LUONG GIAC HOA MOT SO PHUONG TRINH DAI SO

Trong một số trường hợp ta có thể chuyển phương trình đại số thành phương trình lượng giác thông qua các dấu hiệu đặc biệt của các biểu thức chứa ẩn có mặt trong PT và thông qua miền gi[r]

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ CĨ DẠNG ĐẶC BIỆT NHỜ PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA

Khi gặp phương trình đại số đại số khó giải, xem thay đổi hình thức tốn (thường thơng qua phương pháp ẩn phụ) để thu phương trình đơn giản hay khơng! Trong số trường hợp ta chuyển phương trình đại số thành phương trình lượng giác thông qua dấu hiệu đặc biệt biểu thức chứa ẩn có mặt PT thơng qua miền giá trị chúng

I CÁC BIỂU THỨC THƯỜNG ĐƯỢC LƯỢNG GIÁC HÓA

BIỂU THỨC ĐẠI SỐ CÁCH CHỌN ẨN PHỤ

2

a  x sin ;

2

xa t    t 

xacos ;0t  t  2

x  a

; sin

a x

t

 ; \ 0 

2 t   

  hoặc cos ;

a x

t

 0;  \

2 t    

  2

a x tan ; ;

2

xa t    t 

xa cot ;0gt  t ;

2

ax

1 c

bx c

   

 

   

   

 

.sin

; 0 ; 2

.cos

c t x

a t

c t y

a



   

  

 

 

3 4x  3x

(giống 4cos3t 3cost  cos3t)

cos ; x t  t 

2 2x 1

(giống 2cos2t1 cos2t)

cos ; x t  t 

2

x x

 (giống 2 tan

tan tan

t

t t 

 ) x tant ; t

 



  

2

x x

 (giống 2 tan

n tan

t

si t t 

 ) x tant ; t

 



  

II CÁC VÍ DỤ:

Ví dụ 1: Giải phương trình : x3

+√(1− x2)3=x√2(1− x2) Giải :

+ Ta có phương trình : cossin  sin osc   sincos 1 sin os c   sin osc  + Đặt

sin os = sin

4 u c  

 

+ Vì :

5

0 sin

4 4

   

    

           

     1 u + Thu gọn phương trình theo ẩn u ta : (u 2)(u22 2u1) 0 (*)

+ PT (*) có nghiệm : u ; u ; u 1   (loại)

+ Với u k2 (k Z) 

 

    

2 x

 

+Vơi

2

u

sin os =1- sin os =

2 u c   c    

Vậy sin , os c  nghiệm PT :

2 (1 2) 1 2 0 ( 1)(3 2)

2

t   t    t     

+ Vì

- ( 1)(3 2)

sin os =

2

c x

       

Vậy PT cho có nghiệm :

2 x

- ( 1)(3 2)

x    

Ví dụ 2: Giải phương trình :

2

1

1

2

x x

a a

a a

     

 

   

    với tham số a0;1

Giải :

2

1

1

2

x x

a a

a a

     

  

   

   

2

1

1

2

x x

a a

a a

     

 

   

   

+ Chia hai vế phương trình cho

2

x

a a   

 

  , ta :

2

2

2

1

1

x x

a a

a a

  

 

    

 

   

+ Vì a0;1 nên tồn góc

0;    

  tan2 a 



+ Thu phương trình :

2 tan

2

1 tan

x

 

 

 

 



 

 

2 tan

2 tan

x

 

 



 

 



 

  sin  cos 

x x

 

  

+ Hàm số sin  cos 

x x

y   

hàm nghịch biến ta có :

   

2

(2) sin cos

f     

+ Vậy x = nghiệm phương trình

Giải :

√1+√1− x2[√(1− x3)−√(1+x3)]=2+√1− x2 + ĐK : −1≤ x ≤1→ ẩn phụ x=cosϕ với 0≤ϕ≤ π + Khi 1 x2 sin ; sin 0 sin sin

+ Phương trình cho có dạng lượng giác :    

3

1 sin  1 cos  1cos   2 sin

 

  (1)

+ Vì

2

1 sin sin os sin os

2 c 2 c

   

  

      

  (do 0≤ϕ≤ π nên sin 2 & osc 2

 

 

)

+ Biến đổi (1) :  

2

2 sin os sin sin os =1

2 c c

 

  

 

     

 

 

1

os

=-2

c 

 

Vậy phương trình cho có nghiệm :

2 os =

-2 x c 

Ví dụ : Định giá trị m để phương trình sau có nghiệm :

4m 3 x 3 3m 1  x m 1 0 (1) Giải : Điều kiện :   3 x 1.

+

3 1

(1)

4 3 1

x x

m

x x

   

 

   

+ Vì :    

2

2

3

2

x x

x   x         

     

0;    

  cho :

2 2sin

1 t x

t 

  



2

1 2cos

1 t x

t

 

  

 với t tan ;2 t 0;1 

 

2

3 1 12

5 16

4 3 1

x x t t

m m

t t

x x

      

  

  

   

+ Xét hàm số :  

2

7 12

( ) ; 0;1

5 16

t t

f t t

t t

  

 

  

 

 

2

2

52 60

'( ) 0, 0;1

5 16

t t

f t t

t t

  

   

  

+  f t( ) nghịch biến đoạn 0;1

9

(0) ; (1)

7

f  f 

+ Vậy (1) có nghiệm (2) có nghiệm đoạn 0;1 :

7

9m7 Ví dụ : Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm : x 1 x m (1)

Giải : ĐK :0 x

Phương trình (1) có nghiệm m>0

(Nhận xét :    

2

1

x   x 

+ Đặt x cost 



 



 với t 0;2 

 

    

+ (1)

sin cos cos

4

t t m t  m

      

  cos

m t 

 

   

  .

+ Phương trình có nghiệm :  2m + Do điều kiện m>0 ta có : 0m

Ví dụ : Trên đoạn 0;1 phương trình sau có nghiệm :    

2

8 2x  x 8x  8x 1 1 Giải :

+ Vì x0;1 nên tồn góc

0;    

  cho xsin

+ Ta có ph trình:    

2

8sin 2sin  8sin  8sin 1 18sin cos cos 4   1 (*) + Nhận thấy cos 0 khơng nghiệm phương trình (*)nên nhân hai vế phương trình cho

cos 0;

2      

  ta :

8sin cos cos cos cos sin cos sin sin 

               

 

8

2

8

2 k

m 

  



   



  

 

 

    

 

  



2

18

2

14

k m

 



 

 

 

  

  

 ; k m Z, 

+ Vì

0;   

  suy nghiệm : x sin18  

;

5 sin

18 x 

;x sin14  

;

5 sin

14 x 

Ví dụ : Cho hai phương trình :

3 2  x  1 x3

(1)  1 2cos9

x 

 

(2)

Giả sử x nghiệm ph.trình (1) Ch minh rằng, x nghiệm phương trình (2) Giải :

+

     

 

2

3 2 3

2

x x x

x

       



+ Đặt  1

x

t

 

với t > Khi phương trình (1) trở thành :

2

4

2

t t t

t

    

3 1

4cos 3cos cos3

2

k

 

        

+ Vì 0; nên

5

; ;

9 9

  

  

  suy

5

cos ; cos ; cos

9 9

t   t   t  

+Vì phương trình bậc ba có đủ ba nghiệm nên ta khơng xét nghiệm t  1;1 Mặt hác

5

cos

9 t   

và

7

cos

9 t   

nghiệm phương trình (1) : t1 cos9 

 

 1 2cos9

x 

 

+ Vậy x nghiệm phương trình (1) x nghiệm phương trình (2)

Ví dụ : Giải phương trình :

2 x x

x

 



Giải: Điều kiện: x 1 Đặt

1

; (0; );

cos

x  



 

Thu PT có dạng LG sau :

1

2 sin cos 2 sin cos

cos sin       

+ Đặt :

sin cos cos

4 t     

 

+ ĐK : 1 t 2;

2 1 sin cos

2 t

  

 

+ Ta có PT : t 2t2 t 2

2

2 1

2 t

t t t

t   

      

   +

2 0;

4

t        x

 

Ví dụ : Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm : x 1 x m (1) Giải : ĐK :0 x

Phương trình (1) có nghiệm m>0

(Nhận xét :    

2

1

x   x 

để đặt ẩn phụ)

+ Đặt

sin ;

1 cos

x t

x t

 

 

 



 với t 0;2 

 

  

+ (1)

sin cos cos

4

t t m t  m

      

  cos

m t 

 

   

  .

Ví dụ 10 : Giải phương trình :

2 x

x

 



Giải: Điều kiện: x 1 Đặt

1

; (0; );

cos

x  



 

Thu PT có dạng LG sau :

1

2 sin cos 2 sin cos

cos sin       

+ Đặt :

sin cos cos

4 t     

 

+ ĐK : 1 t 2;

2 1 sin cos

2 t

  

 

+ Ta có PT : t 2t2 t 2

2

2 1

2 t

t t t

t   

      

   +

2 0;

4

t        x

 

Ví dụ 11: Cho phương trình : 1x 8 x (1x)(8 x)m(1) a) Giải PT (1) m= 3

b) Tìm m để PT (1) có nghiệm. Giải :

+ Với điều kiện: x  1;8, ta đặt :

3 sin cos

t x

t x

  

 

 



 ; t 0;2



 

  

a) m = ta có PT : 3sint+3cost+9sint.cost =  sint+cost+3sint.cost = (2)

+ Đặt :

sin cos sin ;

4 u t t t

  ĐK :1 u

1

3 5

3

1

u u u

u

u x x

  

     

  

     

Ví dụ 12: Giải phương trình sau :    

2

3

2

1 1

3

x

x  x x  

      

 

 

Giải:

+ Điều kiện : x 1

+ Với x [ 1;0]:    

3

1x  1 x 0

(ptvn)

+ x[0;1] ta đặt :

cos , 0; x t t  

1

2 cos sin sin cos

2

x  t  t  t 

  phương trình có nghiệm :

1 x

Ví dụ 13: Giải phương trình sau: 36x 1 2x Giải:

+ Lập phương vế ta được:

3

8

2 x  x  x  x

+ Xét : x 1, đặt xcos ,t t0; Khi ta

5

cos ;cos ;cos

9 9

S    

  mà phương trình

bậc có tối đa nghiệm tập nghiệm phương trình

Ví dụ 14: Giải phương trình

2 1

1 x

x

 



 



 =1

Giải: đk: x 1, ta đặt

1

, ;

sin 2

x t

t

 

 

   

 

+ Khi ptt:

 

2

cos

1

1 cot 1

sin sin

2 t

t

t t

 



  

 



+ Phương trình có nghiệm : x 2 1 

Ví dụ 15: Giải phương trình :

 

 

2 2

2

2 1

1

2

x x

x

x x x

 

  

 Giải: đk x0,x1

+ Ta đặt :

tan , ;

2 x t t    

 

+ Khi ta có phương trình:  

2 2sin cos 2t tcos 0t    sin sint  t 2sin t 0

+ Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm

3 x

Sau xét mở rộng thêm ví dụ lượng giác hóa để giải hệ phương trình :

Ví dụ 16: Xác định hệ số (x,y,z) thõa mãn hệ pt:

¿

2x+x2y=y

2y+y2z=z

2z+z2x=x

¿{ {

¿

Hướng dẫn:

→ Hệ tương đương với

y= 2x

1− x2 z= 2y

1− y2 x= 2z

1− z2

¿{ {

¿

+ Sự có mặt vế phải pt → liên hệ đến công thức lượng giác tan 2α= tanα

1−tan2α →

đặt

x=tanα⃗x ≠ ±1α ≠π

4+

kπ

2

→ y=tan 2α

z=tan 4α

x=tan 8α

⇒tanα=tan 8α⇔α=nπ

7 (đkn ε Z/tanα ≠ ±1)

¿{ {

→ Ngiệm hệ x=tannπ

7 , y=tan

n2π

7 , z=tan

n4π

7

Ví dụ 17: Giải hệ phương trình:

¿

3(x+1

x)=4(y+

1

y)=5(z+

1

z)

xy+yz+zx=1

¿{

¿

Hướng dẫn: + Lưu ý :

¿

x , y , z ≠0

x , y , zcùngd

¿{

¿

và x,y,z nghiệm (-x,-y,-z) nghiệm (do t/c đối xứng )

→ xét x, y, z >

+ Sự xuất biểu thức x+1

x, y+

1

y, z+

1

z dạng chung u+

1

u→ ẩn phụ :

x=tanα , y=tanβ , z=tanγ ,(đk :0<α , β , γ<π

2)

+ Sử dụng định lý hàm số sin

Ví dụ 18: Tìm giá trị tham số m dể hệ phương trình sau có nghiệm :

¿

√1− x2− y=0

y −mx+3m=m√2

¿{

¿

+ Đk : |x|≤1→ đặt x = cos ϕ → hệ pht :

¿

y=sinϕ

sinϕ− mcosϕ=(√2−3)m(∗)

¿{

¿

+ Đk hệ cho có nghiệm  (*) có nghiệm t/m đkiện sin ϕ >

1 )

1

8 )(

1 (

8x  x x4  x2  

III BÀI TẬP

Bài : Giải phương trình : √1+2x√1− x2

2 =1−2x

2

+ ĐK: −1≤ x ≤1→ ẩn phụ x=cosy ,0≤ϕ≤ π Bài : Giải phương trình sau :

x3 (1 x2 3) x 2(1 x2) ( HDẫn : Đặt xcos ; 0; ) Bài : Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm :

1

1 m

x  x  ( H.Dẫn : Đặt xcos ; 0; ) Bài : Giải biện luận phương trình theo tham số a , ( a > )

2x a2 4x a (HDẫn : Lấy ĐK, sau đặt 2x acos

 )

Bài : Phương trình sau có nghiệm : 4x3 3x 1 x2; ( HD: Đk: x  1;1 ; Đặt :

cos ; ;

2 x t t  

  ;)

Bài 6: Giải phương trình sau : x 2 2 2x ( Đặt x2 cos ; 0; ) Bài 7: Giải phương trình :

2

2

2

x x

x

  

 ( Đặt : x tan ; 2; ;  

   

   

  )

Bài : Tìm m để PT sau có nghiệm : (4m 3) x 3 (3m 4) 1 x m 1 0

Bài : Cho đường trịn có phương trình: (C):    

2

1 2

x  y  Tìm M (x0;y0) thuộc ( C ) cho (x0+y0) nhỏ

HD :

2

1

(1)

2

x y

   

    

    đặt :

sin ;

2 cos

x y

  



 

 



 

  Bài 10 : Cho phương trình : x3 3x 1 0

Chứng minh phương trình có ba nghiệm x x x1; ;2 3 thỏa điều kiện:

2

1 2; 2 x  x x  x Bài 11 : Giải phương trình :

2

1

1

2

x x

a a

a a

     

 

   

Bài 12: Giải phương trình :13 x(1 x)  x 1 x ( Đặt

cos ; 0; ;

2 x    

  )

Bài 13 : Giải hệ phương trình sau :

2 2

2

x y yx y z zy z x xz

  



  



 



HD : Rút x; y; z đặt

tan ;

2

x     

 

Bài 14 : Giải hệ phương trình sau :

2 1

3 ( )(1 )

2 x y

x y xy

  

 

  





HD : Đăt xsin ; ycos ; 0;2 Bài 15: Giải phương trình sau :

1)

1 2

1 2

1 2

x x

x x

x x

 

    

  HD: vì

1 2cos tan

1 2cos x x

x

 

 nên đặt x=cost

2)  

2

1 1 x x 1  x

ĐS: x