Đang tải... (xem toàn văn)
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia k > 0 là : kb2 = k + 12.ac Dạng 6: So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số[r]
(1)Môc lôc Môc lôc Phần I: đại số (24 tiết) Chủ đề 1: Căn thức – Biến đổi thức.(4 tiết) Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa thức có nghĩa Dạng 2: Biến đổi đơn giản thức D¹ng 3: Bµi to¸n tæng hîp kiÕn thøc vµ kü n¨ng tÝnh to¸n Chủ đề 2: Phương trình bậc hai và định lí Viét (6 tiết) Dạng 1: Giải phương trình bậc hai Dạng 2: Chứng minh phương trình có nghiệm, vô nghiệm Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng, lập phương trình bậc hai nhờ nghiệm phương trình bậc hai cho trước Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm phương trình ax2 + bx + c = thoả mãn điều kiện cho trước .8 Dạng 6: So sánh nghiệm phương trình bậc hai với số Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình bậc hai không phụ thuộc tham sè .9 Dạng 8: Mối quan hệ các nghiệm hai phương trình bậc hai .9 Chủ đề 3: Hệ phương trình (4 tiết) 11 Dạng 1: Giải hệ phương trình và đưa dạng 11 Dạng 2: Giải hệ phương pháp đặt ẩn phụ 11 Dạng 3: Xác định giá trị tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước 12 Dạng 1: Hệ đối xứng loại I 13 Dạng 2: Hệ đối xứng loại II 13 Dạng 3: Hệ bậc hai giải phương pháp cộng đại số .14 Chủ đề 4: Hàm số và đồ thị (3 tiết) 14 Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số 14 Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng 14 Dạng 3: Vị trí tương đối đường thẳng và parabol 15 Chủ đề 5: Giải bài toán cách lập phương trình, hệ phương trình (4 tiết) 16 Dạng 1: Chuyển động (trên đường bộ, trên đường sông có tính đến dòng nước chảy) 16 Dạng 2: Toán làm chung – làn riêng (toán vòi nước) 16 Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm 16 D¹ng 4: To¸n cã néi dung h×nh häc 17 D¹ng 5: To¸n vÒ t×m sè 17 Chủ đề 6: Phương trình quy phương trình bậc hai (3 tiết) 17 Dạng 1: Phương trình có ẩn số mẫu .17 Dạng 2: Phương trình chứa thức .17 Dạng 3: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối .18 Dạng 4: Phương trình trùng phương 18 Dạng 5: Phương trình bậc cao 18 PhÇn II: H×nh häc (16 tiÕt) 18 Chủ đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện hình 19 Chủ đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên đường tròn 19 Chủ đề 3: Chứng minh các điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy .22 Chủ đề 4: Chứng minh điểm cố định .22 Chủ đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng và chứng minh đẳng thức hình học 23 Chủ đề 6: Các bài toán tính số đo góc và số đo diện tích 24 Chủ đề 7: Toán quỹ tích .24 Chủ đề 8: Một số bài toán mở đầu hình học không gian .24 GiaoAnTieuHoc.com (2) Phần I: đại số (24 tiết) Chủ đề 1: Căn thức – Biến đổi thức.(4 tiết) Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa thức có nghĩa Bài 1: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ các biểu thức sau) 1) 3x 8) x2 2) 2x 9) x2 3) 7x 14 2x 4) 3 x 5) x3 7x 7) 2x x x 3x 11) 2x 5x 12) 7x 6) 10) x 5x 13) x 3 3x 5x 6x x 14) Dạng 2: Biến đổi đơn giản thức Bµi 1: §a mét thõa sè vµo dÊu c¨n a) ; b) x (víi x 0); x c) x ; d) (x 5) x ; 25 x e) x Bµi 2: Thùc hiÖn phÐp tÝnh a) ( 28 14 ) ; d) b) ( 10 )( 0,4) ; e) c) (15 50 200 450 ) : 10 ; f) g) 3; 20 14 20 14 ; h) 5; 11 11 7 3 7 3 26 15 26 15 Bµi 3: Thùc hiÖn phÐp tÝnh a) ( 3 216 ) 82 b) 14 15 ): 1 1 7 c) 15 10 Bµi 4: Thùc hiÖn phÐp tÝnh a) (4 15 )( 10 6) 15 b) c) 3 3 e) 6,5 12 6,5 12 d) (3 5) (3 5) 4 4 GiaoAnTieuHoc.com x2 (3) Bµi 5: Rót gän c¸c biÓu thøc sau: a) c) 24 b) 24 52 52 5 5 1 1 3 1 1 3 3 3 3 d) Bµi 6: Rót gän biÓu thøc: a) 13 48 c) b) 48 10 1 1 1 2 3 99 100 Bµi 7: Rót gän biÓu thøc sau: a b b a a) : , víi a 0, b vµ a b ab a b a a a a , víi a vµ a b) a a a a 2a a ; a4 d) 5a (1 4a 4a ) 2a c) 3x 6xy 3y 2 e) x y2 Bµi 8: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc a) A x 3x y 2y, x 1 ;y 2 94 b) B x 12x víi x 4( 1) 4( 1) ; c) C x y , biÕt x x y y 0; d) D 16 2x x 2x x , biÕt 16 2x x 2x x e) E x y y x , biÕt xy (1 x )(1 y ) a D¹ng 3: Bµi to¸n tæng hîp kiÕn thøc vµ kü n¨ng tÝnh to¸n Bµi 1: Cho biÓu thøc P x 3 x 1 a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña P nÕu x = 4(2 - ) c) TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P Bµi 2: XÐt biÓu thøc A a2 a 2a a a a 1 a a) Rót gän A b) BiÕt a > 1, h·y so s¸nh A víi A GiaoAnTieuHoc.com (4) c) Tìm a để A = d) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A 1 x x 2 x 1 x Bµi 3: Cho biÓu thøc C a) Rót gän biÓu thøc C b) TÝnh gi¸ trÞ cña C víi x c) Tính giá trị x để C a 1 2 a b a b2 a Bµi 4: Cho biÓu thøc M b : 2 a a b a) Rót gän M a b b) TÝnh gi¸ trÞ M nÕu c) Tìm điều kiện a, b để M < x 2 x 2 (1 x) Bµi 5: XÐt biÓu thøc P x x x 1 a) Rót gän P b) Chøng minh r»ng nÕu < x < th× P > c) T×m gi¸ trÞ l¬n nhÊt cña P Bµi 6: XÐt biÓu thøc Q x 9 x x 1 x 5 x 6 x 2 3 x a) Rót gän Q b) Tìm các giá trị x để Q < c) Tìm các giá trị nguyên x để giá trị tương ứng Q là số nguyên xy x y3 Bµi 7: XÐt biÓu thøc H x y xy : x y xy x y a) Rót gän H b) Chøng minh H ≥ c) So s¸nh H víi H a a : Bµi 8: XÐt biÓu thøc A 1 a a a a a a a) Rót gän A b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a cho A > c) TÝnh c¸c gi¸ trÞ cña A nÕu a 2007 2006 Bµi 9: XÐt biÓu thøc M 3x 9x x 1 x 2 x x 2 x 1 x a) Rót gän M b) Tìm các giá trị nguyên x để giá trị tương ứng M là số nguyên Bµi 10: XÐt biÓu thøc P 15 x 11 x 2 x x x 1 x x 3 a) Rót gän P GiaoAnTieuHoc.com (5) b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x cho P c) So s¸nh P víi Chủ đề 2: Phương trình bậc hai và định lí Viét (6 tiết) Dạng 1: Giải phương trình bậc hai Bài 1: Giải các phương trình 1) x2 – 6x + 14 = ; 2) 4x2 – 8x + = ; 3) 3x2 + 5x + = ; 4) -30x2 + 30x – 7,5 = ; 5) x2 – 4x + = ; 6) x2 – 2x – = ; 7) x2 + 2 x + = 3(x + ) ; 8) 2 x2 + x + = (x + 1) ; 9) x2 – 2( - 1)x - = Bài 2: Giải các phương trình sau cách nhẩm nghiệm: 1) 3x2 – 11x + = ; 2) 5x2 – 17x + 12 = ; 3) x2 – (1 + )x + = ; 4) (1 - )x2 – 2(1 + )x + + = ; 5) 3x2 – 19x – 22 = ; 6) 5x2 + 24x + 19 = ; 7) ( + 1)x2 + x + - = ; 8) x2 – 11x + 30 = ; 9) x2 – 12x + 27 = ; 10) x2 – 10x + 21 = Dạng 2: Chứng minh phương trình có nghiệm, vô nghiệm Bài 1: Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm 1) x2 – 2(m - 1)x – – m = ; 2) x2 + (m + 1)x + m = ; 3) x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = ; 4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = ; 5) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + = ; 6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = ; 7) x2 – 2mx – m2 – = ; 8) (m + 1)x2 – (2m – 1)x – + m = ; 9) ax2 + (ab + 1)x + b = Bµi 2: Chứng minh với a, b , c là các số thực thì phương trình sau luôn có nghiệm: (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = Chứng minh với ba số thức a, b , c phân biệt thì phương trình sau có hai nghiệm 1 (Èn x) ph©n biÕt: xa xb xc Chứng minh phương trình: c2x2 + (a2 – b2 – c2)x + b2 = vô nghiệm với a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh phương trình bậc hai: (a + b)2x2 – (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt Bµi 3: Chứng minh ít các phương trình bậc hai sau đây có nghiệm: ax2 + 2bx + c = (1) bx2 + 2cx + a = (2) cx2 + 2ax + b = (3) Cho bốn phương trình (ẩn x) sau: x2 + 2ax + 4b2 = (1) x2 - 2bx + 4a2 = (2) GiaoAnTieuHoc.com (6) x2 - 4ax + b2 = (3) x2 + 4bx + a2 = (4) Chứng minh các phương trình trên có ít phương trình có nghiệm Cho phương trình (ẩn x sau): 2b b c x 0 bc ca 2c c a bx x 0 ca ab 2a a b cx x 0 ab bc ax (1) (2) (3) với a, b, c là các số dương cho trước Chứng minh các phương trình trên có ít phương trình có nghiệm Bµi 4: Cho phương trình ax2 + bx + c = Biết a ≠ và 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh phương trình đã cho có hai nghiệm b) Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) có hai nghiệm hai ®iÒu kiÖn sau ®îc tho¶ m·n: a(a + 2b + 4c) < ; 5a + 3b + 2c = Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng, lập phương trình bậc hai nhờ nghiệm phương trình bậc hai cho trước Bài 1: Gọi x1 ; x2 là các nghiệm phương trình: x2 – 3x – = TÝnh: 2 A x1 x ; C B x1 x ; 1 ; x1 x D 3x1 x 3x x1 ; E x1 x ; F x1 x Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là 1 vµ x1 x2 Bài 2: Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm phương trình: 5x2 – 3x – = Không giải phương tr×nh, tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: 3 A 2x1 3x1 x 2x 3x1x ; 1 x x1 x x B ; x x x1 x1 x1 x 2 3x 5x1x 3x C 2 4x1x 4x1 x Bµi 3: a) Gọi p và q là nghiệm phương trình bậc hai: 3x2 + 7x + = Không giải phương trình hãy thành lập phương trình bậc hai với hệ số số mà các nghiệm cña nã lµ p q vµ q 1 p 1 GiaoAnTieuHoc.com (7) b) Lập phương trình bậc hai có nghiệm là 1 vµ 10 72 10 Bài 4: Cho phương trình x2 – 2(m -1)x – m = a) Chứng minh phương trình luôn luôn có hai nghiệm x1 ; x2 với m b) Với m ≠ 0, lập phương trình ẩn y thoả mãn y1 x1 1 vµ y x x2 x1 Bài 5: Không giải phương trình 3x2 + 5x – = Hãy tính giá trị các biểu thức sau: x1 x A 3x1 2x 3x 2x1 ; B ; x x1 x1 x x1 x2 Bài 6: Cho phương trình 2x2 – 4x – 10 = có hai nghiệm x1 ; x2 Không giải phương trình hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 – x1 Bài 7: Cho phương trình 2x2 – 3x – = có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy thiết lập phương trình Èn y cã hai nghiÖm y1 ; y2 tho¶ m·n: C x1 x2 ; D x1 y x2 y x a) b) x2 y x y x Bài 8: Cho phương trình x2 + x – = có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy thiết lập phương trình Èn y cã hai nghiÖm y1 ; y2 tho¶ m·n: x1 x y1 y x x y y x x 2 a) ; b) y y y y 2 5x 5x 3x 3x y y Bài 9: Cho phương trình 2x2 + 4ax – a = (a tham số, a ≠ 0) có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: 1 1 y1 y vµ x1 x x1 x y1 y Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiÖm Bµi 1: a) Cho phương trình (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = (ẩn x) Xác định m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép này b) Cho phương trình (2m – 1)x2 – 2(m + 4)x + 5m + = Tìm m để phương trình có nghiệm c) Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m – = - Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm - Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó d) Cho phương trình: (a – 3)x2 – 2(a – 1)x + a – = Tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt Bµi 2: GiaoAnTieuHoc.com (8) a) Cho phương trình: 4x 22m 1x m m Xác định m để phương x 2x x2 tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiÖm b) Cho phương trình: (m2 + m – 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = Xác định m để phương trình có ít nghiệm Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm phương trình ax2 + bx + c = thoả mãn điều kiện cho trước Bài 1: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 1) Xác định m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó 2) Xác định m để phương trình có nghiệm Tính nghiệm còn lại 3) Với điều kiện nào m thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu (trái dấu) 4) Với điều kiện nào m thì phương trình có hai nghiệm cùng dương (cùng âm) 5) Định m để phương trình có hai nghiệm cho nghiệm này gấp đôi nghiệm 6) Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 – x2 = - 7) Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 cho A = 2x12 + 2x22 – x1x2 nhận gi¸ trÞ nhá nhÊt Bài 2: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã ra: a) (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + m – = ; (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18 b) mx – (m – 4)x + 2m = ; 2(x12 + x22) = 5x1x2 c) (m – 1)x2 – 2mx + m + = ; 4(x12 + x22) = 5x12x22 d) x2 – (2m + 1)x + m2 + = ; 3x1x2 – 5(x1 + x2) + = Bài 3: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã ra: a) x2 + 2mx – 3m – = ; 2x1 – 3x2 = 2 b) x – 4mx + 4m – m = ; x1 = 3x2 c) mx2 + 2mx + m – = ; 2x1 + x2 + = 2 d) x – (3m – 1)x + 2m – m = ; x1 = x22 e) x2 + (2m – 8)x + 8m3 = ; x1 = x22 f) x2 – 4x + m2 + 3m = ; x12 + x2 = Bµi 4: a) Cho phươnmg trình: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – + m = Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 cho nghiệm này gấp đôi nghiệm b) Chư phương trình bậc hai: x2 – mx + m – = Tìm m để phương trình có hai nghiÖm x1 ; x2 cho biÓu thøc R 2x1x đạt giá trị lớn Tìm x1 x 2(1 x1x ) giá trị lớn đó c) Định m để hiệu hai nghiệm phương trình sau đây mx2 – (m + 3)x + 2m + = Bài 5: Cho phương trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Chứng minh điều kiện cần và đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm là 9ac = 2b2 Bài 6: Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Chứng minh điều kiện cần và đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm (k > 0) là : kb2 = (k + 1)2.ac Dạng 6: So sánh nghiệm phương trình bậc hai với số Bµi 1: GiaoAnTieuHoc.com (9) a) Cho phương trình x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = Xác định m để phương trình có hai nghiÖm x1 ; x2 tho¶ m·n < x1 < x2 < b) Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – = Xác định m để phương trình có hai nghiÖm ph©n biÖt x1 ; x2 tho¶ m·n: - < x1 < x2 < Bµi 2: Cho f(x) = x2 – 2(m + 2)x + 6m + a) Chứng minh phương trình f(x) = có nghiệm với m b) Đặt x = t + Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện m để phương trình f(x) = cã hai nghiÖm lín h¬n Bài 3: Cho phương trình bậc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = a) Với giá trị nào tham số a, phương trình có nghiệm kép Tính các nghiệm kép b) Xác định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn – Bài 4: Cho phương trình: x2 + 2(m – 1)x – (m + 1) = a) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm nhỏ và nghiệm lớn b) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm nhỏ Bài 5: Tìm m để phương trình: x2 – mx + m = có nghiệm thoả mãn x1 ≤ - ≤ x2 Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình bậc hai không phụ thuéc tham sè Bµi 1: a) Cho phương trình: x2 – mx + 2m – = Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình không phụ thuộc vào tham số m b) Cho phương trình bậc hai: (m – 2)x2 – 2(m + 2)x + 2(m – 1) = Khi phương trình cã nghiÖm, h·y t×m mét hÖ thøc gi÷a c¸c nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo tham sè m c) Cho phương trình: 8x2 – 4(m – 2)x + m(m – 4) = Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 Tìm hệ thức hai nghiệm độc lập với m, suy vị trí các nghiệm hai số – và Bài 2: Cho phương trình bậc hai: (m – 1)2x2 – (m – 1)(m + 2)x + m = Khi phương trình cã nghiÖm, h·y t×m mét hÖ thøc gi÷a c¸c nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo tham sè m Bài 3: Cho phương trình: x2 – 2mx – m2 – = a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 với m b) T×m biÓu thøc liªn hÖ gi÷a x1 ; x2 kh«ng phô thuéc vµo m c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn: x1 x x x1 Bài 4: Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = a) Giải và biện luận phương trình theo m b) Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2: - Tìm hệ thức x1 ; x2 độc lập với m - T×m m cho |x1 – x2| ≥ Bài 5: Cho phương trình (m – 4)x2 – 2(m – 2)x + m – = Chứng minh phương tr×nh cã hai nghiÖm x1 ; x2 th×: 4x1x2 – 3(x1 + x2) + = Dạng 8: Mối quan hệ các nghiệm hai phương trình bậc hai KiÕn thøc cÇn nhí: 1/ Định giá trị tham số để phương trình này có nghiệm k (k ≠ 0) lần nghiệm phương trình kia: Xét hai phương trình: ax2 + bx + c = (1) GiaoAnTieuHoc.com (10) a’x2 + b’x + c’ = (2) đó các hệ số a, b, c, a’, b’, c’ phụ thuộc vào tham số m Định m để cho phương trình (2) có nghiệm k (k ≠ 0) lần nghiệm phương trình (1), ta có thể làm sau: i) Giả sử x0 là nghiệm phương trình (1) thì kx0 là nghiệm phương trình (2), suy hệ phương trình: ax bx c 2 a' k x b' kx c' (*) Giải hệ phương trình trên phương pháp cộng đại số để tìm m ii) Thay các giá trị m vừa tìm vào hai phương trình (1) và (2) để kiểm tra lại 2/ Định giá trị tham số m để hai phương trình bậc hai tương đương với Xét hai phương trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (3) a’x2 + b’x + c’ = (a’ ≠ 0) (4) Hai phương trình (3) và (4) tương đương với và hai phương trình có cùng tËp nghiÖm (kÓ c¶ tËp nghiÖm lµ rçng) Do đó, muỗn xác định giá trị tham số để hai phương trình bậc hai tương đương với ta xét hai trường hợp sau: i) Trường hợp hai phương trinhg cuùng vô nghiệm, tức là: (3) ( ) Gi¶i hÖ trªn ta tÞm ®îc gi¸ trÞ cña tham sè ii) Trường hợp hai phương trình có nghiệm, ta giải hệ sau: Δ (3) Δ (4) S(3) S(4) P P (4) (3) Chú ý: Bằng cách đặt y = x2 hệ phương trình (*) có thể đưa hệ phương trình bậc Èn nh sau: bx ay c b' x a' y c' §Ó gi¶i quyÕt tiÕp bµi to¸n, ta lµm nh sau: - Tìm điều kiện để hệ có nghiệm tính nghiệm (x ; y) theo m - T×m m tho¶ m·n y = x2 - KiÓm tra l¹i kÕt qu¶ Bài 1: Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung: 2x2 – (3m + 2)x + 12 = 4x2 – (9m – 2)x + 36 = Bài 2: Với giá trị nào m thì hai phương trình sau có nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó: a) 2x2 + (3m + 1)x – = 0; 6x2 + (7m – 1)x – 19 = b) 2x2 + mx – = 0; mx2 – x + = c) x – mx + 2m + = 0; mx2 – (2m + 1)x – = Bài 3: Xét các phương trình sau: ax2 + bx + c = (1) 10 GiaoAnTieuHoc.com (11) cx2 + bx + a = (2) Tìm hệ thức a, b, c là điều kiện cần và đủ để hai phương trình trên có nghiệm chung nhÊt Bài 4: Cho hai phương trình: x2 – 2mx + 4m = (1) x2 – mx + 10m = (2) Tìm các giá trị tham số m để phương trình (2) có nghiệm hai lần nghiệm phương trình (1) Bài 5: Cho hai phương trình: x2 + x + a = x2 + ax + = a) Tìm các giá trị a hai phương trình trên có ít nghiệm chung b) Với giá trị nào a thì hai phương trình trên tương đương Bài 6: Cho hai phương trình: x2 + mx + = (1) x2 + 2x + m = (2) a) Định m để hai phương trình có ít nghiệm chung b) Định m để hai phương trình tương đương c) Xác định m để phương trình (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = có nghiệm phân biệt Bài 7: Cho các phương trình: x2 – 5x + k = (1) x2 – 7x + 2k = (2) Xác định k để các nghiệm phương trình (2) lớn gấp lần các nghiệm phương trình (1) Chủ đề 3: Hệ phương trình (4 tiết) Hệ hai phương trình bậc hai ẩn Dạng 1: Giải hệ phương trình và đưa dạng Bài 1: Giải các hệ phương trình 3x 2y 4x 2y 2x 3y 1) ; 2) ; 3) 2x y 6x 3y 4x 6y 10 3x 4y 2x 5y 4x 6y 4) ; 5) ; 6) 5x 2y 14 3x 2y 14 10x 15y 18 Bài 2: Giải các hệ phương trình sau: 3x 22y 3 6xy 2x - 32y 4 4x y 3 54 1) ; 2) ; 4x y 4xy x 3y 3y x 12 7x 5y - y 27 2y - 5x 2x x 3y 8 3) ; 4) x y 6y 5x 6x - 3y 10 5x 6y Dạng 2: Giải hệ phương pháp đặt ẩn phụ 11 GiaoAnTieuHoc.com (12) Giải các hệ phương trình sau 3y 3x x 1 x 2y y 2x x 1 y x 1 y 1) ; 2) ; 3) ; 2x 5 1 9 4 x 2y y 2x x y x y 5 x y 2x 2x y 4) ; 5) 3x 2x y 2 4x 8x y 4y 13 Dạng 3: Xác định giá trị tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước Bµi 1: Định m và n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2 ; - 1) 2mx n 1y m n m x 3ny 2m Định a và b biết phương trình: ax2 - 2bx + = có hai nghiệm là x = và x = -2 Bài 2: Định m để đường thẳng sau đồng quy: a) 2x – y = m ; x = y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – b) mx + y = m + ; (m + 2)x – (3m + 5)y = m – ; (2 - m)x – 2y = - m2 + 2m – Bài 3: Cho hệ phương trình mx 4y 10 m (m lµ tham sè) x my a) Giải hệ phương trình m = b) Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ theo m c) Xác định các giá tri nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) cho x > 0, y > d) Víi gi¸ trÞ nguyªn nµo cña m th× hÖ cã nghiÖm (x ; y) víi x, y lµ c¸c sè nguyªn dương e) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) cho S = x2 – y2 đạt giá trị nhỏ (câu hỏi tương tự với S = xy) f) Chøng minh r»ng hÖ cã nghiÖm nhÊt (x ; y) th× ®iÓm M(x ; y) lu«n n»m trªn đường thẳng cố định m nhận các giá trị khác m 1x my 3m 2x y m Bài 4: Cho hệ phương trình: Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ theo m Víi c¸c gi¸ trÞ nguyªn nµo cña m th× hÖ cã nghiÖm nhÊt (x ; y) cho x > 0, y < Định m để hệ có nghiệm (x ; y) mà P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ Xác định m để hệ có nghiệm (x ; y) thoả mãn x2 + 2y = (Hoặc: cho M (x ; y) n»m trªn parabol y = - 0,5x2) Chøng minh r»ng hÖ cã nghiÖm nhÊt (x ; y) th× ®iÓm D(x ; y) lu«n lu«n n»m trên đường thẳng cố định m nhận các giá trị khác x my mx 2y Bài 5: Cho hệ phương trình: Giải hệ phương trình trên m = 12 GiaoAnTieuHoc.com (13) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) mà x > và y < Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) mà x, y là các số nguyên Tìm m để hệ có nghiệm (x ; y) mà S = x – y đạt giá trị lớn Một số hệ bậc hai đơn giản: Dạng 1: Hệ đối xứng loại I x y xy 11 Ví dụ: Giải hệ phương trình 2 x y 3x y 28 Bài tập tương tự: Giải các hệ phương trình sau: x y x y 1) x y xy x xy y 2) x xy y xy x y 19 3) 2 x y xy 84 x 1y 1 5) x x 1 yy 1 xy 17 x 3xy y 1 4) 3x xy 3y 13 x y 10 6) x y xy 1 x xy y 7) x y x xy y 19x y 2 8) x xy y 7x y x y 2 x y 9) 5 x y 5xy x y y x 30 10) x x y y 35 Dạng 2: Hệ đối xứng loại II x 2y Ví dụ: Giải hệ phương trình y x Bài tập tương tự: Giải các hệ phương trình sau: 13 GiaoAnTieuHoc.com (14) x 3y 1) y 3x x y y 2) xy x x 2x y 3) y 2y x x xy y 4) x xy y y x 3y x 6) y 3x x y x 2y 2x y 5) y 2x 2y x 2x y x 7) 2y x y x 3x 8y 8) y 3y 8x x 3x y 9) y 3y x x 7x 3y 10) y 7y 3x Dạng 3: Hệ bậc hai giải phương pháp cộng đại số Giải các hệ phương trình sau: x y 1) x xy 3) 5) 7) 9) x xy y 12 2) xy x y 2 xy x x 4 x xy y x 2x y 2 3x y x y x y 2 y x 2 x y xy 2 x y xy y x y xy 11 4) xy y x 5x y 2 3x y 6) 2 x y 12 x y 8) x y 10) Chủ đề 4: Hàm số và đồ thị (3 tiết) Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số Bài 1: Vẽ đồ thị các hàm số sau: a) y = 2x – ; b) y = - 0,5x + Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax khi: a) a = ; b) a = - Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng Bìa 1: Viết phương trình đường thẳng (d) biết: (d) ®i qua A(1 ; 2) vµ B(- ; - 5) 14 GiaoAnTieuHoc.com (15) (d) ®i qua M(3 ; 2) vµ song song víi ®êng th¼ng () : y = 2x – 1/5 (d) ®i qua N(1 ; - 5) vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng (d’): y = -1/2x + (d) qua D(1 ; 3) và tạo với chiều dương trục Ox góc 300 (d) qua E(0 ; 4) và đồng quy với hai đường thẳng (): y = 2x – 3; (’): y = – 3x t¹i mét ®iÓm (d) qua K(6 ; - 4) và cách gốc O khoảng 12/5 (đơn vị dài) Bµi 2: Gäi (d) lµ ®êng th¼ng y = (2k – 1)x + k – víi k lµ tham sè a) Định k để (d) qua điểm (1 ; 6) b) Định k để (d) song song với đường thẳng 2x + 3y – = c) Định k để (d) vuông góc với đường thẳng x + 2y = d) Chøng minh r»ng kh«ng cã ®êng th¼ng (d) nµo ®i qua ®iÓm A(-1/2 ; 1) e) Chứng minh k thay đổi, đường thẳng (d) luôn qua điểm cố định Dạng 3: Vị trí tương đối đường thẳng và parabol Bµi 1: a) Biết đồ thị hàm số y = ax2 qua điểm (- ; -1) Hãy tìm a và vẽ đồ thị (P) đó b) Gọi A và B là hai điểm trên (P) có hoành độ là và - Tìm toạ độ A và B từ đó suy phương trình đường thẳng AB Bµi 2: Cho hµm sè y x a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P) hàm số trên b) Lập phương trình đường thẳng (d) qua A(- 2; - 2) và tiếp xúc với (P) Bµi 3: Trong cïng hÖ trôc vu«ng gãc, cho parabol (P): y x vµ ®êng th¼ng (D): y = mx 2m - a) Vẽ độ thị (P) b) T×m m cho (D) tiÕp xóc víi (P) c) Chứng tỏ (D) luôn qua điểm cố định A thuộc (P) Bµi 4: Cho hµm sè y x a) Vẽ đồ thị (P) hàm số trên b) Trên (P) lấy hai điểm M và N có hoành độ là - 2; Viết phương trình ®êng th¼ng MN c) Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị (D) nó song song với đường thẳng MN vµ chØ c¾t (P) t¹i mét ®iÓm Bµi 5: Trong cùng hệ trục toạ độ, cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đường thẳng (D): y = kx + b 1) T×m k vµ b cho biÕt (D) ®i qua hai ®iÓm A(1; 0) vµ B(0; - 1) 2) T×m a biÕt r»ng (P) tiÕp xóc víi (D) võa t×m ®îc ë c©u 1) 3)VÏ (D) vµ (P) võa t×m ®îc ë c©u 1) vµ c©u 2) 4) Gäi (d) lµ ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm C ;1 vµ cã hÖ sè gãc m 2 a) Viết phương trình (d) b) Chøng tá r»ng qua ®iÓm C cã hai ®êng th¼ng (d) tiÕp xóc víi (P) (ë c©u 2) vµ vu«ng gãc víi 15 GiaoAnTieuHoc.com (16) Chủ đề 5: Giải bài toán cách lập phương trình, hệ phương trình (4 tiết) Dạng 1: Chuyển động (trên đường bộ, trên đường sông có tính đến dòng nước chảy) Bµi 1: Một ôtô từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm Tính quãng đường AB và thời gian dự định lúc đầu Bµi 2: Một người xe máy từ A đến B cách 120 km với vận tốc dự định trước Sau ®îc quãng đường AB người đó tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đường còn lại Tìm vận tốc dự định và thời gian xe lăn bánh trên đường, biết người đó đến B sớm dự định 24 phút Bµi 3: Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ngược từ B trở A Thời gian xuôi ít thời gian ngược 20 phút Tính khoảng cách hai bến A và B Biết vận tốc dòng nước là km/h và vận tốc riêng canô lúc xuôi và lúc ngược Bµi 4: Một canô xuôi khúc sông dài 90 km ngược 36 km Biết thời gian xuôi dòng sông nhiều thời gian ngược dòng là và vận tốc xuôi dòng vận tốc ngược dòng là km/h Hỏi vận tốc canô lúc xuôi và lúc ngược dòng Dạng 2: Toán làm chung – làn riêng (toán vòi nước) Bµi 1: Hai người thợ cùng làm chung công việc 12 phút thì xong Nừu người thứ làm và người thứ hai làm thì hai người làm ắ công việc Hỏi làm công việc đó thì xong? Bµi 2: NÕu vßi A ch¶y giê vµ vßi B ch¶y giê th× ®îc vµ vßi B ch¶y giê 30 phót th× ®îc hå NÕu vßi A ch¶y giê hå Hái nÕu ch¶y mét m×nh mçI vßi ch¶y bao l©u míi ®Çy hå Bµi 3: Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau đầy bể Nếu vòi chảy m×nh cho ®Çy bÓ th× vßi II cÇn nhiÒu thêi gian h¬n vßi I lµ giê TÝnh thêi gian mçi vßi ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ? Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm Bµi 1: Trong tháng giêng hai tổ sản xuất 720 chi tiết máy Trong tháng hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 12% nên sản xuất 819 chi tiết máy Tính xem tháng giªng mçi tæ s¶n xuÊt ®îc bao nhiªu chi tiÕt m¸y? Bµi 2: Năm ngoái tổng số dân hai tỉnh A và B là triệu người Dân số tỉnh A năm tăng 1,2%, còn tỉnh B tăng 1,1% Tổng số dân hai tỉnh năm là 045 000 người TÝnh sè d©n cña mçi tØnh n¨m ngo¸i vµ n¨m nay? 16 GiaoAnTieuHoc.com (17) D¹ng 4: To¸n cã néi dung h×nh häc Bµi 1: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280 m Người ta làm lối xung quanh vườn (thuộc đất vườn) rộng m Tính kích thước vườn, biết đất còn lại vườn để trồng trọt là 4256 m2 Bµi 2: Cho mét h×nh ch÷ nhËt NÕu t¨ng chiÒu dµi lªn 10 m, t¨ng chiÒu réng lªn m th× diÖn tÝch t¨ng 500 m2 NÕu gi¶m chiÒu dµi 15 m vµ gi¶m chiÒu réng m th× diÖn tÝch gi¶m 600 m2 TÝnh chiÒu dµi, chiÒu réng ban ®Çu Bµi 3: Cho mét tam gi¸c vu«ng NÕu t¨ng c¸c c¹nh gãc vu«ng lªn cm vµ cm th× diÖn tÝch tam gi¸c t¨ng 50 cm2 NÕu gi¶m c¶ hai c¹nh ®i cm th× diÖn tÝch sÏ gi¶m ®i 32 cm2 TÝnh hai c¹nh gãc vu«ng D¹ng 5: To¸n vÒ t×m sè Bµi 1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số 11, đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho thì số đó tăng thêm 27 đơn vị Bµi 2: Tìm số có hai chữ số, biết số đó gấp lần chữ số hàng đơn vị nó và số cần tìm chia cho tổng các chữ số nó thì thương là và số dư là Bµi 3: Nếu tử số phân số tăng gấp đôi và mẫu số thêm thì giá trị phân số b»ng NÕu tö sè thªm vµ mÉu sè t¨ng gÊp th× gi¸ trÞ ph©n sè b»ng T×m ph©n sè 24 đó Bµi 4: NÕu thªm vµo tö vµ mÉu cña mét ph©n sè th× gi¸ trÞ cña ph©n sè gi¶m NÕu bít vµo c¶ tö vµ mÉu, ph©n sè t¨ng Tìm phân số đó Chủ đề 6: Phương trình quy phương trình bậc hai (3 tiết) Dạng 1: Phương trình có ẩn số mẫu Giải các phương trình sau: x x3 a) 6 x x 1 2x x3 b) 3 x 2x 2 t 2t 5t c) t t 1 t 1 Dạng 2: Phương trình chứa thức 17 GiaoAnTieuHoc.com (18) Lo¹i Lo¹i A (hayB 0) A B A B B AB A B Giải các phương trình sau: a) 2x 3x 11 x b) c) 2x 3x x d) x 22 3x 5x 14 x 12x 3 x e) x 1 x 3x Dạng 3: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Giải các phương trình sau: a) x x x b) x 2x x 2x c) x 2x x x x 4x d) x x 4x 3x Dạng 4: Phương trình trùng phương Giải các phương trình sau: a) 4x4 + 7x2 – = ; b) x4 – 13x2 + 36 = 0; c) 2x4 + 5x2 + = ; d) (2x + 1)4 – 8(2x + 1)2 – = Dạng 5: Phương trình bậc cao Giải các phương trình sau cách đưa dạng tích đặt ẩn phụ đưa phương trình bËc hai: Bµi 1: a) 2x3 – 7x2 + 5x = ; b) 2x3 – x2 – 6x + = ; c) x4 + x3 – 2x2 – x + = ; d) x4 = (2x2 – 4x + 1)2 Bµi 2: a) (x2 – 2x)2 – 2(x2 – 2x) – = ; c) (x2 + 4x + 2)2 +4x2 + 16x + 11 = ; 1 c) x x x x d) 4 x 16 x 23 x x x2 x 5 3x 21 e) 40 f) x 4x x x x 5 x 4x 10 x 48 x 4 g) 32x 3x 1 52x 3x 3 24 h) 10 x 3 x 2x 13x i) 6 k) x 3x x 3x 2x 5x 2x x Bµi 3: a) 6x5 – 29x4 + 27x3 + 27x2 – 29x +6 = b) 10x4 – 77x3 + 105x2 – 77x + 10 = c) (x – 4,5)4 + (x – 5,5)4 = d) (x2 – x +1)4 – 10x2(x2 – x + 1)2 + 9x4 = PhÇn II: H×nh häc (16 tiÕt) 18 GiaoAnTieuHoc.com (19) Chủ đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện hình Bµi 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O D và E là điểm chính c¸c cung AB vµ AC DE c¾t AB ë I vµ c¾t AC ë L a) Chøng minh DI = IL = LE b) Chøng minh tø gi¸c BCED lµ h×nh chö nhËt c) Chøng minh tø gi¸c ADOE lµ h×nh thoi vµ tÝnh c¸c gãc cña h×nh nµy Bµi 2: Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®êng trßn cã c¸c ®êng chÐo vu«ng gãc víi t¹i I a) Chøng minh r»ng nÕu tõ I ta h¹ ®êng vu«ng gãc xuèng mét c¹nh cña tø gi¸c th× ®êng vuông góc này qua trung điểm cạnh đối diện cạnh đó b) Gọi M, N, R, S là trung điểm các cạnh tứ giác đã cho Chứng minh MNRS là h×nh ch÷ nhËt c) Chøng minh ®êng trßn ngo¹i tiÕp h×nh ch÷ nhËt nµy ®i qua ch©n c¸c ®êng vu«ng gãc h¹ tõ I xuèng c¸c c¹nh cña tø gi¸c Bµi 3: Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( A = 1v) cã AH lµ ®êng cao Hai ®êng trßn ®êng kÝnh AB và AC có tâm là O1 và O2 Một cát tuyến biến đổi qua A cắt đường tròn (O1) và (O2) M và N a) Chøng minh tam gi¸c MHN lµ tam gi¸c vu«ng b) Tø gi¸c MBCN lµ h×nh g×? c) Gọi F, E, G là trung điểm O1O2, MN, BC Chứng minh F cách điểm E, G, A, H d) Khi c¸t tuyÕn MAN quay xung quanh ®iÓm A th× E v¹ch mét ®êng nh thÕ nµo? Bµi 4: Cho h×nh vu«ng ABCD LÊy B lµm t©m, b¸n kÝnh AB, vÏ 1/4 ®êng trßn phÝa h×nh vu«ng.LÊy AB lµm ®êng kÝnh , vÏ 1/2 ®êng trßn phÝa h×nh vu«ng Gäi P lµ ®iÓm tuỳ ý trên cung AC ( không trùng với A và C) H và K là hình chiếu P trên AB và AD, PA và PB cắt nửa đường tròn I và M a) Chøng minh I lµ trung ®iÓm cña AP b) Chứng minh PH, BI, AM đồng qui c) Chøng minh PM = PK = AH d) Chøng minh tø gi¸c APMH lµ h×nh thang c©n đ) Tìm vị trí điểm P trên cung AC để tam giác APB là Chủ đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm cùng nằm trªn mét ®êng trßn Bµi 1: (Bµi 1.5/53 – NguyÔn TiÕn Quang) Cho hai ®êng trßn (O), (O') c¾t t¹i A, B C¸c tiÕp tuyÕn t¹i A cña (O), (O') c¾t (O'), (O) các điểm E, F Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EAF a) Chøng minh tø gi¸c OAO'I lµ h×nh b×nh hµnh vµ OO'//BI b) Chøng minh bèn ®iÓm O, B, I, O' cïng thuéc mét ®êng trßn c) KÐo dµi AB vÒ phÝa B mét ®o¹n CB = AB Chøng minh tø gi¸c AECF néi tiÕp Bµi 2: (Bµi 65/52 - ¤n tËp vµ kiÓm tra h×nh häc 9) Cho tam giác ABC Hai đường cao BE và CF cắt H.Gọi D là điểm đối xứng H qua trung ®iÓm M cña BC 19 GiaoAnTieuHoc.com (20) a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn.Xác định tâm O đường tròn đó b) §êng th¼ng DH c¾t ®êng trßn (O) t¹i ®iÓm thø lµ I Chøng minh r»ng ®iÓm A, I, F, H, E cïng n»m trªn mét ®êng trßn Bµi 3: (Bµi 66/52 - ¤n tËp vµ kiÓm tra h×nh häc 9) Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O') c¾t t¹i A vµ B Tia OA c¾t ®êng trßn (O') t¹i C, tia O'A c¾t ®êng trßn (O) t¹i D Chøng minh r»ng: a) Tø gi¸c OO'CD néi tiÕp b) Tứ giác OBO'C nội tiếp, từ đó suy năm điểm O, O', B, C, D cùng nằm trên đường trßn Bµi 4: (Bµi 67/53 - ¤n tËp vµ kiÓm tra h×nh häc 9) Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AD Hai ®êng chÐo AC vµ BD c¾t t¹i E VÏ EF vu«ng gãc AD Gäi M lµ trung ®iÓm cña DE Chøng minh r»ng: a) C¸c tø gi¸c ABEF, DCEF néi tiÕp ®îc b) Tia CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BCF c)* Tø gi¸c BCMF néi tiÕp ®îc Bµi 5: (Bµi 69/53 - ¤n tËp vµ kiÓm tra h×nh häc 9) Tõ mét ®iÓm M ë bªn ngoµi ®êng trßn (O) ta vÏ hai tiÕp tuyÕn MA, MB víi ®êng trßn Trªn cung nhá AB lÊy mét ®iÓm C VÏ CD AB, CE MA, CF MB Gäi I lµ giao ®iÓm cña AC vµ DE, K lµ giao ®iÓm cña BC vµ DF Chøng minh r»ng: a) C¸c tø gi¸c AECD, BFCD néi tiÕp ®îc b) CD2 = CE CF c)* IK // AB Bµi 6: (Bµi 78/57 - ¤n tËp vµ kiÓm tra h×nh häc 9) Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn (O) Tõ A vÏ tiÕp tuyÕn xy víi ®êng trßn VÏ hai ®êng cao BD vµ CE a) Chøng minh r»ng bèn ®iÓm B, C, D, E cïng n»m trªn mét ®êng trßn b) Chứng minh xy// DE, từ đó suy OA DE Bµi 7: (Bµi 79/57 - ¤n tËp vµ kiÓm tra h×nh häc 9) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Trên cung nhỏ AB lấy điểm M §êng th¼ng qua A song song víi BM c¾t CM t¹i N a) Chứng minh tam giác AMN là tam giác b) Chøng minh r»ng MA + MB = MC c)* Gäi D lµ giao ®iÓm cña AB vµ CM Chøng minh r»ng: 1 + = AM MB MD Bµi 8: (Bµi 131/100 - ¤n tËp vµ kiÓm tra h×nh häc 9) Cho ba điểm A, B, C cố định với B nằm A và C Một đường tròn (O) thay đổi qua B vµ C VÏ ®êng kÝnh MN vu«ng gãc víi BC t¹i D ( M n»m trªn cung nhá BC).Tia AN c¾t ®êng trßn (O) T¹i mét ®iÓm thø hai lµ F Hai d©y BC vµ MF c¾t t¹i E Chøng minh r»ng: a) Tø gi¸c DEFN néi tiÕp ®îc b) AD AE = AF AN c) Đường thẳng MF qua điểm cố định Bµi 9: (Bµi 133/100 - ¤n tËp vµ kiÓm tra h×nh häc 9) Tõ mét ®iÓm A ë bªn ngoµi ®êng trßn ( O; R) vÏ hai tiÕp tuyÕn AB, AC víi ®êng trßn Gäi M lµ trung ®iÓm cña AB Tia CM c¾t ®êng trßn t¹i ®iÓm N Tia AN c¾t ®êng trßn t¹i ®iÓm D 20 GiaoAnTieuHoc.com (21)