b Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của hàm số; cực trị; giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số; tiếp tuyến, tiệm cận đứng và ngang [r]
(1)www.MATHVN.com www.MATHVN.com Lop12.net (2) Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 www.MATHVN.com Toán Học I/ PHẦN CHUNG (7 điểm) Câu (2 điểm): a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b) Các bài toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm và đồ thị hàm số: chiều biến thiên hàm số; cực trị; giá trị lớn và nhỏ hàm số; tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) đồ thị hàm số; tìm trên đồ thị điểm có tính chất cho trước, tương giao hai đồ thị (một hai đồ thị là đường thẳng) Câu (1 điểm): Công thức lượng giác, phương trình lượng giác Câu (1 điểm): Phương trình, bất phương trình; hệ phương trình đại số Câu (1 điểm): - Tìm giới hạn - Tìm nguyên hàm, tính tích phân - Ứng dụng tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay Câu (1 điểm): Hình học không gian (tổng hợp): quan hệ song song, quan hệ vuông góc đường thẳng, mặt phẳng; diện tích xung quanh hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu Câu (1 điểm): Bài toán tổng hợp II PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần phần 2) Theo chương trình chuẩn: Câu 7a (1 điểm): Phương pháp tọa độ mặt phẳng: - Xác định tọa độ điểm, vectơ - Đường tròn, elip - Viết phương trình đường thẳng - Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Câu 8a (1 điểm) Phương pháp tọa độ không gian: - Xác định tọa độ điểm, vectơ - Đường tròn, Mặt cầu - Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách hai đường thẳng; vị trí tương đối đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu Câu 9a (1 điểm): - Số phức - Tổ hợp, xác suất, thống kê - Bất đẳng thức; cực trị biểu thức đại số Theo chương trình nâng cao: Câu 7b (1 điểm): Phương pháp tọa độ mặt phẳng: - Xác định tọa độ điểm, vectơ - Đường tròn, ba đường conic - Viết phương trình đường thẳng - Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Câu 8b (1 điểm): Phương pháp tọa độ không gian: - Xác định tọa độ điểm, vectơ - Đường tròn, mặt cầu - Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng - Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách hai đường thẳng; vị trí tương đối đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu Câu 9b (1 điểm): - Số phức - Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ dạng y = (ax2 + bx + c) / (px + q) và số yếu tố liên quan - Sự tiếp xúc hai đường cong - Hệ phương trình mũ và lôgarit - Tổ hợp, xác suất, thống kê - Bất đẳng thức Cực trị biểu thức đại số Theo Toán Học Việt Nam ếp Version – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com Lop12.net -1- (3) Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 www.MATHVN.com Toán Học Khảo sát biến thiên hàm số và vẽ đồ thị: - Cần ghi nhớ cấu trúc lời giải dạng hàm số sau: - Lƣu ý vẽ đồ thị: + Không đƣợc vẽ đồ thị ngoài mặt phẳng tọa độ + Nét vẽ đồ thị phải trơn, không có chỗ gấp khúc Thể “uốn” đồ thị các điểm uốn + Đánh dấu tọa độ các giao điểm đồ thị với trục tọa độ; các điểm cực đại, cực tiểu; điểm uốn (nếu có) Phƣơng trình lƣợng giác: - Ghi nhớ các công thức lƣợng giác, quan hệ các góc lƣợng giác, giá trị lƣợng giác các góc đặc biệt và cách giải các dạng phƣơng trình lƣợng giác đƣợc nêu SGK - Thông thƣờng ta nên hạ bậc các biểu thức lƣợng giác bậc cao các biểu thức lƣợng giác bậc thấp có phƣơng trình để dễ dàng đƣa phƣơng trình tích - Nếu phƣơng trình chủ yếu là các hàm lƣợng giác sin và cos thì ta nên biến đổi các hàm tan và cot các hàm sin và cos Phƣơng trình (vô tỉ), bất phƣơng trình (vô tỉ), hệ phƣơng trình, phƣơng trình logarit: - Thuộc các công thức logarit - Nắm rõ cách giải các pt, bpt - Ứng dụng thành thạo phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình là PP và PP cộng đại số, đó PP là PP đƣợc ứng dụng nhiều - Nắm rõ cách giải các dạng hpt thông dụng: đối xứng loại 1, loại 2; hệ đẳng cấp - Nhiều phƣơng trình, bất phƣơng trình và hệ phƣơng trình có thể giải dễ dàng cách đặt ẩn phụ (thông thƣờng ta phải biến đổi chút để có thể nhìn ẩn phụ cần phải đặt) Nguyên hàm, tích phân: - Nắm rõ nguyên hàm các hàm thông dụng - Nắm rõ phƣơng pháp thông dụng để tính tích phân: phƣơng pháp đổi biến và phƣơng pháp tích phân phần: + Phƣơng pháp đổi biến thƣờng áp dụng cho các hàm đa thức, phân thức và có chứa thức + Phƣơng pháp tích phân phần thƣờng áp dụng cho hàm có dạng tích biểu thức khác chất: đa thức – lƣợng giác, đa thức-hàm mũ, đa thức – hàm logarit, lƣợng giác- hàm mũ ếp Version – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com Lop12.net -2- (4) Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 www.MATHVN.com Toán Học - Lƣu ý tích phân hàm số lẻ, hàm số chẵn - Trong số trƣờng hợp, ta có thể đổi biến cách đặt Hình học không gian: - Nắm vững công thức tính thể tích các khối thông dụng - Ứng dụng các định lí quan hệ vuông góc, quan hệ song song không gian để tạo đƣợc mối liên hệ độ dài các cạnh và các góc, qua đó tính đƣợc độ dài các cạnh và số đo các góc chƣa biết Bất đẳng thức, cực trị: - Nắm vững các bất đẳng thức thông dụng, đặc biệt là BĐT Cô-si và BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki - Với số bài toán tìm cực trị hàm nhiều biến, ta nên quy cực trị hàm biến dùng ứng dụng đạo hàm việc tìm min, max hàm số Phƣơng pháp tọa độ mặt phẳng và không gian: Nên ghi định hƣớng làm bài (sơ đồ giải) trƣớc giải Số phức: Một số bài toán có thể ứng dụng công thức Moa-vrơ có thể đƣa các số phức dạng lƣợng giác các góc đặc biệt ếp Version – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com Lop12.net -3- (5) Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 www.MATHVN.com Toán Học Vấn đề 1: Tìm cực trị hàm số 16 Qui tắc 1: Dùng định lí 16 Qui tắc 2: Dùng định lí 16 Vấn đề 2: Tìm điều kiện để hàm số cĩ cực trị 16 Vấn đề 3: Đƣờng thẳng qua hai điểm cực trị 16 Vấn đề 4: ĐƢỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ 17 Định nghĩa: 17 Chú ý: 17 Vấn đề 5: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 17 Các bƣớc khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (quan trọng) 17 Vấn đề 6: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ (Quan Trọng) 18 Dạng 1:F(x, m) = f(x) = m (1) 18 Dạng 2: F(x, m) = f(x) = g(m) (2) 18 Dạng 3: F(x, m) = f(x) = kx + m (3) 18 Dạng 4: F(x, m) = f(x) = m(x – x0) + y0 (4) 18 Vấn đề 7: Biện luận số nghiệm phƣơng trình đồ thị 18 Vấn đề 8: Biện luận số nghiệm phƣơng trình bậc ba đồ thị 18 Dạng 1: Biện luận số nghiệm phƣơng trình bậc 19 1.1 Trƣờng hợp 1: 19 1.2 Trƣờng hợp 2: 19 1.3 Trƣờng hợp 3: 19 Dạng 2: Phƣơng trình bậc ba có nghiệm cùng dấu 19 2.1 Trƣờng hợp 1: (1) có nghiệm dƣơng phân biệt 19 2.2 rƣờng hợp 2: (1) có nghiệm có âm phân biệt 19 Vấn đề 9: SỰ TIẾP XƯC CỦA HAI ĐƢỜNG TIẾP TUYẾN CỦA ĐƢỜNG CONG 19 Vấn đề 10: Lập phƣơng trình tiếp tuyến đƣờng cong (C): y = f(x) (Quan trọng) 19 Bài toán 1: Viết phƣơng trình tiếp tuyến (C): y =f(x) điểm Bài toán 2: Viết phƣơng trình tiếp tuyến (C): y =f(x), biết có hệ số góc k cho trƣớc 20 Bài toán 3: Viết phƣơng trình tiếp tuyến (C): y = f(x), biết qua điểm A( x A ; y A ) 20 M0 x0 ; y0 : 20 Vấn đề 11: Tìm điều kiện để hai đƣờng tiếp xúc 20 ếp Version – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com Lop12.net -4- (6) Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 www.MATHVN.com Toán Học Vấn đề 12: Lập phƣơng trình tiếp tuyến chung hai đồ thị(C1): y = f(x) và C2): y = g(x) 21 Vấn đề 13: Tìm điểm trên đồ thị (C): y = f(x) cho đĩ tiếp tuyến (C) song song vuông góc với đƣờng thẳng d cho trƣớc 21 Vấn đề 14: Tìm điểm trên đƣờng thẳng d mà từ đĩ cĩ thể vẽ đƣợc 1, 2, 3, … tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) 21 Vấn đề 15: Tìm điểm mà từ đĩ cĩ thể vẽ đƣợc tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) và tiếp tuyến đó vuông góc với 21 Vấn đề 16: HỌ ĐỒ THỊ 22 Vấn đề 17: Tìm điểm cố định họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) 22 Vấn đề 18: Tìm điểm mà khơng cĩ đồ thị nào họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) qua 22 Vấn đề 19: Tìm điểm mà số đồ thị họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) qua 22 Vấn đề 20: TẬP HỢP ĐIỂM 23 Dạng 1: Tìm toạ độ điểm M 23 Dạng 2: 23 Vấn đề 21: HÀM SỐ CĨ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI (quan trọng) 23 Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y f ( x ) 23 Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số y f x 23 Vấn đề 22: Tìm điểm trên đồ thị (C): y = f(x) cĩ toạ độ nguyên 24 Vấn đề 23: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua đƣờng thẳng d: y = ax + b 24 Vấn đề 24: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b) 24 Vấn đề 25: Khoảng cách 25 Vấn đề 1: Công thức lượng giác 26 HỆ THỨC CƠ BẢN ( công thức ) 26 CÔNG THỨC CỘNG ( công thức ) 26 CÔNG THỨC NHÂN 26 3.1 NHÂN ĐÔI : ( công thức) 26 3.2 NHÂN BA : ( công thức) 27 HẠ BẬC : ( công thức) 27 GÓC CHIA ĐÔI : ( công thức) 27 TỔNG THAØNH TÍCH : ( công thức) 27 TÍCH THAØNH TỔNG : ( công thức) 27 CUNG LIEÂN KEÁT : 28 ếp Version – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com Lop12.net -5- (7) Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 www.MATHVN.com Toán Học Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 28 CÔ BAÛN : 28 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI Sin và Cos 28 2.1 Daïng asinx + bcosx = c (1) ( a2 + b2 ) 28 PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI: 29 3.1 Đối với hàm số lượng giác: 29 3.2 Phương trình đẳng cấp Sinx, Cosx 29 3.3 Phương trình đối xứng Sinx, Cosx: 29 PHÖÔNG TRÌNH ÑAËC BIEÄT : 30 4.1 Toång bình phöông : 30 4.2 Đối lập : 30 Vấn đề 3: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC KHƠNG MẪU MỰC 30 Phƣơng pháp 1: Dùng các công thức lƣợng giác đƣa phƣơng trình dạng tích 30 Phƣơng pháp 2: Đặt ẩn phụ đƣa phƣơng trình lƣợng giác phƣơng trình đại số: 31 Phƣơng pháp 3: Quy phƣơng trình lƣợng giác việc giải hệ phƣơng trình lƣợng giác cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức 31 Phƣơng pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số 32 Vấn đề 4: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 36 Tam giác thường ( các định lý) 36 1.1 Chuù yù: 37 Hệ thức lượng tam giác vuông: 37 Vấn đề 5: MỘT VÀI VẤN ĐỀ CẦN NHỚ 37 Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH VAØ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT: Ax = B 39 MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ PT VAØ BPT ÔN THI ĐẠI HỌC: 39 Vấn đề 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ 39 MỘT SỐ VÍ DỤ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ÔN THI ĐẠI HỌC: 40 1.1 Phƣơng pháp đƣa dạng tích 42 1.2 Phƣơng pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số 42 Vấn đề 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN ax2 + bx + c = ( a 0) 43 Vấn đề 4: DẤU NHỊ THỨC 44 Vấn đề 5: DẤU TAM THỨC 44 Vấn đề 6: SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI VỚI CÁC SỐ 44 Vấn đề 7: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH CHỨA CĂN 45 ếp Version – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com Lop12.net -6- (8) Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 www.MATHVN.com Toán Học Aùp duïng: 46 a Để bình phƣơng vế phƣơng trình – bất phƣơng trình thì là ta biến đổi cho 1.1 vế không âm hai là đặt điều kiện cho vế không âm 47 1.2 Chuyển phƣơng trình – bất phƣơng trình tích: 47 1.3 Chuyển dạng: A1 + A2 + + An = với Ai 0, i n đó pt tƣơng đƣơng với: A1 0, A2 0, An 48 1.4 Sử dụng lập phƣơng: 48 1.5 Nếu bất phƣơng trình chứa ẩn mẩu: 48 1.5.1 TH1: Mẩu luôn dƣơng luôn âm thì ta quy đồng khử mẩu: 48 1.5.2 TH2: Mẩu âm dƣơng trên khoảng thì ta chia thành trƣờng hợp: 49 1.6 Dạng 2: 49 1.7 Dạng 3: 50 1.8 Dạng 4: (Đặt ẩn phụ không triệt để) 50 1.9 Dạng 5: (Đặt ẩn phụ với hàm lƣợng giác) 51 1.10 Dạng 6: (Đặt ẩn phụ đƣa hệ phƣơng trình) 51 Phƣơng pháp hàm số 52 Vấn đề 8: PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 54 Vấn đề 9: BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 54 Vấn đề 1: BẢNG TÍCH PHÂN 55 Công thức NewTon _ Leibnitz : 55 Tích phân phần : 55 Đổi số : 55 Tính chaát : 55 Baûng tích phaân : 55 Vấn đề 2: Tính tích phân phương pháp đổi biến số 57 Vấn đề 3: Tính tích phân phương pháp tích phân phần 58 Vấn đề 4: Thiết lập công thức truy hồi 58 Vấn đề 5: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 58 Dieän tích hình phaúng 58 Theå tích vaät theå 59 Vấn đề 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VAØ THƯỜNG DÙNG TRONG VIỆC GIẢI TOÁN HÌNH HOÏC KHOÂNG GIAN 60 Vấn đề 2: Khoảng cách không gian 61 ếp Version – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com Lop12.net -7- (9) Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 www.MATHVN.com Toán Học Tính các khoảng cách điểm và mặt phẳng 61 Khoảng cách từ đƣờng thẳng đến mặt phẳng: 62 Khoảng cách từ mặt phẳng đến mặt phẳng : 62 Khoảng cách hai đƣờng thẳng 62 Vấn đề 3: Cách xác định góc không gian 63 Góc hai đường thẳng: 63 Góc hai mặt phẳng: 63 Góc đường thẳng và mặt phẳng: 63 Vấn đề 4: HÌNH VẼ MỘT SỐ HÌNH CHĨP ĐẶC BIỆT 64 Hình chóp tam giác 64 Hình chóp tứ giác 64 Hình chóp có canh bên vuông góc với đáy 64 Phƣơng pháp xác định đƣờng cao các loại khối chóp: 65 Vấn đề 5: DIỆN TÍCH & THỂ TÍCH HÌNH CHÓP 65 DIỆN TÍCH: 65 1.1 Diện tích xung quanh, toàn phần hình chóp ĐỀU: 65 THỂ TÍCH: 65 TỶ SỐ THỂ TÍCH (chú ý) 65 HÌNH CHÓP CỤT 66 4.1 DIỆN TÍCH 66 4.2 THỂ TÍCH 66 Vấn đề 6: HÌNH LĂNG TRỤ 66 DIỆN TÍCH: 66 THỂ TÍCH: 67 Vấn đề 7: HÌNH TRỤ - HÌNH NĨN – HÌNH CẦU 67 HÌNH TRỤ 67 1.1 Diện tích: 67 1.2 Thể tích: 67 HÌNH NÓN 67 2.1 Diện tích: 67 2.2 Thể tích: 67 HÌNH NÓN CỤT 67 3.1 Diện tích: 67 3.2 Thể tích: 68 HÌNH CẦU 68 Vấn đề 8: GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 68 ếp Version – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com Lop12.net -8- (10) Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 www.MATHVN.com Toán Học PHÖÔNG PHAÙP: 68 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz không gian 68 Vấn đề 1: BẤT ĐẲNG THỨC 73 Ñònh nghóa : 73 Tính chaát : 73 BÑT Coâ Si : 73 BÑT Bunhia Coâp ski (chú ý) 73 BÑT BecnuLi : 73 BÑT tam giaùc : 74 Vấn đề 2: Cấp số cộng, cấp số nhân 74 Cấp số cộng: 74 Cấp số nhân: 74 Ví duï: 74 Vấn đề 1: VECTƠ VAØ TỌA ĐỘ : 76 Vấn đề 2: ĐƯỜNG THẲNG 76 Phöông trình tham soá : 76 Phöông trình toång quaùt : Ax + By + C = ( A2 + B2 0) 77 Phöông trình phaùp daïng : 77 Phương trình đường thẳng qua M( x0, y0) có hệ số góc K : 77 Phương trình đường thẳng qua A(xA, yA) và B(xB, yB) : 77 Phương trình đường thẳng qua A( a, 0) , B( 0,b) ( đọan chắn) 77 Phöông trình chính taéc : 77 Phương trình đường thẳng qua A(a, 0), B(0, b) ( đoạn chắn ) : 77 Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến Ax + By + C = : 77 10 Vị trí tương đối hai đường thẳng : 78 11 Góc hai đường thẳng d1 và d2 : 78 12 Phương trình đường phân giác các góc tạo d1 và d2 : 78 Vấn đề 3: ĐƢỜNG TRÕN 79 Phƣơng trình đƣờng tròn: 79 Sự tƣơng giao đƣờng thẳng và đƣờng tròn: 79 Phƣơng trình tiếp tuyến đƣờng tròn 79 ếp Version – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com Lop12.net -9- (11) Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 www.MATHVN.com Toán Học 3.1 Dạng 1: Tiếp tuyến (C) M(x0;y0) có dạng: 79 3.2 Dạng 2: Tiếp tuyến (C) qua M(x0;y0) 79 3.3 Dạng 3: Tiếp tuyến (C) song song (hoặc vuông góc) với đƣờng thẳng : Ax + By + C = 79 3.4 Dạng 4: Tiếp tuyến (C) biết trƣớc hệ số góc k: 80 Phƣơng trình tích điểm M(x0; y0) đƣờng tròn (C): 80 Trục đẳng thức 80 Vấn đề 4: CÁC CÔNG THỨC HÌNH HỌC CƠ BẢN: 80 Tam giác cạnh a: 80 Tam giác vuông: 80 Tam giác vuông cân (nửa hình vuông): 80 Nửa tam giác đều: 80 Tam giác cân: 80 Hình chữ nhật: 80 Hình thoi: 80 Hình vuông: 81 Hình bình hành: 81 10 Đƣờng tròn: 81 11 CÁC ĐƢỜNG TRONG TAM GIÁC 81 Vấn đề 5: ELIP 81 Tiếp tuyến Elip: 81 Vấn đề 6: HYPEBOL 82 Tiếp tuyến Hyperbol: 82 Vấn đề 7: PARAPOL 82 Tiếp tuyến Parapol (P): y2 = 2px 83 Vấn đề 1: VECTƠ VAØ TỌA ĐỘ : 83 Vấn đề 2: Phép toán 83 Định nghĩa : 84 Tính chất : 84 Vấn đề 3: PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG 85 Phƣơng trình tham số : 85 Phƣơng trình tổng quát : 85 Phƣơng trình mặt phẳng theo đoạn chắn : 85 Các dạng chính tắc : 85 Chùm mặt phẳng : 86 ếp Version – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com Lop12.net - 10 - (12) Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 www.MATHVN.com Toán Học VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG 86 GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG 86 KHOẢNG CÁCH 86 Vấn đề 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 87 CÁC DẠNG PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG 87 1.1 Phƣơng trình các trục tọa độ : 87 1.2 Chuyển dạng phƣơng trình tổng quát sang dạng tham số, chính tắc : 87 VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƢỜNG THẲNG 87 VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 88 GÓC GIỮA ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 88 4.1 Góc hai đƣờng thẳng : 88 4.2 Góc đƣờng thẳng và mặt phẳng : 89 KHOẢNG CÁCH 89 5.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng : 89 5.2 Khoảng cách từ điểm đến đƣờng thẳng : 89 5.3 Khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo : 89 HÌNH CHIẾU VÀ SỰ ĐỐI XỨNG 89 6.1 Điểm 89 6.2 Đƣờng thẳng 90 Vấn đề 5: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 90 Dạng 1: Viết PT mp qua A(x0; y0 ;z0) và có VTPT n =(A;B;C) 90 Dạng 2:Viết pt mặt phẳng qua A(x0; y0 ;z0) và // mp (Q) 90 Dạng 3: Viết pt mp qua A(x0; y0 ;z0) và vuông góc với đƣờng thẳng d 90 Dạng 4: Viết ptmp qua A và (Q) , (R) 90 Dạng 5: Viết Pt mp (P) qua điểm A,B,C không thẳng hàng 90 Dạng 6: Viết ptmp (P) qua A,B và (Q) 91 Dạng 7: Viết ptmp (P) qua A ; (Q) và // với dt (d) 91 Dạng 8: Viết ptmp (P) là trung trực AB 91 Dạng 9: Viết pt mp(P) chứa (d) và qua A 91 10 Dạng 10: Viết pt mp (P) chứa (d) và // ( ) 91 11 Dạng 11: Viết Pt mp(P) chứa (d) và (Q) 91 12 Dạng 12:Viết PT mp (P) // với (Q) và d(A;(P))=h 91 13 Dạng 13: Viết PT mp(P) chứa (d) và d(A,(P))=h 91 900 92 Dạng 15:Viết Pt mp (P) chứa (d) và hợp với đt( )một góc 900 92 14 Dạng 14:Viết Pt mp(P) chứa (d) và hợp với mp (Q) góc 15 16 Dạng 16: Cho A và (d) , viết PT mp (P) chứa (d) cho d(A,(P)) là lớn 92 ếp Version – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com Lop12.net - 11 - (13) Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học www.MATHVN.com 17 Dạng 17: Viết Pt mp (P) // với (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S) 92 18 Dạng 18: Viết PT mp(P) // (Q) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đƣờng tròn(C) có bán kính r ( diện tích, chu vi cho trƣớc) 92 19 Dạng 19: Viết PT mp(P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S) 93 20 Dạng 20: Viết Pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đƣờng tròn (C) có bán kính r ( diện tích , chu vi cho trƣớc) 93 21 Dạng 21: Viết PT mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đƣờng tròn (C) có bán kính nhỏ (áp dụng trƣờng hợp d cắt (S) điểm) 93 Vấn đề 6: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 93 Dạng 1: Viết ptđt (d) qua M(x0; y0 ;z0) và có VTCP u =(a,b,c) 93 Dạng 2: Viết pt dt(d) qua điểm A,B 94 Dạng 3: Viết PT dt (d) qua A và //với đƣờng thẳng ( ) 94 Dạng 4: Viết PT dt(d) qua A và (P) 94 Dạng 5: Viết Pt dt(d) qua A và vuông góc với dt (d1),(d2) 94 Dạng 6: Viết PT dt (d) là giao tuyến mp 94 Dạng 7: Viết PT hình chiếu d lên mp(P) 94 Dạng 8: Viết pt đƣờng thẳng d qua điểm A và cắt đƣờng thẳng d1, d2: 94 Dạng 9: Viết pt đƣờng thẳng d song song d1 và cắt d2 , d3 95 10 Dạng 10 : Viết ptđt d qua A và vuông góc đƣờng thẳng d1 và cắt d2 95 11 Dạng 11 : Viết ptđt d qua A, song song mp ( ) , cắt đƣờng thẳng d' 95 12 Dạng 12 : Viết ptđt d nằm mp(P) và cắt đƣờng thẳng d1, d2 cho trƣớc 95 13 Dạng 13 : Viết ptđt d nằm mp(P) và vuông góc với đƣờng thẳng d' giao điểm I (P) và d' 95 14 Dạng 14 : Viết ptđt vuông góc chung d dƣờng thẳng chéo d1, d2 : 95 15 Dạng 15 : Viết pt đƣờng thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt đƣờng thẳng d1,d2 96 16 Dạng 16 : Viết ptđt d qua điểm A , cắt và vuông góc với đƣờng thẳng d1 96 17 Dạng 17 : Viết ptđt d qua A ,vuông góc với d1,tạo với d2 góc (0 ;90 ) (= 300, 450, 600) 96 18 Dạng 18 : Viết ptđt d di qua A , song song với mp(P) , tạo với d1 góc 19 Dạng 19 : Viết ptđt d di qua A , nằm mp(P) , tạo với d1 góc (00 ;900 ) 96 (00 ;900 ) 96 20 Dạng 20: Viết ptđt d di qua A , vuông góc d1 và khoảng cách từ M đến d h 97 Vấn đề 7: CÁC DẠNG TOÁN VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI 97 Dạng Xác định vị trí tƣơng đối các đƣờng thẳng và mặt phẳng 97 Dạng Xác định hình chiếu vuông góc điểm M lên mặt phẳng ( ) 97 Dạng Xác định điểm M’ đối xứng với điểm M cho trƣớc qua mặt phẳng ( ) 97 ếp Version – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com Lop12.net - 12 - (14) Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 www.MATHVN.com Toán Học Dạng Xác định hình chiếu vuông góc điểm M lên đƣờng thẳng 97 Dạng Xác định điểm M’ đối xứng với điểm M cho trƣớc 98 Dạng Xác định hình chiếu vuông góc đƣờng thẳng lên mp ( ) 98 Dạng Xác định hình chiếu song song đƣờng thẳng 1 lên mp ( ) theo phƣơng cắt ( ) 100 Dạng Viết phƣơng trình đƣờng thẳng qua M và cắt 1 , với 1 , chéo và không qua M 100 Dạng Viết phƣơng trình đƣờng thẳng cắt 1 , và song song với 100 10 Dạng 10 Viết phƣơng trình đƣờng thẳng qua M và vuông góc với 1 , cắt đó M 1 , 101 11 Dạng 11 Viết phƣơng trình đƣờng vuông góc chung hai đƣờng thẳng chéo 1 , 102 12 Các bài toán tổng hiệu khoảng cách lớn nhất, nhỏ : 103 12.1 Dạng 1: Cho điểm A( x1; y1; z1 ); B( x2 ; y2 ; z2 ) Tìm M ( P) : ax by cz d để (MA+MB)min 103 12.2 Dạng 2: Cho điểm A( x1; y1; z1 ); B( x2 ; y2 ; z2 ) Tìm M ( P) : ax by cz d để MA MB max 104 12.3 Dạng 3: Cho điểm A( x1; y1; z1 ); B( x2 ; y2 ; z2 ) Tìm M cho trƣớc cho (MA + MB) 104 Vấn đề 8: CÁC DẠNG TOÁN VỀ MẶT CẦU 105 Phƣơng trình maët caàu taâm I(a ; b ; c),baùn kính R 105 Vị trí tương đối mặt phẳng và mặt cầu 105 Giao điểm đường thẳng và mặt cầu 105 CÁC DẠNG TOÁN 105 4.1 Daïng 1: Maët caàu taâm I ñi qua A 105 4.2 Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB 106 4.3 Daïng 3: Maët caàu taâm I tieáp xuùc mp() 106 4.4 Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD 106 4.5 Daïng 5: Maët caàu ñi qua A,B,C vaø taâm I € (α) 106 4.6 Daïng 6: Maët phaúng tieáp xuùc maët caàu taïi A 106 4.7 Dạng 7: Vị trí tương đối hai mặt cầu: 106 Vấn đề 1: HAØM SỐ LIÊN TỤC 107 Vấn đề 2: ĐẠO HAØM 107 ếp Version – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com Lop12.net - 13 - (15) Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 www.MATHVN.com Toán Học Định nghĩa đạo hàm : 107 Qui tắc tính đạo hàm : 107 Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp : 107 Vấn đề 3: LUỸ THỪA – LOGARIT 109 LUỸ THỪA 109 1.1 Định nghĩa luỹ thừa 109 1.2 Tính chất luỹ thừa 109 1.3 Định nghĩa và tính chất thức 109 II LOGARIT 110 2.1 Ñònh nghóa 110 2.2 Tính chaát 110 2.3 Caùc qui taéc tính logarit 110 2.4 Đổi số 110 Vấn đề 4: PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 110 PHÖÔNG TRÌNH MUÕ 110 1.1 Phöông trình muõ cô baûn: 110 1.2 Moät soá phöông phaùp giaûi phöông trình muõ 111 1.2.1 Ñöa veà cuøng cô soá: 111 1.2.2 Logarit hoá: 111 1.2.3 Ñaët aån phuï: 111 1.2.4 Sử dụng tính đơn điệu hàm số: 111 PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT 111 2.1 Phöông trình logarit cô baûn 111 2.2 Moät soá phöông phaùp giaûi phöông trình logarit 111 Vấn đề 5: BẤT PHƯƠNG, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VAØ LOGARIT 112 Vấn đề 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 112 Vấn đề 7: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 112 Vấn đề 1: HOÁN VỊ _ TỔ HỢP _ CHỈNH HỢP 113 Hoán vị : 113 Tổ hợp : 113 Chỉnh hợp : 113 Vấn đề 2: PHÉP ĐẾM VÀ XÁC SUẤT 113 ếp Version – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com Lop12.net - 14 - (16) Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học Nguyên tắc đếm 113 1.1 www.MATHVN.com Chú ý: 113 XÁC SUẤT 113 2.1 Không gian mẫu: 113 2.2 Xác suất: 113 2.3 CÁC CÔNG THỨC 113 Vấn đề 3: Nhị thức NIUTƠN 114 Công thức nhị thức Newtơn: 114 Các nhận xét công thức khai triển: Một số dạng đặc biệt: 114 Các dạng toán ứng dụng nhị thức NewTơn 115 Khái niệm số phức 117 Bieåu dieãn hình hoïc: 117 Cộng và trừ số phức: 117 Nhân hai số phức : 117 Số phức liên hợp số phức z = a + bi là z a bi 118 Môđun số phức : z = a + bi 118 Chia hai số phức: 118 Căn bậc hai số phức: 118 Phöông trình baäc hai Az2 + Bz + C = 118 (a b)n 114 10 Dạng lượng giác số phức: 118 11 Nhân, chia số phức dạng lượng giác 119 12 Công thức Moa–vrơ: 119 13 Căn bậc hai số phức dạng lượng giác: 119 14 Các dạng bài tập: 119 14.1 Dạng : Tìm mô đun ,căn bậc hai số phức, giải phƣơng trình ,hệ phƣơng trình trên tập số phức 119 14.2 Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức 123 14.3 Dạng 3: Biểu diễn số phức dƣới dạng đại số , dạng lƣợng giác 124 ếp Version – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com Lop12.net - 15 - (17) Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 www.MATHVN.com Toán Học Tìm cực trị hàm số Vấn đề 1: Qui tắc 1: Dùng định lí Tìm f (x) Tìm các điểm xi (i = 1, 2, …) mà đó đạo hàm không có đạo hàm Xét dấu f (x) Nếu f (x) đổi dấu x qua xi thì hàm số đạt cực trị xi Qui tắc 2: Dùng định lí Tính f (x) Giải phương trình f (x) = tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, …) Tính f (x) và f (xi) (i = 1, 2, …) + Nếu f (xi) < thì hàm số đạt cực đại xi + Nếu f (xi) > thì hàm số đạt cực tiểu xi Vấn đề 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 thì f (x0) = x0 không có đạo hàm Để hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 thì f (x) đổi dấu x qua x0 Chú ý: Hàm số bậc ba y ax3 bx cx d có cực trị Phương trình y = có hai nghiệm phân biệt Khi đó x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) hai cách: + y( x0 ) ax03 bx02 cx0 d + y( x0 ) Ax0 B , đó Ax + B là phần dư phép chia y cho y Hàm số y ax bx c = a' x b' P( x ) Q( x ) (aa 0) có cực trị Phương trình y = có hai nghiệm phân biệt khác b' a' Khi đó x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) hai cách: y( x0 ) P( x0 ) Q( x0 ) y( x0 ) P '( x0 ) Q '( x0 ) Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, là định lí Vi–et Vấn đề 3: Đƣờng thẳng qua hai điểm cực trị Hàm số bậc ba y f ( x ) ax bx cx d Chia f(x) cho f (x) ta được: f(x) = Q(x).f (x) + Ax + B Khi đó, giả sử (x1; y1), (x2; y2) là các điểm cực trị thì: y1 f ( x1 ) Ax1 B y2 f ( x2 ) Ax2 B Các điểm (x1; y1), (x2; y2) nằm trên đường thẳng y = Ax + B y f ( x) P( x ) ax bx c Q( x ) dx e Hàm số phân thức Giả sử (x0; y0) là điểm cực trị thì y0 P '( x0 ) Q '( x0 ) Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là: y P '( x ) 2ax b Q '( x ) d ếp Version – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com Lop12.net - 16 - (18) Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 www.MATHVN.com Vấn đề 4: Toán Học ĐƢỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ Định nghĩa: Đƣờng thẳng x x0 đgl đƣờng tiệm cận đứng đồ thị hàm số y f ( x ) ít các điều kiện sau đƣợc thoả mãn: lim f ( x ) ; lim f ( x ) ; x x0 x x0 lim f ( x ) ; lim f ( x ) x x0 x x0 Đƣờng thẳng y y0 đgl đƣờng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y f ( x ) ít các điều kiện sau đƣợc thoả mãn: lim f ( x ) y ; lim f ( x ) y x x Đƣờng thẳng y ax b, a đgl đƣờng tiệm cận xiên đồ thị hàm số y f ( x ) ít các điều kiện sau đƣợc thoả mãn: lim f ( x ) (ax b) ; lim f ( x ) (ax b) x Chú ý: a) Nếu y f (x) P( x ) Q( x ) x là hàm số phân thức hữu tỷ Nếu Q(x) = có nghiệm x0 thì đồ thị có tiệm cận đứng x x0 Nếu bậc(P(x)) bậc(Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + thì đồ thị có tiệm cận xiên b) Để xác định các hệ số a, b phƣơng trình tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng các công thức sau: f ( x) ; x f ( x) a lim ; x x a lim x Vấn đề 5: b lim f ( x) ax b lim f ( x) ax x x KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Các bƣớc khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (quan trọng) Tìm tập xác định hàm số Xét biến thiên hàm số: + Tính y + Tìm các điểm đó đạo hàm y không xác định + Tìm các giới hạn vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có) + Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị hàm số Vẽ đồ thị hàm số: + Tìm điểm uốn đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phƣơng) – Tính y – Tìm các điểm đó y = và xét dấu y + Vẽ các đƣờng tiệm cận (nếu có) đồ thị + Xác định số điểm đặc biệt đồ thị nhƣ giao điểm đồ thị với các trục toạ độ (trong trƣờng hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì có thể bỏ qua) Có thể tìm thêm số điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ chính xác + Nhận xét đồ thị: Chỉ trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) đồ thị ếp Version – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com Lop12.net - 17 - (19) Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Vấn đề 6: Toán Học www.MATHVN.com BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ (Quan Trọng) Cơ sở phƣơng pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1) Số nghiệm phương trình (1) = Số giao điểm (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) Nghiệm phương trình (1) là hoành độ giao điểm (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) Để biện luận số nghiệm phƣơng trình F(x, m) = (*) đồ thị ta biến đổi (*) các dạng sau: Dạng 1:F(x, m) = f(x) = m (1) Khi đó (1) có thể xem là phƣơng trình hoành độ giao điểm hai đƣờng: y (C) (C): y = f(x) (d) : y m A c yC d: y = m d là đƣờng thẳng cùng phƣơng với trục hoành x x Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm (C) và d Từ đóyCsuy số nghiệm (1) Dạng 2: F(x, m) = f(x) = g(m) (2) Thực tƣơng tự nhƣ trên, có thể đặt g(m) = k Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m y Dạng 3: F(x, m) = f(x) = kx + m (3) M d1 b1 y =dkx d2 (k: không đổi) O x M Khi đó (3) có thể xem là phƣơng trình hoành độ (C m A giao điểm hai đƣờng: (C): y = f(x) b2 d: y = kx + m Vì d có hệ số góc k không đổi nên d cùng phƣơng với đƣờng thẳng y = kx và cắt trục tung điểm A(0; m) Viết phƣơng trình các tiếp tuyến d1, d2, … (C) có hệ số góc k Dựa vào các tung độ gốc m, b1, b2, … d, d1, d2, … để biện luận Dạng 4: F(x, m) = f(x) = m(x – x0) + y0 (4) Khi đó (4) có thể xem là phƣơng trình hoành độ giao điểm hai đƣờng: (C): y = f(x) d: y = m(x – x0) + y0 d quay quanh điểm cố định M0(x0; y0) Viết phƣơng trình các tiếp tuyến d1, d2, … (C) qua M0 Cho d quay quanh điểm M0 để biện luận Chú ý: Nếu F(x, m) = có nghiệm thoả điều kiện: x thì ta vẽ đồ thị (C): y = f(x) với x Nếu có đặt ẩn số phụ thì ta tìm điều kiện ẩn số phụ, sau đó biện luận theo m Vấn đề 7: Biện luận số nghiệm phƣơng trình đồ thị Để biện luận số nghiệm phương trình F(x, m) = (*) ta biến đổi (*) các dạng trên, đó lưu ý y = f(x) là hàm số đã khảo sát và vẽ đồ thị Vấn đề 8: Biện luận số nghiệm phƣơng trình bậc ba đồ thị Cơ sở phương pháp: Xét phương trình bậc ba: ax3 bx cx d (a 0) (1) Gọi (C) là đồ thị hàm số bậc ba: y f ( x ) ax bx cx d Số nghiệm (1) = Số giao điểm (C) với trục hoành ếp Version – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com Lop12.net - 18 - (20) Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học www.MATHVN.com Dạng 1: Biện luận số nghiệm phƣơng trình bậc 1.1 Trƣờng hợp 1: (1) có nghiệm y (C) (C) và Ox có điểm chung f không có cực trị f có cực trị yCÑ yCT y (C) yCĐ (h.1a) (h.1b) A x0 O (h.1a) A x0 x yCT x1 o x2 (h.1b) x 1.2 Trƣờng hợp 2: (1) có đúng nghiệm (C) tiếp xúc với Ox f có cực trị y y CÑ CT (h.2) 1.3 Trƣờng hợp 3: (1) có nghiệm phân biệt (C) cắt Ox điểm phân biệt f có cực trị y y CÑ CT (h.3) Dạng 2: Phƣơng trình bậc ba có nghiệm cùng dấu 2.1 Trƣờng hợp 1: (1) có nghiệm dƣơng phân biệt (C) cắt Ox điểm phân biệt có hoành độ dương f có cực trị yCÑ yCT xCÑ 0, xCT a f (0) (hay ad 0) y y a>0 y x2 C B CĐ A o x x1xB x y A C f(0 CT ) f có cực trị y y CÑ CT xCÑ 0, xCT a f (0) (hay ad 0) Vấn đề 9: a<0 y f( CĐx B A C 0)o x xBx2 x y A C x CT a>0 2.2 rƣờng hợp 2: (1) có nghiệm có âm phân biệt (C) cắt Ox điểm phân biệt có hoành độ âm ( C y x (C) (C) f(0) yCĐ A B x2 xA x1 xB C xC o yCT x SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƢỜNG TIẾP TUYẾN CỦA ĐƢỜNG CONG Ý nghĩa hình học đạo hàm: Đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 là hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số điểm M0 x0 ; f ( x0 ) Khi đó phƣơng trình tiếp tuyến (C) điểm M0 x0 ; f ( x0 ) là: y – y0 = f (x0).(x – x0) (y0 = f(x0)) Điều kiện cần và đủ để hai đƣờng (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc là hệ phƣơng trình sau có nghiệm: f ( x ) g( x ) f '( x ) g '( x ) (*)Nghiệm hệ (*) là hoành độ tiếp điểm hai đƣờng đó Nếu (C1): y = px + q và (C2): y = ax2 + bx + c thì (C1) và (C2) tiếp xúc phƣơng trình ax bx c px q có nghiệm kép Vấn đề 10: Lập phƣơng trình tiếp tuyến đƣờng cong (C): y = f(x) (Quan trọng) ếp Version – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com Lop12.net - 19 - (21)