T×m NTP cña tõng ph©n thøc.. Mét sè lo¹i to¸n thêng kÌm theo bµi to¸n rót gän. §èi chiÕu ®iÒu kiÖn vµ chän nghiÖm hîp lÝ.. Rót gän biÓu thøc A.. §èi chiÕu ®iÒu kiÖn vµ chän nghiÖm hîp [r]
(1)A bậc 2 I lý thuyết
1 Định nghĩa:
CBH số không ©m a lµ √a vµ - √a CBHSH cđa mét số không âm a a (x= a
x ≥0 x2=a
¿{
( Víi a ) Điều kiện tồn : A có nghÜa A
3 Hằng đẳng thức : √A
2 =|A|
=
A A
4 Liên hệ phép nhân ; phép chia phép khai phơng
+ Víi A 0;B ≥0 ta cã √AB=√A.√B
+Víi A 0;B>0 ta cã √A
B= √A √B Đa thừa số dấu :
2
A B A B
víi B Hay: - Víi A , B Th× √A2B
=A√B - Víi A<0 , B Th× √A2
B=− A√B Đa thừa số vào dấu :
Víi A , B Th× A √B=√A2B
Víi A , B Thì A B=A2B
7 Khữ mẩu biểu thức lấy : Với AB 0;B ≠0 Th× √A
B=√
AB
B2 = AB
|B|
8 Trục thức mÉu: - Víi B >0 th× A
√B= A√B
B
- Víi B 0; A2 B th×
B A+√¿
¿
C¿
C A −√B=¿
- Víi A ; B A B :
B A+
¿
C¿
C
√A −√B=¿
II Các dạng tập
Dng toỏn tỡm điều kiện để biểu thức có nghĩa:
(2)2
4
) b) -3x c) d)
3 -1 x
x
e) g) -5x h) 2x i) x
a x
x
Gi¶i:
a) √1−8x xác định - 8x ⇔x ≤1
b) -3x 4 xác định
4
3
x x
c)
4
x xác định x 3 x 3
d)
1
-1 x xác định -1+x >0 x1 e)
x
3 xác định x0
g) -5x xác định 5x0 x 0 h) 2x xác định x0
i) x xác định với x
Bµi tËp tù lun
C1a/§7
Dạng tốn biến đổi biểu thức dới dấu - Rút gọn
VÝ dô 1: Rót gän :
a) 1−√2¿ ¿ √¿ b)
3 2−√¿
¿ ¿ ¿ √(√3−2)2+√¿ c) √5−2√6+√4+2√3
d) √x2−2x+1
x −1 e) √x+2√x −1
Gi¶i:
a) 1−√2¿ ¿ √¿
(3)b)
3 2−√¿
¿ ¿ ¿ √(√3−2)2+√¿
= |√3−2|+|2−√3|=2−√3+2−√3=4−2√3
c) √5−2√6+√4+2√3 = √3−√¿
¿ ¿2 ¿ ¿ √¿ d) √(x −1)2
x −1 =
|x −1|
x −1 =±1
e) √x+2√x −1 = √(√x −1+1)2=√x −1+1 VÝ dô 2: TÝnh
a) 5
b) 45 20 500
Gi¶i:
a) 5 5 ( 2) 5 2 52
b) √45−2√20+3√500=3√5−2 2√5+3 10√5=(3−4+30)√5=29√5
VÝ dô 3: Chøng minh
2 ) 9- 17 17 b) 2 2 2
) 2009 2008 ( 2008 2009) a
c
hai số nghịch đảo
Gi¶i:
2
) VT= 9- 17 17 9- 17 17 = 81-17= 64=8 =VP b) VT=2 2 2 6 4
) 2009 2008 2009 2008 =2009-2008=1 a
VP c
Mét sè tập tự luyện
Câu 1a Đề số 1 (C1a/§1), C1a/§2, C1a/§4, C1a/§5, C1a/§10, C1a/§12, C1a/§17, C1a/§18, C1a/§19, C1a/Đ23, C1a/Đ24, C1a/Đ26, C1a/Đ27, C1/Đ31, C1a/Đ32, C1a/Đ36,C1a/Đ39
Bài tập bổ trợ cho toán rút gọn biểu thức
Bài Toán quy đồng mẩu thức phân thức.
B íc 1 T×m mÈu thøc chung (MTC)
Trong bớc em cần làm việc sau: +) Phân tích mẩu thức thành nh©n tư
+) Lập tích gồm NTC có số mủ cao NT riêng để có MTC
(4)B ớc 3 Quy đồng (Nhân tử mẩu phân thức với NTP tơng ứng) Ví dụ 1: Quy đồng mẩu thức phân thức sau:
a)
x2−1 vµ
1
x2−2x+1 b)
1
x −4 vµ
1
x −4√x+4 c)
1
x+2x x 4 Giải:
a) Đầu tiên ta phải tìm MTC: Ta có: x2 - = (x - 1)(x + 1)
vµ: x2 - 2x + = (x - 1)2 ph©n tÝch xong, ta thÊy Nh©n tư chung (x - 1), nhân tử
riêng lµ (x + 1)
⇒ MTC lµ: (x - 1)2 (x + 1)
Tìm đợc MTC rồi, ta tiến hành tìm nhân tử phụ (NTP) phân thức: Để tìm NTP phân thức
x2−1 , ta lÊy MTC lµ (x - 1)2 (x + 1) chia cho MÈu thøc riªng
cđa nã lµ (x2 - 1) hay (x - 1)(x + 1)
V× (x - 1)2 (x + 1) : (x - 1)(x + 1) = x - 1
⇒ NTP cđa ph©n thøc
x2−1 là: (x - 1) Tơng tự, để tìm NTP phân thức
x2−2x+1 , ta lÊy MTC lµ (x - 1)
2 (x + 1) chia cho Mẩu
thức riêng x2 - 2x + hay (x - 1)2
V× (x - 1)2 (x + 1):(x - 1)2 = x + 1
⇒ NTP cđa ph©n thøc
x2−2x+1 lµ: (x + 1)
Cơng việc lại quy đồng phân thức cho
Để quy đồng mẩu phân thức ta lấy “tử” “mẩu”cùng nhân với nhân tử phụ (x - 1) Tức là:
x −1¿2(x+1) ¿
1 x2−1=
1
(x −1)(x+1)=
x −1
¿
T¬ng tù:
x −1¿2 ¿
x −1¿2(x+1) ¿ ¿
1 x2−2x+1=
1
¿
b) Ta cã: √x¿2−22=(√x −2)(√x+2) x −4=¿
vµ:
√x −2¿2
√x¿2−2 (√x) 2+22=¿
x −4√x+4=¿
⇒ MTC lµ: √x −2¿2(√x+2)
¿
+) NTP phân thức
x 4 là: √x −2 +) NTP cđa ph©n thøc
x −4√x+4 lµ: √x+2
⇒
√x −2¿2(√x+2) ¿
1 x −4=
1
(√x −2)(√x+2)=
√x −2
(5)Vµ
√x −2¿2 ¿
√x −2¿2(√x+2) ¿
¿
1
x −4√x+4=
1
¿
Bài Toán rút gọn biểu thức.
a) Cách gi¶i:
Bớc Tìm ĐKXĐ biểu thức cho
Bớc Quy đồng mẩu thức phân thức, thực phép toán cộng, trừ, nhân, chia phân thức để đa biểu thức cho dạng đơn giản
b) VÝ dơ: Rót gän biÓu thøc: A = √x √x −1−
2 √x+1−
2 x −1
Gi¶i: BiĨu thøc A cã nghÜa ⇔
¿
x ≥0 √x −1≠0
√x+1≠0
x −1≠0 ⇔ ¿x ≥0
√x ≠1 ∀x x ≠1
⇔ ¿x ≥0
x ≠1
¿{ { { ¿
⇒ ĐKXĐ biểu thức x ≥0 x ≠1 . Khi ta có: A = √x
√x −1− √x+1−
2 x −1
¿ √x(√x+1) (√x −1)(√x+1)−
2(√x −1) (√x+1)(√x −1)−
2
(√x −1)(√x+1) ¿√x(√x+1)−2(√x −1)−2
(√x −1)(√x+1) ¿x+√x −2√x+2−2
(√x −1)(√x+1) ¿ x −√x
(√x −1)(√x+1)
¿ √x(√x −1) (√x −1)(√x+1) ¿ √x
√x+1
◦ Một số đề tự luyn:
(6)Một số loại toán thờng kèm theo toán rút gọn. 1 Tính giá trị biểu thức
Ph
ơng pháp:
Để tính giá trị biểu thức P(x), biết x=a, ta cÇn: + Rót gän biĨu thøc P(x).
+Thay x=a vµo biĨu thøc võa rót gän
VÝ dơ 1: Cho A = √x
√x −1 (víi x x 1) Tìm giá trị A x 3 2 Gi¶i:
Thay x 3 2 vµo biĨu thøc ta cã:
2
2
2
3 2
2 1
3 2 2 1 1
A
VÝ dô 2: Cho biÓu thøc A = (x√x+1 x −1 −
x −1
√x −1):(√x+ √x
√x −1) víi x > vµ x a Rót gän A
b Tìm giá trị x để A = Giải.a Ta có: A = (x√x+1
x −1 − x −1
√x −1):(√x+ √x √x −1) =
((√x+1)(x −√x+1)
(√x −1)(√x+1) −
x −1 √x −1):(
√x(√x −1)
√x −1 + √x
√x −1) = (
x −√x+1
√x −1 − x −1 √x −1):(
x −√x+√x
√x −1 ) = x −√x+1− x+1
√x −1 : x
√x −1 =
−√x+2
√x −1 : x
√x −1 = −√x+2
√x −1 ⋅ √x −1
x =
2−√x x b A = ⇔ 2−√x
x = ⇔ 3x + √x - = ⇒ x = 4/9 ◦ Một số đề tự luyện:
C1/§14, C1/§16, C2/§33, C2/§34, C1/§38.
2 Bài tốn tìm x để biểu thức P = m (m số)
Bíc Sư dơng tÝnh chÊt a b=
c
d⇔a.d=b.c để làm mẩu phơng trình Bớc Giải phơng trình vừa thu đợc để tìm đợc x
Bớc Đối chiếu điều kiện chọn nghiệm hợp lÝ VÝ dô 1: Cho A = √x
√x −1 (với x x 1) Tìm giá trị x để: a) A = b) A =
3 c) A = − Gi¶i: Ta cã:
a) A = ⇔ √x
(7)VËy víi x = th× A =2. b) A =
3⇔ √ x √x −1=
2
3⇔3√x=2(√x −1)⇔3√x=2√x −2⇔√x=−2 (Vơ nghiệm) Vậy khơng có giá trị x để A =
3 . c) A = −1
2⇔ √ x √x −1=−
1
2⇔2√x=−(√x −1)⇔2√x=1−√x⇔3√x=1⇔√x= ⇔x=1
9 (TM§K) VËy víi x =
9 th× A = −
Chú ý: Trong trờng hợp toán cha cho giá trị P em cần dựa giả thiết của bài tốn để tìm P tiến hành giải nh bình thờng.
+)
|P|=m(m≥0)⇔
P=m ¿
P=−m ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
+) P2
=k2⇔
P=k ¿
P=−k ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
VÝ dô 2: Cho P =
2−√x (với x x 4) Tìm giá trị x để: a) |P|=1 b) P2=1
4 c) P2=3P Gi¶i:
a) Ta cã:
|P|=1⇔
P=1 ¿
P=−1 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Trờng hợp 1 Với P=1
2x=13=2x1=xx=1 (Vô nghiƯm) Trêng hỵp 2 Víi P=−1⇔
(8)b) Ta cã:
P2=1
4⇔ P=1
2
¿
P=−1
2
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Trêng hỵp 1 Víi P=1
2⇔ 2−√x=
1
2⇔6=2−√x⇔4=−√x⇔√x=−4 (V« nghiƯm) Trêng hỵp 2
Víi P=−1
2⇔ 2−√x=−
1
2⇔6=−(2−√x)⇔6=√x −2⇔√x=8⇔x=64 (TM) VËy víi x = 64th× P2=1
4 .
b) Ta cã: P2
=3P⇔P2−3P=0⇔P(P −3)=0⇔
P=0 ¿
P=3 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Trêng hỵp 1 Víi P=0⇔
2x=03=0 (Vô nghiệm) Trờng hợp 2 Với P=3
2−√x=3⇔3=3(2−√x)⇔3=6−3√x⇔3√x=3⇔√x=1 ⇔x=1 (TM)
VËy víi x = 1th× P2
=3P . VÝ dơ 3: Cho biĨu thøc: A=
1− x2¿2 ¿
x¿
(xx −3−11 +x)( x3
+1
x+1 − x):¿
Víi x √2 ;1
a Rót gän biĨu thøc A
b Tính giá trị biểu thức cho x = √6+2√2 c Tìm giá trị x để A =
Gi¶i a Rót gän A = x2−2 x
b Thay x= √6+2√2 vào A ta đợc A = 4+2√2
√6+2√2 c A = ⇔ x2 - 3x - = ⇒ x = 3±√17
2
(9)3 Bài tốn tìm x để biểu thức P < m P > m, P m, P m (với m là hằng số)
Bớc Chuyển m sang vế trái, để vế phải
Bớc Quy đồng mẩu thức phân thức làm gọn vế trái
Bớc Xác định dấu tử mẩu vế trái, từ có đợc bất phơng trình đơn giản (không chứa mẩu)
Bớc Giải bất phơng trình để tìm đợc x Bớc Đối chiếu điều kiện chọn nghiệm hợp lí Ví dụ: Cho A = √x −1
√x+1 (với x 0) Tìm giá trị x để:
a) A >
3 b) A <
5 c) A
1 Gi¶i: Ta cã:
a) A > 3⇔
√x −1 √x+1>
1 3⇔
√x −1 √x+1−
1 3>0⇔
3(√x −1)
3(√x+1) −
√x+1
3(√x+1)>0
⇔3(√x −1)−(√x+1) 3(√x+1) >0⇔
2√x −4
3(√x+1)>0⇔2√x −4>0 (v× 3(√x+1)>0 )
⇔2√x>4⇔√x>2⇔x>4 (TM§K)
VËy víi x > th× A > . b) A <
5⇔ √x −1 √x+1<
2 5⇔
√x −1 √x+1−
2 5<0⇔
5(√x −1)
5(√x+1)−
2(√x+1)
5(√x+1)<0
⇔5(√x −1)−2(√x+1) 5(√x+1) <0⇔
3√x −7
5(√x+1)<0⇔3√x −7<0 (v× 5(√x+1)>0 )
⇔3√x<7⇔√x<7
3⇔x< 49
9
Kết hợp với điều kiện xác định ta đợc x < 49 Vậy với x < 49
9 th× A < . c) A
2⇔ √x −1 √x+1≤
1 2⇔
√x −1 √x+1−
1 2≤0⇔
2(√x −1)
2(√x+1)−
(√x+1)
2(√x+1)≤0
⇔2(√x −1)−(√x+1) 2(√x+1) ≤0⇔
√x −3
2(√x+1)≤0⇔√x −3≤0 (v× 2(√x+1)>0 )
⇔√x ≤3⇔x ≤9
Kết hợp với điều kiện xác định ta đợc x Vậy với x A
2 . Chó ý: +) |P|=P⇔P ≥0 .
+) |P|=− P⇔P ≤0 .
+) |P|>P⇔P<0 . +) √P>P⇔0<P<1 .
+) √P<P⇔P>1 .
VÝ dô Cho biÓu thøc: P =
1−√x (với x ≥0 x ≠1 ) Tìm tất giá trị x để: a) |P|=P b) |P|=− P c) √P<P d) √P>P
(10)a) Ta cã: |P|=P⇔P ≥0⇔
1−√x≥0⇔1−√x>0⇔√x<1⇔x<1 Kết hợp với điều kiện xác định ta đợc: 0≤ x<1
VËy víi 0≤ x<1 th× |P|=P .
b)Ta cã: |P|=− P⇔P ≤0⇔
1x01x<0x>1x>1 (thoả mÃn ĐKXĐ) Vậy với x > th× |P|=− P .
c) Ta cã: √P<P⇔P>1⇔
1−√x>1⇔
1−√x−1>0⇔ 1−√x−
1−√x 1−√x>0 ⇔1−(1−√x)
1−√x >0⇔ √x
1−√x>0⇔1−√x>0⇔√x<1⇔x<1 Kết hợp với điều kiện xác định ta đợc: 0≤ x<1
VËy víi 0≤ x<1 th× √P<P .
d) Ta cã:
√P>P⇔0≤ P<1⇔
P≥0 P<1 ⇔ ¿
1−√x≥0 1−√x<1
⇔ ¿1−√x>0
1
1−√x−1<0 ⇔ ¿√x<1
1 1−√x−
1−√x 1−√x<0
¿{
⇔ x<1
√x 1−√x<0
⇔ ¿x<1
1−√x<0 ⇔ ¿x<1
√x>1 ⇔ ¿x<1
x>1 ¿{
(không tồn x)
Vy khụng cú giỏ trị x để √P>P .
◦ Một số đề tự luyện:
C1/§15, C2/§22, C2/§26, C2/§28, C2/§29
(11)Bíc TÝnh P - m = ?
Bớc Nhận xét dấu hiệu P - m để có kết so sánh +) Nếu P - m > P > m
+) NÕu P - m < th× P < m +) NÕu P - m = th× P = m VÝ dơ: Cho P = √x −1
√x (víi x > 0) HÃy so sánh P với Giải: Ta có: P – = √x −1
√x −1= √x −1
√x − √x √x=
√x −1−√x √x =
−1 √x V× −1
√x < ⇒ P - < ⇒ P <
5 Bài toán Chứng minh biểu thức P < m (m số) với giá trị cđa x thc §KX§.
Bíc TÝnh P - m = ?
Bớc Nhận xét dấu hiệu P - m để có điều phải chứng minh +) Nếu P - m > P > m
+) NÕu P - m < th× P < m +) NÕu P - m = th× P = m VÝ dơ 1: Cho P = √x+1
√x (víi x > 0) Chứng minh rằng: P > với giá trị cđa x > Gi¶i: Ta cã: P - = √x+1
√x −1= √x+1
√x − √x √x=
√x+1−√x √x =
1 √x V× víi x > th× √x > ⇒
√x > ⇒ P – > ⇒ P > (®pcm) VÝ dơ 2: Cho P =
2 x x x + 1 x x x - 1 x x
a Rót gän P b Chøng minh: P <
1
3 víi x x 1. Giải Điều kiện: x x 1
Rót gän P = x x x + 1 x x x - ( 1)( 1)
x
x x
=
2 ( )
x x + 1 x x x - 1 x =
2 ( 1)( 1) ( 1)
( 1)( 1)
x x x x x
x x x
= ( 1)( 1)
x x
x x x
=
x x x
b Víi x vµ x 1 Ta cã: P <
1
3
x x x -
1 3 < 0
x x x x
x - 2 x + > 0; ( v× x + x + > ) x - 2 x + > 0 ( x - 1)2 > (x vµ x 1)
6 Bài tốn tìm x để biểu thức P nhận giá trị nguyên (nguyên dơng)
Loại I Bài tốn tìm giá trị ngun x để biểu thức P nhận giá trị nguyên.
(12)Bớc 1: Biến đổi biểu thức P dạng: P = m ± n
f(x) ( Víi m, n Z, f(x) lµ biĨu thøc chøa x) Bíc 2: BiƯn ln:
Vì m Z nên để P nguyờn thỡ n
f(x) phải nguyên, mà
n
f(x) nguyên f(x)
phải íc cđa n”
Bớc 3: Giải phơng trình: f(x) = Ư(n) để tìm đợc x
Bíc 4: Đối chiếu điều kiện chọn nghiệm hợp lí VÝ dô 1: Cho P = √x+2
√x −1 (với x x 1) Tìm giá trị x để P nhận giá trị nguyên
Gi¶i: Ta cã: P = √x+2 √x −1=
(√x −1)+3
√x −1 = √x −1 √x −1+
3
√x −1=1+
√x −1 §Ĩ P nhận giá trị nguyên
x 1 phải nhận giá trị nguyên, mà
x 1 nguyên x 1 phải ớc
⇔ √x −1=1
¿
√x −1=−1 ¿
√x −1=3 ¿
√x −1=−3 ¿
√x=2 ¿
√x=0 ¿
√x=4 ¿
√x=−2(VN) ¿
x=4(TMDK) ¿
x=0(TMDK) ¿
x=16(TMDK) ¿
¿ ¿ ⇔¿
¿ ⇔¿
¿ ¿ ¿
VËy víi x = 0, x = vµ x = 16 P nhận giá trị nguyên. Ví dụ 2: Cho M = √x
√x −2 (với x x 4) Tìm giá trị x để M nhận giá trị nguyên dơng
Gi¶i: Ta cã: M = √x √x −2=
(√x −2)+2 √x −2 =
√x −2
√x −2+
√x −2=1+
(13)§Ĩ P nhận giá trị nguyên
x 2 phải nhận giá trị guyên, mà
x 2 nguyên
x 2 phải ớc
⇔ √x −2=1
¿
√x −2=−1 ¿
√x −2=2 ¿
√x −2=−2 ¿
√x=3 ¿
√x=1 ¿
√x=4 ¿
√x=0 ¿
x=9(TMDK) ¿
x=1(TMDK) ¿
x=16(TMDK) ¿
x=0(TMDK) ¿ ¿ ¿ ⇔¿
¿ ⇔¿
¿ ¿ ¿
Víi x = th× M = √9 √9−2=
3
3−2=3 > (TM) Víi x = th× M = √1
√1−2=
1−2=−1<0 (lo¹i) Víi x = 16 th× M = √16
√16−2=
4−2=2 > (TM) Víi x = M =
02=
02=0 (loại)
VËy víi x = vµ x = 16 M nhận giá trị nguyên dơng.
Ví dơ :Cho biĨu thøc: P = (x√x −1 x −√x −
x√x+1
x+√x ):(
2(x −2√x+1)
x −1 ) a Rót gän P.
b Tìm x ngun để P có giá trị nguyên Giải
(14)Rót gän: P = 2x(x −1) x(x −1) :
2( √x −1❑z)
2
x −1 =
√x −1¿2 ¿ ¿
√x −1
¿
b P = √x+1 √x −1=1+
2
√x 1 Để P nguyên
x 1 nguyên suy x 1 ớc suy với x = {0;4;9} P có giá trị nguyªn
VÝ dơ 4: Cho biĨu thøc M = 2√x −9 x −5√x+6+
2√x+1
√x −3 + √x+3
2−√x a Tìm ĐK x để M có nghĩa rút gọn M
b Tìm x để M = c Tìm x Z để M Z Giải: M = 2√x −9
x −5√x+6+
2√x+1
√x −3+ √x+3
2−√x
a §K x ≥0; x ≠4;x ≠9 M = 2√x −9−(√x+3)(√x −3)+(2√x+1) (√x −2) (√x −2) (√x −3)
Biến đổi ta có kết quả: M = x −√x −2
(√x −2) (√x −3) =
(√x+1)(√x −2)
(√x −3) (√x −2)⇔M= √x+1
√x −3 b M = 5⇔√x −1
√x −3=5⇒√x+1=5(√x −3)⇔√x+1=5√x −15⇔16=4√x⇒√x= 16
4 =4⇒x=16 c M = √x+1
√x −3=
√x −3+4
√x −3 =1+
√x −3 Do M Z nªn √x 3 ớc x 3 nhận giá trị:
- 4; - 2; - 1; 1; 2; ⇒x∈{1;4;16;25;49} x ≠4⇒ x∈{1;16;25;49}
VÝ dô * : Cho biÓu thøc: A =
x2−3
¿2+12x2 ¿ ¿ ¿ √¿
+ x+2¿
2
−8x2
¿ √¿
a Rót gän biĨu thøc A
b Tìm giá trị nguyên x cho biểu thức A có giá trị nguyên Giải:
a §iỊu kiƯn: x A=√x
4
+6x2+9
x2 +√x
2−4x
+4 ¿x
+3
|x| +|x −2|
+ Víi x < 0: A=−2x
+2x −3
x
+ Víi < x 2: A=2x+3
x + Víi x > : A=2x
2
−2x+3
x b Tìm x nguyên để A nguyên: A nguyên ⇔ x2 + ⋮ |x| ⇔ 3 ⋮|x| ⇔ x =
(15)Loại II Bài tốn tìm giá trị x (x bất kì) để biểu thức P nhận giá trị nguyên.
Cách giải:
Bc Nhõn chộo ri t x=y(y ≥0) để đa biểu thức P dạng phơng trình bậc 2có ẩn
lµ y vµ tham sè P
Bớc Tìm P để phơng trình bậc hai ẩn y có nghiệm khơng âm
Bớc Chọn giá trị P nguyên tập hợp giá trị P vừa tìm bớc Bớc Thay P vừa tìm đợc vào biểu thức cho để tìm đợc x
Bíc §èi chiếu ĐKXĐ chọn nghiệm hợp lí Ví dụ: Cho biểu thøc P = 6√x
x+1 (víi x 0)
Gi¶i: Ta cã : P = 6√x
x+1⇔P(x+1)=4√x⇔P.x −6√x+P=0 (1)
Đặt: √x=y (ĐK: y ≥0 ) phơng trình (1) trở thành: P.y2−6y+P=0 (2) Trờng hợp Nu P=0 thỡ 6x
x+1=0x=0x=0 (thoả mÃn điều kiện)
Trờng hợp Nếu P0 phơng trình (2) phơng trình bậc hai ẩn y có: a=P ; b=−6 ; c=P ; b '=b
2=−3 vµ
−3¿2− P.P=9− P2
b '¿2−ac=¿
Δ'=¿
Phơng trình (1) có nghiệm phơng trình (2) có hai nghiệm không âm:
' 0 b
a≥0 c a≥0
⇔ ¿9− P2≥0
6 P≥0 1≥0(∀P)
⇔ ¿P2≤9
P>0 ⇔0<P ≤3
¿{ {
Để P nhận giá trị nguyên P={1;2;3}
Với P=16x
x+1=16x=x+1x 6x+1=0x=17122 (TMĐK)
Víi P=2⇔6√x
x+1=2⇔3√x=x+1⇔x −3√x+1=0⇔x=
7±√5
2 (TM§K)
Víi P=3⇔6√x
x+1=3⇔2√x=x+1⇔x −2√x+1=0⇔x=1 (TM§K)
VËy víi x = 0, x = 1, x = 7±√5
2 , x = 17±12√2 biểu thức P nhận giá trị nguyên. ◦ Một số đề tự luyện:
C1/§13
(16)+) NÕu P(x) k (k số) k gọi giá trị lớn P(x) b) Cách giải:
Loại Trờng hợp biểu thức P có dạng mét ®a thøc P=ax+b√x+c .
Bớc Biến đổi biểu thức P dạng:
P = ±[f(x)]2+m ( f(x) lµ biĨu thøc chøa biÕn x vµ m lµ mét h»ng
sè)
Bớc Lập luận để có giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P Bớc Tìm điều kiện để xảy dấu “=”
Bíc KÕt ln
VÝ dơ Tìm giá trị nhỏ biểu thức:P x 2x+3 (x ≥0)
Gi¶i:
Ta cã: P √x −1¿
2 +2
¿x −2√x+3=(x −2√x+1)+2=¿
V× √x −1¿
2
+2≥2⇒ √x −1¿2≥0⇒¿
¿
P
DÊu “=” x¶y √x −1=0⇔x=1
Vậy giá trị nhỏ biểu thức P Đạt đợc x=1 .
Ví dụ Tìm giá trị lớn cđa biĨu thøc: M = 2+3√x − x (x ≥0)
Gi¶i:
Ta cã: M ¿−(x −3√x −2)=−[(x −2.√x.3 2+
9 4)−2−
9
4]=−(√x − 2)
2 +17
4 V× (√x −3
2)
2
≥0⇒−(√x −3 2)
2
≤0⇒−(√x −3 2)
2 +17
4 ≤ 17
4 ⇒ P 17
4 DÊu “=” x¶y √x −3
2=0⇔x=
Vậy giá trị nhỏ biểu thức P b»ng 17
4 Đạt đợc x= . Ví dụ 3 : Cho biểu thức: D = [√a+√b
1−√ab+
√a+√b
1+√ab] : [1+
a+b+2 ab
1−ab ] a Tìm điều kiện xác định D rút gn D
b Tính giá trị D víi a =
2−√3 c T×m GTLN cđa D
Gi¶i:
a Điều kiện xác định D
¿
a ≥0 b ≥0 ab≠1
¿{ { ¿
D = [2√a+2b√a 1−ab ] : [
a+b+ab
(17)b a =
2+√3 ¿
√3+1¿2⇒√a=√3+1
2¿
2 2+√3=¿
VËy D =
2+2√3
2 2√3+1
=2√3−2
4−√3
c áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có 2√a≤ a+1⇒D ≤1 Vậy giá trị D Loại Trờng hợp biểu thức có dạng P= k
ax+b√x+c ( a , b , c , k lµ h»ng sè, x ≥0 )
Cách giải
Bớc 1 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ mẩu thức: f(x)=ax+bx+c ®iỊu
kiƯn dÊu “=” x¶y
Bớc 2 Căn vào dấu số k để suy giá trị lớn nhỏ P Bớc 3 Kết luận
L u ý .
+) Nếu k>0 P đạt giá trị lớn ⇔f(x) đạt giá trị nhỏ ngợc lại
+) Nếu k<0 P đạt giá trị lớn ⇔f(x) đạt giá trị lớn ngc li
Ví dụ 1 Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc P=
x −√x+1 ( x ≥0 )
Gi¶i:
Ta cã: x −√x+1=(x −2.√x.1 2+
1 4)+
3
4=(√x − 2)
2 +3
4 V×: (√x −1
2)
2
≥0⇒(√x −1 2)
2 +3
4≥
⇒
x −√x+1=
1
(√x −1
2)
+3
4
≤
3
=4
3⇒P ≤
3 DÊu “=” x¶y ⇔√x −1
2=0⇔√x= 2⇔x=
1
Vậy giá trị lớn cđa biĨu thøc P b»ng
3 Đạt đợc x= . Ví dụ Tìm giá trị nhỏ biểu thức M=
− x+2√x+1 ( x ≥0 )
Gi¶i:
Ta cã: √x −1¿
2 +2
− x+2√x+1=−(x −2√x+1)+2=−¿
V×
√x −1¿2+2 ¿
−¿
√x −1¿2+2≤2⇒2 ¿
√x −1¿2≤0⇒−¿
−¿
DÊu “=” x¶y √x −1=0⇔√x=1⇔x=1
Vậy giá trị nhỏ biểu thức M Đạt đợc x=1 .
Loại Trờng hợp biểu thức có dạng P=ax+b
c√x+d ( a , b , c , d lµ h»ng sè x ≥0 )
Bớc Biến đổi biểu thức P dạng:
(18)Bíc BiƯn ln: Trêng hỵp n > 0.
+) P đạt giá trị lớn f(x) đạt giá trị nhỏ +) P đạt giá trị nhỏ f(x) đạt giá trị lớn (Vì: Để P đạt giá trị lớn n
f(x) phải đạt giá trị lớn tức f(x) phải đạt
giá trị nhỏ Còn để P đạt giá trị nhỏ n
f(x) phải đạt giá trị nhỏ
tức f(x) phải đạt giá trị lớn nhất). Trờng hợp n < 0.
+) P đạt giá trị lớn f(x) đạt giá trị lớn +) P đạt giá trị nhỏ f(x) đạt giá trị nhỏ
Bớc Tiến hành tìm giá trị nhỏ lớn f(x) để có đợc giá trị lớn nhỏ P
Bớc Tìm điều kiện để xảy dấu “=” Bớc Kết luận
VÝ dô 1: Cho P = x+3
x+1 (với x
0) Tìm giá trị lớn P.
Giải: Ta có: P = √x+3 √x+1=
(√x+1)+2 √x+1 =
√x+1
√x+1+
√x+1=1+
2
√x+1
Ta thấy: Vì n = > nên: Để P đạt giá trị nhỏ √x+1 phải đạt giá trị lớn
V×: √x ⇒ √x+1≥1 DÊu “=” x¶y x = Giá trị nhỏ x+1
Giá trị lớn P lµ: √0+3 √0+1=3
Vậy: Giá trị lớn P 3, đạt đợc x = 0. Ví dụ 2: Cho M = √x −1
√x+2 (với x 0) Tìm giá trị nhỏ M
Gi¶i: Ta cã: M = √x −1 √x+2=
(√x+2)−3
√x+2 =
√x+2
√x+2+
−3 √x+2=1+
−3 √x+2
Ta thấy: Vì n = - < nên: Để M đạt giá trị nhỏ √x+2 phải đạt giá trị
nhá nhÊt
V×: √x ⇒ √x+2≥2 DÊu “=” x¶y x =
Giá trị nhỏ x+2
Giá trị lớn M là: 01 0+2=
1 Vậy: Giá trị nhá nhÊt cđa M lµ −1
2 , đạt đợc x = 0.
Lo¹i Trêng hợp phân thức có dạng P=a.x+bx+c
mx+n ( a , b , c ,m , n lµ h»ng sè, x ≥0 )
Bớc Biến đổi biểu thức P dạng: P = ±[f(x)+ k
f(x)]+m ( f(x) biểu thức chứa biến x k ;f(x)>0 ) Bớc áp dụng bất đẳng thức Cô - sy cho hai số dơng f(x) k
f(x) từ tìm đợc
giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P Bớc Tìm điều kiện để xảy dấu “=”
(19)VÝ dô 1: Cho A = x+3
x+1 (với x 0) Tìm giá trị nhỏ A
Gi¶i: Ta cã: A = x+3 √x+1=
(x −1)+4 √x+1 =
(√x+1)(√x −1) √x+1 +
4
√x+1=√x −1+
4
√x+1
¿(√x+1)+
√x+1+(−2)
áp dụng bất đẳng thức Cô - sy cho hai số dơng (√x+1)
√x+1 ta đợc:
(√x+1)+
√x+1≥2√(√x+1)
4
(√x+1)=2√4=4
⇒ (√x+1)+
√x+1+(−2)≥4+(−2)=2
⇒ A
DÊu “=” x¶y √
x+1¿2=4⇔√x+1=2⇔√x=1⇔x=1 (√x+1)=
√x+1⇔¿
Vậy: Giá trị nhỏ A 2, đạt đợc x = 1. Ví dụ 2: Cho B = x+12
√x+2 (víi x 0) Tìm giá trị nhỏ B
Giải: Ta cã: A = x+12 √x+2=
(x −4)+16 √x+2 =
(√x+2)(√x −2) √x+2 +
16
√x+2=√x −2+ 16
√x+2 ¿(√x+2)+16
√x+2+(−4)
áp dụng bất đẳng thức Cô - sy cho hai số dơng (√x+2) 16
√x+2 ta đợc:
(√x+2)+16
√x+2≥2√(√x+2)
16
(√x+2)=2√16=8
⇒ (√x+2)+
√x+2+(−4)≥8+(−4)=4
⇒ A
DÊu “=” x¶y √
x+2¿2=16⇔√x+2=4⇔√x=2⇔x=4 (√x+2)=16
√x+2⇔¿ Vậy: Giá trị nhỏ A 4, đạt đợc x = 4.
Lo¹i Trêng hợp biểu thức có dạng P= mx+n
ax+bx+c ( a , b , c ,m , n số, x 0 )
Cách giải:
Bớc Nhân chéo đặt √x=y(y ≥0) để đa biểu thức P dạng phơng trình bậc 2có ẩn
lµ y ( y=√x ) vµ tham sè P
Bớc Tìm P để phơng trình bậc hai ẩn y có nghiệm khơng âm Bớc Tìm điều kiện x để có dấu “=” xảy
Bớc Dựa vào điều kiện P để suy giá trị lớn giá trị nhỏ P, kết luận
VÝ dụ: Tìm giá trị lớn biểu thức: P= 2√x −1
(20)Ta cã: P= 2√x −1
x+2√x+1⇔P(x+2√x+1)=2√x −1⇔Px+2P.√x+P −2√x+1=0
⇔P.x+2(P −1)√x+P+1=0 (1)
Đặt √x=y ( y ≥0 ) phơng trình (1) trở thành: P.y2+2(P −1).y+P+1=0 (2)
Ta cã: a=P ; b=2(P−1) ; c=P+1 ; b '=P−1
Vµ
P−1¿2− P(P+1)=P2−2P+1− P2− P=1−3P
b '¿2−ac=¿
Δ'=¿
TH NÕu P=0 th× 2√x −1=0⇔2√x=1⇔√x=1
2⇔x= TH NÕu P≠0 th× 2√x −1≠0⇔x ≠1
4 Khi phơng trình (2) mơt phơng trình bậc hai Phơng trình (1) có nghiệm ⇔ Phơng trình (2) có hai nghiệm không âm
⇔ Δ' ≥0 − b
a ≥0 c a≥0
⇔ ¿1−3P ≥0
−2(P −1)
P ≥0
¿
P+1
P ≥0 ⇔ ¿3P ≤1
P −1 P ≤0 P+1
P ≥0 ⇔ ¿P ≤1
3 0<P≤1
P ≤−1
¿
P>0 ¿ ¿⇔0<P ≤1
3
¿ ¿ ¿
y −2¿2=0
P=1
3⇔ y
2 +2(1
3−1)y+
3+1=0⇔y
2−4y
+4=0⇔¿ (thay P=
1
3 vµo pt (2)) y −2¿2=0⇔y −2=0⇔y=2⇔√x=2⇔x=4
(21)x y
O
x = m
m Vậy giá trị lớn biÓu thøc P b»ng
3 Đạt đợc x=4
B hµm sè i mét sè kiến thức liên quan
1 Khái niệm hàm số.
Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x cho mổi giá trị x cho giá trị y y đợc gọi hàm số x
KÝ hiÖu: y = f(x)
2 TÝnh chÊt chung cđa hµm sè. Víi x1 vµ x2 bÊt k× thuéc R:
- Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) hàm số y = f(x) đồng biến R
- NÕu x1 < x2 mà f(x1) > f(x2) hàm số y = f(x) nghịch biến R
3 Hàm số bậc nhất.
a) Khái niệm hàm số bậc nhất.
Hàm số bậc hàm số có dạng y = a.x + b a, b số cho trớc a 0.
b) Tính chất: (tính đồng biến, nghịch biến hàm số) Hàm số bậc y = a.x + b (a 0)
+) §ång biÕn a > 0
+) NghÞch biÕn a <
Ví dụ: Hàm số y = 2x – hàm số đồng biến (vì a = > 0) Hàm số y = - 3x + hàm số nghịch biến (vì a = - < 0)
4. Khái niệm đồ thị hàm số.
Đồ thị hàm số y = f(x) tập hợp tất điểm biểu diễn cặp giá trị tơng ứng (x; f(x)) mặt phẳng toạ độ.
Chú ý: Dạng đồ thị:
a) Hµm h»ng.
Đồ thị hàm y = m (trong x biến, m ) là đờng thẳng song song với trục Ox.
Đồ thị hàm x = m (trong y biến, m ) đờng thẳng song song
víi trơc Oy.
b
) Đồ thị hàm số y = ax (luôn qua gốc toạ độ.a0) đờng thẳng (hình ảnh tập hợp điểm)
x y
O
y = m
(22)O Xx
Yy
Y y =
ax (v
íi a < 0)
(I) x > 0, y > (II)
x < 0, y >
(III)
x < 0, y < x > 0, y < 0(IV)
O Xx
Yy
Yy = ax (
víi a > 0)
(I) x > 0, y > (II)
x < 0, y >
(III)
x < 0, y < x > 0, y < 0(IV)
c) Đồ thị hàm số y = ax + b (a,b0) đờng thẳng (hình ảnh tập hợp
điểm) cắt trục tung điểm (0; b) cắt trục hoành điểm (
b a , 0). C¸ch vÏ:
B
ớc 1 Xác định hai điểm thuộc đồ thị hàm số cách:
Cho x = y =b Giao điểm đồ thị với trục tung có toạ độ (0;b) Cho y = x =
b a
Giao điểm đồ thị với trục hồnh có toạ độ ( b a
;0) B
ớc 2 Biểu diễn hai điểm vừa xác định hệ trục toạ độ B
ớc 3 Kẻ đờng thẳng qua hai điểm vừa vẽ để có đồ thị hàm số
O Xx
Yy
Y y =
ax + b (v
íi a < 0)
(I) x > 0, y > (II)
x < 0, y >
(III)
x < 0, y < x > 0, y < 0(IV)
O Xx
Yy Yy =
ax + b (v
íi a > 0)
(I) x > 0, y > (II)
x < 0, y >
(III)
x < 0, y < x > 0, y < 0(IV)
5. Vị trí tơng đối hai đờng thẳng
Hai đờng thẳng y = ax + b (a0) y = a’x + b’ (a'0)
+ Trïng nÕu a = a’, b = b’.
+ Song song víi nÕu a = a’, bb’.
+ C¾t nÕu a a’.
+ Vu«ng gãc nÕu a.a’ = -1
6. Góc tạo đờng thẳng y = ax + b (a0) trục Ox Giả sử đờng thẳng y = ax + b (a0) cắt trục Ox điểm A.
Góc tạo đờng thẳng y = ax + b (a0) góc tạo tia Ax tia AT (với T là điểm thuộc đờng thẳng y = ax + b có tung độ dơng).
(23)- Nếu a < góc tạo đờng thẳng y = ax + b với trục Ox đợc tính theo cơng thức nh sau:
1800 với tan a (cần chứng minh đợc dùng).
II Mét số dạng toán
1 Bài toán tính giá trị cđa hµm sè, biÕn sè. VÝ dơ 1:
a) Cho hµm sè y = f(x) =
2
x
TÝnh f(0); f(-1); f(
1
); f(
5
2 ); f(a); f(a + b).
b) Cho hµm sè y = g(x) = 2x2 TÝnh g(1); g(
1 ); g(
1
); g(-2); g(a); g(a - b)
Hớng dẫn: Thay giá trị x vào công thức xác định hàm số để tính giá trị hàm số giá trị cho biến
VÝ dô 2: Cho hµm sè y = f x = 2x +
a) Tính giá trị hàm số x = -2; - 0,5; 0; 3;
b)Tìm giá trị x để hàm số có giá trị 10; -7 Giải:
a) Ta cã: Khi x = - f 2= 2.(-2) + 3= - + = - 1 x =
1
1
2 3
2
f
x = f 0 2.0 3 x = f 3 2.3 9 x =
3
3
2 3
2
f
b) +) Để hàm số y = f x 2x + có giá trị 10 2x + 3=10 2x = 10 - 2x = x =
7
A
T
x y
O (a > 0)
A T
x y
O (a < 0)
(24)VËy x =
2 hàm số có giá trị 10
+) Để hàm số y = f x = 2x + có giá trị -7 2x + = -7 2x = -7 - 2x = - 10 x = - 5
VËy x = - th× hàm số có giá trị -7 Ví dụ 3: Cho hµm sè y = 2x -
a) Tính giá trị hàm số với x = 0;
1
b) Tìm x để hàm số nhận giá trị Hớng dẫn:
a) T¬ng tù bµi tËp
b) Cho y = <=> 2x – = <=> x =
6
2
2 Bài toán hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến.
Ví dụ 1:Trong hàm số sau, hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến R.Vì sao?
a) y =
4.x2
3 b) y =
4
.x
3
c) y = 2 x d) y =
2 n 3.x
3
(x lµ biÕn sè, n3)
Ví dụ 2: Cho hàm số y = (m - 3)x + 2m - (m 3)≠ a) Tìm m để hàm số đồng biến ;
b) Tìm m để hàm số nghịch biến
H
íng dÉn :
a) Hàm số đồng biến <=> a = m – > <=> m > Vậy m > hàm số đồng biến
b) Hµm sè nghÞch biÕn <=> a = m – < <=> m < Vậy m < hàm sè nghÞch biÕn
3 Điểm thuộc đồ thị, khơng thuộc đồ thị hàm số Phơng pháp:
- Thay hồnh độ (hoặc tung độ) điểm vào hàm số.
- Nếu giá trị hàm số tung độ(hoặc hồnh độ) điểm thuộc đồ thị hàm số - Nếu giá trị hàm số không tung độ(hoặc hồnh độ) điểm khơng thuộc
đồ thị hàm số
VÝ dô: Cho hµm sè y= 2x-1
a) Điểm sau thuộc đồ thị hàm số? Vì sao?
A(0; 1) B(1; 1) C(-2; 5)
b) Tìm điểm D thuộc đồ thị hàm số trên? Giải:
a) Xét điểm A
Thay x=0 vào hàm số ta cã: y=2.0-1=-1≠ A®hst
XÐt ®iĨm B
Thay x=1 vào hàm số ta có: y=2.1-1=1 Bđhst b) Cho x=2 y=2.2-1=3 D(2;3) ®hst
4 Bài tốn xác định hàm số
VÝ dơ 1:Cho hµm sè bËc nhÊt y = ax +
(25)Tìm a để đồ thị hàm số qua điểm A (-2; Giải:
Để đồ thị hàm số y = ax + qua điểm A (-2; 3) = a.(-2) + 5
-2a + = 3 -2a = - 5 -2a = - 2 a = 1
Vậy a = đồ thị hàm số y = ax + qua điểm A (-2; 3)
VÝ dơ 2: a) T×m hƯ sè a cđa hµm sè y = ax + biÕt r»ng x = 1 2 th× y = 3
b) Xác định hệ số b biết đồ thị hàm số y= -2x + b qua điểm A ( 2; - 3) Giải:
a) Khi x = 1 2 th× y = 3 2 ta cã: 3 2 = a.(1 2) +1
a.(1 2) = 3 2 -1
a.(1 2) = 2 2
a =
2 2
=
2
2
VËy x = 1 2 y = 3 2 a = 2.
b) Vì đồ thị hàm số y= - 2x + b qua điểm A ( 2; -3) nên ta có: -3 = -2.2 + b
- + b = -3 b = 1
Vậy b = đồ thị hàm số y= - 2x + b qua điểm A ( 2; -3) Ví dụ 3: Cho hàm số y = (m - 3)x + m + (*)
a) Tìm m để đồ thị hàm số (*) cắt trục tung điểm có tung độ - b) Tìm m để đồ thị hàm số (*) song song với đờng thẳng y = -2x +
c) Tìm m để đồ thị hàm số (*) vng góc với đờng thẳng y = 2x -3 Giải:
a) Để đồ thị hàm số y = (m - 3)x + m + (*) cắt trục tung điểm có tung độ –
m + = - 3 m = -
Vậy với m = - đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ - b) Để đồ thị hàm số y = (m - 3)x + m + (*) song song với đờng thẳng y = - 2x +
3 2 m
m
2 m m
1 m m
m = ( t/m)
Vậy với m = đồ thị hàm số y = (m - 3)x + m + (*) song song với đờng thẳng y = - 2x +
c) Để đồ thị hàm số y = (m - 3)x + m + (*) vng góc với đờng thẳng y = 2x - a.a’ = -1 (m - 3) = -1
2m - = -1 2m =
5 m =
(26)VËy víi m =
2 đồ thị hàm số y = (m - 3)x + m + 2 vng góc với đờng thẳng y = 2x - Ví dụ 4: Xác định hàm số y = ax + b, biết:
a) Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hồnh độ qua điểm A(1; -2) b) Đồ thị hàm số qua hai điểm B(2 ; 1) C(-1; 4)
c) Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y = - x + qua A(- ; - 9) Giải:
a) Đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ x = 3; y = Thay vào hàm số ta cú: 3a+b=0 (1)
Mặt khác đths qua A(1; -2) nên thay x=1 y=-2 vào hàm số a+b=-2 (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã hệ phơng trình:
3a b 2a a
a b a b b
VËy hµm sè y= x-3
b) Đồ thị hàm số qua hai điểm B(2; 1) 2a+b=1 (1) Đồ thị hàm số qua hai điểm C(-1; 4) -a+b= (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã hƯ phơng trình:
2a b 3a a
a b a b b
VËy h¸m sè lµ: y = -x +
c) Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y = - x + => a = - 1, ta có hàm số dạng : y = - x + b
Đồ thị hàm số qua A(- ; - 9) nên thay x=-1 y=-9 vào hàm sè ta cã: -9=1+b b = -10 VËy hµm số cần tìm : y = - x 10
Ví dụ 5:(C2/Đ14) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đờng thẳng d có phơng trình: y=(m-1)+ n
a) Với giá trị m n d song song với trục Ox?
b) Xác định phơng trình d biết d qua A(1; -1) có hệ số góc băng -3 Giải:
a) d song song víi trơc Ox vµ chØ
m m
n n
b) Phơng trình đờng thẳng d có hệ số góc băng -3 m-1=-3 m= -2
d có dạng y= -3x+n.
Mà d ®i qua A(1;-1) -3.1+n=-1 n= 2
Vậy phơng trình đờng thẳng d là: y =-3x +
VÝ dơ 6:(C1/§40)
◦ Một số đề tự luyện:
C1b/§4, C1b/§5, C2a/§12, C2a/§13, C2a/§16, C1b/§22, C2/§31, C1b/§32, C2b/§35, C2b/§37, C2a/§39, C1/§40
5 Vẽ đồ thị hm s
a Đồ thị hàm số y =ax (a≠ 0)
Dạng đồ thị: Là đờng thẳng qua gốc toạ độ
Cách vẽ: B1: Xác định điểm A thuộc đồ thị hàm số B2: Biểu diễn điểm A mặt phẳng toạ độ
B3: Vẽ đờng thẳng OA Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số:
1
y x
2
(27) Dạng đồ thị: Là đờng thẳng cắt hai trục toạ độ
Cách vẽ: B1: Xác định hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số B2: Biểu diễn điểm A, B mặt phẳng toạ độ
B3: Vẽ đờng thẳng qua hai điểm A B Đờng thẳng AB đồ thị hàm số cần vẽ
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số: y x
c Đồ thị hàm số y =ax2 (a 0)
Dạng đồ thị: Là Parabol qua gốc toạ độ, nhận trục Oy làm trục đối xứng Cách vẽ:
B1: Lập bảng xác định điểm thuộc đồ thị hàm số
( xác định điểm A, B thuộc đồ thị hàm số, lấy điểm A’, B’ đối xứng với điểm qua trục tung)
B2: Biểu diễn điểm A, B, A’, B’ hệ trục toạ độ B3: Vẽ parabol qua điểm A, B, O, A’, B’
VÝ dô:
◦ Một số đề tự luyện:
C3/§3
6 Sự tơng giao hai đờng thẳng, đờng thẳng đờng cong a) Tìm giao điểm ca hai ng thng.
Phơng pháp:
- Lp phơng trình hồnh độ giao điểm giải tìm hồnh độ giao điểm. - Thay hoành độ vào hàm số ta có tung độ tơng ứng.
VÝ dơ 1 : Tìm giao điểm của:(d1): y = 3x + (d2): y = x -
Gi¶i :
Phơng trình hồnh độ giao điểm : 3x+5= x-1 x= -3
Thay x = -3 vµo y = x - 1 y = -4
Vậy toạ độ giao điểm hai đồ thị (-3;-4)
VÝ dụ 2: Tìm giao điểm của: (d3): 3x + 2y = - (d4): 5x + 4y = - 10
VÝ dơ 3:(C2a/§23)
Tìm m để đờng thẳng y=-3x+6 y=
2 x-2m+1 c¾t điểm nằm trục tung? Giải:
ng thẳng y=-3x+6 cắt trục tung điểm có tung độ Đờng thẳng y=
2x-2m+1 cắt trục tung điểm có tung độ -2m+1
Do để hai đờng thẳng cắt điểm nằm trục tung cần -2m+1=6 m=
5
b)Tìm toạ độ giao điểm Parabol với đờng thẳng.
Cho (P) : y = ax2 (a 0) vµ (d) : y = mx + n.
Phơng pháp:
Xột phng trỡnh honh giao im ax2 = mx + n.
Giải phơng trình t×m x
Thay giá trị x vừa tìm đợc vào hàm số y = ax2 y = mx + n ta tìm đợc y.
+ Giá trị x tìm đợc hồnh độ giao điểm + Giá trị y tìm đợc tung độ giao điểm
Ví dụ :Tìm toạ độ giao điểm (P) y = - 2x2 (d) y = 2x - 4.
Gi¶i :
Xét phơng trình hồnh độ giao điểm ta có
- 2x2 = 2x - <=> 2x2 + 2x - = <=> x2 + x - = 0
(28)Thay x = vào hàm số y = - 2x2 => y = - 2, ta đợc giao điểm thứ (1 ; - 2)
Thay x = - vào hàm số y = - 2x2 => y = - 8, ta đợc giao điểm thứ hai (-2 ; - 8)
Vậy ta tìm đợc hai giao điểm (P) (d) (1 ; - 2) (-2 ; - 8)
VÝ dơ : C3b/§3
c) Tìm điều kiện để hai đờng thẳng cắt nhau, song song, trùng :
VÝ dơ : C2b/§37
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với giá trị a, b đờng thẳng (d) : y=ax+2-b đờng thẳng (d’) : y=(3-a)x+b song song với ? trùng ? cắt ?
Gi¶i :
Hai đờng thẳng d d’ song song với :
a a a
2 b b
b
d) Tìm điều kiện để đờng thẳng đờng cong cắt nhau, không cắt nhau, tiếp xúc : Ví dụ : Cho parapol (P) : y = 2x2 đờng thẳng (d) : y = 2(a + 1)x - a - 1
a) Tìm a để (P) (d) cắt hai điểm phân biệt Tìm tọa độ giao điểm b) Tìm a để (P) (d) tiếp xúc Xác định tọa độ tiếp điểm
Gi¶i :
a) (P) (d) cắt hai điểm phân biệt phơng trình hồnh độ giao điểm :
2
2x 2(a 1)x a 1 2x 2(a 1)x a 1 0 (1)
cã hai nghiệm phân biệt Ta cần có điều kiện ' (a 1)(a 1) 0a 1 hc a1 VËy a a (P) (d) cắt hai điểm phân biệt
Honh giao điểm nghiệm phơng trình (1)
2
1
a a a a
x , x
2
Thay x , x1 2 vào y = 2(a + 1)x - a - ta tìm đợc tung độ giao điểm
2
1
y (a 1)(a a ), y (a 1)(a a )
Vậy tìm đợc hai giao điểm x ;y1 1, ( x ; y )2
c) (P) (d) tiếp xúc phơng trình hồnh độ giao điểm :
2
2x 2(a 1)x a 1 0 (1) cã nghiƯm kÐp NghÜa lµ ' (a 1)(a 1) 0 a 1 hc a =
- Víi a = - 1, nghiƯm kÐp
2(a 1)
x x
4
= Vậy tọa độ điểm tiếp xúc (0 ; 0)
- Víi a = 1, nghiƯm kÐp
2(a 1)
x x
4
= Vậy tọa độ điểm tiếp xúc (1 ; 2)
VÝ dô 2 : Cho (P): y = x2 vµ (d): y = 2(m + 3)x - m2 - m - 2
(29)c) Tìm m để (d) (P) cắt hai điểm phân biệt
Bµi tËp
a) Vẽ đồ thị hàm số y x (P) đờng thẳng y x2 (D) mặt phẳng toạ độ Oxy
b) Tìm toạ độ giao điểm (P ) (D) phép tính
Gi¶i:
a) Vẽ đồ thị hàm số y x (P)
Lập bảng giá trị tơng ứng x y
x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3
2 x
y 1
Đồ thị hàm số y x (P) Parabol có bề lõm quay xuống phía dới qua điểm có toạ độ O (0; 0); A 1;1 ; A’1;1 ; B2;4; B’2; 4 ; C 3;9; C3;9
+) Đờng thẳng yx2 (D)
Cho x = y = D (0; 2) Oy y = x = E (2; 0) Ox
Đờng thẳng y2x2 (D)
đi qua ®iĨm D (0; 2) vµ E (2; 0)
b) Phơng trình hồnh độ giao điểm: x2 x2 Giải phơng trình: x2 x 0
Ta cã a + b + c = + + (- 2) = nên phơng trình có hai nghiệm x1= 1; x2= -
+) Víi x1 = y1 = 12 = M (1; 1)
+) Víi x2 = -2 y2 = (-2)2 = N (- 2; 4)
- Vậy đồ thị hàm số y x 2(P) đờng thẳng yx2 (D) cắt điểm M(1; 1) N(- 2; 4)
◦ Một số đề tự luyện: C3/Đ27, C1b/9, C2a/2
C hệ hai phơng trình bậc hai Èn I Lý thut
1 HƯ hai ph¬ng trình bậc hai ẩn a. Phơng trình bậc hai ẩn
Phơng trình bậc hai ẩn: ax + by = c víi a, b, c R (a2 + b2 0)
TËp nghiÖm phơng trình bậc hai ẩn:
Phng trỡnh bậc nhât hai ẩn ax + by = c ln có vơ số nghiệm Tập nghiệm đợc biểu diễn đờng thẳng (d): ax + by = c
- Nếu a 0, b 0 đờng thẳng (d) đồ thị hàm số
a c
y x
b b
- Nếu a 0, b = phơng trình trở thành ax = c hay x = c/a đờng thẳng (d) song song trùng với trục tung
- Nếu a = 0, b 0 phơng trình trở thành by = c hay y = c/b đờng thẳng (d) song song trùng với trục hồnh
(30) HƯ hai phơng trình bậc hai ẩn: ' ' ' ax by c a x b y c
trong a, b, c, a’, b’, c’ R
Minh họa tập nghiệm hệ hai phơng trình bậc hai ẩn Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, ta có
(d) // (d’) th× hƯ v« nghiƯm
(d) (d’) = A th× hƯ cã nghiƯm nhÊt (d) (d) hệ có vô số nghiệm
Hệ phơng trình tơng đơng
Hệ hai phơng trình tơng đơng với chúng có tập nghiệm
c. Phơng pháp giải hệ: Phơng pháp
Phơng pháp cộng đại số
Chú ý: Phơng phỏp t n ph
2 Hệ phơng trình đa phơng trình bậc hai
- Nu hai s x y thỏa mãn x + y = S, x.y = P (với S2 4P) hai s x, y l
nghiệm phơng trình: X2 + SX + P = 0
II C¸c dạng tập 1 Giải hệ hai phơng trình Ví dụ 1:C1b/Đ1
Giải hệ phơng trình:
3x y x 2y
Gi¶i:
3x y 6x 2y 10 7x x
x 2y x 2y x 2y y
VËy hƯ ph¬ng trình có nghiệm (x;y)=(1;2) Ví dụ 2: C2b/Đ4
Giải hệ phơng trình:
2x 3y x y Gi¶i:
2x 3y 10x x
2x 3y 4x 6y 2
1
6x 6y 6x 6y 1
x y y x
y 6 Vậy hệ phơng trình có nghiÖm nhÊt (x;y)=(
1 2;
1 3)
VÝ dơ 3: (C2a/§6) §/K: x0, y0 (*)
Giải hệ phơng trình:
2
y x x y (1)
y x
2 3
2 (2)
x y x x 2x 3x
Gi¶i phơng trình
2
x
2x 3x 1
x
(31)+ Víi
1 x
2
suy y=x+1=
2 (tho¶ m·n *)
Vậy hệ phơng trình có hai nghiệm (2; 3) vµ (
1 ; 2
)
Ví dụ 4: (C2b/Đ38) Giải hệ phơng tr×nh:
6x 6y 5xy x y §/K: x0, y0 (*)
6 3
5 ( chia hai ve cho xy) 6x 6y 5xy
x y x y
4
1 4
1
x y
x y x y
7 x x x (T/m)
4 y
1 y x y
VËy hệ phơng trình có nghiệm (2; 3)
Một số đề tự luyện:
C1b/§3, C1a/§8, C2a/§10, C2b/§11, C3/§13, C2b/§16, C1b/§21, C2a/§27, C1a/§28, C1b/§30, C1a/§33, C2a/§37, C2b/§38, C2b/§39.
2 Tìm điều kiện để hệ phơng tình có nghiệm, vơ nghiệm, vơ số nghiệm: Ví dụ :(C2b/Đ2) Cho hệ phơng trình:
4x ay b x by a
Tìm a b để hệ phơng trình có nghiệm (x: y) = (2; -1) Giải:
Thay x=2và y=-1 vào hệ phơng trình ya đợc:
8 a b a b a
2 b a (2 b) b b
Thay a=5 b=3 vào hệ cho ta có hệ phơng trình có nghiệm (x; y)=(2; -1) Vậy với a=5 b=3 hệ cho có nghiệm (x; y)=(2; -1)
◦ Một số đề tự luyện: C2/Đ19
3 Tìm điều kiện để hệ phơng trình thoả mản điều kiện (T) C3/Đ9, C2/Đ40
4 Hệ phơng trình đối xng loi 1
Định nghĩa:
H hai phơng trình hai ẩn x y đợc gọi đối xứng loại ta đổi chỗ hai ẩn x y phơng trình hệ khụng i
Cách giải
Đặt S = x + y, P = x.y, §k: S2 4P
Giải hệ để tìm S P
Với cặp (S, P) x y hai nghiệm phơng trình: t2 - St + P = 0
(32)a)
2
13 x y xy x y xy
b) 2
1 22 x y xy
x y x y
c)
2 8 ( 1)( 1) 12 x y x y xy x y
5 Hệ phơng trình i xng loi 2
Định nghĩa
Hệ hai phơng trình hai ẩn x y đợc gọi đối xứng loại ta đổi chỗ hai ẩn x y phơng trình trở thành phơng trình ngợc lại Cách giải
Trừ vế theo vế hai phơng trình hệ để đợc phơng trình hai ẩn Biến đổi phơng trình hai ẩn vừa tìm đợc thành phơng trình tích Giải phơng trình tích để biểu diễn x theo y (hoặc y theo x)
Thế x y (hoặc y x) vào phơng trình hệ để đợc phơng trình ẩn
Giải phơng trình ẩn vừa tìm đợc rịi suy nghiệm hệ Ví dụ: Giải hệ phơng trình
2
2
2
x y y
y x x
3 13 13
x x y
y y x
6 Hệ phơng trình đẳng cấp bc 2
Định nghĩa
- H phng trình đẳng cấp bậc hai có dạng:
2
2
0
' ' '
ax bxy cy a x b xy c y
Cách giải
- Xét xem x = có nghiệm hệ phơng trình kh«ng
- Nếu x 0, ta đặt y = tx thay vào hai phơng trình hệ - Khử x giải hệ tìm t
- Thay y = tx vào hai phơng trình hệ để đợc phơng trình ẩn (ẩn x) - Giải phơng trình ẩn để tìm x từ suy y dựa vào y = tx
Lu ý: ta thay x y y x phần để có cách giải tơng tự Ví dụ:Giải hệ phơng trình
a)
2
2
4
3
x xy y y xy b) 2 2
2 3
2
x xy y
x xy y
7 Hệ phơng trình chứa tham số:
Ví dụ 1: Cho hệ phơng trình
3 (1)
9 3(2)
x y m
x m y
a) Với giá trị m hệ phơng trình vô nghiệm
b) Vi giỏ trị m hệ phơng trình có vơ số nghiệm? Khi tìm dạng tổng qt nghiệm ca h phng trỡnh
c) Với giá trị m hệ phơng trình có nghiệm Gi¶i:
a)Tõ (1) => y = 3x + m thay vµo (2) => 3x(3 - m2) = m3 -3 3(*). Với m = - (*) có dạng: 0x = -6 ph ơng trình vô nghiệm
y = 3x+ b)Với m = (*) có dạng: 0x = ph ơng trình vơ số nghiệm Khi nghiệm hệ:
x R
) Hệ ph ơng trình có nghiệm
(33)Ví dụ Với giá trị m hệ phơng trình mx y x my
cã nghiƯm tháa m·n ®iỊu kiƯn
2 x y m
Khi tìm giá trị x y. Giải: 2 2 2
2 2
4(1) 4(1)
1(2) (3)
4
1 (
1
4
1
1
4
1 1
1 ;
LÊy (1) - (3) => V× 0)
x = =
8
Theo bµi cã: x + y =
5
Khi x = y =
2 mx y mx y
x my mx m y m
m
m y m y m
m
m m m
my
m m
m m
m m m m
m
D phơng trình bËc hai i Mét sè kiÕn thøc liªn quan
1) Định nghĩa.
Phơng trình bậc hai phơng trình có dạng ax2
+bx+c=0 ú a, b, c số cho tr-ớc a ≠0
2) Cách giải:
Bc 1: Xỏc định hệ số a=? , b=? c=? phơng trình cho
Bíc 2: TÝnh biƯt thøc ®en-ta: Δ=b2−4 ac hc b '¿2−ac
Δ'=¿ (trong b '=
b )
Bớc 3: Dựa vào dấu Δ (hoặc ') để xác định nghiệm phơng trình.
+) Nếu Δ<0 ( Δ'<0 ) phơng trình cho vơ nghiệm
+) Nếu Δ=0 ( Δ'=0 ) phơng trình cho có nghiệm kép x1=x2=−
b 2a=−
b ' a +) Nếu Δ>0 ( Δ'>0 ) phơng trình cho có hai nghiệm phân biệt là:
x1=− b −√Δ
2a =
− b ' −√Δ'
a vµ x2=
− b+√Δ 2a =
− b '+√Δ' a
Bíc 4: KÕt luËn L
u ý .
NÕu phơng trình ax2
+bx+c=0 có a+b+c=0 cã hai nghiƯm x1=1 vµ
x2=ca
NÕu phơng trình ax2
+bx+c=0 có a b+c=0 có hai nghiệm x1=1
x2=
(34)3) Điều kiện có nghiệm phơng trình ax2
+bx+c=0 (1) ( Chó ý: Phơng trình (1) cha phải phơng trình bậc hai )
+) Phơng trình (1) phơng trình bậc hai a 0
+) Phơng trình (1) phơng trình bậc
a=0
b≠0
¿{ ¿
+) Phơng trình (1) có nghiệm
a=0
b≠0
¿{ ¿
+) Phơng trình (1) có nghiệm kép
a ≠0 Δ=0
¿{ ¿
¿(Δ'=0) (x1=x2=−
b 2a=−
b ' a ) +) Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt
¿
a≠0 Δ>0 ¿{
¿
¿(Δ'>0)
+) Phơng trình (1) có hai nghiệm
¿
a ≠0 Δ≥0
¿{ ¿
¿(Δ' 0)
+) Phơng trình (1) có nghiệm ⇔
¿
a=0
b≠0
¿{ ¿
hc
¿
a ≠0 Δ=0 ¿{
('=0)
+) Phơng trình (1) vô nghiÖm ⇔
¿
a=b=0
c ≠0
¿{ ¿
hc
¿
a≠0 Δ<0 ¿{
¿
¿(Δ'<0)
4) HÖ thøc Vi-et.
Nếu phơng trình bậc hai ax2
+bx+c=0 có hai nghiệm x1 x2 x1+x2=
b a x1.x2=c
a
(35)ii Các dạng toán thờng gặp.
Dạng 1: Bài toán giải phơng trình ax2
+bx+c=0 (*) cho biết giá trị tham số
m = k.
1) Bài toán giải phơng trình ax2+bx+c=0 (*) ( tham số) a) Phơng pháp gi¶i
Bớc 1: Xác định hệ số a, b, c Bớc 2: Tính a+c so sánh với b
- TH1: Nếu a+c đối vơí b ta vận dụng hệ thức Viet để nhẩm nghiệm) - Nếu TH1 không xấ ta dùng công thức nghiệm giải( Nếu b chẵn ta dung công thức thu gn)
b) Ví dụ 1: Giải phơng trình: 5x2 6x
Giải: Các hệ số: a=5, b=-6, c=1 Ta có: a+b+c=5+(-6)+1=0
Nên phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1=1;
x2=
c a
Ví dụ 2:(C1aĐ22) Giải phơng trình: x2 2x 15 Giải: Các hệ số: a =1, b’ =-1, c =-15
2 2
' '
b ac 1 15 16
Phơng trình (1) có hai nghiệm ph©n biƯt:
1
x 5;
x
2) Bài toán giải phơng trình ax2
+bx+c=0 (*) cho biết giá trị tham số m = k.
b) Phơng pháp giải
Bớc 1: Thay m = k vào phơng trình (*) để đợc phơng trình ẩn x
Bớc 2: Giải phơng trình vừa thu đợc để có nghiệm phơng trình
Bíc 3: KÕt ln
(36)Cho phơng trình: x22(m1)x+2m3=0 (1) (với m tham số)
a) Giải phơng trình (1) m=−1
b) Tìm giá trị tham số m để phơng trình (1) nghiệm kép Giải:
a) Khi m=1 phơng trình (1) trở thành: x2+4x 5=0 (*) Phơng trình (*) có: a=1 , b=4 c=5
Vì a+b+c=1+4+(5)=0 nên phơng phơng trình (*) sÏ cã hai nghiƯm
x1=1 vµ x2=c
a=5
Vậy m=1 phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1=1 x2=5 .
b) Phơng trình (1) cã: a=1 , b=−2(m −1) , c=2m−3 , b '=1− m
vµ
m−2¿2
1− m¿2−(2m−3)=m2−2m+1−2m+3=m2−4m+4=¿
b '2ac=
'=
Để phơng trình (1) có nghiƯm kÐp th×
a ≠0 Δ '=0
⇔ ¿1≠0(∀m)
¿
m−2¿2=0 ¿
⇔m −2=0⇔m=2 ¿
¿
VËy víi m=2 phơng trình (1) có nghiệm kép.
Mt số đề tự luyện:
C3a/§1, C3a/§4, C3a/§8C3a/§14C3a/§18, C2a/§20, C3a/§21, C3a/§23, C3a/§26, C2a/§30, C2a/§32, C3a/§33, C3a/§37, C3a/§38, C3a/§39
Dạng 2: Bài tốn tìm giá trị tham số m để phơng trình ax2+bx+c=0 (*) có
nghiệm x=x0 .
1) Phơng pháp giải
Bớc 1: Thay x=x0 vào phơng trình (*) để đợc phơng trình ẩn m
Bớc 2: Giải phơng trình ẩn m vừa thu đợc để có đợc giá trị tham số m
(37)2)Ví dụ:
Cho phơng trình ẩn x tham sè m: x2−2 mx+m2+m −2=0 (1)
a) Tìm giá trị tham số m để phơng trình (1) có nghiệm x=2
b) Tìm giá trị tham số m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt tìm hai nghiệm phân biệt
Gi¶i:
a) Thay x=2 vào phơng trình (1) ta đợc: m2−3m+2
=0 (*)
Ph¬ng trình (*) phơng trình bậc hai ẩn m có: a=1 , b=3 c=2
Vì a+b+c=1+(3)+2=0 nên phơng trình (*) có hai nghiệm m1=1 m2=
c a=2 VËy víi m=1 hc m=2 phơng trình (1) có nghiệm x=2
b) Phơng trình (1) có: a=1 , b=2m , c=m2+m−2 , b '=−m
vµ
−m¿2−(m2+m −2)=m2− m2m+2=2 m
b '2ac=
'=
Để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt
a ≠0 Δ'>0
⇔ ¿1≠0(∀m)
2− m>0 ⇔m<2
¿{ ¿
Khi đó, hai nghiệm phơng trình là: x1=− b '+√Δ'
a =m+√2− m vµ x2=− b ' −√Δ'
a =m2 m Vậy với m<2 phơng trình (1) có hai nghiƯm ph©n biƯt
◦ Một số đề tự luyện:
C2b/§12, C2b/§13, C2b/§20, C2/§24
Dạng 3: Bài toán liên quan đến điều kiện nghiệm phơng trình ax2
+bx+c=0
(1)
1) Kiến thức cần nhớ.
(38)+) Phơng trình (1) có hai nghiệm x1 x2 dấu ⇔
¿
a ≠0 Δ≥0(Δ' ≥0)
c a>0
¿{ { ¿
+) Phơng trình (1) có hai nghiệm x1 x2 dơng ⇔
¿
a ≠0 Δ≥0(Δ' ≥0)
c a>0 − b
a >0
¿{ { { ¿
+) Phơng trình (1) có hai nghiệm x1 x2 âm ⇔
¿
a ≠0 Δ≥0(Δ' ≥0)
c a>0 − b
a <0
¿{ { { ¿
+) Phơng trình (1) có hai nghiệm x1 x2 đối ⇔
¿
a ≠0 Δ≥0(Δ' ≥0)
− b a =0
¿{ { ¿
+) Phơng trình (1) có hai nghiệm x1 x2 nghịch đảo
⇔
¿
a ≠0 Δ≥0(Δ' ≥0)
c a=1
¿{ { ¿ 2) VÝ dô.
VÝ dụ 1. Cho phơng trình ẩn x, tham số m: x22(m1)x+2m5=0 (1)
a) Chứng minh rằng: Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với m
b) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm dấu Khi hai nghiệm mang dấu ?
(39)Ta cã: a=1 ; b=−2(m −1) ; c=2m−5 ; b '=b
2=1− m vµ
2 2
2
' ( ') (1 ) (2 5) 2 ( 2)
b ac m m m m m
m m m
.
a) Vì phơng trình (1) có a=10 nên phơng trình (1) phơng trình bậc hai (*) Mặt khác: m−2¿2+2≥2>0
Δ'=¿ (∀m∈R) (**)
Tõ (*) vµ (**) phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với giá trị m
b) Để phơng tr×nh (1) cã hai nghiƯm cïng dÊu th× ¿ a ≠0
Δ ' ≥0
c a>0
¿{ { ¿ ⇔
1≠0(∀m)
m−2¿2+2≥0(∀m) ¿
¿
2m −5>0 ¿
⇔2m>5⇔m>5
2
Khi m>5
2 th× tỉng hai nghiƯm x1+x2=
−b
a =2(m−1)>2 (
2−1)=3>0 nên hai nghiệm phải dơng
VËy víi m>5
2 phơng trình (1) có hai nghiệm dấu hai nghiệm d-ơng.
Ví dụ 2. Cho phơng trình ẩn x, tham sè m: mx2−(2m −1)x+m−1=0 (1)
a) Chứng minh rằng: Phơng trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m≠0 b) Tìm giá trị m để phơng trình (1) có hai nghiệm nghịch đảo c) Tìm giá trị m để phơng trình (1) có hai nghiệm mang dấu âm Giải:
Ta cã: a=m ; b=−(2m −1)=1−2m ; c=m −1
vµ 1−2m¿
2−4m.
(m−1)=1−4m+4m2−4m2+4m=1
Δ=b2−4 ac=¿
a) Khi m≠0 th× a 0 nên phơng trình (1) phơng trình bậc hai (*) Mặt khác: =1>0 (**)
(40)b) Để phơng trình (1) có hai nghiệm đối ¿ a ≠0
Δ≥0
− b a =0
¿{ { ¿
⇔ m≠0 1≥0(∀m)
2m−1 m =0
⇔ ¿m ≠0
2m−1=0 ¿{ {
⇔ m≠0 2m=1
⇔ ¿m≠0
m=1
2 ⇔m=1
2
¿{
VËy víi m=1
2 phơng trình (1) có hai nghiệm đối nhau. c)Để phơng trình (1) có hai nghiệm mang dấu âm thì:
¿
a ≠0 Δ≥0 c a>0 − b
a <0
¿{ { { ¿
⇔ m≠0 1≥0(∀m)
m −1 m >0 2m−1
m <0
¿{ { {
⇔ m ≠0 m(m−1)>0
m(2m−1)<0 ⇔ ¿m≠0
m<0 ¿ ¿
m>1 ¿ ¿0<m<1
2
¿ ¿ ¿
(kh«ng tån t¹i m)
Vậy khơng có giá trị m để phơng trình (1) có hai nghiệm âm. Một số đề tự luyện:
C3a/§7, C3a/§11, C2a§15, C3a/Đ28, C3a/Đ40, C2b/Đ32, C3b/Đ33, C3/Đ34, C3/Đ35
Dạng 4: Bài toán sử dụng hệ thức Vi-et.
Loại Những toán sử dụng trực tiếp hệ thức Vi-ét 1) Phơng pháp giải
Bc 1: Tỡm cỏc giá trị tham số m để phơng trình có hai nghiệm x1 x2 (tức tìm m a ≠0 Δ≥0 Δ' ≥0 )
Bớc 2: Biến đổi hệ thức cho thành hệ thức có chứa x1+x2 x1.x2
Bíc 3: Thay x1+x2=−b
a vµ x1.x2=
c
(41)Bớc : Giải phơng trình ẩn m vừa thu đợc để có m
Bớc : Đối chiếu m vừa tìm đợc với điều kiện bớc 1, kết luận Lu ý
2 2
1 2 2 2
2
1 2
( )
( ) ( 2)
P x x kx x P x x x x kx x x x
P x x k x x
2 2
2
1 2
1 2
2 1 2
2
1 2
( ) ( 2)
x x x x x x
P P P x x P x x
x x x x x x x x
x x P x x
√x1+√x2¿
2⇔
P2=(x1+x2)+2√x1x2
P=√x1+√x2⇔P
=¿
2 2
1 2
1 2
2
2
1 2
2
( )
x x x x
P P x x P x x x x
x x x x
x x x x P
2 2 2
1 1 2 1 2
2
1 2
2 ( )
( )
P x x P x x x x P x x x x x x
P x x x x
2) VÝ dô.
VÝ dụ 1. Cho phơng trình ẩn x, tham số m: x2
−4x+m+1=0 (1)
1) Tìm giá trị tham số m để phơng trình (1) ln có hai nghiệm 2) Tìm m cho phơng trình (1) có hai nghiệm x1và x2 thoả mãn điều kiện
a) x12+x22=10 b)
x1 x2
+x2 x1
=3 c) √x1+√x2=2
Gi¶i:
1) Ta cã: a=1 ; b=−4 ; c=m+1 ; b '=b
2=−2 vµ:
−2¿2−(m+1)=4− m−1=3− m
b '¿2−ac=¿
Δ'=¿
Để phơng trình (1) có hai nghiệm
a ≠0 Δ' ≥0
⇔ ¿1≠0
3−m≥0
¿{ ¿
¿ (∀m)
¿
⇔m ≤3
(42)2) Trớc hết để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 x2 m≤3 (theo câu a)
Khi đó, áp dụng hệ thức Vi –ét ta đợc:
¿
x1+x2=−b
a =4 x1x2=c
a=m+1
¿{ ¿
a) Ta cã: x1
+x22=10 x1+x2¿
2
−2x1x2=10 ⇔(x12+2x1x2+x22)−2x1x2=10⇔¿
⇔42−2(m+1)=10⇔16−2m −2=10⇔2m=4⇔m=2 (thoả mÃn điều kiện)
Vậy với m=2 phơng trình (1) có hai nghiệm thoả mÃn ®iỊu kiƯn x12+x22=10 .
b) Ta cã:
x1+x2¿
=5x1x2
x1
x2+ x2
x1=3⇔ x12
x1x2+ x22
x1x2= 3x1x2
x1x2 x1
+x22=3x1x2 42=5(m+1)5m+5=165m=11m=11
2 (thoả mÃn điều kiện) Vậy với m=11
2 phơng trình (1) có hai nghiệm thoả mÃn điều kiện x1 x2
+x2 x1
=3 . c) Để phơng trình (1) có hai nghiệm thoả mÃn điều kiện x1+x2=2 trớc hết phơng
trình (1) phải có hai nghiệm x1 x2 không âm
Tøc lµ:
¿
a≠0 Δ ' ≥0
c a≥0 −b
a >0 ⇔ ¿1≠0
3− m≥0 m+1≥0
4>0 ⇔ ¿m ≤3
m≥ −1 ⇔−1≤ m≤3
¿{ { { ¿
Mặt khác: x1+x2=1 x1+x2
=2x1+x2+2x1x2=44+2m+1=4
⇔2√m+1=0⇔√m+1=0⇔m+1=0⇔m=−1 (tho¶ m·n)
VËy víi m=−1 phơng trình (1) có hai nghiệm thoả mÃn ®iỊu kiƯn √x1+√x2=2 .
VÝ dơ 2. Cho phơng trình ẩn x, tham số m: x2
2 mx+m21=0 (1)
a) Chứng minh phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với giá trị cđa tham sè m
b) Gäi x1 vµ x2 hai nghiệm phơng trình (1) Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc:
(43)Gi¶i:
a) Ta cã: a=1 ; b=−2m ; c=m2−1 ; b '=b
2=m
Vì a=10 nên phơng trình (1) phơng trình bậc hai (*) Mặt khác:
m2(m21)=m2 m2+1=1>0
b '2ac=
Δ '=¿
( ∀m ) (**)
Từ (*) (**) phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với giá trị m b) Vì phơng trình (1) có hai nghiệm x1 x2 (chứng minh câu a) nên theo hệ thức Vi- Ðt ta cã: x1+x2=−b
a=2m vµ x1.x2=
c a=m
21
Mặt khác ta l¹i cã: x1+x2¿
2
A=x1x2− x12− x22=3x1x2−(x12+2x1x2+x22)=3x1x2−¿
2m¿
2
=3m2−3−4m2=− m2−3 ¿3(m2−1)−¿
V× m2≥0⇒− m2≤0⇒− m2−3≤ −3⇒A ≤ −3 DÊu “=” x¶y m=0 .
Vậy giá trị lớn biểu thức A (-3) Đạt đợc m = 0. Ví dụ 3. Cho phơng trình bậc hai tham số m: x2−2(m
+1)x+m −4=0
1) Tìm m để phơng trình có nghiệm trỏi du
2) Chứng minh phơng trình cã nghiƯm ph©n biƯt víi mäi m 3) Gäi x1 x2 hai nghiệm phơng trình
a) Chøng minh biĨu thøc M=x1(1− x2)+x2(1− x1) kh«ng phơ thuộc vào m
b) Tìm giá trị m cho hai nghiệm phơng trình thoả mÃn ®iỊu kiƯn: |x1− x2|=6
Gi¶i:
1) Để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu c
a<0m4<0m<4 Vậy với m<4 phơng trình (1) cã hai nghiƯm tr¸i dÊu
2) Ta cã: a=1 , b=−2(m+1) , c=m −4 , b '=b
2=(m+1)
Vì phơng trình (1) phơng trình bËc cã: b '¿2−ac=[−(m+1)]
2
−(m−4)
Δ'=¿
¿m2+2m+1−m+4=m2+m+5
¿(m2+m+1
4)+ 19
4
¿(m+1
2)
2 +19
4 >0(m)
Nên phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với giá trị m (đpcm) 3) Vì phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 x2 , áp dụng hệ thức Vi - Ðt
ta đợc:
¿
x1+x2=−b
a =2(m+1) x1x2=c
a=m −4
(44)¿2m+2−2m+8=10
⇒ BiÓu thức M không phụ thuộc vào giá trị tham sè m (®pcm) b) Ta cã:
x1+x2¿
−4x1x2=36
x1− x2¿
=36⇔x12−2x1x2+x22=36⇔¿
|x1− x2|=6⇔¿
⇔[2(m+1)]2−4(m−4)=36⇔4(m2+2m+1)−4m+16=36⇔4m2+4m−16=0
Δ'm=2
2
−4(−16)=68>0 ⇒m1=−2+√68
4 =
−1+√17
2 vµ m2=
−2−√68
4 =
−1−√17
2
VËy víi m=−1±√17
2 phơng trình có hai nghiệm thoả mãn điều kiện |x1− x2|=6 . ◦ Một số đề tự luyện:
C3b/§1, C3b/§4, C3b/§7, C2b/§6, C3b/§8, C3a/§9, C2b/§13, C3b/§14, C2b/§15, C2b/§17, C3b/§18, C2c/§20, C3b/§21, C2b/§25, C3b/§26, C2b/§27, C3b/§28, C3b/§37, C3b/§40.
Loại Những tốn sử dụng hệ hức Vi-et khơng triệt để.
Bài tốn 1 Tìm giá trị tham số m để phơng trình có hai nghiệm x1 x2 thoả
m·n ®iỊu kiƯn: px1+qx2=k .
1) Phơng pháp giải
Bc 1: Tìm giá trị tham số m để phơng trình có hai nghiệm x1 x2 (tức tìm m a ≠0 Δ≥0 Δ' ≥0 )
Bớc : Biến đổi hệ thức cho dạng:
px1+qx2=kx1x2⇔(px1+px2)+(qx2−px2)=kx1x2⇔p(x1+x2)+(q − p)x2=kx1x2 Bíc 3: Thay x1+x2=−
b
a vµ x1.x2=
c
a vào hệ thức vừa biến đổi tính x1 x2 Bớc 4: Thay x1 x2 vừa tính vào phơng trình cho để đợc phơng trình ẩn m
Bớc 5: Giải phơng trình vừa thu đợc, đối chiếu điều kiện bớc 1, kết luận
2) VÝ dô
VÝ dụ 1 Cho phơng trình ẩn x, tham số m: x2
+3x −2m+1=0 (1)
1) Tìm giá trị tham số m để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu
2) Tìm tham số m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 x2 thoả mãn điều kiện: a) 2x1+3x2=1 b) x1
1
− x2=
3
x1x2 c) x12 x22=6
(45)1) Để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu c
a<0⇔1−2m<0⇔2m>1⇔m>
VËy víi m>1
2 phơng trình (1) có hai nghiệm trái dÊu.
2) Ta cã: a=1 ; b=3 ; c=1−2m vµ Δ=b2−4 ac=32−4 (1−2m)=9−4+8m=8m+5
Trớc hết, để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 x2
¿
a ≠0 Δ≥0 ⇔ ¿1≠0
8m+5≥0 ⇔m ≥−5
¿{ ¿
Khi đó, áp dụng hệ thức Vi ét ta đợc: x1+x2=−b
a=−3 a)Ta cã: 2x1+3x2=1⇔2(x1+x2)+x2=1⇔x2=1−2(x1+x2)
⇔x2=1−2 (−3)=7 (v× x1+x2=−
b
a=−3 ) Thay x2=7 vào phơng trình (1) ta c:
72+3 72m+1=0712m=0m=71
2 (thoả mÃn ĐK)
Vậy với m=71
2 phơng trình (1) có hai nghiệm thoả mÃn điều kiện 2x1+3x2=1 .
b) Ta cã: x1
− x2
= x1x2
⇔ x2
x1x2
− 2x1 x1x2
= x1x2
⇔x2−2x1=3⇔(x1+x2)−3x1=3 ⇔x1=(x1+x2)+3
3 =
(−3)+3
3 =0 (v× x1+x2=− b
a=−3 ) Thay x2=0 vào phơng trình (1) ta đợc:
02
+3 02m+1=012m=0m=1
2 (thoả mÃn ĐK)
Vậy với m=1
2 phơng trình (1) có hai nghiệm thoả mÃn điều kiện x1
2 x2=
(46)⇔(x1+x2)−2x2=−2⇔x2=(x1+x2)+2
2 =
(−3)+2
2 =−
Thay x2=−1
2 vào phơng trình (1) ta đợc:
(−1
2)
2
+3 (−1
2)−2m+1=0⇔ 4−
3
2+1−2m=0⇔−
4−2m=0⇔m=−
8 (thoả mÃn ĐK)
Vậy với m=1
8 phơng trình (1) có hai nghiệm thoả mÃn điều kiện x1
− x2
=6 .
VÝ dô 2. Cho phơng trình ẩn x, tham số m: x22(m2)x+2m5=0 (1)
Tìm giá trị tham số m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 x2 thoả mãn điều kiện:
1) x1− x2=2x1x2 2) x3
1 +
x2=1 3) x1
− x2
=0 Gi¶i:
Ta cã: a=1 ; b=−2(m−2) ; c=2m−5 ; b '=b
2=2− m vµ
m−3¿2
b '¿2−ac=(2−m)2−(2m −5)=4−4m+m2−2m+5=m2−6m+9=¿
Δ'=¿
Trớc hết, để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 x2
a ≠0 Δ≥0 ⇔
¿ ¿1≠0
m−3¿2≥0 ¿ ¿{
¿
(∀m∈R)
Khi đó, áp dụng hệ thức Vi ét ta đợc: x1+x2=−b
a =2(m−2) vµ x1.x2=
c
a=2m −5 1) Ta cã: x1− x2=2x1x2⇔(x1+x2)−2x2=2x1x2⇔x2=(x1+x2)−2x1x2
2
⇔x2=2(m−2)−2(2m −5)
2 =3−m
(47)3−m¿2−2(m−2)(3− m)+2m−5=0⇔(9−6m+m2)−2(5m−6− m2)+2m−5=0
¿
⇔3m2−14m+16=0
−7¿2−3 16=1>0
Δ'm=¿ ⇒m1=7+1
3 =
3 vµ m2=
7−1 =2 VËy víi m=2 hc m=8
3 pt(1) có hai nghiệm thoả mÃn điều kiện x1− x2=2x1x2 .
2) Ta cã: x3
1 +
x2=1⇔3x2+2x1=x1x2⇔2(x1+x2)+x2=x1x2⇔x2=x1x2−2(x1+x2)
⇔x2=(2m−5)−4(m −2)=3−2m
Thay x2=3−2m vào phơng trình (1) ta đợc:
2
2
(3 ) 2( 2)(3 )
(9 12 ) 2(7 )
m m m m
m m m m m
⇔8m2−24m
+16=0 (*)
Vì 8+(24)+16=0 nên phơng trình (*) cã hai nghiƯm lµ:
m1=1 vµ m2=16
8 =2
VËy víi m=1 hc m=2 phơng trình (1) có hai nghiệm thoả mÃn ®iỊu kiƯn
3 x1+
(48)3) Ta cã: x1
2
− x2
=0⇔(x1− x2)(x1+x2)=0⇔
x1− x2=0 ¿
x1+x2=0 ¿
x1=x2 ¿
−b a=0
¿
Δ'=0 ¿
−b a=0
¿ ¿ ¿ ⇔¿
¿ ⇔¿
¿ ¿ ¿
⇔ m −3¿2=0
¿
2(m−2)=0 ¿
m −3=0 ¿
m −2=0 ¿
m=3 ¿
m=2 ¿ ¿ ¿ ⇔¿
¿ ⇔¿
¿ ¿ ¿ ¿
VËy víi m=2 hc m=3 phơng trình (1) có hai nghiệm thoả m·n ®iỊu kiƯn
x1
− x2
=0 .
◦ Một số đề tự luyện: C3b/11
(49)1) Phơng pháp giải
Bớc 1: Tìm hai nghệm x1 x2 phơng trình cho theo m
(th«ng thêng chóng ta ph¶i sư dơng tÝnh chÊt: NÕu a ± b+c=0 x1=1 x2=
c a )
Bớc 2: Thay x1 x2 vừa tìm vào hệ thức:
x1=kx2 ¿
x2=kx1 ¿ ¿ ¿ ¿
råi t×m m
Bíc 3: KÕt ln
2) Ví dụ
Ví dụ 1. Cho phơng trình bËc hai Èn x, tham sè m: x2−mx
+m−1=0 (1)
1) Chứng tỏ phơnh trình (1) ln có hai nghiệm x1 x2 với m Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép tớnh nghim kộp ú
2) Đặt A=x1
+x2
−6x1x2
a) Chứng minh A=m2−8m+8 b) Tỡm m A=8
c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A giá trị m tơng ứng 3) Tìm m cho phơng trình (1) có nghiệm lần nghiệm Giải:
Ta cã: a=1 ; b=−m ; c=m −1
1) Vì phơng trình (1) phơng trình bậc hai có: a+b+c=1+(m)+m1=0 nên phơng trình
(1) cã hai nghiƯm x1=1 vµ x2=
c
a=m−1
Để phơng trình (1) có nghiệm kép x1=x2x2=1m 1=1m=2 Vậy với m=2 phơng tr×nh (1) cã nghiƯm kÐp x1=x2=1 .
2) Vì phơng trình (1) ln có hai nghiệm x1 x2 nên áp dụng hệ thức Vi et ta đợc: x1+x2=−
b
a=m vµ x1x2=
c
a=m −1 a) x1+x2¿
2
−8x1x2=m
−8(m −1) A=x1
2
+x2
−6x1x2=(x1
+2x1x2+x2
)−8x1x2=¿
¿m2−8m+8 (®pcm)
b)
A=8⇔m2−8m+8=8⇔m2−8m=0⇔m(m−8)=0⇔
m=0 ¿
m=8 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
VËy víi m=0 m=8 A=8 .
c) m−4¿
2
−8
(50)V× m−4¿
2
−8≥ −8⇒A ≥−8 m −4¿2≥0⇒¿
¿
Dấu “=” xảy m−4=0⇔m=4 Vậy giá trị nhỏ biểu thức A (−8) , đạt đợc m=4 .
3) Theo câu (a) ta có x1=1 x2=m1
Để phơng trình (1) có nghiệm gấp lần nghiệm thì: x1=2x2
x2=2x1 ¿ ⇔
¿
1=2(m−1) ¿
m −1=2 ¿
2m−2=1 ¿
m=3 ¿
m=3
2
¿
m=3 ¿ ¿ ¿ ⇔¿
¿ ⇔¿
¿ ¿ ¿ ¿
VËy víi m=3
2 hc m=3 Phơng trình (1) có nghiệm gấp lần nghiệm Ví dụ 2. Cho phơng trình Èn x, tham sè m: x2
−2 mx+m2−4=0 (1)
a) Chứng tỏ phơng trình có hai nghiệm phân biệt với giá trị tham số m b) Tìm tham số m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 x2 nghịch đảo c) Tìm tham số m cho phơng trình có nghiệm lần nghiệm
Gi¶i:
Ta cã: a=1 ; b=−2m ; c=m2
−4 ; b '=b
2=−m Vµ:
−m¿2−(m2−4)=m2− m2+4=4
b '¿2−ac=¿
Δ'=¿
a) Vì phơng trình (1) phơng trình bËc hai (a=1≠0) cã ' 0 víi m, nên phơng
(51)
a ≠0 Δ' ≥0
c a=1
⇔ ¿1≠0(∀m)
1>0(∀m)
m2−4 =1 ¿{ {
¿
⇔m2=5⇔m=±√5
Vậy với m=±√5 phơng trình (1) có hai nghiệm x1 x2 là nghịch đảo nhau.
c) Theo c©u (a) ta cã: x1=− b '+√Δ'
a =m+√4=m+2 vµ x2=
− b ' −√Δ'
a =m−√4=m−2 Để phơng trình (1) có nghiệm lần nghiƯm th×:
x1=3x2 ¿
x2=3x1 ¿ ⇔
¿
m+2=3(m−2) ¿
m−2=3(m+2) ¿
3m−6=m+2 ¿
3m+6=m−2 ¿
2m=8 ¿
2m=−8 ¿
m=4 ¿
m=−4 ¿ ¿ ¿ ⇔¿
¿ ⇔¿
¿ ⇔¿
¿ ¿ ¿ ¿
Vậy với m=±4 phơng trình (1) có nghiệm lần nghiệm kia. ◦ Một số đề tự luyện:
C3b/§39
(52)1) Phơng pháp giải
Bc 1: Tỡm cỏc giỏ trị tham số m để phơng trình có hai nghiệm x1 x2 (tức tìm m a ≠0 Δ≥0 Δ' ≥0 )
Bớc : áp dụng hệ thức Vi-et để tính
¿
x1+x2=−b
a (1) x1.x2=c
a(2)
¿{ ¿
theo tham sè m
Bớc : Rút m từ phơng trình (1) (2) theo x1+x2 x1.x2 vào phơng trình cịn lại để có hệ thức
Bíc 4: KÕt ln
VÝ dơ 1. Cho phơng trình ẩn x, tham số m: x22
(m+1)x+2m+10=0 (1)
a) Giải biện luận số nghiệm phơng trình (1)
b) Trong trờng hợp phơng trình (1) có hai nghiệm x1 x2 hÃy tìm hệ thức liên hệ x1 x2 mà không phụ thuộc vào m
Giải:
a) Ta cã: a=1 ; b=−2(m+1) ; c=2m+10 ; b '=b
2=−(m+1) Vµ: b '¿2−ac=[−(m+1)]
2
−(2m+10)=m2+2m+1−2m −10=m2−9
Δ'=¿
+) Nếu '<0m29<0m2<323<m<3 phơng trình (1) vô nghiệm
+) Nếu '=0m29=0m2=32m=3 phơng trình (1) có nghiệm kép
x1=x2=− b '
a =m+1
+) NÕu '>0m29>0m2>32m<3 m>3 phơng trình (1) có hai nghiệm ph©n
biƯt x1=− b '+√Δ'
a =m+1+√m
2−9 vµ x 2=
− b ' −√Δ'
a =m+1−√m
2−9
KÕt luËn: Víi 3<m<3 phơng trình (1) vô nghiệm
Với m=3 phơng trình (1) có nghiệm kép x1=x2=m+1=4
Với m=3 phơng trình (1) cã nghiƯm kÐp x1=x2=m+1=−2 Víi m<−3 hc m>3 phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt
x1=m+1+√m2−9 vµ x2=m+1−√m2−9
b) Trớc hết để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 x2 thì: Δ' ≥0⇔m2−9≥0⇔m2≥32⇔m≤ −3 m≥3 .
Khi đó, áp dụng hệ thức Vi – ét ta có:
¿
x1+x2=2(m+1)
x1x2=2m+10 ¿{
¿
(∗) (**)
Từ phơng trình (*) 2m=(x1+x2)2m=(x1+x2)2
(53)ThÕ m=(x1+x2)−2
2 vào phơng trình (**) ta đợc x1x2=(x1+x2)−2+10 ⇔x1x2−(x1+x2)=8
VËy hƯ thøc liªn hệ x1 x2 mà không phụ thuộc vào m cần tìm là x1x2(x1+x2)=8 .
Ví dụ 2. Cho phơng trình ẩn x, tham sè m: (m−1)x2−2 mx+m+1=0
a) Chøng minh r»ng: Phơng trình có hai nghiệm phân biệt m1
b) Xác định giá trị m để phơng trình có tích hai nghiệm 5, từ tính tổng hai nghiêm phơng trình
c) T×m hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thc vµo m
d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức: x1 x2
+x2 x1
+5
2=0
Gi¶i:
a) Ta cã: a=m−1 ; b=−2m ; c=m+1 ; b '=b
2=−m vµ:
−m¿2−(m−1)(m+1)=m2− m2+1=1
b '¿2−ac=¿
Δ'=¿
Với m≠1 a=m−1≠0 Khi phơng trình cho phơng trình bậc hai (*)
Mặt khác: '=1>0 (**)
Từ (*) (**) phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt (đpcm)
b) Vì phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 x2 (m1) nên theo hÖ thøc
Vi- Ðt
ta cã:
¿
x1+x2=−b
a = 2m m−1 x1x2=c
a= m+1
m−1
¿{ ¿
§Ĩ phơng trình (1) có tích hai nghiệm x1x2=5⇔c
a=5⇔ m+1
m−1=5 ⇔5(m−1)=m+1 ⇔5m−5=m+1⇔4m=6⇔m=3
2 (tho¶ m·n)
Khi đó, tổng hai nghiệm là: x1+x2=
2 (3 2) 2−1
=3
1
=6
VËy víi m=3
2 tích hai nghiệm tổng hai nghiệm 6.
c) Theo c©u (b) ta cã:
¿
x1+x2= 2m
m−1(1) x1x2=m+1
m −1(2)
¿{ ¿
(54)⇒m=x1x2+1
x1x2−1
ThÕ m=x1x2+1
x1x2−1
vào phơng trình (1) ta đợc (x1+x2).(x1x2+1
x1x2−1−1)=2 (
x1x2+1
x1x2−1) ⇔(x1+x2).( x1x2+1
x1x2−1−
x1x2−1 x1x2−1)=2 (
x1x2+1
x1x2−1)⇔2 (x1+x2)=2(x1x2+1)⇔x1+x2− x1x2=1
VËy hÖ thøc liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m lµ x1+x2− x1x2=1 d) Ta cã: x1
x2 +x2
x1 +5
2=0⇔2(x1
+x22)+5x1x2=0⇔2(x21+2x1x2+x22)+x1x2=0
x1+x2¿
+x1x2=0 ⇔2¿
m −1¿2 ¿
m −1¿2 ¿ ¿ ¿ ⇔2 ( 2m
m−1)
2 +m+1
m −1=0⇔ 8m2
¿
⇔8m2+m2−1=0⇔9m2−1=0⇔9m2=1⇔m2=1
9⇔m=±
3 (tho¶ m·n) VËt víi m=±1
3 phơng trình (*) có hai nghiệm x1; x2 tho¶ m·n hƯ thøc:
x1 x2
+x2
x1 +5
2=0 .
◦ Một số đề tự luyện: C3c/Đ14
Dạng 5: Bài toán liên quan đến điều kiện có nghiệm phơng trình trựng phng ax4+bx2+c=0 (a 0)
1) Cách giải phơng trình trùng phơng.
Bớc 1: Đặt x2
=y (*) đặt điều kiện cho y , để đa phơng trình trùng phơng dạng
ph¬ng tr×nh bËc hai Èn y
Bớc 2: Giải phơng trình bậc hai vừa thu đợc để có nghiệm y
Bớc 3: Thay y vừa tìm đợc vào (*) để có nghiệm x
Bíc 4: Kết luận
2) Điều kiện nghiệm phơng trình trùng phơng. Xét phơng trình trùng phơng: ax4
+bx2+c=0 (a 0) (1)
Đặt: x2
=y (K y ≥0 ) Khi đó, phơng trình (1) trở thành ay2+by+c=0 (2)
(55)Tøc lµ phơng trình (2) có <0 ('<0)
Δ≥0(Δ' ≥0)
c a>0 − b
a <0
{ {
+) Phơng trình (1) có nghiệm phơng trình (2) có nghiệm kép 0, phơng trình (2) có nghiệm nghiệm lại âm
Tức phơng trình (2) có :
=0('=0)
− b 2a=
−b ' a =0
¿{ ¿
hc
¿
Δ>0(Δ'>0)
c a=0 − b
a <0
¿{ { ¿
hay
¿
Δ≥0(Δ' ≥0)
c a=0 −b
a ≤0
¿{ { ¿
(L u ý : Chóng ta cđng cã thĨ lÝ ln: Vì x0 nghiệm phơng trình (1)
thì − x0 củng nghiệm phơng trình (1) Nên để phơng trình (1) có một nghiệm x0=− x0⇒x0=0 Từ tìm đợc mối quan hệ a ;b ;c ).
+) Phơng trình (1) có nghiệm phơng trình (2) phải có nghiệm kép dơng, phơng trình (2) phải có hai nghiệm trái dấu
Tức phơng trình (2) có :
¿ Δ=0(Δ'=0) − b
2a= −b '
a >0 ¿{
¿
hc c a<0
+) Phơng trình (1) có nghiệm phơng trình (2) có nghiệm nghiệm d-ơng
Tức phơng trình (2) cã :
¿
Δ≥0(Δ' ≥0)
− b a >0 c a=0
¿{ { ¿
(56)Tức phơng trình (2) cã :
¿
Δ≥0(Δ' ≥0)
c a>0 − b
a >0
¿{ { ¿ 3) Ví dụ
Cho phơng trình trùng phơng ẩn x, tham sè m: x4−2 mx2+(2m−1)=0 (1)
1) Giải phơng trình (1) m =
2) Tìm giá trị tham số m để phơng trình (1) có: a) Hai nghiệm
b) Ba nghiƯm c) Bèn nghiƯm
Gi¶i: §Ỉt x2
=y (§iỊu kiƯn: y ≥0 )
Khi phơng trình (1) trở thành: y2−2 my+(2m−1)=0 (2)
a) Thay m = vào phơng trình (2) ta đợc: y2
−2y+1=0
y −1¿2=0⇔y −1=0⇔y=1
⇔¿ (tho¶ m·n)
⇔x2
=1⇔x=±1
VËy m = 1 ph¬ng trình (1) có hai nghiệm x1=1 x2=1 .
b) Ta có: Phơng trình hai phơng trình bậc hai ẩn y có: a=1 ; b=−2m ; c=2m−1 ; b '=−m vµ
m−1¿2
−m¿2−(2m−1)=m2−2m+1=¿
b '¿2−ac=¿
Δ'=¿
1) §Ĩ phơng trình (1) có nghiệm phơng trình (2) phải có nghiệm kép dơng, phơng trình (2) phải cã hai nghiƯm tr¸i dÊu
Tr
êng hợp 1 Phơng trình (2) có nghiệm kép dơng:
⇔ Δ '=0
− b ' a >0
⇔ m−1¿2=0
¿
m>0 ¿ ⇔
¿ ¿ ¿m −1=0
¿
m>0 ¿ ¿ ¿
Tr
(57)c
a<02m1<02m<1m< Vâỵ víi m<1
2 hc m=1 phơng trình (1) có hai nghiệm.
2) Để phơng trình (1) có nghiệm phơng trình (2) phải có nghiệm nghiệm dơng
⇔ Δ≥0(Δ' ≥0)
− b a >0 c a=0
⇔
m−1¿2≥0(∀m) ¿
2m>0 ¿
2m−1=0 ¿ ¿ ⇔
¿ ¿m>0
2m=1
Vâỵ với m=1
2 phơng trình (1) có ba nghiƯm.
3) Để phơng trình (1) có nghiệm phơng trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt dơng
⇔ Δ'>0
c a>0 − b
a >0 ⇔ m−1¿2>0
¿
2m−1>0 ¿
2m>0 ¿ ⇔
¿ ¿m−1≠0
¿ ¿
2m>1 ¿
(58)Vâỵ với m>1
2 v m≠1 phơng trình (1) có bốn nghiệm. ◦ Mt s t luyn:
C3/Đ36
E phơng trình, bất phơng trình I Phơng trình vô tỉ
1 Phương pháp nâng lên luỹ thừa:
a) Kiến thức vận dụng:
(AB)2 = A2 2AB + B2
(AB)3 = A3 3A2B + 3AB2 B3
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x g x f x g x f x g x f
Am Am3 b) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 2 2x1x (1) Giải
Điều kiện có nghĩa: 2x 10 (2)
2 x (1) 2x 1x 2 (3)
Với điều kiện x 20 (4) (3) 2x - = (x-2)2 (5)
0 4 2 x x x x x
Giải ta x1=1 không thoả mãn (4)
x2 = thoả mãn (2) (4) nghiệm phương trình: x =
Ví dụ 2: Giải phương trình: x 1 5x1 3x 2 (1)
Phương trình (1) có nghĩa:
0 x x x x (2) (1) x1 3x 2 5x1
(59) ) ( ) ( ) 13 15 ( 2 13 15 ) )( ( 2 x x x x x x x x x x x x
Giải (3) ta được: x
không thoả mãn (1) Vậy phương trình vơ nghiệm
Ví dụ 3: Giải phương trình x1 x 1 (1) Giải
Điều kiện: x2 (2)
Viết phương trình (1) dạng
2 1
x
x (3)
Hai vế (3) không âm, bình phương hai vế ta x1x 212 x
3 2 2
2
x x x x thoả mãn điều kiện (2)
Vậy phương trình có nghiệm x= Lưu ý:
Nếu để (1) bình phương ta phải đặt ĐK x+1x 2 (Đk đúng)
Nếu biến đổi (1) thành x x11 bình phương hai vế ta phải đặt ĐK
0
1
x
x
Ví dụ 4: Giải phương trình: x12 7 x (1) Giải: 3 3 3 ) ( 2 ) ( x x x x ; ) )( ( ) )( ( x x x x x x
Là nghiệm phương trình Chú ý:
Khi bình phương hai vế phương trình cần ý điều kiện hai vế dương Trước lên luỹ thừa cần biến đổi phương trình dạng thuận lợi để hạn chế trường hợp có lời giải ngắn gọn
(60)Giải: (x 2)2 x8
x
+x8
Nếu x2 x 2x8 x5 Nếu x<2 2 xx8 vơ nghiệm
Kết luận: x = nghiệm phương trình
◦ Một số đề tự luyện: C2a/Đ4, C2a/Đ38, C2a/35
II.Phơng trình quy phơng trình bậc hai
1) Cách giải phơng trình trùng phơng: ax4+bx2+c=0 (a 0)
Bớc Đặt x2
=y (*) đặt điều kiện cho y , để đa phơng trình trùng phơng dạng phơng trình bậc hai ẩn y
Bớc Giải phơng trình bậc hai vừa thu đợc để có nghiệm y Bớc Thay y vừa tìm đợc vào (*) để có nghiệm x
Bíc KÕt luËn
2) Điều kiện nghiệm phơng trình trùng phơng. Xét phơng trình trùng phơng: ax4
+bx2+c=0 (a 0) (1)
Đặt: x2
=y (K y 0 ) Khi đó, phơng trình (1) trở thành ay2+by+c=0 (2)
+) Phơng trình (1) vơ nghiệm ⇔ phơng trình (2) vơ nghiệm phơng trình (2) có hai nghiệm õm
Tức phơng trình (2) có Δ<0 (Δ'<0) hc
¿
Δ≥0(Δ' ≥0)
c a>0 − b
a <0
¿{ { ¿
+) Phơng trình (1) có nghiệm phơng trình (2) có nghiệm kép 0, phơng trình (2) có nghiệm nghiệm lại âm
Tức phơng trình (2) cã :
¿ Δ=0(Δ'=0) − b
2a= −b '
a =0 ¿{
¿
hc
¿
Δ>0(Δ'>0)
c a=0 − b
a <0
¿{ { ¿
hay
¿
Δ≥0(Δ' ≥0)
c a=0 −b
a ≤0
¿{ { ¿
(L u ý : củng lí luận: Vì x0 nghiệm phơng trình (1) − x0 củng nghiệm phơng trình (1) Nên để phơng trình (1) có nghiệm x0=− x0⇒x0=0 Từ tìm đợc mối quan hệ a ;b ;c ) +) Phơng trình (1) có nghiệm ⇔ phơng trình (2) phải có nghiệm kép dơng, phơng trình (2) phải có hai nghiệm trái dấu
Tức phơng trình (2) có :
¿
Δ=0(Δ'=0)
− b 2a=
−b ' a >0
¿{ ¿
hc c a<0
(61)nghiƯm d¬ng
Tức phơng trình (2) có :
¿
Δ≥0(Δ' ≥0)
− b a >0 c a=0
¿{ { ¿
+) Phơng trình (1) có nghiệm ⇔ phơng trình (2) có hai nghiệm phân biệt dơng
Tøc lµ phơng trình (2) có :
0(' 0)
c a>0 − b
a >0
¿{ {
3) Ví dụ Cho phơng trình trùng ph¬ng Èn x, tham sè m: x4−2 mx2
+(2m−1)=0 (1)
a) Giải phơng trình (1) m =
b) Tìm giá trị tham số m để phơng trình (1) có:
1) Hai nghiÖm 2) Ba nghiÖm 3) Bèn nghiÖm Giải:
Đặt x2
=y (Điều kiện: y ≥0 )
Khi phơng trình (1) trở thành: y2−2 my
+(2m−1)=0 (2)
a) Thay m = vào phơng trình (2) ta đợc: y2−2y
+1=0
y −1¿2=0⇔y −1=0⇔y=1
⇔¿ (tho¶ m·n)
⇔x2
=1⇔x=±1
VËy m =1 phơng trình (1) có hai nghiệm x1=−1 vµ x2=1 . b) Ta cã: Phơng trình hai phơng trình bậc hai ẩn y cã:
a=1 ; b=−2m ; c=2m−1 ; b '=−m vµ
m−1¿2
−m¿2−(2m−1)=m2−2m+1=¿
b '¿2−ac=¿
'=
1) Để phơng trình (1) có nghiệm phơng trình (2) phải có nghiệm kép dơng, phơng trình (2) phải có hai nghiệm trái dấu
Tr
(62)
⇔ Δ '=0
− b ' a >0
⇔ m−1¿2=0
¿
m>0 ¿ ⇔
¿ ¿ ¿m −1=0
¿
m>0 ¿ ¿ ¿
Trờng hợp Phơng trình (2) có hai nghiệm tr¸i dÊu: ⇔c
a<0⇔2m−1<0⇔2m<1⇔m< Vâỵ với m<1
2 m=1 phơng trình (1) có hai nghiệm.
2) Để phơng trình (1) có nghiệm phơng trình (2) phải có nghiệm nghiƯm d¬ng
⇔ Δ≥0(Δ' ≥0)
− b a >0 c a=0
⇔
m−1¿2≥0(∀m) ¿
2m>0 ¿
2m−1=0 ¿ ¿ ⇔
¿ ¿m>0
¿
2m=1 ¿¿
Vâỵ với m=1
2 phơng tr×nh (1) cã ba nghiƯm.
(63)
⇔ Δ'>0
c a>0 − b
a >0 ⇔ m−1¿2>0
¿
2m−1>0 ¿
2m>0 ¿ ⇔
¿ ¿m−1≠0
¿ ¿
2m>1
m>0
Vâỵ víi m>1
2 vµ m≠1 phơng trình (1) có bốn nghiệm.
2 Phơng tr×nh chøa Èn ë mÈu
Bước 1: Đặt ĐK ẩn ; Qui đồng khữ mẩu Bước 2: Biến đổi PT đa dạng ax +b = giải Bước 3: Đối chiếu ĐK trả lời nghiệm
Ví dụ:
Giải phơng trình sau : x
2(x −3)+
x 2x+2=
2x
(x+1)(x −3) §k: x ≠ -1 ; x ≠
x( x+1) + x( x -3 ) = 4x
2x2 - 6x =
2x ( x -3 ) =0
x (t/m) x lo¹i
VËy ph¬ng tr×nh cã nghiƯm x=3
◦ Một số đề tự luyện:
C2b/§5, C2a/§7, C1b/§23, C1a/§30, C1b/§36
F giải toán cách lập phơng trình, hệ phơng trình.
I Lí thuyết.
Cách giải chung.
Bớc Lập phơng trình, hệ phơng trình:
Trong bớc cần thực c«ng viƯc sau:
Tóm tắt tốn (bớc em làm nháp) +) Liệt kê đại lợng biết (bài toán cho)
(64) Chọn hai đại lợng cha biết làm ẩn đặt điều kiện cho ẩn Tính đại lợng cha biết cịn lại theo ẩn
Dựa vào mối liên hệ đại lợng biết cha biết để lập phơng trình hệ phơng trình
Bíc Giải hệ phơng trình vừa lập.
Bớc Đối chiếu điều kiện, chọn nghiệm hợp lí kết luận. II Các dạng toán thờng gặp.
Dng 1 Bi toán chuyển động.
(Đối với toán chuyển động nên giải cách lập phơng trình)
Loại Bài toán chuyển động
1) KiÕn thøc cÇn nhí.
– Bài tốn chuyển động có ba đại lợng là: Vận tốc (v), quảng đờng (s) thời gian (t) Trong đó: s=v.t , v=s
t , t= s v
– Trong đại lợng đó, có đại lợng biết, hai đại lợng lại l cha bit
Trong mổi toán thờng cã hai mèi liªn hƯ chÝnh
+) Mối liên hệ thứ giúp ta tính đợc đại lợng cha biết +) Mối liên hệ lại giúp ta lập đợc phơng trình tốn
2) Chó ý:
+) Nếu hai vật chuyển động, khởi hành lúc vật đích sau nhiều thời gian hơn.
+) Nếu hai vật chuyển động, đích lúc vật khởi hành trớc nhiều thời gian hơn.
+) Nếu hai vật chuyển động, khởi hành đích lúc vật nghỉ lại ít thời gian hơn.
+) Nếu hai vật chuyển động, khởi hành từ hai vị trí A B ( A ≠ B ) ngợc chiều tổng quãng đờng chúng đợc kể từ lúc khởi hành đến lúc gặp quãng đờng AB.
3) Cách giải: (trình bày giống nh cách giải chung) 4) Mét sè vÝ dơ.
Ví dụ 1 Hai xe máy khởi hành lúc từ A đến B Xe máy thứ có vận tốc trung bình lớn vận tốc trung bình xe máy thứ hai 10km/h, nên đến trớc xe máy thứ hai 1giờ Tính vận tốc trung bình mổi xe máy, biết quãng đờng AB dài 120km
(Đề thi vào lớp 10 PTTH tỉnh Nghệ an năm học 2008- 2009) Tóm tắt:
- Đại lợng biết: S1=S2=SAB=120 (km)
- Đại lợng cha biết: v1 ; v2 ; t1 ; t2 ? - Mối liên hệ: v1 v2=10 t2t1=1 Giải:
Gọi x(km/h) vận tốc trung bình xe máy thứ ( x>10 )
Khi đó: Vận tốc trung bình xe máy thứ hai là: x −10 (km/h) Thời gian xe máy thứ từ A đến B là: 120
x (h) Thời gian xe máy thứ hai từ A đến B là: 120
x −10 (h)
Vì xe máy thứ đến B trớc xe máy thứ hai nên ta có phơng trình: 120
x −10− 120
x =1⇔120x −120(x −10)=x(x −10) ⇔x2−10x=120x −120x+1200⇔x2−10x −1200=0
Ta cã: −5¿
2
(1200)=1225=352>0
'= nên phơng trình có hai nghiệm phân biệt là:
x1=(5)+35
(65)Vậy vận tốc trung bình xe máy thứ 40(km/h) vận tốc trung bình xe máy thứ hai 30(km/h)
Vớ d Mt ngời xe đạp từ A đến B với vận tốc trung bình 15km/h Sau 1giờ ngời xe máy khởi hành từ B để đến A với vận tốc trung bình 40km/h Tính thời điểm gặp hai xe, biết quãng đờng AB dài 90 km
Tãm t¾t:
- Đại lợng biết: v1=15 (km/h); v2=40 (km/h) SAB=90 (km)
- Đại lợng cha biết: S1 ; S2 ; t1 ; t2 ? - Mèi liªn hƯ: S1+S2=90 t1t2=1
Giải:
Gi x(h) l thời gian xe đạp đi, kể từ lúc khởi hành đến lúc gặp xe máy ( x>1 )
Khi đó: Thời gian xe máy kể từ lúc khởi hành đến lúc gặp xe đạp là: x −1 (h) Quãng đờng xe đạp đi, kể từ lúc khởi hành đến lúc gặp xe máy là: 15x (km) Quãng đờng xe máy đi, kể từ lúc khởi hành đến lúc gặp xe đạp là: 45(x −1) (km)
Vì tổng quảng đờng hai xe đợc kể từ lúc khởi hành đến lúc gặp quảng đờng AB nên ta có phơng trình:
15x+45(x −1)=90⇔15x+45x −45=90⇔60x=135⇔x=135
60 =2
4 (thoả mãn) Vậy hai xe gặp sau 15 phút kể từ lúc xe đạp khởi hành.
Và điểm gặp cách điểm A khoảng SAM=S1=(214) 15=33,75 km. L
u ý : Trong trờng hợp, vật chuyển động có thay đổi vận tốc nên tóm tắt tốn sơ đồ hình vẽ.
Ví dụ Một ô tô dự định từ A đến B dài 100km Sau đợc 40km với vận tốc định, ôtô phải dừng lại nghỉ 10 phút Nên để đến B hẹn, ngời lái xe tăng vận tốc thêm 10km/h suốt qng đờng cịn lại Tìm vận tốc d nh ca ễtụ
Tóm tắt
Giải:
(66)Khi đó: Thời gian Ơtơ dự định hết quãng đờng AB là: 100 x (h) Thời gian thực tế mà Ơtơ hết quãng đờng AB là: 40
x + 60
x+5(h)
Vì thực tế Ôtô nghỉ 10 phút (1
6(h)) đến B nh dự định nên ta có phơng trình: 40
x + 60
x+5+
1 6=
100 x ⇔
60 x −
60 x+5=
1
6⇔360(x+5)−360x=x(x+5) x2+5x=360x+1800360xx2+5x 1800=0
Ta có: =524 (1800)=7225=852>0 nên phơng trình cã hai nghiƯm lµ:
x1=−5+√85
2
2 =40 (thoả mÃn) x2=
5852
2 =45 (lo¹i)
Vậy vận tốc dự định Ơtơ 40 km/h .
Ví dụ 4.Một Ơtơ dự định hết quãng đờng AB dài 180km thời gian định Sau đợc quãng đờng, ngời lái xe tăng vận tốc thêm 9km/h suốt qng đờng cịn lại Do đó, Ôtô đến B sớm dự định 20 phút Tìm vận tốc dự định Ơtơ
Tóm tắt:
Giải:
Gi x(km/h) l tốc dự định Ơtơ ( x>0 )
Khi đó: Thời gian Ơtơ dự định hết qng đờng AB là: 180 x (h) Thời gian thực tế mà Ơtơ hết qng đờng AB là: 90
x + 90
x+9(h)
Vì thực tế Ơtơ đến B sớm dự định 20 phút (1
3(h)) nên ta có phơng trình: 180
x −( 90
x + 90
x+9)=
1 3⇔
90 x −
90 x+9=
1
3⇔270(x+9)−270x=x(x+9) ⇔x2
+9x=270x+2430−270x⇔x2+9x −2430=0
Ta cã: =924 (2430)=9801=992>0 nên phơng trình có hai nghiệm là:
x1=9+99
2
2 =45 (thoả mÃn) x2=
−9−√992
2 =−54 (lo¹i)
Vậy vận tốc dự định Ơtơ 45 km/h .
Ví dụ Một Ơtơ dự định từ Vinh Hà Nội với vận tốc trung bình 50km/h Sau đợc
(67)đờng Vinh – Hà Nội
Tãm tắt:
Giải:
Gi x(km) l di quãng đờng Vinh – Hà Nội ( x>0 )
Khi đó: Thời gian Ơtơ dự định hết qng đờng Vinh – Hà Nội là: x 50(h) Thời gian thực tế Ơtơ hết qng đờng Vinh – Hà Nội là: 3x
200+ x 160(h) Vì thực tế Ơtơ đến Hà Nội muộn dự định 21 phỳt (
20(h)) nên ta có phơng trình:
(2003x +
x 160)−
x 50=
7 20⇔
12x 800 +
5x 800 −
16x 800 =
280
800⇔12x+5x −16x=280⇔x=280 (thoả mãn) Vậy quãng đờng Vinh - Hà Nội dài 280km.
Ví dụ 6. Hai tơ khởi hành lúc từ A đến B cách 150km Biết vận tốc ô tô thứ lớn vận tốc ô tô thứ hai 10 km/h ô tô thứ đến B trớc ô tô thứ hai 45 phút Tính vận tốc mổi ô tô
Tãm t¾t:
Dự định: A(Vinh) B(Hà Nội)
SAB=x(km)
vdd=50(km/h)
tdd= x
50(h) Thùc tÕ: A M B S1=SAM=
3
4x(km) S2=SMB=
1
4 x(km) v1=vdd=50(km/h) v2=vdd−10=40(km/h)
t1=
3 x 50 =
3x 200(h)
t2=
1 4x 40 =
(68)Bài tập : Hai ôtô khởi hành lúc quãng đờng từ A đến B dài 120 km Mỗi ôtô thứ chạy nhanh ôtô thứ hai 10 km nên đến B trớc ôtô thứ hai 2/5 Tính vận tốc ơtơ ?
C3/§5, C3/§24, C3/§27
Loại Bài tốn chuyển động sơng
Ví dụ 1. Một ca nơ chạy xi dịng từ A đến B, quay trở lại bến A tổng cộng Biết quãng sông AB dài 30km vận tốc dịng chảy 4km/h Tính vận tốc ca nô nớc yên lặng
40 km
A M B
v1=vXD=15(km/h) v2=vXM=45(km/h)
t1=tXD=x(h) t2=tXM=x −1(h)
S1=SAM=15x(km) S2=SMB=45(x −1)
Gi¶i:
Gọi x(h) thời gian xe đạp đi, kể từ lúc khởi hành đến lúc gặp xe máy ( x>1 ) ◦ Một số đề tự luyện:
Bài : Một ca nơ xi dịng từ bến sơng A đến bến sơng B cách 24 km ; lúc đó, từ A B bè nứa trôi với vận tốc dòng nớc km/h Khi đến B ca nô quay lại gặp bè nứa địa điểm C cách A km Tính vận tốc thực ca nô
Bài 2. Hai ngời xe đạp khởi hành lúc từ A đến B Vận tốc ngời thứ
nhất bé vận tốc ngời thứ hai 2km/h, nên ngời thứ đến B muộn ngời thứ hai Tính vận tốc mổi ngời Biết quãng đờng AB dài 60km
(xem chuyển động hai ngời nói chuyển động đều)
C3/§25, C3b/§30
Dạng 2 Bài tốn suất lao ng.
(Đối với suất nên giải cách lập phơng trình) 1) Kiến thức cần nhí.
Củng giống nh tốn chuyển động
– Bài tốn suất có ba đại lợng là: Số sản phẩm (p), suất (n) thời gian (t) Trong đó: p=n.t , n=p
t , t= p n
– Trong đại lợng đó, có đại lợng biết, hai đại lợng lại cha biết
– Trong mổi toán thờng có hai mối liên hệ chÝnh
+) Mối liên hệ thứ giúp ta tính đợc đại lợng cha biết +) Mối liên hệ lại giúp ta lập đợc phơng trỡnh ca bi toỏn
3) Cách giải: (trình bày giống nh cách giải chung) 4) Một số ví dụ.
Ví dụ 1. Một phân xởng may lập kế hoạch may lơ hàng, theo ngày phân xởng phải may xong 90 áo Nhng nhờ cải tiến kỹ thuật, phân xởng may 120 áo ngày Do đó, phân xởng khơng hồn thành trớc kế hoạch ngày mà may thêm 60 áo Hỏi theo kế hoạch phân xởng phải may chic ỏo?
Giải:
Gọi số áo phân xởng phải may theo kế hoạch x(áo), x nguyên dơng Số ngày phân xởng phân xởng phải làm theo kế hoạch là:
x
(69)S ngy phân xởng làm là: x 60
120
ngày
Do phân xởng hoàn thành trớc ngày nên ta có phơng trình: x x 60
9 90 120
Giải phơng trình x x 60
9 4x 3(x 60) 3240 4x 3x 180 3240 x 3420 90 120
Đối chiếu điều kiện ban đầu thấy thoả mản
Vậy số áo phân xởng phải sản xuất theo kế hoạch 3420 ¸o
Ví dụ 2. Một đơn vị đội tham gia đắp đoạn đê số ngày quy định Nếu ngày họ đắp đợc 50m đê họ hồn thành cơng việc sớm dự định ngày Nếu ngày họ đắp 35 m đê họ phải hồn thành cơng việc chậm ngày so với quy định Tính chiều dài đoạn đê mà họ phải đắp
Gi¶i:
Gọi chiều dài đoạn đê cần đắp x(m), x>0
Mỗi ngày đắp 50m đê số ngày đội cần để hồn thầnh là: x
50 ngµy
Mỗi ngày đắp 35m đê số ngày đội cần để hồn thành là: x
35 ngµy
Ta cã phơng trình:
x x
3 35 50
x x
3 10x 7x 1050 3x 1050 x 350
35 50 (t/m)
Vậy chiều dài đoạn đê cần đắp 350 m ◦ Một số đề tự luyện:
C3/§10
Bài tập 1. Một cơng nhân dự định hồn thành cơng việc đợc giao Lúc đầu ngời làm đợc 12 sản phẩm Khi làm đợc nửa số lợng công việc đợc giao, nhờ cải tiến kỹ thuật nên ngời làm thêm đợc sản phẩm Nhờ vậy, cơng việc hồn thành trớc thời hạn 30 phút Tính số sản phẩm ngời cơng nhân dự nh lm
Dạng 3 Bài toán tìm số.
1) Một số kiến thức cần nhớ.
a) Cách viết số tự nhiên dới dạng hệ thập phân. ab=10a+b
abc=102a+10b+c Tỉng qu¸t: anan−1an −2 .a1a0=10
n
.an+10 n −1
.an −1+10
n −2
.an −2+ .+10 a1+a0
b) Cách viết số tự nhiên dới dạng số chia, thơng số d.
Nu s tự nhiên a chia cho số tự nhiên b đợc thơng q số d r ta viết: a=q.b+r
2) Mét sè vÝ dơ.
Ví dụ 1. Cho số tự nhiên có hai chữ số Biết rằng, lấy số chia cho tổng chữ số chúng đợc thơng d 15 Cịn viết số theo thứ tự ngợc lại đợc số lớn số cho 18 đơn vị Tìm số cho
Gi¶i:
(70)Gọi y chử số hàng đơn vị số tự nhiên cần tìm ( 0≤ x ≤9 ) Khi đó: Số tự nhiên cần tìm là: xy
Sè viết theo thứ tự ngợc lại là: yx
Tổng chử số số tự nhiên cho là: x+y
Vì chia số tự nhiên cho, cho tổng chử số chúng đợc thơng d 15 nên ta có phơng trình: xy=4 (x+y)+15⇔10x+y=4 (x+y)+15⇔6x −3y=15 hay 2x − y=5 (1)
Vì số (số viết theo thứ tự ngợc lại) lớn số cho 18 đơn vị nên ta có phơng trình: yx−xy=18⇔(10y+x)−(10x+y)=18⇔9y −9x=18⇔y − x=2 hay x y=2 (2)
Kết hợp (1) (2) ta có hệ phơng trình:
2x y=5
x − y=−2 ⇔
¿(2x − y)−(x − y)=5−(−2)
y=x+2 ¿{
¿
x=7
y=9 {
(thoả mÃn điều kiện) Vậy số tự nhiên cần tìm 79.
Ví dụ 2. Cho số tự nhiên có hai chử số biết viết số vào hai chử số chúng đợc số gấp lần số cho, viết số theo thứ tự ngợc lại đợc số lớn số cho đơn vị Tìm số tự nhiên cho ?
Gi¶i
Gọi số hàng chục a, aN,a1;9 Gọi số hàng đơn vị b, bN,a0;9
Ta có phơng trình : a0b9ab100a b 90a9b 5a 4b0 (1) ba ab 9 10b a 10a b 9 a b1 (2)
Tõ (1) (2) ta có hệ phơng trình :
5a 4b a b a
a b 5(b 1) 4b b
(t/m)
Vậy s ó cho l 45
Bài tập tự giải :
Bài 1 Tìm hai số biết hiệu chúng tổng bình phơng chúng b»ng 289
Bài 2 Tìm số biết số nhỏ nghịch đảo 2,1
Bài 3: Một số tự nhiên có hai chữ số, chữ số hàng đơn vị gấp hai lần chữ số hàng chục Nếu thêm chữ số vào hai chữ số đợc số lớn số ban đầu 370 Tìm số ban đầu
Bài 4 Cho số tự nhiên có hai chử số biết số gấp lần tổng chử số chúng, viết số vào hai chử số số đợc mơt số gấp lần số cho Tìm số tự nhiên cho
Bài 5 Tìm số tự nhiên có hai chử số biết lấy chử số hàng đơn vị chia cho chử số hàng chục đợc thơng d 1, cịn viết số theo thứ tự ngợc lại đợc số gấp lần tổng chử số chúng
(71)Bài 7 Tìm số tự nhiên có hai chử số biết viết số vào hai chử số số đợc số có chử số lớn số cho 280 đơn vị, lấy chử số hàngđơn vị chia cho chử số hàng chục đợc thơng d
Bài 8 Cho số tự nhiên có hai chữ số Biết rằng, lấy chử số hàng đơn vị chia cho chử số hàng chục đợc thơng d Còn viết số vào hai chử số số đợc số có chử số lớn số cho 680 đơn vị Tìm số cho
Bài 9 Cho số tự nhiên có hai chữ số Biết rằng, chử số hàng đơn vị gấp đơi chử số hàng chục Cịn lấy tích chử số chúng chia cho tổng chử số chúng đợc thơng d Tìm số cho
D¹ng 4 Bài toán phần trăm (%)
(Đối với toán phần trăm nên giải cách lập hệ phơng trình) 1) Kiến thức cần nhớ.
Trong tốn phần trăm thờng có thay đổi số lợng sản phẩm hai lần sản xuất, thay đổi thờng đợc biểu diển dới dạng tăng hay giảm lợng %
L
u ý : +) Nếu sản xuất thứ hai tăng (vợt mức) a% so với lần sản xuất thứ số sản phẩm lần hai ( P2 ) đợc tính theo cơng thức: P2=(100+a
100 ).P1
+) Nếu sản xuất thứ hai giảm (giảm mức) b% so với lần sản xuất thứ số sản phẩm lần hai ( P2 ) đợc tính theo cơng thức: P2=(100− b
100 ).P1
2) Cách giải:
Bớc Gọi x y lần lợt số sản phẩm mà Tổ I (Nhóm I, Đội I) Tổ II (Nhóm II, Đội II) sản xuất đợc lần sản xuất thứ nhất, đặt điều kiện cho x, y
Bớc Tính số sản phẩm mà Tổ I, Tổ II sản xuất đợc lần sản xuất thứ hai theo x y Bớc Dựa vào hai mối liên hệ toán để lập hệ phơng trình
Bớc Giải hệ phơng trình vừa lập, đối chiếu điều kiện kết luận
Ví dụ 1. Tháng thứ hai tổ sản xuất đợc 900 chi tiết máy Tháng thứ hai tổ I vợt mức 15% tổ II vợt mức 10% so với tháng thứ Vì hai tổ sản xuất đợc 1010 chi tiết máy Hỏi tháng thứ tổ sản xuất đợc chi tiết máy ?
Gi¶i:
Gọi x số chi tiết máy mà tổ I sản xuất đợc tháng thứ (điều kiện: 0<x<900 ) Gọi y số chi tiết máy mà tổ II sản xuất đợc tháng thứ (điều kiện: 0<y<900 ) Khi đó: Trong tháng thứ hai tổ I sản xuất đợc 115
100.x= 23
20 x (chi tiết máy) Trong tháng thứ hai tổ II sản xuất đợc 110
100.y= 11
10 y (chi tiÕt m¸y)
Vì tháng thứ hai tổ sản xuất đợc 900 chi tiết máy nên ta có phơng trình: x+y=900 (1)
Vì sang tháng thứ hai hai tổ sản xuất đợc 1010 chi tiết máy nên ta lại có phơng trình: 23
20 x+ 11
10 y=1010 hay 23x+22y=20200 (2)
KÕt hỵp (1) (2) ta có hệ phơng trình:
x+y=900
23x+22y=20200 ⇔ ¿y=900− x
23x+22(900− x)=20200 ¿{
(72)
⇔ y=900− x
23x+19800−22x=20200 ⇔
¿x=400
y=500 ¿{
(tho¶ m·n)
Vậy tháng thứ tổ I sản xuất đợc 400 sản phẩm tổ II sản xuất đợc 500 sản phẩm Ví dụ 2 Trong kì thi tuyển sinh vào lớp 10 PTTH, hai trờng trung học sở A B có tất 450 học sinh dự thi Biết số học sinh trúng tuyển trờng A 75% số học sinh dự thi trờng A, số học sinh trúng tuyển trờng B 90% số học sinh dự thi trờng B Tổng số học sinh trúng tuyển hai trờng 80% số học sinh dự thi hai trờng Tính số học sinh dự thi trờng
Giải:
Gọi x số Học Sinh dự thi cđa trêng A (®iỊu kiƯn: 0<x<450 ) Gäi y số Học Sinh dự thi trờng B (điều kiƯn: 0<y<450 )
Khi đó: Số Học Sinh trúng tuyển trờng A 75 100.x=
3
4x (Häc Sinh) Sè Häc Sinh tróng tun cđa trêng B lµ 90
100 x=
10 x (Học Sinh) Vì hai trờng có 450 Học Sinh tham gia dự thi nên ta có phơng trình:
x+y=450 (1)
V× sè Häc Sinh tróng tun cđa c¶ hai trêng b»ng 80% sè Häc Sinh dù thi hai trờng nên ta lại có phơng trình:
4 x+ 10 y=
80
100 450⇔ 4x+
9
10 y=360 hay 15x+18y=7200 (2)
Kết hợp (1) (2) ta có hệ phơng trình:
x+y=450
15x+18y=7200 ⇔ ¿y=450− x
15x+18(450− x)=7200 ¿{
¿
⇔ y=450− x
15x+8100−18x=7200 ⇔
¿x=300
y=150 ¿{
(tho¶ m·n)
Vậy trờng A có 300 Học Sinh tham gia dự thi trờng B có 150 Học Sinh tham gia dự thi ◦ Một số đề tự luyện:
C3/§22
Bài tập Theo kế hoạch hai tổ đựơc giao sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kĩ thuật nên tổ I sản xuất vợt mức 18% tổ II sản xuất vợt mức 21% so với kế hoạch Vì vậy, thời gian quy định họ hoàn thành vợt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm đợc giao tổ theo kế hoạch ?
Dạng 5 Bài tốn liên quan đến yếu tố hình hc.
(73)Giải:
Gọi chiều dài hình chữ nhật x(m), x>0 Gọi chiều rộng hình chữ nhật y(m), y>0 Ta có: x - y = 45 (1)
Khi thay đổi kích thớc hình chữ nhật ta có phơng trình:
x x
3y x y 2y x 4y
2 2 (2)
Ta có hệ phơng trình:
x y 45 x 4y x 60
x 4y 3y 45 y 15
(t/m)
VËy diÑn tích hình chữ nhật là: 60.15=900 m2
Mt số đề tự luyện:
C3b/§6, C3/§20, C2/§18, C3/§19, C2b/§23
Dạng 6 Bài toán liên quan đến số ghế, số chổ ngồi hay số hàng số xe chở Ví dụ 1: Một phịng họp có 360 chổ ngồi đợc chia thành dãy có số chổ ngồi Nếu thêm cho dãy chổ ngồi bớt dãy số chổ ngồi phịng khơng thay đổi Hỏi ban đầu số cor ngồi phòng họp đợc chia thành máy dãy
Ví dụ 2: Một đoàn xe chở 480 hàng Khi khởi hành có thêm xe nên xe chở Hỏi lúc đầu đoàn xe có biết xe chở khối lợng hàng
Mt s đề tự luyện:
C3/§2, C3/§15, C3/§16, C3/§20,
Dạng 7 Bài toán làm xong công việc.
a) Cách giải:
B
c 1 Gọi x thời gian để Tổ I (Nhóm I, Đội I, vịi nớc thứ nhất) làm xong cơng việc Gọi y thời gian để Tổ II (Nhóm II, Đội II, vịi nớc thứ hai) làm xong công việc Đặt điều kiện cho x y
B
ớc 2 Tính khối lợng công việc mà Tổ I, Tổ II hai Tổ làm đợc mổi Tính khối lợng công việc mà Tổ I, Tổ II làm đợc khoảng thời gian mà toán cho
B
ớc 3 Dựa vào hai mối liên hệ tốn để lập hệ phơng trình dạng:
¿
1 x+
1 y=m p
x+ q y=n
¿{ ¿ B
ớc 4 Giải hệ phơng trình vừa lập (bằng cách đặt
x=a vµ y=b )
B
ớc 5 Đối chiếu điều kiện, chọn nghiệm hợp lí trả lời b) Một số ví dụ:
Ví dụ 1 Hai ngời thợ làm cơng việc 18 xong Nếu ngời thứ làm nghỉ ngời thứ hai làm tiếp họ làm đợc
3 cơng việc Hỏi làm mình, họ làm xong cơng việc ?
Gi¶i:
Gọi x(h) thời gian để ngời thợ thứ làm xong cơng việc (điều kiện: x > 18) Gọi y (h) thời gian để ngời thợ thứ hai làm xong cơng việc (điều kiện: y > 18) Khi đó: Mổi ngời thứ làm đợc
(74)Mổi ngời thứ hai làm đợc
y (công việc) Mổi hai ngời làm đợc
18 (công việc) Trong ngời thứ làm đợc
x (công việc) Trong ngời thứ hai làm đợc
y (công việc)
Theo ta có hệ phơng trình:
1 x+
1 y=
1 18
x+
y= ⇔ ¿a+b=
18 4a+7b=1
3
¿{ ¿
(víi a=1
x vµ b= y )
⇔ 18a+18b=1
12a+21b=1 ⇔ ¿a=
54 b=
27 ⇔ ¿1
x= 54 y=
1 27 ⇔ ¿x=54
y=27 ¿{
(thoả mÃn ĐK)
Vậy ngời thứ làm xong công việc sau 54 giờ. ngời thứ hai làm xong công việc sau 27 giê.
Ví dụ 2. Hai người làm chung cơng việc sau 30 phút họ làm xong Nếu người thứ làm giờ, sau người thứ hai làm hai ngời làm 75% công việc Hỏi người làm sau xong cơng việc? (Biết suất làm việc người khơng thay đổi)
(75)D¹ng 8: To¸n cã néi dung vËt lý, ho¸ häc:
* Bài toán: ( tài liệu ôn thi tốt nghiệp bậc THCS )
Ngời ta hoà lẫn 8g chất lỏng với 6g chất lỏng khác có khối lợng nhỏ 200kg/m3 để đợc hỗn hợp có khối lợng riêng 700kg/m3 Tìm khối lợng riêng mỗi
chÊt láng?
* Híng dÉn gi¶i:
- Để giải toán ta cần ý khối lợng riêng chất đợc tính theo cơng thức: D = m
V ⇒ V =
m D
Trong đó: m khối lợng tính kg V thể tích vật tính m3
D khối lợng riêng tính kg/m3
* Lời giải:
Gọi khối lợng riêng chất thứ x (kg/m3), điều kiện x > 200
Thì khối lợng riêng chất thứ hai là: x – 200 (kg/m3)
ThĨ tÝch cđa chÊt thø nhÊt lµ:
0,008 x (m3)
ThĨ tÝch cđa chÊt thø hai lµ:
0, 006 200
x ( m3 ).
ThĨ tÝch cđa khèi chÊt lỏng hỗn hợp là:
0,008 0,006 700
( m3).
Trớc sau trộn tổng thể tích hai chất lỏng khơng đổi, nên ta có phơng trình:
0, 008 0,006 0,008 0,006 200 700
x x
Giải phơng trình ta đợc: x1 = 800 thoả mãn điều kiện
x2 = 100 ( lo¹i ).
Vậy khối lợng riêng chất thứ lµ 800 kg/m3