Đề và HDC môn Toán thi chọn HSG lớp 9 vòng huyện NH 2018-2019

H,I,K lần lượt là tiếp điểm của các cạnh AB,AC và BC với đường tròn (O).[r]

UBND HUYỆN HÒA BÌNH

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO (Đề gồm 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN NĂM HỌC 2018 -2019

MƠN : TỐN LỚP : 9

Thời gian : 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

ĐỀ Câu 1: (5 điểm)

a) Chứng minh A= a3 – 7a + 12 chia hết cho với số aZ b) Chứng minh tích bốn số tự nhiên liên tiếp cộng ln số phương

Câu 2: ( điểm )

a) Giải phương trình

3x 6x7 + 5x210x14 = – 2x – x2

b) Giải hệ phương trình:

¿

x2− y2=1 − xy

x2

+y2=3 xy +11

¿{

¿

Câu 3: ( điểm )

a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x 2018 + 2019 x b) Cho x,y,z số thực dương x+y+z = Chứng minh rằng:

√x+yz+√y +zx +√z+xy ≥1+√xy+√yz+√zx

Câu 4: ( điểm ) Cho tam giác ABC đường trịn (O) nội tiếp tam giác Gọi

H,I,K tiếp điểm cạnh AB,AC BC với đường tròn (O) Trên cạnh AB, AC lấy điểm M N cho BM + CN = BC

a) Chứng minh

 1  

2

KHI  BAC ABC

b) Chứng minh tam giác OMN tam giác cân

c) Xác định vị trí điểm M AB cho đoạn MN ngắn

-Hết -UBND HUYỆN HÒA BÌNH

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN NĂM HỌC 2018 -2019

MÔN : TOÁN LỚP : 9

Thời gian : 150 phút

HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1: (5 điểm)

a) Ta có: A= a3 – 7a + 12 = a3 – a – 6a + 12 (0,5đ) = a(a2 – 1) – 6(a – 2) (0,25đ)

= a(a – 1)(a + 1) – 6(a – 2) (0,25đ) Vì a(a – 1)(a + 1) tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho (0,5đ)

Mặt khác 6(a – 2)6 (0,25đ)

Vậy A  với số aZ (0,25đ) b) Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp n, n+1, n+2, n+3 n N  (0,25đ) Ta có: n n 1 n2 n3 1 n n 3 n1 n2 (0,5đ) = n23n n  23n21 (0,5đ) Đặt n23n t (0,5đ) Thì n23n n  23n21= t (t +2)+1 (0,25đ) = t2+2 t+1=(t+1)2 (0,25đ) =  

2 3 1

n  n

(0,25đ)

Vì nN nên n2 + 3n + 1N (0,25đ)

Vậy n n 1 n2 n31 ln số phương (0,25đ)

Câu 2: ( điểm )

a) Giải phương trình

3x 6x7 + 5x210x14 = – 2x – x2

Ta có: 3x26x 6 1 + 5x210x 5 9 = – (x2+2x+1) (0,5đ)

2

3(x 1) 4 + 5(x 1)29 = – (x+1)2 (0,25đ)

VT = 3(x 1)24 + 5(x 1)29  5 (0,25đ) Đẳng thức xảy x = –1

VP = – (x+1)2  5 (0,25đ)

Đẳng thức xảy x = –1 (0,25đ)

Vậy: x = –1 nghiệm phương trình (0,25đ)

b)

¿

x2− y2=1 − xy

x2+y2=3 xy +11

¿{

¿

⇔

¿

11(x2+xy − y2)=11

x2−3 xy+ y2=11

¿{ ¿ (0,25đ) ⇔ ¿ x2

+xy − y2=1 11(x2

+xy − y2)=x2− xy + y2

¿{ ¿ (0,5đ) ⇔ ¿ x2

+xy − y2=1 ( x+ y ) (5 x −3 y )=0

¿{

¿

(0,5đ)

⇔

¿x2+xy − y2=1

x+2 y=0

(I )

¿ ¿

x2+xy − y2=1

¿

5 x − y=0

¿ ¿ (II) ¿ ¿ ¿ (0,5đ)

Giải hệ PT (I)

x+2y = ⇔ x= -2y ⇔ 3y2=1+2y2 ⇔ y2=1

ta hai nghiệm là: (2;-1) (-2;1) (0,5đ) Giải hệ PT (II)

5x-3y = ⇔ x = 5y ⇔

2

16

1

25 y 5y



  ⇔

25y 



(vô lý)

Hệ PT vô nghiệm (0,5đ) Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: (2;-1) (-2;1) (0,25đ)

Câu 3: ( điểm )

a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x 2018 + 2019 x

A có nghĩa 2018x2019 (0,25đ)

A0 A   x    x 

2 1 2 2018 2019 1

(0,5đ)

A

  (0,25đ)

Vậy: MinA = x=2018 x= 2019 (0,5đ)

b) Vì x+y+z = áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

       2

x yz x x y z    yz x xy xz yz   x y x z   x yz

(0,5đ) ⇒√x+yz ≥ x+√yz (0,5đ)

Tương tự ta có: √y+zx ≥ y +√zx (0,5đ)

√z+xy ≥ z +√xy (0,5đ)

Cộng vế BĐT ta có:

x yz  y zx  z xy    x y z yz zx xy (0,5đ) Suy ra: √x+yz+√y +zx +√z+xy ≥1+√xy+√yz+√zx (0,5đ)

Câu 4: ( điểm ) Vẽ hình (0,25đ)

a) Ta có: KHI  2KOI 

( hệ góc nội tiếp) (0,25đ) KOI KCI  1800 ( Tứ giác OICK nội tiếp đường trịn) (0,25đ) Mà Δ ABC có BAC ABC ACB   1800

   (0,25đ) Do KOI BAC ABC  (vì KCT ACB) (0,25đ) Vậy

 1  

2

KHI  BAC ABC

Xét ΔHOM ΔION có: OH = OI , HM = IN , O ^H M=O ^I N=900 (0,25đ)

Do ΔHOM = ΔION ( c-g-c) (0,25đ) Nên OM = ON Suy ΔMON cân O (0,25đ)

c) Ta có : ΔMON cân O , ΔHOI cân O, M ^O N=H ^O I (0,25đ)

Do ΔOMN đồng dạng ΔOHI (g- g) (0,25đ)

Suy MNHI =OM

OH mà OM ≥OH ( OH⊥ HM¿ (0,25đ)

Do MNHI ≥ 1⇔ MN ≥ HI (0,25đ) Dấu " = ” xảy ⇔ H ≡ M , N ≡ I (0,25đ) Vậy độ dài đoạn thẳng MN ngắn HI  H ≡ M , N ≡ I (0,25đ)

HẾT