2 Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.. 2 Do đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.[r]
(1)BAØI TAÄP PHAÀN RUÙT GOÏN Baøi : P = 14 14 x 2 x x 1 2) Cho biÓu thøc : Q= x x x x a) Rút gọn biểu thức Q b) Tìm x để Q > - Q c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên 1) §¬n gi¶n biÓu thøc : Hướng dẫn : P = a) §KX§ : x > ; x BiÓu thøc rót gän : Q = x 1 b) Q > - Q x > c) x = 2;3 th× Q Z Baøi : Cho biÓu thøc P = x 1 x x x a) Rót gän biÓu thøc sau P b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P x = Hướng dẫn : x 1 a) §KX§ : x > ; x BiÓu thøc rót gän : P = 1 x b) Víi x = th× P = - – 2 Baøi : Cho biÓu thøc : A = x x 1 x 1 x 1 x 1 a) Rót gän biÓu thøc sau A b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A x = c) Tìm x để A < d) Tìm x để A = A Hướng dẫn : a) §KX§ : x 0, x BiÓu thøc rót gän : A = th× A = - c) Víi x < th× A < d) Víi x > th× A = A b) Víi x = Lop10.com x x 1 (2) Baøi : Cho biÓu thøc : A = 1 a a a 3 a) Rót gän biÓu thøc sau A b) Xác định a để biểu thức A > Hướng dẫn : a) §KX§ : a > vµ a BiÓu thøc rót gän : A = a 3 b) Víi < a < th× biÓu thøc A > x x x 4x x 2003 Baøi : Cho biÓu thøc: A= x2 x x 1 x 1 1) Tìm điều kiện x để biểu thức có nghĩa 2) Rót gän A 3) Với x Z ? để A Z ? Hướng dẫn : a) §KX§ : x ≠ ; x ≠ x 2003 b) BiÓu thøc rót gän : A = víi x ≠ ; x ≠ x c) x = - 2003 ; 2003 th× A Z Baøi : Cho biÓu thøc: x x 1 x x 1 x x 1 A= : x x x x x a) Rót gän A b) Tìm x để A < c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên Hướng dẫn : x 1 a) §KX§ : x > ; x ≠ BiÓu thøc rót gän : A = x 1 b) Víi < x < th× A < c) x = 4;9 th× A Z x2 x x 1 Baøi : Cho biÓu thøc: A = : x x x x 1 x a) Rót gän biÓu thøc A b) Chøng minh r»ng: < A < Hướng dẫn : a) §KX§ : x > ; x ≠ BiÓu thøc rót gän : A = x x 1 b) Ta xét hai trường hợp : Lop10.com (3) +) A > +) A < x x 1 > luôn đúng với x > ; x ≠ (1) < 2( x x ) > x x > đúng vì theo gt thì x > (2) x x 1 Tõ (1) vµ (2) suy < A < 2(®pcm) a 3 Baøi : Cho biÓu thøc: P = a 2 a 1 a 2 a 4 (a 0; a 4) 4a a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi a = Hướng dẫn : a) §KX§ : a 0, a BiÓu thøc rót gän : P = a 2 b) Ta thÊy a = §KX§ Suy P = a a a a Baøi : Cho biÓu thøc: N = 1 1 a a 1) Rót gän biÓu thøc N 2) Tìm giá trị a để N = -2004 Hướng dẫn : a) §KX§ : a 0, a BiÓu thøc rót gän : N = – a b) Ta thÊy a = - 2004 §KX§ Suy N = 2005 Baøi 10 : Cho biÓu thøc P x x 26 x 19 x x2 x 3 x 1 x 3 x3 a Rót gän P b TÝnh gi¸ trÞ cña P x c Với giá trị nào x thì P đạt giá trị nhỏ và tính giá trị nhỏ đó Hướng dẫn : x 16 a ) §KX§ : x 0, x BiÓu thøc rót gän : P x 3 103 3 b) Ta thÊy x §KX§ Suy P 22 c) Pmin=4 x=4 x Baøi 11 : Cho biÓu thøc P x x x 3 3x x : 1 x x c T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P Hướng dẫn : 3 a ) §KX§ : x 0, x BiÓu thøc rót gän : P x3 a Rót gän P b Tìm x để P Lop10.com (4) b Víi x th× P c Pmin= -1 x = a 1 a 1 Bµi 12: Cho A= a a víi x>0 ,x a 1 a a 1 a Rót gän A 10 . b TÝnh A víi a = 15 15 ( KQ : A= 4a ) x 3 x 9 x x 3 x 2 Bµi 13: Cho A= 1 : víi x , x 9, x x 2 x x 9 x x 6 a Rót gän A b x= ? Th× A < c Tìm x Z để A Z (KQ : A= ) x 2 15 x 11 x 2 x víi x , x x x 1 x x 3 a Rót gän A b T×m GTLN cña A c Tìm x để A = 2 25 x d CMR : A (KQ: A = ) x 3 Bµi 14: Cho A = Bµi 15: Cho A = x2 x 1 x x 1 x x 1 1 x víi x , x a Rót gän A b T×m GTLN cña A ( KQ : A = x ) x x 1 víi x , x x 1 x x 1 x x 1 Bµi 16: Cho A = a Rót gän A b CMR : A 1 ( KQ : A= x ) x x 1 x x 25 x x 3 x 5 Bµi 17: Cho A = 1 : x 5 x x 25 x x 15 a Rót gän A b Tìm x Z để A Z Lop10.com (5) ( KQ : a 9 a a 1 a 5 a 6 a 3 a a Rót gän A b Tìm a để A < Bµi 18: Cho A = c Tìm a Z để A Z ) x 3 A= víi a , a , a ( KQ : A = a 1 ) a 3 x x 7 x 2 x 2 x Bµi 19: Cho A= : víi x > , x x x x x x a Rót gän A x9 b So s¸nh A víi ( KQ : A = ) A x 3 x y x y : Bµi20: Cho A = x y yx a Rót gän A b CMR : A ( KQ : x y xy víi x , y 0, x y x y A= xy ) x xy y x x 1 x x 1 x 1 x 1 x x x x x x x 1 x a Rót gän A Bµi 21 : Cho A = b Tìm x để A = ( KQ : A= ) x x 1 x x 4 x 2 x Bµi 22 : Cho A = : x x 2 x 2 x x a Rót gän A b TÝnh A víi x = (KQ: A = 1 x ) Víi x > , x víi x > , x 1 Bµi 23 : Cho A= víi x > , x : 1 x 1 x 1 x 1 x x a Rót gän A b TÝnh A víi x = (KQ: A= ) x 2x 1 x4 Bµi 24 : Cho A= : 1 víi x , x x x x x a Rót gän A Lop10.com (6) b Tìm x Z để A Z (KQ: A= x ) x 3 x 2 Bµi 25: Cho A= : víi x , x x x x x x x x a Rót gän A b Tìm x Z để A Z x 1 c Tìm x để A đạt GTNN (KQ: A= ) x 1 x x 3x x Bµi 26 : Cho A = 1 víi x , x : x x x x 3 a Rót gän A b Tìm x để A < 3 ( KQ : A = ) a 3 x 1 x 1 x x x Bµi 27 : Cho A = : víi x , x x x x x x a Rót gän A x b TÝnh A víi x = (KQ: A= ) x4 c CMR : A Bµi 28 : x 1 Cho A = : x 1 x x 1 x x a Rót gän A (KQ: víi x > , x A= x 1 ) x b.So s¸nh A víi x 1 1 x x 2 Cho A = : 1 Víi x 0, x x 1 x 1 9x 1 x 1 a Rót gän A b Tìm x để A = c Tìm x để A < x x ( KQ : A = ) x 1 x 2 x x2 2x Bµi30 : Cho A = víi x , x x x x a Rót gän A b CMR nÕu < x < th× A > c TÝnh A x =3+2 Bµi 29 : Lop10.com (7) d T×m GTLN cña A (KQ: A= x (1 x ) ) x2 x x 1 Bµi 31 : Cho A = : x x 1 x x 1 1 x víi x , x a Rót gän A b CMR nÕu x , x th× A > , (KQ: Bµi 32 : x2 x Cho A = 1 : x 1 x 1 x 1 A= ) x x 1 víi x > , x 1, x a Rót gän b Tìm x để A = x 1 x x x Bµi 33 : Cho A = : víi x , x x 1 x 1 x 1 x 1 a Rót gän A b TÝnh A x= 0,36 c Tìm x Z để A Z x x 3 x 2 x 2 Bµi 34 : Cho A= 1 : víi x , x , x 1 x x x x x a Rót gän A b Tìm x Z để A Z x 2 c Tìm x để A < (KQ: A= ) x 1 BAØI TAÄP PHAÀN HAØM SOÁ BAÄC NHAÁT Baøi : 1) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4) 2) Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng trên với trục tung và trục hoành Hướng dẫn : 1) Gäi pt ®êng th¼ng cÇn t×m cã d¹ng : y = ax + b 2 a b a Do ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm (1 ; 2) vµ (-1 ; -4) ta cã hÖ pt : a b b 1 Lop10.com (8) VËy pt ®êng th¼ng cÇn t×m lµ y = 3x – 2) Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ -1 ; Đồ thị cắt trục hoành điểm có hoành độ b»ng Baøi : Cho hµm sè y = (m – 2)x + m + 1) Tìm điều kiện m để hàm số luôn nghịch biến 2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ 3) Tìm m để đồ thị hàm số trên và các đồ thị các hàm số y = -x + ; y = 2x – đồng quy Hướng dẫn : 1) Hµm sè y = (m – 2)x + m + m – < m < 2) Do đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ Suy : x= ; y = Thay x= ; y = vµo hµm sè y = (m – 2)x + m + 3, ta ®îc m = y x 3) Giao điểm hai đồ thị y = -x + ; y = 2x – là nghiệm hệ pt : y 2x (x;y) = (1;1) Để đồ thị y = (m – 2)x + m + 3, y = -x + và y = 2x – đồng quy cần : (x;y) = (1;1) lµ nghiÖm cña pt : y = (m – 2)x + m + 1 Víi (x;y) = (1;1) m = Baøi : Cho hµm sè y = (m – 1)x + m + 1) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 2) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số qua điểm (1 ; -4) 3) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn qua với m Hướng dẫn : 1) Để hai đồ thị hàm số song song với cần : m – = - m = -1 Vậy với m = -1 đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vµo pt : y = (m – 1)x + m + Ta ®îc : m = -3 Vậy với m = -3 thì đồ thị hàm số qua điểm (1 ; -4) 3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn qua là M(x0 ;y0) Ta có x0 y0 = (m – 1)x0 + m + (x0 – 1)m - x0 - y0 + = y0 Vậy với m thì đồ thị luôn qua điểm cố định (1;2) Baøi4 : Cho hai ®iÓm A(1 ; 1), B(2 ; -1) 1) Viết phương trình đường thẳng AB 2) Tìm các giá trị m để đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đường thẳng AB đồng thời qua điểm C(0 ; 2) Hướng dẫn : 1) Gäi pt ®êng th¼ng AB cã d¹ng : y = ax + b 1 a b a 2 Do ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm (1 ; 1) vµ (2 ;-1) ta cã hÖ pt : a b b VËy pt ®êng th¼ng cÇn t×m lµ y = - 2x + Lop10.com (9) 2) Để đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đường thẳng AB đồng thời m 3m 2 m = qua ®iÓm C(0 ; 2) ta cÇn : m 2m Vậy m = thì đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đường thẳng AB đồng thêi ®i qua ®iÓm C(0 ; 2) Baøi : Cho hµm sè y = (2m – 1)x + m – 1) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm (2; 5) 2) Chứng minh đồ thị hàm số luôn qua điểm cố định với m Tìm điểm cố định Êy 3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ x = Hướng dẫn : 1) m = 2) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn qua là M(x0 ;y0) Ta có 1 x0 y0 = (2m – 1)x0 + m - (2x0 + 1)m - x0 - y0 - = y 1 Vậy với m thì đồ thị luôn qua điểm cố định ( ; ) 2 Baứi : Tìm giá trị k để các đường thẳng sau : 6x 4x y= ;y= vµ y = kx + k + c¾t t¹i mét ®iÓm Baứi : Giả sử đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b Xác định a, b để (d) qua hai điểm A(1; 3) vµ B(-3; -1) Baøi : Cho hµm sè : y = x + m (D) Tìm các giá trị m để đường thẳng (D) : 1) §i qua ®iÓm A(1; 2003) 2) Song song víi ®êng th¼ng x – y + = Chủ đề : Phương trình – bất phương trình bậc ần Hệ phương trình bậc ẩn A kiÕn thøc cÇn nhí : Phương trình bậc : ax + b = Phương pháp giải : + Nếu a ≠ phương trình có nghiệm : x = a b + Nếu a = và b ≠ phương trình vô nghiệm + Nếu a = và b = phương trình có vô số nghiệm Lop10.com (10) ax by c a' x b' y c' Hệ phương trình bậc hai ẩn : Phương pháp giải : Sö dông mét c¸c c¸ch sau : +) Phương pháp : Từ hai phương trình rút ẩn theo ẩn , vào phương trình thứ ta phương trình bậc ẩn +) Phương pháp cộng đại số : - Quy đồng hệ số ẩn nào đó (làm cho ẩn nào đó hệ có hệ số đối nhau) - Trừ cộng vế với vế để khử ẩn đó - Gi¶i mét Èn, suy Èn thø hai B VÝ dô minh häa : Ví dụ : Giải các phương trình sau đây : x x 2 a) §S : §KX§ : x ≠ ; x ≠ - S = 4 x -1 x 2x - b) =2 x x 1 Gi¶i : §KX§ : x x ≠ (*) 2x - 3 Khi đó : = 2x = - x = x x 1 3 3 3 Víi x = thay vµo (* ) ta cã ( ) + +1≠0 2 3 VËy x = lµ nghiÖm Ví dụ : Giải và biện luận phương trình theo m : (m – 2)x + m2 – = (1) + NÕu m th× (1) x = - (m + 2) + NÕu m = th× (1) v« nghiÖm Ví dụ : Tìm m Z để phương trình sau đây có nghiệm nguyên (2m – 3)x + 2m2 + m - = Gi¶i : Ta có : với m Z thì 2m – , vây phương trình có nghiệm : x = - (m + 2) 2m - để pt có nghiệm nguyên thì 2m – Gi¶i ta ®îc m = 2, m = Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : 7x + 4y = 23 Gi¶i : 23 - 7x x 1 a) Ta cã : 7x + 4y = 23 y = = – 2x + 4 V× y Z x – Gi¶i ta ®îc x = vµ y = BAØI TAÄP PHAÀN HEÄ PHÖÔNG TRÌNH Baứi : Giải hệ phương trình: 2x 3y 5 a) b) 3x 4y x 4y 4x 3y 2x y c) 5 y 4x 10 Lop10.com x y d) x y (11) 2 x x y f) 1, x x y 2x e) 4x 2y 3 Baứi : Cho hệ phương trình : mx y x my 1) Giải hệ phương trình theo tham số m 2) Gọi nghiệm hệ phương trình là (x, y) Tìm các giá trị m để x + y = -1 3) Tìm đẳng thức liên hệ x và y không phụ thuộc vào m Hướng dẫn : Baứi : Cho hệ phương trình: x 2y m 2x y 3(m 2) 1) Giải hệ phương trình thay m = -1 2) Gọi nghiệm hệ phương trình là (x, y) Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ Baứi : Cho hệ phương trình: (a 1)x y a cã nghiÖm nhÊt lµ (x; y) x (a 1)y 1) Tìm đẳng thức liên hệ x và y không phụ thuộc vào a 2) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a tho¶ m·n 6x2 – 17y = 2x 5y 3) Tìm các giá trị nguyên a để biểu thức nhËn gi¸ trÞ nguyªn xy Baứi : Cho hệ phương trình: x ay (1) ax y 1) Gi¶i hÖ (1) a = 2) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× hÖ cã nghiÖm nhÊt mx y n Baứi : Xác định các hệ số m và n, biết hệ phương trình nx my cã nghiÖm lµ 1; a 1x y Baứi : Cho hệ phương trình (a lµ tham sè) ax y 2a 1) Gi¶i hÖ a = 2) Chøng minh r»ng víi mäi a hÖ lu«n cã nghiÖm nhÊt (x ; y) tho¶ m·n x + y x - (m 3)y Baứi (trang 22): Cho hệ phương trình : (m lµ tham sè) (m - 2)x 4y m - a) Gi¶i hÖ m = -1 11 Lop10.com (12) b) Gi¶i vµ biÖn luËn pt theo m x - m y Baứi : (trang 24): Cho hệ phương trình : (m lµ tham sè) mx 4y m a) Gi¶i hÖ m = -1 b) Tìm giá trị nguyên m để hệ có hai nghiệm nguyên c) Xaùc ñònh moïi heä coù nghieäm x > 0, y > Bài 10 (trang 23): Một ôtô và xe đạp chuyển động từ đầu đoạn đường sau thì gặp Nếu cùng chiều và xuất phát điểm thì sau hai xe cách 28 km Tính vaän toác cuûa moãi xe HD : Vận tốc xe đạp : 12 km/h Vận tốc ôtô : 40 km/h Bài 11 : (trang 24): Một ôtô từ A dự định đến B lúc 12 trưa Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến B lúc chiều Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến B lúc 11 trưa Tính độ quảng đường AB và thời diểm xuất phát A Đáp số : AB = 350 km, xuất phát A lúc 4giờ sáng Bài 12 : (trang 24): Hai vòi nước cùng chảy vào cài bể nước cạn, sau thì đầy bể Nếu lúc đầu mở vòi thứ nhất, sau mở vòi thứ hai thì sau bể Nếu mình vòi thứ hai chảy bao lâu bể Đáp số : Bài 13 : (trang 24): Biết m gam kg nước giảm t0C thì tỏa nhiệt lượng Q = mt (kcal) Hỏi phải dùng bao nhiêu lít 1000C và bao nhiêu lít 200C để hỗn hợp 10 lít 400C Hường dãn : x y 10 x 2,5 Ta coù heä pt : 100x 20y 400 y 7,5 Vậy cần 2,5 lít nước sôi và 75 lít nước 200C Bài 14 : Khi thêm 200g axít vào dung dịch axít thì dung dịch có nồng độ 50% Lại thêm 300g nước vào dung dịch dung dịch axít có nồng độ 40% Tính nồng độ axít dung dịch ban đầu Hường dãn :Gọi x khối axit ban đầu, y là khối lượng dung dịch ban đầu ( x 200) y 200 100% 50% x 400 Theo baøi ta coù heä pt : y 1000 ( x 200) 100% 40% y 500 Vậy nồng độ phần trăm dung dịch axít ban đầu là 40% Phương trình bậc hai định lý viet và ứng dụng A.Kiến thức cần ghi nhớ Để biện luận có nghiệm phương trình : ax2 + bx + c = (1) đó a,b ,c phụ thuộc tham số m,ta xét trường hợp 12 Lop10.com (13) a) Nếu a= đó ta tìm vài giá trị nào đó m ,thay giá trị đó vào (1).Phương trình (1) trở thành phương trình bậc nên có thể : - Có nghiệm - vô nghiệm - vô số nghiệm b)Nếu a Lập biệt số = b2 – 4ac / = b/2 – ac * < ( / < ) thì phương trình (1) vô nghiệm b * = ( / = ) : phương trình (1) có nghiệm kép x1,2 = 2a b/ (hoặc x 1,2 = - ) a / * > ( > ) : phương trình (1) có nghiệm phân biệt: b b x1 = ; x2 = 2a 2a (hoặc x1 = b / / a ; x2 = b / / ) a Định lý Viét Nếu x1 , x2 là nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a 0) thì b S = x1 + x2 = a c p = x1x2 = a Đảo l¹i: Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p thì hai số đó là nghiệm (nếu cã ) phương trình bậc 2: x2 – S x + p = 3.Dấu nghiệm số phương trình bậc hai Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a 0) Gọi x1 ,x2 là các nghiệm phương tr×nh Ta cã c¸c kÕt qu¶ sau: x1 vµ x2 tr¸i dÊu ( x1 < < x2 ) p = x1x2 < Hai nghiệm cùng dương( x1 > và x2 > ) p S Hai nghiÖm cïng ©m (x1 < vµ x2 < 0) p S Một nghiệm và nghiệm dương( x2 > x1 = 0) p S Mét nghiÖm b»ng vµ nghiÖm ©m (x1 < x2 = 0) p S 13 Lop10.com (14) 4.Vài bài toán ứng dụng định lý Viét a)TÝnh nhÈm nghiÖm Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a 0) c a Nếu a + b + c = thì phương trình có hai nghiệm x1 = , x2 = Nếu a – b + c = thì phương trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2 = - c a Nếu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn và thì phương trình có nghiệm x1 = m , x2 = n hoÆc x1 = n , x2 = m b) Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1 ,x2 nó C¸ch lµm : - LËp tæng S = x1 + x2 - LËp tÝch p = x1x2 - Phương trình cần tìm là : x2 – S x + p = c)Tìm điều kiện tham số để phương trình bậc có nghệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện cho trước.(Các điều kiện cho trước thường gặp và cách biến đổi): *) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p *) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p *) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp *) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22 x x2 S 1 *) = x1 x x1 x p 2 x1 x x1 x S2 2p = p x x1 x1 x *) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2 x x 2a 1 S 2a *) x1 a x a ( x1 a )( x a ) p aS a (Chú ý : các giá trị tham số rút từ điều kiện cho trước phải thoả mãn điều kiện ) d)Tìm điều kiện tham số để phương trình bậc hai có nghiệm x = x1 cho trước Tìm nghiÖm thø C¸ch gi¶i: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x= x1 cho trước có hai cách làm +) Cách 1:- Lập điều kiện để phương trình bậc đã cho có nghiệm: (hoÆc / ) (*) - Thay x = x1 vào phương trình đã cho ,tìm giá trị tham sè - §èi chiÕu gi¸ trÞ võa t×m ®îc cña tham sè víi ®iÒu kiÖn(*) để kết luận +) C¸ch 2: - Kh«ng cÇn lËp ®iÒu kiÖn (hoÆc / ) mµ ta thay lu«n x = x1 vào phương trình đã cho, tìm giá trị tham số - Sau đó thay giá trị tìm tham số vào phương trình và giải phương trình Chú ý : Nếu sau thay giá trị tham số vào phương trình đã cho mà phương trình bậc hai này có < thì kết luận không có giá trị nào tham số để phương trình có nghiệm x1 cho trước *) §ª t×m nghiÖm thø ta cã c¸ch lµm 14 Lop10.com (15) +) Cách 1: Thay giá trị tham số tìm vào phương trình giải phương trình (như cách tr×nh bÇy ë trªn) +) C¸ch :Thay gi¸ trÞ cña tham sè t×m ®îc vµo c«ng thøc tæng nghiÖm sÏ t×m ®îc nghiÖm thø +) Cách 3: thay giá trị tham số tìm vào công thức tích hai nghiệm ,từ đó tìm nghiÖm thø B Bµi tËp ¸p dông Bài 1: Giải và biện luận phương trình : x2 – 2(m + 1) +2m+10 = Gi¶i / 2 Ta cã = (m + 1) – 2m + 10 = m – + Nếu / > m2 – > m < - m > Phương trình đã cho có nghiệm phân biÖt: x1 = m + - m x2 = m + + m + NÕu / = m = - Với m =3 thì phương trình có nghiệm là x1.2 = - Với m = -3 thì phương trình có nghiệm là x1.2 = -2 / + Nếu < -3 < m < thì phương trình vô nghiệm KÕt kuËn: Với m = thì phương trình có nghiệm x = Với m = - thì phương trình có nghiệm x = -2 Với m < - m > thì phương trình có nghiệm phân biệt x1 = m + - m x2 = m + + Với -3< m < thì phương trình vô nghiệm m2 Bài 2: Giải và biện luận phương trình: (m- 3) x2 – 2mx + m – = Hướng dẫn Nếu m – = m = thì phương trình đã cho có dạng * Nếu m – m Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có biệt số / = m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18 - Nếu / = 9m – 18 = m = phương trình có nghiệm kép b/ x1 = x = =-2 a 23 - Nếu / > m >2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt m3 m2 x1,2 = m3 / - Nếu < m < Phương trình vô nghiệm KÕt luËn: Với m = phương trình có nghiệm x = Với m = phương trình có nghiệm x1 = x2 = -2 - 6x – = x=- 15 Lop10.com (16) Với m > và m phương trình có nghiệm x1,2 = Với m < phương trình vô nghiệm m3 m2 m3 Bài 3: Giải các phương trình sau cách nhẩm nhanh a) 2x2 + 2007x – 2009 = b) 17x2 + 221x + 204 = c) x2 + ( )x - 15 = d) x2 –(3 - )x - = Gi¶i a) 2x2 + 2007x – 2009 = cã a + b + c = + 2007 +(-2009) = c 2009 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = , x2 = a b) 17x2 + 221x + 204 = cã a – b + c = 17 – 221 + 204 = Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -1 , c 204 x2 = - = - 12 a 17 c) x2 + ( )x - 15 = cã: ac = - 15 < Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viet ta có : x1 + x2 = -( ) = - + x1x2 = - 15 = (- ) Vậy phương trình có nghiệm là x1 = - , x2= (hoÆc x1 = , x2 = - ) d ) x –(3 - )x - = cã : ac = - < Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viét ,ta có x x - x x - 3(-2 ) Vậy phương trình có nghiệm x1 = , x2 = - Bài : Giải các phương trình sau cánh nhẩm nhanh (m là tham số) a) x2 + (3m – 5)x – 3m + = b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + = Hướng dẫn : a) x2 + (3m – 5)x – 3m + = cã a + b + c = + 3m – – 3m + = Suy : x1 = m 1 HoÆc x2 = b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + = (*) * m- = m = (*) trë thµnh – 4x – = x = - x1 1 * m – m (*) x 2m m3 16 Lop10.com (17) Bài 5: Gọi x1 , x2 là các nghịêm phương trình : x2 – 3x – = a) TÝnh: A = x12 + x22 B = x1 x C= 1 x1 x D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) 1 vµ x1 x2 Gi¶i ; Phương trình bâc hai x2 – 3x – = có tích ac = - < , suy phương trình có hai nghiệm ph©n biÖt x1 , x2 Theo hÖ thøc ViÐt ,ta cã : S = x1 + x2 = vµ p = x1x2 = -7 a)Ta cã + A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = – 2(-7) = 23 b) lập phương trình bậc có các nghiệm là + (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = x1 x = S p 37 ( x1 x ) 1 S 2 = x1 x ( x1 1)( x 1) p S 2 + D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x1 + x2 ) + x1x2 = 10x1x2 + (x12 + x22) = 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - b)Ta cã : 1 (theo c©u a) S= x1 x 1 p= ( x1 1)( x 1) p S 1 VËy vµ là nghiệm hương trình : x1 x2 1 X2 – SX + p = X2 + X - = 9X2 + X - = 9 +C= Bài : Cho phương trình : x2 – ( k – 1)x - k2 + k – = (1) (k lµ tham sè) Chứng minh phương trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với giá trị k Tìm giá trị k để phương trình (1) có nghiệm phân biệt trái dấu Gọi x1 , x2 là nghệm phương trình (1) Tìm k để : x13 + x23 > Gi¶i Phương trình (1) là phương trình bậc hai có: = (k -1)2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + = 5(k2 - k+ ) 5 36 36 = 5(k2 – k + + ) = 5(k - ) + > với giá trị k Vậy phương 25 25 5 tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu p < 17 Lop10.com (18) 1 + )<0 - k2 + k – < - ( k2 – k + 4 < luôn đúng với k.Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu -(k - ) víi mäi k Ta cã x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) Vì phương trình có nghiệm với k Theo hệ thức viét ta có x1 + x2 = k – vµ x1x2 = - k2 + k – x13 + x23 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1) = (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 + k – 2)] = (k – 1) (4k2 – 5k + 7) 87 = (k – 1)[(2k - )2 + ] 16 87 Do đó x13 + x23 > (k – 1)[(2k - )2 + ] >0 16 87 > víi mäi k) k – > ( v× (2k - )2 + 16 k>1 VËy k > lµ gi¸ trÞ cÇn t×m Bµi 7: Cho phương trình : x2 – 2( m + 1) x + m – = (1) (m là tham số) Giải phương trình (1) với m = -5 Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với m Tìm m để x1 x đạt giá trị nhỏ (x1 , x2 là hao nghiệm phương trình (1) nói phÇn 2.) Gi¶i Với m = - phương trình (1) trở thành x2 + 8x – = và có nghiệm là x1 = , x2 = - Cã / = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + – m + = m2 + m + 1 19 19 = m2 + 2.m + + = (m + )2 + > víi mäi m 4 Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm phân biệt x1 , x2 Vì phương trình có nghiệm với m ,theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = 2( m + 1) vµ x1x2 = m – Ta cã (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – (m – 4) 19 = 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m + )2 + ] 19 19 1 2 => x1 x = (m ) = 19 m + =0 m=2 4 2 Vậy x1 x đạt giá trị nhỏ 19 m = Bài : Cho phương trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – = (m là tham số) 1) Giải phương trình m = 2) Chứng minh phương trình đã cho có nghiệm với m 3) Tìm tất các giá trị m cho phương trình có hai nghiệm phân biệt và nghiÖm nµy gÊp ba lÇn nghiÖm 18 Lop10.com (19) Gi¶i: vào phương trình đã cho và thu gọn ta 5x2 - 20 x + 15 = phương trình có hai nghiệm x1 = , x2= 2) + Nếu: m + = => m = - đó phương trình đã cho trở thành; 5x – = x = + Nếu : m + => m - Khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc hai có biệt sè : = (1 – 2m)2 - 4(m + 2)( m – 3) = – 4m + 4m2 – 4(m2- m – 6) = 25 > Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt 2m 2m 2m 2(m 3) m x2 = x1 = = 2(m 2) 2(m 2) 2(m 2) m 2m Tóm lại phương trình đã cho luôn có nghiệm với m 3)Theo câu ta có m - thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm này gấp lần nghiệm ta sét trường hợp m3 Trường hợp : 3x1 = x2 = giải ta m = (đã giải câu 1) m2 m3 11 Trường hợp 2: x1 = 3x2 1= (tho¶ m·n ®iÒu m + = 3m – m = m2 kiÖn m - 2) 11 KiÓm tra l¹i: Thay m = vào phương trình đã cho ta phương trình : 15x2 – 20x + = phương trình này có hai nghiệm x1 = , x = = (tho¶ m·n ®Çu bµi) 15 1) Thay m = - Bài 9: Cho phương trình : mx2 – 2(m-2)x + m – = (1) với m là tham số Biện luận theo m có nghiệm phương trình (1) Tìm m để (1) có nghiệm trái dấu Tìm m để (1) có nghiệm Tìm nghiệm thứ hai Gi¶i 1.+ NÕu m = thay vµo (1) ta cã : 4x – = x = / + NÕu m LËp biÖt sè = (m – 2) – m(m-3) = m2- 4m + – m2 + 3m =-m+4 / < - m + < m > : (1) v« nghiÖm / = - m + = m = : (1) cã nghiÖm kÐp b/ m x1 = x = - a m 2 / > - m + > m < 4: (1) cã nghiÖm ph©n biÖt m2 m4 m2 m4 x1 = ; x2 = m m Vậy : m > : phương trình (1) vô nghiệm m = : phương trình (1) Có nghiệm kép x = 19 Lop10.com (20) m < : phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: m2 m4 m m = : Phương trình (1) có nghiệm đơn x = c m3 (1) cã nghiÖm tr¸i dÊu <0 <0 a m m m m m m m m m m Trường hợp kh«ng tho¶ m·n m x1 = m2 m4 m ; x2 = m Trường hợp 0<m<3 m *)Cách 1: Lập điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm / m (*) (ở câu a đã có) - Thay x = vào phương trình (1) ta có : 9m – 6(m – 2) + m -3 = 4m = -9 m = - §èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn (*), gi¸ trÞ m = - 9 tho¶ m·n *) Cách 2: Không cần lập điều kiện / mà thay x = vào (1) để tìm m = - Sau đó vào phương trình (1) : 9 - x2 – 2(- - 2)x - - = -9x2 +34x – 21 = 4 x1 / cã = 289 – 189 = 100 > => x2 Vậy với m = - thì phương trình (1) có nghiệm x= *)§Ó t×m nghiÖm thø ,ta cã c¸ch lµm Cách 1: Thay m = - vào phương trình đã cho giải phương trình để tìm x2 = (Như phần trên đã làm) C¸ch 2: Thay m = - vµo c«ng thøc tÝnh tæng nghiÖm: thay m = - 20 Lop10.com (21)