Su tuong giao cua hai do thi

[r]

1

Chuẩn bị cho kỳ thi tốt nghiệp THPT thi vào Đại học

SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ

Trịnh Xuân Tình

GV THPT Phú Xuyên B-Hà Nội

A.MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN

Cho hàm số y f x( ) có đồ thị  C1 hàm số yg x( ) có đồ thị  C2 Tọa độ giao

điểm  C1  C2 nghiệm hệ

( ) ( )

y f x y g x

  

 

Phương trình hồnh độ giao điểm  C1  C2 f x( )g x( ) Số giao điểm  C1

 C2 số nghiệm pt f x( )g x( )

Trên mặt phẳng Oxy,giả sử A x A;yA,B x B;yB.Khi AB xBxA2yByA2

Phương trình  

0

ax bx c a có hai nghiệm x x1, 2 x2 x1 a



  Nếu /

2 b b

/

2

2

x x

a

  

B MỘT SỐ BÀI TỐN

1.Bài tốn giao điểm đồ thị hàm số  

yax bx cxd a và đường thẳng

ymxn

Thí dụ 1: Cho hàm số

3

yx  x có đồ thị  C Gọi d đường thẳng qua

3; 20

A có hệ số góc m.Tìm m để đường thẳng d cắt  C ba điểm phân biệt có hồnh độ lớn -2

Lời giải Đường thẳng d có pt ym x 320.Phương trình hồnh độ giao điểm d

 C là:     

   

3

2

3

3 20 3

3

x

x x m x x x x m

f x x x m

              

     

Để d cắt  C ba điểm phân biệt độ lớn -2 pt  1 phải có hai nghiệm phân biệt

lớn -2 khác 3.Đặt t x2 pt  1 trở thành  /

( )

f t t   t m pt  1 có hai nghiệm phân biệt lớn -2và khác pt  /

có hai nghiệm dương phân biệt

khác

4 15

1 15

4

4

(5) 24

m S

m

P m

f m

    

   

   

   

    

Vậy với 15

2 Thí dụ 2. Cho hàm số  

2

yx  x  m xm có đồ thị  C m tham số thực Tìm m để đồ thị  C cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ x x x1, 2, 3 thỏa mãn điều kiện 2

1

x x x 

Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm là:

    

3 2

2

1

2 =0

( )

x

x x m x m x x x m

g x x x m

            

    

Để đồ thị  C cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ x x x1, 2, 3  g x( )x2 x m0 có hai nghiệm phân biệt

1

,

(1)

m

x x m

g m

   

 

    

   

2 2

1

x x x 1 12 22  1 22 1 2 1( 0)

x x x x x x  m m

           

2.Bài toán giao điểm đồ thị hàm số  

+b +c

yax x a với trục hoành

Thí dụ 1 Cho hàm số

(3 2)

yx  m x  m có đồ thị Cm,m tham số thực.Tìm

m để Cmcắt trục hồnh bốn điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ

Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm Cmvà Ox là:

  

4 2

(3 2) 1

x  m x  m   x  x  m  

2

1

3

x

x m

   

   

Cm cắt trục hoành bốn điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ pt

2 3 1 0

x  m  có hai nghiệm phân biệt nhỏ khác 1 Điều xảy 1;1 \ 0 

3 1

m

m m

  

  

 

    

  

Vậy 1;1 \ 0 

3 m  

  Cmcắt trục hồnh bốn điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ Thí dụ 2. Cho hàm số

2

yx  mx  m có đồ thị Cm.Tìm m để Cm cắt trục hồnh bốn điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng

Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm Cm với trục hoành là:

  

2

4 2

2

1

2 1

2

x

x mx m x x m

x m

             

   

Để Cm cắt trục hồnh bốn điểm phân biệt ta phải có

2 1

1

2 1

m

m m

  

   

  

TH1: Nếu m1thì Cm cắt trục hồnh bốn điểm phân biệt có hồnh độ ( theo thứ tự từ nhỏ đến lơn) x1  2m1,x2  1,x3 1,x4  2m1 Các nghiệm lập

thành cấp số cộng x1x3 2x2  2m    1 2m  1 m5

TH2: Nếu 1

2 m Cm cắt trục hồnh bốn điểm phân biệt có hồnh độ ( theo thứ tự từ nhỏ đến lơn) x1 1x2   2m1,x3 2m1,x4 1 Các nghiệm lập thành cấp số cộng 1 3 2 2 1

9

x x  x    m   m  m  m

Vậy với m5

9

3 3.Bài toán giao điểm đồ thị hàm số y ax b

cx d  

 và

2

mx nx k

y

px q

  

 với đường thẳng ymxn

Thí dụ 1: Cho hàm số

2

x y

x

 

 có đồ thị  C Tìm tất giá trị m để đường thẳng dm:ym x 22 cắt đồ thị  C hai điểm phân biệt A B, thuộc hai nhánh đồ thị hàm số cho độ dài đoạn AB nhỏ

Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm

   

2

2 4 (2)

2

x

m x mx mx m x

x



        



Nhận xét

+ x2thì pt mx24mx4m 5 0  5 0 ( vô lý) nên pt mx24mx4m 5 0 không

nhận x2 làm nghiệm

+ Đường thẳng dm:ym x 22 qua điểm cố định I2; 2 tâm đối xứng đồ thị  C nên đường thẳng dm cắt đồ thị  C hai điểm phân biệt A B, thìA B, thuộc hai nhánh đồ thị  C

Đường thẳng dm cắt đồ thị  C hai điểm phân biệt A B, pt

2

4

mx  mx m  có hai nghiệm phân biệt / 0

5

m

m m

 

  

   

Gọi x x1, 2là hai ngiệm pt  2

 

 1; 2 ,  2;  2 2

A x m x   B x m x  

      

2 / 2

2

2

2

1 1

1 m m 10

AB m x x m x x

m m

  

        

Vì m0

2

1

2 m m 

 Đẳng thức xảy m1

Vậy với m1 dm cắt đồ thị  C hai điểm phân biệt A B, thuộc hai nhánh đồ thị

và độ dài đoạn AB nhỏ 10

Thí dụ 2:Tìm tất giá trị m để đường thẳngy 2xm cắt đồ thị hàm số

2 2 3

1

x x

y x

  

 hai điểm phân biết A B, thỏa mãn AB1 Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm    

2

2

2

2 3

1 x x

x m x mx m x

x

 

         



khi x 1thì pt 3 60 ( vô lý) nên pt  3 không nhận x 1 làm nghiệm

Để đường thẳng cắt đồ thi hàm số hai điểm phân biết A B, pt  3 phải có nghiệm phân biệt   m212m360m  6 2m  6 2

 *

Gọi x x1, 2là hai ngiệm pt  3

   

1 2

5

; , ; 12 36

3

A x  x m B x  x m AB x x    m  m

Để 1 12 36 5 60 189 0 30 205 30 205

5

5

4

Kết hợp với điều kiện  * ta 30 205 6

5 m

 

   6 30 205

m  

    giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán

C.BÀI TẬP

Bài 1 Cho hàm số yx1 2 x2.Gọi d đường thẳng qua M2;0và có hệ số góc

kTìm k để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số ba điểm phân biệt Bài 2 Cho hàm số

2

2

2

x x

y x

  

 Tìm tất giá trị m để đường thẳngdm:ymx 2 2m cắt đồ thị hàm số hai điểm phân biệt

Bài 4 Cho hàm số

2

1

mx x m

y

x

  

 Tìm tất giá trị m đểđồ thị hàm số cắt trục hồnh hai điểm có hồnh độ dương

Bài Cho hàm số yx42(m1)x22m1 có đồ

thị Cm.Tìm m để Cm cắt trục hồnh bốn điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng