Các phương pháp và dạng toán chọn lọc về dãy số ở phổ thông

B ăGIỄOăD CăVĨă ĨOăT O TR NGă IăH CăTH NGăLONG - NGUY NăV NăKHỄIăậ C00447 CỄCăPH NGăPHỄPăVĨăD NGăTOỄN CH NăL CăV ăDĩYăS ă ăPH ăTHỌNG LU NăV NăTH CăS ăTOỄNăH C CHUYÊN NGÀNH: PH NGăPHỄPăTOỄNăS ăC P MĩăS :ă60ă46ă01 13 NG IăH NGăD NăKHOAăH C:ăTSăLểă ỊNHăNAM Hà N i – N m 2016 M CăL C Trangăph ăbìa 01 M căl c 02 L iăcamăđoan 04 Tómăt tălu năv n 05 M ăđ u 06 Ch ngă1.ă IăC NGăV ăDĩYăS 1.1 DÃY S 08 1.2ăDẩYăS ăT NG,ăDẩYăS ăGI M 08 1.3ăDẩYăTU NăHOÀN 08 1.4 DÃY CON .09 1.5ăM TăS ăDẩYă CăBI T .09 1.5.1 C păs ăc ng 09 1.5.2ăC păs ănhơn 09 1.5.3 Dãy Fibonacci 10 1.5.4 Dãy Lucas .11 Ch ngă2.ăCỄCăBĨIăTOỄNăV ăGI IăH NăDĩYăS 2.1ăGI IăH NăDẩYăS 12 2.2ăM TăS ăD NGăTOÁNăV ăDẩYăS .13 2.2.1ăXétăs ăh iăt ăc aădƣyăs 13 2.2.2ăTìmăgi iăh năc aădƣyăs 22 2.3 BÀIăT P 26 2.4 H Ch NGăD NăGI I .27 ngă 3.ă M Tă S ă PH NGă PHỄPă XỄCă NHă S ă H NGă T NGăă QUỄTăC AăDĩYăS 3.1ăPH NGăPHÁPăSAIăPHÂNăVÀăPH NGăTRÌNHăSAIăPHÂN 31 3.1.1 Sai phân 31 Thang Long University Libraty 3.1.2ăPh ngătrìnhăsaiăphơn 33 3.1.3ăBƠiăt p 37 3.1.4ăH ngăd năgi i .37 3.2ăPH NGăPHÁPăHÀMăSINH 40 3.2.1ăHƠmăsinhăvƠăs h ngăt ngăquátăc aădƣyăs ă 40 3.2.2ăBƠiăt p 46 3.2.3ăH ngăd năgi i .46 3.3ăPH NGăPHÁPăL 3.3.1ăN iădungăph NGăGIÁCăVÀăQUYăN P 49 ngăpháp 49 3.3.2ăBƠiăt p 53 3.3.3ăH ngăd năgi i .54 3.4ăPH NGăPHÁPăTUY NăTệNHăHĨAăH ăTH CăTRUYăH I 56 3.4.1ăQuyătrìnhătuy nătínhăhóaăm tăh ăth cătruyăh iăkhơngătuy nătính 56 3.4.2ăBƠiăt p 62 3.4.3 H Ch ngăd năgi i .63 ngă4.ăM TăS ăD NGăTOỄNăKHỄCă 4.1ăCH NGăMINHăM TăDẩYăLÀăDẩYăS ăNGUYÊN 65 4.2ăBÀIăTOÁNăLIÊNăQUANă 4.3ăDẩYăS ăCHệNHăPH NăCHIAăH T 76 NG 80 4.4ăCÁCăBÀIăTOÁNăV ăPH NăNGUYÊNă 86 4.5ăDẩYăS ăVÀăS ăNGUYÊNăT .89 4.6ăM TăS ăBÀIăTOÁNăV ăDẩYăS ăFIBONACCI 92 K TăLU NăVĨăKHUY NăNGH .98 TĨIăLI UăTHAMăKH O 99 L IăCAMă OAN Tơiăxinăcamăđoanăd iăs ăgiúpăđ ,ăh ngăd n,ăch ăb oăt nătìnhăc a TS Lêă ìnhă Nam,ă lu nă v nă caoă h că chuyênă nghƠnhă ph v iăđ ătƠiă“Các ph ng pháp Toán s c p ng pháp d ng toán ch n l c v dãy s ph thông”ă cơng trình nghiên c uăc aăriêngătơiătrongăth iăgianăh căt păvƠ nghiênăc u t iătr ngă iăh căTh ngăLong Trongăquáătrìnhănghiênăc uăvƠăth căhi nălu năv n,ătácăgi ăđƣăk ăth aăvƠ phátăhuyănh ngăk tăqu ăc aăcácănhƠăkhoaăh căv iăs ătrơnătr ngăvƠăbi tă n Hà N i, tháng n m 2016 Tácăgi Nguy năV năKhái Thang Long University Libraty TịMăT TăLU NăV N PH Nă1.ăM ăđ u PH Nă2.ăN iădung Ph nănƠyăg măb năch Ch ngă1.ă IăC ng NGăV ăDĩYăS 1.1ăDẩYăS 1.2ăDẩYăS ăT NG,ăDẩYăS ăGI M 1.3 DÃY TU NăHOÀN 1.4 DÃY CON 1.5ăM TăS ăDẩYă Ch CăBI T ngă2.ăCỄCăBĨIăTOỄNăV ăGI IăH NăDĩYăS 2.1ăGI IăH NăDẩYăS 2.2ăM TăS ăD NGăTOÁNăV ăDẩYăS Ch ngă 3.ă M Tă S ă PH NGă PHỄPă XỄCă NHă S ă H NGă T NGă QUỄTăC AăDĩYăS 3.1ăPH NGăPHÁPăSAIăPHÂNăVÀăPH 3.2ăPH NGăPHÁPăHÀMăSINH 3.3ăPH NGăPHÁPăL 3.4ăPH NGăPHÁPăTUY NăTệNHăHĨAăH ăTH CăTRUYăH I Ch NGăTRÌNHăSAIăPHÂN NGăGIÁCăVÀăQUYăN P ngă4 M TăS ăD NGăTOỄNăKHỄC 4.1ăCH NGăMINHăM TăDẩYăLÀăDẩYăS ăNGUYÊN 4.2ăBÀIăTOÁNăLIÊNăQUANă 4.3ăDẩYăS ăCHệNHăPH NăCHIAăH T NG 4.4 CÁC BÀI TOÁNăV ăPH NăNGUYÊN 4.5ăDẩYăS ăVÀăS ăNGUYÊNăT 4.6ăM TăS ăBÀIăTOÁNăV ăDẩYăS ăFIBONACCIă PH Nă3 K tălu năvƠăkhuy năngh M ă U Dƣyăs ălƠăm tăph năquanătr ngăc aăđ iăs ăvƠăgi iătíchătốnăh c nóăc ngă lƠă m tăl nhăv că r tăkhóăvƠă r tăr ng, s ăd ngănhi uăki năth căkhácănhauăc aă toánăh c Cácăv năđ ăliênăquanăđ nădƣyăs ăc ngăr tăđaăd ng, cácăbƠiătốnăv ă dƣyăs ăth ngălƠăcácăbƠiătốnăhayăvƠăkhó Vìăth ,ădƣyăs ăth ngăxu tăhi nătrongă cácăk ăthiăh căsinhăgi i,ăthiăOlympicătoánăđ ăđánhăgiáăkh ăn ngăt ăduyăc aăh căsinh.ă H nă n aă c ngă cóă nhi uă tƠiă li uă vi tă v ă v nă đ ă nƠy,ă cácă tƠiă li uă nƠyă c ngă th ngăvi tăkháăr ngăv ăcácăv năđ ăc aădƣyăs Tuyănhiênănóăch aăđ th ngă đ yă đ ă theoă d ngă toánă c ngă nh ă ph ch ngă phápă gi iă t căh ă ngă ngă trongă ngătrìnhătốnăph ăthơng.ăVìălíădoătrênătơiăđiăth căhi n đ ătƠiă"Các ph pháp d ng toán ch n l c v dãy s ph thông" ch ăy uăđ ăb iăd ng ngăh că sinhăgi iăTốnăvƠănh mătìmăhi uăsơuăh năv ăcácăn iădungăliênăquanăđ n dãy s Lu năv năg măb năch Ch ng: ngă1: TrìnhăbƠyăcácăkháiăni măc ăb nănh ăkháiăni mădƣyăs ,ădƣyă s ăt ng,ădƣyăs ăgi m,ădƣyăs ătu năhoƠn,ădƣyăcon,ăvƠă m tăs ădƣyăs ăđ că bi tă đ ngăth iăc ngătrìnhăbƠyăm iăliênăh ăc ăb năgi aăcácădƣyăđ căbi t Ch ngă 2: Trìnhă bƠyă cácă v nă đ ă v ă gi iă h nă dƣyă s ă đ ngă th iă c ngă phơnălo iăm tăs ăd ngătoánăth ngăg păv ăgi iăh nădƣyăs ănh ăxétăs ăh iăt ă c aădƣyăs ,ătìmăgi iăh năc aăcácădƣyăchoăb iăd ngăphơnăth c,ăvơăt ,ădùngăđ nhă líăgi iăh năk păgi a,ădƣyăconăđ ăkh oăsátăs ăh iăt ăc aădƣyăs Ch ngă3: TrìnhăbƠyăm tăs ăph c aădƣyăs ănh ăph l ngăphápăxácăđ nhăs ăh ngăt ngăquátă ngăphápăsaiăphơn,ăph ngăgiácăvƠăquyăn p,ăph ngăphápăhƠmăsinh,ăph ng pháp ngăphápătuy n tínhăhóaăh ăth cătruyăh i Thang Long University Libraty Ch ngă4: TrìnhăbƠyăm tăs ăd ngătốnăhayăliênăquanăt iădƣyăs ăngun nh ă ch ngă minhă m tă dƣyă lƠă dƣyă s ă nguyên,ă bƠiă toán chiaă h t,ă dƣyă s ă chínhă ph ng,ăcácăbƠiătốnăv ăph năngun,ădƣyăs ăvƠăs ăngunăt ăc ngănh ăm tă s ăbƠiătốnăv ădƣyăs ăFibonacci Tácăgi ăxinăbƠyăt ălịngăbi tă năsơuăs căđ năTS.ăLêă ìnhăNam,ăTr iăH căBáchăKhoaăHƠăN i ng iăđƣăt nătìnhăh ngă ngăd n,ăgiúpăđ vƠăt oă m iăđi uăki năđ ătácăgi ăcóăth ăhoƠnăthƠnhălu năv nănƠy.ă Tácă gi ă c ngă xină chơnă thƠnhă c mă nă cácă th yă côă trongă khoaă Toánă Tr ngă iă H că Th ngă Long,ă phòngă Sauă đ iă h că vƠă Qu nă lýă khoaă h că - Tr ngă iăh căTh ngăLong.ă ngăth iătôiăxinăg iăl iăc mă năt iăt păth ăl pă CTM3 khóa 2014 ậ 2016ă c aă Tr ngă iă h că Th ngă Longă c ngă nh ă cácă đ ngănghi păn iătơiăcơngătác đƣăđ ngăviênăgiúpăđ ătơiătrongăqătrìnhăh căt pă th căhi nălu năv nănƠy M cădùăb năthơnăđƣăcóănhi u c ăg ng songădoăth iăgianăcóăh năvƠătrìnhă đ ăcịnăh năch ănênălu năv năkhơngătránhăkh iănh ngăthi uăsótănh tăđ nh.ăTác gi ăr tămongănh năđ v năđ cănh ngăýăki năđóngăgópăc aăth yăcơăvƠăb năbèăđ ălu nă căhoƠnăthi năvƠăphátătri năh n Tácăgi ăxinătrơnătr ngăc mă nă! Hà N i, tháng n m 2016 Tácăgi Nguy năV năKhái Ch ngă1 IăC NGăV ăDĩYăS 1.1 DĩYăS nhăngh aă1.1.1ăM tădayăsô lƠăm tăánhăx ăt ăt păcácăs ăt ănhiênă  (ho că * ) vào t pă K ( K lƠăt pă  ho că  ) u:   K n  u ( n)  un Kýăhi u:  un n0 ho căđ năgi nălƠă  un  nhăngh aă1.1.2 S ăh ngăt ngăquátăc aădƣyăs ă  un  lƠăbi uăth c f  n  c aă bi năduyănh tă n cho un  f (n) , v i m iăs ăt ănhiênă n 1.2 DĩYăS ăT NG,ăDĩYăS ăGI M Dƣyăs ă  un  đ căgoiălaădayăsôăt ngănêuă un  un1 , v iămoi n Dƣyăs ă  un  đ căgoiălaădayăsôăgiamănêuă un  un1 , v iămoiă n Dƣyăs ăt ngăhayădƣyăs ăgi măđ căg iăchungălƠădƣyăđ năđi u 1.3 DĩYăTU NăHOĨN 1.3.1ăDƣyătu năhoƠnăc ngătính Dãy  un  đ nguyênăd căg iălƠătu năhoƠnăc ngătínhăkhiăvƠăch ăkhiă t năt iăs ă l ng cho ul n  un , v iăm iăs ăt ănhiênă n S ă l nh ănh tăđ căg iălƠăchuăkìăc ăs ăc aădƣyă  un  căbi t:ă  un  tu năhoƠnăc ngătính,ăchuăkìă l  lƠădƣyăh ng Thang Long University Libraty 1.3.2ăDƣyătu năhoƠnănhơnătính Dãy  un  đ căg iălƠătu năhoƠnănhơnătínhăkhiăvƠăch ăkhi t năt iăs ă l  l  1 nguyênăd ng cho ul n  un , v iăm iăs ăt ănhiênă n S ă l nh ănh tăđ căg iălƠăchuăkìăc ăs ăc aădƣy 1.4 DÃY CON   Cho  un  ,ăt ăcácăs ăh ngăc aănóăl păm tădƣyăm iă unk v i:   n1  n2   nk  Taăg iă unk lƠăm tădƣyăconăc aă  un  1.5 M TăS ăDĩYă CăBI T 1.5.1ăC păs ăc ng nhăngh a 1.5.1.1 Dãy đ căg iălƠăc păs ăc ngăkhiăvƠăch ăkhiăk ăt ăs ăh ngă th ă2ătr ăđiăm iăs ăh ngăb ngăs ăh ngăđ ngătr cănóăc ngăv iăs ăkhơngăđ iă d Tínhăch t 1.5.1.2 Cho  un  lƠăc păs ăc ngăcóăs ăh ngăđ u u1 , cơng sai d, ta có a) Côngăth căs ăh ngăt ngăquát:ă un  u1  (n  1)d , n * b) un1  un  un  , n  * c) T ng c a n s h ngăđ u tiên: Sn  u1  u2   un  n  u1  un  n  2u1   n  1 d   2 1.5.2 C p s nhân nhăngh aă1.5.2.1 Dãy đ căg iălƠăc păs ănhơnăkhiăvƠăch ăkhiăk ăt ăs ăh ngă th ă2ătr ăđiăm iăs ăh ngăb ngăs ăh ngăđ ngătr q cănóănhơnăv iăs ăkhơngăđ iă Tínhăch tă1.5.2.2 Cho dƣyăs ă  un  lƠăc păs ănhơnăcóăs ăh ngăđ uă u1 , cơngăb iă q, ta có: a) Cơngăth căs ăh ngăt ngăquát:ă un  u1.qn1, n * b) un21  un un2 v iăm iă n thu căvƠoă  * c) T ng c a n s h ngăđ u tiên: 1  q  , (q  1) u n Sn  u1  u2   un 1 q d) T ngăc aăc păs ănhơnălùiăvôăh n: S  u1  u2   un   u1 , q  1 q 1.5.3 Dãy Fibonacci nhăngh a 1.5.3.1 Dãy Fibonacci  Fn  dãy s đ c cho b i h th c truy h i sau:  F0  0, F1   *  Fn1  Fn  Fn1 , n   Côngăth căt ngăquátăc aădƣyă  Fn  là: n n         Fn      , n   (Côngăth căBinet)        Tínhăch tă1.5.3.2 a)  Fn , Fn1   1, n  b) N uăn chiaăh tăchoăm Fn chiaăh tăchoă Fm c) N uă Fn chiaăh tăchoă Fm n chiaăh tăchoăm v iă m d)  Fn , Fm   Fd v iă d   m, n  10 Thang Long University Libraty  N uă n  2k  1, k  ta có:     n 1  1 n 2k 2k  1                  ( 2) n1  1 2 2  1 2 2   Xét dãy  ck  v i:ă ck        k k  k     k     Ta có  ck  th aămƣnă ck 2  4ck 1  ck Mà c0  0, c1  nên ck  , k   Suy A, khiăđóă a n  lƠăs ăchínhăph V yă a n  lƠăs ăchínhăph ng ngăkhiăvƠăch ăkhiăn lƠăs ăt ănhiênăl ăho că n  Víăd ă4 Choădƣyăs ănguyênă  a n  th aămƣn:ă a n  a n1  2(a n1  a n ), n  1, 2, 3, Ch ngă minhă r ngă t nă t iă s ă nguyênă M khôngă ph ă thu că vƠoă n cho M  4a n1a n lƠăs ăchínhăph ng Ch ngăminh tă un  a n  a n1  a n T ăgi ăthi tăsuyăraă un  un1  2a n Khiăđó un2   un1  2a n   un21  4un1a n  a n2  un21  4(an1  an  an1 )an  an2  un21  4an1an  4an1an Suy un2  4an1an  un21  4anan1 V yă un2  4a n1a n lƠăh ngăs ăkhôngăph ăthu căvƠoăn.ăG iăh ngăs ăđóălƠă M Taăđ că un2  4an1an  M  M  4an1an  un2 V yă M  4a n1a n lƠăs ăchínhăph 85 ng 4.4 CỄCăBĨIăTOỄNăV ăPH NăNGUYểN Cácă bƠiă toánă v ă ph nă nguyên,ă ch ă y uă d aă vƠoă tínhă ch tă c aă ph nă nguyên x    x  x đ ăđánhăgiáăvƠăk tăh păv iătínhăch tăs ănguyên Víăd ă1 G iă  lƠănghi măd s ă (u n ) đ ngăc aăph ngătrìnhă t  2013t   Xét dãy căxácăđ nhănh ăsau:ă u1   un1   un  , n  Tìmăs ăd ăc aăphépăchiaă u2013 cho 2013 L iăgi i Vì  lƠănghi măd ngătrìnhă t  2013t   nên   ngăc aăph   2013      2013    un  2013un  un  u  Vì un    2013un  , doăđóă un   2013un   n    M tăkhácă un  un1  un1  , nên un  un1  un   un   un1  un   T ăđóătaăcó: un1   un1    u   un1   n   un1     un Doăđó un1  2013un  un1   un  2013un1  un2  Suy un  un2   un4   un6    un2 k  k (mod 2013) D năt iăk tăqu ăsauăđơy: u2013  u20132.1006  1006  u1  1006   1006  1005  1008 (mod 2013) 86 Thang Long University Libraty V yăs ăd ăc aăphépăchiaă u2013 cho 2013 1008 Víăd ă2 Choădƣyăs ă (un ) : un  n  Ch ngăminhăr ng,ădƣyăs ăđƣăchoăch aă vơăh năs ăh ngălƠăs ăchínhăph ng Ch ngăminh Ta có (  1) n 1 n 1  C i 0 (  1) n 1 m i n 1 m m i 0   C22mi 11 2i   x2 m1  y2 m1 2i i m1 Trongăđóă x2 m1   C i 0 i 0   C22mi 11 2i  x2 m1  y2 m1 2, 2i i m1 m   C i 0 m ( 2)   C i i 0 m , y2 m1   C22mi 11 2i , m  0,1,2, 2i i m1 i 0 Vì x2 m1 , y2 m1 lƠănh ngăs ănguyênăd ngănênăt ăcáchăxácăđ nhă x2 m1 , y2 m1 ta có:  (  1)2n1 (  1)2n1  ( y2m1  x2m1 )( y2m1  x2m1)  y22m1  x22m1 Suy  x22m1  y22m1  x24m1  x22m1  2x22m1 y22m1  2( x2m1 y2m1 )2 Mà x24m1  x24m1  x22m1  ( x22m1  1)2  x22m1  x24m1  x22m1  x22m1  Doăđóă  x4  x2   x2    x y  m1 m1 m1 m1 m1   x2 m1     tă bm  x2 m1 y2 m1 , ta có  bm  lƠădƣyăcácăs ăd  bm  nh ph năvôăs ăgiáătr ănguyênăd ngăvƠălƠădƣyăt ngăth căs ănênă ngăvƠă ubm  x22m1  ubm lƠăs ăchínhă ng 87 Víăd ă3 Cho 2k s ăth că a1 , a , , a k , b1 , b2 , , bk Xácăđ nhădƣyăs ă  Xn  nh ă sau: k Xn   n  bi , n  1, 2, i 1 k Ch ngăminhăr ngăn uă  Xn  lƠăm tăc păs ăc ngăthìă  lƠăs ănguyên i 1 Ch ngăminh k k i 1 i 1 tă A   a i , B   bi Ta có: n  bi   ai n  bi   n  bi T ăđóăsuyăraă An  B  k  Xn  An  B Gi ă s ă  Xn  lƠă c păs ă c ngăv iăcôngăsaiă d,ăkhiă đóă Xn1  X1  n.d A  B  k  X1  A  B Nên ta có: A(n  1)  B  k  Xn1  A(n  1)  B  A(n  1)  B  k  X1  nd  A(n  1)  B  An  A  B  k  X1  nd  An  A  B  X1 Mà A  B  X1  A  B  X1  k nên An  k  nd  An  k  k  An  nd  k k Suy A  d  n Cho n ti năraăvơăcùngătaăcóă A d   A  d M tăkhácă  Xn  lƠădƣyăs ănguyênănênă A  d  Xn1  Xn  A k V yă  lƠăs ănguyên i 1 88 Thang Long University Libraty 4.5 DÃY S ăVĨăS ăNGUYểNăT Víăd ă1 Choădƣyăs ă  un  đ căxácăđ nhănh ăsau:ă u1  0, u2  14, u3  18  un1  7un1  6un2  6, n  3,4,5, Ch ngăminhăr ngăm iăs ăngunăt ăp ta ln có u p  p Ch ngăminh Xétăph x 1 ngătrìnhăđ cătr ng:ă x  x     x    x  3 Suy u n cóăd ng:ă un  c11n  c2 2n  c3 (3)n c1  2c2  3c3  u1  c1     Theoăgi ăthi tătaăcó:ă u2  13  c1  4c2  9c3  13  c2  u  18 c  8c  27c  18 c    3 1 V yă un   2n  (3)n , n  V iăp lƠăs ănguyênăt ătheoăđ nhălýăFermatănh ătaăcó: 2n  2(mod p)  n (3)  3(mod p) Suy un    3(mod p)  un  (mod p) V yă u p  p Víăd ă2 Choădƣyăs ă  un  đ căxácăđ nhănh ăsau:ă u1   un  3un1  2n  9n  9n  n  p 1 Ch ngăminhăr ngăm iăs ănguyênăt ăp 2014. ui  p i 1 Ch ngăminhăT ăgi ăthi tătaăcó:ă 89 un  n3  3(un1  (n  1)3 )  32 (un2  (n  2)3 )   3n1(u1  13 )  3n Nh ăv yă un  3n  n3 n  1, 2, 3, V iă p  ta có u1  2 V iă p lƠăs ănguyênăt ăl ătaăcóăă p 1 u i 1 i   32   p1  (13  23   ( p  1) ) Vì i  1,2,3, , p  ta có i3  ( p  i)3  p(i  i( p  i)  ( p  i)2 ) p Suy 13  23   ( p  1)3  p1 (i  ( p  i)3 ) p  i 1 M tăkhácă  32   p1  3 p1  1 p  (3  3) p ( 1 nhălýăFermatănh ) p 1 T ăđóăsuyăraă  ui  p i 1 p 1 V yă 2014 ui  p i 1 Víăd ă3 Cho dãy  un  đ căxácăđ nhănh ăsau:ă u0  0, u1   un2  1999un1  un ; n  0,1,2, Tìmăt tăc ăcácăs ăt ănhiênă n cho u n lƠăs ănguyênăt L iăgi i Ta có: u2  1999  1998u1, u3  19992   1998u2 Taăch ngăminhăr ng:ă n  u n lƠănguyênăd ngăvƠă un1  1998un (1) Th tăv y,ă(1)ăđúngăkhi n  Gi ăs (1)ăđúngăv iă n  k, k  ,ăt călƠă uk 1  1998uk Xét n  k  Ta có theo cách xácăđ nhădƣyăthìă uk   1999uk 1  uk 90 Thang Long University Libraty Theoăgi ăthi tăquyăn păthì uk 1  1998uk  uk  uk 1  uk  uk   1998uk 1 Suy (1)ăc ngăđúngăkhiă n  k  V yă(1)ăđúngăv iăm iă n  M tăkhác,ăt ă un2  1999un1  un ; un1  1999un  un1 suy 1999  un2  un un1  un1  un1 un T ăđóătaăcó: un2un  un2  un21  un1un1  un2un  un21  un1un1  un2 , n  Vìăth :ă un2un  un21  c, v iăc lƠăh ngăs Khiăđóă un2un  un21  u2u0  u12  1  un2un  un21  Hay un2un  (un1  1)(un1  1), n  0, 1, 2, (2) V iă n  2, u2  1999 lƠăs ăngunăt Taăch ngăminhă n  3, thìăkhơngăt năt iă n đ ă u n lƠăs ănguyênăt Th tăv y,ăgi ăs ă u k lƠăs ănguyênăt ăv iă k  T ă(2)ătaăcó: ukuk 2  (uk 1  1)(uk 1  1)  (uk 1  1)(uk 1  1)uk (3) Vì uk 1   1998uk 1 , k tăh păv iă(1)ăsuyăraă uk 1   1998uk 1  uk (4) T ă(3)ăvƠă(4)ăsuyăraă uk 1  1uk (5) Do k  nên uk 1  vìăth ăt ă(5)ătaăcóă uk 1   uk (6) Nh ngătheoă(1)ăthìă uk  1998uk 1 , t ăđóătheoă(6)ătaăcó: uk 1   1998uk 1  uk  vơ lí u k 1 nguyênăd ngăkhiă k  V yă u n khôngăph iălƠăs ănguyênăt ăkhiă n  Nh ăv yătrongădƣyăđƣăchoăcóăduyănh tăm tăs ănguyênăt ălƠăs ăh ngă u2  1999 91 Víăd ă4 Choătr căhaiăs ăa, b nguyênăd ngăvƠădƣyă  xn  đ căxácăđ nhănh ă sau:  x0    xn1  axn  b, n  0,1,2, Ch ngăminhăr ngăm iăcáchăch năa, b dãy  xn  t năt iăvơăh năh păs Ch ngăminh Gi ăs ă xn lƠăh păs ăv iăh uăh năn.ăG iăN lƠăs ănguyênăd ngăl năh nă t tăc ăcácăgiáătr ăn th aămƣn Khiăđóă xm lƠăs ănguyênăt ăv iăm iă m  N Ch năs ănguyênăt ă xm  p khôngăchiaăh tăchoă a  G iăt lƠăs ăth aămƣnă t (1  a )  b (mod p), khiăđóă xn1  t  a ( xn  t )(mod p ) Suy xm1  t  a ( xm  t )(mod p) Ti păt căquaătrìnhătaăđ c: xm p1  t  a p1 ( xm  t )(mod p)  ( xm  t )(mod p) Hay xm p1  xm (mod p)  xm p1  0(mod p), uă nƠyă vơă líăvìă xm p1 lƠă s ă nguyênăt ăl năh nă p T ăđóătaăcóăđi uăph iăch ngăminh 4.6 M TăS ăBĨIăTOỄNăV ăDĩYăS ăFIBONACCI Víăd ă1 Cho dãy  Fn  , n  1,2,3, dãy Fibonacci.ăCh ngăminhăr ngăn uăn lƠăb iăs ăc aăk Fn lƠăb iăs ăc aă Fk Ch ngăminh Nh nă xét: V iă k c ă đ nhă thìă i  k taă cóă đ ngă th că sau:ă Fi  Fk Fi k 1  Fk 1Fi k (1) Taăs ăch ngăminhă(1)ăb ngănguyênălíăquyăn p V iă i  k  ta có Fk F2  Fk 1F1  Fk 1  Fk  Fk 1 V yă(1)ăđúngăv iă i  k  92 Thang Long University Libraty Gi ăs ă(1)ăđúngăv iă i  m   k  Xét i  m, theoăcáchăthi tăl pădƣyătaăcó Fm  Fm1  Fm2 (2) T ă(2)ăvƠăgi ăthi tăquyăn p,ătaăcóă Fm  Fm1  Fm2  ( Fk Fm1k 1  Fk 1Fm1k )  ( Fk Fm2k1  Fk1Fm2k )  Fk Fmk 1  Fk 1Fmk (3) T ă(3)ăch ngăt ă(1)ăđúngăv iă i  m V yă(1)ăđúng Ti păt cădùngăngunălíăquyăn păch ngăminhăn uă n k Fn  Fk (4) Xét n  k  Fn  Fk  Fn  Fk Gi ăs ăv iă l  n l  k Fn  Fk Theo (1) ta có Fn  Fk Fnk 1  Fk 1Fnk (5) Vì nk  n  kk ,ădoăđóătheoăgi ăthi tăquyăn pătaăcóă Fnk  Fk V yăt ă(5)ăsuyăraă Fn  Fk Víăd ă2 Gi ăs ă Fk lƠăs ăh ngăth ăk c aădƣyăFibonacci.ăCh ngăminhăr ngăv iă m iăs ăt ănhiênă n  3, thìăs ă An  Fn2 Fn Fn Fn  lƠăs ăchínhăph Ch ngăminh Tr căh tătaăch ngăminhăk tăqu ăsau:ă V iăm iăs ăt ănhiênă n   Fn4 Fn2  Fn2 Fn  (1) Th tăv y:  ( Fn2  Fn3 ) Fn2  Fn2 Fn  Fn3  Fn2  Fn2 ( Fn2  Fn )  Fn3  Fn2  Fn2  Fn1  ( Fn1  Fn3 ) Fn3  Fn2 Fn1  Fn3  Fn3  Fn1 (Fn2  Fn3  Fn3 Fn3  Fn1Fn1  vn1 T ăđóăsuyăraă  vn1 , qătrìnhăđóăc ăl păl iătaăđiăđ n: 93 ng  v3 , n  (2) Ta có: v3  F7 F1  F5 F3  13.1  5.2  V yă(1)ăđ căch ngăminh T ă(1)ăsuyăra: Fn4 Fn2  Fn2 Fn   An  4Fn Fn2 ( Fn Fn2  3)   (2Fn Fn2  3)2 Do Fn nguyênăv iă n  V y An lƠăs ăchínhăph ngăv iăm iăs ăt ănhiênă n  Víăd ă3 Choădƣyăs ăFibonacci  un  đ căxác đ nhănh ăsau: u0  u1  1, un2  un1  un ; n   t f  n   1985n2  1956n  1960 Ch ngăminhăr ngăt năt iăvôăh năs ăh ngăun c aădƣyăs ăsaoăcho f  un 1989 Ch ngăminh tă h(n)  4n2  33n  29  f (n)  h(n)  1989(n  n  1) T ăđoăsuyăra: f  un 1989  h  n1989 Xétădƣyă   xácăđ nhăb i: v0  1, v1   vn1   vn1, n  1,2,3, Nóiăkhácăđi , dƣyătrênălƠădƣyăsinhăraăb iădƣyă Fibonacciăb ngăcachăthêmă vƠoătr cădƣyăFibonacci sôăhangălƠă-1, 1, G iă ri lƠăph năd ătrongăphépă chia vi cho 1989  i  0,1,2,  Nh ăvơyătaăcoă  r  1988 Xétădƣyăcácăc păs ăsauăđơy:  r0 , r1  ,  r1, r2  ,  r2 , r3  , 94 Thang Long University Libraty Vìăm iăs ri ch ănh năm tătrongă1989 giáătr Vơyăcacăc păkhacănhauătôiăđaălaă 19892 T ăđoătheoănguyênăliăDirichletăthiătrongă 19892 + c păđơuătiênăcoăită nhơtăhaiăc pătrungănhau Gi ăs ăhaiăc păs ăđóălƠ: r , r ,r p p 1 p  , r p  1  , p,   iêuăơyăcoănghiaăla: rp  rp1, rp  rp 1 Theoăcachăxácăđ nhădƣy, taăco: vp1  vp1  vp  rp1  rp1  rp T ngăt , taăco: vp 1  vp 1  vp  rp1  rp1  rp T ăđoăsuyăra: rp1  rp 1 T ngăt , taăco: r p2  r p 2 ; r2  r 2 ; r1  r 1; r0  r T r0  r , r1  r 1 vƠ vn1   vn1 , suy ri  ri  , i  0, 1, 2, Doăvơy: r0  r  r2  r3   rk , k  1, suy ra: h(vk )1989 A h(1)  1989 A R̃ărƠngă vk , k  1,2,3, đ uălƠăs ă Fibonacci, suyăraăcoăvơăsơăsơăhangăcuaă dƣyăFibonacciăthoaămƣnăđêăbai Víăd ă4 Ch ngăminhăr ngădƣyăFibonacci (a n): a  a1  1, a n  a n1  a n , n  0, 1, 2, cóăcácătínhăch t sau: a) ai j  a j 1  ai1a j v iăm iă i, j   b) a kn  a n v iăm iă k, n   Dùngăcácătínhăch tătrên,ătìmăUSCLNăc aă a1998 a1960 Ch ngăminh 95 a) Taăch ngăminhăb ngăquyăn pă ai j  a j 1  ai1a j , i, j (1) Gi ăs ă j khôngăđ iă  j   V iă i  ta có: VT (1)  a j ; VP (1)  a0a j 1  a1a j  a j (do a  0, a1  ) Gi ăs ă(1)ăđúngăđ nă i  n Taăch ngăminhă(1)ăđúngăv iă i  n  a n1  a n a j 1  a n1a j Th tăv y,ătheoăgi ăthi tăquyăn pă  a ( n1) j  a n1a j 1  a n a j C ngătheoăv ătaăđ că anl  a n1 j   an  an j  a j 1   an  a n1  a j  an j a j 1  an2a j L iăcó a n1l  a nl  a n1l Vìăv yă an1l  anl a j 1  an2 a j hayă(1)ăđúngăv iă k  0,1,2, Xétăv iăm i i, j V iă j  thìă(1)ăđúngăv iăm iă i Gi ăs ă(1)ăđúngăv iăm iă i vƠăm i j  m Xétă (1)ă v iă m iă i j  m theoă trênă thìă (1)ă đúng,ă suyă raă uă ph iă ch ngă minh b) C ăđ nhă n V i k  thìăkh ngăđ nhăhi nănhiênăđúng Gi ăs ăkh ngăđ nhăđúngăđ nă k  m t călƠă a mn  a n Xét k  m  1, ta có a k m1  a kmm Theoăph năa)ă a n m1  a nma n1  a nm1a n K tăh păgi ăthi tăquyăn păsuyăraă a n m1  a n V yăkh ngăđ nhăđúng 96 Thang Long University Libraty TìmăUSCLNăc aă a1998 a1960 Theo a) a1988  a1960 a 27  a1961.a 28 t r   a1988 , a1960  suy a1988  r a1960  r Do a1988 a1960 đ uăchiaăh tăcho a 28 tínhăch tăb)ănênă r  a 28  (2) suy a1961 , a 28  r Mà  a1960 , a1961   mà a1960  r Vìăv yă a 28  r hay a 28  r (3) T ă(2)ăvƠă(3)ăsuyăraă  a1998 , a1960   a28  317811 Víăd ă5 Gi ăs ă Fk lƠăs ăh ngăth ă k c aădƣyăFibonacci.ăCh ngăminhăr ngăv iă m iăs ăt ănhiênă n  4, thìăs ă Fn  khơngălƠăs ăngunăt Ch ngăminh Taăcóăđ ngăth că Fn4   Fn2 Fn1Fn1Fn2 (1) Gi ăs ăt năt iă n  cho Fn  lƠăs ănguyênăt ăKhiăđóăt ă(1)ăthìă Fn  chiaăh tăítănh tăm tătrongăcácăs ă Fn2 , Fn1 , Fn1 , Fn Nh ngă Fn   Fn2 ; Fn   Fn1 nênăho c Fn  1| Fn1 ho că Fn  1| Fn Tr ngăh pă1:ăN uă Fn  1| Fn1 Fn  1| ( Fn  Fn1 )  Fn  1| ( Fn   Fn1  1)  Fn  1| Fn1  (vơ lí) Tr ngăh pă2:ăN uă Fn  1| Fn Fn  1| ( Fn  Fn1 )  Fn  1| (2 Fn  Fn1 ) Doăđóă Fn  1| (2( Fn  1)  Fn1  2)  Fn  1| Fn1  (vô lí) V yălƠăh păs ăv iă n  97 K TăLU NăVĨăKHUY NăNGH I,ăK tălu n Lu năv năđƣătrìnhăbƠyăvƠănh năđ cănh ngăk t qu ăsauăđơy H ăth ngăcácăkháiăni măc ăb năc aădƣyăs ,ăcácătínhăch t,ăcácăm iăliênăh ă gi aăcácădƣyăs ăđ căbi t.ăă Phơnălo iăđ cácăph t căm tăs ăd ngătoánăch năl căv ăgi iăh năc aădƣyăs ăc ngănh ă ngăphápăgi iăchoăt ngăd ngătoán cùngăv iăbƠiăt păvƠăh ngă ng mà h căsinhă ăph ăthôngăth H ăth ngăcácăph ngăd năgi iă ngăg p ngăphápătìmăs ăh ngăt ngăquátăc aădƣyăs TrìnhăbƠyăm tăs ăd ngătốnăr tăhayăg pătrongăcácăk ăthiăh căsinhăgi iăđóălƠă dƣyă s ă liênă quană t iă dƣyă s ă nguyênă nh ă ch ngă minhă m tă dƣyă lƠă dƣyă s ă ngun,ăbƠiătốnăchiaăh t,ădƣyăs ăchínhăph ng,ăcácăbƠiătốnăv ăph năngun,ă dƣyăs ăvƠăs ănguyênăt ăc ngănh ăm tăs ăbƠiătoánăv ădƣyăs ăFibonacci II,ăKhuy năngh Hy v ngălu năv năcóăth ădùngălƠmătƠiăli uăthamăkh oăchoăcácăgiáoăviên sinh viên toánăcácătr tr ngăs ăph m,ătrongăb iăd ngăh căsinhăgi iătốnă ngătrungăh căph ăthơng,ătrongărènăluy năđ iătuy năthiăgi iăc păt nh,ăqu c giaăvƠăqu căt Hy v ngăđ ătƠiănƠyăs ăđ đ căti păt cănghiênăc u,ăm ăr ngăvƠăphátătri n, că ngăd ngăr ngărƣiătrong nghiênăc u,ăh căt păc aăh căsinhătrungăh căph thôngăvƠăsinhăviênătrongăcácătr ngă iăh c 98 Thang Long University Libraty TĨIăLI UăTHAMăKH O [1]ăLêăXuơnă th oăcácătr i,ăTr năNg căTh ng,ăM t s toán v dãy s nguyên,ăH iă ngăTHPTăchuyên,ăkhuăv căDuyênăh iăvƠă ngăb ngăB căb ,ăH i th oăkhoaăh căl năth ăIV [2] PhanăHuyăKh i,ă(1996),ă10000 toán v dãy s ,ăNXBăHƠăN i [3] Nguy nă V nă M u,ă Tr nă Namă D ng,ă Nguy nă Minhă Tu n,ă (2008),ă Chuyên đ ch n l c Dãy s áp d ng,ăNhƠăxu tăb năGiáoăD c [4]ăNguy năV năM u,ăNguy năThu ăThanh,ă(2003),ăGi i h n c a dãy s hàm s ,ăNXBăGiáoăD c.ă [5]ăV ăTu n,ă(2011),ăGiáo trình gi i tích tốn h c t p 1, NXBăGiáoăD c [6] Tuy n ch n theo chuyên đ Toán h c Tu i tr (Quy n 1), (2005), NXB GiáoăD c [7] Tuy n t p 30 n m T p chí Tốn h c Tu i tr ,ă(1998),ăNXBăGiáoăD c.ă [8] V ăTh ăVơn,ă(2010),ăDãy s m t s tính ch t, K ăy uătoánăh cătr iăhèă HùngăV ng [9]ăV ăTh ăVơn, (2010), Dãy s v i s ph ng,ăT păchíăTốnăh că&ăTu iătr ă s ă439ăthángă1-2014, NhƠăxu tăb năGiáoăD c [10] DuởanăDjukić,ăVladimiră Janković,ăIvanăMatić,ăNikolaă Petrović, (2011), The IMO Compendium A Collection of Problems Suggestedfor The International Mathematical Olympiads: 1959-2009, Springer Science Business Media, LLC [11] Kin Y Li (2011), Math Problem Book I, Hong Kong University of Science and Technology [12] D O Shklarsky, N N Chentzov, I M Yaglom, (1994), The ussr olympiad problem book, Dover publications, Inc New York 99