Chuyen de boi duong HSG Toan 8doc

Chöùng minh raèng neáu x, y laø caùc soá nguyeân vaø A chia heát cho 13 thì B chia heát cho 13.. Ngöôïc laïi neáu B chia heát cho 13 thì A cuõng chia heát cho 13..[r]

(1)

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN

V× sù nghiƯp gi¸o dơc

1 Chun đề : Đa thức

1 Chuyên đề : Đa thức

Bài 1: Tính giá trị biểu thức: a A = 4−17 3+17 2−17 +20

x x x x taïi x = 16

b B = x5−15x4+16x3−29x2+13x taïi x = 14 c C = 14 10 13 10 12 10 11 10 10 10

x − x + x − x + + x − x+ taïi x =

d D = 15 8 14 8 13 8 12 8 8 5

x − x + x − x + − x + x− taïi x =

Bài 2: Tính giá trị biểu thức:

a M = 1 3650 4

315 651 105 651 315.651 105− − + b N = 546

547 211 547 211 547.211− − Bài 3: Tính giá trị biểu thức:

a A = x3

(

x

y

)

y

(

x

y

)

y

b M.N với x =2.Biết rằng:M = −2x2+3x+5; N = x2− +x Bài 4: Tính giá trị đa thức, biết x = y + 5:

a x x

(

)

y y

(

)

xy

(

)

x +y y− x +

Bài 5: Tính giá trị đa thức:

(

) (

)

x +y −y xy− −x y bieát x+ y = -p, xy = q

Bài 6: Chứng minh đẳng thức:

a

(

x a x b

)(

) (

x b x c

)(

) (

x c x a

)(

)

ab bc ca x

b 2bc b+ 2+c2−a2=4p p a

(

)

Baøi 7:

a Số a gồm 31 chữ số 1, số b gồm 38 chữ số Chứng minh ab – chia hết cho

b Cho số tự nhiên a b số a gồm 52 số 1, số b gồm 104 số Hỏi tích ab có chia hết cho khơng? Vì sao?

Bài 8: Cho a + b + c = Chứng minh M = N = P với: M=a a b a c

(

)(

)

N

b b c b a

(

)(

)

P

c c a c b

(

)(

)

Bài 9: Cho biểu thức: M =

(

)(

) (

)(

) (

)(

)

x a x b− − + x b x c− − + x c x a− − +x Tính M theo

a, b, c, biết 1

2 2

x= a+ b+ c

Bài 10: Cho biểu thức: A = 15x – 23y ; B = 2x + 3y Chứng minh x, y số nguyên A chia hết cho 13 B chia hết cho 13 Ngược lại B chia hết cho 13 A chia hết cho 13

(2)

TRƯỜNG THCS TH TRN

Vì nghiệp giáo dục

b Chứng minh rằng: Nếu số nguyên x, y thỏa mãn 5x + 2y chia hết cho 17 9x + 7y chia hết cho 17

Bài 12: Chứng minh rằng:

a 81 277− 9−913 chia heát cho 405 b 122 1n+ +11n+2 chia hết cho 133 Bài 13: Cho dãy số 1, 3, , 10, 15,…,

(

)

2

n n+ , …

Chứng minh tổng hai số hạng liên tiếp dãy số phương

2

2 Chuyên đ

Chuyên đ

Chuyên đềềềề:

Chuyên đ

:

: Biển đổi biểu thức nguyên

:

Biển đổi biểu thức nguyên

I Một số đẳng thức (a ± b)2 = a2± 2ab + b2 ;

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ;

2

1 n

(a +a + + a ) =

= + 2+ + + + + + + + + + + −

1 n n n n n

a a a 2(a a a a a a a a a a a a ); (a ± b)3 = a3± 3a2b + 3ab2± b3 = a3± b3± 3ab(a ± b);

(a ± b)4 = a4± 4a3b + 6a2b2± 4ab3 + b4 ;

3 a2 – b2 = (a – b)(a + b) ;

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ;

an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2b + an – 3b2 + … + abn – 2 + bn – 1) ;

4 a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b5) ;

a2k + 1 + b2k + 1 = (a + b)(a2k – a2k – 1b + a2k – 2b2 – … + a2b2k – 2 – ab2k – 1 + b2k) ;

II B¶ng c¸c hƯ sè khai triĨn (a + b)n – Tam giác Pascal

Đỉnh

Dòng (n = 1) 1

Dßng (n = 2)

Dßng (n = 3) 3

Dßng (n = 4)

Dßng (n = 5) 10 10

Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm số ; dòng k + đợc thành lập từ dòng k (k 1), chẳng hạn dòng ta cã = + 1, ë dßng ta cã = + 1, = + 2, ë

dßng ta cã = + 3, = + 3, = + 1, …Khai triĨn (x + y)n thµnh tỉng hệ

số hạng tử số dòng thứ n bảng Ngời ta gọi bảng tam giác Pascal, thờng đợc sử dụng n không lớn Chẳng hạn, với n = :

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

và với n = :

(3)

II C¸c vÝ dơ

Ví dụ 1 Đơn giản biểu thức sau :

A = (x + y + z)3 – (x + y – z)3 – (y + z – x)3 – (z + x – y)3

Lêi gi¶i

A = [(x + y) + z]3 – [(x + y) – z]3 – [z – (x – y)]3 – [z + (x – y)]3

= [(x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3] – [(x + y)3 – 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 –

z3] – [z3 – 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 – (x – y)3] – [z3 + 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 +

(x – y)3] = 6(x + y)2z – 6z(x – y)2 = 24xyz VÝ dô 2 Cho x + y = a, xy = b (a2

≥ 4b) TÝnh gi¸ trị biểu thức sau :

a) x2 + y2 ; b) x3 + y3 ; c) x4 + y4 ; d) x5 + y5

Lêi gi¶i a) x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b

b) x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab

c) x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 – 4a2b + 2b2

d) (x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x + y)

Hay : (a2 – 2b)(a3 – 3ab) = (x5 + y5) + ab2⇒ x5 + y5 = a5 – 5a3b + 5ab2 Chó ý : a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a3)2 + (b3)2

a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) a3b3(a + b) = (a2 + b2)(a5 + b5) a2b2(a3 + b3)

Ví dụ 3 Chứng minh đẳng thức :

a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) ;

b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)

Lêi gi¶i

a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3abc – 3a2b – 3ab2

= (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c)

= (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab]

= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)

b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = [(a + b + c)3 – a3] – (b3 + c3)

= (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] – (b + c)(b2 – bc + c2)

= (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)]

= 3(a + b)(b + c)(c + a) VÝ dô Cho x + y + z =

Chøng minh r»ng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2)

Lời giải Vì x + y + z = nªn x + y = –z ⇒ (x + y)3 = –z3

Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3⇒ 3xyz = x3 + y3 + z3

Do : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2)

= x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2)

Mµ x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = z2 – 2xy (v× x + y = –z) T−¬ng tù :

y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx

V× vËy : 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) + z3(z3 –

2xy) = 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2)

(4)

V× nghiệp giáo dục

Bài tập:

1 Cho a + b + c = vµ a2 + b2 + c2 = 14

TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc : A = a4 + b4 + c4

2 Cho x + y + z = vµ xy + yz + zx = Tính giá trị biểu thức : B = (x – 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009

3 Cho a2 – b2 = 4c2 Chøng minh r»ng : (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) = (3a –

5b)2

4 Chøng minh r»ng nÕu:

5 (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = (x + y – 2z)2 + (y + z – 2x)2 + (z + x – 2y)2

th× x = y = z

6 a) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 vµ x, y khác a b

x= y b) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2

và x, y, z khác a b c x= y= z

7 Cho x + y + z = Chøng minh r»ng :

a) 5(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 6(x5 + y5 + z5) ;

b) x7 + y7 + z7 = 7xyz(x2y2 + y2z2 + z2x2) ;

c) 10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5)

8 Chứng minh đằng thức sau :

a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 ;

b) x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2

9 Cho c¸c sè a, b, c, d tháa m·n a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c + d)2

Chøng minh r»ng : a4 + b4 + (a + b)4 = c4 + d4 + (c + d)4

10 Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 =

Tính giá trị biểu thức : C = a2 + b9 + c1945

11 Hai số a, b lần lợt thỏa mÃn hÖ thøc sau :

a3 – 3a2 + 5a – 17 = vµ b3 – 3b2 + 5b + 11 = H·y tÝnh : D = a + b

12 Cho a3 – 3ab2 = 19 vµ b3 – 3a2b = 98 H·y tÝnh : E = a2 + b2

13 Cho x + y = a + b vµ x2 + y2 = a2 + b2 Tính giá trị biểu thøc sau :

a) x3 + y3 ; b) x4 + y4 ; c) x5 + y5 ; d) x6 + y6 ;

e) x7 + y7 ; f) x8 + y8 ; g) x2008 + y2008

3 Chuyên đề:

(5)

TRNG THCS TH TRN

I- Phơng pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác:

Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

2

, d , 3 , e , , f ,

, h , , k ,

a x x x x

b x x x x

c x x x x

g x x x x

i x x x x

− + − +

− + + −

+ + − −

− + + +

−

Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

(a thc ó cho có nhiệm nguyên nghiệm hữu tỉ)

II- Phơng pháp thêm bớt hạng tử

1) Dạng 1: Thêm bớt hạng tử làm xuất đẳng thức hiệu hai bình ph−ơng: A2 - B2 = (A - B)(A + B)

Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

2) Dạng 2: Thêm bớt hạng tử làm xuất thừa số chung

3

1,

5

8

4 2,

2

3

3,

5

8

4 4,

7

6

5,

9

6

16 6, 4

13

9

18

7,

4

8

8 8,

6

1

x

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

3

9, 6

486

81 10,

7

6

11,

3

2 12,

5

3

9

13,

8

17

10 14,

3

6

4

15,

2

4 16, 2

x

−

+

−

+

−

+

−

3

12

17

2

17,

4 18,

3

2

19,

9

26

24 20, 2

3

1

21, 3

14

4

3 22,

2

1

x

−

+

−

+

−

+

−

+

+ +

(

)

2 2

4

4 4

1, (1 ) (1 ) 2, 36 3, 4, 64 5, 64 6, 81 7, 81 8, 64 9, 10,

x x x x

x x

x x y

x y x x

+ − − − +

+ +

(6)

Bài 1

III- Phng phỏp i bin

Bài 1:Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

IV- Phơng pháp xét giá trị riêng

Phng phỏp: Trc ht ta xác định dạng thừa số chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể để xác định thừa số lại

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tư:

Gi¶i

a, Gi¶ sư thay x bëi y th× P = 2

( ) ( )

y y−z +y z−y =

Nh− vËy P chøa thõa sè x – y

Ta lại thấy thay x y, thay y z, thay z x P khơng đổi(ta nói đa thức P hốn vị vịng quanh biến x, y, z) Do P chúa thùa số x – y chúa thừa số y – z, z – x Vậy P phải có dạng

P = k(x – y)(y – z)(z – x).Ta thấy k phải số(không chúa biến) P có bậc tập hợp biến x, y, z cịn tích (x – y)(y – z)(z – x) có bậc ba tập hợp biến x, y, z Vì đẳng thức

7

5

8

5 10

1,

1 2,

1

3,

1 4,

1

5,

1 6,

1

7,

1 8,

1

x

+ +

− −

+ −

+ +

2 2 2 2

2

4

1, ( 4)( 6)( 10) 128 2, ( 1)( 2)( 3)( 4) 24 3, ( 8) ( 8) 4, ( ) 4 12 5, 2 15 6, ( )( )( )( ) 7, 11

x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

x xy y x y x a x a x a x a a

x x

+ + + + + + + + −

+ + + + + + + + + −

+ + + + − + + + + +

− 2 2

2 2 2

2

3 8, ( ) 3( ) 9, 3 10 10, ( ) 18 20 11, 4 35 12, ( 2)( 4)( 6)( 8) 16

x x x x

x xy y x y x x x x

x xy y x y x x x x

+ + + + +

− + + − − + + + +

− + − + − + + + + +

4

2 2 2

1,

2, ( )( ) ( )

x x x x

x y z x y z xy yz zx

+ + − +

+ + + + + + +

2 2

, P = (

)

(

)

(

)

, Q = (

)

(

)

(

)

(

) (

)(

)

a

x y z

y z x

z x y

b

a b c a

b c a b

c a b c

a b c b c a c a b

− +

−

+ −

+

+ −

+

+ −

+ + −

+ −

2 2

(7)

TRƯỜNG THCS THỊ TRN

ỳng vi mi x, y, z nên ta gán cho biến x, y, z giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z =

ta đợc k = -1

VËy P =- (x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z)

Các toán Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

2 2

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

M =a b c a+ − +b c+ −a b +c a b c+ − + a b c b c a c+ − + − + −a b

2 2

( ) ( ) ( )

N =a m a− +b m b− +c m c− −abc, víi 2m = a+ b + c

Bi 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

3

2 2 2

3 3

2

) ( )( ) ) ( ) (2 )

) ( ) ( ) ( )

) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ) ( ) ( ) ( ) ( 1)

) ( ) ( ) ( ) ) (

a A a b c ab bc ca abc

b B a a b b a b

c C ab a b bc b c ac a c

d D a b a b b c b c c a c a

e E a c b b a c c b a abc abc

f f a b c b c a c a b

g G a b a b

= + + + + −

= + − +

= + − + + −

= + − + + − + + −

= − + − + − + −

= − + − + −

= − 2 2

4 4

) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( )

b c b c a c c a

h H a b c b c a c a b

+ − + −

= − + − + −

V-Ph−ong pháp hệ số bất định

Bi 1: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư:

4

2

4

) 12 14 ) 4

) 22 11 37 10 ) 14

) 63

a A x x x x

b B x x x x

c C x xy x y y

d D x x x x

e E x x

= − + − +

= + + + +

= + + + + +

= − + − +

= − +

Bài tập:

Ví dụ Phân tích biểu thức sau thành nhân tử :

A = x3 – 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3)

Lời giải Đặt S = a + b P = ab, th× a2 + b2 = S2 2P

− ; a3 + b3 = S3 3SP

− V× vËy : A = x3 – 3(S2 2P

− )x + 2(S3 3SP

− ) = (x3 S ) (3S x 3S )3 (6Px 6SP)

− − − + −

= (x S)(x2 Sx S ) 3S (x S)2 6P(x S)

− + + − − + −

= (x S)(x2 Sx 2S2 6P)

− + − +

= (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a + b)2 + 6ab]

= (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a2

(8)

b) x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + ;

c) (x2 - x + 2)2 + (x - 2)2 ;

d) 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + ;

e) x6 + 3x5 + 4x4 + 4x3 + 4x2 + 3x +

f) x8 + x4 + 1;

g) x10 + x5 + ;

h) x12 + ;

i) (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3 ;

k) (x + y + z)5 - x5 - y5 - z5

4.

4 Chuyên đề

Chuyên đề

: Xác định đa thức

Xác định đa thức

Xác định đa thc

* Định lí Beout (BêZu) ứng dụng: 1) Định lí BêZu:

D phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a f(a) (giá trị f(x) x = a): f(x)=(x−a)q(x)+ f(a)

(Beout, 1730 - 1783, nhµ toán học Pháp)

Hệ quả: Nếu a nghiệm đa thừc f(x) f(x) chia hết cho x - a

áp dụng: Định lí BêZu dùng để phân tích đa thức thành nhân tử Thực nh− sau:

B−ớc 1: Chọn giá trị x = a thử xem x = a có phải nghiệm f(x) không

B−ớc 2: Nếu f(a) = 0, theo định lí BêZu ta có: f(x)=(x−a)p(x) Để tìm p(x) thực phép chia f(x) cho x - a

B−ớc 3: Tiếp tục phân tích p(x) thành nhân tử cịn phân tích đ−ợc Sau viết kết cuối cho hợp lí

Dạng 1: Tìm đa thức th−ơng ph−ơng pháp đồng hệ số(ph−ơng pháp hệ số bất định), ph−ơng pháp giá trị riêng , thực phép chia đa thức

*Ph−ơng pháp1: Ta dựa vào mệnh đề sau :

Nếu hai đa thức P(x) Q(x) nhau: P(x) = Q(x) hạng tử bậc hai ®a thøc ph¶i cã hƯ sè ph¶i cã hƯ sè b»ng

VÝ dô: P(x)=ax2 +2bx−3; Q(x)=x2−4x− p

NÕu P(x) = Q(x) th× ta cã:

a = 1(hƯ sè cđa lịy thõa 2)

2b = - (hƯ sè cđa lịy thõa bËc 1)

- = - p (hệ số hạng tử bậc không hay hạng tử tự do) *Ph−ơng pháp2: Cho hai đa thức P(x) Q(x) thỏa mãn deg P(x) > deg Q(x) Gọi th−ơng d− phép chia P(x) cho Q(x) lần l−ợt M(x) N(x) Khi ta có: P(x)=Q(x).M(x)+N(x) (Trong đó: deg N(x) < deg Q(x)) (I) Vì đẳng thức (I) với x nên ta cho x lấy giá trị : x=α

(α số) Sau ta giải ph−ơng trình hệ ph−ơng trình để tìm hệ số hạng tử đa thức ( Đa thức th−ơng, đa thức chia, đa thức bị chia, số d−)

(9)

Vì nghiệp giáo dơc

Gäi th−¬ng cđa phÐp chia A(x) cho x + lµ Q(x), ta cã: )

( ) (

3

x Q x a x ax x

a + − − = +

Vì đẳng thức với x nên cho x = -1 ta dược:

  

= − = ⇒ = + + − ⇒ = − + + −

3

6

2

3

2

a a a

a a

Với a = -2 A=4x3−6x2 −6x+4,Q(x)=4x2 −10x+4

Với a = A=9x3+9x2−6x−6,Q(x)=9x2 6

*Phơng pháp 3:Thực phép chia đa thức (nh SGK) Bài tập áp dụng

Bi 1: Cho ña thức A x( )=a x2 3+3ax2−6x−2 (a a∈Q) X¸c định a cho A(x) chia hết

cho x +

Bài 2: Phân tích ®a thøc

( )

P x =x x x thành nhân tử, biết nhân tử có

dạng:

2

x +dx+

Bài 3: Với giá trị a b đa thức : x3+ax2+2x+b chia hÕt cho ®a thøc:

1

2+x+

x HÃy giải toán nhiều cách khác

Bài 4: Xác định giá trị k để đa thức: f(x)= x4−9x3+21x2+x+k chia hết cho đa thức:

2 )

(x = x2−x−

g

Bài 5: Tìm tất số tự nhiên k ñể cho ña thức: f(k)=k3+2k2+15 chia hết cho nhị thức: g(k)=k +3

Bài 6: Với giá trị a b đa thức: f(x)= x4−3x3+3x2+ax+b chia hết cho ña thức: g(x)= x2−3x+4

Bài 7: a) Xác ñịnh giá trị a, b c ñể ña thức: P(x)= x4+ax2+bx+c

Chia hết cho

) (x−

b) Xác ñịnh giá trị a, b ñể ña thức: Q(x)=6x4−7x3+ax2+3x+2 chia hết

cho ña thức M(x)= x2−x+b

c) Xác ñịnh a, b ñể P(x)=x3+5x2−8x+a chia hết cho M(x)= x2+x+b

Bài 8: Hãy xác ñịnh số a, b, c để có đẳng thức:

(Để học tốt Đại số 8)

Bài 9: Xác ñịnh số a cho: a) 10x2 −7x+a chia hết cho 2x−3 b) 2x2+ax+1 chia cho x−3 dư c) ax5 +5x4−9 chia hết cho x−1

Bài 10: Xác ñịnh số a b cho: a) x4 +ax2 +b chia hết cho x2−x+1

b) ax3 +bx2+5x−50 chia hết cho x2+3x+10

c) ax4+bx2 +1 chia hết cho

) (x− d) x4 +4 chia hết cho x2+ax+b

) )( )( (

2

c x b x a x c bx ax

(10)

Bi 11: Tìm hăng số a b cho x3 +ax+b chia cho x+1thì dư 7, chia cho x−3

thì dư -5

Bài 12: Tìm số a, b, c cho ax3+bx2 +cchia hết cho x+2, chia cho x2−1

thì dư x+5

(Một số vấn ñề phát triển Đại số 8)

Bài 13: Cho ña thức: P(x)= x4+x3−x2 +ax+b Q(x)= x2+x−2 Xác ñịnh a, b ñể P(x) chia hết cho Q(x)

Bài 14: Xác ñịnh a b cho ña thức P(x)=ax4+bx3+1 chia hết cho ña thức

2

) ( ) (x = x− Q

Bài 15: Cho ña thức P(x)= x4−7x3 +ax2 +3x+2 Q(x)=x2−x+b Xác ñịnh a b ñể P(x) chia hết cho Q(x)

(23 chun đề tốn sơ cấp)

Dạng 2: Phương pháp nội suy NiuTơn

Phương pháp:

Để tìm đa thức P(x) bậc không n biết giá trị ña thức n + ñiểm

1

2

1,C ,C , ,Cn+

C ⋯ ta biểu diễn P(x) dạng:

) ( ) )( ( ) )( ( ) ( )

(x b0 b1 x C1 b2 x C1 x C2 bn x C1 x C2 x Cn

P = + − + − − +⋯+ − − ⋯ −

Bằng cách thay x giá trị C1,C2,C3,⋯,Cn+1 vào biểu thức

P(x) ta tính ủc cỏc h s b0,b1,b2,,bn

Bài tập áp dơng

Bài 1: Tìm đa thức bậc hai P(x), biết: P(0)=25,P(1)=7,P(2)=−9 Giải

Đặt P(x)=b0+b1x+b2x(x−1)(1)

Thay x lần lượy 0; 1; vào (1) ta ñược:

1 18 25 18 25 25 2 1 = ⇔ + − = − − = ⇔ + = = b b b b b

Vậy, đa thức cần tìm có dạng:

25 19 ) ( ) ( 18 25 )

(x = − x+x x− ⇔ P x =x2 − x+

P

Bài 2: Tìm đa thức bậc P(x), biết: P(0)=10,P(1)=12,P(2)=4,P(3)=1

Hướng dẫn: Đặt P(x)=b0 +b1x+b2x(x−1)+b3x(x−1)(x−2)(1)

Bài 3: Tìm đa thức bậc ba P(x), biết chia P(x) cho (x−1),(x−2),(x−3) ñều ñược dư P(-1) = - 18

Hướng dẫn: Đặt P(x)=b0 +b1(x−1)+b2(x−1)(x−2)+b3(x−1)(x−2)(x−3)(1) Bài 4: Cho ña thức bậc bốn P(x), thỏa mãn:

) ( ), )( ( ) ( ) ( ) ( + + = − − = − x x x x P x P P

a) Xác ñịnh P(x)

b) Suy giá trị tổng S =1.2.3+2.3.5+…+n(n+1)(2n+1),(n∈N*)

(11)

Vì nghiệp giáo dôc

P

Đặt P(x)=b0 +b1(x+1)+b2(x+1)x+b3(x+1)x(x−1)+b4(x+1)x(x−1)(x−2)(2)

Thay x -1; 0; 1; 2; -2 vào (2) ta ñược:

) )( )( )( ( ) )( )( ( ) )( ( 3 36 , , 0 4 3 2 1 = ⇔ − − − − + − − − + − − = = ⇔ + = = ⇔ = = ⇔ = = b b b b b b b b b

Vậy, ña thức cần tìm có dạng:

( 1) ( 2)

2 ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(x = x+ x+ x+ x x− + x+ x x− x− = x x+ x+ P

(Tuyển chọn thi HSG Tốn THCS)

Bài 5: cho đa thức P(x)=ax2 +bx+c,(a,b,c≠0) Cho biết 2a+3b+6c=0

1) Tính a, b, c theo , (1) ),

( P P

P      

2) Chứng minh rằng: , (1)

2 ),

( P P

P      

âm dương

Bài 6: Tìm ña thức bậc hai, cho biết:

1985 ) ( 85 ) ( 19 ) ( = = = P P P

5 Chuyên đề: B

5 Chuyên đề: Biển đổi phân thức hữu tỉ

iển đổi phân thức hữu tỉ

Ví dụ

a) Chøng minh r»ng ph©n sè 3n 5n

+

+ phân số tối giản nN ;

b) Cho ph©n sè

2 n A n + =

+ (n∈N) Cã số tự nhiên n nhỏ 2009

cho phân số A ch−a tối giản Tính tổng tất số tự nhiên Lời giải

a) Đặt d = ƯCLN(5n + ; 3n + 1) ⇒ 3(5n + 2) – 5(3n + 1) ⋮ d hay ⋮ d ⇒ d =

VËy ph©n sè 3n 5n

+

(12)

b) Ta có A n 29 n

= − +

+ Để A cha tối giản phân số

29

n+5 ph¶i ch−a tèi gi¶n Suy n + phải chia hết cho ớc dơng lớn 29 Vì 29 sè nguyªn tè nªn ta cã n + ⋮ 29

⇒ n + =29k (k ∈ N) hay n=29k –

Theo điều kiện đề ≤ n = 29k – < 2009 ⇒ ≤ k ≤ 69 hay k∈{1; 2;…; 69}

Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề

Tỉng cđa c¸c sè nµy lµ : 29(1 + + … + 69) – 5.69 = 69690

VÝ dô 2 Cho a, b, c ≠ vµ a + b + c ≠ tháa m·n ®iỊu kiƯn 1 1

a+ b+ =c a+ +b c Chứng minh ba số a, b, c có hai số đối Từ suy :

2009 2009 2009 2009 2009 2009

1 1

a +b +c = a +b +c

Lêi gi¶i Ta cã : 1 1

a+b+ =c a+ +b c ⇔

1 1

0 a+b+ −c a+ +b c=

⇔ a b a b

ab c(a b c)

+ +

+ =

+ + ⇔

c(a b c) ab

(a b)

abc(a b c)

+ + +

+ =

+ +

⇔ (a + b)(b + c)(c + a) = ⇔

a b

b c

c a

 + = 

 + = 

 + = 

⇔

a b

b c

c a

 = −   = −   = − 

⇒ đpcm Từ suy : 20091 20091 20091 20091 12009 20091 20091

a +b +c = a +( c)− +c =a 2009 20091 2009 2009 12009 2009 20091

a +b +c = a + −( c) +c = a ⇒ 20091 20091 20091 2009 20091 2009

a +b +c = a +b +c

Ví dụ 3. Đơn giản biểu thức :

3 3 2

1 1 1 1

A

(a b) a b (a b) a b (a b) a b

     

  

=  + +  + +  + 

+ + +

Lời giải

Đặt S = a + b P = ab Suy : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = S2 2P

−

a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = S3 3SP

− Do : 1 a b S;

a b ab P

+

+ = =

2 2

2 2 2

1 a b S 2P

;

a b a b P

+ −

+ = =

3 3

3 3 3

1 a b S 3SP

a b a b P

+ −

(13)

Ta cã : A =

3

1 S 3SP S 2P S

S P S P S P

− −

+ +

=

2 2 2

2 4 4

S 3P 3(S 2P) (S 3S P) (3S P 6P ) 6P S

S P S P S P S P S P

− − − + − +

+ + = =

Hay A = 13 3 31 P = a b

VÝ dơ 4 Cho a, b, c lµ ba số phân biệt Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị x :

(x a)(x b) (x b)(x c) (x c)(x a) S(x)

(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)

− − − − − −

= + +

− − − − −

Lời giải

Cách

2 2

x (a b)x ab x (b c)x bc x (c a)x ca

S(x)

(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)

− + + − + + − + +

= + +

− − − − − − = Ax

2 – Bx +

C

víi : A 1

(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)

= + +

− − − − − − ;

B a b b c c a

(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)

+ + +

= + +

− − − − − − ;

C ab bc ca

(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)

= + +

− − − − − −

Ta cã : A b a c b a c (a b)(b c)(c a)

− + − + −

= =

− − − ;

B (a b)(b a) (b c)(c b) (c a)(a c) (a b)(b c)(c a)

+ − + + − + + −

=

− − −

2 2 2

b a c a a c

0 (a b)(b c)(c a)

− + − + −

= =

− − −

;

C ab(b a) bc(c b) ca(a c) ab(b a) bc[(c a) (a b)] ca(a c)

(a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a)

− + − + − − + − + − + −

= =

− − − − − −

(a b)(bc ab) (c a)(bc ca) (a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a)

− − + − − − − −

= = =

− − − − − −

VËy S(x) = 1x (đpcm)

Cách

Đặt P(x) = S(x) – đa thức P(x) đa thức có bậc khơng v−ợt q Do đó, P(x) có tối đa hai nghiệm

NhËn xÐt : P(a) = P(b) = P(c) = a, b, c ba nghiệm phân biệt P(x) Điều xảy P(x) đa thức không, tức P(x) = ∀x Suy S(x) = ∀x ⇒ ®pcm

VÝ dô Cho x x

(14)

a) 2

A x

x

= + ; b) 3

B x

x

= + ; c) 4

C x

x

= + ; d) 5

D x

x

= +

Lêi gi¶i a)

2

1

A x x

x x

  

= + = +  − = − = ;

b)

3

1 1

B x x x 27 18

x x x

   

 

= + = +  −  + = − =

    ;

c)

2

4

1

C x x 49 47

x x

 



= + = +  − = − =

 ;

d)

2

1 1

A.B x x x x D

x x x x

  

 

= +  + = + + + = +

   ⇒ D = 7.18 – = 123

Ví dụ 5 Xác định số a, b, c cho : 2 ax2 b c

(x 1)(x 1) x x

+

= +

+ − + −

Lêi gi¶i Ta cã :

2

2 2

ax b c (ax b)(x 1) c(x 1) (a c)x (b a)x (c b)

x x (x 1)(x 1) (x 1)(x 1)

+ + − + + + + − + −

+ = =

+ − + − +

(x +1)(x 1)− , ta ®−ỵc :

a c a

b a b

c b c

 + =  = −

 

 − = ⇔ = −

 

 

 − =  =

 

 

VËy 2 2x 1

(x 1)(x 1) x x

− −

= +

+ − + −

6 Chuyên đề: Giải ph−ơng trình

I/Phương trình ax+b=0 (1) phương trình đưa dạng (1)

(15)

TH1:a=0 nu b0 thỡ phương trình (1)vơ nghiệm b=0 phương trình (1) vơ số nghiệm TH2:a≠0 phương trình (1) có nghiệm x= b

a

−

*Ví dụ: a)3x+1=7x-11

b1: 3x+1-7x+11=0 (biến đổi chuyển vế) b2: -4x+12=0 (rút gọn dạng ax+b=0)

b3: x= 12

4

− = −

b)1,2-(x-0,8)= -2(0,9+x)

⇔1,2-x+0,8+1,8+2x=0

⇔x+3,8=0

⇔x= -3,8

*Các tập tương tự:

a)7x+21=0 b)12-6x=0

c)5x-2=0 d)-2x+14=0

e)0.25x+1,5=0 f)6,36-5,3x=0

g)4

3x− =6 h)

5 10 x 3x

− + = −

i)11-2x=x-1 k)5-3x=6x+7

l)2(x+1)=3+2x m)2(1-1,5x)+3x=0

n)2,3x-2(0,7+2x)=3,6-1,7x o)3,6-0,5(2x+1)=x-0,25(2-4x)

p)3(2,2-03x)=2,6+(0,1x-4) q)

5

x− = − − x

v)2 13

5

x x

 + = − + 

   

    w)

3 2( 7)

6

x− − = − x+

s)7 5( 9) 20 1,

8

x x

x +

− − = y)5( 1) 2(2 1)

6

x− + x− x+

− = −

II/Phương trình tích:

*Cách giải: Pt:A.B=0 ⇒

0

A B

=   =

 (A=0 (1) B=0 (2) )

Ta có pt (1),(2) phương trình bậc cách giải tương tự phần

(Chú ý phương trình chưa có dạng A.B=0 ta đưa dạng A.B=0 cách phân tích thành nhân tử )

*Ví dụ:

a) (4x-10)(24+5x)=0

⇔ 10 (1)

24 (2)

x x

− = 

 + =

(16)

Từ (1) x=10

4 = (2)⇒x= 24

−

Vậy phương trình có nghiệm x=10

4 = x= 24

−

b)(x-1)(5x+3)=(3x-8)(x-1)

⇔(x-1)(5x+3)-(3x-8)(x-1)=0

⇔(x-1)(2x+11)=0

⇔

1 11 11

2

x x

− = ⇔ =



 −

 + = ⇔ =



*Các tập tương tự:

a) (3,5-7x)(0,1x+2,3)=0 b) (3x-2) 2( 3)

x+ x−

 − =

 

 

c) (3,3-11x) 2(1 )

5

x+ − x

 + =

 

  d)( 3−x 5)(2x 1)+ =0

e) (2x− )(x 10+3)=0 f) (2 3− x 5)(2,5x+ 2)=0

g) 3x(25x+15)-35(5x+3)=0 h) (2-3x)(x+11)=(3x-2)(2-5x)

i) (2x2+1)(4x-3)=(2x2+1)(x-12) k) (2x-1)2+(2-x)(2x-1)=0 l) (x+2)(3-4x)=x2+4x+4 m) (x-1)(x2+5x-2)-(x2-1)=0 n) x3+1=x(x+1) 0) x2+(x=2) (11x-7)=4 p) x3+x2+x+1=0 q) x2-3x+2=0

r) 4x2-12x+5=0 s) -x2+5x-6=0