1.Biết vận dụng tính chất chia hết của số nguyên dể làm các bài tập chứng minh quan hệ chia hết, tìm số dư và tìm điều kiện chia hết.. Hiểu các bước phân tích bài toán, tìm hướng chứng m[r]
(1)Ngày soạn: 01/01/2012 Ngày dạy: 11/01/2012 Buổi Ngày dạy: 01/02/2012 Buổi CHUYÊN ĐỀ I: BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC HỮU TỈ
A Mục tiêu:
- HS tiếp tục củng cố đẳng thức đáng nhớ - Biến đổi thành thạo biểu thức hữu tỉ
- Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động học tập B Phương tiện:
- GV: giáo án, tài liệu Casio - HS: Máy tính Casio
C Nội dung giảng:
B – BIỂN ĐỔI PHÂN THỨC HỮU TỈ Ví dụ
a) Chứng minh phân số
3n 5n
+
+ phân số tối giản nN ;
b) Cho phân số
2
n
A
n
+ =
+ (nN) Có số tự nhiên n nhỏ 2009 cho
phân số A chưa tối giản Tính tổng tất số tự nhiên Lời giải
a) Đặt d = ƯCLN(5n + ; 3n + 1) 3(5n + 2) – 5(3n + 1) d hay d d = Vậy phân số
3n 5n
+
+ phân số tối giản.
b) Ta có
29
A n
n
= - +
+ Để A chưa tối giản phân số
29
n+5 phải chưa tối giản Suy n + phải chia hết cho ước dương lớn 29
Vì 29 số nguyên tố nên ta có n + 29 n + = 29k (k N) hay n = 29k – Theo điều kiện đề ≤ n = 29k – < 2009 ≤ k ≤ 69 hay k{1; 2;…; 69} Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề Tổng số :
29(1 + + … + 69) – 5.69 = 69690
Ví dụ Cho a, b, c ≠ a + b + c ≠ thỏa mãn điều kiện
1 1
a + + =b c a+ +b c Chứng minh ba số a, b, c có hai số đối Từ suy :
2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1
a +b +c =a +b +c .
Lời giải
Ta có :
1 1
a + + =b c a+ +b c
1 1
(2)
a b a b
0
ab c(a b c)
+ +
+ =
+ +
c(a b c) ab
(a b)
abc(a b c)
+ + +
+ =
+ +
(a + b)(b + c)(c + a) =
a b
b c
c a
é + = ê ê + = ê ê + = ë a b b c c a é =-ê ê =-ê ê
=-ë đpcm
Từ suy : 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1 1 1
a +b +c =a +( c)- +c =a
2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1
a +b +c =a + -( c) +c =a
2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1
a +b +c =a +b +c .
Ví dụ Đơn giản biểu thức :
3 3 2
1 1 1 1
A
(a b) a b (a b) a b (a b) a b
ổ ửữ ổ ửữ ổ ửữ ỗ ỗ ç = çç + ÷÷+ çç + ÷÷+ çç + ÷÷ è ø è ø è ø + + + . Lời giải
Đặt S = a + b P = ab Suy : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab =
S - 2P
a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) =
S - 3SP
Do :
1 a b S
;
a b ab P
+
+ = = 12 12 a2 2 2b2 S2 22P;
a b a b P
+
-+ = =
3 3
3 3 3
1 a b S 3SP
a b a b P
+
-+ = =
Ta có : A =
3
3
1 S 3SP S 2P S
S P S P S P
-
-+ +
=
2 2 2
2 4 4
S 3P 3(S 2P) (S 3S P) (3S P 6P ) 6P S
S P S P S P S P S P
- - - + - +
+ + = =
Hay A = 3
1
P =a b
Ví dụ Cho a, b, c ba số phân biệt Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị x :
(x a)(x b) (x b)(x c) (x c)(x a) S(x)
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
- - - -= + + - - - . Lời giải Cách 1
2 2
x (a b)x ab x (b c)x bc x (c a)x ca
S(x)
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
- + + - + + - + +
= + +
(3)với :
1 1
A
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
= + +
- - - ;
a b b c c a
B
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
+ + +
= + +
- - - ;
ab bc ca
C
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
= + +
- - -
Ta có :
b a c b a c
A
(a b)(b c)(c a)
- + - +
-= =
- - - ;
(a b)(b a) (b c)(c b) (c a)(a c) B
(a b)(b c)(c a)
+ - + + - + +
-=
- -
-2 2 2
b a c a a c
0 (a b)(b c)(c a)
- + - +
-= =
- - - ;
ab(b a) bc(c b) ca(a c) ab(b a) bc[(c a) (a b)] ca(a c) C
(a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a)
- + - + - - + - + - +
-= =
- - -
(a b)(bc ab) (c a)(bc ca) (a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a)
- - + - - - -
-= = =
- - - .
Vậy S(x) = 1x (đpcm) Cách 2
Đặt P(x) = S(x) – đa thức P(x) đa thức có bậc khơng vượt Do đó, P(x) có tối đa hai nghiệm
Nhận xét : P(a) = P(b) = P(c) = a, b, c ba nghiệm phân biệt P(x) Điều xảy P(x) đa thức không, tức P(x) = x Suy S(x) = x đpcm
Ví dụ Cho
x
x
+ =
Tính giá trị biểu thức sau : a) 2 A x x = +
; b)
3 B x x = +
; c)
4 C x x = +
; d)
5 D x x = + Lời giải a) 2 1
A x x
x x ổ ửữ ỗ = + = +ỗỗố ứữữ- = - = ; b) 3
1 1
B x x x 27 18
x x x
ỉ ư÷ ỉ ư÷ ç ç = + = +çç ÷÷- çç + ÷÷= - = è ø è ø ; c) 4 1
C x x 49 47
x x ổ ửữ ỗ = + =ỗỗố + ữữứ- = - = ; d)
2
2
1 1
A.B x x x x D
x x x x
ỉ ưỉ÷ ư÷
ỗ ỗ
=ỗốỗ + ữữứốỗỗ + ữữứ= + + + = +
(4)Ví dụ 10 Xác định số a, b, c cho : 2
2 ax b c
(x 1)(x 1) x x
+
= +
+ - + - .
Lời giải
Ta có :
2
2 2
ax b c (ax b)(x 1) c(x 1) (a c)x (b a)x (c b)
x x (x 1)(x 1) (x 1)(x 1)
+ + - + + + + - +
-+ = =
+ - + - +
Đồng phân thức với phân thức 2
(x +1)(x- 1), ta :
a c a
b a b
c b c
ì + = ì =-ï ï ï ï ï ï ï - = Û ï =-í í ï ï ï - = ï = ï ï ï ï
ỵ î Vậy 2
2 x 1
(x 1)(x 1) x x
-= +
+ - + - .
BÀI TẬP
1 Cho phân thức
3
3
n 2n
P
n 2n 2n
+
-=
+ + + .
a) Rút gọn P ;
b) Chứng minh n số nguyên giá trị phân thức tìm câu a) n phân số tối giản
2 a) Chứng minh phân số sau tối giản với số tự nhiên n : 12n ; 30n + + n 2n ;
n 3n
+
+ +
2n 2n
+
- .
b) Chứng minh phân số
7
8
n n
n n
+ +
+ + không tối giản với số nguyên dương n.
c) Tính tổng số tự nhiên n nhỏ 100 cho
2
n
n
+
+ phân số chưa tối giản.
3 Tính tổng sau :
a) 2
3 2n
A
(1.2) (2.3) [n(n 1)]
+
= + + +
+ ;
b)
n
2 2
1 1
B
2 2
= + + + + +
+ + + + ;
c)
1 1
C
1.4 4.7 7.10 (3n 1)(3n 4)
= + + +
(5)d)
1 1
D
1.3 2.4 n.(n 2)
= + + +
+ ;
e)
1 1
E
1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n 1)n(n 1)
= + + + +
- + ;
f) n
1.2! 2.3! n.(n 1)!
F
2 2
+
= + + +
(k! = 1.2.3…k)
4 Rút gọn :
2 2 2
2
(a b c )(a b c) (bc ca ab) A
(a b c) (ab bc ca)
+ + + + + + +
=
+ + - + + .
5 Rút gọn :
3 2
3 2
(a 2b) (a 2b) 3a 7a b 3b
B :
(2a b) (2a b) 4a 7a b 3b
+ - - + +
=
+ - - + + .
6 Thực phép tính :
a)
2 2
x yz y zx z xy
y z z x x y
1 1
x y z
- - -+ + + + + + + + ; b)
2 2
a(a b) a(a c) b(b c) b(b a) c(c a) c(c b)
a b a c b c b a c a c b
(b c) (c a) (a b)
1 1
(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b)
+ + + + + + + + + - - + - - + - - -+ + + - - - ; c)
3 3
3 2 3 2 3 2
a b 2c b c 2a c a 2b
(a b) (c a)(c b) (b c) (a b)(a c) (c a) (b c)(b a)
a b a ab b b c b bc c c a c ca a
+ - + - +
-+ +
- - -
-+ + +
- + + - + + - + + .
7 a) Biết a – 2b = 5, tính giá trị biểu thức :
3a 2b 3b a P
2a b
-
-= +
+ - ;
b) Biết 2a – b = 7, tính giá trị biểu thức :
5a b 3b 3a Q
3a 2b
-
-=
-+ - ;
c) Biết 10a2 –3b2 + 5ab = 9a2 – b2 ≠ 0, tính :
2a b 5b a
R
3a b 3a b
-
-= +
- + .
8 Cho a + b + c = Tính giá trị biểu thức sau :
a) 2 2 2 2
1 1
A
a b c b c a c a b
= + +
+ - + - + - ;
b)
2 2
2 2 2 2 2
a b c
B
a b c b c a c a b
= + +
(6)9 Rút gọn biểu thức :
1 1
A 1(2n 1) 3(2n 3) (2n 3).3 (2n 1).1
1 1
B 1
3 2n
+ + + + - - - -= + + + + - . 10.Cho
a b c
1
b+c+c+a +a+b= Chứng minh
2 2
a b c
0 b+c+c+a +a+b = .
11 Cho a + b + c = 0, x + y + z =
a b c
0
x+ + =y z Chứng minh ax2 + by2 + cz2 = 0.
12 Cho x2 – 4x + = Tính giá trị biểu thức A = x5 +
1
x B = x7 +
1 x .
13 Cho x
2008
x - x+1= Tính
2
4
x M
x x
=
+ +
2
4
x N
x x
=
- +
14 Cho dãy số a1, a2, a3, … cho :
1 a a a -= + ; a a a -= + ; … ; n n n a a a -= + .
a) Chứng minh a1 = a5
b) Xác định năm số đầu dãy, biết a101 = 108
Rút kinh nghiệm:……….
Duyệt ngày: 02 /01/2012
Ngày soạn: 29/01/2012 Ngày dạy: 08/02/2011 Buổi Ngày dạy: 15/02/2012 Buổi CHUYÊN ĐỀ II: Tính chia hết với số nguyên
A Mục tiêu:
Sau học xong chuyên đề học sinh có khả năng:
1.Biết vận dụng tính chất chia hết số nguyên dể chứng minh quan hệ chia hết, tìm số dư tìm điều kiện chia hết
2 Hiểu cỏc bước phân tích tốn, tìm hướng chứng minh Cú kĩ vận dụng kiến thức trang bị để giải toán B Phương tiện:
- GV: giáo án, tài liệu Casio - HS: Máy tính Casio
C Nội dung giảng:
(7)Gọi A(n) biểu thức phụ thuộc vào n (nN n Z)
a/ Để chứng minh A(n) chia hết cho m ta phân tích A(n) thành tích có thừa số m
+ Nếu m hợp số ta phân tích m thành tích thừa số đôI nguyên tố chứng minh A(n) chia hết cho tất số
+ Trong k số liên tiếp tồn số bội k
b/ Khi chứng minh A(n) chia hết cho n ta xét trường hợp số dư chia m cho n
* Ví dụ1:
C/minh A=n3(n2- 7)2– 36n chia hết cho 5040 với số tự nhiên n
Giải:
Ta có 5040 = 24 32.5.7
A= n3(n2- 7)2– 36n = n.[ n2(n2-7)2 – 36 ] = n [n.(n2-7 ) -6].[n.(n2-7 ) +6]
= n.(n3-7n – 6).(n3-7n +6)
Ta lại có n3-7n – = n3 + n2 –n2 –n – 6n -6 = n2.(n+1)- n (n+1) -6(n+1)
=(n+1)(n2-n-6)= (n+1 )(n+2) (n-3)
Tương tự : n3-7n+6 = (n-1) (n-2)(n+3) d
Do A= (n-3)(n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3)
Ta thấy : A tích số nguyên liên tiếp mà số nguyên liên tiếp: - Tồn bội số (nên A )
- Tồn bội (nên A ) - Tồn hai bội (nên A )
- Tồn bội có bội (nên A 16)
Vậy A chia hết cho 5, 7,9,16 đôi nguyên tố A 5.7.9.16= 5040 Ví dụ 2: Chưng minh với số nguyên a :
a/ a3 –a chia hết cho
b/ a5-a chia hết cho
Giải:
a/ a3-a = (a-1)a (a+1) tích số nguyên liên tiếp nên tích chia hết cho
b/ A= a5-a = a(a2-1) (a2+1)
Cách 1:
Ta xết trường hợp số dư chia a cho - Nếu a= k (kZ) A 5 (1)
- Nếu a= 5k 1 a2-1 = (5k21) -1 = 25k2 10k5 A 5 (2) - Nếu a= 5k 2 a2+1 = (5k2)2 + = 25 k220k +5 A 5 (3) Từ (1),(2),(3) A 5, n Z
Cách 2:
Phân tích A thành tổng hai số hạng chia hết cho : + Một số hạng tích số nguyên liên tiếp
+ Một số hạng chứa thừa số
Ta có : a5-a = a( a2-1) (a2+1) = a(a2-1)(a2-4 +5) = a(a2-1) (a2-4) + 5a(a2-1)
= a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2)- 5a (a2-1)
(8)5a (a2-1) 5
Do a5-a 5
Cách 3: Dựa vào cách 2: Chứng minh hiệu a5-a tích số nguyên liên tiếp
chia hết cho Ta có:
a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) = a5-a – (a2- 4)a(a2-1) = a5-a - (a3- 4a)(a2-1)
= a5-a - a5 + a3 +4a3 - 4a = 5a3 – 5a 5
a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) 5
Mà (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) 5 a5-a 5(Tính chất chia hết một
hiệu)
c/ Khi chứng minh tính chia hết luỹ thừa ta sử dụng đẳng thức:
an – bn = (a – b)( an-1 + an-2b+ an-3b2+ …+abn-2+ bn-1) (HĐT 8)
an + bn = (a + b)( an-1 - an-2b+ an-3b2 - …- abn-2+ bn-1) (HĐT 9)
- Sử dụng tam giác Paxcan:
1 1 1 …
Mỗi dòng bắt đầu kết thúc
Mỗi số dòng (kể từ dòng thứ 2) số liền cộng với số bên trái số liền
Do đó: Với a, b Z, n N:
an – bn chia hết cho a – b( ab)
a2n+1 + b2n+1 chia hết cho a + b( a-b)
(a+b)n = Bsa +bn ( BSa:Bội số a)
(a+1)n = Bsa +1
(a-1)2n = Bsa +1
(a-1)2n+1 = Bsa -1
* VD3: CMR với số tự nhiên n, biểu thức 16n – chia hết cho 17 chỉ
khi n số chẵn Giải:
+ Cách 1: - Nếu n chẵn: n = 2k, kN thì:
A = 162k – = (162)k – chia hết cho 162 – 1( theo nhị thức Niu Tơn)
Mà 162 – = 255 17 Vậy A17
- Nếu n lẻ : A = 16n – = 16n + – mà n lẻ 16n + 116+1=17 (HĐT 9)
A không chia hết cho 17
+Cách 2: A = 16n – = ( 17 – 1)n – = BS17 +(-1)n – (theo công thức Niu Tơn)
- Nếu n chẵn A = BS17 + – = BS17 chia hết cho 17
(9)Vậy biểu thức 16n – chia hết cho 17 n số chẵn, n N
d/ Ngoài dùng phương pháp phản chứng, nguyên lý Dirichlê để chứng minh quan hệ chia hết
VD 4: CMR tồn bội 2003 có dạng: 2004 2004….2004 Giải: Xét 2004 số: a1 = 2004
a2 = 2004 2004
a3 = 2004 2004 2004
……… a2004 = 2004 2004…2004
2004 nhóm 2004
Theo nguyên lý Dirichle, tồn hai số có số dư chia cho 2003 Gọi hai số am an ( n <m 2004) am - an 2003
Ta có: am - an = 2004 2004……2004 000…00
m-n nhóm 2004 4n hay am - an = 2004 2004……2004 104n
m-n nhóm 2004 mà am - an 2003 (104n, 2003) =1
nên 2004 2004……2004 2003
m-n nhóm 2004 2 Tìm số dư
* VD1:Tìm số dư chia 2100
a/ cho b/ cho 25 Giải:
a/ Luỹ thừa sát với bội 23 = = – 1
Ta có : 2100 = 299= (23)33 = 2(9 – )33 = 2(BS9 -1) ( theo nhị thức Niu Tơn)
= BS9 – = BS9 + Vậy 2100 chia cho dư 7
b/ Luỹ thừa gần với bội 25 10 = 1024 =1025 – 1
Ta có:
2100 =( 210)10 = ( 1025 – )10 = BS 1025 + = BS 25 +1 (theo nhị thức Niu Tơn)
Vậy 2100 chia cho 25 dư 1
* VD2: Tìm chữ số tận 51994 viết hệ thập phân
Giải:
- Cách 1: Ta có: 1994 = 4k + 54 = 625
Ta thấy số tận 0625 nâng lên luỹ thừa nguyên dương tận 0625
Do đó: 51994 = 54k+2=(54)k 52 = 25 (0625)k = 25 (…0625)= …5625
- Cách 2: Tìm số dư chia 51994 ch 10000 = 24.54
(10)Ta có 51994 = 56(51988 – 1) + 56 mà 56 54 51988 – 1= (54)497 – chia hết cho 16
( 51994)3 56(51988 – 1)chia hết cho 10000 56= 15625
51994 = BS10000 + 15625 51994 chia cho 10000 dư 15625
Vậy chữ số tận 51994 5625
3 Tìm điều kiện chia hết
* VD1: Tìm số nguyên n để giá trị biểu thức A chia hết cho giá trị biểu thức B:
A = n3 + 2n2- 3n + 2; B = n2 – n
Giải:
n3 + 2n2- 3n + n2 – n
n3 – n2 n + 3
3n2 - 3n +
3n2 – 3n
Ta có: n3 + 2n2- 3n + = (n2 – n)(n + 3) + 2 n n
Do Giá trị A chia hết cho giá trị B n2 – n Ư(2)
2 chia hết cho n(n – 1) 2 chia hết cho n
Ta có b ng: ả
n -1 -2
n – -2 -3
n(n – 1) 2
Loại T/m T/m Loại
Vậy với n = -1, n = giá trị biểu thức A chia hết cho giá trị biểu thức B VD 2: Tìm số nguyên n dể n5 + chia hết cho n3 +
Giải: n5 + n3 + 1 n5 + n2 – n2 + n3 + 1
n2(n3 + 1)- ( n2 – 1) n3 + 1
(n – 1)(n + 1) (n+1)(n2 – n + 1) n – n2 – n +
n(n – 1) n2 – n + 1
Hay n2 – n n2 – n + 1
(n2 – n + 1) – n2 – n + 1
1n2 – n + Xét hai trường hợp:
+ n2 – n + = n2 – n = n(n – 1) = n = 0, n = thử lại thấy t/m đề bài
+ n2 – n + = - n2 – n + = , khơng có giá trị n thoả mãn VD 3: Tìm số tự nhiên n cho 2n - chia hết cho
Giải: n Ta có luỹ thừa gần với bội 23 = = + 1
- Nếu n = 3k (k N) 2n - 1= 23k – = (23)k – = k - 1k8 – = Nếu n = 3k + 1(k N) 2n - = 23k+1 – = 8k – 1= 2(8k – 1) + 1
(11) 2n - không chia hết cho 7
- Nếu n = 3k +2(k N) 2n - = 23k+2 – 1= 4.23k – = 4( 8k – 1) + = 4.BS7 +
2n - không chia hết cho 7
Vậy 2n - 17 n = 3k (k N)
Rút kinh nghiệm:……….
Duyệt ngày: 30/01/2012
Ngày soạn: 12/02/2012 Ngày dạy: 22/02/2012 Buổi Ngày dạy: 29/02/2011 Buổi CHUYÊN ĐỀ III: TAM GIÁC – PHÂN GIÁC
A Mục tiêu:
- HS nắm phương pháp nâng cao tìm hiểu tốn chứng minh phân giác tam giác
- Rèn kỹ suy luận lơgic, kỹ chứng minh hình học
- Biết mối liên hệ phương pháp sử dụng hợp lý vào tốn - Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động học tập
B Phương tiện:
- GV: giáo án, tài liệu Casio
- HS: Máy tính Casio, dụng cụ vẽ hình C Nội dung giảng:
I Các toán tổng quát đường phân giác
1/ Cho ABC với AB > AC Điểm M ( khác A ) thuộc đường phân giác N ( khác A ) thuộc đường phân giác góc A Chứng minh :
a/ AB – AC > MB – MC b/ AB + AC < NB + NC
2/ Ba đường phân giác AD , BE , CF ABC gặp O Từ O dựng OG
vng góc với BC
a/Chứng minh góc BOD = góc COG b/Tính góc BOC theo A c/Tính góc GOD theo góc B góc C
3/ Cho ABC , đường phân giác AA’, BB’, CC’ Gọi L giao điểm AA’ B’C’ , K giao điểm CC’ A’B’ Chứng minh : BB’ phân giác góc KBL 4/ Cho ABC có dộ dài cạnh a,b,c la , lb , lc độ dài đường phân giác ứng với
các cạnh BC , CA , AB Chứng minh : 1a+1
b+
1
c<
1
la+
1
lb+
1
(12)
HƯỚNG DẪN Chú ý nhận xét :
+ Ta tạo đoạn thẳng b+c cách <2c từ B vẽ tia Bx // Ac cắt AC E
+ Ta chứng minh l1 a
>b+c
2 bc= 2c+
1
2b(1) ( tương tự
la vớicác trường hợp cịn lại ) cách tính BE ( liên
quan đến b , c , la )
Qua B vẽ đường thẳng song song với đường thẳng AD cắt CA E ABE cân E Xét ABE ta có : BE < AB + AE = 2AB = 2c
Xét CBE ta có : AD // BE BEAD=CE
AC
BE=AD CE
AC =
la(b+c)
b <2c
1
la> b+c
2 bc= 2c+
1 2b(1)
Chứng minh tương tự ta có : l1 b
>
2a+
1 2c(2)
1
lc>
1 2b+
1 2a(3)
Lấy (1) + (2) +(3) suy điều phải chứng minh
5/ Cho tam giác ABC có phân giác AY , BZ , CX Chứng minh :
AX
XB +
BY
YC+
CZ
ZA ≥3
HƯỚNG DẪN Nhận xét ý :
+ Bài toán cho đường phân giác nên ý đến tính chất đường phân giác tam giác + Bài toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức
nên ý đến BĐT ý đến BĐT Côsi
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số dương AXXB ;BY
YC ;
CZ
ZA ta có :
Theo tính chất đường phân giác : AX XB +
BY YC+
CZ ZA ≥3
3 √AX XB BY YC CZ ZA AX XB BY YC CZ ZA= b a c b a
c Do
AX
XB +
BY
YC+
CZ
ZA ≥3
Dấu “=” xảy a = b = c tức ABC
B D C
A E
B Y C
(13)6/ Cho ABC , ba đường phân giác AD , BE , CF Chứng minh điều kiện cần đủ để tam giác ABC SDEF = ¼ SABC
8/ Cho ABC có độ dài ba cạnh a , b , c Vẽ phân giác AD , BE , CF Chứng minh
SDEF ¼ SABC , dấu “=” xảy ABC
II.TÍNH ĐỘ LỚN CỦA GĨC
1/ Cho ABC , đường phân giác BD , CE Tính số đo góc tam giác BDE = 240 , CED = 180
2/ Cho ABC , góc B C có tỉ lệ : , phân giác góc A chia diện tích tam giác theo tỉ số 2: Tính góc tam giác
III.HAI ĐƯỜNG PHÂN GIÁC
1/ Cho ABC có hai đường phân giác BD , CE cắt I Biết ID = IE Chứng minh ABC cân A BAC = 600
HƯỚNG DẪN
AI đường phân giác góc A Khi hai IEA IDA xảy hai trường hợp :
a/ IEA = IDA Khi :
BAD = CAE ; AD = AE ; BDA = CEA ABD = ACE ( g – c – g ) AB = AC
ABC cân A
b/ IEA IDA không ABC khơng cân A
Khơng tính tổng quát ta giả sử : C > B Lấy điểm E’ AB cho IE’ = IE = ID IE’E cân IE’E = IEE’ BEI = IE’A = IDA
Xét tứ giác ADIE có : D + E = 1800
A + DIE = 1800 A + BIE = ICB + IBC
2A = 2ICB + 2IBC = C + B Mà BIE + DIE = 180 A + B + C = 1800 A + 2A = 1800 A = 600
A E’
E
B A
(14)IV.CỰC TRỊ
1/ Cho ABC với AB AC AD đường phân giác Lấy điểm M cạnh AB điểm N cạnh AC cho BM.CN = k không đổi ( k < AB2 ) Xác định vị trí
của M , N cho diện tích tứ giác AMDN lớn HƯỚNG DẪN
Nhận xét :
1/ BM + CN BM CN 2/ SAMDN = SAMD + SADN
3/ M
B E
Hạ DH , DK vng góc với AB AC Ta có : DH = DK = số ( AD phân giác góc A )
2SAMDN = 2SADM + 2SADN = DH.AM + DK.AN = DH( AM + AN )
= DH [AB+AC – (BM+CN)] (1)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương BM , CN :
BM + CN 2√BM CN=2√k , dấu “ = “ xảy BM = CN Thay vào (1) ta :
2SAMDN DH(AB+AC- 2√k )
Diện tích tứ giác AMDN lớn BM = CN = √k < AB AC
Lúc SAMDN = ½ (AB+AC - 2√k ) Dễ dàng dựng đoạn thẳng BM ,
CN theo hệ thức BM2 = CN2 = k.1 ( đơn vị dài )
Cách dựng : Trên BC lấy E cho BE = BF lấy H cho BH = k Dựng đường trịn đường kính BE , dựng tia Hx vng góc với BE cắt đường trịn M BM có độ dài cần dựng
RÚT KINH NGHIỆM:
……… ……….
Duyệt ngày: 13/02/2012
A
B D C
H
M K
N
H 1v
(15)Ngày soạn: 04/12/2011 Ngày dạy: 14/12/2011 Buổi Ngày dạy: 21/12/2011 Buổi CHUYÊN ĐỀ II (Tiếp): Tính chia hết với số nguyên C Mục tiêu:
Sau học tiếp chuyên đề học sinh có khả năng:
1.Biết vận dụng tính chất chia hết số nguyên dể làm tập chứng minh quan hệ chia hết, tìm số dư tìm điều kiện chia hết
2 Hiểu bước phân tích tốn, tìm hướng chứng minh Cú kĩ vận dụng kiến thức trang bị để giải toán D Phương tiện:
- GV: giáo án, tài liệu Casio - HS: Máy tính Casio
C Nội dung giảng:
2 Bài tập Bài 1: Chứng minh rằng:
a/ n3 + 6n2 + 8n chia hêt ch 48 với số n chẵn
b/ n4 – 10n2 + chia hết cho 384 với số n lẻ
Giải
a/ n3 + 6n2 + 8n = n(n2 + 6n + 8) = n( n2 + 4n + 2n + 8) = n[n(n + 4) + 2(n + 4)]
= n(n+2)(n + 4) Với n chẵn, n = 2k ta có:
n3 + 6n2 + 8n = 2k(2k + 2)(2k + 4) = 8.k (k + 1)k + 2) 8
b/ n4 – 10n2 + = n4 – n2 – 9n2 + = n2(n2 – 1)- 9(n2 – 1) = (n2 – 1)(n2 - 9)
= (n – 1)(n+1)(n-3)(n+3) Với n lẻ, n = 2k +1, ta có:
n4 – 10n2 + = (2k +1 – 1)(2k + 1+1)(2k + – 3)( 2k + +3)
= 2k(2k+2)(2k-2)(2k+4)= 16k(k+1)(k-1)(k+2) 16 Bài 2: Chứng minh
a/ n6 + n4 -2n2 chia hết cho 72 với số nguyên n
b/ 32n – chia hết cho 72 với số nguyên dương n
Giải:
Ta có: A= n6 + n4 -2n2 = n2(n4+n2 -2)= n2(n4 + 2n2 –n2 – 2)= n2[(n2 +2)- (n2 +2)]
= n2(n2 + 2)(n2 – 1).
Ta lại có: 72 = 8.9 với (8,9) = Xét trường hợp:
(16)+ Với n = 2k +1 A = (2k + 1)2(2k +1 – 1)2= (4k2 + 4k +1)4k2 8
Tương tự xét trường hợp n = 3a, n= 3a để chứng minh A9 Vậy A8.9 hay A72
Bài 3: Cho a số nguyên tố lớn Chứng minh a2 – chia hết cho 24
Giải:
Vì a2 số nguyên tố lớn nên a lẻ a2 số phương lẻ
a2 chia cho dư 1
a2 – chia hết cho (1)
Mặt khác a số nguyên tố lớn 3 a không chia hết cho a2 số phương khơng chia hết cho 3 a2 chia cho dư 1
a2 – chia hết cho (2)
Mà (3,8) = (3)
Từ (1), (2), (3) a2 – chia hết cho 24
Bài 4: Chứng minh rằng:
Nếu số tự nhiên a không chia hết cho a6 -1 chia hết cho 7
Giải:
Bài toán trường hợp đặc biệt định lý nhỏ Phéc ma:
- Dạng 1: Nếu p số nguyên tố a số nguyên ap – a chia hết cho p
- Dạng 2: Nếu a số nguyên không chia hết cho số nguyên tố p ap-1-1 chia hết
cho p
Thật vậy, ta có a6 -1 = (a3 + 1) (a3 - 1)
- Nếu a = 7k 1 (k N) a3 = ( 7k 1)3 = BS7 a3 - 17
- Nếu a = 7k 2 (k N) a3 = ( 7k 2)3 = BS7 23 = BS7 8 a3 - 17 - Nếu a = 7k 3 (k N) a3 = ( 7k 3)3 = BS7 33 = BS7 27 a3 + 17 Ta ln có a3 + a3 – chia hết cho Vậy a6 – chia hết cho 7
Bài 5: Chứng minh rằng:
Nếu n lập phương số tự nhiên (n-1)n(n + 1) chia hết cho 504 Giải:
Ta có 504 = 32 7.8 7,8,9 nguyên tố đôi một
Vì n lập phương số tự nhiên nên đặt n = a3
Cần chứng minh A=(a3-1)a3(a3 + 1) chia hết cho 504
Ta có: + Nếu a chẵn a3 chia hết cho 8
Nếu a lẻ a3-1và a3 + hai số chẵn liên tiếp (a3-1) (a3 + 1) chi hết cho 8
Vậy A8 , 19 9a nN (1)
+ Nếu a7 a37 A7
Nếu a không chia hết cho a6 – 17 (a3-1) (a3 + 1) 7(Định lí Phéc ma)
Vậy A7 , nN (2)
+ Nếu a3 a39 A9
Nếu a không chia hấe cho a = 3k 1 a3 = ( 3k 3)3= BS91
a3 – = BS9+1 – 9
a3 + = BS9- + 9
(17)Từ (1), (2), (3) A9 , nN
Bài 6: Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức sau số nguyên tố: a/ 12n2 – 5n – 25
b/ 8n2 + 10n +3
c/
3 3
4 n n
Giải:
a/ Phân tích thành nhân tử: 12n2 – 5n – 25 = 12n2 +15n – 20n – 25
= 3n(4n + 5) – 5(4n +5) = (4n +5)(3n –5)
Do 12n2 – 5n – 25 số nguyên tố 4n +5 > nên 3n – > 0.
Ta lại có: 3n – < 4n +5(vì n 0) nên để 12n2 – 5n – 25 số ngưyên tố thừa số nhỏ phải hay 3n – = n = 2
Khi đó, 12n2 – 5n – 25 = 13.1 = 13 số nguyên tố.
Vậy với n = giá trị biểu thức 12n2 – 5n – 25 số nguyên tố 13
b/ 8n2 + 10n +3 = (2n – 1)(4n + 3)
Biến đổi tương tự ta n = Khi đó, 8n2 + 10n +3 số nguyên tố 3
c/ A =
3 3
4 n n
Do A số tự nhiên nên n(n + 3) 4
Hai số n n + chẵn Vậy n , n + chia hết cho - Nếu n = A = 0, khơng số ngun tố
- Nếu n = A = 7, số nguyên tố
-Nếu n = 4k với kZ, k > A = k(4k + 3) tích hai thừa số lớn nên A là
hợp số
- Nếu n + = A = 1, khơng số nguyên tố
- Nếu n + = 4k với kZ, k > A = k(4k - 3) tích hai thừa số lớn nên A
là hợp số
Vậy với n =
3 3
4 n n
số nguyên tố Bài 7: Đố vui: Năm sinh hai bạn
Một ngày thập kỷ cuối kỷ XX, người khách đến thăm trường gặp hai học sinh Người khách hỏi:
- Có lẽ hai em tuổi nhau? Bạn Mai trả lời:
- Không, em bạn em tuổi Nhưng tổng chữ số năm sinh chúng em số chẵn
- Vậy em sinh năm 1979 1980, không? Người khách suy luận nào?
Giải:
Chữ số tận năm sinh hai bạn phảI trường hợp ngược lại tổng chữ số năm sinh hai bạn 1, số chẵn Gọi năm sinh Mai 19 9a +9+a+9 = 19 + a Muốn tổng số chẵn a
(18)RÚT KINH NGHIỆM :……….
Duyệt ngày: 05/12/2011
Ngày soạn: 18/12/2011 Ngày dạy: 28/12/2011 Buổi Ngày dạy: 11/01/2012 Buổi 10 CHUYÊN ĐỀ IV: TAM GIÁC - ĐƯỜNG CAO – TRUNG TUYẾN
A. Mục tiêu:
- HS nắm phương pháp nâng cao tìm hiểu tốn chứng minh đường cao, đường trung tuyến tam giác
- Rèn kỹ suy luận lơgic, kỹ chứng minh hình học - Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động học tập
B. Phương tiện:
- GV: giáo án, tài liệu Casio
- HS: Máy tính Casio, dụng cụ vẽ hình C Nội dung giảng:
I.Các toán đường cao
1/ Cho ABC có a > b > c Chứng minh : a/ < hb < hc
b/ a + b + hb
2/ Cho ABC có ba cạnh a , b , c ba đường cao , hb , hc Chứng minh
1
ha+
1
hb+
1
hc=
1
√p(p − a)+
1
√p(p − b)+
1
√p(p − c) tam giác ABC tam giác ( p nửa chu vi ABC
3/ Chứng minh tam giác cóùù cạnh khơng tổng cạnh lớn đường cao tương ứng lớn tổng cạnh nhỏ đường cao tương ứng 4/ Cho ABC có đường cao AA’ , BB’ , CC’ Chiếu A’ lên AB , AC , BB’ CC’ I , J , K , L Chứng minh điểm I , J , K , L thẳng hàng
5/ Cho ABC , đường cao AH Gọi C’ điểm đối xứng H qua AB Gọi B’ điểm đối xứng H qua AC Gọi giao điểm B’C’ với AC AB I K Chứng minh BI CK đường cao ABC
ĐƯỜNG CAO – CHU VI TAM GIÁC
1/ Chứng minh ABC ta có : p2 ha2 + hb2 + hc2 ( p nửa chu vi tam
giác ABC )
2/ Cho ABC Xác định điểm M , N , P theo thứ tựï thuộc cạnh BC , CA , AB cho chu vi
MNP nhỏ
(19)1/ Cho điểm A , B cóùá định điểm M di động cho MAB cóùù góc nhọn Gọi H trực tâm AMB , K chân đường cao vẽ từ M Tìm giá trị lớn KH.KM
TAM GIÁC – ĐƯỜNG CAO - PHÂN GIÁC
1/ Đường cao đường phân giác vẽ từ đỉnh A ABC tạo thành góc Tính góc đo theo góc B C tam giác ABC ( chứng minh góc nửa hiệu của hai góc B C )
HƯỚNG DẪN A
Chú ý vànhận xét : + D nằm H trung điểm M ( chứng minh phần sau )
B H D E C
+ Tìm cách tạo góc B – C tính B-C
Cách : Từ A vẽ tia AE cho CAE = BAH Suy : HAD = DAE , HAE = HAD B = 900 – BAH
C = 900 – HAE - CAE
B – C = HAE = HAD Cách : B = 900 – BAH
C = 900 – CAH
B – C = CAH - BAH = CAD + HAD – ( BAD – HAD ) = HAD
1.1/ Cho ABC đường phân giác CE Từø C kẻ đường thẳng vng góc với CE cắt
cạnh AB kéo dài D Chứng minh góc EDC nửa hiệu góc A B 1.2/ Đuờng phân giác ngồi kẻ từ đỉnh A ABC tạo với cạnh BC góc 300 Tìm hiệu góc C B ( Cho AB AC )
1.3/ Chứng minh tam giác hiệu góc đáy 900 đường
phân giác đường phân giác góc đỉnh II TAM GIÁC - TRUNG TUYẾN 1/ Chứng minh tam giác ta có :
4
5 (mamb + mbmc + mcma ) < ab + bc + ca < 209 (mamb + mbmc + mcma )
HƯỚNG DẪN A
P N
B M C
+ Trong tam giác ta có : ma + mb + mc < a + b + c
G
(20) ma2 + mb2 + mc2 + 2(ma + mb + mbmc + mcma ) < a2 + b2 + c2 + ( ab + bc + ca )
( )
Do : ma2 + mb2 + mc2 = 3a
2
+3b2+3c2
4
Nên ( ) 2(mamb + mbmc + mcma ) < a
2
+b2+c2
4 + ( ab + bc + ca )
< ab+bc2+ca + ( ab + bc + ca ) 45 (mamb + mbmc + mcma ) < ab + bc + ca ( * )
+ Kẻ PQ // AM ; AM , BN , CP trung tuyến ABC PQG có cạnh : 13 ma ; 13 mb ; 13 mc trung tuyến a4 ; b4 ; c4
Aùp dụng bất đẳng thức ( * ) vào PQG ta có :
4
5 (
a
4
b
4+
b
4
c
4+
c
4
a
4¿ < ma
1
3 mb + mb
1
3 mc + mc
1
3 ma
ab + bc + ca < 209 (mamb + mbmc + mcma )
2/ Cho ABC , trung tuyến AM Một cát tuyến quay quanh trọng tâm G cắt AB , AC P Q Chứng minh : ABAP +AC
AQ khơng phụ thuộc vị trí
3/ Tam giác ABC có ¼ AC < AB < 4AC Một đường thẳng qua trọng tâm G ABC , cắt cạnh AB , AC E , F Hãy xác định vị trí điểm E cho AE + AF đạt giá trị nhỏ ( Mở rộng )
4/ Cho ABC , trung tuyến AD Từø điểm M BD vẽ đường thẳng song song với AD cắt AB E , cắt AC F Chứng minh : 2AD = ME + MF
HƯỚNG DẪN Chú ý nhận xét :
+ 2AD = ME + MF MEAD+MF=2
+ Tạo đoạn thẳng ME + MF
Rút kinh nghiệm:……….
(21)