Ví dụ tìm xem có bao nhiêu chữ số. Ta có làm tròn thành. Nhận xét rằng, với phép chia trên, chu kì có thể dễ dàng tìm ra bằng mtbt. Tuy nhiên với những số lớn ví dụ ; việc tìm ra chu[r]
(1)2 Tìm số dư phép chia số a cho số b:
Định lí: Với hai số nguyên a b, b 0, tồn cặp số nguyên q r cho:
a = bq + r r < |b|
* Từ định lí cho ta thuật tốn lập quy trình ấn phím tìm dư phép chia a cho b: + Bước 1: Đưa số a vào ô nhớ A , số b vào ô nhớ B
+ Bước 2: Thực phép chia A cho B {ghi nhớ phần nguyên q} + Bước 3: Thực A - q B = r
Bài 5: a) Viết quy trình ấn phím tìm số dư chia 18901969 cho 3041975 b) Tính số dư
c) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư chia 3523127 cho 2047 Tìm số dư Giải:
a) Quy trình ấn phím: 18901969 SHIFT STO A 3041975 SHIFT STO B
ANPHA A ANPHA B =
(6,213716089) SHIFT A - B =
(650119) b) Số dư là: r = 650119
c) Tương tự quy trình câu a), ta kết là: r = 240
Bài 6: (Thi giải Toán MTBT lớp 12 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2002-2003) Tìm thương số dư phép chia: 123456789 cho 23456
Đáp số: q = 5263; r = 7861
Bài 7: (Thi giải Toán MTBT lớp 10 + 11 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2003-2004) Tìm số dư phép chia:
a) 987654321 cho 123456789 b) 815 cho 2004
H.Dẫn:
a) Số dư là: r =
b) Ta phân tích: 815 = 88.87
- Thực phép chia 88 cho 2004 số dư r
1 = 1732
- Thực phép chia 87 cho 2004 số dư r
2 = 968
Số dư phép chia 815 cho 2004 số dư phép chia 1732 x 968 cho 2004 Số dư là: r = 1232
4 Một số toán sử dụng tính tuần hồn số dư nâng lên luỹ thừa:
Định lí: Đối với số tự nhiên a m tuỳ ý, số dư phép chia a, a2, a3, a4 cho m lặp lại một cách tuần hồn (có thể khơng đầu).
Chứng minh Ta lấy m + luỹ thừa đầu tiên:
(2)và xét số dư chúng chia cho m Vì chia cho m có số dư {0, 1, 2, , m - 2, m - 1}, mà lại có m + số, nên số phải có hai số có số dư chia cho m Chẳng hạn hai số ak ak + l, l > 0.
Khi đó:
ak ak + l (mod m) (1)
Với n k nhân hai vế phép đồng dư (1) với an - k được:
an an + l (mod m)
Điều chứng tỏ vị trí tương ứng với ak số dư lặp lại tuần hoàn.
Số l gọi chu kỳ tuần hoàn số dư chia luỹ thừa a cho m. Sau ta xét số dạng tập sử dụng định lí trên:
Bài tốn: Xét luỹ thừa liên tiếp số 2:
21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29,
Tìm xem chia luỹ thừa cho nhận loại số dư ? Giải: Ta có:
21 = 2, 22 = 4, 23 = (mod 5), 24 = 16 (mod 5) (1)
Để tìm số dư chia 25 cho ta nhân hai vế phép đồng dư (1) với được:
25 = 24.2 1x2 (mod 5)
26 = 25.2 2x2 (mod 5)
27 = 26.2 4x2 (mod 5)
Ta viết kết vào hai hàng: hàng ghi luỹ thừa, hàng ghi số dư tương ứng chia luỹ thừa cho 5:
21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211
(2 4 3 1) (2 1) (2
hàng thứ hai cho ta thấy số dư lập lại cách tuần hoàn: sau số dư (2, 4, 3, 1) lại lặp lại
theo thứ tự
Bài 10: Tìm số dư chia 22005 cho 5
Giải:
* Áp dụng kết trên: ta có 2005 (mod 4) số dư chia 22005 cho Bài 11: Tìm chữ số cuối số: 234
Giải:
- Xét luỹ thừa chia cho 10 (sử dụng MTBT để tính luỹ thừa 2, ta thực theo quy trình sau:
1 SHIFT STO A ANPHA A
ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA A + = = )
(3)21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211
(2 4 8 6) (2 6) (2
hàng thứ hai cho ta thấy số dư lặp lại tuần hoàn chu kỳ số (2, 4, 8, 6)
ta có 34 = 81 (mod 4) số dư chia 234 cho 10 2
Vậy chữ số cuối số 234
Bài 12: Tìm hai chữ số cuối số:
A = 21999 + 22000 + 22001
Giải: Xét lu th a c a chia cho 100 (s d ng MTBT ỹ ủ ụ để tính lu th a c a 2, th c hi nỹ ủ ự ệ theo quy trình nh b i 11), ta k t qu sau:ế ả
21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 212
2 (4 8 16 32 64 28 56 12 24 48 96
213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224
92 84 68 36 72 44 88 76 52) (4 16
số dư lặp lại tuần hoàn chu kỳ 20 số (từ số đến số 52) Ta có:
1999 19 (mod 20) số dư chia 21999 cho 100 88
2000 (mod 20) số dư chia 22000 cho 100 76
2001 (mod 20) số dư chia 22001 cho 100 52
88 + 76 + 52 = 216 16 (mod 100)
số dư A = 21999 + 22000 + 22001 chia cho 100 16 hay hai chữ số cuối số A 16
Ví dụ 1: Tìm số dư phép chia cho Lời giải:
Ta có:
Suy ra:
Vậy số dư phép chia cho là:
(4)Lời giải:
Ta tìm số dư phép chia cho Kết
Tiếp tục tìm số dư phép chia cho Kết
Vậy số dư phép chia cho
Ví dụ 3: Tìm số dư phép chia cho
Lời giải:
Vì số nguyên tố Nên ta có:
Suy ra:
Suy ra:
Vậy số dư phép chia cho
Ví dụ 4: Tìm số dư phép chia cho Lời giải:
(5)Ta có:
Suy ra:
Suy ra: Suy ra:
Suy ra: Suy ra:
Suy ra:
Vậy số dư phép chia cho Cách 2:
Ta có:
Suy ra:
Suy ra: Suy ra:
(6)Suy ra:
(7)Bài 13: Chứng minh
2004 14+10 chia hết cho 11 Giải:
- Ta có: 14 (mod 11)
2004 14
2004
(mod 11) Do 38 = 6561 (mod 11), nên
2004
= 65612004 52004 (mod 11)
Xét s tu n ho n c a s d chia lu th a c a cho 11:ự ầ ủ ố ỹ ủ
51 52 53 54 55 56 57 58
(5 1) (5 1)
52004 = (54)501 1501 (mod 11) (mod 11) (1)
Mặt khác: 10 10 (mod 11) (2)
Cộng vế với vế phép đồng dư (1) (2) có: 2004
8
14 +10 11 (mod 11) (mod 11)
2004
14 +10 chia hết cho 11.
Bài 14: Chứng minh số 222555 + 555222 chia hết cho 7.
Giải:
1) Trước hết tìm số dư phép chia 222555 cho 7:
- Vì 222 = x 31 + 5, nên 222 (mod 7) 222555 5555 (mod 7) - Xét s tu n ho n c a s d chia lu th a c a cho 7:ự ầ ủ ố ỹ ủ
51 52 53 54 55 56 57 58
(5 1) (5
5555 = 56.92 + = (56)92.53 53 (mod 7) (1)
Vậy số dư chia 222555 cho 6.
2) Tương tự, tìm số dư phép chia 555222 cho 7:
- Vì 555 = x 79 + 2, nên 555 (mod 7) 555222 2222 (mod 7) - Xét s tu n ho n c a s d chia lu th a c a cho 7:ự ầ ủ ố ỹ ủ
21 22 23 24 25 26 27 28
(2 4) (2
2222 = 23.74 = (23)74 174 (mod 7) (2)
Vậy số dư chia 555222 cho 1.
Cộng vế với vế phép đồng dư (1) (2), ta được: 222555 + 555222 + (mod 7)
Vậy số 222555 + 555222 chia hết cho 7.
7.1 Số có bất biến với luỹ thừa:
1) Luỹ thừa bậc số có chữ số tận ; ; (và số ấy) có chữ số tận ; ; (có bất biến).
(8)3) Luỹ thừa bậc số có chữ số tận 376 625 (và số ấy) có chữ số tận 376 625 (có bất biến).
4) Luỹ thừa bậc số có chữ số tận 9376 0625 (và số ấy) có chữ số tận 9376 0625 (có bất biến).
Bài 31: Tìm số dư chia số 133762005! cho 2000 (TH & TT T3/ 317)
Giải:
- Giả sử A, B hai số tự nhiên có tận 376, thì:
A.B = (1000.a + 376)(1000.b + 376) = 376000(a + b) + 106a.b + 3762
= 2000t + 1376; với a, b t N A.B chia 2000 có số dư 1376
Với k > chia 13376k cho 2000 (thực (k - 1) lần phép nhân số có tận 376
rồi chia cho 2000) dư 1376 Đề ứng với k = 2005!
Bài 32: Tìm chữ số tận số:
A = 21999 + 22000 + 22001
H.Dẫn:
- Ta có: 21999 + 22000 + 22001 = 21999(1 + + 22) = x 29 x 210 x 21980
= x 29 x 210 x (220)99
- Ta có (dùng máy): 29 = 512
210 = 1024 ;
220 = 1048576
Nhận xét: số có chữ số tận 76, luỹ thừa bậc có chữ số tận 76 Vậy (220)99 có số tận 76.
21999 + 22000 + 22001 = x 512 x 1024 x ( 76) = 16
(9)Bài 33: Tìm bốn chữ số tận 51994.
Giải:
- Ta có: 54 = 625
- Nhận thấy số có tận 625 luỹ thừa bậc có tận 625 - Do đó:
51994 = 54k + 2 = 25.(54)k = 25.(625)k = 25( 625) = 5625.
Vậy bốn chữ số tận số 51994 5625.
7.2 Khai triển nhị thức Newton tốn chia hết: -Ta có khai triển:
1 2 1
n n n n n n n
n n n
a b a C a b C a b C ab b
1 ( 1) 2 ( 1)( 2) 3 ( 1) 2
1.2 1.2.3 1.2
n n n n n n n n n n n n n n
a na b a b a b a b nab b
- Khi chứng minh tính chia hết luỹ thừa, cần nhớ số kết sau: 1) an - bn chia hết cho a - b (a b)
2) a2n + 1 + b2n + 1 chia hết cho a + b (a -b)
3) (a + b)n = BS a + bn (BS a: bội số a)
Đặc biệt:
(a + 1)n = BS a + 1
(a - 1)2n = BS a + 1
(a - 1)2n + 1 = BS a - 1
Bài 34: Tìm số dư chia 2100 cho:
a) b) c) 125 Giải:
a) Luỹ thừa sát với bội 23 = = (9 - 1)
- Ta có: 2100 = 2(23)33 = 2(9 - 1)33 = 2(BS - 1) = BS - = BS + 7
Vậy số dư chia 2100 cho 7.
b) Luỹ thừa sát với bội 25 210 = 1024 = (BS 25 - 1)
- Ta có: 2100 = (210)10 = (BS 25 - 1)10 = BS 25 +
Vậy số dư chia 2100 cho 25 1
c) Dùng công thức Newton:
50
100 50 49 50.49
2 5 50.5 50.5
Để ý 48 số hạng đầu chứa thừa số với số mũ lớn nên chia hết cho 125, hai số hạng chia hết cho125, số hạng cuối
Vậy 2100 = BS 125 + Số dư 2100 chia cho 125 1
Tổng quát: Nếu số tự nhiên n khơng chia hết cho chia n100 cho 125 ta số dư 1.
Bài 35: Tìm ba chữ số tận 2100.
(10)- Trước hết tìm số dư phép chia 2100 cho 125 Theo 34: 2100 = BS 125 + 1, mà 2100 số
chẵn, nên ba chữ số tận (dùng máy tính để thử): 126, 376, 626 876
- Hiển nhiên 2100 chia hết ba chữ số tận phải chia hết cho Bốn số trên
chỉ có 376 thoả mãn điều kiện Vậy ba chữ số tận 2100 376.
Tổng quát: Nếu n số tự nhiên chẵn không chia hết cho ba chữ số tận n100 là 376.
Bài 36: Tìm ba chữ số tận 3100.
Giải: - Ta phân tích sau:
50100 50 50.49
3 10 10 10 50.10
2
= BS 1000 + 500 - 500 + = BS 1000 + Vậy 3100 tận 001.
Tổng quát: Nếu n số tự nhiên lẻ khơng chia hết cho ba chữ số tận n100 001.
Bài 37: Thay dấu * chữ số thích hợp: 896 = 496 * * 290 961.
H.Dẫn:
- Ta có: (896 - 1) (89 - 1) (896 - 1) 11
(896 - 1) (893 + 1) (896 - 1) (89 + 1) (896 - 1) 9
- Đặt A = (896 - 1) = 496 x y 290 960 Ta có A chia hết cho 11.
Ta có tổng chữ số hàng lẻ (từ phải sang trái) A bằng: 36 + y ; tổng chữ số hàng chẵn A bằng: 18 + x
A chia hết cho nên: 54 + x + y x + y {0 ; ; 18}
A chia hết cho 11 nên: [(36 + y) - (18 + x)] 11 x - y {-4 ; 7}
+ Nếu x + y = x = y = (loại) + Nếu x + y = 18 x = y = (loại)
+ Nếu x + y = : ý (x + y) (x - y) chẵn lẻ nên: x - y = x = ; y =
Vậy 896 = 496 981 290 961
7.3 Tìm chữ số thứ k (k N) số thập phân vơ hạn tuần hồn: Định lí: (Dấu hiệu nhận biết phân số đổi số thập phân hữu hạn)
Điều kiện cần đủ để phân số tối giản viết thành số thập phân hữu hạn mẫu số khơng chứa thừa số nguyên tố
* Từ định lí ta rút nhận xét sau: Nếu phân số tối giản
a
b có mẫu b không chứa thừa số nguyên tố 2, ngồi thừa số
ngun tố 2, cịn chứa thừa số nguyên tố khác số dư trình chia phải nhỏ b nên số dư số trong:
{1; 2; 3; ;b-1}
(11)Từ để tìm chữ số thứ k sau dấu phảy số thập phân vô hạn tuần hoàn, ta cần xác định chu kỳ lặp lại chữ số thương, từ dễ dàng suy chữ số cần tìm
Bài 38: Tìm chữ số thập phân thứ 2005 sau dấu phảy số:
1 10
) ; ) ; ) ; )
37 41 51 49
a A b B c C d C
H.Dẫn:
a) Số
0,027 027 (027) 37
A
tuần hoàn chu kỳ chữ số 027 Vì 2005 (mod 3) nên chữ số thứ 2005 sau dấu phảy A là:
b) Số
0, 0243902439(02439) 41
B
tuần hoàn chu kỳ chữ số 02439 Vì 2005 (mod 5) nên chữ số thứ 2005 sau dấu phảy B là:
c) Số
10
0,(1960784313725490) 51
C
TH chu kỳ 16 chữ số:1960784313725490 Vì 2005 (mod 16) nên chữ số thứ 2005 sau dấu phảy C là:
d) Số
0,(020408163265306122448979591836734693877551) 49
D
tuần hồn chu kỳ 42 chữ số 020408163265306122448979591836734693877551 Vì 2005 31 (mod 42) nên chữ số thứ 2005 sau dấu phảy D là:
Bài tốn 1. Tìm chữ số tận số A = 20072008 + 20082009
Bài tốn 2: Tìm số dư phép chia số: 17762010 cho 2000
Bài tốn 3: Tìm số dư chia số 182008 + 82009 cho 49
Bài tốn 4: Tìm chữ số tận Tổng 39999 + 29999
Đáp án
Bài tốn 1.
1 Ta tìm chữ số tận 20072008 = 20078 20072000 20072
49(mod 100)
(20072)4 494(mod 100) 01(mod 100)
20072000 = (20078)250
01(mod 100)
Vậy: 20072008
01(mod 100)
2 Tìm chữ số tận 20082009 Ta có: 20082009 = 2008 20088 20082000 * 20082 64(mod 100)
(20082)4 644(mod 100) 16(mod 100)
20088
16(mod 100) (20088)5 165(mod 100) 76(mod 100)
* 200840
76(mod 100) đó: 20082000 76(mod 100) 20088 20082000 16.76(mod 100) 16(mod 100)
(12)Bài toán 2.
17761
1776(mod 2000)
17762
176(mod 2000)
17763 576(mod 2000)
17764 = (17762)2 976(mod 2000)
17765 = 17762 17763 176 576(mod 2000) 1376(mod 2000) 17766= 1776 17765
176 1736(mod 2000) 1776(mod 2000)
17767
976(mod 2000)
Vậy chu kỳ lặp lại sau bước mà: 2010 = 402 có dạng 5k
Do số 17762010 chia 2000 cho số dư 1376.
Bài toán 3.
* Ta t ìm số dư chia 182008 cho 49 Ta có: 182008 = 18.182007
= (183)669 18
183 1(mod 49) (183)669 1(mod 49) 18 (183)669 18(mod 49)
* Ta tìm số dư chia 82009 chia cho 49 Ta có 82009 = (87)287
87
1(mod 49)
(87)287 01(mod 49)
Kết luận: Vậy số dư chia số 182008 + 82009 cho 49 19.
Bài tốn 5:
* Có 39999 = 320.499.319
319 = 1162261467 67(mod 100) 320 = 3486784401 01(mod 100) (320)499 01(mod 100)
Do (320)499.319
67(mod 100)
* Có 29999 = 220.499.219
219 = 524288 88(mod 100) 220 = 1048576 76(mod 100) (220)499 76(mod 100)
Do (220)499.219
76.88(mod 100) 88(mod 100) 39999 + 29999 (67+88)(mod 100) = 55(mod 100)
(13)Thuật tốn tìm số chữ số luỹ thừa:
Ví dụ tìm xem có chữ số
Ta có làm trịn thành
Như gồm số
Lưu ý: logarit số 10
Tìm chu kì phép chia có dư:
Thí dụ
Ta nói phép chia có chu kì Nhận xét rằng, với phép chia trên, chu kì dễ dàng tìm mtbt Tuy nhiên với số lớn ví dụ ; việc tìm chu kỳ khó khăn nhiều Phương pháp chung, có lẽ biết, bấm 1*(10^8)/57 để tìm chu kì( phần nguyên), lấy 1*10^8-phần nguyên vừa tìm được*57; lấy kết vào số ta tìm chi kỳ
Tuy nhiên tìm lượt phải bấm ko 20 phím, để tiết kiệm sức, xin nêu cách bấm, sau giải thuật ban đầu, bấm dấu = ta tìm khoảng số chu kỳ
cách bấm sau: A=1 B=57
(((A*10^8)/B)+9.5)*10^-11+1-1)*10^11-10{ĐỌC CHU KÌ}:A=A*10^8-ANS*B C2:nhấn MODE MODE (BASE), nhấn fím x^2( chữ DEC màu xanh đó) Chẳng hạn tìm chu kì
1 |shift| |sto| |A|
(chỉ số thôi)
Ax10000000-49 x |ans| |shift| |sto| |A| ấn dấu mũi tên lên nhấn |shift| |copy| việc nhấn = = = chu kì fép chia
ĐS: )
Lưu ý: phép chia cho ta chữ số thập fân, hay chữ số, ta hiểu ngầm có hay chữ số trước!!!!!
Tìm n chữ số tận luỹ thừa:
Để tìm n chữ số tận luỹ thừa , ta tìm dư luỹ thừa với 10^n Heheh , có phải hay không
Tuy nhiên Nếu người ta kiu tìm từ đến chữ số tận luỹ thừa mà ta làm theo học thật , q oải Chính , tui xin post sau :
Tìm chữ số tận :
* Nếu a có chữ số tận , , có chữ số tận , ,
* Nếu a có chữ số tận , , ta có nhận xét sau với k thuộc tập hợp số tự nhiên khác :
2^4k đồng dư ( mod 10 ) 3^4k đồng dư ( mod 10 ) 7^4k đồng dư ( mod 10 )
Do để tìm chữ số tận a^n với a có số tận , , ta lấy n chia cho Giả sử n = 4k + r với r thuộc { , , , }
Nếu a đồng dư ( mod 10 ) a^2 dồng dư 2^n = 2^(4k+r) đồng dư 6.2^r ( mod 10 ) Nếu a đồng dư ( mod 10 ) a^n = a^(4k+r) đồng dư a^r ( mod 10 )
(14)2^20 đồng dư 76 ( mod 100 ) 3^20 đồng dư ( mod 100 ) 6^5 đồng dư 76 ( mod 100 ) 7^4 đồng dư 01 ( mod 100 )
Mà 76^n đồng dư 76 ( mod 100 ) với n >= 5^n đồng dư 25 ( mod 100 ) với n >=
Suy kết sau với k số tự nhiên khác :
a^20k đồng dư 00 ( mod 100 ) a đồng dư ( mod 10 )
a^20k đồng dư 01 ( mod 100 ) a đồng dư ; ; ; ( mod 10 ) a^20k đồng dư 25 ( mod 100 ) a đồng dư ( mod 10 )
a^20k đồng dư 76 ( mod 100 ) a đồng dư ; ; ; ( mod 10 ) Vậy túm lại , để tìm chữ số tận a^n ta lấy số mũ chia cho 20 _ Ta có :
a^100k đồng dư 000 ( mod 10^3 ) a đồng dư ( mod 10 )
a^100k đồng dư 001 ( mod 10^3 ) a đồng dư ; ; ; ( mod 10 ) a^100k đồng dư 625 ( mod 10^3 ) a đồng dư ( mod 10 )
a^100k đồng dư 376 ( mod 10^3 ) a đồng dư ; ; ; ( mod 10 )
Túm lại , để tìm chữ số tận luỹ thừa , ta tìm chữ số tận số mũ Nhưng dù nguyên tắc
Để tìm n chữ số tận a^b ta tìm số dư a^b với 10^n Tìm số dư phép chia:
Các dạng thường gặp:
1) Chia số có nhiều 10 chữ số cho số có 10 chữ số Phương pháp: Chia để trị (divide and conquer)
chặt số có 10 chữ số thành nhiều số nhỏ có nhiều 10 chữ số Ví dụ:
Lấy số nhỏ chia cho số chia, sau có kết dư nhớ nhân với lũy thừa số 10 với
2) Chia số lũy thừa bậc cao cho số khác:
Phương pháp: quan sát xem có nằm dạng Fermat không? Nếu không, quan sát chu kỳ số dư
Nếu khơng có chu kỳ số dư làm bước: lấy số lũy thừa lên vài bậc (khơng tràn máy), tìm số dư tiếp tục lũy thừa lên số mũ nhỏ dần Chú ý sử dụng tính
chất: phép chia cho b phép cho b có số dư với để làm nhỏ a lại, tạo
điều kiện tính nhanh
Dạng 1:Tìm số dư chia số a cho số b.
-Tuỳ vào số mũ a để phân tích, tìm số a’ thích hợp (Khơng làm tràn máy) tìm số dư a’ cho b Tiếp tục làm cuối
VD: Tìm số dư 1112 cho 2001. Giải:
116=1771561 chia cho 2001 dư 676.
Vì 1112=(116)2 chia cho 2001 dư là: 6762:2001 dư 748 Vậy dư phép chia 784
(15)Bài tập áp dụng:
Tìm số dư phép chia a cho b:
1/ a=736; b=2003. 2/ a=7218 ; b=2009.
3/ a= 1318+1320; b=6954 4/ a=1358+2475 ; b= 3311
Dạng 3: Tìm n chữ số cuối cùng:
* Nếu tìm chữ số cuối cùng:
-Phát quy luật lặp lại chữ số cuối -Hạ bậc số cách áp dụng quy luật
Ví dụ 1: Tìm chữ số cuối 3202.
-Ta có
1
3
3
3 27
3 81
3 243
= = = = =
3202=3200.32=(35)40.32(1)
Vì 35 có chữ số cuối (chữ số hàng đơn vị) nên chữ số cuối của (35)40 340; 340=(35)8
Và chữ số cuối 38; 38=35.33 nên chữ số cuối 38 34.
Kết hợp với chữ số cuối tốn chữ số cuối 32.34=35.3 Vậy chữ số cối biểu thức 9.
Ví dụ 3:
Tìm chữ số cuối biểu thức A= 3202+3203+3204. Ta có: A=3202(1+3+9)=3202.13
Theo ví dụ chữ số cuối 3202 Nên chữ số cuối A chữ số cuối tích 13.9=27
*Tìm hai ba chữ số cuối cùng: Theo ngun tắc, khơng có cách giải cụ thể, xong tuỳ để vận dụng:
Ví dụ 4: Tìm hai chữ số cuối 3512.
356=1838265625 Hai chữ số cuối 356 25. Để tìm số dư an cho b ta làm nhau:
-Nếu a chia cho b thương q; dư r ta có: a=bq+r
(Công thức không quan tâm đến hệ số số hạng khai triển
Vậy tìm xem rn chia cho b dư mấy.
Đáp số 892 Đáp số 918
Đáp số 170 Đáp số 2514
Phát quy luật lặp lại chữ số cuối
(16)Mà 3512=(356)2 nên hai chữ số cuối chúng hai chữ số cuối (25)2=625. Vậy hai chữ số cuối 25
Ví dụ 5: Tìm hai chữ số cuối 3523. Ta có: 315=14248907 Hai chữ số cuối 07 Và 3523=(315)34.513; 513=1594323.
Hai chữ số cuối biểu thức hai chữ số cuối tích Suy
Vậy hai chữ số cuối 27
Ví dụ 6: Tìm ba chữ số cuối biểu thức 64501+64502. -Trước hết tính ba chữ số cuối 64501.
Ta có:
645=1073741824 Và 64501=(645)100.64 nên ba chữ số cuối ba chữ số cuối của tích: (824)100.64.
Vì 8243=559476224; (824)100.64={(824)3}33824.64
Þ ba chữ số cuối ba chữ số tích( 224)33.52736.
Vì 2244=2517630976 nên ba chữ số cuối tích ( 224)33.52736 ba chữ số
cuối tích (224)4}8.224.736 ba chữ số cuối (976)8 164864. Vì 8963=719323136 nên Ba chữ số cuối (976)8 164864 ba chữ số cuối
cùng (136)2.8962.864=18496.802816.864
Vậy ba chữ số cuối chúng ba chữ số cuối tích
496.816.864=349691904
Ba chữ số cuối 64501 904 A=64501(1+64)=65.64501
Ba chữ số cuối A ba chữ số cuối tích 904.65=58760
II TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA SỐ NGUYÊN a) Khi đề cho số bé 10 chữ số:
Số bị chia = số chia thương + số dư (a = bq + r) (0 < r < b) Suy r = a – b q
Ví dụ : Tìm số dư phép chia sau: 1) 9124565217 cho 123456
2) 987896854 cho 698521
b) Khi đề cho số lớn 10 chữ số: Phương pháp:
Tìm số dư A chia cho B ( A số có nhiều 10 chữ số)
- Cắt thành nhóm , nhóm đầu có chín chữ số (kể từ bên trái) Tìm số dư phần đầu chia cho B
- Viết liên tiếp sau số dư phần lại (tối đa đủ chữ số) tìm số dư lần hai Nếu cịn tính liên tiếp
Ví dụ: Tìm số dư phép chia 2345678901234 cho 4567
Ta tìm số dư phép chia 234567890 cho 4567: Được kết số dư : 2203 Tìm tiếp số dư phép chia 22031234 cho 4567
Kết số dư cuối 26
Bài tập: Tìm số dư phép chia: a) 983637955 cho 9604325
(07)34.23={(07)7}4.(07)6.23
(07)7=823543; 76=117649
(43)4 .49.23 hai chữ số cuối
(17)b) 903566896235 cho 37869
c) 1234567890987654321 : 123456
c) Dùng kiến thức đồng dư để tìm số dư. * Phép đồng dư:
+ Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a b chia cho c (c khác 0) có số dư ta nói a đồng dư với b theo modun c ký hiệu a b (mod )c
+ Một số tính chất: Với a, b, c thuộc Z+ a a (mod )m
a b (mod )m b a (mod )m
a b (mod );m b c (mod )m a c (mod )m
a b (mod );m c d (mod )m a c b d (mod )m a b (mod );m c d (mod )m ac bd (mod )m a b (mod )m an bn(mod )m
Ví dụ 1: Tìm số dư phép chia 126 cho 19 Giải:
2
3
6
12 144 11(mod19)
12 12 11 1(mod19)
Vậy số dư phép chia 126 cho 19 1
Ví dụ 2: Tìm số dư phép chia 2004376 cho 1975 Giải:
Biết 376 = 62 + Ta có: 12 48 2004 841(mod1975)
2004 841 231(mod1975) 2004 231 416(mod1975) 2004 416 536(mod1975)
Vậy 60 62 62.3 62.6 62.6
2004 416.536 1776(mod1975) 2004 1776.841 516(mod1975) 2004 513 1171(mod1975) 2004 1171 591(mod1975) 2004 591.231 246(mod1975)
Kết quả: Số dư phép chia 2004376 cho 1975 246
Bài tập thực hành:
Tìm số dư phép chia :
a) 138 cho 27
b) 2514 cho 65
c) 197838 cho 3878.
d) 20059 cho 2007
e) 715 cho 2001
III TÌM CHỮ SỐ HÀNG ĐƠN VỊ, HÀNG CHỤC, HÀNG TRĂM CỦA MỘT LUỸ THỪA:
(18)
2 1000
2 2000 1000
2 1000
2000
17 9(mod10)
17 17 (mod10)
9 1(mod10) 1(mod10) 17 1(mod10)
Vậy 172000.172 1.9(mod10) Chữ số tận 172002 9
Bài 2: Tìm chữ số hàng chục, hàng trăm số 232005. Giải
+ Tìm chữ số hàng chục số 232005
1 23 23(mod100) 23 29(mod100) 23 67(mod100) 23 41(mod100) Do đó:
520
2000 100
2005 2000
23 23 41 01(mod100)
23 01 01(mod100)
23 23 23 23 23.41.01 43(mod100)
Vậy chữ số hàng chục số 232005 (hai chữ số tận số 232005 43)
+ Tìm chữ số hàng trăm số 232005
1 20 2000 100 23 023(mod1000) 23 841(mod1000) 23 343(mod1000)
23 343 201(mod1000)
23 201 (mod1000)
100 2000
2005 2000 201 001(mod1000) 201 001(mod1000) 23 001(mod1000)
23 23 23 23 023.841.001 343(mod1000)