 c Phương pháp làm trơn hàm mũ:(Exponential Smoothing Methods) Ft+1 = α Xt + (1-α) Ft Cao Hào Thi 13 Ft+1 :giá trị dự báo thời điểm t+1 Ft :giá trị dự báo thời điểm t Xt :giá trị quan sát thời điểm t α :hằng số làm trơn, ≤ α ≤ 8.3.3.3 Phương pháp tự hồi qui:(Autoregressive models) a) Mơ hình tự hồi qui bậc 1:(first-order autoregressive models) Xt= β + Φ1 Xt-1 + at β, Φ1 : tham số cố định at : biến ngẫu nhiên có số trung bình b) Mơ hình tự hồi qui bậc (second order autoregressive models ) Xt = β +Φ1 Xt-1 + Φ2 Xt-2 + at c) Mơ hình tự hồi qui bậc p: (Autoregressive model of order p) Xt = β + Φ1 Xt-1 + Φ2 Xt-2 + … + ΦpXt-p +at Cao Hào Thi 14 ... phí khấu hao D cho năm là: P − SV D= n Trong đó: P: giá trị tài sản SV: giá trị lại n: thời kỳ hấu hao P-SV: Giá trị tài sản đầu tư bị giảm Giá trị bút toán tài sản cuối năm t Bvt Cao Hào Thi... P(B) =1/3 * 0,15 + 1/4 * 0,08 + 1/4 * 0,05 + 1/6 * 0,01 = 0,0816 b) Công thức Bayes: Giải toán ngược toán trên, tức biết P(Ai), P(B/Ai) biến cố B xảy ra, tìm P(Ai/B) Ta có : B = (B∩A1) ∪ (B∩A2)... Pn(k1, k2) phức tạp Để khắc phục điều người ta phải tìm cách tính gần xác suất cách áp dụng định lý giới hạn Ví dụ: Trong thùng có 30 bi: 20 trắng 10 đen Lấy liên tiếp bi, bi lấy hoàn lại thùng trước