[r]
(1)1
Chuẩn bị cho kỳ thi tốt nghiệp THPT thi vào Đại học
SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ
Trịnh Xuân Tình
GV THPT Phú Xuyên B-Hà Nội
A.MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
Cho hàm số y f x( ) có đồ thị
C1 hàm số yg x( ) có đồ thị
C2 Tọa độ giaođiểm
C1
C2 nghiệm hệ( ) ( )
y f x y g x
Phương trình hồnh độ giao điểm
C1
C2 f x( )g x( ) Số giao điểm
C1
C2 số nghiệm pt f x( )g x( )Trên mặt phẳng Oxy,giả sử A x
A;yA
,B x
B;yB
.Khi AB
xBxA
2
yByA
2Phương trình
0
ax bx c a có hai nghiệm x x1, 2 x2 x1 a
Nếu /
2 b b
/
2
2
x x
a
B MỘT SỐ BÀI TỐN
1.Bài tốn giao điểm đồ thị hàm số
yax bx cxd a và đường thẳng
ymxn
Thí dụ 1: Cho hàm số
3
yx x có đồ thị
C Gọi d đường thẳng qua
3; 20
A có hệ số góc m.Tìm m để đường thẳng d cắt
C ba điểm phân biệt có hồnh độ lớn -2Lời giải Đường thẳng d có pt ym x
3
20.Phương trình hồnh độ giao điểm d
C là:
3
2
3
3 20 3
3
x
x x m x x x x m
f x x x m
Để d cắt
C ba điểm phân biệt độ lớn -2 pt
1 phải có hai nghiệm phân biệtlớn -2 khác 3.Đặt t x2 pt
1 trở thành
/( )
f t t t m pt
1 có hai nghiệm phân biệt lớn -2và khác pt
/có hai nghiệm dương phân biệt
khác
4 15
1 15
4
4
(5) 24
m S
m
P m
f m
Vậy với 15
(2)2 Thí dụ 2. Cho hàm số
2
yx x m xm có đồ thị
C m tham số thực Tìm m để đồ thị
C cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ x x x1, 2, 3 thỏa mãn điều kiện 21
x x x
Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm là:
3 2
2
1
2 =0
( )
x
x x m x m x x x m
g x x x m
Để đồ thị
C cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ x x x1, 2, 3 g x( )x2 x m0 có hai nghiệm phân biệt1
,
(1)
m
x x m
g m
2 2
1
x x x 1 12 22
1 2
2 1 2 1( 0)x x x x x x m m
2.Bài toán giao điểm đồ thị hàm số
+b +c
yax x a với trục hoành
Thí dụ 1 Cho hàm số
(3 2)
yx m x m có đồ thị
Cm
,m tham số thực.Tìmm để
Cm
cắt trục hồnh bốn điểm phân biệt có hồnh độ nhỏLời giải Phương trình hồnh độ giao điểm
Cm
và Ox là:
4 2
(3 2) 1
x m x m x x m
2
1
3
x
x m
Cm
cắt trục hoành bốn điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ pt2 3 1 0
x m có hai nghiệm phân biệt nhỏ khác 1 Điều xảy 1;1 \ 0
3 1
m
m m
Vậy 1;1 \ 0
3 m
Cm
cắt trục hồnh bốn điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ Thí dụ 2. Cho hàm số2
yx mx m có đồ thị
Cm
.Tìm m để
Cm
cắt trục hồnh bốn điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộngLời giải Phương trình hồnh độ giao điểm
Cm
với trục hoành là:
2
4 2
2
1
2 1
2
x
x mx m x x m
x m
Để
Cm
cắt trục hồnh bốn điểm phân biệt ta phải có2 1
1
2 1
m
m m
TH1: Nếu m1thì
Cm
cắt trục hồnh bốn điểm phân biệt có hồnh độ ( theo thứ tự từ nhỏ đến lơn) x1 2m1,x2 1,x3 1,x4 2m1 Các nghiệm lậpthành cấp số cộng x1x3 2x2 2m 1 2m 1 m5
TH2: Nếu 1
2 m
Cm
cắt trục hồnh bốn điểm phân biệt có hồnh độ ( theo thứ tự từ nhỏ đến lơn) x1 1x2 2m1,x3 2m1,x4 1 Các nghiệm lập thành cấp số cộng 1 3 2 2 19
x x x m m m m
Vậy với m5
9
(3)3 3.Bài toán giao điểm đồ thị hàm số y ax b
cx d
và
2
mx nx k
y
px q
với đường thẳng ymxn
Thí dụ 1: Cho hàm số
2
x y
x
có đồ thị
C Tìm tất giá trị m để đường thẳng dm:ym x
2
2 cắt đồ thị
C hai điểm phân biệt A B, thuộc hai nhánh đồ thị hàm số cho độ dài đoạn AB nhỏLời giải Phương trình hồnh độ giao điểm
2
2 4 (2)
2
x
m x mx mx m x
x
Nhận xét
+ x2thì pt mx24mx4m 5 0 5 0 ( vô lý) nên pt mx24mx4m 5 0 không
nhận x2 làm nghiệm
+ Đường thẳng dm:ym x
2
2 qua điểm cố định I
2; 2
tâm đối xứng đồ thị
C nên đường thẳng dm cắt đồ thị
C hai điểm phân biệt A B, thìA B, thuộc hai nhánh đồ thị
CĐường thẳng dm cắt đồ thị
C hai điểm phân biệt A B, pt2
4
mx mx m có hai nghiệm phân biệt / 0
5
m
m m
Gọi x x1, 2là hai ngiệm pt
2
1; 2 ,
2;
2
2
A x m x B x m x
2 / 2
2
2
2
1 1
1 m m 10
AB m x x m x x
m m
Vì m0
2
1
2 m m
Đẳng thức xảy m1
Vậy với m1 dm cắt đồ thị
C hai điểm phân biệt A B, thuộc hai nhánh đồ thịvà độ dài đoạn AB nhỏ 10
Thí dụ 2:Tìm tất giá trị m để đường thẳngy 2xm cắt đồ thị hàm số
2 2 3
1
x x
y x
hai điểm phân biết A B, thỏa mãn AB1 Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm
2
2
2
2 3
1 x x
x m x mx m x
x
khi x 1thì pt
3 60 ( vô lý) nên pt
3 không nhận x 1 làm nghiệmĐể đường thẳng cắt đồ thi hàm số hai điểm phân biết A B, pt
3 phải có nghiệm phân biệt m212m360m 6 2m 6 2
*Gọi x x1, 2là hai ngiệm pt
3
1 2
5
; , ; 12 36
3
A x x m B x x m AB x x m m
Để 1 12 36 5 60 189 0 30 205 30 205
5
5
(4)4
Kết hợp với điều kiện
* ta 30 205 65 m
6 30 205
m
giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán
C.BÀI TẬP
Bài 1 Cho hàm số y
x1
2 x2
.Gọi d đường thẳng qua M
2;0
và có hệ số góckTìm k để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số ba điểm phân biệt Bài 2 Cho hàm số
2
2
2
x x
y x
Tìm tất giá trị m để đường thẳngdm:ymx 2 2m cắt đồ thị hàm số hai điểm phân biệt
Bài 4 Cho hàm số
2
1
mx x m
y
x
Tìm tất giá trị m đểđồ thị hàm số cắt trục hồnh hai điểm có hồnh độ dương
Bài Cho hàm số yx42(m1)x22m1 có đồ
thị