De thi chon HSG Lop 12

SÔÛ GIAÙO DUÏC & ÑAØO TAÏO LONG AN Coäng Hoøa Xaõ Hoäi Chuû Nghóa Vieät Nam Tröôøng THPT Nguyeãn Thoâng Ñoäc Laäp-Töï do-Haïnh Phuùc.. Viết phương trình đường tròn c[r]

(1)

SỞ GIÁO DỤC & ĐAØO TẠO LONG AN Cộng Hòa Xã Hội Chủ Nghĩa Việt Nam Trường THPT Nguyễn Thông Độc Lập-Tự do-Hạnh Phúc

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN

NĂM HỌC : 2012-2013 THỜI GIAN : 120 phút ( không kể phát đề)

Câu (2,0 điểm) Cho hàm số yx3 3mx2 3(m21)x m 34m 1 có đồ thị (C) Tìm m để (C) có hai điểm cực trị A,B với gốc O tạo thành tam giác vuông O

Câu (2,0 điểm) Trong mặt phẳng có hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C1) : x2y2 4, (C2):

2 12 18 0

x y  x  đường thẳng d: x y  0 Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc (C2), tiếp xúc với d cắt (C1) hai điểm phân biệt A B cho AB vng góc với d

Câu (2,0 điểm) Cho n số nguyên dương thỏa mãn 5Cn 1n C3n Tìm số hạng chứa x5 khai triển

nhị thức Niu-tơn

n nx

, x 14 x

 

   

 

  .

Câu (2,0 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Trên cạnh BC DD’ lần lượt lấy điểm M N cho BM=DN=x (0 x a) Chứng minh MNAC’ tìm x để MN có độ dài nhỏ

Câu (2,0 điểm) Cho ba số thực không âm x,y,z thỏa mãn x2013y2013z20133 Tìm giá trị lớn biểu thức Ax2y2z2

ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm).

Điều kiện để hàm số có cực trị y’=0 có hai nghiệm phân biệt :

2 x m

y ' 3x 6mx 3(m 1)

x m

 



         

 

 (0,5 điểm)

Ta có :

1

y y '( x ) 2x 3m 3

    

(0,5 điểm)

Gọi A,B hai điểm cực trị A(m 1;m 3), B(m 1;m 1)    (0,5 điểm) Do : OA(m 1;m 3), OB  (m 1;m 1) 

 

để :

2 m

OA.OB 2m 2m

m

 

      

   

(0,5 điểm) Kết luận : Có hai giá trị cần tìm m =-1 m=2

Câu (2,0 điểm) Phương trình đường trịn (C) : x2 y2  2ax 2by c 0 Phương trình đường thẳng AB : 2ax 2by c 4 (0,5 điểm)

 AB có vtcp vv (b;-a) Đường thẳng (d) có vtcp u(1;1) v

( )d AB  u vvv 0  a b (1) (0,5 điểm) d(I,d) =

2

4 a b

a b c

 

  

 = 2a2 – c (2) (0,5 điểm)

2 2

( ) 12 18 (3)

I C  a b  a  Thế (1) vào (3) ta có : a b 3

Thế a b 3 vào (2) ta có : c = 10

(2)

Cách khác : Gọi I (a;b) ( )C2 ; đường tròn tâm I cắt (C1) tâm O A, B cho AB ( )d

Mà IOAB IOP( )d Vậy d(I/d) = d(O/d) = 2= R (0,5 điểm)

Ta có :

2 12 18 0

4

a b a

a b             2 2

12 18 (1)

12 18 (2)

a b a

a b

a b a

a b                       

 (0,5 điểm)x2

Hệ (1) a 7 2;b 1 2; (loại) I O phải phía so với (d) Hệ (2) a b 3 a2 6a 9  a3

Phương trình đường tròn : (x 3)2(y 3)2 8 (0,5 điểm) Câu (2,0 điểm)

    n

n n

n n n

5C C 5n

6

  

  

7 n

  (vì n nguyên dương) (0,5 điểm)

Khi

n 7 k k k k

2 7

k 14 3k

7 7 k

k k

( 1) C

nx x x

C x

14 x x x 2

                                   

        (0,5 điểm)

Số hạng chứa x5 tương ứng với : 14 3 k 5 k3

(0,5 điểm) Vậy số hạng cần tìm là:

3

5

7

( 1) 35

16   C x x

(0,5 điểm) Câu (2,0 điểm)

Đặt AA '  a, AB  b, AD c | a | | b | | c | a    ;AC   a b c;

x BM c a    x DD ' a

a



 

(0,5 điểm) Khi :

x x x x

MN MB BA AD DN c b c a a b (1 )c

a a a a

                                                                                         (0,5 điểm) Suy :

2

2 2

2

x x x x

MN.AC ' [ a b (1 )c](a b c) a a (1 ) a

a a a a

                                             (0,5 điểm) Vậy : MN vng góc với AC’

Ta có :

2 2

2 2 2 2 2 2

2

x x x 6a 6a

MN a a (1 ) a 2( )

a a 4

a

       



Do :

MN ngắn

a

x a

0 x

a    2 (tương ứng M,N trung điểm BC DD’) (0,5 điểm)

Câu (2,0 điểm) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2013 số gồm 2011 số số x2013 ta :

2013 2013

2 2013 2013

1 x x

x x 2013         Tương tự :

2013 2013

2 2013 2013

1 y y

y y

2013



    

(3)

2013 2013

2 2013 2013

1 z z

z z

2013



    

 

(0,5 điểm)x2 Cộng bất đẳng thức ta :

2013 2013 2013 2 2011 2(x y z )

x y z

2013

   

   

(0,5 điểm) Dấu xảy x=y=z=1

Vậy : Gía trị lớn A=3 x=y=z=1 (0,5 điểm)

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO LONG AN Cộng Hịa Xã Hội Chủ Nghĩa Việt Nam Trường THPT Nguyễn Thông Độc Lập-Tự do-Hạnh Phúc

2 12 18 0

x y  x  đường thẳng d: x y  0 Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc (C2), tiếp xúc với d cắt (C1) hai điểm phân biệt A B cho AB vng góc với d

n nx

, x 14 x

 

   

 

  .

Câu (2,0 điểm) Cho ba số thực khơng âm x,y,z thỏa mãn x2013y2013z20133 Tìm giá trị lớn biểu thức Ax2y2z2

HẾT

SỞ GIÁO DỤC & ĐAØO TẠO LONG AN Cộng Hòa Xã Hội Chủ Nghĩa Việt Nam Trường THPT Nguyễn Thông Độc Lập-Tự do-Hạnh Phúc

2 12 18 0

(4)

n nx

, x 14 x

 

   

 

  .

Câu (2,0 điểm) Cho ba số thực không âm x,y,z thỏa mãn x2013y2013z20133 Tìm giá trị lớn biểu thức Ax2y2z2