Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy.. Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi m.[r]
(1)Ngủ dậy muộn ngày, tuổi niên mà khơng chịu học tập phí đời CHUYÊN ĐỀ 8
CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC
Cho hàm số y = f( )x ,đồ thị (C) Có ba loại phương trình tiếp tuyến sau:
Loại 1: Tiếp tuyến hàm số điểm M x y( 0; 0) ( )∈ C
− Tính đạo hàm giá trị f x'( )0
− Phương trình tiếp tuyến có dạng: y= f x'( ) (0 x x− 0)+ y0
Chú ý: Tiếp tuyến điểm M x y( 0; 0) ( )∈ C có hệ số góc k= f x'( )0
Loại 2: Biết hệ số góc tiếp tuyến k
− Giải phương trình: f x'( ) = k, tìm nghiệm x0 ̃ y0
− Phương trình tiếp tuyến dạng: y k x x= ( − 0) + y0 Chú ý:Cho đường thẳng ∆ :Ax By C+ + = 0, đó:
− Nếu d//∆ ( )d :y ax b= + ⇒ hệ số góc k = a.
− Nếu d ⊥ ∆ ( )d :y ax b= + ⇒ hệ số góc k a = −
Loại 3:Tiếp tuyến (C) qua điểm A x y( A; A) ( )∉ C
− Gọi d đường thẳng qua A có hệ số góc k, ( )d :y k x x= ( − A)+ yA
− Điều kiện tiếp xúc ( ) ( )d và C hệ phương trình sau phải có nghiệm: ( )( ) ( ) '
A A
f x k x x y
f x k
́ = − +
=
Tổng quát:Cho hai đường cong ( )C :y= f x( ) ( )C' :y g x= ( ) Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với hệ sau có nghiệm ( )( ) ( )( )
' '
f x g x
f x g x
́ =
=
1 Cho hàm số y x= − 2x2
a khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến ∆ (C):
i Tại điểm có hồnh độ x= ii Tại điểm có tung độ y =
iii Tiếp tuyến song song với đường thẳng: d1: 24x y− + 2009 0= iv Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng: d2:x+ 24y+ 2009 0=
2 Cho hàm số
1
x x
y x
− − +
=
+ có đồ thị (C)
a Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến (C):
(2)ii Tại giao điểm (C) với trụng hoành iii Biết tiếp tuyến qua điểm A(1;−1) iv Biết hệ số góc tiếp tuyến k = −13 Cho hàm số
1
x x
y x
− − =
+ có đồ thị (C)
a Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số
b Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm x =
c Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có tung độ y =
d Tìm tất điểm trục tung mà từ kẻ hai tiếp tuyến đến (C)
4 Cho hàm số 3
x x
y x
+ +
=
+ có đồ thị (C)
a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C)
b Chứng minh qua điểm M(−3;1) kẻ hai tiếp tuyến tới đồ thị (C) cho hai tiếp tuyến vng góc với
5 Cho hàm số:
1 x y
x =
− có đồ thị (C)
a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
b Tìm M ∈ (C) cho tiếp tuyến (C) M vng góc với đường thẳng qua M tâm đối xứng (C)
6 Cho hàm số y = x3 + mx2 + có đồ thị (Cm) Tìm m để (Cm) cắt d: y = – x + ba điểm phân biệt A(0;1), B, C cho tiếp tuyến (Cm) B C vng góc với nhau.
Lời giải:
Phương trình hồnh độ giao điểm d (Cm) là: x3 + mx2 + = – x + 1
⇔ x(x2 + mx + 1) = (*)
Đặt g(x) = x2 + mx + d cắt (Cm) ba điểm phân biệt⇔ g(x) = có hai nghiệm phân biệt khác
( )
2 4 0 2
2
0
g m m
m g
́ ∆ = − > >
⇔ = ≠ ⇔ < −
Vì xB , xC nghiệm g(x) = B C1 B C
S x x m
P x x
= + = −
́
̃ = =
Tiếp tuyến (Cm) B C vng góc với nên ta có:f x′( ) ( )C f x′ B = −1
(3 ) (3 )
B C B C
x x x m x m
⇔ + + = − 9 6 ( ) 4 1
B C B C B C
x x x x m x x m
⇔ + + + = −
( )
1 6 m m 4m
⇔ + − + = − ⇔ 2m2 = 10⇔ m= ± 5 (nhận so với điều kiện)
7 Cho hàm số y x2 x
+
= Tìm tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ để từ kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vng góc
Lời giải:
Gọi M(x0;y0) Phương trình đường thẳng d qua M có hệ số góc k y = k(x – x0) + y0 Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d: x2 k x x( 0) y0, (kx 0)
x+ = − + ≠
( ) ( ) ( )
0
1 k x y kx x *
⇔ − − − + =
d tiếp xúc với (C):
( )2 ( )
0
4
k
y kx k
≠
́
⇔ ∆ = − − − =
( ) ( )
2 2
0 0
0
2 I k
x k x y k y
y kx
≠
́
⇔ + − + − =
≠
(3)Từ M vẽ hai tiếp tuyến đến (C) vuông góc với (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn:
1 2
,
1 k k k k
≠
́
= −
( )
0 2
2 0
0
1 x
y x
y x
́ ≠
−
⇔ = −
− ≠
0 2 0 0
4 x
x y
y x
≠
́
⇔ + =
≠
Vậy tập hợp điểm thỏa mãn yêu cầu tốn đường trịn: x2+ y2 = 4 loại bỏ bốn giao điểm đường tròn với hai đường tiệm cận
8 Cho hàm số x y
x =
+ (ĐH Khối−D 2007)
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho
b Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến (C) M cắt Ox, Oy A, B diện tích tam giác OAB
4 ĐS: 1;
2 M− − ÷
M( )1;1
9 Cho hàm số 2
x x
y x
+ − =
+ (ĐH Khối−B 2006)
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho
b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vng góc với tiệm cận xiên ĐS: b y= − ±x 2 5−
10 Gọi (Cm) đồ thị hàm số:
3
m
y= x − x + (*) (m tham số) (ĐH Khối−D 2005) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (*) m=2
b Gọi M điểm thuộc (Cm) có hồnh độ −1 Tìm m để tiếp tuyến (Cm) M song song với đường thẳng 5x y− =
ĐS: m=4
11 Cho hàm số 3 3 ( ) m
y= x − mx − +x m C Định m để ( )Cm tiếp xúc với trục hoành
12 Cho hàm số y= x4 + x3 + (m− 1)x2 − −x m C( )m Định m để ( )Cm tiếp xúc với trục hoành 13 Cho đồ thị hàm số ( ):
1 x
C y
x − =
+ Tìm tập hợp điểm trục hồnh cho từ kẻ tiếp
tuyến đến (C)
14 Cho đồ thị hàm số ( )C :y= x3− 3x2+ Tìm tập hợp điểm trục hồnh cho từ kẻ tiếp tuyến với (C)
15 Cho đồ thị hàm số ( )C :y= x4 − 2x2 +1 Tìm điểm M nằm Oy cho từ M kẻ tiếp tuyến đến (C)
16 Cho đồ thị hàm số ( )C :y= x3 − 3x+ Tìm điểm đường thẳng y = cho từ kẻ tiếp tuyến với (C)
17 Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + (1) (ĐH Khối−B 2008) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1)
b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến qua điểm M(–1;–9)
Lời giải:
(4)BBT :
b Tiếp tuyến qua M(−1;−9) có dạng y = k(x + 1) –
Phương trình hồnh độ tiếp điểm qua M có dạng : 4x3 – 6x2 + = (12x2 – 12x)(x + 1) – 9.
⇔ 4x3 – 6x2 + 10 = (12x2 – 12x)(x + 1) ⇔ 2x3 – 3x2 + = 6(x2 – x)(x + 1).
⇔ x = –1 hay 2x2 – 5x + = 6x2 – 6x ⇔ x = –1 hay 4x2 – x – = 0.
⇔ x = –1 hay x =
4; y’(−1) = 24;
5 15 '
4
y = ÷
Vậy phương trình tiếp tuyến qua M là: y = 24x + 15 hay y = 15 x
21
−
Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ
Cho hàm sô y = f( )x ,đồ thị (C) Các vấn đề cực trị cần nhớ:
− Nghiệm phương trình f x'( ) = hoành độ điểm cực trị
− Nếu ( )( )0
'
''
f x f x
́ =
<
hàm số đạt cực đại x x=
− Nếu ( )( )0
'
''
f x f x
́ =
>
hàm số đạt cực tiểu x x=
Một số dạng tập cực trị thường gặp
− Để hàm số y= f x( ) có cực trị
'
0 y
a≠
́
⇔ ∆ >
− Để hàm số y= f x( )có hai cực trị nằm phía trục hồnh ⇔ yCĐ.yCT <
− Để hàm số y= f x( )có hai cực trị nằm phía trục tung ⇔ xCĐ.xCT <
− Để hàm số y= f x( )có hai cực trị nằm phía trục hoành CĐ. CT 0 CĐ CT
y y
y y
+ >
́
⇔ >
− Để hàm số y= f x( )có hai cực trị nằm phía trục hoành
CĐ CT CĐ CT
y y
y y
+ <
́
⇔ >
− Để hàm số y= f x( )có cực trị tiếp xúc với trục hoành ⇔ yCĐ.yCT = x −∞
+∞
y' + − + y +∞
−∞ −1
CĐ CT
f(x)=4x^3-6x^2+1
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-6 -4 -2
x y
32461 yxx
(5)Cách viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị. Dạng 1: hàm số y ax= + bx2 + cx d+
Lấy y chia cho y’, thương q(x) dư r(x) Khi y = r(x) đường thẳng qua điểm cực trị Dạng 2: Hàm số y ax2 bx c
dx e
+ +
=
+
Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng ( )
( )
2 '
2 '
ax bx c a b
y x
dx e d d
+ +
= = +
+
1 Chứng minh hàm số y = ( )
2 1 1
x m m x m
x m
+ − − +
− ln có có cực trị với m Tìm m cho hai
cực trị nằm đường thẳng y=2x
2 Cho hàm số ( 2)
y= x − mx + m+ x− Định m để: a Hàm số ln có cực trị
b.Có cực trị khoảng (0;+ ∞ ) c Có hai cực trị khoảng (0;+ ∞ )
3 Định m để hàm số y x= − 3mx2 + (m2 − 1)x+ b2 − 4ac đạt cực đại x = Cho hàm số y = x33x2+3mx+3m+4.
a Khảo sát hàm số m =
b.Định m để hàm số khơng có cực trị c Định m để hàm só có cực đại cực tiểu
5 Cho hàm số y x= − 3mx2 + 9x+ 3m− 5 Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị
6 Cho hàm số ( )
2 1 1
x m x m
y
x m
+ + − +
=
− Chứng minh đồ thị hàm số ln có cực đại, cực tiểu với m
Hãy định m để hai cực trị nằm hai phía trục hồnh
7 Cho hàm số y x= 3+ (1 2− m x) + (2− m x m) + + Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ
8 Cho hàm số y x2 2mx 3m2 x m
+ + −
=
− Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị nằm hai phía trục
tung
9 Cho hàm số (2 1) 2( )
3 m
y= x − mx + m− x m− + C Định m để hàm số có hai điểm cực trị dương 10 Cho hàm số ( )
2 2 1 4
2
x m x m m
y
x
+ + + +
=
+ (1) (ĐH Khối−A năm 2007)
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị đồ thị hàm (1) số m=−1
b Tìm m để hàm số (1) có cực đại cực tiểu, đồng thời điểm cực trị đồ thị với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông O
ĐS: m= − ±4
11 Cho hàm số y= −x3 − 3x2 + 3(m2 − 1)x− 3m2 − (1), m tham số (ĐH Khối−B năm 2007) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị đồ thị hàm (1) số m=1
b Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số (1) cách gốc tọa độ
ĐS : b m= ±
(6)b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị (ĐH Khối−B năm 2002)
a
f(x)=x^4-8x^2+10
-30 -25 -20 -15 -10 -5
-20 -15 -10 -5 10
x y
b ĐS :
3
0
m m < − < <
13 Gọi (Cm) đồ thị hàm số ( )
2 1 1
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+ (*) (m tham số)
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị đồ thị hàm số m=1
b Chứng minh với m bất kỳ, đồ thị (Cm) ln có hai điểm cực đại, cực tiểu khoảng cách hai điểm 20
a
f(x)=x+1+1/(x+1) f(x)=x+1 x(t)=-1 , y(t)=t
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2
-10 -8 -6 -4 -2
x y
b CĐ(−2;m−3), CT(0;m+1)⇒
20 MN= L=
Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾN − NGHỊCH BIẾN
Cho hàm sơ y = f( )x có tập xác định miền D
−f(x) đồng biến D ⇔ f'( )x ≥ 0,∀x∈ D
−f(x) nghịch biến D ⇔ f'( )x ≤ 0,∀x∈ D
(chỉ xét trường hợp f(x) = số hữu hạn điểm miền D)
Thường dùng kiến thức xét dấu tam thức bậc hai: f x( ) = ax2 + bx c+ .
1 Nếu ∆ < 0thì f(x) ln dấu với a Nếu ∆ = 0thì f(x) có nghiệm
2 b x
a
= − f(x) dấu với a
b x
a
(7)3 Nếu ∆ > 0thì f(x) có hai nghiệm, khoảng nghiệm f(x) trái dấu với a, khoảng nghiệm f(x) dấu với a
So sánh nghiệm tam thức với số 0 *
0
0
0
x x P
S ∆ >
́
< < ⇔ >
<
*
0
0
0
x x P
S ∆ >
́
< < ⇔ >
>
* x1 < <0 x2 ⇔ P<
1 Cho hàm số y x= − 3(m+ 1)x2 + 3(m+ 1) x+ 1 Định m để: a Hàm số đồng biến R
b Hàm số đồng biến khoảng (2;+ ∞ ) Xác định m để hàm số 2
3
x mx
y= − − x+
a Đồng biến R b Đồng biến (1;+ ∞ )
3 Cho hàm số y x= − 3 2( m+ 1)x2 + (12m+ 5)x+ 2. a Định m để hàm số đồng biến khoảng (2;+ ∞ ) b Định m để hàm số nghịch biến khoảng (− ∞ −; 1) Cho hàm số
2
mx x
y
x
+ −
=
+ Định m để hàm số nghịch biến [1;+ ∞ )
Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG CONG
Quan hệ số nghiệm số giao điểm
Cho hai hàm số y=f(x) có đồ thị (C1) y=g(x) có đồ thị (C2) Khảo sát tương giao hai đồ thị (C1) (C2) tương đơưng với khảo sát số nghiệm phương trình: f(x) = g(x) (1) Số giao điểm (C1) (C2) số nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm (1)
(1) vô nghiệm ⇔ (C1) (C2) khơng có điểm chung (1) có n nghiệm ⇔ (C1) (C2) có n điểm chung
(1) có nghiệm đơn x1⇔ (C1) (C2) cắt N(x1;y1) (1) có nghiệm kép x0 ⇔ (C1) tiếp xúc (C2) M(x0;y0)
1 Cho hàm số ( )
1 x y
x − =
+ có đồ thị (C)
a.Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
b Biện luận theo m số nghiệm phương trình x2 − (m+ 2)x m− + =1 0.
2 Cho hàm số y= (x+ 1) (2 x− 1)2 có đồ thị (C) a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
b Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình (x2 − 1)2 − 2m+ =1 0.
3 Cho hàm số y x= + kx2 − 4.
a Khảo sát hàm số k =
b Tìm giá trị k để phương trình x3 + kx2 − =4 0 có nghiệm nhất.
4 Cho hàm số y x= − 3x+ (ĐH Khối−D 2006)
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho
(8)ĐS: b 15, 24
m> m≠
5 Cho hàm số ( ) 3 3
2
x x
y
x
− + −
=
− (1) (ĐH Khối−A 2004)
a Khảo sát hàm số (1)
b Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm A, B cho AB=1 ĐS: b
2
m= ±
6 Cho hàm số
mx x m
y
x + + =
− (*) (m tham số) (ĐH Khối−A 2003)
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị đồ thị hàm số m=−1
b Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt hai điểm có hồnh độ dương ĐS: b
2 m
− < <
7 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2
x x
y x
− +
=
− (1) (ĐH Khối−D 2003)
b Tìm m để đường thẳng dm:y mx= + −2 2m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt ĐS: m>1
8 Cho hàm số y = − x3 + 3mx2 + 3(1 − m2)x + m3− m2 (1) (m tham số) (ĐH Khối−A 2002)
a Khảo sát biến thiên vẽ đố thị hàm số (1) m =
b Tìm k để phương trình − x3 + 3x2 + k3− 3k2 = có nghiệm phân biệt. c Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) ĐS: b
0
k
k k
− < <
́
≠ ∧ ≠
, c
2
y= x m− + m
Dạng 5: CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH
Các công thức khoảng cách:
Khoảng cách hai điểm (độ dài đoạn thẳng): ( ) (2 )2
B A B A
AB= x − x + y − y
Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho đường thẳng ∆ :Ax By C+ + = 0 điểm M(x0;y0) d M( , ) Ax0 2By0 2 C
A B
+ +
∆ =
+
1 Cho hàm số 3 3 3 2( ) m
y x= − mx − x+ m+ C Định m để ( )Cm có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cách chúng bé
2 Cho hàm số ( ) : 2 x
C y
x + =
− Tìm tọa độ điểm M nằm (C) có tổng khoảng cách đến hai
tiệm cận nhỏ
3 Cho hàm số ( ) : 1
x x
C y
x − + =
− Tìm điểm M thuộc (C) có tổng khoảng cách đến tiệm cận
nhỏ
4 Cho hàm số ( ) : 2 x
C y
x + =
− Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác (C) cho đoạn
MN nhỏ nhất.
5 Cho hàm số ( ): 1
x x
C y
x + + =
+ Tìm hai điểm M, N thuộc nhánh khác (C) cho đoạn
(9)6 Cho hàm số ( ) : 2 1
x x
C y
x
+ +
=
−
a Tìm điểm thuộc đồ thị (C) có tổng khoảng cách đến hai trục tọa độ nhỏ
b Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác (C) cho đoạn MN nhỏ Gọi (Cm) đồ thị hàm số:y mx
x
= + (*) (m tham số) (ĐH Khối−A 2005) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (*) m =
4
b Tìm m để đồ thị hàm số (*) có cực trị khoảng cách từ điểm cực tiểu (Cm) đến tiệm cận xiên
2 ĐS: m=1
Dạng 6: CÁC ĐIỂM CỐ ĐỊNH
Phương pháp:
Từ hàm số y= f x m( , ) ta đưa dạng F x y( , ) = mG x y( , ) Khi tọa độ điểm cố định có nghiệm hệ phương trình ( )
( )
,
,
F x y G x y
́ =
=
1 Cho hàm số y= x3− 3(m− 1) x2 − 3mx+ 2( )Cm Chứng minh ( )Cm qua hai điểm cố định m thay đổi
2 Cho hàm số ( ) ( )
2
2
:
2 m
x m x
C y
mx
+ − +
=
+ Chứng minh đồ thị ( )Cm qua điểm cố
định m thay đổi
3 Cho hàm số ( )Cm :y = (1 2− m x) + 3mx2 − (m+ 1) Tìm điểm cố định họ đồ thị
4 Chứng minh đồ thị hàm số y= (m+ 3)x3 − 3(m+ 3) x2 − (6m+ 1) x m+ + 1( )Cm qua ba điểm cố định
Dạng 7: ĐỒ THỊ CH ỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
y = f(x) có đồ thị (C) y= f x( ) có đồ thị (C’) y= f x( ) có đồ thị (C “)
( ) 0,
y= f x ≥ ∀ ∈x D Do ta phải giữ nguyên phần phía trục Ox lấy đối xứng phần phía trục Ox lên
( )
y= f x có f ( ) ( )− x = f x ,
x D
∀ ∈ nên hàm số chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung Oy
f(x)=x^3-2x^2-0.5
x y
(C)
f(x)=abs(x^3-2x^2-0.5) f(x)=x^3-2x^2-0.5
x y (C')
f(x)=abs(x)^3-2x^2-0.5 f(x)=x^3-2x^2-0.5
(10)Chú ý: Đối với hàm hữu tỷ
1 Cho hàm số ( ) :
2
x x
C y
x + =
−
a.Khảo sát hàm số
b Định k để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt
2
x x
k x
+ =
−
f(x)=(x^2+x)/(2x-2) x(t)=1 , y(t)=t f(x)=x/2+1
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2
-8 -6 -4 -2
x y
2
2
x x y
x
+ =
−
f(x)=(x^2+x)/(2x-2) x(t)=1 , y(t)=t f(x)=x/2+1 f(x)=(x^2+abs(x))/(2abs(x)-2) f(x)=-x/2+1
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2
-8 -6 -4 -2
x y
2
2
x x y
x
+ =
−
2 Cho hàm số ( ): 3
x x
C y
x
+ +
=
+
a.Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
b Biện luận theo m số nghiệm phương trình:
2 3 3
x x
m x
+ + =
+
f(x)=(x^2+3x+3)/(x+1) x(t)=-1 , y(t)=t f(x)=x+2
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2
-10 -8 -6 -4 -2
x y
23 3
1
x x
y x
+ + = +
f(x)=(x^2+3x+3)/(x+1) x(t)=-1 , y(t)=t f(x)=x+2 f(x)=(x^2+3x+3)/abs(x+1) f(x)=-x-2
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2
-10 -8 -6 -4 -2
x y
23 3
1
x x
y x
+ + = +
3 Cho hàm số ( ): x x C y
x − =
−
a.Khảo sát hàm số
(11)f(x)=(4x-x^2)/(x-1) x(t)=1 , y(t)=t f(x)=-x+3
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2
-10 -8 -6 -4 -2
x y
2
4
x x y
x −
= −
f(x)=(4x-x^2)/(x-1) x(t)=1 , y(t)=t f(x)=(4abs(x)-x^2)/(abs(x)-1) f(x)=-x+3
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2
-10 -8 -6 -4 -2
x y
2
4
x x y= x−
−
4 Cho hàm số ( ) : 2
x x
C y
x + − =
+
1 Khảo sát hàm số
2 Định m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: x2 + (1− m x) − 2m− =1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y= 2x3 − 9x2 + 12x− 4.
b Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt: 2 x3 − 9x2 + 12x = m. (ĐH Khối A−2006)
f(x)=2x^3-9x^2+1 2x
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2
-8 -6 -4 -2
x y
32
29 12
y=x−x+x
f(x)=2abs(x )^3 -9x ^2+12abs(x)
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2
-8 -6 -4 -2
x y
3
2 912
y=x−x+x
a ĐS: b 4<m<5
Dạng 8: CÁC CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG
Điểm I x y( 0; 0) tâm đối xứng đồ thị ( )C y: = f x( ) ⇔ Tồn hai điểm M(x;y) M’(x’;y’) thuộc (C) thỏa: ( ) ( )0
0 '
'
x x x
f x f x y
+ =
́
+ =
( ) ( )
0
0
'
2
x x x
f x f x x y
= −
́
⇔ + − =
Vậy I x y( 0; 0) tâm đối xứng (C) ⇔ f x( ) = 2y0 − f(2x0 − x) Cho hàm số 2 2
2
x x m
y
x
+ + +
=
+ có đồ thị ( )Cm
Tìm giá trị m để ( )Cm có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ O Cho hàm số ( ): 2 2
1 m
x m x m
C y
x
+ +
=
+
Định m để ( )Cm có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ O Cho hàm số y x= − 3x2 + m ( )1 (m tham số).
a Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với qua gốc tọa độ
b Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (1) m=2 (ĐH Khối B−2003) ĐS: a f x( )0 = − f (−x0),∀x0 ≠ 0⇒ … m>0
4 Cho hàm số 3 11
3
x
(12)5 Cho hàm số y= x3+ ax2 + bx c+ ( )1 Xác định a, b, c để đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng I(0;1) qua điểm M(1;−1)
6 Cho hàm số y = x3 – 3x2 + (1) (ĐH Khối D−2008) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1)
b Chứng minh đường thẳng qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I trung điểm đoạn thẳng AB
Lời giải:
a D = R
y' = 3x2− 6x = 3x(x − 2), y' = ⇔ x = 0, x = 2. y" = 6x − 6, y" = ⇔ x =
x −∞ +∞
y' + − | − + y" − − + +
y + ∞
CĐ CT
−∞ U
2 d : y − = k(x − 1) ⇔ y = kx − k +
Phương trình hồnh độ giao điểm: x3− 3x2 + = kx − k + ⇔ x3− 3x2− kx + k + = 0.
⇔ (x − 1)(x2− 2x − k − 2) = ⇔ x = ∨ g(x) = x2− 2x − k − = 0. Vì ∆' > g(1) ≠ (do k > − 3) x1 + x2 = 2xI nên có đpcm!
Dạng 9: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIỆM CẬN
1 Định nghĩa:
(d) tiệm cận (C) ⇔ lim( ( )) =
∈∞
→
C M M MH
2 Cách xác định tiệm cận
a Tiệm cận đứng: lim ( ) ( ):
0
x x d x
f
x
x→ = ∞ ⇒ =
b Tiệm cận ngang: lim f( )x y0 ( )d :y y0 x
= ⇒
=
∞
→
c Tiệm cận xiên: TCX có phương trình: y=λx+µ đó:
( ) [f( )x x]
x x f
x
x µ λ
λ = = −
∞ → ∞
→ ; lim
lim
Các trường hợp đặc biệt:
f(x)=x^3-3x^2+4
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2
-10 -8 -6 -4 -2
x y
O
6
4
2
-2
-4
-6
-1 -5
y
x ( d)
( C)
h y( ) =
g x( ) =
f x( ) = 1.7x
(13)*Hàm số bậc bậc (hàm biến) n mx b ax y + + =
+TXĐ: D= R\
− m n
+TCĐ: y ( )d x mn m n x − = ⇒ ∞ = − → : lim
+TCN: ( )
m a y d m a y
x→∞ = ⇒ : =
lim
f(x)=x/(x-1 ) f(x)=1 x (t )=1 , y (t )=t T ?p h ?p
-14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x y m a y= m n x=− I
* Hàm số bậc hai bậc (hàm hữu tỷ)
( ) n mx A x n mx c bx ax y + + + = + + +
= λ µ
+TXĐ: D= R\
− m n
+TCĐ: y ( )d x mn m n x − = ⇒ ∞ = − → : lim
+TCX: lim =
+
∞
→ mx n
A
x ⇒ TCX: y=λx+µ
f(x )=x ^2 /(2 (x -1 )) f(x )=x /2 +1 /2 x (t )=1 , y (t )=t T ?p h ?p
-14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x y µ λ + = x y m n x=− I
1 ( ĐH – A2008 ) Cho hàm số ( ) ( )
2 3 2 2
mx m x
y
x m
+ − −
=
+ , với m tham số thực
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m =1
b Tìm giá trị m để góc hai đường tiệm cận đồ thị hàm số (1) 450.
Lời giải: a Khi m =1: 2
3 x x y x x x + − = = − + + +
TXĐ:D R= { }−3
( ) 2 x x y x + + ′ =
+ y′ =
( ) ( )
1 1
5
x y x y = − − = − ⇔ = − − = −
Tiệm cận: xlim→ −3y= ∞ tiệm cận đứng: x = −3 lim
x→ ∞ x+ = tiệm cận xiên: y = x –
lim , lim
x→ − ∞ y= − ∞ x→ + ∞ y= + ∞ ,xlim→ −3− y= − ∞, limx→ −3+ y= + ∞
Bảng biến thiên
x -5 -1
y' 0
y -9 CT
CĐ -1 -3 − ∞ + ∞ + ∞ + ∞ − ∞ − ∞
b ( )
2 3 2 2
6
2
3
mx m x m
y mx
x m x m
+ − − −
= = − +
+ +
Gọi (Cm) đồ thị hàm số (Cm) có tiệm cận đứng d x1: + 3m= 0và tiệm cận xiên d2: mx y− − =2
1 m m ≠ ∧ ≠ ÷ f(x)=(x^2+x-2)/(x+3) f(x)=x-2 x(t)=-3 , y(t)=t
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2
(14)f(x)=(2x+1)/(1-x) y=3x+1 x(t)=1 , y(t)=t f(x)=-2 Series f(x)=-(1/3)x-13/3
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2
-12 -10 -8 -6 -4 -2 x y N(2;-5) M H Theo giả thuyết ta có: cos 450 2
1 m m = + 2 1 m m ⇔ = + 1 m
⇔ = ⇔ m= ±1 (nhận)
2 Cho hàm số ( ) ( )
2 1 1
mx m x m
y f x
x
+ − + −
= = Tìm m cho đồ thị hàm số f có tiệm cận xiên qua gốc tọa độ
3 Cho hàm số (2 1) ( 1, 0)
ax a x a
y a a
x
+ − + +
= ≠ − ≠
− có đồ thị (C) Chứng minh đồ thị
hàm số có tiệm cận xiên ln qua điểm cố định Cho hàm số ( ) 2
1
x x
y f x
x
− +
= =
− có đồ thị (C)
a Chứng minh tích khoảng cách từ điểm M (C) đến hai đường đường tiệm cận số khơng đổi
b Tìm tọa độ điểm N thuộc (C) cho tổng khoảng cách từ N đến hại tiệm cận nhỏ Cho hàm số ( ) 2
1
x mx
y f x
x
+ −
= =
− có đồ thị (Cm) Tìm m để đường tiệm cận xiên đồ thị hàm
số tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Tìm m để đồ thị hàm số
1 x y x mx + =
+ + có hai tiệm cận đứng x=x1 x=x2 thỏa mãn
1 3 35 x x x x − = ́ − =
7 Cho hàm số 1 x y x + =
− có đồ thị (C)
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b Tìm điểm M thuộc (C) cho tổng khoảng cách từ đến hai đường tiệm cận nhỏ
8 Cho hàm số 2 x y x + =
− có đồ thị (H)
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số
b Viết phương trình tiếp tuyến ∆ (H) giao điểm với trục tung
c Tìm điểm N (xN >1) thuộc (H) cho khoảng cách từ N đến tiếp tuyến ∆ ngắn
HD câu b, c
* Gọi M klà giao điểm (C) với trục tung⇒M( )0;1 Phương trình tiếp tuyến y= 3x+ 1 hay
( )
3x y− + =1 ∆
* Lấy ( 0) ( ) ( )
0
3
; ; ,
1
N x y H N x x
x
∈ − + ÷ >
−
Khi
( ) 0
3
3
1 , 10 x x d N + − + −
∆ = Đặt ( )0 0
3
3
1
g x x
x
= + −
−
( , )min ( )min
d N ∆ ⇔ g x
* Khảo sát hàm ( )0
0
3
3
1
g x x
x
= + −
− khoảng (0;+ ∞ ) ,
( ) ( ) ' g x x = − − , ( ) 0 0 ' x g x x = = =
, (lập bảng biến thiên
…)
* Do x0 > nên ta nhận nghiệm x0 = thay vào N ta
(2; 5)
N − Vậy N(2; 5− ) ( , )min 10
(15)−−−−−−−−−−−−−−−−−
Dạng 10: DIỆN TÍCH − THỂ TÍCH
Ứng dụng tích phân (Dạng thường xuất nhiều đề thi tốt nghiệp)
a Diện tích
Cho hai hàm số y=f(x) y=g(x) có đồ thị (C1), (C2) Diện tích hình phẳng giới hạn (C1),
(C2) hai đường thẳng x=a, x=b tính cơng thức:
( ) ( )
b
a
S= ̣ f x − g x dx
Chú ý:
Nếu diện tích thiếu đường thẳng x=a, x=b
ta phải giải phương trình f(x)=g(x) để tìm a, b
b Thể tích
Thể tích hình phẳng giới hạn {(C):y=f(x),y=0,x=a,x=b} quay quanh Ox tính công thức: = ∫[ ( )]
b a
dx x f
V π
Thể tích hình phẳng giới hạn {(C): x=ξ(y), x=0, y=c, y=d} quay quanh Oy tính cơng thức: = ∫[ ( )]
d
c
dy y
V π ξ
Thể tích trịn xoay hình phẳng giới hạn hai đường y=f(x), y=g(x) quay quanh Ox
(f(x)≥g(x), ∀x∈[a;b]) tính công thức: = ∫{[ ( )] − [ ( )] }
b
a
dx x g x f
V π 2 .
* * * Cho hàm số ( )
2
2
1
m x m
y
x
− −
=
− (1) (m tham số) (ĐH Khối−D
2002)
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) ứng với m=−1 b Tính diện tích hình phẳng giới hạm đường cong (C) hai trục tọa độ c Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y=x
ĐS: b ln4
S = − + , c m≠ Cho hàm số 2
3
x x
y x
− − =
−
a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
b Tính phần diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số trục hoành
Dạng 10 trình bày cụ thể chuyên đề Tích phân−Ứng dụng.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
KHẢO SÁT HÀM SỐ TRONG CÁC ĐỀ THI CHUNG x y
O
f(x
)
g(x) b a
x y
O
f(x
) ξ(x)
b a
y
x c
d
(16)Bài 1 ( ĐH A 02) Cho hàm số y= − +x3 3mx2+ 1( − m x m2) + 3− m2 ( )1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =
b Tìm k để phương trình : − x3+ 3x2+ k3− 3k2 = có nghiệm phân biệt c Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị hàm số (1)
Bài 2 ( ĐH B 02) Cho hàm số y mx= 4+ (m2− 9)x2+10 1( )
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) với m = b Tìm m để hàm số (1) có điểm cực trị
Bài 3 (ĐH D 02) Cho hàm số ( ) ( )
2
1
m x m
y
x
− −
=
−
a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m = -1 (C) b Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) trục toạ độ
c.Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x
Bài 4 (ĐH A 03 ) Cho hàm số ( )
1
mx x m
y
x
+ + =
−
a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m = -1 (C)
b Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ dương
Bài 5 (ĐH B 03 ) Cho hàm số: y x= 3− 3x2+ m ( )1
a Tìm giá trị m để đồ thị hàm số (1) có điểm phân biệt đối xứng qua gốc toạ độ b Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m =
Bài 6 (ĐH D 03 )
a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số ( ) 2 4
1
x x
y x
− +
= −
b Tìm m để đường thẳng dm : y = mx + – 2m cắt đồ thị hàm số điểm phân biệt
Bài 7 ( ĐH A 04 ) Cho hàm số ( ) ( ) 3 3
1
2
x x
y
x
− + −
=
−
a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) điểm A, B cho AB =
Bài 8 ( ĐH B 04 ) Cho hàm số: 2 ( )1
y= x − x + x a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C)
b Viết phương trình tiếp tuyến ( )∆ (C) điểm uốn chứng minh ( )∆ tiếp tuyến (C) có hệ số góc nhỏ
Bài 9 (ĐH D 04) Cho hàm số: y x= 3− 3mx2+ 9x +1 1( )
a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = b Tìm m để điểm uốn đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x +
Bài 10 (ĐH A 05 ) Gọi (Cm) đồ thị hàm số a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = 1/4
b Tìm giá trị m để hàm số (1) có cực trị khoảng cách từ điểm cực tiểu (Cm) đến TCX (Cm)
2
Bài 11 ( ĐH B 05 ) Gọi (Cm) đồ thị hàm số ( ) ( )
2 1 1
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m=
(17)Bài 12 ( ĐH D 05) Gọi (Cm) đồ thị hàm số ( )1
3
m y= x − x + a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =
b Gọi M điểm thuộc (Cm) có hồnh độ -1 Tìm m để tiếp tuyến (Cm) điểm M song song với đường thẳng 5x – y =
Bài 13 (ĐH A 06)
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y= 2x3− 9x2+12x−
b Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt : x3− 9x2+12 x = m
Bài 14 ( ĐH B 06 ) Cho hàm số:
2 1
2
x x
y x
+ − =
+
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số , biết tiếp tuyến vng góc với TCX đồ thị hàm số
Bài 15 ( ĐH D 06) Cho hàm số: y x= 3− 3x+ 2 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b Gọi d đường thẳng qua A(3;20) có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d cắt (C) điểm phân biệt
Bài 16 ( ĐH A 07) Cho hàm số: ( ) ( )
2 2 1 4
1
x m x m m
y
x
+ + + +
=
+
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = -1
b Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu, đồng thời điểm cực trị đồ thị với gốc toạ độ O tạo thành tam giác vuông O
Bài 17 ( ĐH D 07) Cho hàm số: x y
x
= +
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho
b Tìm toạ độ điểm M thuộc (C) ,biết tiếp tuyến (C) M cắt hai trục Ox, Oy A, B tam giác OAB có diện tích
4
Bài 18 (ĐH B 07) Cho hàm số: y= −x3+ 3x2+ 3(m2−1)x− 3m2−1 1( ) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m=
b Tìm m để hàm số (1) có cực đại , cực tiểu điểm cực trị hàm số (1) cách gốc toạ độ O
Bài 19 ( CĐSP HN 02) Cho hàm số: ( )
2 1
1 x mx y
x
+ −
= −
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =1 (C) b.Tìm điểm (C) có toạ độ số nguyên
c Tìm m để đường thẳng y= m cắt đồ thị hàm số (1) điểm phân biệt A, B cho OA vng góc OB
Bài 20 ( CĐSP Vĩnh Phúc 02) Cho hàm số:
2 1
1 x mx y
x
+ −
= −
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =1 (C)
b Xác định m để hàm số đồng biến khoảng (− ∞;1) (v 1;+ ∞ )
c Với giá trị m TCX đồ thị hàm số tạo với trục toạ độ tam giác có diện tích
Bài 21 ( CĐSP Hà Tĩnh 02) Cho hàm số:
2 5
2
x x
y x
+ − =
−
(18)b.Biện luận theo m số nghiệm phương trình :
2 5
2
x x
m x
+ −
= −
Bài 22 (CĐSP Nha Trang 02) Cho hàm số: y x= 3− mx2+ 1( )Cm a Khi m = 3:
1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
2) Tìm đồ thị hàm số tất cặp điểm đối xứng qua gốc toạ độ
b Xác định m để đường cong (Cm) tiếp xúc với đường thẳng (D) có phương trình y= Khi , tìm giao điểm cịn lại (D) với (Cm)
Bài 23 ( CĐ KTKT Hải Dương 02) a.Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
2 x y
x
= −
b Biện luận theo m số nghiệm phương trình :
1 x
m x − =
Bài 24 ( CĐ KTTV 03) Cho hàm số: ( ) ( )
2 1 1
1
x m x m
y
x
− + + +
=
−
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m =
b Chứng minh đồ thị hàm số (1) ln có giá trị cực đại (yCĐ) giá trị cực tiểu (yCT) với m Tìm m để (yCĐ)2 = 2yCT
Bài 25 ( CĐ Điều Dưỡng 04) Cho hàm số: y x= 3− 3x+ 1( ) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1)
b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua A(1;0)
Bài 26 ( CĐSP Hải Phòng 04) Cho hàm số: y= − +x3 3x ( )1 a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = - 9x
Bài 27 ( Cao Sư mẫu1 04) a.Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y= − +x3 3x ( )1
a Tìm max, hàm số y x= 4− 4x2+1 , x∈ −[ 1; 2]
Bài 28 (Cao Sư mẫu3 04) Cho hàm số: y x= 3− 3x2+ 4m
a Chứng minh đồ thị hàm số ln có điểm cực trị Khi xác định m để điểm cực trị thuộc trục hoành
b Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m =
c Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua A(2;0)
d Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) , trục Ox đường thẳng x = 1, x =3
Bài 29 ( CĐSP 04) Cho hàm số:
2 4
1
x x
y x
− + =
−
a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C) b Với giá trị a đường thẳng y= a cắt đồ thị (C) điểm phân biệt
Bài 30 ( CĐSP Bắc Ninh 04)
a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
2 1 x y
x
+ =
b Biện luận theo m số nghiệm phương trình :
2 1 1
x m
x m
+ = +
Bài 31 ( CĐSP Ninh Bình 04) Cho hàm số: y x= 3− 6x2+ 9mx( )1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m=
(19)Bài 32 ( CĐSP Bình Phước 04) Cho hàm số: ( ) ( )
2 2
1
x m x m
y
x
+ + −
=
+
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = -1 b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu
c) Tìm m để đường thẳng y = -x – cắt đồ thị hàm số (1) điểm đối xứng qua đường thẳng y = x
Bài 33 ( CĐSP Kon tum 04) Cho hàm số: ( ) 2 2
1
x x
y
x
− +
= −
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
b Biện luận theo m số nghiệm phương trình : x2− (m+ 2)x m+ + =2
Bài 34 ( CĐSP Hà Nam 04) Cho hàm số: y x= 3+ mx2− −x m C( )m a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m =
b Tìm m để (Cm) cắt trục hồnh điểm phân biệt hoành độ giao điểm lập thành cấp số cộng
c Tìm điểm mà (Cm) qua với m
Bài 35 ( CĐ Giao Thông 04)
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
2 2 1
x x
y
x
+ +
=
b Tìm m để phương trình :
2 log
x m
x
+ + = có nghiệm phân biệt
Bài 36 (CĐ Giao Thông 04) Cho hàm số: ( ) 2 2
1
x x
y
x
− +
= −
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
2 Gọi I giao điểm tiệm cận đồ thị hàm số (1) Hãy viết phương trình đường thẳng qua I cho chúng có hệ số góc nguyên cắt đồ thị hàm số điểm phân biệt đỉnh hình chữ nhật
Bài 37 (CĐ Giao Thông 04) Cho hàm số: ( ) 2 5
1
x x
y
x
+ −
= −
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
b Định m để đường thẳng y = mx cắt đồ thị hàm số (1) điểm phân biệt A, B cho gốc toạ độ O trung điểm AB
Bài 38 ( CĐ KTKT 04) Cho hàm số: y x= + 3x2+ 1( ) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
b Chứng minh đồ thị hàm số có tâm đối xứng
c Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số qua điểm A(0;-1)
Bài 39 (CĐ KTKT 04) Cho hàm số: ( )
2 3
1 m
x mx m
y C
x
− + +
=
+
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = (C)
b Tìm tất điểm thuộc đồ thị (C) có toạ độ số nguyên
c Với giá trị m (Cm) suy biến thành đường thẳng ? Viết phương trình đường thẳng nhận xét đường thẳng có đặc biệt
Bài 40 ( CĐ CKLK 04) Cho hàm số:
2
x x a
y
x a
− + +
= +
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với a =
b Xác định a để đường thẳng y = x – cắt đồ thị hàm số điểm phân biệt
(20)b Tìm m để hàm số ln ln đồng biến (1;+ ∞ )
Bài 42 ( CĐ Công nghiệp 04) Cho hàm số: ( ) 4 4
1
x x
y
x
− + −
=
−
a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C)
b Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C), đường TCX (C) đường thẳng x = 2, x= m (m > 2) Tìm m để diện tích
Bài 43 ( CĐ Xây dựng 04 ) Cho hàm số: ( )
1
1
x m x m
y
x
+ − − +
=
−
a Với giá trị m hàm số cho có cực đại, cực tiểu ? b Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m =
c Định a cho phương trình : 3
1 x
a
x + =− có nghiệm phân biệt
Bài 44 ( CĐ Công nghiệp 04) Cho hàm số: y= −x3+ 3x2− ( )C a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = - 9x
Bài 45 ( ĐH Sư Phạm TPHCM D 00)
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số ( ) 3 3
1
x x
y C
x
+ +
= +
b Tìm điểm A, B nhánh khác (C) cho độ dài AB
Bài 46 ( CĐ Đà Nẵng 04) Cho hàm số: ( )
2 1
1 x x y
x
− + =
−
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vng góc với TCX
Bài 47 ( CĐ Lương thực Thực phẩm 04)
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y x= 3+ 3x2+
b Tìm m để phương trình : x3+ 3x2+ − =m có nghiệm phân biệt c Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua A(0;1)
Bài 48 ( CĐ TCKT 04) Cho hàm số: ( )
2
2 10
1
x x
y C
x
− +
=
− +
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
b Định m để đường thẳng (d): mx – y – m = 0cắt đồ thị (C) điểm phân biệt A, B Xác định m để AB ngắn
c Tìm t để phương trình :
2
2 10
log
1
x x
t x
− + −
+ =
− có nghiệm phân biệt
Bài 49 ( CĐ Y tế Nghệ An 04) Cho hàm số: y x= 3− mx m+ − 2 a)Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m =
b)Gọi (Cm) đồ thị hàm số cho Chứng tỏ tiếp tuyến (Cm) điểm uốn ln qua điểm cố định m thay đổi
Bài 50 ( CĐ Khối A 05) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số ( ) 2 2
1
x x
y
x
− +
= −
b.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
15
x y= +
Bài 51 ( CĐ Xây dựng số 05) Cho hàm số: ( )
m
x x m
y C
x m
− + +
(21)a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = b.Xác định m để đường TCX (Cm) qua điểm A(3;0)
b Với giá trị m (Cm) cắt đường thẳng (d): y = x – điểm phân biệt
Bài 52 ( CĐ GTVT 05) Cho hàm số: ( ) 3
1
x x
y
x m
− =
−
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) với m =-1
b Tìm m để hàm số đồng biến [1;+ ∞ )
Bài 53 ( CĐ KTKT 05) Cho hàm số: ( )1 x y
x
+ =
+
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) b Chứng minh đường thẳng
2
y= x m− cắt (C) điểm phân biệt A B Xác định m cho AB
Bài 54 ( CĐ TCKT 05) Cho hàm số: y= − x3+ 3x+ 1( )
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) b Tìm diện tích hình phẳng giới hạn (C) trục hồnh
b Tìm m để phương trình : x3− 3x+ 2m − =6
có nghiệm phân biệt
Bài 55 ( CĐ Truyền hình 05) Cho hàm số: ( )
( ) ( )
2 2 1 4
1
x m x m m
y
x m
+ + + + +
=
+
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =
b Tìm m để hàm số (1) có cực trị tính khoảng cách điểm cực trị (1)
Bài 56 ( CĐ SP TPHCM 05) Cho hàm số ( ) x
y C
x
+ =
−
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C)
b Xác định m để đường thẳng d : y = 2x +m cắt (C) điểm phân biệt A, B cho tiếp tuyến (C) A B song song với
Bài 57 ( CĐ KTKT Cần thơ 05) Cho hàm số ( )
( ) ( )
2
3
1
m x m m
y
x m
− − +
=
+
a Với giá trị m hàm số đồng biến khoảng thuộc tập xác định b Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =
Bài 58 ( CĐ SP Vĩnh Long 05) Cho hàm số ( ) 2 1
1
x mx
y
x
+ −
=
−
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =
b Tìm m để đường thẳng y = 2m cắt đồ thị hàm số (1) điểm phân biệt M N cho OM vng góc với ON
Bài 59 ( CĐ Bến Tre 05) Cho hàm số ( ) ( )
2 2 4 4 1
1
mx m x m
y
x
+ − + +
=
−
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =
b Tìm giá trị m cho hàm số (1) có cực trị giá trị cực trị trái dấu
Bài 60 .( CĐ SP Sóc Trăng 05) Cho hàm số ( )
2 1 2
1
x m x
y
x
+ − +
=
−
a Xác định m để hàm số đạt cực trị x1, x2 cho x1.x2 = -3 b Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =
c Biện luận theo k số nghiệm phương trình : x2+ + =x (k+1)x k− −1
Bài 61 ( CĐ Cộng Đồng Vĩnh Long 05) Cho hàm số ( )
m
x mx m
y C
x
− +
=
(22)b Tìm giá trị m cho từ điểm M(2;-1) kẻ đến (Cm) tiếp tuyến khác
Bài 62 ( CĐ Công nghiệp HN 05) Cho hàm số ( )
2 1
1
x x
y x
− + =
−
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
b Dựa vào đồ thị hàm số (1), vẽ đồ thị hàm số :
2 1
1
x x
y x
− +
= −
Bài 63 ( CĐ SP Hà Nam 05) Cho hàm số y= − +x3 3x− 2 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C)
b Viết phương trình tiếp tuyến (C) , biết tiếp tuyến qua A(-2;0)
c Biện luận theo m số nghiệm phương trình : x3− 3x+ +2 log2m= 0,m>
Bài 64 ( CĐ KT TC 05) Cho hàm số y x= 3− 3x m+ ( )1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b Tìm giá trị m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc Ox
Bài 65 ( CĐ SP Vĩnh Phúc 05) Cho hàm số
2 2 2
x x
y
x
− +
= −
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
b Biện luận theo m số nghiệm phương trình :
2 2 2 2 2
1
x x m m
x m
− + = − +
− −
Bài 66 ( CĐ SP Hà Nội 05) Cho hàm số ( ) 2 2
1
x x
y C
x
− +
= −
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
b Tìm toạ độ điểm A, B (C) đối xứng qua đường thẳng x – y +4 =
Bài 67 ( CĐ SP Kon Tum 05) Cho hàm số ( )
1
x x
y x
− +
= +
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C)
b Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) trục Ox c Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) trục Ox
Bài 68 ( CĐ Đà Nẵng 05) Cho hàm số y x ( )1 x
= + +
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C)
b Dùng đồ thị (C), tìm m để phương trình : 2( )
2 log
x m
x
+ + = − có nghiệm phân biệt
Bài 69 ( CĐ SP Quảng Nam 05)
1 Cho hàm số ln 2005 ( 0) 16
y x
x
= >
+ `
a Tính đạo hàm hàm số
b Chứng tỏ với x > 0, ta có : 2005(xy'+ 1) = 7ey
2 Cho hàm số y= (m2+1)x3− 3(m2+1)x Tìm m để tung độ điểm cực tiểu đồ thị hàm số nhận giá trị lớn Với m đó, nhận xét tung độ điểm cực đại
Bài 70 ( CĐ Y Tế Thanh hoá 05) Cho hàm số ( ) ( ) ( )
2
1 2
1
m x mx m m
y
x m
+ − − − −
=
−
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m =
b Xác định giá trị m để hàm số (1) có hồnh độ điểm cực trị thuộc khoảng (0;2)
(23)a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 1 y x
x
= + + +
b Chứng minh với a≠ − −2, ; từ điểm A(a;0) Ox kẻ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số
c Tìm a cho tiếp tuyến nói vng góc với
Bài 72 ( CĐ SP Quảng Ngãi 05) Cho hàm số ( )
2 1 1
1
x m x m
y
x
− + + +
=
−
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =
b Chứng minh với m đồ thị hàm số (Cm) ln có điểm cực đại, cực tiểu
Bài 73 ( ĐH A 08) Cho hàm số ( ) ( )
2 3 2 2
mx m x
y
x m
+ − −
=
+
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =
b Tìm giá trị m để góc đường tiệm cận đồ thị hàm số (1) 450
Bài 74 ( ĐH B 08) Cho hàm số y= 4x3 − 6x2+1 1( ) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1)
b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến qua điểm M(-1;-9)
Bài 75 ( ĐH D 08) Cho hàm số y x= − 3x2+ 1( ) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1)
b Chứng minh đường thẳng qua điểm I (1;2) với hệ số góc k > -3 cắt đồ thị hàm số (1) điểm phân biệt I, A, B đồng thời I trung điểm AB