Đang tải... (xem toàn văn)
Sau ®ã chóng ta sö dông duy luËn diÔn dÞch hoÆc quy n¹p hoµn toµn ®Ó kiÓm tra sù ®óng ®¾n cña kÕt luËn ®ã... TÝnh nhanh c¸c tæng sau: a..[r]
(1)Các dạng tốn điển hình phơng pháp giải dãy số 1 Muốn làm đợc toán dãy số ta càn phải nắm đợc kiến thức sau:
Trong dãy số tự nhiên liên tiếp số chẵn lại đến số lẻ lại đến số chẵn… Vì vậy, nếu:
- DÃy số số lẻ kết thúc số chẵn số lợng số lẻ số lợng số chẵn
- DÃy số số chẵn kết thúc số lẻ số lợng số chẵn số lợng số lẻ
- Nếu dÃy số số lẻ kết thúc số lẻ số l ợng số lẻ nhiều số chẵn số
- Nếu dÃy số số chẵn kết thúc số chẵn số lợng số chẵn nhiều số lẻ số
a Trong dÃy số tự nhiên liên tiếp số số lợng số dÃy số giá trị số cuối số Êy
b Trong d·y sè tù nhiªn liªn tiÕp số khác số số lợng số dÃy số hiệu số cuối dÃy số với số liền trớc số đầu tiªn
2 Các tốn dãy số phân loại toán sau: + Dãy số cách đều:
- D·y sè tù nhiªn - D·y số chẵn, lẻ
- Dóy s chia ht hoc khơng chia hết cho số + Dãy số không cách
- D·y Phi bo na xi
- DÃy có tổng(hiệu) hai số liên tiếp dÃy số + DÃy số thập phân, phân số:
3 Cách giải dạng toán dÃy số:
Dạng 1:Điền thêm số hạng vào sau, trớc dÃy số
Trc ht ta cần xác định lại quy luật dãy số:
+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) số hạng đứng trớc cộng(hoặc trừ) với số tự nhiên a
+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) số hạng đứng trớc nhân (hoặc chia) với số tự nhiên q khác
+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) tổng số hạng đứng trớc
+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) tổng số hạng đứng tr-ớc cộng với số tự nhiên d cộng với số thứ tự số hạng
+ Số hạng đứng sau số hạng đứng trớc nhân với số thứ tự + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở đi, số liền sau lần số liền trớc
(2)VÝ dô 1:
1 Điền thêm số hạng vào dÃy sè sau: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34……
Muốn giải đợc toán trớc hết phảI xác định quy luật dãy số nh sau:
Ta thÊy: + = 3 + = + = 5 + = 13
Dãy số đợc lập theo quy luật sau: Kể từ số hạng thứ trở dmỗi số hạng tổng hai số hạng liền trớc
Vậy dãy số đợc viết đầy đủ là: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 34, 55, 89, 144… 2 Viết tiếp số hạng vào dãy số sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27
Ta nhËn thÊy: = + + 27 = 4+ + 15 15 = + +
Từ ta rút đợc quy luật dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) tổng ba số hạng đứng trớc
Viết tiếp ba số hạng, ta đợc dãy số sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27, 50, 92, 169 3 Tìm số hạng dãy số sau :
a… …, , 32, 64, 128, 256, 512, 1024 : biết dÃy sè cã 10 sè h¹ng b , , 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110 : biết dÃy số có 10 số hạng *) Giải:
a Ta nhận xét :
Số hạng thứ 10 : 1024 = 512 x Số hạng thứ : 512 = 256 x Sè h¹ng thø : 256 = 128 x Số hạng thứ lµ : 128 = 64 x
………
Từ ta suy luận quy luật dãy số là: số hạng dãy số gấp đơi số hạng liền trớc
Vậy số hạng dÃy là: x = b Ta nhËn xÐt :
Sè hạng thứ 10 : 110 = 11 x 10 Số hạng thứ : 99 = 11 x Số hạng thứ : 88 = 11 x Số hạng thứ : 77 = 11 x
………
Từ ta suy luận quy luật dãy số là: Mỗi số hạng 11 nhân với số thứ tự số hạng
(3)4 T×m số thiếu dÃy số sau : a 3, 9, 27, , 729,
b 3, 8, 32, , 608,
Muốn tìm đợc số thiếu dãy số, cần tim đợc quy luật dãy số
a Ta nhËn xÐt : x = 9 x = 27
Quy lt cđa d·y sè lµ: KĨ từ số thứ trở đi, số liền sau b»ng lÇn sè liỊn tríc
Vậy số cịn thiếu dãy số là:
27 x = 81 ; 81 x = 243 ; 243 x = 729 (đúng) Vậy dãy số thiếu hai số : 81 243
b Ta nhËn xÐt: x – = ; x – = 23
Quy lt cđa d·y sè lµ: KĨ tõ số thứ trở đi, số hạng sau lần số hạng trớc trừ 1, vậy, số thiếu dÃy số là:
23 x - = 68 ; 68 x – = 203 ; 203 x – = 608 (ỳng)
DÃy số thiếu hai số là: 68 vµ 203
5 Lúc 7h sáng, ngời từ A đến B ngời từ B đến A ; hai đến đích lúc 2h chiều Vì đờng khó dần từ A đến B ; nên ngời từ A, đầu đợc 15km, sau lại giảm 1km Ngời từ B cuối đI đợc 15km, trớc lại giảm 1km Tính qng đ-ờng AB
*) Gi¶i:
2 giê chiỊu lµ 14h ngµy
2 ngời đến đích số là: 14 – =
Vận tốc ngời từ A đến B lập thành dãy số: 15, 14, 13, 12, 11, 10,
Vận tốc ngời từ B đến A lập thành dãy số: 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15
Nhìn vào dãy số ta nhận thấy có số hạng giống quãng đờng AB là: + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 84 (đáp số 84km)
6 Điền số thích hợp vào trống cho tổng số ô liên tiếp bằng 2002
783 998
*) Gi¶i:
(4)783 998
«1 «2 «3 «4 «5 «6 «7 «8 «9 «10
Theo điều kiện đề ta có: 783 + ễ7 + ễ8 = 2002
Ô7 + ¤8 + ¤9 = 2002
Vậy Ô9 + 783; t ú ta tớnh c:
Ô8 = Ô5 = ¤2= 2002 - (783 + 998) = 2002
¤7 = Ô4 = Ô1 = 998
Ô3 = Ô6 = 783
Điền số vào ta đợc dãy số:
998 221 783 998 221 783 998 221 783 998
Một số lu ý giảng dạy Toán dạng là: Trớc hết phải xác định đợc quy luật dãy dãy tiến, dãy lùi hay dãy số theo chu kỳ (ví dụ: 6) Từ mà học sinh điền đợc số vào dãy cho
* Bµi tËp tù lun:
1. 13, 19, 25,……,
Dãy số kể tiếp thêm số nào? Số suy nghĩ thấp cao? Đố em đố bạn kể liền?
2. Viết số hạng thiếu dÃy số sau: a 7, 10, 13,……, 22, 25
b 103, 95, 87,……, 55, 47 3.
1 99
Là số hạng cuối mà DÃy số: số hạng nha
Số hạng đứng trớc gấp sau liền Đố em tơi, đố bạn hiền
Dãy số có số gì? Là nhanh đáp khó chi!
Đố anh, đố chị cung thi tài.
4. Điền số thích hợp vào ô trống, cho tổng số ô liền bằng: a n = 14,2
2,7 8,5
(5)2,7 7,5
Dạng 2: Xác định số A có thuộc dãy cho hay không?
Cách giải dạng toán này: - Xác định quy luật dãy;
- Kiểm tra số a có thoả mãn quy luật hay khơng? Ví dụ:
1. Cho d·y số: 2, 4, 6, 8, a Nêu quy tắc viết dÃy số?
b Số 93 có phải số hạng dÃy không? Vì sao? *) Giải:
a Ta nhËn thÊy: Sè h¹ng thø 1: = x Sè h¹ng thø 2: = x Sè h¹ng thø 3: = x
…
Sè h¹ng thø n: ? = x n
Quy luËt cña d·y sè là: Một số hạng nhân với số thứ tù cđa sè h¹ng Êy
b Ta nhËn thÊy số hạng dÃy số chẵn, mà số 93 số lẻ, nên số 93 sè h¹ng cđa d·y
2. Cho d·y sè: 2, 5, 8, 11, 14, 17,…… - ViÕt tiÕp sè hạng vào dÃy số trên?
- Số 2000 có thuộc dÃy số không? Tại sao? *) Giải:
- Ta thÊy: – = 3; 11 – = 3; ………
Dãy số đợc viết theo quy luật sau: Kể từ số thứ trở đi, số hạng số hạng đứng liền trớc cộng với
Vậy số hạng dãy số là: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26 - Số 2000 có thuộc dãy số trên, kể từ số hạng thứ dãy số 2000 chia cho d
3. Em h·y cho biÕt:
a C¸c sè 60, 483 cã thuéc d·y 80, 85, 90,…… hay kh«ng? b Sè 2002 cã thuéc d·y 2, 5, 8, 11, hay không?
c Số số 798, 1000, 9999 cã thuéc d·y 3, 6, 12, 24,…… giải thích sao?
*) Giải:
a C số 60, 483 không thuộc dãy cho vì: - Các số hạng dãy cho lớn 60
(6)b Số 2002 khơng thuộc dãy cho số hạng dãy chia cho 2, mà 2002 chia d
c Cả số 798, 1000, 9999 không thuộc dãy 3, 6, 12, 24,… vì:
- Mỗi số hạng dãy (kể từ số hạng thứ 2) số hạng liền trớc nhận với 2; số hạng (kể từ số hạng thứ 3) có số hạng đứng liền trớc số chẵn, mà 798 chí cho = 399 số lẻ
- Các số hạng dãy chia hết cho 3, mà 1000 lại không chia hết cho
- Các số hạng dãy (kể từ số hạng thứ 2) chẵn, mà 9999 số lẻ 4. Cho dãy số: 1, 2, 2; 3, 4;……; 13; 14,
NÕu viÕt tiÕp th× sè 34,6 có thuộc dÃy số không? *) Giải:
- Ta nhận xét: 2,2 - = 1,2; 3,4 - 2,2 = 1,2; 14,2 - 13 = 1,2;…… Quy luật dãy số là: Từ số hạng thứ trở đi, số hạng sau số hạng liền trớc 1,2 đơn vị:
- Mặt khác, số hạng dãy số trừ chia hết cho 1,2 Ví dụ: (13 - 1) : 1,2
(3,4 - 1) : 1,2
(34,6 - 1) : 1,2 = 28 d
VËy nÕu viết tiếp số 34,6 thuộc dÃy số 5. Cho d·y sè: 1996, 1993, 1990, 1997,……, 55, 52, 49
Các số sau có phải số hạng dãy không? 100, 123, 456, 789, 1900, 1995, 1999? *) Giải: Nhận xét: Đậy dẫy số cách đơn vị
Trong dãy số này, số lớn 1996 số bé 49 Do đó, số 1999 khơng phải số hạng dẫy số cho
Mỗi số hạng dãy số cho số chia hết cho 3, d Do đó, số 100 số 1900 số dãy số
Các số 123, 456, 789 1995 chia hết số khơng phải số hạng dãy số cho
* Bµi tËp lù lun:
1. Cho d·y sè: 1, 4, 7, 10,… a Nªu quy luật dÃy
b Số 31 có phải số hạng dÃy không, phải số hạng thø bao nhiªu?
c Sè 1995 cã thuéc d·y không? Vì sao? 2. Cho dÃy số: 1004, 1010, 1016,…, 3008
Hái sè 2004 vµ 1760 cã thuéc dÃy số hay không? 3. Cho dÃy số: 1, 7, 13, 19,…,
(7)Cã d·y sè tự nhiên có chữ số tận mà thuộc dÃy số không?
5. Cho dÃy sè: 1, 3, 6, 10, 15,……, 45, 55,……
a Số 1997 có phải số hạng dÃy số hay không?
b S 561 cú phi l số hạng dãy số hay không? Nếu số số hạng dãy số cho số vị trí thứ dãy s ú?
Dạng 3: Tìm số hạng dÃy
* Cách giải dạng là:
- Sử dụng phơng pháp giải toán khoảng cách (giải toán trồng cây) Ta có công thức sau:
Số số hạng dÃy = số khoảng + 1.
- Nếu quy luật dãy là: Số hạng đứng trớc vị trí thứ dãy số số tổng nhiêu, số tự nhiên liên tiếp (bắt đầu từ 1) đợc tính theo cơng thức:
( 1)
2
nx n
VÝ dô:
1. Cho d·y sè: 2, 4, 6, 8, 10,……, 1992
a Hãy xác định dãy số có số hạng?
b NÕu ta tiếp tục kéo dài số hạng dÃy số số hạng thứ 2002 số mấy?
*) Gi¶i: a Ta cã:
2 10 ………… 1992
4 – = ; – =
6 – = ; ………
Vậy, quy luật dãy số là: Mỗi số hạng đứng sau số hạng đứng trớc cộng với Nói khác: Đây dãy số chẵn dãy số cách đơn v
Dựa vào công thức trên:
(Số hạng cuối số hạng đầu) : khoảng cách + 1 Ta có: Số số hạng dÃy là:
(1999 – 2) : + = 996 (sè h¹ng) b Ta nhËn xÐt:
Sè h¹ng thø lµ: = – = + (2 1) x Số hạng thứ là: = + = + (3 – 1) x Số hạng thứ là: = + = + (4 – 1) x ………
(8)b 4004 sè h¹ng
2 Cho 1, 3, 5, 7, ……… lµ d·y sè lẻ liên tiếp đầu tiên; hỏi 1981 số hạng thứ dÃy số này? Giải thích cách tìm?
(Đề thi học sinh giỏi bậc tiểu học 1980 – 1981) *) Gi¶i:
Ta thÊy:
Sè h¹ng thø nhÊt b»ng: = + x Sè h¹ng thø hai b»ng: = + x Sè h¹ng thø ba b»ng: = + x ………
Cßn sè h¹ng cuèi cïng: 1981 = + x 990
Vì vậy, số 1981 số hạng thứ 991 dãy số 3 Cho dãy số: 3, 18, 48, 93, 153,
a Tìm số hạng thứ 100 sỹ
b Số 11703 số hạng thứ dÃy? *) Giải:
a Số hạng thø nhÊt: = + 15 x Sè h¹ng thø nhÊt: 18 = + 15 x
Sè h¹ng thø nhÊt: 48 = + 15 x + 15 x
Sè h¹ng thø nhÊt: 93 = + 15 x + 15 X + 15 x
Sè h¹ng thø nhÊt: 153 = + 15 x + 15 x + 15 x + 15 x ………
Sè h¹ng thø n: + 15 x1 + 15 x +15 x + …… + 15 x (n - 1) VËy sè h¹ng thø 100 cđa d·y lµ:
3 + 15 x + 15 x + …… + 15 x (100 – 1)
= + 15 x (1 + + + …… + 99) (§a vỊ mét sè nh©n víi mét tỉng = + 15 x (1 + 99) ; x 99 = 74253
b Gọi số 11703 số hạng thứ n dÃy: Theo quy luËt ë phÇn a ta cã:
3 + 15 x + 15 x + 15 x + …… x (n – 1) = 11703 + 15 (1 + + + …… n – 1) = 11703 + 15 x (1 + n – 1) x (n – 1) x (n – 1) : = 11703
15 x n x (n – 1) = (11703 – 3) x = 23400 n x (n – 1) = 23400 ; 15 = 1560
NhËn xÐt: Sè 1560 tích hai số tự nhiên liên tiếp 39 vµ 40 (39 x 40 = 1560) VËy, n = 40, số 11703 số hạng thứ 40 dÃy
4 Trong số có chữ số chia hÕt cho lµ 102 vµ sè lín nhÊt cã chữ số chí hết cho 999
(9)(999 - 102) : + = 300 (số) Đáp số: 300 số 5 Cho dÃy sè: 1, 2, 3, 4, ……… 195 a TÝnh sè chữ dÃy
b Chữ số thứ 195 chữ số nào? *) Giải:
a Ta viết lại d·y sè:
1, …… 9, 10, …… 99, 100, ……, 195
Trong d·y cã sè gåm chữ số; số cho chữ số Có 90 số gồm chữ số; số cho x 90 = 180 ch÷ sè Cã 96 sè gồm chữ số; số cho x 96 = 288 ch÷ sè VËy ch÷ sè d·y là:
9 + 180 + = 477 (chữ sè)
b Trên ta tính đợc số chữ số đoạn dãy. 1………9, 10……99, 100……, 195
180 288 477
Vì < 195 < 477, nen chữ số thứ 195 chữ số thuộc vào đoạn từ 100 đến 195, 195 – 189 = 6, nên chữ số thứ đoạn từ 100 đến 195
Ta thấy chữ số (nằm số 101) * Bài tập tự luyện:
1 Cho d·y sè: 3, 8, 13, 23, ……
T×m số hạng thứ 30 dÃy số trên? 2 Cho d·y sè: 1, 4, 9, 16, ……
a Nªu quy lt cđa d·y?
b Sè 625 lµ sè hạng thứ bao nhiêu? c Số hạng thứ 100 số nào?
3 Ngời ta viết số chẵn liên tiếp có chữ số liền thành sè lín theo quy t¾c sau:
10 12 14 16 18 ……… 96 98
a Số có chữ số? b Trong có số 6?
4 XÐt d·y sè: 100, 101, ………, 789 a DÃy có số? b Số thø 100 lµ sè nµo?
c D·y nµy cã chữ số? d Chữ số 789 chữ số nào?
(10)b Số hạng thứ 50 dÃy số số hạng nào?
Dạng 4: Tìm tổng số hạng dÃy số
*) Gi¶i:
Nếu số hạng dãy số cách tổng hai số hạng cách đầu số hạng cuối dãy số ú bng Vỡ vy:
Tổng số hạng dÃy tổng cặp hai số hạng cách đầu số hạng đầu cuối nhân với số h¹ng cđa d·y chia cho
Viết thành sơ đồ:
Tổng dãy số cách đèu = (số đầu + số cuối) x (số hạng : 2) Từ s trờn ta suy ra:
Số đầu d·y = tỉng x : sè sè h¹ng – sè h¹ng ci Sè ci cđa d·y – tỉng x : số số hạng số đầu Ví dụ:
1 Tính tổng 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên *) Giải:
19 số lẻ liên tiếp là:
1, 3, 5, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37 Ta thÊy: + 37 = 38 ; + 33 = 38
1 + 35 = 38 ; + 31 = 38
Nếu ta xếp cặp số từ hai đầu số vào, ta đợc cặp số có tổng s l 38
Số cặp số là:
19 : = (cặp số) d số hạng
Số hạng d số hạng dÃy số số 19 Vậy tổng 19 số lẻ liên tiếp là:
39 x + 19 = 361
Đáp số: 361.
NhËn xÐt: Khi sè sè h¹ng cđa d·y sè lẻ (19) cặp số dự lại số hạng gữa số lẻ không chia hết cho 2, nên dÃy số có nhiều số hạng việc tìm số hạng lại không khó khăn Vậy ta làm cách nh sau: 19 – = 18 (sè h¹ng)
Ta thÊy: + 37 = 40 ; + 33 = 40 + 35 = 40 ; + 31 = 40
……… ………
Khi đó, ta xếp cặp số từ đầu dãy số gồm 18 số hạng vào đợc cặp số có tổng 40
Sè cỈp sè là: 18 ; = (cặp số) Tổng 19 số lẻ liên tiếp là:
(11)Chú ý: Khi số hạng số lẻ, ta để lại số hạng đầu dãy số (số đầu, số cuối) để lại số chẵn số hạng cặp; lấy tổng cặp nhân với số cặp cộng với số hạng để lại đợc tổng dãy số
- Từ ví dụ trên, ta thấy giải toán phơng pháp lý thuyết tổ hợp, phải phân biệt rạch ròi cặp xếp thứ tự với cặp không xếp thứ tự Dới đay ví dụ, có khái niệm
2 Tính tổng số tự nhiên từ đến n. * Giải:
GhÐp c¸c sè: 1, 2, ……, n 1, n thành cặp (không thứ tự) : víi n, víi n – 1, víi n – 2, ……
Khi n ch½n, ta cã (n ; 2) = n x (n + 1) : Khi n lẻ, n chẵn vµ ta cã:
1 + + …… + (n – 1) = (n – 1) x n : Từ ta có:
S = (n – 1) x n : + n = (n - ) x n : + x n : = [(n – 1) x n : + x n] : = (n – + 2) x n :
= n x (n + 1) :
3 Cho d·y số: 1, 2, 3, 195 Tính tổng chữ số dÃy? *) Giải:
- Cách 1: Ta viết lại dÃy số bổ sung thêm số: 0, 196, 197, 198, 199 vµo d·y: 0, 1, 2, 3, ……,
10, 11, 12, 13, ……, 19 90, 91, 92, 93, ……, 99
100, 101, 102, 103, ……, 109
Vì có 200 số vè dịng có 10 số, nên có 200 : 10 = 20 (dòng) Tổng chữ số hàng đơn vị dòng là:
1 + + + …… + = x 10 : = 45 Vậy tổng chữ số hàng đơn vị là:
45 x 20 = 900
Tổng chữ số hàng chục 10 dòng tổng chữ số hàng chục 10 dòng sau bằng:
1 x 10 + x 10 + …… + x 10 = (1 + + …… +) x 10 = 45 x 10 = 450 VËy tổng chữ số hàng chục là:
450 x = 900
Ngoài dễ thấy tổng chữ số hàng trăm 100 Vậy tổng chữ sè cđa d·y sè nµy lµ:
900 + 900 + 100 = 1900
Từ suy tổng chữ số dãy ban đầu là:
(12)- Cách 2: Ta bổ sung thêm số số từ 196 đến 199 vào dãy ghép số thành cặp: 0, 199
1, 198 2, 197 ……
x, 199 – x
Ta thấy tổng chữ số số 19 (nếu số x có chữ số a, b 199 – x có chữ số là: 1, – a – b
Tổng chữ số x 199 – x lµ:
a + b + + – a + – b = + + = 19 Vậy tổng chữ số cđa d·y sè bỉ sung lµ:
19 x 100 = 1900
Sau bớt chữ số số bổ sung nh cách giải trên, ta đợc tổng cần tìm 1830
Trong Tốn họcnói riêng khoa học nói chung, thờng nhờ vào suy luận quy nạp khơng hồn tồn mà phát kết luận 9gọi giả thuyết) Sau sử dụng luận diễn dịch quy nạp hoàn toàn để kiểm tra đắn kết luận Khi dạy học tiểu học, điều nói đợc lu ý
4 TÝnh tỉng cđa d·y sè sau:
2 + +
1 +
1 18 +
1 512 Mét häc sinh lËp luËn nh sau:
Ta nhËn thÊy: 2 4 8 16 15 16 VËy, cø nh thÕ ta cã
1 16 – 512 511 512
Học sinh s dụng quy nạp khơng hồn thiện để đốn kết tổng Mặc dù kết q trình suy luận hợp lý, nhng khơng thể xem lời giải chặt chẽ
Để có lời giải chặt chẽ cần sử dụng suy luận diễn dịch, chẳng hạn, ta viết đầy đủ tổng:
1
2 +
4 +
8 +
16 +
32 +
64 + 128 +
(13)= 256+128+64+32+16+8+4+2+1
512 =
511 512 Đáp số: 511 512 Cách 2: Ký hiệu:
S =
2 +
4 +
8 +
16 +
32 +
64 + 128 +
256 + 512
Nhân vế trá vế phải với 2, biến đổi, ta đợc:
S x = + s - 512
Từ suy ra: S = - 512 =
511 512 S x = + s -
512
5 Tính tổng tất số thập phân có phần nguyên 9, phần thập phân có 3 chữ số:
*) Giải:
Tính tổng tất số thập phân có phần nguyên 9, phần thập phân có chữ số là:
9,00; 9,001; 9,002; 9,003; 9,004; 9,005; 9,006; 9,007; 9,008; …… ; 9,999 tøc lµ cã 1000 sè
Ta thÊy: 9,001 + 9,999 = 19 9,005 + 9,995 = 19 9,002 + 9,998 = 19 9,006 + 9,994 = 19
……… ………
Nếu ta bỏ số xếp cặp số cách đầu dãy vào nh đợc cặp số có tổng 19, cịn lại 9,005 cha đợc tính
Số cặp số xếp đợc là:
998 : = 499 (cỈp sè) cha kể hai số 9,000 9,500 Tổng tất số dÃy số là:
19 x 499 + 9,5 + 9,005 = 9499,5
Đáp số: 9499,5 * Bµi tËp tù lun:
1 TÝnh tỉng:
a Của tất số lẻ bé 100 b + + + 16 + …… + 169
(14)3 TÝnh nhanh c¸c tỉng sau: a + + + …… + 999
b + + + 10 + …… + x (cha biÕt x lµ sè thø 50) c TÝnh nhanh tỉng cđa tÊt c¶ số coá chữ số d 1, 2, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384
D·y sè có 10 số hạng
Tng bao nhiờu, mi bạn tính nhanh Đố em, đố chị, đố anh
Tìm phơng pháp tính nhanh tài. 4 a So s¸nh S víi BiÕt r»ng:
S = + +
1
6 +
1 10 +
1
+ … + 45 b Viết đầy đủ số hạng tính nhanh tổng sau:
1 +
1 +
1 12 +
1
20 + …… + 90 5 a TÝnh tổng chữ số dÃy:
1, 2, 3, ………, 799 b
2 + +
1
8 + …… + 1024 +
1
2048 +
4096 = ?
Phép cộng phân số khó gì? Kê đủ số hạng uổng cơng Cách tỏ thông
Cộng nhanh đáp lại không tốn giờ Đố bạn hiền em thơ
§è ai biết nhờ giải mau.
Dạng 5: dÃy ch÷
Khác với dạng tốn khác, tốn dạng dãy chữ khơng địi hỏi học sinh phải tính toán phức tạp Ngợc lại để giải toán dạng này, đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng sáng tạo kiến thức toán học đơn giản, hiểu biết xã hội, từ mà vận dụng dạng toán vào đời sống hàng ngày môn học khác
VÝ dô:
1 Ngêi ta viết liên tiếp nhóm chữ: học sinh giỏi tỉnh thành một dÃy chữ liên tiếp: (học sinh giỏi tỉnh, học sinh) hỏi chữ thứ 2002 dÃy chữ nào?
* Giải:
Ta thấy nhóm chữ: học sinh giỏi tỉnh gồm 15 chữ Giả sử dÃy chữ có 2002 chữ có:
2002 : 15 = 133 (nhóm) d chữ
(15)2 Ngời ta viết liên tiếp chữ số 13579 thành số M Hỏi chữ số thứ 764 số m chữ số nào?
*) Giải:
Ta thấy nhóm chữ số 13579 gồm có chữ số Giả sử số M có 764 chữ số có:
764 : = 152 (nhãm) d ch÷ sè
Vậy chữ số 764 dãy số chữ số 7, đứng vị trí thứ nhóm, thứ 153
3 Một ngời viết liên tiếp dÃy chữ thị xà thái bình, thành thi xa thai binh, thi xa
a Chữ thứ 2002 dÃy chữ gì?
b Nu ngi ta m c dãy số có 50 chữ T dãy có chữ A? Bao nhiêu chữ N?
c Bạn Bình đếm đợc dãy có 2001 chữ A Hỏi bạn đếm hay đếm sai? Giải thích sao?
d Ngời ta tô màu chữ dãy theo thứ tự: xanh, đỏ, tím, vàng, xanh, đỏ, tím,… hỏi chữ thứ 2001 trang dãy đợc tơ màu gì?
*) Gi¶i:
a Nhãm chữ THI XA THAI BINH có 13 chữ cái: 2002 ; 13 = 154 (nhãm)
Nh vậy, kế từ chữ đến chữ thứ 2002 dãy, ngời ta viết 154 lần nhóm THI XA THAI BINH, chữ thứ 2002 dãy chữ H tiếng BINH.
b Mỗi nhóm chữ THI XA THAI BINH có chữ T có chữ A chữ N Vì vậy, ngời ta đếm đợc dãy số có 50 chữ T tức ngời viết 25 lần nhóm nên dãy phải có 50 chữ A 25 chữ N
c Bạn đếm sai, dố chữ A dãy phải số chẵn d Ta nhận xét:
+ 2001 chia cho d
+ Những chữ dãy có số thứ tự chia hết cho d đợc tơ màu XANH
Vậy chữ thứ 2001 dãy đợc tô màu XANH Một dãy số gồm nhóm chữ nh sau:
H·y cè g¾ng, H·y cè g¾ng, H·y cè g¾ng… a Em hÃy cho biết chữ thứ 273 dÃy chữ gì?
b Nếu dÃy số có 426 chữ A dÃy số có chữ N? *) Gi¶i:
a Ta thấy nhóm chữ Hãy cố gắng có chữ 273 : = 30 (nhóm) d chữ Nh vậy, kể từ chữ đến chữ thứ 273 dãy nhóm chữ Hãy cố gắng phải viết đợc 30 lần nhóm chữ l ch HAY
Vậy chữ thứ 273 chữ Y
(16)Nhng có khả sau đây:
- Nhúm ch cỏi thứ 213 viết Hãy cố ga, nhóm chữ cuối khơng có chữ N, nên chữ N dãy là: 213 – = 212 (chữ)
- Nhóm chữ 1213 viết là: Hãy cố gan, chữ N dãy 213
- Nhóm chữ 213 đợc viết trọn vẹn số chữ N dãy 213 Một bạn học sinh viết:
a 2, 3, 4, 5, 1, 1, 3, 4, 5, 1, 2, ………
Và tiếp tục nh để có dãy số Hãy tính xem số hạng thứ 1996 mà bạn học sinh viết số mấy?
*) Gi¶i:
Trong d·y sè bạn học sinh viết số lại lặp lại từ đâu Ta có: 1996 : = 399 (d 1)
Nh bạn học sinh viết 399 lần sô 1, 2, 3, 4, đợc x 399 = 1995 (số hạng)
Nh vËy, số hạng thứ 1996 phải số * Bài tËp tù lun:
1 Mét ngêi viÕt liªn tiÕp nhóm nhữ: toán năm thành toan nam toan nam toan
a Chữ thứ 2002 dÃy gì?
b Nếu ngời ta đếm đợc dãy có 50 chữ N dãy có chữ A? Bao nhiêu chữ O?
c Một ngời đếm đợc dãy có 2000 chữ A, hỏi ngời đếm hay sai? Giải thích sao?
d Ngời ta tô màu chữ dãy theo thứ tự xanh, đỏ, tím, vàng, xanh, đỏ, tím…… hỏi chữ thứ 1999 dãy đợc tơ màu gì?
2 Một ngời đánh máy chữ phải đánh liên tiếp nhóm chữ “tiền hải” thành dãy chữ TIEN HAI TIEN HAI… hỏi lần gõ vào máy thứ 2001 rơi vào chữ nào?
3 ViÕt liªn tiÕp số tự nhiên chẵn thành dÃy: 2, 4, 6, 8, 10,…… hái ch÷ sè thø 1994 ch÷ sè mÊy?
4 Ngời ta viết liên tiếp chữ số 0123456789 thành số A, hỏi chữ số thứ 195 số A chữ số nào?
5 Ngi ta viết chữ dạy tốt, học tốt,…… thành DAY TOT HOC TOT… màu xanh, đỏ, tím, mi ting mt mu.
Hỏi chữ thứ 2002 chữ gì? Màu gì?
Nội dung 3: Một số lu ý giải toán dÃy số
(17)đó tìm hiệu số cuối dãy hiệu số cuối số đầu khoảng cách số nhân với số khoảng cách Từ tìm đợc số cuối dãy hiệu số cuối số đầu cộng với số dãy
ở dạng 2: Muốn kiểm tra số a có thoả mãn quy luật dãy cho hay không? Ta cần xem dãy số cho trớc số cần xác định có tính chất hay khơng? (Có chia hết cho số có số d) thf số thuộc dãy cho
ë d¹ng 3: Có yêu cầu sau:
+ Tìm tất chữ số dÃy + Tìm tất sè h¹ng cđa d·y
Khi giải tính cơng thức nh phần cách giải nói + Tìm số thứ n dãy
Ta cần phải tìm số đến số liên quan đến chữ số thứ n dãy số có chữ số, từ tìm câu hỏi ca bi toỏn
+ Tìm số hạng thứ n cđa d·y
Ta cần tìm đấn quy luật dãy đợc (nếu dãy số cách đều), dãy số (khơng cách đều) đợc tính theo công thức n x (n – 1) :
ở dạng 4: Có yêu cầu:
+ Tìm tổng số hạng dÃy + Tính nhanh tổng
* Khi giải: Sau tìm quy luật dãy, ta xếp số theo cặp cho có tổng nhau, sau tìm cặmp số tìm tổng số hạng dãy Chú ý: Khi tìm số cặp số mà cịn d số hạng tìm tổng ta phải cộng số d vào
NÕu tÝnh nhanh tỉng ph¶i dựa vào tính chất phân số