GIAI TOAN BANG CACH LAP PT

Tính diện tích của thửa ruộng biết rằng chiều dài giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng không thay đổi.. Bài 3: Một đa giác lồi có tất cả 35 đường chéo.[r]

Chuyờn :

Giải toán cách lập phơng trình A) tóm tắt lý thuyết

Bớc 1: Lập phơng trình hệ ohơng trình: a) Chọn ẩn đặt điều kiện cho ẩn

b) Biểu diễn đại lợng cha biết thông qua ẩn địa lợng biết c) Lập phơng trình biểu thị mối quan hệ đại lợng

Bớc 2: Giải phơng trình

Bc 3: Đối chiếu nghiệm pt, hệ phơng trình (nếu có) với điều kiện ẩn số để trả lời

Chó ý: T tõng bµi tËp thĨ mµ ta lập phơng trình bậc ẩn, hệ phơng trình hay phơng trình bậc hai

Khi t diều kiện cho ẩn ta phải dựa vào nội dung toán kiến thức thực tế B) Các dng toỏn

Dạng 1: Toán quan hệ số.

Nững kiến thức cần nhớ:

+ Biểu diƠn sè cã hai ch÷ sè : ab10ab ( víi 0<a9; 0 b 9;a, bN)

+ BiĨu diƠn sè cã ba ch÷ sè : abc100a 10b c ( víi 0<a9; 0b,c9;a, b, cN) + Tổng hai sè x; y lµ: x + y

+ Tổng bình phơng hai số x, y là: x2 + y2 + Bình phơng tổng hai số x, y là: (x + y)2. + Tổng nghịch đảo hai số x, y là:

1 xy.

Ví dụ 1: Mộu số phân số lớn tử số đơn vị Nếu tăng tử mẫu thêm đơn vị đợc phân số

1

2 phân số cho Tìm phân số đó? Giải:

Gọi tử số phân số x (đk: x3)

Mẫu số phân số x + Nếu tăng tử mẫu thêm đơn vị

Tư sè lµ x +

MÉu sè lµ x + + = x + Đợc phân số

1

2 ta có phơng trình

x 1 x

 

 .

2(x 1) x

x 2( Thoả mÃn điều kiện toán)

Vy phõn s ban u cho

   

 

Ví dụ 2: Tổng chữ số số có hai chữ số Nếu thêm vào số 63 đơn vị số thu đợc viết hai chữ số nhng theo thứ tự ngợc lại Hãy tìm số đó?

Giải

Gọi chữ số hàng chục x ((0 < x9, xN)

Chữ số hàng đơn vị y (0<y9, yN)

Số l xy10xy

Số viết ngợc lại yx10yx

Vì thêm vào số 63 đơn vị đợc số viết theo thứ tự ngợc lại ta có

xy 63 yx 10x y 63 10y x 9x 9y 63(2)

      

  

Tõ (1) vµ (2) ta cã hệ phơng trình

x y x y 2x

9x 9y 63 x y x y

    

  

 

  

     

  

x

(thoả mÃn điều kiện) y

   

 

Vy s phải tìm 18

Ví dụ 3: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tổng bình phơng 85

Giải

Gọi số bé x (xN) Số tự nhiên kề sau x + 1.

Vì tổng bình phơng 85 nên ta có phơng trình: x2 + (x + 1)2 = 85

2 2

2

2

x x 2x 85 2x 2x 84 x x 42

b 4ac 4.1.( 42) 169 169 13

        

   

           

Ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm

1

2

1 13

x 6(thoả mÃn điều kiện)

1 13

x 7(lo¹i)

2

 

 

 

 

Vậy hai số phải tìm

Bài tËp:

Bài 1: Đem số nhân với trừ đợc 50 Hỏi số bao nhiêu?

Bài 2: Tổng hai số 51 Tìm hai số biết

2

5 sè thø nhÊt th× b»ng

6 số thứ hai. Bài 3: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng chữ số Nếu đổi chỗ hai chữ số hàng đơn vị hàng chụccho số giảm 45 đơn vị

Bài 4: Tìm hai số đơn vị tích chúng 150

Bài 5: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết số lập phơng số tạo chữ số hàng vạn chữ số hàng nghìn số cho theo thứ t ú

Đáp số:

Bi 1: S ú 19;

Bài 2: Hai số 15 36 Bài 3: Số 61

Bài 4: Hai số 10 15 -10 -15; Bài 5: Số 32

Dạng 2: Toỏn chuyn ng

Những kiến thức cần nhớ:

S = v.t;

s s

v ; t

t v

 

Gäi vËn tèc thùc cđa ca n« v1 vận tốc dòng nớc v2 tì vận tốc ca nô xuôi dòng nớc v = v1 + v2 Vân tốc ca nô ngợc dòng lµ v = v1 - v2

Ví dụ1: Xe máy thứ quảng đờng từ Hà Nội Thái Bình hết 20 phút Xe máy thứ hai hết 40 phút Mỗi xe máy thứ nhanh xe máy thứ hai km

Tính vận tốc xe máy quảng đờng từ Hà Nội đến Thái Bình?

Gi¶i:

Gäi vËn tèc x thø nhÊt x (km/h), đk: x>3; Vận tốc xe tứ hai lµ x - (km/h)

Trong giê 20 (=

10

3 giờ) xe máy thứ đợc 10

x(km)

Trong giê 40 (=

11

3 giờ) xe máy thứ đợc 11

(x 3)(km) 

Đó quảng đờng tứ Hà nội đến Thái Bình nên ta có phơng trình

10 11

x (x 3) x 33

3 (thoả mÃn điều kiện toán).

Vy tc ca xe mỏy th 33 km/h Vận tốc xe máy thứ hai 30 km/h Quảng đờng từ Hà Nội đến Thái Bình 110 km

Ví dụ 2: Đoạn đờng AB dài 180 km Cùng lúc xe máy từ A ô tô từ B xe máy gặp ô tô C cách A 80 km Nếu xe máy khởi hành sau 54 phút chúng gặp D cách A 60 km Tính vận tốc tơ xe máy ?

Gi¶i

Gọi vận tốc tô x (km/h), đk: x > Gọi vận tốc xe máylà y(km/h), đk: y > Thời gian xe máy để gặp ô tô

80 y (giê)

Quảng đờng ô tô 100 km nên thời gian ô tô

100 y (giờ)

ta có phơng trình

100 80 x  y (1)

Quảng đờng xe máy 60 km nên thời gian xe máy

60 y (giê)

Quảng đờng ô tô lag 120 km nên thời gian ô tô l

120 y (giờ)

Vì ô tô trớc xe máy 54 phút =

9

10nên ta có phơng trình 120 60

Từ (1) (2) ta có hệ phơng tr×nh

100 80 100 80

0

x y x y

120 60 40 20

x y 10 x y 10

 

  

 

 



 

     

 

 

100 80 60 12

0

x y x 10 x 50

(thoả mÃn điều kiện)

100 80

160 80 12 y 40

0

x y

x y 10

   



   

 

     

 

     

 



VËy vËn tèc cđa « t« 50 km/h Vận tốc xe máy 40 km/h

Ví dụ 3: Một tơ quảng đờng dai 520 km Khi đợc 240 km tơ tăng vận tốc thêm 10 km/h hết quảng đờng cịn lại T ính vận tốc ban đầu ô tô biết thời gian hết quảng đờng

Gi¶i:

Gọi vận tốc ban đầu ô tô x (km/h), đk: x>0 Vận tốc lúc sau ô tô lµ x+10 (km/h)

Thời gian tơ hết quảng đờng đầu

240 x (giê)

Thời gian ô tô hết quảng đờng đầu

280

x 10 (giê)

Vì thời gian tô hết quảng đờng nên ta có phơng trình

2 240 280

8 x 55x 300 x x 10     

2

b 4ac ( 55) 4.( 300) 4225 4225 65

            

Phơng trình có hai nghiệm

  

1

55 65 55 65

x 60(TMDK);x 5(loai)

2

VËy vận tốc ban đầu ô tô 60 km/h

Bài tập:

1 Một ô tô khởi hµnh tõ A víi vËn tèc 50 km/h Qua 15 phút ô tô thứ hai khởi hành từ A hớng với ô tô thứ víi vËn tèc 40 km/h Hái sau mÊy giê th× ô tô gặp nhau, điểm gặp cách A km?

2 Một ca nô xuôi dòng 50 km ngợc dòng 30 km Biết thời gian xuôi dòng lâu thời gian ngợc dòng 30 phút vận tốc xuôi dòng lớn vận tốc ngợc dòng km/h

Tính vận tốc lúc xuôi dòng?

4 Một thuyền dòng sông dài 50 km Tổng thời gian xuôi dòng ngợc dòng giê 10 TÝnh vËn tèc thùc cđa thun biÕt r»ng mét chiÕc bÌ th¶ nỉi ph¶i mÊt 10 giê xuôi hết dòng sông

5 Mt ngi i xe đạp từ A đến B cách 108 km Cùng lúc tơ khởi hành từ B đến A với vận tốc vận tốc xe đạp 18 km/h Sau hai xe gặp xe đạp phải tới B Tính vận tốc xe?

6 Một ca nơ xi dịng từ A đến B cách 100 km Cùng lúc bè nứa trơi tự từ A đến B Ca nơ đến B quay lại A ngay, thời gian xi dịng ngợc dịng hết 15 Trên đờng ca nơ ngợc A gặp bè nứa điểm cách A 50 km Tìm vận tốc riêng ca nơ v tc ca dũng nc?

Đáp án: 1.

3 (giê)

8

2 20 km/h

3 Vận tèc cđa « t« thø nhÊt 60 km/h Vận tốc ô tô thứ hai 50 km/h 25 km/h

5

6 VËn tèc ca nô 15 km/h Vận tốc dòng nớc km/h

Dạng 3: Toán làm chung công việc

Những kiến thức cần nhớ:

- Nếu đội làm xong công việc x ngày đội làm đợc

1

x công việc.

- Xem toàn công việc lµ

VÝ dơ 1:

Hai ngời thợ làm cơng việc 16 xong Nếu ngời thứ làm giờ, ngời thứ hai làm hồn thành đợc 25% cơng việc Hỏi làm riêng ngời hồn thành cơng việc bao lâu?

Gi¶i:

Ta cã 25%=

1 4.

Gọi thời gian ngời thứ hồn thành cơng việc x(x > 0; giờ) Gọi thời gian ngời thứ hai hồn thành cơng việc y(y > 0; giờ) Trong ngời thứ làm đợc

1

x c«ng viƯc

Trong ngời thứ hai làm đợc

1

y c«ng viƯc.

Hai ngời làm xong 16 Vậy hai ngời làm đợc

1

16công việc.

Ta có phơng trình:

1 1

(1) xy 16

Ngêi thø nhÊt lµm giê, ngêi thø hai lµm 25%=

1

4 công việc Ta có

ph-ơng trình

Từ (1) (2) ta có hệ phơng trình

1 1 3 1

x y 16 x y 16 x y 16

3 6

x y x y y 16

  

     

  

  

 

  

       

  

  

x 24

(thoả mÃn điều kiện) y 48

   



 .

Vy làm riêng ngời thứ hoàn thành công việc 24 Ngời thứ hai hoàn thành công việc 48

Ví dô 2:

Hai thợ đào mơng sau 2giờ 55 phút xong việc Nếu họ làm riêng đội hồn thành cơng việc nhanh đội Hỏi làm riêng đội phải làm xong cơng việc?

Gi¶i :

Gọi thời gian đội làm xong cơng việc x (x > 0; giờ) Gọi thời gian đội làm xong cơng việc x + (giờ) Mỗi đội làm đợc

1

c«ng viƯc x

Mỗi đội làm đợc

1

c«ng viƯc x 2

Vì hai đội sau 55 phút =

11 35

1212(giê) xong

Trong hai đội làm đợc

12

35 công việc

Theo ta có phơng trình

2

1 12

35x 70 35 12x 24x xx 2 35     

2

12x 46x 70 6x 23x 35

       

Ta cã

2

1

( 23) 4.6.( 35) 529 840 1369 1369 37

23 37 23 37

VËy ph ơng trình có hai nghiệm x 5(thoa mÃn); x 2(lo¹i)

12 12

            

 

   

Vậy đội thứ hồn thành cơng việc Đội hai hồn thành cơng việc

Chó ý:

+ Nếu có hai đối tợng làm công việc biết thời gian đại lợng hơn, đại lợng ta nên chọn ẩn đa phơng trình bậc hai

+ Nếu thời gian hai đại lợng không phụ thuộc vào ta nên chọn hai ẩn làm thời gian hai đội đa dạng hệ phơng trình để giải

VÝ dơ 3:

Hai ngời thợ sơn cửa cho nhà ngµy xong viƯc NÕu ngêi thø nhÊt lµm ngµy råi nghØ ngêi thø hai lµm tiÕp ngày xong việc Hỏi ngời làm xong công việc?

Giải:

Trong ngày ngời thứ làm đợc

1

x c«ng viƯc

Trong ngày ngời thứ hai làm đợc

1

y c«ng viƯc

Cả hai ngời làm xong ngày nên ngày hai ngời làm đợc

1

2 cơng việc Từ ta

cã pt

1 x +

1 y =

1 2 (1)

Ngêi thø nhÊt lµm ngµy råi ngêi thø hai lµm ngày xong công việc ta có pt:

4 1 xy  (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã hƯ pt

1 1 1

x y x y x

(thoả mÃn đk)

4 y

1

x y x

 

   

   

 

 

  

 

    

 



Vậy ngời thứ làm xong công việc ngày Ngời thứ hai làm xong công việc ngày

Bài tâp:

1 Hai ngời thợ làm công việc xong 18 Nếu ngời thứ làm giờ, ngời thứ hai làm đợc 1/3 cơng việc Hỏi ngời làm xong cơng việc?

2 Để hồn thành cơng việc hai tổ phải làm Sau làm chung tổ hai đợc điều làm việc khác Tổ hồn thành cơng việc cịn lại 10 Hỏi tổ làm riêng thhì xong cơng việc đó?

3 Hai đội cơng nhân đào mơng Nếu họ làm ngày xong cơng việc Nếu làm riêng đội haihồn thành cơng việc nhanh đội ngày Hỏi làm riêng đội phải làm ngày để xong công việc?

4 Hai bình rỗng giống có dung tích 375 lít ậ binmhf có vòi nớc chảy vào dung lợng nớc chảy nh Ngời ta mở cho hai vòi chảy vào bình nhng sau khoá vòi thứ hai lại sau 45 phút tiếp tục mở lại Để hai bình đầy lúc ngời ta phải tăng dung lợng vòi thứ hai thêm 25 lÝt/giê

Tính xem vịi thứ chảy đợc lít nớc

KÕt qu¶:

1) Ngời thứ làm 54 Ngời thứ hai làm 27 2) Tổ thứ làm 10 Tổ thứ hai làm 15 3) Đội thứ làm ngày Đội thứ hai làm ngày 4) Mỗi vịi thứ chảy đợc 75 lít

D¹ng 4: Toán có nội dung hình học:

Kiến thức cần nhớ:

- Diện tích hình chữ nhật S = x.y ( xlµ chiỊu réng; y lµ chiỊu dµi) - DiƯn tÝch tam gi¸c

1 S x.y

2



( x chiều cao, y cạnh đáy tương ứng)

- Số đường chéo đa giác

n(n 3)



(n số đỉnh)

Ví dụ 1: Tính kích thước hình chữ nhật có diện tích 40 cm2 , biết tăng

kích thước thêm cm diện tích tăng thêm 48 cm2.

Giải:

Gọi kích thước hình chữ nhật x y (cm; x, y > 0)

Diện tích hình chữ nhật lúc đầu x.y (cm2) Theo ta có pt x.y = 40 (1)

Khi tăng chiều thêm cm diện tích hình chữ nhật Theo ta có pt (x + 3)(y + 3) – xy = 48  3x + 3y + = 48 x + y = 13(2)

Từ (1) (2) suy x y nghiệm pt X2 – 13 X + 40 = 0

Ta có   ( 13)2 4.40  9  3

Phương trình có hai nghiệm

13 13

X 8; X

2

 

   

Vậy kích thước hình chữ nhật (cm) (cm)

Ví dụ 2: Cạnh huyền tam giác vuông m Hai cạnh góc vng 1m Tính cạnh góc vng tam giác?

Giải:

Gọi cạnh góc vng thứ x (m) (5 > x > 0) Cạnh góc vng thứ hai x + (m)

Vì cạnh huyền 5m nên theo định lý pi – ta – go ta có phương trình

x2 + (x + 1)2 = 52 2

2x 2x 24 x x 12

      

2

1

1 4.( 12) 49

Ph ơng trình co hai nghiệm phan biệt

1 7

x (tho¶ m·n); x 4(lo¹i)

2

       

   

   

Vậy kích thước cạnh góc vng tam giác vng m m

Bài tâp :

Bài 1: Một hình chữ nhật có đường chéo 13 m, chiều dài chiều rộng m Tính diện tích hình chữ nhật đó?

Bài 2: Một ruộng hình chữ nhật có chu vi 250 m Tính diện tích ruộng biết chiều dài giảm lần chiều rộng tăng lần chu vi ruộng không thay đổi

Bài 3: Một đa giác lồi có tất 35 đường chéo Hỏi đa giác có đỉnh? Bài 4: Một sân hình tam giác có diện tích 180 m2 Tính cạnh đáy sân biết

nếu tăng cạnh đáy m giảm chiều cao tương ứng m diện tích khơng đổi?

Bài 5: Một miếng đất hình thang cân có chiều cao 35 m hai đáy 30 m 50 m người ta làm hai đoạn đường có chiều rộng Các tim đừng đường trung bình hình thang đoạn thẳng nối hai trung điểm hai đáy Tính chiều rộng đoạn đường biết diện tích phần làm đường

1

Đáp số:

Bài 1: Diện tích hình chữ nhật 60 m2

Bài 2: Diện tích hình chữ nhật 3750 m2

Bài 3: Đa giác có 10 đỉnh

Bài 4: Cạnh đày tam giác 36 m Bài 5: Chiều rộng đoạn đường m

Dng 5: Toán dân số, lÃi suất, tăng trởng

Những kiến thức cần nhớ :

+ x% =

x 100

+ Dân số tỉnh A năm ngoái a, tỷ lệ gia tăng dân số x% dân số năm tỉnh A

x a a



100

x x x

Sè d©n năm sau (a+a ) (a+a )

100 100 100

Ví dụ 1: Bài 42 – SGK tr 58

Gọi lãi suất cho vay x (%),đk: x > Tiền lãi suất sau năm

x

2000000 20000

100  (đồng)

Sau năm vốn lẫn lãi 200000 + 20000 x (đồng) Riêng tiền lãi năm thứ hai

x

x x x2

(2000000 20000 ) 20000 200 (đồng) 100

  

Số tiến sau hai năm Bác Thời phải trả 2000000 +20000x + 20000x + 200x2 (đồng)

200x2 + 40000x +2000000 (đồng)

Theo ta có phương trình 200x2 + 40 000x + 2000000 = 2420000

 x2 + 200x – 2100 =

Giải phương trình ta x1 = 10 (thoả mãn); x2 = -210 (không thoả mãn)

Vậy lãi suất cho vay 10 % năm

Ví dụ 2: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kỹ thuật nên tổ I sản xuất vượt mức kế hoạch 18% tổ II vượt mức 21% Vì thời gian quy định họ hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ

Giải

Gọi x số sản phẩm tổ I hoàn thành theo kế hoạch (sản phẩm), đk < x < 600 Số sản phẩm tổ II hoàn thành theo kế hoạch 600 – x (sản phẩm)

Số sản phẩm vượt mức tổ I x

18

100 (sản phẩm)

Số sản phẩm vượt mức tổ II x

21 (600 )

100



Vì số sản phẩm vượt mức kế hoạch hai tổ 120 sản phẩm ta có pt

x x

18 21(600 ) 120

100 100



 

 x = 20 (thoả mãn yêu cầu toán) Vậy số sản phẩm theo kế hoạch tổ I 200 (sản phẩm)

Vậy số sản phẩm theo kế hoạch tổ II 400 (sản phẩm)

Bài tập:

Bài 1: Dân số thành phố Hà Nội sau năm tăng từ 200000 lên 2048288 người Tính xem hàng năm trung bình dân số tăng phần trăm

Bài 2: Bác An vay 10 000 000 đồng ngân hàng để làm kinh tế Trong năm đầu bác chưa trả nên số tiền lãi năm đầu chuyển thành vốn để tính lãi năm sau Sau năm bác An phải trả 11 881 000 đồng Hỏi lãi suất cho vay phần trăm năm?

Bài 3: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 1000 sản phẩm thời gian dự định Do áp dụng kỹ thuật nên tổ I vượt mức kế hoạch 15% tổ hai vượt mức 17% Vì thời gian quy định hai tổ sản xuất tất 1162 sản phẩm Hỏi số sản phẩm tổ bao nhiêu?

Kết quả:

Bài 1: Trung bình dân số tăng 1,2%

Bài 2: Lãi suất cho vay 9% năm

Bài 3: Tổ I giao 400 sản phẩm Tổ II giao 600 sản phẩm

Dạng 6: Các dạng toán khác

Những kiến thức cần nhớ : -

m

V (V lµ thĨ tich dung dich; m khối l ợng; D khối l ợng riªng) D



- Khối lượng nồng độ dung dịch =

Khèi l ỵng chÊt tan Khèi l ợng dung môi (m tổng) Vớ d : (Bi trang 59 SGK)

Gọi trọng lượng nước dung dịch trước đổ thêm nước x (g) đk x > Nồng độ muối dung dịch

40 40% x

Nếu đổ thêm 200g nước vào dung dịch trọng lượng dung dịch là:

40 240% x

Vì nồng độ giảm 10% nên ta có phương trình

2

40 40 10

280 70400 40 240 100 x x

x  x     

Giải pt ta x1 = -440 ( loại); x2 = 160 (thoả mãn đk tốn)

Ví dụ 2: Người ta trộn 8g chất lỏng với 6g chất lỏng khác có khối lượng riêng nhỏ 0,2g/cm3 để hỗn hợp có khối lượng riêng 0,7g/cm3 Tìm khối lượng riêng

mỗi chất lỏng

Giải

Gọi khối lượng riêng chất lỏng thứ x (g/cm3) Đk x > 0,2

Khối lượng riêng chất lỏng thứ x – 0,2 (g/cm3).

Thể tích chất lỏng thứ

3

8 (cm ) x

Thể tích chất lỏng thứ hai

3

6

0 2(cm ) x ,

Thể tích hỗn hợp

3

8

0 2(cm ) xx ,

Theo ta có pt

2

8 14

14 12 12 0 x , x ,

xx ,  ,     Giải pt ta kết

x1 = 0,1 (loại) ; x2 = 0,8 (t/m đk)

Vậy khối lượng riêng chất lỏng thứ 0,8 (g/cm3)

Khối lượng riêng chất lỏng thứ hai 0,6 (g/cm3).

Bài tập:

Bài 1: Một phịng họp có 240 ghế xếp thành dãy có số ghế Nếu dãy bớt ghế phải xếp thêm 20 dãy hết số ghế Hỏi phòng họp lúc đầu xếp thành dãy ghế

Bài 2: Hai giá sách có 400 Nếu chuyển từ giá thứ sang giá thứ hai 30 số sách giá thứ

3

5 số sách ngăn thứ hai Tính số sách ban đầu ngăn? Bài 3: Người ta trồng 35 dừa đất hình chữ nhật có chiều dài 30 m chiều rộng 20 m thành hàng song song cách theo hai chiều Hàng trồng biên đất Hãy tính khoảng cách hai hàng liên tiếp?

Bài 4: Hai người nông dân mang 100 trứng chợ bán Số trứng hai người không số tiền thu hai người lại Một người nói với người kia: “ Nếu số trứng số trứng anh tơi bán 15 đồng ” Người nói “ Nếu số trứng tơi số trứmg anh bán

2

3 đồng thơi” Hỏi người có bao

nhiêu trứng?

Kết quả:

Bài 1: Có 60 dãy ghế

Bài 2: Giá thứ có 180 Giá thứ hai có 220 Bài 3: Khoảng cách hai hàng 5m