Hái nÕu lµm riªng th× mçi ®éi ph¶i lµm trong bao nhiªu ngµy ®Ó xong c«ng viÖc?. Hai chiÕc b×nh rçng gièng nhau cã cïng dung tÝch lµ 375 lÝt4[r]
(1)CÁC DẠNG ÔN THI VÀO THPT Ph ¬ng ph¸p:
- Phân tích đa thức tử mẫu thành nhân tử; - Tìm ĐKXĐ (Nếu tốn cha cho ĐKXĐ) - Rút gọn phân thức(nếu đợc)
- Thực phép biến đổi đồng nh:
+ Quy đồng(đối với phép cộng trừ) ; nhân ,chia
+ Bỏ ngoặc: cách nhân đơn ; đa thức dùng đẳng thức + Thu gọn: cộng, trừ hạng tử đồng dạng
+ Phân tích thành nhân tử rút gọn
Chú ý: - Trong toán rút gọn thờng có câu thuộc loại tốn: Tính giá trị biểu thức; giải ph-ơng trình; bất phph-ơng trình; tìm giá trị biến để biểu thức có giá trị nguyên; tìm giá trị nhỏ ,lớn Do ta phải áp dụng phơng pháp giải tơng ứng, thích hp cho tng loi bi
*Tính giá trị A x=? * Tìm giá trị xz
* Tìm giá trị nhỏ nhất, giá tri lớn A * Tìm giá trị x để A.f(x) =g(x)
* Tìm giá trị x để A=k; Ak;Ak * Tìm x để A A
*Tìm x để A A
D¹ng 1
Bµi 1 Cho biĨu thøc
x
A ( ) :
x x x x
a) Tìm điều kiện xác định, Rút gọn A b)Tính giá trị A x=3-2 Bài giải:
a) §KX§ x > 0; x1
Rót gän
x x
A ( ) : ( ) :
x x x x x x( x 1) x
2
( x ) x (x 2)( x 1) x
A
1
x ( x 1) x ( x 1) x
2
5 2
3 2 2
A
1
( 1)
b Khi x= 3-2 2
=
2
( 1)
Bµi 2: Cho biÓu thøc
1
A :
x x x
(2)b) Víi gi¸ trị xthì A >
1
c) Tìm x để A đạt giá trị lớn Bài giải:
a) §KX§ x0;x 9
x x
1
A :
x x x x x
x 3
=
6
x 3 x 3
x 3
A =
2
x 3
b) A >
1 2 x
0
3 x 3 x 3 x
3 x
( v× 3(( x 3) 0) x 9 x 9 KÕt hợp với ĐKXĐ: x A > 1/3
c)
2 A
x
đạt giá trị lớn x 3 đạt giá trị nhỏ nhất.
Mà x 3 x 3 min 3 x 0 x 0 lúc A
Max=
2
x
3
Bµi 3: Cho biĨu thøc
3 1
P :
x x x
a) Nêu điều kiện xác định rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để P =
5
c) Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc: M
x 12
P x
Bài giải:
a) §KX§ x0;x 1
P =
3 x x
x
x x ( x 1) x
=
x x x 2
x
x x
(3)b)
5 x
P x x x x
4 x
x 13 x 168
(TM§K)
c)
x 12 x 12 x x 12 x 16
M
P
x x x x x
=
16 16
x x
x x
ta cã
16
x 2 16 2.4
x
min
16
M 4 M x
x
2
x 16 x x
x x x x 4(TMDK)
VËy Mmin= 4 x 4
Bµi 4: Cho biĨu thøc:
2 x x 3x x
D :
x
x x x
a) Tìm ĐKXĐ ,rút gọn biểu thức b) Tìm x để D <
-1
c) Tìm giá trị nhỏ D
Dạng 2
Bài 1 :Cho biÓu thøc:
a a a a
P :
a a
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P
b) Tìm az để P nhận giá trị nguyên Bài giải:
a) §KX§: a0;a 1
a a a a a 1
P 1 a : a
a a a
b)
a
P
a a
để P nhận giá trị nguyên
2
a nhận giá trị nguyên dơng a thuéc
(4)a 1 a a a
a=1 (Loại không thoả mÃi điều kiện) Vậy P nhận giá trị nguyên a =
Bµi 2: Cho biĨu thøc
1
B
2 x x
a) Tìm x để B có nghĩa rút gọn B
b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên Bài giải:
a) §KX§ x3;x2 B =
x x
1
2 x x x
2 x x
b) B nhận giá trị nguyên
1
x nhận giá trị nguyên.
x
¦(1)
x x
x x
tho¶ m·n ®iỊu kiƯn
VËy x= -1; x= -3 th× B nhận giá trị nguyên
Bài 3: Cho biểu thức:
2 2 x 1
x x 2x x
P
x x x x
a) Tìm ĐKXĐ , rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ P
c) Tìm x để biểu thức
2 x Q
P
nhËn gi¸ trị nguyên Dạng 3
Bài 1: Cho biểu thức:
1 x
P :
x x x 1 x
a) Tìm ĐKXĐ rút gọn P b) Tìm x để P >
Bài giải
a) ĐKXĐ x>0; x1
2
1 x
1 x 1 x x
P :
1 x x x
x x 1 x x x
b) P >
1 x
0 x
x
(5)Bµi 2: Cho biĨu thøc:
1 a a
P :
a a a a
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọp P b) Tìm giá trị a để P >
Bµi 3: Cho biÓu thøc:
1 x2
x x
P
2 x x x
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P b) Tìm x để P <
1
Bµi 4: Cho biÓu thøc:
x x
P
x
x x
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P b) Tìm x để P <
1
Bµi 5: Cho biÓu thøc:
1 a a a a
B a a
1 a a
a)Tìm ĐKXĐ, rút gọn B b)Tìm a để B < 7-
Bµi 6: Cho biĨu thøc:
a 1
K :
a
a a a a
a) Rót gän biĨu thøc K
b) Tìm giá trị K a = 3+2 c) Tìm giá trị a cho K <
Dạng 4
Bài 1 : Cho biểu thøc:
x 1
A :
x x x x
a) Tìm ĐKXĐ rút gọn A
b) Tìm tất giá trị x cho A <
c) Tìm tất giá trị tham số m để phơng trình A x m x cú nghim
Bài giải
(6)
2
x 1 x 1
A : :
x x x x x x x x
x x x 1
1 x
x x
b) A <
x
0 x x
(v× x 0 ) x kết hợp với ĐKXĐ <x < th×
A <
c) P.t: A
x
x m x x m x x m x(1)
x
x m x x x m 0(*)
Đặt x t >0 ta có phơng trình
t t m 1 0 *
để phơng trình (1) có nghiệm phơng trình (*) phải có nghiệm dơng
Để phơng trình (*) có nghiệm dơng thì:
1 m
m
4m m
m
4
m m 1
VËy m>-1 m 1 pt A
x m x cã nghiƯm.
Bµi 2: Cho biĨu thøc:
1
P
x x x
a) Tìm ĐKXĐ rút gọn P b) Tìm giá trị P x = 25 c) Tìm x để P
2
5 6. x 1 x 2005
Bài giải:
a) ĐKXĐ x > 0; x 1
1 x
P
x x x x x x
P x
b) Khi x= 25
(7)c)
2
2
2
P x
1
x 2005 x x 2005
x
2 x 2005
x 2005 TM§K
VËy x = 2005 th× P
5 6 x 1 x 2005
Dạng 5
Bài 1:Cho biểu thøc
1 1
A
x x x
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn A b)Tính giá trị A x=
1 4.
c)Tìm giá trị x để A A. Bài giải:
a) §KX§ x > 0; x 1
1 1 x x x
A
x x x x x x
=
2 x x 2
A
x
x x x
(8)b) Khi x =
1 2
A
1
4 1
1 2
4
c)
2
A 0 A 1
x
2
0 x x 1
x
2 x
1 0
x x x
x
x x
VËy x > A A
Bài 2: Cho biểu thức:
x x
A
x x x
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A c) Với giá trị x A A Bài giải:
a) ĐKXĐ x > 0; x
2
x x x
x x x
A
x x x x x x x x
b) Khi x=36
36 A
6 36
c)
x
A A A 0 x
x
(v× x 0 )
x x
Kết hợp với điều kiện xác định < x <1 A A
Chuyên đề tam thức bậc hai A.lý thuyết
I áp dụng công thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn để xét số nghiêm phng trỡnh bc hai.
Cho phơng trình bậc hai: ax2+bx+c=0(a0)
2 b 4ac
.NÕu b =2b' '= b' 2- ac Phơng tr×nh cã nghiƯm
(9)- Nếu a = 0,phơng trình có nghiệm x=
c b
+Trêng hỵp :
a 0
hc
'
a 0
2.Phơng trình có nghiệm ph©n biƯt
a 0
hc
'
a 0
3.Ph¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp
a 0
hc
'
a 0
Phơng trình vô nghiệm
a 0
hc
' a 0 VÝ dơ1:
Cho phơng trình 2x2-(4m+3)x+2m2-1=0.Với m tham số,tìm giỏ tr m phng trỡnh
a.Phơng trình có nghiệm
b.Phơng trình có2nghiệm phân biệt c.Phơng trình có nghiệm kép
d Phơng trình vô nghiệm Giải:
=(4m+3)2-4.2(2m2-1)=24m+17. a.Phơng trình có nghiệm
a 0
24m 17
m
17 24
b.Phơng trình có nghiệm phân biệt
a 0
24m 17
17 m 24
c.Phơng trình có nghiệm kép
a 0
24m 17
17 m 24
(10) a 0
24m 17
17 m 24
VÝ du :
Cho phơng trình mx2-2(m-1)x+(m-4)=0 Với m tham số,tìm giỏ tr m ph-ng trỡnh
a.Phơng trình có nghiệm
b.Phơng trình có nghiệm phân biệt c.Phơng trình có nghiệm kép
d Phơng trình vô nghiệm
Giải:
Ta có :a0 m0,'= b'2-ac= (m 1)
-m(m-4)=m2-2m+1-m2+4m=2m+1 a.Phơng trình có nghiệm
+Trờng hợp 1:
- Nếu a=0 m=0 ,phơng trình có nghiÖm x=
c b
m
2(m 1)
=2. +Trêng hỵp :
a 0 0 m 0 2m 0
m m
b.Phơng trình có nghiƯm ph©n biƯt
a 0 0
m m o
2m 1
m c.Ph¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp
a 0 0 m 2m
m m
d Phơng trình vô nghiệm
a 0 0
m m
2m 1
m
II HƯ thøc vi- Ðt vµ øng dơng.
HƯ thøc vi- Ðt
Nếu x1,x2là hai nghiệm phơng trình ax2+bx+c=0(a0) x1+ x2= b a
vµ x1.x2=
(11)Ví dụ Tính nhấm nghiêm phơng trình x2-7x+12=0
Giải.
Ta cú b2 4ac=(-7)2-4.12=49-48=1>0 Theo định lý Vi-ét x1+ x2=
b a
=7, x1.x2= c
a =12 x1=3; x2=4 2.áp dụng để tính nhấm nghiệm
Cho phơng trình ax2+bx+c=0(a0)
-Nếu a+b+c=0 x1=1và x2= c a Ví dụ :
Giải phơng trình 3x2-7x+4=0 Giải Ta có a+b+c=3+(-7)+4=0
x1=1và x2= c a =
4
-Nếu a-b+c=0 x1=-1và x2= c a
VÝ dô :
Giải phơng trình 7x2-5x-12=0
Giải.
Ta có a-b+c=7-(-5)+(-12)=0 x1=-1vµ x2=
c a
=
12
3.áp dụng để xác định dấu nghiệm Cho phơng trình ax2+bx+c=0(a0)
có nghiệm: trái dấu, dấu, dương, âm ….
Ta l p b ng xét d u sau:ậ ả ấ
Dấu nghiệm x1 x2 S x1x2 P x x Điều kiện chung
trái dấu P < ; P <
cùng dấu, P > ; P >
cùng dương, + + S > P > ; P > ; S >
cùng âm S < 0 P > 0 0 ; P > ; S < 0.
VÝ dô :
Cho phơng trình x2+(2m+2)x+m2-4=0 Có hai nghiệm trái dấu
Cã hai nghiƯm cïng dÊu Cã hai nghiƯm d¬ng Có hai nghiệm âm Giải :
= b2- 4ac = (2m+2)2- 4(m2-4) = 4m2+ 8m + - 4m2-16 = 8m -12
* Cã hai nghiƯm tr¸i dÊu
x1.x2=
c
a = m2
(12)-Trờng hợp m <-1 < m *Cã hai nghiÖm cïng dÊu
'
1
0 ( 0)
x x
2
8m 12 c
x x m
a m
m 2;m
m>2
*Cã hai nghiÖm d¬ng
'
1 2
0( 0)
x x 0;x x
2
1 2
8m 12
b c
x x (2m 2) 0;x x m
a a m
m 1;m 2;m
m>2
*Cã hai nghiƯm ©m
' 1212 0(0) xx0;x.x0
2
8m 12
b c
x x (2m 2) 0;x x m
a a m
m 1;m 2;m
m>2
4.áp dụng để xác định hai số biết tổng S P chủng
-NÕu hai sè x1,x2 cho x1+x2=S, x1.x2=P x1,x2là nghiệm phơng trình x2-Sx+P=0
VÝ dơ:
T×m hai sè, biÕt tỉng cđa chđng lµ 15 vµ tÝch cđa chđng lµ 54
Giải :
Nếu hai số phải tìm x1,x2 cho x1+x2=S =15, x1.x2=P=54 x1,x2là nghiệm phơng trình
x2-15x+54=0
=(-15)2-4.54=225-216=9; =3
x1=
15
; x2=
15
Vậy hai số cần tìm b.Bài tËp
Bµi tËp 1.
Cho phơng trình (m-4)x2-2mx+m-2=0,trong m tham số a.Giải phơng trình m=3
b.Tìm m để phơng trình có nghiệm x= c.Tỡm m
-phơng trình có nghiệm kép
-phơng trình có hai nghiệm phân biệt
(13)a.víi m=3 ta cã -x2-6x+1=0 '
=(-3)2+1=10; ' = 10
-phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt
x1=-3- 10; x2=-3+ 10
b Phơng trình có nghiệm x= 2,thay vào phơng trình ta có (m-4)2-2 2m+m-2=0 m=10(3+2 2)
c.-Phơng tr×nh cã nghiƯm kÐp
' a
0
m
' m (m 4)(m 2)
m 4 m
3
Ta cã x1= x2= '
b a
=
4
m 3
4
m 4
3
-Ph¬ng trình có hai nghiệm phân biệt
'
a 0
m 4 m
3
Công thức tính nghiệm phơng trình x1=
4
m m
3 m
; x2=
4
m m
3 m
Bài tập 2.
Giải biện luận phơng trình a.2x2 - (2-k)x=k(k-2)
b.(2k-1)2x2-4kx+1=0
Gi¶i :
a.Phơng trình cho viết 2x2-(2-k)x-k(k-2)=0
=(2-k)2+8k(k+2)=4-4k+k2+8k2+16k=9k2+12k+4=(3k+2)2 0với k. Vậy phơng trình cho ln có nghiệm với k
b.- NÕu 2k-1=0 hay k=
1
2 th× -4kx+1=-2x+1=0,ta cã nghiƯm x= .
- NÕu 2k-10 hay k
1
2 ta tìm đợc '
=(-2k)2-(2k-1)2=4k2-4k2 +4k-1=4k-10
Tức k
1
4,phơng trình cã nghiƯm.
VËy víi k >
1
4 vµ k
1
(14)x1=
2
2k 4k
(2k 1)
;x2=
2k 4k
(2k 1)
Víi k =
1
4 ph¬ng tr×nh cã mét nghiƯm kÐp x1= x2 =-'
b
a =
2
2
1
2k 2
2
(2k 1) ( 1)
2
Víi k <
1
4 phơng trình vô nghiệm
Bài tập 3.
Cho phơng trình x+7x-5=0.Không giải phơng trình h·y tÝnh a.Tỉng vµ tÝch cđa hai nghiƯm
b.Tổng nghịch đảo hai nghiệm c.Tổng bình phơng hai nghiệm d.Bình phơng hiệu hai nghiệm e.Tổng lập phơng hai nghiệm
Gi¶i :
Ta thấy phơng trình cho ln có nghiệm hệ số avà c khác dấu a.Tổng hai nghiệm S=x1+x2=-7 tích hai nghiệm P= x1.x2=-5.
b Tổng nghịch đảo hai nghiệm
2
1 2
1 x x 7
x x x x 5
c.Tổng bình phơng hai nghiÖm
2 2
1 2
x x (x x ) 2x x ( 7) 2( 5) 49 10 59
d.Bình phơng hiệu hai nghiƯm lµ
2 2
1 2
(x x ) x x 2x x
59+10=69
e.Tỉng c¸c lập phơng hai nghiệm
3 3
1 2 2
x x (x x ) 3x x (x x ) ( 7) 3( 5)( 7) 343 105 448
Bài tập 4.
Cho phơng tr×nh 2x2+(2p-1)x+p-1=0
a.Tìm p để phơng trình có hai nghiệm phân biệt b.Tìm p để hai nghiệm u dng
c.Tìm hệ thức không phụ thuộc vào p
Giải :
a.Phơng trình có nghiƯm ph©n biƯt =(2p-1)2- 4.2(p-1)=(2p-3)2> p
3
b.Phơng trình có hai nghiệm dơng ta giải hệ phơng trình
1 2
b 2p
x x 0 p
a 2
c p p
x x 0
a
(15)c Do S=
1 2p
x x
2
vµ P=x x1 2=
p
nªn ta cã :S+2P=
1 2p
+
2p
2
Vậy hệ thức hai nghiệm không phụ thuéc vµo p lµ 2
1
x x 2x x
2
Bài tập 5.
Cho phơng trình x2- mx + m-1=0 víi m lµ tham sè a.Chøng minh phơng trình có nghiệm với m b.Gọi x1,x2là nghiệm Tìm giá trị nhỏ A=
2
1
x x .
Gi¶i
a.Ta cã
2 2
m 4(m 1) m 4m (m 2) m
,vậy phơng trình
lu«n cã nghiƯm víi mäi m b A=
2
1
x x = x12 x22+2x1x2-2x1x2=(x1+x2)2
- 2x1x2= m2-2(m-1)= m2 -2m+2=
m2-2m+1+1=(m-1)2+11 m A nhá nhÊt b»ng (m-1)2=0 m=1
Bài tập 6.
Cho phơng trình x2- 2x + m =0 víi m lµ tham sè
a.Tìm m cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2đều số dơng. b Tìm m cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2thỏa mãn :
1
2
x x 10
x x
Gi¶i:
a.Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm phân biệt dơng : ' 0
S 0,P
1 m m
2 0,m m 0 m 1
b.Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm phân biệt '=1-m > 0 m<1(1) Khi S=x1+x2=2 P= x1.x2= m nên :
1
2
x x 10
x x
2 2
1 2
1 2
x x 10 (x x ) 2x x 10
x x x x
2
S 2P 10 2m 10
P m
§iỊu kiƯn m0(2)
Ta cã 3(4-2m)=-10m 4m=-12 m=-3 tháa m·n (1),(2)
Bµi tËp
Cho phơng trình x2+ 2(m+1)x + m2=0 ,với m tham số a.Giải phơng trình m=2
b.Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
(16)Giải:
a.Khi m=2 thay vào phơng trình ,ta có x2+ 6x + 4=0
'=32-4=5, =
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1= -3+ 5, x2=-3- 5.
b.Phơng trình có hai nghiệm phân biÖt '=(m+1)2- m2=2m+1>0 m >
1
c.Phơng trình có hai nghiệm phân biệt có nghiệm (-2) - Phơng trình có hai nghiệm phân biệt '>0 m >
1
- Theo hÖ thøc Vi- Ðt ta cã
1
1 2 2
b
x x x x 2(m 1)
a
c x x m
x x a
(1)
- Theo giá thiết , phơng trình có nghiệm (-2) , giả sử x1=-2 Từ hệ phơng trình (1) ta cã
2 2
x 2(m 1)
m x
2
(2)
-Tõ hÖ phơng trình (2), rút gọn hai vế ta có m2+4m=0 m(m+4)=0 m
m
Với m=-4 (loại),m=0 (thỏa mÃn) điều kiện m >
1
Vậy m=0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt có nghiệm (-2)
Bµi tËp 8.
Cho phơng trình (m+1)x2+ 5x + m2-1=0 ,với m tham số a.Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
b.Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu hai nghiệm có nghiệm bng
Giải:
a.Phơng trình có hai nghiệm tr¸i dÊu
2
a m m m
c m 1 m m
x x 0
a m 1
(17)-¸p dơng hÖ thøc Vi-Ðt ta cã 2 b x x a c x x a 2 x x m m x x m (I)
Thay giá trị x1=4 vào (I) ta có m2+16m+35=0 m1=-8+ 29;m2=-8- 29 Các giá trị m1, m2đều thỏa mãn điều kiện m<1 m-1
Vậy m=-8+ 29;m=-8- 29 phơng trình có hai nghiệm trái dấu hai nghiệm có nghiệm
Bài tập 9.
Cho phơng trình (m+1)x2- 2(m-10x + m-3 =0 ,víi m lµ tham sè
a.Chøng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt với giá trị m khác (-1)
b.Tỡm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm dấu
c Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm dấu hai nghiệm có nghiệm gấp đơi nghiệm
Gi¶i :
a.Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
'
a m m
4
0 (m 1) (m 1)(m 3)
Vậy phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m -1 b.-Theo câu a ,ta có >0 với giá tr m-1
-Phơng trình có hai nghiệm dÊu
c
x x
a m m
m
m m m
m
m m m m m
VËy ph¬ng trình có hai nghiệm dấu m>3 m<-1
c.Theo câu a ,b phơng trình có hai nghiệm cïng dÊu >0 vµ
c
x x
a
ta cã m>3 m<-1
Mặt khác theo hệ thức Vi-ét ta cã :
1 2 b x x a c x x a 2 2(m 1) x x m m x x m (I)
(18)1
2(m 1) 3x
m m 2x
m
2
2(m 1) m
3(m 1) 2(m 1)
Rút ta đợc : m2- 2m- 35 = m1=-5 ;m2=7 Với giá trị m1 ;m2đều thỏa mãn điều kiện m >3 m <-1
Vậy phơng trình có hai nghiệm dấu nghiệm gấp đôi nghiệm m=-5 hoc m=7
Bài tập 10.
Cho phơng trình m(x2-4x+3)+2(x-1)=0 a.Giải phơng trình
m=-1 2.
b Chứng minh phơng trình ln có nghiệm với giá trị m c.Tìm m để phơng trình cho có hai nghiệm ngun
Gi¶i:
a.Víi
m=-1
2 Ta cã x2
-8x+7=0
Cã a+b+c = 1+(-8)+7 = x1=1;x2=
c
a =7.
b.Phơng trình cho trở thành : mx2-2(m-1)x+3m-2=0 (1) + Với m=0 ,(1) 2x-2=0 x=1
+ Víi m0 :
' 4m2 4m 3m2 2m m2 2m (m 1)2
0 m.
Vậy phơng trình có nghiệm với giá trị m c.Ta có m(x2-4x+3)+2(x-1)= (x-1)m(x 3) Xét phơng trình m(x-3)+2 =
Để phơng trình có hai nghiệm m0 mx-3m+2=0 x=
3m m
=3-2
m .
Để phơng trình có hai nghiệm nguyên 2m hay m=1;m=2
Bài tập 11.
Cho phơng trình x2- (m+2)x+2m = (1) a.Giải phơng trình m=-1
b.Tỡm m phơng trình có hai nghiệm x1,x2thỏa mãn (x1+x2)2- x1.x2 5.
Gi¶i:
a.Víi m=-1 Ta cã x2- x-2 = Cã a-b+c= 1-(-1)+(-2)=0 x1=-1,x2=2
b Ta cã: =(m+2)2-4.2m=m2+ 4m + 4- 8m = m2- 4m + = ( m- 2)2 m Vậy phơng trình có nghiÖm m
Ta cã (x1+x2)2- x1.x2=m2+2m+4 5 m2+2m+ 1+3 5 m2+2m+ 5-3
(m+1)2
- m+1 -1- m 2-1
(19)Cho phơng trình x2- px + p-1 =
a.Chứng minh phơng trình có nghiệm với giá trị p b.Tính theo p giá trị biểu thức M=x12+x2 2- 6x1.x2.
c.Tìm giá trị nhỏ cđa M
Gi¶i:
a.Ta cã
2
p 4p (p 2) p
.Chøng tá r»ng phơng trình có
nghiệm với giá trÞ cđa p
b.Ta cã M=x1 2+x2 2- 6x1.x2 =(x1+x2)2-2x1.x2- 6x1.x2=(x1+x2)2-8x1.x2 = p2- 8(p-1) = p2- 8p + = p2- 8p + 16 - = (p-4)2-
c.M=(p-4)2- 8-8,vậy M đạt giá trị nhỏ M=-8 (p-4)2=0 p-4=0 p=4
Bµi tËp 13.
Chøng minh r»ng nÕu c¸c hƯ sè cđa hai phơng trình bậc hai x2+p1x+q1=0 x2+p2x+ q2=0 ,liên hƯ víi bëi hƯ thøc p1p2=2(q1+q2) th× Ýt nhÊt hai phơng trình có nghịêm
Giải
Gọi phơng trình x2+p1x+q1=0 (1) x2+p2x+ q2=0 (2) Ta cã 1=p12-4 q1;2=
2
p -4 q2;
+2= p12
-4 q1+ 2
p -4 q2= p12 +
2
p - 4(q1+ q2). V× 2(q1+q2)= p1p2 4(q1+ q2) = 2p1p2.
Do 1+2= p12+ 2
p - 4(q1+ q2)= p12 +
2
p -2p1p2= p1 p22 0
Điều chứng tỏ hai biệt thức 1 2phải >0 Vậy hai phơng trình có nghiệm
Bài tập 14.
Chứng minh phơng trình ax2+ bx + c = cã nghiƯm nÕu mét hai ®iỊu kiƯn sau
a) a( a + 2b + 4c ) < b) 5a + 3b + 2c =
Gi¶i:
Ta cã b2 4ac
a) a( a + 2b + 4c ) = a2+2ab+4ac < 0 a2+b2+2ab < b2-4ac b2-4ac > ( a+b)2
0,phơng trình có nghiệm
b) 5a + 3b + 2c = 10a2+6ab+4ac=0 (3a+b)2+ a2= b2-4ac0 0,phơng trình có nghiệm
Bµi tËp 15.
Chøng minh r»ng nÕu hai phơng trình bậc hai x2+p1x+q1=0 x2+p2x+ q2 =0 cã nghiƯm chung th× : (q1- q2)2+(p1-p2)(q2p1-q1p2)=0.
Giai:
(20)
1
2
2
x p x q x p x q
có nghiệm
Đặt y=x2,ta có
1
2
y p x q
y p x q
-NÕu p1p2,gi¶i hệ phơng trình ta có x=
2
1
p p
p p
vµ y=
1 2
2
q p p q
p p
.Do y=x2 suy
1 2
2
q p p q
p p
=(
2
1
p p
p p
)2
,khai triển biến đổi ta có :(q1-q2)2+( q1-q2)( q2p1-q1 p2)=0.
-NÕu p1=p2ta cã hÖ
1
1
p x y q
p x y q
Hệ có nghiệm ,suy q1=q2.Do đẳng thức cần chứng minh có dạng = 0, hiến nhiên
Chuyên đề:
Giải toán cách lập phơng trình
A) tãm t¾t lý thut
Bớc 1: Lập phơng trình hệ ohơng trình: a) Chọn ẩn đặt điều kiện cho ẩn
b) Biểu diễn đại lợng cha biết thông qua ẩn địa lợng biết c) Lập phơng trình biểu thị mối quan hệ gia cỏc i lng
Bớc 2: Giải phơng tr×nh
Bớc 3: Đối chiếu nghiệm pt, hệ phơng trình (nếu có) với điều kiện ẩn số để trả lời
Chó ý: T tõng bµi tập cụ thể mà ta lập phơng trình bậc ẩn, hệ phơng trình hay phơng trình bËc hai
Khi đặt diều kiện cho ẩn ta phải dựa vào nội dung toán kiến thc thc t
B) Các dạng toán
(21)Nững kiến thức cần nhớ:
+ Biểu diƠn sè cã hai ch÷ sè : ab10ab ( víi 0<a9; 0 b 9;a, bN)
+ BiĨu diƠn sè cã ba ch÷ sè : abc100a 10b c ( víi 0<a9; 0b,c9;a, b, cN) + Tổng hai sè x; y là: x + y
+ Tổng bình phơng hai số x, y là: x2 + y2
+ Bình phơng tổng hai số x, y là: (x + y)2.
+ Tổng nghịch đảo hai số x, y là:
1 xy.
Ví dụ 1: Mộu số phân số lớn tử số đơn vị Nếu tăng tử mẫu thêm đơn vị đợc phân số
1
2 phân số
cho Tìm phân số đó? Giải:
Gọi tử số phân số x (đk: x3)
Mẫu số phân số x + Nếu tăng tử mẫu thêm đơn vị
Tư sè lµ x +
MÉu sè lµ x + + = x + Đợc phân số
1
2 ta có phơng trình
x 1 x
.
2(x 1) x
x 2( Tho¶ mÃn điều kiện toán)
Vy phõn số ban đầu cho
Ví dụ 2: Tổng chữ số số có hai chữ số Nếu thêm vào số 63 đơn vị số thu đợc viết hai chữ số nhng theo thứ tự ngợc lại Hãy tìm s ú?
Giải
Gọi chữ số hàng chơc lµ x ((0 < x9, xN)
Chữ số hàng đơn vị y (0<y9, yN)
Vì tổng chữ số ta có x + y = (1) Số xy10xy
Sè viÕt ngợc lại yx10yx
Vỡ thờm vo s ú 63 đơn vị đợc số viết theo thứ tự ngợc lại ta có
xy 63 yx 10x y 63 10y x 9x 9y 63(2)
Tõ (1) (2) ta có hệ phơng trình
x y x y 2x
9x 9y 63 x y x y
x
(thoả mÃn điều kiện) y
Vy s phải tìm 18
Ví dụ 3: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tổng bình phơng 85 Giải
Gọi số bé x (xN) Số tự nhiên kề sau x + 1.
(22)2 2
2
x x 2x 85 2x 2x 84 x x 42
b 4ac 4.1.( 42) 169 169 13
Phơng trình có hai nghiệm
1
2
1 13
x 6(thoả mÃn điều kiƯn)
1 13
x 7(lo¹i)
2
Vy hai số phải tìm vµ Bµi tËp:
Bài 1: Đem số nhân với trừ đợc 50 Hỏi số bao nhiêu? Bài 2: Tổng hai số 51 Tìm hai số biết
2
5 sè thø nhÊt th× b»ng
sè thø hai
Bài 3: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng chữ số Nếu đổi chỗ hai chữ số hàng đơn vị hàng chụccho số giảm 45 đơn vị
Bài 4: Tìm hai số đơn vị tích chúng 150
Bài 5: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết số lập phơng số tạo chữ số hàng vạn chữ số hàng nghìn số cho theo th t ú
Đáp số:
Bi 1: Số 19;
Bài 2: Hai số 15 36 Bài 3: Số 61
Bài 4: Hai số 10 15 -10 -15; Bài 5: Số 32
Dạng 2: Toán chuyển động Những kiến thức cần nhớ:
Nếu gọi quảng đờng S; Vận tốc v; thời gian t thì: S = v.t;
s s v ; t
t v
Gäi vËn tèc thùc ca nô v1 vận tốc dòng nớc v2 tì vận tốc ca nô
xuôi dòng nớc
v = v1 + v2 Vân tốc ca nô ngợc dòng v = v1 - v2
Ví dụ1: Xe máy thứ quảng đờng từ Hà Nội Thái Bình hết 20 phút Xe máy thứ hai hết 40 phút Mỗi xe máy thứ nhanh xe máy thứ hai km
Tính vận tốc xe máy quảng đờng từ Hà Nội đến Thái Bình? Giải:
Gäi vËn tốc x thứ x (km/h), đk: x>3; Vận tèc cđa xe tø hai lµ x - (km/h)
Trong giê 20 (=
10
3 giờ) xe máy thứ đợc 10
x(km)
Trong giê 40 (=
11
3 giờ) xe máy thứ đợc 11
(x 3)(km)
Đó quảng đờng tứ Hà nội đến Thái Bình nên ta có phơng trình
10 11
x (x 3) x 33
(23)VËy vËn tèc xe máy thứ 33 km/h Vận tốc xe máy thứ hai 30 km/h
Qung đờng từ Hà Nội đến Thái Bình 110 km
Ví dụ 2: Đoạn đờng AB dài 180 km Cùng lúc xe máy từ A ô tô từ B xe máy gặp ô tô C cách A 80 km Nếu xe máy khởi hành sau 54 phút chúng gặp D cách A 60 km Tính vận tốc ô tô xe máy ?
Gi¶i
Gọi vận tốc ô tô x (km/h), đk: x > Gọi vận tốc xe máylà y(km/h), đk: y > Thời gian xe máy để gặp ô tô
80 y (giê)
Quảng đờng ô tô 100 km nên thời gian ô tô
100 y (giê)
ta có phơng trình
100 80 x y (1)
Quảng đờng xe máy 60 km nên thời gian xe máy
60 y (giê)
Quảng đờng ô tô lag 120 km nên thời gian ô tô
120 y (giê)
Vì ô tô trớc xe máy 54 phút =
9
10nên ta có phơng trình 120 60
(2) x y 10 .
Từ (1) (2) ta có hệ phơng trình
100 80 100 80
0
x y x y
120 60 40 20
x y 10 x y 10
100 80 60 12
x y x 10 x 50
(thoả mÃn điều kiện) 100 80
160 80 12 y 40
x y x y 10
VËy vận tốc ô tô 50 km/h Vận tốc xe máy 40 km/h
Vớ d 3: Một ô tô quảng đờng dai 520 km Khi đợc 240 km tơ tăng vận tốc thêm 10 km/h hết quảng đờng cịn lại T ính vận tốc ban đầu ô tô biết thời gian hết quảng đờng gi
Giải:
Gọi vận tốc ban đầu ô tô x (km/h), đk: x>0 Vận tốc lúc sau ô tô x+10 (km/h)
Thi gian ô tô hết quảng đờng đầu
(24)Thời gian ô tô hết quảng đờng đầu
280
x 10 (giê)
Vì thời gian tơ hết quảng đờng nên ta có phơng trình
2
240 280
8 x 55x 300 x x 10
2
b 4ac ( 55) 4.( 300) 4225 4225 65
Phơng trình có hai nghiệm
1
55 65 55 65
x 60(TMDK);x 5(loai)
2
Vậy vận tốc ban đầu « t« lµ 60 km/h Bµi tËp:
1 Một ô tô khởi hành từ A với vận tốc 50 km/h Qua giê 15 « t« thø hai khởi hành từ A hớng với « t« thø nhÊt víi vËn tèc 40 km/h Hái sau ô tô gặp nhau, điểm gặp cách A km?
2 Một ca nô xuôi dòng 50 km ngợc dòng 30 km Biết thời gian xuôi dòng lâu thời gian ngợc dòng 30 phút vận tốc xuôi dòng lớn vận tốc ngợc dòng km/h
Tính vận tốc lúc xuôi dòng?
3 Hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B cách 150 km Biết vận tốc ô tô thứ lớn vận tốc ô tô thứ hai 10 km/h ô tô thứ đến B trớc ô tô thứ hai 30 phút Tính vânl tốc tơ
4 Một thuyền dòng sông dài 50 km Tổng thời gian xuôi dòng ngợc dòng giê 10 TÝnh vËn tèc thùc cđa thun biÕt r»ng mét chiÕc bÌ th¶ nỉi ph¶i mÊt 10 giê xuôi hết dòng sông
5 Mt ngi i xe đạp từ A đến B cách 108 km Cùng lúc tơ khởi hành từ B đến A với vận tốc vận tốc xe đạp 18 km/h Sau hai xe gặp xe đạp phải tới B Tính vận tốc xe?
6 Một ca nơ xi dịng từ A đến B cách 100 km Cùng lúc bè nứa trơi tự từ A đến B Ca nơ đến B quay lại A ngay, thời gian xi dịng ngợc dịng hết 15 Trên đờng ca nơ ngợc A gặp bè nứa điểm cách A 50 km Tìm vận tốc riêng ca nơ v tc ca dũng n-c?
Đáp án: 1.
3 (giê)
8
2 20 km/h
3 Vận tèc cđa « t« thø nhÊt 60 km/h Vận tốc ô tô thứ hai 50 km/h 25 km/h
5
6 VËn tèc ca nô 15 km/h Vận tốc dòng nớc km/h Dạng 3: Toán làm chung công việc
Những kiến thức cần nhớ:
- Nu đội làm xong cơng việc x ngày đội làm đợc
1 x
công việc
- Xem toàn công việc VÝ dô 1:
(25)Ta cã 25%=
1 4.
Gọi thời gian ngời thứ hồn thành cơng việc x(x > 0; giờ) Gọi thời gian ngời thứ hai hồn thành cơng việc y(y > 0; giờ) Trong ngời thứ làm đợc
1
x c«ng viƯc
Trong ngời thứ hai làm đợc
1
y c«ng viƯc.
Hai ngời làm xong 16 Vậy hai ngời làm đợc
1 16
công việc
Ta có phơng trình:
1 1
(1) xy 16
Ngêi thø nhÊt lµm giê, ngêi thø hai lµm 25%=
1
4 công
việc Ta có phơng trình
3 xy 4(2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã hệ phơng trình
1 1 3 1
x y 16 x y 16 x y 16
3 6
x y x y y 16
x 24
(tho¶ m·n ®iỊu kiƯn) y 48
.
Vậy nÕu lµm riêng ngời thứ hoàn thành công việc 24 Ngời thứ hai hoàn thành công việc 48 giê
VÝ dô 2:
Hai thợ đào mơng sau 2giờ 55 phút xong việc Nếu họ làm riêng đội hồn thành cơng việc nhanh đội Hỏi làm riêng đội phải làm xong cơng việc?
Gi¶i :
Gọi thời gian đội làm xong công việc x (x > 0; giờ) Gọi thời gian đội làm xong cơng việc x + (giờ) Mỗi đội làm đợc
1
c«ng viƯc x
Mỗi đội làm đợc
1
c«ng viƯc x 2
Vì hai đội sau 55 phút =
11 35
12 12(giê) xong
Trong hai đội làm đợc
12
35 c«ng viƯc
Theo ta có phơng trình
2
1 12
35x 70 35 12x 24x xx 2 35
2
12x 46x 70 6x 23x 35
(26)2
1
( 23) 4.6.( 35) 529 840 1369 1369 37
23 37 23 37
Vậy ph ơng trình có hai nghiƯm x 5(thoa m·n); x 2(lo¹i)
12 12
Vậy đội thứ hồn thành cơng việc Đội hai hồn thành cơng việc
Chó ý:
+ Nếu có hai đối tợng làm công việc biết thời gian đại lợng hơn, đại lợng ta nên chọn ẩn đa phơng trình bậc hai
+ Nếu thời gian hai đại lợng không phụ thuộc vào ta nên chọn hai ẩn làm thời gian hai đội đa dạng hệ phơng trình để giải Ví dụ 3:
Hai ngời thợ sơn cửa cho nhà ngày xong việc Nếu ngời thø nhÊt lµm ngµy råi nghØ ngêi thø hai làm tiếp ngày xong việc Hỏi ngời làm xong công việc?
Giải:
Gi thi gian mt ngời thứ hồn thành cơng việc x (x>2; ngày) Gọi thời gian để ngời thứ hai hồn thành cơng việc y (x>2; ngày) Trong ngày ngời thứ làm đợc
1
x c«ng viƯc
Trong ngày ngời thứ hai làm đợc
1
y c«ng viƯc
Cả hai ngời làm xong ngày nên ngày hai ngời làm đợc
1
cơng việc Từ ta có pt
1 x +
1 y =
1 (1)
Ngêi thø nhÊt lµm ngµy ngời thứ hai làm ngày xong c«ng viƯc ta cã pt:
4 1 xy (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ pt
1 1 1
x y x y x
(thoả mÃn đk)
4 y
1
x y x
VËy ngêi thø nhÊt làm xong công việc ngày Ngời thứ hai làm xong công việc ngày
Bài tâp:
1 Hai ngi th làm cơng việc xong 18 Nếu ngời thứ làm giờ, ngời thứ hai làm đợc 1/3 cơng việc Hỏi ngời làm xong cơng việc?
2 Để hồn thành công việc hai tổ phải làm Sau làm chung tổ hai đợc điều làm việc khác Tổ hồn thành cơng việc lại 10 Hỏi tổ làm riêng thhì xong cơng việc đó?
3 Hai đội công nhân đào mơng Nếu họ làm ngày xong cơng việc Nếu làm riêng đội haihồn thành cơng việc nhanh đội ngày Hỏi làm riêng đội phải làm ngày để xong công việc?
(27)nhau Ngêi ta mở cho hai vòi chảy vào bình nhng sau khoá vòi thứ hai lại sau 45 phút tiếp tục mở lại Để hai bình đầy lúc ngời ta phải tăng dung lợng vòi thứ hai thêm 25 lít/giờ
Tớnh xem vịi thứ chảy đợc lít nớc Kết quả:
1) Ngêi thø nhÊt lµm 54 Ngời thứ hai làm 27
2) Tổ thứ làm 10 Tổ thứ hai làm 15
3) Đội thứ làm ngày Đội thứ hai làm ngày
4) Mi gi vũi th nht chy c 75 lớt
Dạng 4: Toán có nội dung hình học: Kiến thức cần nhớ:
- Diện tích hình chữ nhật S = x.y ( xlà chiỊu réng; y lµ chiỊu dµi) - DiƯn tÝch tam gi¸c
1 S x.y
2
( x chiều cao, y cạnh đáy tương ứng)
- Độ dài cạnh huyền : c2 = a2 + b2 (c cạnh huyền; a,b cạnh góc
vng)
- Số đường chéo đa giác
n(n 3)
(n số đỉnh)
Ví dụ 1: Tính kích thước hình chữ nhật có diện tích 40 cm2 , biết rằng
nếu tăng kích thước thêm cm diện tích tăng thêm 48 cm2.
Giải:
Gọi kích thước hình chữ nhật x y (cm; x, y > 0)
Diện tích hình chữ nhật lúc đầu x.y (cm2) Theo ta có pt x.y = 40 (1)
Khi tăng chiều thêm cm diện tích hình chữ nhật Theo ta có pt
(x + 3)(y + 3) – xy = 48 3x + 3y + = 48 x + y = 13(2)
Từ (1) (2) suy x y nghiệm pt X2 – 13 X + 40 = 0
Ta có ( 13)2 4.40 9 3
Phương trình có hai nghiệm
13 13
X 8; X
2
Vậy kích thước hình chữ nhật (cm) (cm)
Ví dụ 2: Cạnh huyền tam giác vng m Hai cạnh góc vng 1m Tính cạnh góc vng tam giác?
Giải:
Gọi cạnh góc vuông thứ x (m) (5 > x > 0) Cạnh góc vng thứ hai x + (m)
Vì cạnh huyền 5m nên theo định lý pi – ta – go ta có phương trình x2 + (x + 1)2 = 52 2
2x 2x 24 x x 12
2
1
1 4.( 12) 49
Ph ¬ng tr×nh co hai nghiƯm phan biƯt
1 7
x (thoả mÃn); x 4(loại)
2
(28)Bài tâp :
Bài 1: Một hình chữ nhật có đường chéo 13 m, chiều dài chiều rộng m Tính diện tích hình chữ nhật đó?
Bài 2: Một ruộng hình chữ nhật có chu vi 250 m Tính diện tích ruộng biết chiều dài giảm lần chiều rộng tăng lần chu vi ruộng không thay đổi
Bài 3: Một đa giác lồi có tất 35 đường chéo Hỏi đa giác có đỉnh?
Bài 4: Một sân hình tam giác có diện tích 180 m2 Tính cạnh đáy
của sân biết tăng cạnh đáy m giảm chiều cao tương ứng m diện tích khơng đổi?
Bài 5: Một miếng đất hình thang cân có chiều cao 35 m hai đáy 30 m 50 m người ta làm hai đoạn đường có chiều rộng Các tim đừng đường trung bình hình thang đoạn thẳng nối hai trung điểm hai đáy Tính chiều rộng đoạn đường biết diện tích phần làm đường
1
4 diện tích hình thang
Đáp số:
Bài 1: Diện tích hình chữ nhật 60 m2
Bài 2: Diện tích hình chữ nhật 3750 m2
Bài 3: Đa giác có 10 đỉnh
Bài 4: Cạnh đày tam giác 36 m Bài 5: Chiều rộng on ng l m
Dng 5: Toán dân số, lÃi suất, tăng trởng Những kiến thức cần nhớ :
+ x% =
x 100
+ Dân số tỉnh A năm ngoái a, tỷ lệ gia tăng dân số x% dân số năm tỉnh A
x a a
100
x x x
Số dân năm sau (a+a ) (a+a )
100 100 100
Ví dụ 1: Bài 42 – SGK tr 58
Gọi lãi suất cho vay x (%),đk: x > Tiền lãi suất sau năm
x
2000000 20000
100 (đồng)
Sau năm vốn lẫn lãi 200000 + 20000 x (đồng) Riêng tiền lãi năm thứ hai
x
x x x2
(2000000 20000 ) 20000 200 (đồng) 100
Số tiến sau hai năm Bác Thời phải trả 2000000 +20000x + 20000x + 200x2
(đồng)
200x2 + 40000x +2000000 (đồng)
(29) x2 + 200x – 2100 =
Giải phương trình ta x1 = 10 (thoả mãn); x2 = -210 (không thoả
mãn)
Vậy lãi suất cho vay 10 % năm
Ví dụ 2: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kỹ thuật nên tổ I sản xuất vượt mức kế hoạch 18% tổ II vượt mức 21% Vì thời gian quy định họ hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ
Giải
Gọi x số sản phẩm tổ I hoàn thành theo kế hoạch (sản phẩm), đk < x < 600
Số sản phẩm tổ II hoàn thành theo kế hoạch 600 – x (sản phẩm) Số sản phẩm vượt mức tổ I x
18
100 (sản phẩm)
Số sản phẩm vượt mức tổ II x
21 (600 )
100
(sản phẩm)
Vì số sản phẩm vượt mức kế hoạch hai tổ 120 sản phẩm ta có pt
x x
18 21(600 ) 120
100 100
x = 20 (thoả mãn yêu cầu toán) Vậy số sản phẩm theo kế hoạch tổ I 200 (sản phẩm)
Vậy số sản phẩm theo kế hoạch tổ II 400 (sản phẩm)
Bài tập:
Bài 1: Dân số thành phố Hà Nội sau năm tăng từ 200000 lên 2048288 người Tính xem hàng năm trung bình dân số tăng phần trăm
Bài 2: Bác An vay 10 000 000 đồng ngân hàng để làm kinh tế Trong năm đầu bác chưa trả nên số tiền lãi năm đầu chuyển thành vốn để tính lãi năm sau Sau năm bác An phải trả 11 881 000 đồng Hỏi lãi suất cho vay phần trăm năm?
Bài 3: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 1000 sản phẩm thời gian dự định Do áp dụng kỹ thuật nên tổ I vượt mức kế hoạch 15% tổ hai vượt mức 17% Vì thời gian quy định hai tổ sản xuất tất 1162 sản phẩm Hỏi số sản phẩm tổ bao nhiêu?
Kết quả:
Bài 1: Trung bình dân số tăng 1,2%
Bài 2: Lãi suất cho vay 9% năm
Bài 3: Tổ I giao 400 sản phẩm Tổ II giao 600 sản phẩm
Dạng 6: Các dạng toán khác
Những kiến thức cần nhớ : -
m
V (V lµ thĨ tich dung dich; m khối l ợng; D khối l îng riªng) D
- Khối lượng nồng độ dung dịch =
Khèi l ỵng chÊt tan Khối l ợng dung môi (m tổng)
(30)Gọi trọng lượng nước dung dịch trước đổ thêm nước x (g) đk x >
Nồng độ muối dung dịch
40 40%
x
Nếu đổ thêm 200g nước vào dung dịch trọng lượng dung dịch là:
40 240%
x
Vì nồng độ giảm 10% nên ta có phương trình
2
40 40 10
280 70400
40 240 100 x x
x x
Giải pt ta x1 = -440 ( loại); x2 = 160 (thoả mãn đk toán)
Vậy trước đổ thêm nước dung dịch có 160 g nước
Ví dụ 2: Người ta trộn 8g chất lỏng với 6g chất lỏng khác có khối lượng riêng nhỏ 0,2g/cm3 để hỗn hợp có khối lượng riêng
0,7g/cm3 Tìm khối lượng riêng chất lỏng.
Giải
Gọi khối lượng riêng chất lỏng thứ x (g/cm3) Đk x > 0,2
Khối lượng riêng chất lỏng thứ x – 0,2 (g/cm3).
Thể tích chất lỏng thứ
3
(cm ) x
Thể tích chất lỏng thứ hai
3
0 2(cm )
x ,
Thể tích hỗn hợp
3
8
0 2(cm )
xx ,
Theo ta có pt
2
8 14
14 12 12
0 x , x ,
xx , , Giải pt ta kết
quả
x1 = 0,1 (loại) ; x2 = 0,8 (t/m đk)
Vậy khối lượng riêng chất lỏng thứ 0,8 (g/cm3)
Khối lượng riêng chất lỏng thứ hai 0,6 (g/cm3).
Bài tập:
Bài 1: Một phịng họp có 240 ghế xếp thành dãy có số ghế Nếu dãy bớt ghế phải xếp thêm 20 dãy hết số ghế Hỏi phòng họp lúc đầu xếp thành dãy ghế
Bài 2: Hai giá sách có 400 Nếu chuyển từ giá thứ sang giá thứ hai 30 số sách giá thứ
3
5 số sách ngăn thứ hai Tính số sách
ban đầu ngăn?
(31)cả hai chiều Hàng trồng biên đất Hãy tính khoảng cách hai hàng liên tiếp?
Bài 4: Hai người nông dân mang 100 trứng chợ bán Số trứng hai người không số tiền thu hai người lại Một người nói với người kia: “ Nếu số trứng tơi số trứng anh tơi bán 15 đồng ” Người nói “ Nếu số trứng số trứmg anh bán
2
3 đồng thôi” Hỏi người có
trứng?
Bài 5: Một hợp kim gồm đồng kẽm có gam kẽm Nếu thêm 15 gam kẽm vào hợp kim hợp kim mà lượng đồng giảm so với lúc đầu 30% Tìm khối lượng ban đầu hợp kim?
Kết quả:
Bài 1: Có 60 dãy ghế
Bài 2: Giá thứ có 180 Giá thứ hai có 220 Bài 3: Khoảng cách hai hàng 5m
Bài 4: Người thứ có 40 Người thứ hai có 60 Bài 5: 25 gam 10 gam
Chuyên đề: Hình học
Bài 1 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng trịn (O) Các đờng cao AD, BE, CF cắt
H cắt đờng tròn (O) lần lợt M,N,P Chứng minh rằng:
1 Tø gi¸c CEHD, néi tiÕp
2 Bốn điểm B,C,E,F nằm đờng tròn
3 AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC H M đối xứng qua BC Xác định tâm đờng trịn nội tiếp tam
gi¸c DEF
Lời giải:
1. Xét tứ giác CEHD ta có:
CEH = 900 ( Vì BE đờng cao)
CDH = 900 ( Vì AD đờng cao)
=> CEH + CDH = 1800
Mà CEH CDH hai góc đối tứ giác CEHD , Do CEHD tứ giác nội tiếp
2. Theo giả thiết: BE đờng cao => BE AC => BEC= 900.
CF đờng cao => CF AB =>BFC = 900.
Nh E F nhìn BC dới góc 900 => E F nằm đờng tròn
(32)Vậy bốn điểm B,C,E,F nằm đờng tròn
3. Xét hai tam giác AEH ADC ta có: AEH = ADC = 900 ; Â góc chung
=> AEH ADC => AE
AD= AH
AC => AE.AC = AH.AD
* Xét hai tam giác BEC ADC ta có:BEC =ADC = 900 ; C lµ gãc chung
=> BEC ADC => BE
AD= BC
AC => AD.BC = BE.AC 4 Ta cã C1 A1 ( v× cïng phơ víi ABC)
2 C A
( hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BM)
=> C1 C 2=> CB tia phân giác góc HCM; lại có CB HM => CHM cân
t¹i C
=> CB đơng trung trực HM H M đối xứng qua BC
5 Theo chứng minh bốn điểm B,C,E,F nằm đờng trịn => C1E1( hai góc nội tiếp chắn cung BF)
Cịng theo chứng minh CEHD tứ giác nội tiếp
C1 E 2( hai góc nội tiÕp cïng ch¾n cung HD)
E1 E 2=> EB tia phân giác góc FED.
Chng minh tơng tự ta có FC tia phân giác góc DFE mà BE CF cắt H H tâm đờng trịn nội tiếp tam giác DEF
Bài 2 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đờng cao AD, BE, cắt H Gọi O tâm đờng tròn
ngoại tiếp tam giác AHE
1 Chứng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp
2 Bốn điểm A, E, D, B nằm đờng tròn
3
H
1
3 2 1 1
O
E
D C
B
A
Chøng minh ED =
1
BC Chứng minh DE tiếp tuyến đờng trịn (O) Tính độ dài DE biết DH = Cm, AH = Cm
Lêi gi¶i:
1. XÐt tø gi¸c CEHD ta cã:
CEH = 900 ( Vì BE đờng cao)
CDH= 900 ( Vì AD đờng cao)
=> CEH + CDH = 1800
Mà CEH CDH hai góc đối tứ giác CEHD Do CEHD tứ giác nội tiếp
2 Theo giả thiết: BE đờng cao => BE AC => BEA = 900.
AD đờng cao => AD BC => BDA = 900.
(33)Nh E D nhìn AB dới góc 900 => E D nằm đờng
tròn đờng kính AB
Vậy bốn điểm A, E, D, B nằm đờng tròn
3 Theo giả thiết tam giác ABC cân A có AD đờng cao nên đờng trung tuyến
=> D trung điểm BC Theo ta có BEC= 900
Vậy tam giác BEC vuông E có ED trung tuyến => DE =
2 BC
4. Vì O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O trung điểm AH => OA = OE => tam giác AOE cân O =>
1
E A
(1) Theo trªn DE = 12 BC => tam giác DBE cân D =>
3
E B
(2) Mµ
1
B A
( v× cïng phơ víi gãc ACB) =>
1
E E
=>
3
1 2
E E E E
Mµ
E E
= BEA = 900 => E 2E3= 900 =OED => DE OE t¹i E.
Vậy DE tiếp tuyến đờng tròn (O) E
5 Theo giả thiết AH = Cm => OH = OE = cm.; DH = Cm => OD = cm áp dụng định lí Pytago cho tam giác OED vng E ta có ED2 = OD2 - OE2 ED2 =
52 - 32 ED = 4cm
Bài 3 Cho nửa đờng trịn đờng kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By lần lợt C D Các đờng thẳng AD BC cắt N
1 Chøng minh AC + BD = CD Chøng minh COD = 900.
3 Chøng minh AC BD = AB
2
4
4 Chøng minh OC // BM
5 Chứng minh AB tiếp tuyến đờng trịn đờng kính CD Chứng minh MN AB
7 Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ
/
/
y x
N C
D I
M
B O
A
Lêi gi¶i
1. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t
(34)3. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn cắt ta có: OC tia phân giác góc AOM; OD tia phân giác góc BOM, mµ AOM vµ BOM lµ hai gãc kỊ bï => COD = 900.
4. Theo trªn COD = 900.nªn tam giác COD vuông O có OM CD (OM lµ
tiÕp tuyÕn )
áp dụng hệ thức cạnh đờng cao tam giác vuông ta có OM2 = CM
DM,
Mµ OM = R; CA = CM; DB = DM => AC BD =R2 => AC BD = AB
2
4
5. Theo trªn COD = 900 nªn OC OD (1)
Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t ta cã: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD trung trùc cña BM => BM OD (2) Tõ (1) (2) => OC // BM ( Vì vuông gãc víi OD)
6. Gọi I trung điểm CD ta có I tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác COD đờng kính CD có IO bán kính
Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC AB; BD AB => AC // BD => tứ giác ACDB hình thang Lại có I trung điểm CD; O trung điểm AB => IO đờng trung bình hình thang ACDB
=> IO // AC , mà AC AB => IO AB O => AB tiếp tuyến O đờng trịn đờng kính CD
6 Theo trªn AC // BD => CN
BN= AC
BD , mµ CA = CM; DB = DM nªn suy CN
BN= CM DM
=> MN // BD mµ BD AB => MN AB
7 ( HD): Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ CD nhỏ , mà CD nhỏ CD khoảng cách giữ Ax By tức CD vng góc với Ax By Khi CD // AB => M phải trung điểm cung AB
Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đờng tròn nội tiếp, K tâm đờng trịn bàng tiếp góc
A , O trung điểm IK
1. Chứng minh B, C, I, K nằm đờng tròn
2. Chứng minh AC tiếp tuyến đờng trịn (O)
3. Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24Cm
Lêi gi¶i: (HD)
1. Vì I tâm đờng tròn nội tiếp, K tâm đờng trịn bàng tiếp góc A nên BI BK hai tia phân giác hai góc kề bù đỉnh B
Do BI BK hay IBK = 900
T¬ng tù ta cịng cã IKC = 900
(35)2.
o
1 2 1 H
I
C A
B
K
Ta cã C1 C 2 (1) ( CI phân giác góc ACH.
2 C I
= 900 (2) ( v× IHC = 900 )
I ICO
(3) ( v× tam giác OIC cân O) Từ (1), (2) , (3) => C1ICO = 900 hay AC OC.
Vậy AC tiếp tuyến đờng tròn (O)
3. Tõ gi¶ thiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm AH2 = AC2 – HC2 => AH =
√202−122 = 16 ( cm) CH2 = AH.OH => OH = CH
2
AH = 122
16 = (cm)
OC = √OH2
+HC2=√92+122=√225 = 15 (cm)
Bài 5 Cho đờng tròn (O; R), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đ-ờng thẳng d lấy điểm M ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP gọi K trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB (B tiếp điểm) Kẻ AC MB, BD MA, gọi H giao điểm AC BD, I giao điểm OM AB
1 Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp
2 Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B nằm đờng tròn
3 Chøng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2.
4 Chứng minh OAHB hình thoi
5 Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng Tìm quỹ tÝch cđa ®iĨm H M di chun
trên đờng thẳng d
Lêi gi¶i:
1. (HS tù lµm)
2. Vì K trung điểm NP nên OK NP ( quan hệ đờng kính
Vµ d©y cung) => OKM = 900 Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã OAM = 900; OBM =
900 nh K, A, B nhìn OM dới góc 900 nên nằm đờng trịn
®-êng kÝnh OM
Vậy năm điểm O, K, A, M, B nằm đờng tròn
3 Ta cã MA = MB ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau); OA = OB = R => OM lµ trung trùc cđa AB => OM AB t¹i I
Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 900 nên tam giác OAM vng A có AI đờng
cao
áp dụng hệ thức cạnh đờng cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2;
OI IM = IA2.
(36)OA MA (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; BD MA (gt) => OA // BD hay OA // BH => Tø giác OAHB hình bình hành; lại có OA = OB (=R) => OAHB hình thoi
5 Theo OAHB hình thoi => OH AB; theo OM AB => O, H, M thẳng hàng( Vì qua O có đờng thẳng vng góc với AB)
6 (HD) Theo OAHB hình thoi => AH = AO = R Vậy M di động d H di động nhng cách A cố định khoảng R Do quỹ tích điểm H M di chuyển đờng thẳng d nửa đờng tròn tâm A bán kính AH = R
Bài 6 Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Vẽ đờng trịn tâm A bán kính AH Gọi HD đờng kính đờng trịn (A; AH) Tiếp tuyến đờng tròn D cắt CA E
1 Chứng minh tam giác BEC cân
2 Gọi I hình chiếu A BE, Chứng minh AI = AH
3 Chứng minh BE tiếp tuyến đờng tròn (A; AH)
4 Chøng minh BE = BH + DE
Lêi gi¶i: (HD)
1. AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) vµ AE = AC (2)
Vì AB CE (gt), AB vừa đờng cao vừa đờng trung tuyến BEC => BEC tam giác
c©n =>
B B
2 Hai tam giác vuông ABI ABH cã c¹nh hun AB chung, B1 B => AHB
= AIB
=> AI = AH
3 AI = AH BE AI I => BE tiếp tuyến (A; AH) I
4 DE = IE vµ BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED
Bài 7 Cho đờng trịn (O; R) đờng kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax lấy tiếp tuyến điểm P
cho AP > R, tõ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) M
1 Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp đ-ợc đờng tròn
2 Chøng minh BM // OP
3 Đờng thẳng vuông góc với AB O cắt tia BM N Chứng minh tứ giác OBNP hình bình hành
4 Biết AN cắt OP K, PM cắt ON I; PN OM kéo dài cắt J Chứng minh I, J, K thẳng hàng
Lời giải:
1. (HS tự làm)
2. Ta có ABM nội tiếp chắn cung AM; AOM góc tâm
chắn cung AM => ABM =
2 AOM
(1) OP tia phân giác AOM ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t ) => AOP=
2 AOM
(2)
Tõ (1) vµ (2) =>
ABM
= AOP (3)
Mà ABM AOP hai góc đồng vị nên suy BM // OP (4)
(37)PAO =900 (vì PA tiếp tuyến ); NOB= 900 (gt NOAB).
=> PAO = NOB= 900; OA = OB = R; AOP=OBN (theo (3)) => AOP = OBN =>
OP = BN (5)
Từ (4) (5) => OBNP hình bình hành ( có hai cạnh đối song song nhau)
4. Tứ giác OBNP hình bình hành => PN // OB hay PJ // AB, mµ ON AB => ON PJ
Ta còng cã PM OJ ( PM lµ tiÕp tuyÕn ), mµ ON PM cắt I nên I trực tâm tam giác POJ (6)
Dễ thấy tứ giác AONP hình chữ nhật có PAO =AON = ONP = 900 =>
K trung điểm PO ( t/c đờng chéo hình chữ nhật) (6) AONP hình chữ nhật =>PAO = NOP ( so le) (7)
Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t Ta có PO tia phân giác APM => PAO =
MPO(8).
Từ (7) (8) => IPO cân I có IK trung tuyến đồng thời đờng cao => IK
PO (9)
Tõ (6) vµ (9) => I, J, K thẳng hàng
Bi 8 Cho na ng trũn tõm O đờng kính AB điểm M nửa đờng tròn (M khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đờng trịn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H, cắt AM K
1) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp 2) Chøng minh r»ng: AI2 = IM . IB.
3) Chøng minh BAF lµ tam giác cân
4) Chng minh rng : T giỏc AKFH hình thoi 5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc đờng tròn
Lêi gi¶i:
1 Ta có : AMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn )
=> KMF = 900 (vì hai góc kÒ bï).
AEB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn )
=> KEF = 900 (vì hai góc kề bù).
=> KMF + KEF = 1800 Mµ KMFvµ KEFlµ
hai góc đối tứ giác EFMK EFMK tứ giác nội tiếp
2. Ta cã IAB = 900 ( AI tiếp tuyến ) => AIB vuông A có AM IB
( theo trªn)
áp dụng hệ thức cạnh đờng cao => AI2 = IM . IB.
3. Theo giả thiết AE tia phân giác IAM => IAE = MAE =>AE ME (lÝ do
)
=> ABE=MBE (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung nhau) => BE tia phân giác góc ABF (1)
Theo ta có AEB = 900 => BE AF hay BE đờng cao tam giác ABF (2).
(38)4. BAF tam giác cân B có BE đờng cao nên đồng thời đơng trung tuyến => E trung điểm AF (3)
Tõ BE AF => AF HK (4), theo AE tia phân giác IAM hay AE tia phân gi¸c HAK (5)
Từ (4) (5) => HAK tam giác cân A có AE đờng cao nên đồng thời đ-ơng trung tuyến => E trung điểm HK (6)
Từ (3) , (4) (6) => AKFH hình thoi ( có hai đờng chéo vng góc với trung điểm đờng)
5. (HD) Theo trªn AKFH hình thoi => HA // FH hay IA // FK => tứ giác AKFI hình thang
tứ giác AKFI nội tiếp đợc đờng trịn AKFI phải hình thang cân AKFI hình thang cân M trung điểm cung AB
Thật vậy: M trung điểm cung AB => ABM = MAI = 450 (t/c gãc néi tiÕp )
(7)
Tam giác ABI vuông A cã ABI = 450 => AIB= 450 (8)
Tõ (7) vµ (8) => IAK = AIF = 450 => AKFI hình thang cân (hình thang có hai
góc đáy nhau)
Vậy M trung điểm cung AB tứ giác AKFI nội tiếp đợc đờng tròn
Bài 9 Cho nửa đờng trịn (O; R) đờng kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx lấy hai điểm C D thuộc nửa đờng tròn Các tia AC AD cắt Bx lần lợt E, F (F B E)
(39)Lêi gi¶i:
1. C thuộc nửa đờng tròn nên ACB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => BC
AE
ABE= 900 ( Bx tiếp tuyến ) => tam giác ABE vng B có BC đờng cao
=> AC AE = AB2 (hệ thức cạnh đờng cao ), mà AB đờng kính nên AB =
2R khơng đổi AC AE khơng đổi
(40)Bài 10 Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB điểm M nửa đờng tròn cho AM < MB Gọi M’ điểm đối xứng M qua AB S giao điểm hai tia BM, M’A Gọi P chân đơng
vng góc từ S đến AB
1 Chứng minh bốn điểm A, M, S, P nằm đờng tròn
2 Gọi S’ giao điểm MA SP Chứng minh tam giác PS’M cân Chứng minh PM tiếp tuyến đờng trịn
Lêi gi¶i:
1. Ta có SP AB (gt) => SPA = 900 ; AMB= 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn )
=>
AMS= 900 Nh P M nhìn AS dới góc b»ng 900 nªn cïng n»m trªn
đờng trịn đờng kính AS
Vậy bốn điểm A, M, S, P nằm đờng tròn
2 Vì M’đối xứng M qua AB mà M nằm đờng tròn nên M’ nằm đờng tròn
=> hai cung AM AM có số đo b»ng
3
( )
4
1 1
) (
1 2 2 1
1
H O
S'
M' M
A B
S
P
=> AMM' = AM M' ( Hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) (1)
Cũng M’đối xứng M qua AB nên MM’ AB H => MM’// SS’ ( vng góc với AB)
=> AMM' = AS S' ; AM M' = ASS' (v× so le trong) (2) => Tõ (1) vµ (2) => AS S' = ASS'
Theo bốn điểm A, M, S, P nằm đờng tròn => ASP=AMP(nội tiếp chắn AP )
=> AS P' = AMP => tam giác PMS cân P
3 Tam giác SPB vuông P; tam giác SMS vuông M => B1=
'
S (cïng phơ víi S 1) (3)
Tam giác PMS cân P =>
' S
= M 1 (4)
Tam gi¸c OBM cân O ( có OM = OB =R) => B1= M (5).
Tõ (3), (4) vµ (5) => M 1 = M => M 1+ M 2= M + M 2mµ M + M 2= AMB= 900
nªn suy M 1+ M = PMO= 900
=> PM OM M => PM tiếp tuyến đờng tròn M
Bài 11. Cho tam giác ABC (AB = AC) Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đờng tròn (O) điểm D, E, F BF cắt (O) I , DI cắt BC M Chứng minh :
1. Tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän
2. DF // BC 3 Tø gi¸c BDFC néi tiÕp 4 BD
(41)Lêi gi¶i:
1 (HD) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t ta cã AD = AF => tam giác ADF cân A => ADF= AFD< 900 => s®
cung DF < 1800
=> AEF < 900 ( v× gãc DEF néi tiÕp ch¾n cung DE)
Chøng minh t¬ng tù ta cã DFE < 900;EDF < 900 Nh vËy
tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän
2 Ta cã AB = AC (gt); AD = AF (theo trªn) =>
AD AF ABAC
=> DF // BC
3 DF // BC => BDFC hình thang lại có B = C (vì tam giác ABC cân)
=> BDFC hình thang cân BDFC nội tiếp đợc đờng tròn
4 Xét hai tam giác BDM CBF Ta có DBM = BCF ( hai góc đáy tam giác cân)
BDM = BFD (néi tiÕp chắn cung DI); CBF = BFD
(vì so le) =>BDM =
CBF
=> BDM CBF => BD
CB = BM CF
Bài 12 Cho đờng trịn (O) bán kính R có hai đờng kính AB CD vng góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O) CM cắt (O) N Đờng thẳng vuông góc với AB M cắt tiếp tuyến
tại N đờng tròn P Chứng minh : Tứ giác OMNP nội tiếp
2 Tø gi¸c CMPO hình bình hành
3 CM CN không phụ thuộc vào vị trí điểm M
4
B' A'
O
P N
M
D
B A
C
Khi M di chuyển đoạn thẳng AB P chạy đoạn thẳng cố định
Lêi gi¶i:
1 Ta cã OMP = 900 ( v× PM AB ); ONP = 900 (vì NP tiếp tuyến ).
Nh M N nhìn OP dới góc 900 => M N nằm đờng
trịn đờng kính OP => Tứ giác OMNP nội tiếp
2 Tø gi¸c OMNP néi tiÕp => OPM = ONM (néi tiÕp ch¾n OM ) Tam giác ONC cân O có ON = OC = R => ONM =OCN =>OPM = OCM
Xét hai tam giác OMC MOP ta có MOC= OMP = 900;
(42)
OPM = OCM =>CMO = POM l¹i có MO cạnh chung => OMC = MOP =>
OC = MP (1)
Theo gi¶ thiÕt Ta cã CD AB; PM AB => CO//PM (2) Từ (1) (2) => Tứ giác CMPO hình bình hành
3. Xét hai tam giác OMC vµ NDC ta cã MOC = 900 ( gt CD AB); DNC = 900 (néi
tiếp chắn nửa đờng tròn ) => MOC = DNC = 900 lại có C góc chung => OMC
NDC =>
CM CO
CD CN => CM CN = CO.CD mµ CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R2 không
i
=> CM.CN =2R2 khơng đổi hay tích CM CN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm
M
4. ( HD) Dễ thấy OMC = DPO (c.g.c) => ODP = 900 => P chạy đờng thẳng
cố định vng góc với CD D
Vì M chạy đoạn thẳng AB nên P chạy doạn thẳng A B song song vµ b»ng AB
Bài 13 Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A , Vẽ nửa đờng trịn đờng kính BH cắt AB E, Nửa đờng trịn đ-ờng kính HC cắt AC F
1 Chứng minh AFHE hình chữ nhật BEFC tứ giác nội tiếp
3 AE AB = AF AC
4 Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai nửa đờng tròn
Lêi gi¶i:
1 Ta có : BEH = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn )
=> AEH = 900 (vì hai góc kề bï) (1)
CFH = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn )
=> CFH = 900 (vì hai góc kề bù).(2)
EAF= 900 ( Vì tam giác ABC vuông A) (3)
Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c AFHE hình chữ nhật ( có ba góc vuông)
2 Tứ giác AFHE hình chữ nhật nên nội tiếp đợc đờng tròn =>F1= H1
(nội tiếp chắn cung AE) Theo giả thiết AH BC nên AH tiếp tuyến chung hai nửa đờng tròn (O1) (O2) =>
B = H1(hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n HE
) => B1 =
1
F => EBC
+EFC = AFE+ EFC mµ AFE+ EFC = 1800 (vì hai góc kề bù) =>
EBC+EFC = 1800 mặt khác EBC EFC hai góc đối tứ giác BEFC
BEFC tứ giác nội tiếp
3 Xét hai tam giác AEF ACB ta có A = 900 lµ gãc chung;AFE = ABC
( theo Chøng minh trªn) => AEF ACB =>
AE AF
ACAB => AE AB = AF AC.
S S
(43)* HD c¸ch 2: Tam giác AHB vuông H có HE AB => AH2 = AE.AB
(*)
Tam gi¸c AHC vuông H có HF AC => AH2 = AF.AC (**)
Tõ (*) vµ (**) => AE AB = AF AC
4 Tø gi¸c AFHE hình chữ nhật => IE = EH => IEH cân I => E1 = H
O1EH cân O1 (vì có O1E vàO1H bán kính) =>
E = H 2
=> E1+ E 2= H 1+ H mµ H1+ H = AHB = 900 => E1+ E 2= O EF1 = 900 => O 1E
EF
Chøng minh t¬ng tù ta cịng cã O2F EF VËy EF lµ tiÕp tun chung cđa hai nưa
đờng trịn
Bài 14 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm Vẽ phía AB nửa đờng trịn có đờng kính theo thứ tự AB, AC, CB có tâm theo thứ tự O, I, K
Đờng vng góc với AB C cắt nửa đờng tròn (O) E Gọi M N theo thứ tự giao điểm EA,
EB với nửa đờng tròn (I), (K) Chứng minh EC = MN
2 Chứng minh MN tiếp tuyến chung nửa đờng trịn (I), (K) Tính MN
4 Tính diện tích hình đợc giới hạn ba nửa đờng trịn
Lêi gi¶i:
1 Ta cã: BNC = 900( néi tiÕp ch¾n nưa
đờng tròn tâm K)
=> ENC = 900 (vì hai góc kề bù) (1)
AMC = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng trịn tâm I) => EMC = 900 (vì hai góc
kỊ bï).(2)
AEB= 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn tâm O) hay MEN = 900 (3)
Từ (1), (2), (3) => tứ giác CMEN hình chữ nhật => EC = MN (tính chất đờng chéo hình chữ nhật )
2 Theo giả thiết EC AB C nên EC tiếp tuyến chung hai nửa đờng tròn (I) (K)
=> B1= C1 (hai góc nội tiếp chắn CN ) Tứ giác CMEN hình chữ nhật nên
=> C1= N3 => B1 = N 3.(4) L¹i cã KB = KN (cùng bán kính) => tam giác KBN
cân K => B1= N1 (5)
Tõ (4) vµ (5) => N 1 = N3mµ N 1+ N = CNB = 900
=> N 3+ N2= MNK = 900 hay MN KN N => MN tiếp tuyến (K)
t¹i N
Chứng minh tơng tự ta có MN tiếp tuyến (I) M, Vậy MN tiếp tuyến chung nửa đờng trịn (I), (K)
3 Ta có AEB = 900 (nội tiếp chắn nửc đờng tròn tâm O)
=> AEB vuông A có EC AB (gt)
=> EC2 = AC BC EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm Theo trªn EC = MN => MN
= 20 cm
(44)Ta cã S(o) = .OA2 = 252 = 625; S(I) = IA2 = .52 = 25; S(k) = .KB2 =
202 = 400.
Ta có diện tích phần hình đợc giới hạn ba nửa đờng tròn S =
1
2 ( S(o) -
S(I) - S(k))
S =
1
2( 625- 25- 400) =
1
2.200 = 100 314 (cm2)
Bài 15 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đờng trịn (O) có đờng kính MC đờng thẳng BM cắt đờng tròn (O) D đờng thẳng AD cắt đờng trịn (O) S
1 Chøng minh ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp
2 Chøng minh CA tia phân giác góc SCB
3 Gi E giao điểm BC với đờng tròn (O) Chứng minh đờng thẳng BA, EM, CD đồng quy
4 Chứng minh DM tia phân giác cña gãc ADE
5 Chứng minh điểm M tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE
Lêi gi¶i:
2. Ta cã CAB = 900 ( tam giác ABC vuông A); MDC = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n
nửa đờng tròn ) => CDB = 900 nh D A nhìn BC dới góc
900 nên A D nằm đờng trịn đờng kính BC => ABCD tứ giác ni
tiếp
3. ABCD tứ giác néi tiÕp => D 1= C 3( néi tiÕp cïng ch¾n cung AB)
1 D
= C 3=> SM EM => C 2= C 3 (hai góc nội tiếp đờng trịn (O) chắn hai cung
bằng nhau)
=> CA tia phân gi¸c cđa gãc SCB
(45)4 Theo trªn Ta cã SM EM => D 1= D2=> DM tia phân giác góc ADE.(1)
5. Ta cóMEC = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng trịn (O)) => MEB = 900
Tø gi¸c AMEB cã MAB = 900 ; MEB = 900 => MAB + MEB= 1800 mà hai
góc đối nên tứ giác AMEB nội tiếp đờng tròn => A2 = B .
Tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp => A1= B2 ( néi tiÕp cïng ch¾n cung CD)
=> A1= A2=> AM tia phân giác cña gãc DAE (2)
Từ (1) (2) Ta có M tâm đờng trịn nội tiếp tam giác ADE
TH2(Hình b)
Câu : ABC= CME (cïng phô ACB); ABC = CDS (cïng bï ADC) => CME =
CDS
=> CE CS SM EM => SCM = ECM=> CA lµ tia phân giác góc SCB
Bi 16 Cho tam giác ABC vuông A.và điểm D nằm A B Đờng trịn đờng kính BD cắt BC E Các đờng thẳng CD, AE lần lợt cắt đờng tròn F, G
Chøng minh :
1 Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp
3 AC // FG
4 Các đờng thẳng AC, DE, FB đồng quy
Lêi gi¶i:
1 Xét hai tam giác ABC EDB Ta có BAC = 900 ( tam giác ABC vuông A);
DEB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn )
=> DEB = BAC= 900 ; lại có ABClà góc chung
=> DEB CAB
2 Theo DEB = 900 => DEC = 900 (vì hai gãc kỊ bï); BAC= 900 ( v× ABC
vuông A) hay DAC = 900 => DEC+ DAC = 1800 mà hai góc đối nên
ADEC tứ giác nội tiếp
G
1
1
O
S
D
E B
A C
1
F
* BAC = 900 ( v× tam giác ABC vuông A);
DFB= 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đờng trịn ) hay BFC = 900
nh vËy F A nhìn BC dới góc 900
nên A F nằm đờng tròn đờng kính BC => AFBC tứ giác nội tiếp
(46)3 Theo ADEC tứ gi¸c néi tiÕp =>
E = C1lại có E1= F1 => F1= C1
mà hai góc so le nên suy AC // FG
4 (HD) Dễ thấy CA, DE, BF ba đờng cao tam giác DBC nên CA, DE, BF đồng quy S
Bài 17. Cho tam giác ABC có đờng cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M ( M khơng trùng B C, H ) ; từ M kẻ MP, MQ vng góc với cạnh AB AC
1 Chứng minh APMQ tứ giác nội tiếp xác định tâm O đờng tròn ngoại tiếp tứ giác