Tài liệu khoa học môn Vật lý "Biến đổi Laplace".
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Toán học là một ngành khoa học không những nó phục vụ cho chính nó, mà nó đặc biệt trở thành một công cụ hữu ích cho việc phát triển các ngành khoa học khác, trong đó có vật lý học. Tính chất cơ bản của vật lý học là tính thực nghiệm. Nhưng muốn trình bày những định luật định lượng của vật lý học một cách chính xác ta thường phải sử dụng phương pháp toán học. Phương pháp toán học được sử dụng từ lâu trong vật lý. Nó là sự giao thoa giữa toán học và vật lý học.Những quy luật đơn giản của vật lý đã được cơ học cổ điển giải quyết gần như trọn vẹn. Nhưng những quy luật vi mô, vĩ mô dưới tác dụng của nhiều trường khác nhau thì nó lại hoàn toàn bất lực. Cùng với điều đó là sự phát triển mạnh mẽ của toán học cả về bề rộng và bề sâu. Dẫn tới sự ra đời của một ngành vật lý mới vật lý lý thuyết.Người ta dùng phương pháp toán học để tìm ra những quy luật mới. Những quy luật tổng quát hơn những quy luật đã biết, đoán trước được mối quan hệ giữa những hiện tượng vật lý mà thực tế chưa quan sát được. Nó tìm được những quy luật tổng quát nhất, phản ánh được bản chất vật lý của nhiều hiện tượng xét một cách tổng quát nhất.Những phương pháp toán học dùng trong vật lý học hiện đại thì rất phong phú và đa dạng. Nó gồm một khối lượng kiến thức lớn thuộc các ngành như: hàm thực, hàm phức, các phương trình vi phân, các phép tính tích phân…Các kiến thức toán này nó không những cần thiết cho các bạn sinh viên để tiếp thu, thực hành cũng như nghiên cứu đối với các môn học khác trong khi học tại trường, mà còn là các công cụ toán hữu ích cho công tác của họ sau khi ra trường. 1 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật LýBước đầu khám phá và đi sâu vào các công cụ toán học cũng như ứng dụng của nó trong vật lý. Đề tài: “Phép biến đổi Laplace” cũng là một trong số những công cụ toán có nhiều ứng dụng quan trọng trong vật lý. Nó giúp chúng ta giải quyết các bài toán vật lý một cách đơn giản hơn. Vì vậy khi chọn đề tài này tôi muốn đi sâu vào nghiên cứu, tìm hiểu các công cụ toán dùng trong vật lý nói chung và vật lý lý thuyết nói riêng.2. Mục đích nghiên cứu- Nâng cao kiến thức toán học và sử dụng chúng một cách linh hoạt trong nghiên cứu vật lý. - Tìm hiểu các phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ Descartes.- Tìm hiểu các phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ cong, đặc biệt là hai hệ tọa độ thường gặp trong vật lý đó là: hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu.3. Đối tượng nghiên cứu- Các phép biến đổi Laplace và ý nghĩa của chúng.4. Phương pháp nghiên cứu- Vật lý lý thuyết- Phương pháp giải tích toán học- Đọc tài liệu và tra cứu5. Cấu trúc khóa luậnĐề tài nghiên cứu gồm:- Chương 1: Phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ Descartes.- Chương 2: Phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ cong.- Chương 3: Bài tập 2 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý PHẦN 2: NỘI DUNGChương 1 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES1. GRADIEN CỦA TRƯỜNG VÔ HƯỚNG1.1 Trường vô hướng và đạo hàm theo đường (cung)Trường vô hướng là một phần của không gian mà mỗi điểm M của nó ứng với một giá trị của một đại lượng vô hướng nào đó f (M). Cho một trường vô hướng có nghĩa là cho một hàm vô hướng u = f (M) có giá trị phụ thuộc vào từng điểm M của miền V. Trong tọa độ Descartes Oxyz ta có: u = f (M) = f (x, y, z) Ví dụ 1: Xét sự phân bố nhiệt độ trong một vật thể nào đó. Tại mỗi điểm được cho tương ứng với một đại lượng vô hướng đó là nhiệt độ tại điểm này. Ta xét trường vô hướng u = f (x, y, z). Nếu hàm vô hướng u = f (M) của trường không thay đổi theo thời gian, ta có trường dừng. Nếu f còn phụ thuộc cả vào thời gian thì ta có trường không dừng hay trường thay đổi f (M, t). Để biểu diễn hình học trường vô hướng ta dùng khái niệm mặt mức. Tập hợp tất cả các điểm sao cho đại lượng u nhận cùng một giá trị C được gọi là mặt mức tương ứng với số C. Ứng với mỗi giá trị của C ta có một mặt mức, cho C các giá trị khác nhau ta có họ mặt mức.Ví dụ như, đối với trường u = x +y + z mặt mức tương ứng với giá trị 1 là mặt phẳng x + y + z = 1. Mặt mức đối với giá trị 2 là mặt phẳng x + y + z = 2. Đối với trường vô hướng cầu nào đó, mặt mức là một mặt cầu với tâm tại gốc tọa 3 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lýđộ, ví dụ đối với trường 2 2 21yx y z=+ + mặt mức u = 4 là hình cầu 2 2 214x y z=+ + hay2 2 214x y z+ + =. Giả sử cho đường cong L và trên đường cong này ta chọn một hướng nào đó (ví dụ theo chiều mũi tên). Khi đó đường cong gọi là được định hướng (H.1.1).Giả sử M và 1M là 2 điểm trên đường cong, kí hiệu S∆ là độ dài cung 1MM, S∆ lấy dấu + nếu điểm 1M đứng sau điểm M và lấy dấu - nếu điểm 1Mđứng trước điểm M. Tốc độ trung bình của hàm u = f (M) dọc theo cung M1M là tỷ số của số gia của hàm (khi dịch chuyển từ M đến1M) và độ dài cungS∆, tức bằng: 1( ) ( )f M f MS−∆Đạo hàm theo đường cong L tại điểm 1M là giới hạn của tỷ số: 1( ) ( )f M f MS−∆ khi điểm M dịch chuyển dọc theo đường cong L tiến đến điểm1M. Kí hiệu đạo hàm quafL∂∂, ta có: fL∂∂= 11( ) ( )limM Mf M f MS→−∆ (1.1) Ta có thể dễ dàng chứng minh: 1MfL∂∂= 1 1 1cos cos cosM M Mf f fx y z∂ ∂ ∂ α + β+ γ∂ ∂ ∂ (1.2) trong đó α,β, γ là các góc tạo bởi vectơ tiếp tuyến với đường cong L tại các đểm 1M và các trục toạ độ. Đạo hàm theo đường cong tại điểm 1M không phụ thuộc vào hình dạng đường cong mà chỉ phụ thuộc vào hướng của tiếp tuyến 4 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh M1MLH.1.1•• Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lývới L tại điểm 1M nói cách khác, nếu các đường cong 1L và 2Lđi qua 1M có tại điểm này cùng một vectơ tiếp tuyến, thì đạo hàm tại điểm này theo đường cong 1Lbằng đạo hàm theo đường cong 2L (H. 1.2). 1.2 Gradien của trường vô hướngTa xét trường vô hướng u = f(x, y, z) và tính đạo hàm của u theo hướng vectơℑur, trong đ ó ℑur=air+b jr+ckr. Người ta gọi đạo hàm theo hướng của vectơ ℑur tại điểm M là đạo hàm theo cung L bất kỳ đi qua M và tiếp xúc vớiℑur. Đạo hàm riêng ux∂∂là đạo hàm theo hướng vectơir, đạo hàm riêng uy∂∂ là đạo hàm theo hướng vectơjr, đạo hàm riêng uz∂∂ là đạo hàm theo hướng vectơkr. Trước hết hãy tìm các cosin theo hướng của vectơ ℑur . 2 2 2cosaa b cα =+ +; 2 2 2cosba b cβ =+ +; 2 2 2cosca b cγ =+ +Do đó 2 2 2u u ua b cux y za b c∂ ∂ ∂+ +∂∂ ∂ ∂=∂ℑ+ +ur (1.3) Trong biểu thức trên tử số là tích vô hướng cuả vectơ ℑur và vectơ có toạ độ là (ux∂∂,uy∂∂,uz∂∂). Gọi vectơ này là gradien của u và ký hiệu gradu: Gradu =ux∂∂ir+uy∂∂jr+uz∂∂kr (1.4) 5 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh 1MH. 1.2τr Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý Do đó: u gradu∂ .ℑ=∂ℑ | ℑ|uurur ur Hay là: . cos( , )u gradu gradu∂ | | | ℑ| ℑ=∂ℑ | ℑ|ur urur ur Vậy: .cos( , )ugradu gradu∂=| | ℑ∂ℑurur (1.5) Ta thấy vế phải của (1.5) là hình chiếu của gradu lên hướngℑur. Từ đây ta suy ra đạo hàm tại điểm M theo hướng gradu là lớn nhất. Như vậy gradu là vectơ mà theo hướng của nó hàm u tăng với vận tốc lớn nhất. Ví dụ 1: Cho trường vô hướng 3 2x yuz= xuất phát từ M (1, 2, 1) theo hướng nào hàm u tăng nhanh nhất. Giải: 2 2 3 3 223 2u u u x y x y x ygradu i j k i j kx y z z z z∂ ∂ ∂= + + = + −∂ ∂ ∂r r r r r rgradu tại M 12 4Mgradu i j k = + − 4r r Đạo hàm theo hướng gradien, tức 2 2 2ax( 12 4 ( 4) 176 13.3mu∂) = + + − = ≈∂ℑur Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của hàm số 2 2u x y x= + tại điểm 0(1,2)M theo hướng vectơ 0 1M Muuuuuur trong đó1(3,0)M. Giải: Ta thấy 0 1(2, -2)M Mℑ = =ur uuuuuur 2| ℑ|= 2ur; 22ux yx∂= +∂; 2uxyy∂=∂ Do đó: 6 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 0(6,4)Mgradu = và .2u gradu∂ ℑ= =∂ℑ | ℑ|urur ur Định lí: Giả sử gradien của hàm u = f (x, y, z) tại điểm M khác không. Khi đó nó vuông góc với đường cong bất kỳ đi qua điểm M và nằm trong mặt mức u(x, y, z) = C, C là hằng số. Chứng minh: Vẽ qua điểm M đường cong l nằm trong mặt mức, bởi vì hàm u không thay đổi khi nó chuyển động theo đường cong l, nên0ul∂=∂r. Nhưng đạo hàm theo cung l bằng đạo hàm theo hướng tiếp xúc vì thế0u∂=∂ℑur. Theo công thức:.cos( , )ugradu gradu∂=| | ℑ∂ℑurur, do 0u∂=∂ℑur và gradu ≠ 0 nên cos( , ) 0gradu ℑ =ur. Tức là góc giữa ℑur và gradubằng 090. Quỹ tích các tiếp tuyến tại điểm 0M với các đường cong nằm trong mặt mức gọi là mặt tiếp xúc với mặt này tại điểm0M. Nếu 0Mcó các toạ độ 0 0 0( , , )x y zthì: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) . ) . ) .M x y z x y z x y zu u ugradu i j kx y z∂ ∂ ∂ = ( + ( +(∂ ∂ ∂r r r Phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt mức là: 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0) .( ) ) .( ) ) .( ) 0x y z x y z x y zu u ux x y y z zx y z∂ ∂ ∂( − + ( − + ( − =∂ ∂ ∂ (1.6) Chú ý: Nếu cho mặt xác định bởi f (x, y, z) = 0, ta có thể xem nó là mặt mức của hàm u = f (x, y, z) với C = 0. Do đó ta có thể viết mặt phẳng tiếp xúc với mặt f (x, y, z) = 0 nhờ công thức (1.6). Ví dụ 3: Hãy viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt parabolic2 2z x y= + tại điểm M (2, 1, 5). 7 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh gradulMH.1.3ℑur Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý Mặt đã cho có thể xét như một mặt mức của hàm 2 2u z x y= − −. Bởi vì: 2 2 1gradu xi y j k= − − +r r r, cho nên 04. 2.Mgradu i j k = − − +r r r. Do đó phương trình của mặt phẳng tiếp xúc của mặt parabolic đã cho tại M có dạng: 4( 2) 2( 1) 1( 5) 0x y z− − − − + − = hay 4 2 5 0x y z− − + + =1.3 Các tính chất của Gradien Gradien có các tính chất rất quan trọng sau đây mà ta có thể sử dụng trong chứng minh các công thức vật lý: a/ grad(u+v) = gradu + gradv (1.7)b/ grad(uv) = u.gradv + v. gradu (1.8)c/ grad2u vgradu ugradvv v−=(v≠0) (1.9)1.4 Ý nghĩa vật lý của gradien Từ (1.3) ta thấy gradien của một đại lượng vô hướng cho ta một vectơ. Cho nên trong vật lý người ta dùng phương pháp trong đó tính một đại lượng vô hướng (không đơn trị) một cách đơn giản hơn, nhưng gradien của nó lại cho ta một đại lượng vật lý thực dưới dạng vectơ, đơn trị, có thể đo được trên thực nghiệm. Thí dụ, trong điện động lực học người ta tính thế vô hướng φ (không đơn trị), nhưng E gradϕ=urlà cường độ điện trường có thể đo được trên thực nghiệm. 8 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh H.1.4 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý2. DIVE CỦA TRƯỜNG VECTƠ2.1 Trường vectơ-đường vectơ2.1.1 Trường vectơ – đường vectơTrong vật lý ta luôn tiếp xúc với các trường vectơ như trường lực, trường từ hay trường điện như E gradϕ=urđược nêu ở trên. Để biểu diễn hình học trường vectơ ta dùng các đường vectơ, là các đường trong không gian mà tại mỗi điểm của nó vectơ Aur nằm dọc theo tiếp tuyến của trường tại điểm này. Nếu trường vectơ là trường lực hấp dẫn, thì các đường vectơ (gọi là các đường lực) là các tia xuất phát từ gốc toạ độ. Trong trường gradien A gradϕ=ur đường vectơ của trường là đường mà khi chuyển động dọc theo nó, đại lượng u tăng với vận tốc lớn nhất.Để tìm đường vectơ của trường ( , , ) ( , , ) ( , , )A P x y z i Q x y z j R x y z k= + +ur r r rTa tiến hành như sau:Giả sử phương trình tham số của đường vectơ là x=x(t) ; y=y(t) ; z=z(t)Khi đó vectơ tiếp xúc tại điểm tuỳ ý của đường này có dạng x y zi j kt t t∂ ∂ ∂ℑ = + +∂ ∂ ∂ur r r r Theo định nghĩa của trường vectơ, vectơ này đồng phương với vectơ của trường tại điểm (x, y, z). Vì thế hình chiếu lên các trục toạ độ của các vectơ này tỉ lệ với nhau. ( , , ) ( , , ) ( , , )dx dy dzdt dt dtP x y z Q x y z R x y z= = (2.1)Gọi giá trị chung của các tỉ số trên là Φ(x, y, z) ta có: ( , , , ) ( , , )dxx y z t P x y zdt= Φ; 9 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý ( , , , ) ( , , )dyx y z t Q x y zdt= Φ; (2,2) ( , , , ) ( , , )dzx y z t R x y zdt= Φ. Chú ý: vì hàm Φ(x, y, z, t) được chọn tuỳ ý nên phương trình của đường vectơ là không duy nhất. Ví dụ: Ta xét trường hấp dẫn sinh ra bởi chấtđiểm đặt tại gốc toạ độ. Khi đó các đường vectơlà các tia xuất phát từ gốc toạ độ, vì thế ống vectơ trong trường này có dạng hình nón với đỉnh ở gốc toạ độ (H.2.1).2.1.2 Thông lượng của trường vectơ qua một mặt2.1.2.1 Thông lượngTa xét một mặt trơn, hữu hạn S đặt trong một trường vectơ Aurnào đó. Ta chọn trên mặt này một hướng xác định mà ta gọi đó là hướng dương hướng ngược lại của mặt là hướng âm. Ta nói rằng mặt như vậy là mặt định hướng. Ta kí hiệu vectơ pháp tuyến đơn vị tại điểm M của mặt S sao cho vectơ này hướng từ âm sang dương là vectơnr. Vị trí của vectơ nr phụ thuộc vào vị trí điểm M trên mặt.Xét hàm f (M) = (Aur,nr) được xác định tại mọi điểm của mặt S.Nếu A Pi Q j Rk= + +ur r r r và các góc chỉ phương của vectơ nr tương ứng bằng α, β, γ tức là: n cos cos cosi j k= α + β + γr r r r thì f(M) cos cos cosP Q R= α + β+ γ hàm này liên tục trên mặt S, do đó tồn tại tích phân của hàm f(M) trên mặt S. Tích phân này gọi là thông lượng của trường vectơ qua S và được ký hiệu bằng chữ Φ: S S = ( , )dS= (Pcos Qcos R cos ) A n dSα β γΦ + +∫∫ ∫∫uurr (2.2) 10 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh OzxyH.2.1 [...]... Trong phạm vi chương 1 chúng ta chỉ tìm hiểu các phép tính này trong hệ tọa độ Descartes vuông góc 19 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý CHƯƠNG 2 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG HỆ TOẠ ĐỘ CONG 1 HỆ TỌA ĐỘ CONG 1.1 Định nghĩa Vị trí của một điểm M trong không gian được xác định bằng bán kính r r r r r vectơ r Trong hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxyz: r = xi... luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý Tập hợp tất cả các điểm trong không gian sao cho trên tập này q1 không đổi gọi là mặt tọa độ q1 Tương tự ta có mặt tọa độ q2 , q3 Tập hợp tất cả các điểm sao cho trên tập này chỉ có tọa độ q1 thay đổi (còn tọa độ q2 , q3 không thay đổi) được gọi là các đường tọa độ Hiển nhiên giao tuyến của hai mặt q2 và q1 cho ta đường tọa độ q3 1.2 Các ví dụ Hai... Pdx + Qdy + Rdz (3.1) l u r là lưu thông của trường vectơ A theo chu tuyến u r Ta hiểu ngầm rằng lưu thông không chỉ phụ thuộc vào A và l, mà còn cả hướng của chu tuyến l Khi thay đổi hướng của đường cong, lưu thông thay đổi dấu u r Ví dụ 1: Nếu A là trường lực thì lưu thông của trường theo chu tuyến l bằng công khi dịch chuyển chất điểm trong trường lực dọc theo chu tuyến l Giả sử đường cong cho dưới...Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý Chú ý: Khi thay đổi hướng của mặt S ta thay đổi dấu của thông lượng Nếu mặt S là mặt kín thì ta thường định hướng như sau: Hướng bên ngoài của mặt là hướng dương, hướng bên trong là hướng âm 2.1.2.2 Ý nghĩa vật lý của thông lượng Trong... a3 πa 3 Theo định nghĩa: uu r 3γ m (divF )(0,0,0) = lim − 3 = −∞ a →0 a 2.2.3 Ý nghĩa vật lý của dive Phép tính dive có nhiều ứng dụng trong vật lý như tính thông lượng của trường vectơ Ngoài ra qua biến đổi của tích phân khi tính thông lượng người ta còn dẫn đến phương trình Maxwell trong điện động lực học u r div D = ρ u r trong đó D là vectơ cảm ứng điện , còn ρ là mật độ của điện tích tự do 3 ROTA... rota của trường vận tốc A của trường vật thể rắn quay với vận tốc góc không đổi quanh một trục cố định u r r A = ω0 ρ eϕ u r Các thành phần của véctơ A là: Aρ = 0 , Α z = 0 , Αϕ = ω0 ρ Sử dụng công thức (4.6) ta được: u 1 ∂ (ω ρ 2 ) ur r ur 0 Rot A = ez = 2ω0 ez = 2ω ρ ∂ρ u r u r Từ đây ta nhận thấy rằng div A và rot A là bất biến đối với cách chọn hệ trục tọa độ 5 TOÁN TỬ VI PHÂN CẤP HAI 5.1 Toán... là B là trường hình ống u r u r u r u r u r u r 2 c/ rotrot A = ∇[∇ × Α] = ∇(∇Α) − (∇∇) A = graddiv A − ∇ A (5.3) d/ divgradϕ = ∇∇ϕ = ∇ 2ϕ (5.4) 5.2 Toán tử Laplace Trong vật lý toán người ta gọi toán tử cấp hai divgradu là toán tử Laplace ký hiệu bởi toán tử Δ Từ hệ thức (5.4) ta có: ∇ 2 ϕ = ∆ϕ a/ Trong hệ tọa độ Descartes, xét hàm u = u ( x, y, z ) ta có: ∂u r ∂u r ∂u r i+ j+ k ∂x ∂y ∂z ∂... Hệ tọa độ trụ Vị trí của 1 điểm được xác định bởi q1 = ρ , q2 = ϕ , q3 = z (H.1.2) Ta có mối liên hệ giữa hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ đề các vuông góc: x = ρ cos ϕ y = ρ sin ϕ z = z z M Khoảng biến thiên ρ ≥ 0;0 ≤ ϕ ≤ 2π ; −∞ < z < +∞ Các mặt tọa độ: ρ = const là mặt trụ có trục tọa độ Oz φ ϕ = const là nửa mặt phẳng giới hạn bởi trục Oz z = const là mặt phẳng song song với mặt Oxy Các đường... tọa độ cầu Vị trí của một điểm được xác định bởi bộ ba số q1 = r , q2 = θ , q3 = z Hệ thức liên hệ giữa hệ tọa độ cầu và hệ tọa độ đề các vuông góc: x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ cosϕ z = rcosθ Khoảng biến thiên: r ≥ 0;0 ≤ θ ≤ π ;0 ≤ ϕ ≤ 2π 21 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý Các mặt tọa độ: z r = const là mặt cầu tâm O M θ = const là nửa mặt nón có đỉnh... có vectơ tiến đến ∆q1 ur u vectơ cùng phương, cùng chiều với vectơ đơn vị l1 tại M Đó là r r u l r 1 r Vr M 1 H.1.5 u r u r r ∂r ∂r = h1 l1 vectơ đạo hàm , do đó ∂q1 ∂q1 Đại lượng này xác định vận tốc biến thiên của bán kính vectơ dọc theo u r ∂r đường tọa độ q1 Hệ số h1 chỉ độ lớn của vectơ ∂q1 u r ∂r ∂x r ∂y r ∂z r = i+ j+ k Ta có: ∂q1 ∂q1 ∂q1 ∂q1 do đó ∂x 2 ∂y ∂z ) + ( )2 + ( )2 ∂q1 ∂q1 ∂q1 u r . nghiên cứu vật lý. - Tìm hiểu các phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ Descartes.- Tìm hiểu các phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ cong, đặc biệt là. luậnĐề tài nghiên cứu gồm:- Chương 1: Phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ Descartes.- Chương 2: Phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ cong.- Chương 3: