a) Tø gi¸c CPKB néi tiÕp.. Qua F dùng tiÕp tuyÕn Fx víi ®êng trßn , qua E dùng Ey vu«ng gãc víi OA. Qua A dùng tiÕp tuyÕn Ax.. Gäi M lµ mét ®iÓm trªn nöa ®êng trßn sao cho C lµ ®iÓm chÝn[r]
(1)ơn tập hình học đờng trịn – góc với đờng trịn A) Đờng trịn:
1, Định nghĩa: Tập hợp điểm cách điểm cho trớc khoảng cách R > không đổi gọi đờng trịn tâm bán kính R Kí hiệu : ( ; R)
2, Vị trí t ơng đối:
* Của điểm với đờng tròn : xét (0 ; R ) điểm M
vị trí tơng đối Hệ thức
M n»m ngoµi ( O ; R ) OM > R
M n»m trªn ( O ; R ) hay M thuéc ( O ; R) OM = R
M n»m ( O ; R ) OM < R
* Của đờng thẳng với đờng tròn : xét ( O; R ) đờng thẳng a ( với d khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng a )
vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức
a c¾t ( O ; R ) d < R
a tiÕp xóc ( O ; R ) d = R
a vµ ( O ; R ) kh«ng giao d > R
* Của hai đờng tròn :xét ( O; R) (O’; R’) ( với d = O O’ )
vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức
Hai đờng tròn cắt R – r < d < R - r
Hai đờng trịn tiếp xúc : + tiếp xúc ngồi :
+ tiÕp xóc :
1 d = R + r
d = R – r Haiđờng trịn khơng giao :
+ hai đờng trịn ngồi :
+ đờng tròn lớn đựng đờng tròn nhỏ :
0 > R + r
d < R - r Tiếp tuyến đ ờng tròn :
a Định nghĩa : đờng thẳng d đợc gọi tiếp tuyến đờng trịn có điểm chung với đờng
b, TÝnh chÊt :
(2)+ Tính chất : Nếu hai tiếp tuyến đờng tròn cắt điểm giao điểm cách hai tiếp điểm tia kẻ từ giao điểm qua tâm đờng trịn tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến
c, C¸ch chøng minh :
Cách : chứng minh đờng thẳng có điểm chung với đờng trịn
Cách : chứng minh đờng thẳng vng góc với bán kính đờng trịn điểm điểm thuộc đờng trịn
4 Quan hệ đ ờng kính dây cung :
* Định lí : Đờng kính vuông góc với dây cung chia dây cung thành hai phần
* Định lí : Đờng kính qua trung điểm dây cung không qua tâm vuông góc với dây cung
5 Quan hệ dây cung khoảng cách đến tâm :
* Định lí : Trong đờng trịn hai dây cung chúng cách tâm
* Định lí : Trong hai dây cung không đờng trịn, dây cung lớn gần tâm
B Góc với đờng trịn:
1, Các loại góc đ ờng tròn: - Gãc ë t©m
- Góc có đỉnh bên hay bên ngồi đờng trịn - Góc nội tiếp
- Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn dây cung 2, Mối quan hệ cung d©y cung:
* Định lí 1: Đối với hai cung nhỏ đờng tròn: a, Hai cung căng hai dây
b, Đảo lại, hai dây trơng hai cung * Định lí 2: Đối với hai cung nhỏ mt ng trũn:
a, Cung lớn căng dây lớn b, Dây lớn trơng cung lớn 3, Tứ giác nội tiếp:
a, nh ngha: Tứ giác nội tiếp đờng tròn tứ giác có bốn đỉnh nằm đờng trịn Đơng trịn đợc gọi đờng trịn ngoại tiếp tứ giác
b, C¸ch chøng minh :
(3)* Cách 2: chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện 1800
* Cách 3: chứng minh tứ giác có đỉnh kề nhìn cạnh đối diện dới góc I ) Góc tâm – liên hệ cung dây.
Bµi
Cho (O) (O’) cắt hai điểm A, B Dây AC đờng tròn (O) vng góc với AO’, dây AD (O’) vng góc với AO So sánh góc AOD AO’D
Bµi
Trên đờng trịn (O) có cung AB 140o Gọi A’ B’ lần lợt đối xứng A, B qua O; lấy cung AD nhận B’ làm điểm giữa; lấy cung CB nhận A’ làm điểm Tính số đo cung nhỏ CD
Bài cho hai đờng tròn (O) , (O’) cắt A, B Kẻ đờng kính AOC AO’D Gọi E giao điểm thứ hai đờng thẳng AC với (O’)
a) So s¸nh c¸c cung nhá CB, BD
b) Chứng minh B điểm gi÷a cung EBD
Bài cho đờng trịn (O), dây AB Gọi M điểm cung AB Vẽ dây MC cắt dây AB D Vẽ đờng vng góc với AB D, cắt OC K KCD tam giác ? Bài
Cho M, N, P, Q lµ điểm tùy ý (O) Các tiếp tuyến (O) bốn điểm cắt tạo thành tứ giác ABCD Tính số đo tổng góc AOB + COD ?
Bµi
Cho đờng trịn (O), dây AB Trên dây AB lấy D nối D với C đờng tròn (C khác A, B; A, O, C không thẳng hàng) Các đờng trung trực AD DC cắt M CMR: đ-ờng thẳng MO qua điểm cung AC
Bµi
Cho hai đờng tròn đồng tâm (O; R) (O; 2R) P điểm (O; 2R) Vẽ đ-ờng tròn (P; PO) cắt đđ-ờng tròn (O; 2R) C D, cắt đđ-ờng tròn (O; R) E F OC OD cắt (O; R) A B CMR:
a) CD // EF
b) PA vµ PB lµ hai tiÕp tun cđa (O; R)
(4)II ) gãc néi tiÕp. Bµi
Cho góc xOy x độ dài l Hai điểm A, B di động hai cạnh tơng ứng cho độ dài AB l Gọi I tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác OAB
a) CMR: Tam giác IAB có kích thớc khơng đổi b) Tìm quỹ tích điểm I
Bµi 10
Cho hai đờng tròn (O) (O’) cắt A, B Qua A kẻ cát tuyến cắt đờng tròn (O), (O’) điểm thứ hai C, D Tia DB cắt (O) điểm thứ hai M Các tia OB, BO’ lần lợt cắt (O’) điểm thứ hai N, P
a) So s¸nh hai góc ACB BOO' b) So sánh hai góc CAM vµ PAN. Bµi 11
Cho hai đờng tròn (O) (O’) cắt A, B Hai dây AC BD cắt I cắt (O’) C’, D’ Chứng minh C’D’ // CD
Bµi 12
Cho tam giác ABC nội tiếp (O), đờng cao AD, BE, CF đồng quy H Các tia AD, BE, CF cắt (O) điểm thứ hai tơng ứng A’, B’, C’
a) CMR: AB, BC, CA trung trực đoạn thẳng tơng ứng HC’, HA’, HB’ b) CMR: H tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF
c) CMR: Tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác DEF Từ so sánh bán kính đ-ờng trịn ngoại tiếp tam giác DEF bán kính đđ-ờng trịn (O)
Bµi 13
Cho đờng thẳng d và đoạn thẳng AB cắt C Dựng điểm M d cho MC phân giác góc AMB.
Bµi 14
Cho (O) vµ (O’) tiÕp xúc với A Qua A vẽ cát tuyến cắt (O) B, cắt (O) C Một cát tuyến thứ hai qua A cắt (O) D, cắt (O) E Cmr : CE // BD Bài 15
Cho nửa đờng trịn đờng kính AB Gọi O điểm cung AB M điểm nửa đờng trịn Tia AM cắt đờng tròn (O; OA) điểm thứ hai N Chứng minh : MN = MB
(5)Cho (O), đờng kính AB, điểm D thuộc đờng tròn Gọi E điểm đối xứng với A qua D a) Tam giác ABE tam giỏc gỡ ?
b) Gọi K giao điểm cđa EB víi (O) Chøng minh r»ng OD AK Bµi 17
Cho hai đờng tròn (O) (O’) cắt A, B, O nằm (O’) Dây AC (O) cắt (O’) D, dây OE (O’) cắt (O) F Chứng minh :
a) OD BC
b) Điểm F cách ba cạnh tam giác ABE Bài 18
Cho hai đờng thẳng song song Một đờng tròn tiếp xúc với đờng thẳng A cắt đờng thẳng B, C Trên đờng tròn lấy điểm D ( không trùng A, B, C ) Chứng minh A cách hai đờng thẳng BD CD
Bµi 19
Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB điểm C chạy nửa đờng tròn Vẽ đờng tròn (I) tiếp xúc với (O) C tiếp xúc với đờng kính AB D, đờng tròn cắt CA, CB lần lợt điểm thứ hai M, N CMR:
a) Ba điểm M, I, N thẳng hàng b) ID MN
c) Đờng thẳng CD qua điểm cố định d) Suy cách dựng đờng tròn (I) nói
Bµi 20 Cho MA vµ MB lµ hai tiÕp tun cđa (O) VÏ (M; MA), C điểm nằm
cung AB ca (M) ( cung AB nằm đờng tròn (O) ) Tia AC, BC cắt (O) P, Q Chứng minh : P Q đối xứng với qua O
Bµi 21
Trên cạnh CD hình vng ABCD ta lấy điểm M khác C, D Các đờng trịn đờng kính CD AM cắt điểm thứ hai N ( khác D ) Tia DN cắt BC P Chứng minh rằng: AC PM
III ) góc tiếp tuyến dây. Bài 22
Hai tip tuyn ti A B đờng tròn (O1) cắt C Vẽ đờng tròn (O2) qua C, tiếp xúc với đờng thẳng AB B cắt đờng tròn (O1) M Chứng minh đ-ờng thẳng AM chia đoạn BC thành hai phần
(6)Cho (O; R) vµ (O’; r) víi R > r tiếp xúc A Dây BC (O; R) tiếp xúc với (O; r) M (3 điểm O, A, M không thẳng hàng ) Cmr : tia AM phân giác BAC Bài 24
Cho nửa đờng trịn tâm O đờng kính EF Vẽ (O’) tiếp xúc với nửa đờng tròn tâm O A Kẻ đờng thẳng vng góc với EF cắt nửa đờng tròn tâm O B tiếp xúc với (O’) M Chứng minh tia AM qua đầu đờng kính EF
Bài 25 cho ABC vuông A, đờng cao AH Vẽ đờng trịn tâm I đờng kính BH, cắt AB M Vẽ đờng trịn tâm K đờng kính CH, cắt AC N
a) Tø gi¸c AMHN hình ?
b) CMR: MN l tip tuyến chung hai đờng tròn (I) (K)
c) Vẽ tiếp tuyến Ax đờng tròn ngoại tiếp ABC CMR: Ax // MN Bài 26
Cho hai đờng tròn (O) (O’) cắt B, C Tiếp tuyến C đờng tròn (O) cắt (O’) điểm thứ hai M Vẽ cát tuyến MBA ( A thuộc đờng tròn tâm O ) Từ M vẽ tiếp tuyến xy đờng tròn (O’) Chứng minh :
a) MC2 = MA.MB b) AC // xy
Bµi 27
Cho hai đờng tròn (O) (O’) cắt A, B Vẽ dây BC (O) tiếp xúc với (O’) Vẽ dây BD (O’) tiếp xúc với (O) Chứng minh :
a) AB2 = AC.AD
b)
BC AC
BD AD
Bµi 28 Cho ABC ngoại tiếp (O) Gọi D, E, F tiếp điểm cạnh AB, BC,
CA Gọi M, N, P lần lợt giao điểm (O) với tia OA, OB, OC Cmr : điểm M, N, P lần lợt tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADF, BDE CEF
Bài 29 Cho (O) (O’) cắt A, B Một đờng thẳng tiếp xúc với (O) C tiếp
xúc với (O’) D Vẽ đờng tròn (I) qua ba điểm A, C, D cắt đờng thẳng AB điểm thứ hai E CMR:
a) CAD + CBD = 180o.
b) Tứ giác BCED hình bình hành
Bài 30 Cho (O) ngoại tiếp ABC Gọi I J lần lợt giao điểm hai phân giác góc B góc C ABC Đờng thẳng IJ cắt (O) t¹i M
a) CMR: MBI = BIM
(7)Bài 31 Cho điểm A cố định đờng tròn cố định tâm O Một góc xAy = x khơng
đổi quay quanh A, Ax cắt (O) B, Ay cắt (O) C Các đờng thẳng qua B C lần lợt vng góc với Ay Ax, cắt (O) theo thứ tự P Q
a) Chứng minh P, Q c nh
b) Tìm tập hợp điểm H lµ giao cđa BP vµ CQ
Bài 32 Cho ABC cân A dây di động AM đờng tròn ngoại tiếp tam giác
ấy Đờng thẳng qua B, vuông góc với AM A, cắt CM P a) Chứng tỏ DMB = BMP
b) Chứng minh P thuộc đờng trịn cố định
IV ) góc có đỉnh bên - bên ngồi đờng trịn. Bài 33
Cho ABC nội tiếp (O), Các tia phân giác góc A góc B cắt I cắt (O) theo thứ tự M N
a) Chøng minh : MB =NC; NA = NC b) Chøng minh : MB = MI = MC
c) Gọi K điểm đối xứng với I qua M CMR: K tâm đờng tròn bàng tiếp ABC Bài 34
Cho (O), đờng kính AB vng góc với dây CD Qua M thuộc cung AD kẻ tiếp tuyến với đờng tròn cắt CD I Gọi E giao điểm BM CD
a) Chøng minh r»ng : IM = IE
b) Gọi F giao điểm AM CD Chøng minh r»ng AFC = ABM Bµi 35
Từ điểm A bên (O) ta vẽ tiếp tuyến AB cát tuyến ACD Vẽ dây BM vuông góc với tia phân giác góc BAC, dây cắt CD E Chứng minh :
a) Tia BM phân giác góc CBD b) MD2 = ME.MB
Bµi 36
Ba điểm A, B, C thuộc (O) cho tiếp tuyến A cắt tia BC D Tia phân giác góc BAC cắt đờng trịn M, tia phân giác góc D cắt AM I Cmr : DI AM Bài 37
Cho ABC cân B Qua B kẻ đờng thẳng xy song song với AC Gọi O điểm xy Vẽ đờng tròn tâm O tiếp xúc với AC D, cắt cạnh AB BC E F Chứng minh số đo cung EDF không đổi O di chuyển xy
(8)Cho ABC néi tiÕp (O) Gäi CM, AN, BP lần lợt phân giác ABC chúng giao I MN cắt AB E
a) BNI tam giác g× ? b) CMR: AE.BN = EB.AN c) CMR: EI // BC
d) Gäi D lµ giao cđa AN vµ BC CMR:
AN AB
BN BD
Bài 39
Cho hình thang vuông ABCD ( BC // AD ) Trên AB lấy hai điểm M, N cho M, N nhìn CD dới góc vuông CMR: SABCD = SMCD + SNCD
Bài 40
Cho ABC nội tiếp (O) D điểm cung BC Một đờng trịn thay đổi qua A D cắt đờng thẳng AB, BD, AC theo thứ tự E, F, G Chứng minh :
a) D điểm cung EG
b) EF song song với đờng thẳng cố định Bài 41
Cho góc nhọn xAy, lấy B C Ax Ay Dựng đờng tròn qua B C cắt Ax P, Ay Q cho PQ = m ( m độ dài cho trớc )
Bµi 42
Cho (O) (O) tiếp xúc A Gọi TT' lµ tiÕp tun chung ngoµi cđa (O) vµ (O’), T T tiếp điểm tơng ứng (O) (O) Đờng thẳng OO cắt (O) B (khác A) cắt (O) C (khác A) BT cắt CT D Cmr : BCD ATT
Bµi 43
Cho ABC nhọn ; chân đờng cao xuất phát từ A, B, C cạnh BC, CA, AB D, E, F Cmr : trực tâm ABC trùng với tâm dờng trịn nội tiếp DEF
Bµi 44
Cho ABC nội tiếp (O) BD CE hai đờng cao xuất phát từ B C (d) tiếp tuyến (O) A CMR: d // DE
V ) tứ giác nội tiếp Bài 45
Cho ba đờng tròn qua điểm P Gọi giao điểm lại chúng A, B, C Từ điểm D đờng tròn (PBC) kẻ tia DB, DC cắt đờng tròn (PAB) (PAC) M N CMR: M, A, N thẳng hàng
Bµi 46
(9)AE , BF cắt M Hai tia AF, BE cắt N Chứng minh : a) Tø gi¸c FNEM néi tiÕp
b) Tø giác CDFE nội tiếp Bài 47
Cho ABC Hai đờng cao BE CF cắt H Gọi D điểm đối xứng H qua trung điểm M BC
a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp Tìm tâm O đờng trịn
b) Đờng thẳng DH cắt (O) điểm thứ hai I Chứng minh A, I, F, H, E nằm đờng tròn
Bµi 48
Cho hai đờng trịn (O) (O’) cắt A B Tia OA cắt (O’) C Tia O’A cắt (O) D CMR: O, O’, B, C, D nằm đờng trũn
Bài 49
Cho hình vuông ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M Đờng thẳng qua C vuông góc với CM cắt tia AB, AD lần lợt E F Tia CM cắt AD N Cmr :
a) Các tứ giác AMCF vµ ANEC néi tiÕp b) CM + CN = EF
Bµi 50
Cho ABCD nội tiếp nửa đờng trịn đờng kính AD Hai đờng chéo AC BD cắt E Vẽ EF AD Gọi M trung điểm DE Chứng minh :
a) C¸c tø gi¸c ABEF, DCEF néi tiÕp b) Tia CA phân giác góc BCF c)* Tứ giác BCMF nội tiếp.
Bài 51
Cho (O) (O) cắt M P Kẻ dây MA (O) tiếp xúc với (O) M Kẻ dây MB (O) tiếp xúc với (O) ë M Trªn tia MP lÊy H cho PH = PM
CMR: Tø gi¸c MAHB néi tiÕp
Bài 52 cho hình thang ABCD nội tiếp (O) Các đờng chéo AC, BD cắt
E, cạnh AD, BC kéo dài cắt F CMR: a) A, D, O, E nằm đờng tròn b) Tứ giác AOCF nội tiếp
Bài 53 cho ABC vuông C Trên AB dựng hình vuông ABMN có tâm I Chứng minh : CI phân giác góc tạo bëi AC vµ BC
Bµi 54
(10)Bµi 55
Hai đờng trịn (O) (O’) cắt A B Một cát tuyến qua A cắt đờng tròn M, N Các tiếp tuyến A (O), (O’) theo thứ tự cắt BN BM P Q Chứng minh PQ // MN
Bµi 56
Cho ABC Một nửa đờng trịn có tâm O cạnh AB, tiếp xúc với AC, BC K I Kẻ tiếp tuyến với nửa đờng tròn cắt cạnh BC AC M N Đoạn thẳng KI cắt OM ON P, Q CMR: MN = 2PQ
Bµi 57
Cho ABC vuông A Trên đoạn AB lấy D Đờng trịn đờng kính BD cắt BC E CD F Chứng minh :
a) Tø gi¸c ACBF néi tiÕp
b) D tâm đờng tròn nội tiếp AEF c) B tâm đờng tròn bàng tiếp AEF Bài 58
Cho hai đờng tròn (O) (O’) cắt B C A điểm (O) AB cắt (O’) D, AC cắt (O’) E AO cắt DE H I trung điểm BC
a) Chøng minh tø gi¸c OIDH néi tiÕp Suy AH DE b) Gäi (d) lµ tiÕp tuyÕn (O) A Chứng minh (d) // DE Bài 59
Cho (O; R) điểm A (O) Qua A vẽ tiếp tuyến AB (O), B tiếp điểm; vẽ cát tuyến ACD thay đổi cắt (O) C D Gọi H hình chiếu B lên AO
a) Chøng minh AB2 = AC.AD
b) cho BH cắt CD I , J trung điểm CD Cmr : AI.AJ = AH.AO Bµi 60
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có đờng trung bình cạnh bên Chứng minh ABCD có đờng trịn nội tiếp
Bµi 61
(11)VI ) bài tập tổng hợp đờng tròn Bài 62 (3điểm)
Cho ABC vuông A(AB < AC), đường cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy điểm D cho HD = HB Kẻ CE vng góc với AD (E thuộc đường thẳng AD)
a) Chứng minh tứ giác AHEC nội tiếp
b) Chứng minh CH tia phân giác góc ACE
c) Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng CA, CH cung nhỏ AH đ -êng tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC Biết AC = 6cm, góc ACB 300
Bµi 63 (3, 5điểm)
Cho (O ; R) dây cung AB cố định không qua tâm M điểm cung lớn AB (M khác A B) Các đường cao AC BD AMB cắt H
a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp b) Chứng minh : MA.MD = MB.MC
c) Cho điểm M di động cung lớn AB Xác định vị trí điểm M cho diện tích tam giác AMB lớn
Bµi 64 (3, 5điểm)
Cho (O), từ điểm M tùy ý nửa đường tròn (M khác A, B) vẽ tiếp tuyến thứ ba với nửa đường tròn cắt tiếp tuyến A, B theo thứ tự H, K
a) Chứng minh: Tứ giác AHMO nội tiếp
b) Chứng minh: AH + BK = HK
c) Chứng minh: HAOAMB HO.MB = 2R2.
d) Cho MOB 1200, R = 3cm Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn hai tiếp
tuyến MK, MB cung BM
Bµi 65 Cho ABC cân có đáy BC 200 Trên nửa nặt phẳng bờ AB không
chứa
điểm C lấy điểm D cho DA = DB D 400 Gọi E giao điểm AB CD
a) Chứng minh ACBD tứ giác nội tiếp, b) Tính góc AED
Bµi 66
Cho ABC cân A có cạnh đáy nhỏ cạnh bên nội tiếp (O) Tiếp tuyến B C đường tròn cắt tia AC AB D E Chứng minh:
(12)b) BC song song DE
Bµi 67 Cho ABC cân C nội tiếp (O), = 370; Vẽ BD //AC (D (O)) Tính DC , D , D C
C
Bµi 68 (3, 5đ) Cho đường trịn (O; R) Từ điểm M ngồi (O) cho MO = 2R, ta
kẻ hai tiếp tuyến MA MB (A B tiếp điểm) Một cát tuyến qua M cắt đường tròn C D Kẻ tia phân giác CAD cắt dây CD E đường tròn N.
Chứng minh tứ giác OAMB nội tiếp Chứng minh MA = ME
Tính tích số MC.MD theo R
Bµi 69 (4,0đ) Cho nửa (O), đường kính BC Lấy điểm A cung BC cho AB < AC
D trung điểm OC, từ D kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt AC E a) Chứng minh tứ giác ABDE nội tiếp đường tròn, xác định tâm b) Chứng minh BAD BED
c) Chứng minh CE.CA = CD.CB
Bµi 70 (4đ) Cho hình vng ABCD, điểm E thuộc cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vng góc với DE, đường thẳng cắt đường thẳng DE, DC H K
a) Chứng minh tứ giác BHCD nội tiếp
b) Tính góc CHK
c) Chứng minh KC.KD = KH.KB
d) Tìm quỹ tích H
Bµi 71 Cho nửa (O; R) đường kính AB, Ax By tiếp tuyến với nửa đường
trònù
Lấy điểm C tia Ax vẽ tiếp tuyến CE (E tiếp điểm) cắt By taïi D
a) C/minh : tứ giác OACE nội tiếp
b) C/minh : COD = 1v
c) C/m COD AEB đồng dạng
d) Cho AE = R C/minh DEB Tính phần d.tích DEB nằm ngồi (O) Bµi 72 ( 3, 25đ) Cho (O; R ) Từ S ngồi đường trịn vẽ tiếp tuyến SA SB
(13)B tiếp điểm ) đường kính AC (O) a./ Chứng minh tứ giác SAOB nội tiếp b./ Chứng minh SO song song với BC
c./ Cho SO = 2R Tính diện tích hình quạt trịn AOB ( ứng với cung nhỏ AB)
Bµi 73
Từ điểm T (O ; R) Vẽ hai tiếp tuyến TA TB với đ.trịn a./ C/minh tứ giác OATB nội tiếp
b./ Vẽ đường kính BOC c/minh OT // AC c./ Cho OT = 2R
Chứng minh TAB
Cho OT cắt cung AB nhỏ D Tính diện tích phần giới hạn nửa đường trịn
đường kính BC dây cung CA, AD, DB theo R
Bµi 74
Cho (O) cát tuyến (d) cố định không qua O cắt (O) điểm E , F Lấy A (d) (E nằm A, F) vẽ tiếp tuyến AB, AC (B, C tiếp điểm ) Gọi H trung điểm EF
a./ C/minh AO BC
b./ C/m: A , B, O, H , C thuộc đ.tròn
c./ BC cắt OA , OH I K C/minh OI.OA = OH.OK = R2 d./ C/minh KE OE KEOF nội tiếp
Bµi 75
Cho (O; R ) đường kính AB CD vng góc nhau.M thuộc cung AC nhỏ.Từ
D hạ DE MA DF MB ; MD cắt EF I a./ C/minh MD phân giác góc AMB
b./ C/minh O, I, E thẳng hàng
c./ Khi M chạy cung ACB I chạy đường ?
d./ Khi MC cạnh lục giác nội tiếp Tính d.tích tứ giác MEDF
Bµi 76 Cho nửa (O; R) đường kính AB dây CD Qua C vẽ đường thẳng
(14)a./ C/minh tứ giác AECI BFCI nội tiếp b./ Chứng minh CIE CBA
c./ C/minh IEF vuoâng
d./ Khi CD = R Tiếp tuyến C D (O) cắt S ODSC
hình ? Tính chu vi diện tích đường trịn ngoại tiếp SC OD Bµi 77
Cho ABC có Â = 1v Vẽ đường cao AH trung tuyến AM Đường tròn tâm
H bán kính HA cắt AB D AC E a./ C/minh D , H , E thẳng hàng b./ C/minh AM DE
c./ C/m tứ giác DBEC nội tiếp Tâm O? C/minh OHAM h.bình hành d./ cho C = 300 , AH = a Tính diện tích HEC theo a
Bµi 78
Trên nửa ( O; R ) đ.kính AD lấy điểm B điểm C cho AB = BC = CD
Qua C vẽ đường thẳng vuơng gĩc với AD H Kéo dài AB cắt tia HC T BD cắt
CH taïi E
a./ C/m tứ giác HDTB nội tiếp
b./ Tiếp tuyến nửa ( O; R ) B cắt tia HC F C/m FBE = FEB c./ Tiếp tuyến D cắt BF M C/minh MBD M , C , O thẳng hàng
d./ Tính theo R diện tích TAH
Bµi 79
Cho ABC nội tiếp (O ; R ) Vẽ đường kính AOI Lấy M
cung nhỏ AB , dây MC lấy N cho MN = MA ; MC cắt AB D a./ C/minh BI CI
b./ C/minh tam giác AMN
c./ C/minh AMB = ANC Tìm vị trí M ABnhỏ để MA + MB lớn d./ Trên tia đối tia CA lấy điểm F cho CF = BD ; DF cắt BC K
C/minh ADIF nội tiếp IK DF Bµi 80
(15)a) Chứng minh tứ giác AEDB CDHE tø gi¸c néi tiÕp b) Chøng minh CE.CA = CD CB vµ DB.DC = DH.DA
c) Chøng minh OC vu«ng gãc víi DE
d) Đờng phân giác AN BAC cắt BC N đờng tròng ( O ) K ( K khác A) Gọi I tâm đờng tròn ngoại tiếp CAN Cmr : KO CI cắt điểm thuộc đờng trịn (O)
Bµi 81 (3đ)
Cho ABC nội tiếp (O) Gọi D điểm cung nhỏ BC ( điểm A
thuộc cung nhỏ BD) Hai tiếp tuyến C D (O) cắt E Gọi P giao điểm đường thẳng AB CD ; Q giao điểm đ.thẳng AD CE
a./ C/m tứ giác CODE APQC nội tiếp b./ C/minh QP // BC
Bµi 82
Trên đờng trịn (O; R) đờng kính AB lấy hai điểm M, E theo thứ tự A, M, E, B AM cắt BE C; AE cắt MB D
a) Chøng minh MCED lµ tø giác nội tiếp CD vuông góc với AB
b) Gọi H giao điểm cảu CD AB Chøng minh r»ng BE BC = BH BA
c) Cmr : tiếp tuyến M E (O) cắt điểm nằm đờng thẳng CD Bài 83
Cho đờng tròn (O; R) điểm S ngồi đờng trịn Vẽ tiếp tuyến SA SB Vẽ đờng thẳng a qua S cắt (O) M; N với M nằm S N (O a)
a) Chøng minh SO AB
b) Gọi H giao điểm SO AB; I trung điểm MN Hai đờng thẳng OI AB cắt E Chứng minh :L ISHE nội tiếp
c) Chøng minh OI.OE = R2
d) Cho SO = 2R vµ MN = R TÝnh diÕn tÝch tam giác ESM theo R Bài 84
Cho MNP vuông M, đờng cao MH ( H cạnh NP ) Đờng trịn đờng kính MH cắt cạnh MN A cắt cạnh MP B
1 Chứng minh : AB đờng kính Đờng trịn đờng kính MH Chứng minh tứ giác NABP tứ giác nội tiếp
3 Từ M kẻ đờng thẳng vng góc với AB cắt cạnh NP I Cmr : IN = IP Bài 85
(16)a) Chứng minh điểm A, E, O, I, F năm đờng thẳng b) Đờng thẳng FI cắt đờng tròn (O) G Chứng minh : EG//AB c) Nối EF cắt AC K Chứng minh : AK.AI = AB.AC
Bµi 86
Cho tam giác nhọn ABC, đờng cao kẻ từ đỉnh B đỉnh C cắt H cắt đ-ờng tròn ngoại tiếp ABC lần lợt E F
1 Chứng minh AE = AF
2 Chứng minh A tâm đờng tròn ngoại tiếp EFH Kẻ đờng kính BD Chứng minh ADCH hình bình Bài 87
Cho PQR (
¿ P
^
❑ ¿
= 900 ) nội tiếp (O), kẻ đờng kính PD. Chứng minh tứ giác PQDR hình chữ nhật
2 Gọi M N thứ tự hình chiếu vng góc Q, R PD PH đờng cao tam giác ( H cạnh QR ) Chứng minh HM vng góc với cạnh PR
3 Xác định tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MHN
4 Gọi bán kính đờng trịn nội, ngoại tiếp PQR r R Cmr : r + R √PQ PR
Bµi 88
Cho ABC vuông C O trung điểm AB D AB ( D A, O, B ) Gọi I J thứ tự tâm đờng tròn ngoại tiếp ACD BCD
1 Chøng minh OI // BC
2 Chứng minh điểm I, J, O, D nằm đờng trũn
3 Chứng minh CD phân giác cđa gãc ACB vµ chØ OI = OJ Bµi 89
Cho đờng trịn tâm O M điểm ngồi đờng trịn Qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB ( A, B tiếp điểm ) cát tuyến cắt đờng tròn C, D
1 Gọi I trung điểm CD Cmr : điểm A, B, O, I nằm đờng tròn AB cắt CD E Chứng MA2 = ME.MI
3 Gi¶ sư AD = a C trung điểm MD Tính đoạn AC theo a Bµi 90
Cho điểm A bên ngồi đờng trịn tâm O Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn(B, C tiếp tuyến) M điểm cung nhỏ BC (M ≠ B, M ≠ C) Gọi D, E, F tơng ứng hình chiếu vng góc M đờng thẳng AB, AC, BC; H giao điểm MB DF ; K giao điểm MC EF
1 Chøng minh:
(17)2 Tìm vị trí điểm M cung nhỏ BC để tích MD.ME lớn Bài 91
Cho hình vngABCD, M điểm đờng chéo BD, gọi H, I K lần lợt hình chiếu vng góc M AB, BC, AD
1. Chøng minh tam gi¸c MIC b»ng tam gi¸c HMK 2. Chøng minh CM vu«ng gãc víi HK
3. Xác định vị trí M để diện tích tam giác CHK đạt giá trị nhỏ Bài 92
Cho hai đờng tròn (O1) (O2) cắt M N, tiếp tuyến chung với hai đờng trịn (O1) (O2) phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa điểm N, có tiếp điểm thứ tự A B Qua M kẻ cát tuyến song song với AB cắt đờng tròn (O1), (O2) thứ tự C, D Đờng thẳng CA đờng thẳng DB cắt I
1. Chøng minh IM vu«ng gãc với CD
2. Chứng minh tứ giác IANB tø gi¸c néi tiÕp
3. Chứng minh đờng thẳng MNđi qua trung điểm AB Bài 93
Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự Dựng đờng trịn đờng kính AB, BC, gọi D E thứ tự hai tiếp điểm tiếp tuyến chung với đờng trịn đờng kính AB BC, M giao điểm AD với CE
1 Chứng minh tứ giác ADEC tứ giác néi tiÕp
2 Chứng minh MB tiếp tuyến hai đờng trịn đờng kính AB BC
3 Kẻ đờng kính DK đờng trịn đờng kính AB Chứng minh K, B, E thẳng hàng
Bµi 94
Cho tam giác vuông MNP (góc M = 900) Từ N dựng đoạn thẳng NQ phía tam giác MNP cho NP = NQ góc MNP = góc PNQ, gọi I trung điểm PQ, MI cắt NP E
1.Chứng minh gãc PMI vµ gãc QNP b»ng Chøng minh tam giác MNE tam giác cân Chứng minh MN.PQ = NP.ME
Bµi 95
Cho nửa đờng trịn đờng kính AB Lấy điểm D tuỳ ý nửa đờng tròn (D ≠ A D ≠ B) Dựng hình bình hành ABCD Từ D kẻ DM vng góc với đờng thẳng AC M từ B kẻ BN vng góc với đờng thẳng AC N
a) Chứng minh bốn điểm D, M, B, C nằm đờng tròn b) Chứng minh AD.ND = BN.DC
(18)Cho ABCD nội tiếp đờng trịn đờng kính AD Hai đờng chéo AC, BD cắt E Hình chiếu vng góc E AD F Đờng thẳng CF cắt đờng tròn điểm thứ hai M Giao điểm BD CF N Chứng minh:
a) CEFD nội tiếp
b) Tia FA tia phân giác cđa gãc BFM c) BE.DN = EN.BD
Bµi 97
Cho đờng trịn (O) đờng kính AB Một dây CD cắt AB H Tiếp tuyến B đ-ờng tròn (O) cắt tia AC, AD lần lợt M N
1 Chứng minh tam giác ACB đồng dạng với tam giác ABM
2 Các tiếp tuyến C D đờng tròn (O) cắt MN lần lợt E F Chứng minh EF = MN/2
3 Xác định vị trí dây CD để tam giác AMN tam giác Bài 98
Cho đờng tròn (O) đờng thẳng a khơng có điểm chung với (O) Từ điểm A thuộc đờng thẳng a, kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đờng tròn (O) (B, C (O)) Từ O kẻ OH a H Dây BC cắt OA D cắt OH E
1 Chứng minh từ giác ABOC nội tiếp đợc đờng tròn Gọi R bán kính đờng trịn (O) Chứng minh OH.OE = R2
3 Khi A di chuyển đờng thẳng a, Cmr : BC qua điểm cố định Bài 99
Cho tam giác ABC cân A, có góc BAC = 450, nội tiếp đờng trịn (O ; R) Tia AO cắt đờng tròn (O; R) D khác A Lấy điểm M cung nhỏ AB (M khác A, B) Dây MD cắt dây BC I Trên tia đối tia MC lấy điểm E cho ME = MB Đờng tròn tâm D bán kính DC cắt MC điểm thứ hai K
1 Chøng minh r»ng:
a BE song song với DM b DCKI tứ giác nội tiếp
2 Không dùng máy tính bảng lợng giác, hÃy tính theo R thể tích hình tam giác ACD quay vòng quanh cạnh AC sinh
Bài 100 Cho (O) đờng kính AB = 2R, C trung điểm OA dây MN OA ti C
Gọi K điểm tuỳ ý cung nhỏ BM, H giao điểm cđa AK vµ MN Chøng minh BCHK néi tiÕp
2 TÝnh tÝch AH.AK theo R Bµi 101
Cho hình thoi ABCD , có góc A = 600, M điểm cạnh BC, đờng thẳng AM cắt cạnh DC kéo dài N
1 Chứng minh đẳng thức: AD2 = BM.DN.
(19)3 Khi hình thoi ABCD cố định Chứng minh điểm E năm cung tròn cố định điểm M thay đổi cạnh BC
Bµi 102
Cho đờng trịn ( ), AB dây cố định đờng trịn khơng qua tâm M điểm cung lớn AB cho MAB tam giác nhọn Gọi D C thứ tự điểm cung nhỏ MA, MB, đờng thẳng AC cắt đờng thẳng BD I, đờng thẳng CD cắt cạnh MA MB thứ tự P, Q
1 Chøng minh tam giác BCI tam giác cân Chứng minh tứ giác BCQI tứ giác nội tiếp Chứng minh QI = MP
4 Đờng thẳng MI cắt đờng tròn N, M chuyển động cung lớn AB trung điểm MN chuyển động đờng no ?
Bài 103 Cho tam giác vuông cân ABC ( AB = AC ), cạnh BC lÊy ®iĨm M Gäi (O1)
là tâm đờng trịn tâm 01qua M tiếp xúc với AB B, gọi ( O2 ) tâm đờng tròn tâm O2 qua M tiếp xúc với AC C Đờng tròn ( O1) ( O2 ) cắt D ( D M )
1 CMR tam giác BDC tam giác vuông
2 Chng ming 01D tiếp tuyến đờng tròn tâm ( O2 )
3 B01 cắt C02 E Chứng minh điểm A, B, D, E, C năm đờng trịn Xác định vị trí M cho đoạn thẳng O102 ngắn
Bµi 104 Cho ABC ( AC > AB,
¿ A
^
❑ ¿
= 900 ) Gọi I tâm đờng tròn nội tiếp ABC,
tiếp điểm đờng tròn nội tiếp với cạnh AB, BC, AC lần lợt M, N, P Chứng minh tứ giác AMIP hình vuông
2 Đờng thẳng AI cắt PN D Chứng minh điểm M, B, N, D, I nằm đờng trịn
3 Cho BI vµ CI kéo dài cắt AC, AB lần lợt E F Cmr : BE CF = BI CI
Bµi 105 Từ A nằm ngồi (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ANM ®ến (O) Gọi E
là trung điểm MN Đường thẳng CE cắt (O) I
a) Chứng minh: điểm A, B, O, E, C thuộc đường trịn có tâm S b) Chứng minh: góc AOC = góc BIC
c) Xác định vị trí cát tuyến ANM cho tổng AM + AN lớn ? Bµi 106
Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB Trên đờng trịn (O) lấy điểm C (C không trùng với A, B CA > CB) Các tiếp tuyến đờng tròn (O) A, C cắt điểm D, kẻ CH vuông góc với AB ( H thuộc AB), DO cắt AC E
(20)2) Đờng thẳng CD cắt đờng thẳng AB F Chứng minh 2BCF CFB 90 3) BD cắt CH M Chứng minh EM//AB
Bµi 107
Cho đường cao hạ từ A B Δ ABC cắt H ( góc ACB 900 )
và cắt đường tròn ngoại tiếp Δ ABC D E a) Chứng minh : CD = CE
b) Chứng minh Δ BHD cân CD = CH
c) AD cắt BC M Gọi N F hình chiếu D AB AC Chứng minh điểm N; M; F thẳng hàng
Bµi 108
Cho Δ ABC ( AB < AC) nội tiếp (O; R), đường cao AD kéo dài cắt (O) E Trên ®oạn DA lấy H cho DH = DE Tia BH cắt AC K; cắt (O) F
a) Chứng minh : Tứ giác CDHK ABDK nội tiếp đường tròn b) Chứng minh: KD // EF H trực tâm Δ ABC
c) Chứng minh: BM.AB + CK.AC = BC2 d) Cho biết DK = 12AB Tính DK theo R
Bµi 109 Cho (O; R) đường kính AB Trên tia đối tia AB lấy điểm E Từ E vẽ tiếp
tuyến EM với (O) ( M tiếp điểm) Vẽ tiếp tuyến A ; B cắt EM C; D a) Chứng minh : AC + BD = CD góc COD = 900.
b) Chứng minh: AC.BD = R2.
c) Vẽ MH AB vµ đường kính MON (O) EN cắt (O) F Cmr: MHFE nội tiếp
d) Cho AD cắt BF K Tính AK.AN + BK.BF theo R
Bµi 110 Cho ∆ABC có góc nhọn Vẽ (O) đường kính BC cắt AB E cắt AC F
a/BF, CE đường cao AK ABC đồng quy H b/C/m : BH.HF = HC.HE
c/Chứng tỏ điểm : B; K; H; E nằm đường trịn từ suy EC phân giác KEF
Bµi 111
(21)a) Chứng minh: AB.AC = AH.AD
b) Đường thẳng AH cắt (O) E Gọi K điểm đối xứng E qua BC c) Chứng minh: K trực tâm Δ ABC
d) Hai đường thẳng CK AB cắt M Hai đường thẳng BK AC cắt N Chứng minh hai đường thẳng AD MN
e) Cho góc BAC = 450 Chu7ng1 minh điểm B, M, O, N, C thuộc đường
trịn có tâm I Tính diện tích hình phẳng giới hạn dây MN cung MN ( I ) theo R
Bµi 112
Cho (O; 2R) và (O’; R) tiếp xúc I Vẽ tiếp tuyến chung AB (O) (O’) ( B (O) A (O’) Tiếp tuyến chung I cắt AB M
a) Chứng minh : tam giác O’MO AIB tam giác vuông
b) OM cắt BI E ; O’M cắt AI F Chứng minh: EMFI hình chữ nhật c) Chứng minh: OEFO’ nội tiếp
d) Cho AB = 8cm Tính diện tích tam giác MEF Bµi 113
Cho ABC nhọn Đường trịn tâm O đường kính BC cắt AB, AC F E; BE cắt CF H
a) C/m: tứ giác AEHF nội tiếp.Xác định tâm I đường tròn ngoại tiếp tứ giác b) C/m: OI EF
c) AH cắt BC D cắt (O) M ; N Chứng minh: HM HN = HD HA
d) Cho góc ABC = 600 , góc ACB = 750 BC = cm Tính diện tích hình phẳng giới
hạn IE, IF cung nhỏ EF (O) Bµi 114
Cho ABCD nội tiếp (O; R) có AB đường kính, hai đường chéo AC DB cắt I Dựng IK AB K
a) C/m: ADIK BCIK nội tiếp Xác định tâm E tâm F đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác
b) C/m: KI phân giác DKC I tâm đường tròn ngoại tiếp Δ DKC c) C/ m: DEKC nội tiếp
d) C/m: ba đường thẳng AD, IK, BC đồng quy điểm Bµi 115
(22)a) C/m: OM BC
b) Dựng đường cao AH Δ ABC Cmr: AM tia phân giác góc OAH c) Từ H kẻ đường thẳng song song với tiếp tuyến C (O) cắt AC I Chứng
minh: BI đường cao ABC d) C/m: AD2 = AB.AC – DB DC
Bµi 116 Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R kẻ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn C điểm nửa đường tròn cho cung AC cung CB Trên cung AC lấy điểm D tuỳ ý (D khác A C).các tia BC, BD cắt Ax E F
a/ C.m ∆BAE vuông cân
b/C/m tứ giác ECDF nội tiếp
c/ Cho C động nửa đường tròn (C khác A B ) D di động cung AC (D khác A C) Cmr : BC.BE + BD.BF có giá trị khơng đổi
Bµi 117 Cho nửa (O) đường kính BC = 2a điểm A nằm nửa đường tròn
cho AB = a, M điểm cung nhỏ AC , BM cắt AC I.Tia BA cắt CM D a/ C/m ∆AOB
b/ AIMD nội tiếp đường tròn , xác định tâm K đường tròn ngoại tiếp tứ giác c/ Tính ADI
d/ Cho ABM = 450 Tính độ dài cung AI diện tích hình quạt AKI đường trịn
tâm K theo a
Bµi 118 (3 đ) C h o đường trịn (O) đường kính AB Vẽ dây CD vng góc với đường
kính AB H Gọi M điểm cung nhỏ CB, I giao điểm CB OM a Chứng minh: MA tia phân giác CMD
b Chứng minh: Bốn điểm O, H, C, I nằm đường trịn
c Cmr :Đường vng góc vẽ từ M đến AC tiếp tuyến (O) M
Bµi 119 Cho ABC có AB = AC đường cao AG; BE; CF gặp H a Cmr : AEHF nội tiếp Xác định tâm I đường trịn ngoại tiếp tứ giác b Chứng minh: GE tiếp tuyến (I)
c Chứng minh: AH.BE = AF.BC
(23)Bài 120 (3 điểm) Cho ng trũn tõm O đường kính AB Trên đường trịn lấy điểm D
khác A B Trên đường kính AB lấy điểm C kẻ CH AD H Đường phân giác DAB cắt đường tròn E cắt CH F, đường thẳng DF cắt đường tròn N Chứng minh rằng:
a) ANF = ACF
b) Tứ giác AFCN tứ giác nội tiếp đường tròn c) Ba điểm C, N, E thẳng hàng
Bài 121 Cho ABC ( Â = 1v ), đờng cao AH Đờng trịn đờng kính AH cắt cạnh AB, AC lần lợt E F
a CM: AEHF hình chữ nhật b CM: EFCB nội tiếp
c Đờng thẳng qua A vuông góc với EF cắt BC I Cmr : I trung ®iĨm cđa BC d CMR: NÕu S ABC = S AEHF ABC vuông cân
Bi 122 Cho ABC ( AB > AC ) nội tiếp (O) Vẽ đờng phân giác  cắt (O) ti M
Nối OM cắt BC I
1 Chứng minh tam giác BMC cân Chứng minh: gãc BMA < gãc AMC
3 Chøng minh: gãc ABC + gãc ACB = gãc BMC
4 §êng cao AH BP tam giác ABC cắt Q Chứng minh OH // AH Trên AH lấy điểm D cho AD = MO Tứ giác OMDA hình gì?
6 Chứng minh AM phân giác góc OAH
7 OM kéo dài cắt (O) N Vẽ OE vuông góc với NC Chøng minh OE=1
2MB Chứng minh OICE nội tiếp Xác định tâm đờng tròn ngoại tiếp OICE Chứng minh tứ giác ABHP QPCH nội tiếp
10 Tõ C vÏ tiÕp tuyến (O) cắt BM K Cmr: CM phân giác BCK 11 So sánh góc KMC vµ KCB víi gãc A
12 Từ B vẽ đờng thẳng song song với OM cắt CM S Chứng minh BMS cân 13 Chứng minh góc S = góc EOI – góc MOC
14 Chøng minh gãc SBC = gãc NCM 15 Chøng minh gãc ABF = gãc AON
16 Tõ A kỴ AF // BC, F thuéc (O) Chøng minh BF = CA
Bài 123 Cho ABC có ba góc nhọn Đờng trịn tâm O đờng kính BC cắt AB, AC theo thứ tự D, E Gọi I giao điểm BE CD
(24)2 Chøng minh gãc IDE = gãc IAE Chøng minh : AE EC = BE EI
4 Cho góc BAC = 600 Chứng minh tam giác DOE đều.
Bµi 124 Cho ABC nhọn nội tiếp (O) Đờng cao AH tam giác ABC cắt (O) D ,
AO kéo dài cắt (O) E
a. Chứng minh tứ giác BDEC hình thang cân
b.Gọi M điểm cung DE, OM cắt BC I Chứng minh I trung điểm BC
c. TÝnh b¸n kÝnh cđa (O) biÕt BC = 24 cm vµ IM = cm
Bài 125 Trên nửa (O) đờng kính AB lấy hai điểm M N cho cung AM, MN,
NB b»ng Gọi P giao điểm AM BN, H giao điểm AN với BM a) CMR: AMNB hình thang cân
b) CMR: PH AB Từ suy P, H, O thẳng hàng c) CMR: ON tiếp tuyến đờng tròn đờng kính PH
Bài 126 Tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn đờng kính AC ( AB > BC ; AD > CD ) Gọi E giao điểm AB CD, F giao điểm AD BC Chứng minh rằng:
a) EF AC
b) DA DF = DC DE c) Tø gi¸c BDFE néi tiÕp
Bài 127 Cho ABC vuông cân A ( AB > AC ), đờng cao AH Vẽ đờng tròn tâm I đờng kính BH cắt AB E, đờng trịn tâm K đờng kính CH cắt AC F
a) Tứ giác AEHF hình gì?
b) Chứng minh tø gi¸c BEFC néi tiÕp c) Chøng minh AE AB = AF AC
d) Chømg minh EF lµ tiÕp tun chung cđa (O) vµ (I)
e) Gọi Ax tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp ABC Chứng minh Ax // EF Bài 128
Cho (O, R) , d©y cung AB < 2R Gọi M điểm cung nhỏ AB Kẻ hai dây MC, MD lần lợt cắt AB E vµ F CMR:
a) Tam giác MAE MCA đồng dạng b) ME MC = MF MD
(25)d) Khi AB=R√3 tam giác OAM Bài 129
Cho (O) (O’) có bán kính R R’ ( R > R’) tiếp xúc C Gọi AC BC hai đờng kính qua C (O) (O’) DE dây cung (O) vng góc với AB trung điểm M AB Gọi giao điểm thứ hai đờng thẳng DC với (O’) F
a) Tứ giác AEBD hình gì?
b) Chứng minh ba điểm B, E, F thẳng hàng
c) Chứng minh tứ giác MDBF nội tiếp
d) DB cắt (O’) G Chứng minh DF, EG, AB đồng qui
e) Chøng minh MF=1
2DE vµ MF lµ tiÕp tun cđa (O’)
Bµi 130
Cho ABC vuông cân A Điểm D thuộc AB Qua B vẽ đờng thẳng vuông góc với CD H, đờng thẳng BH cắt CA E
a) Chøng minh tø gi¸c AHBC néi tiÕp
b) TÝnh gãc AHE
c) Chứng minh tam giác EAH EBC đồng dạng
d) Chøng minh AD = AE
e) Khi điểm D di chuyển cạnh AB điểm H di chuyển đờng nào? Bài 131
Cho đờng tròn tâm O đờng kính BC, điểm A thuộc (O) Vẽ bán kính OK // BA ( K A nằm phía BC ) Tiếp tuyến với (O) C cắt OK I
a) Chøng minh IA lµ tiÕp tun cđa (O)
b) Chøng minh CK tia phân giác góc ACI
c) Cho BC = 30 cm; AB = 18 cm TÝnh OI, CI Bài 132
Cho đoạn thẳng AB O trung điểm AB Vẽ phía với AB tia Ax, By vuông góc với AB Các điểm M, N theo thứ tự di chuyển Ax By cho góc MON = 900 Gọi I trung điểm MN Chứng minh :
a) AB lµ tiÕp tun cđa (I ; IO)
b) MO tia phân giác góc AMN
c) MN tiếp tuyến đờng tròn đờng kính AB
(26)Cho (O; R) (O’; r)tiếp xúc A Gọi BC tiếp tuyến chung ngồi hai đờng trịn ( B thuộc (O); C thuộc (O’) ) Tiếp tuyến chung hai đờng tròn A cắt BC M
a) Chứng minh A, B, C thuộc đờng tròn tâm M
b) Đờng thẳng OO’ có vị trí tơng đối với (M) nói trên?
c) Xác định tâm đờng tròn qua ba điểm O, O’, M
d) Chứng minh BC tiếp tuyến đờng tròn qua ba điểm O, O’, M Bài 134
Cho (O) (O’)tiếp xúcngoài A Đờng thẳng Ô’ cắt (O) (O’) theo thứ tự tạu B C ( khác A ) Gọi DE tiếp tuyến chung ngồi hai đờng trịn ( D thuộc (O); E thuộc (O’)) M giao điểm BD CE Chứng minh :
a) Góc DME góc vuông
b) MA l tiếp tuyến chung hai đờng tròn
c) MD MB = ME MC Bµi 135
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), đờng cao BD, CE , M trung điểm BC
a) Chøng minh tø gi¸c BCDE néi tiÕp
b) Chứng minh tam giác ADE ABC đồng dạng
c) KỴ tiÕp tun Ax víi (O) Chøng minh Ax // DE
d) Chứng minh góc BAC = 600 tam giác DME tam giác đều. Bài 136
Cho (O) điểm A nằm bên (O) Vẽ tiếp tuyến AB AC , cát tuyến ADE Gọi H trung điểm DE
a) Chứng minh tø gi¸c BHOC néi tiÕp
b) Chøng minh HA tia phân giác góc BHA
c) Gọi I giao điểm BC DE Chứng minh : AB2 = AI AH.
d) Cho BH cắt (O) K Chứng minh AE // CK Bµi 137
Từ điểm A bên ngồi đờng trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN đờng trịn Gọi I trung điểm dây MN
a) Chứng minh điểm A, B, I, O, C nằm đờng trịn
(27)Bµi 138
Cho (O), đờng tròn AB Vẽ tiếp tuyến xBy Gọi C, D hai điểm di động hai nửa mặt phẳng bờ AB đối Tia AC cắt Bx M, tia AD cắt By N
a) Chứng minh tam giác ACD AMN đồng dạng
b) Tø gi¸c MNDC néi tiÕp
c) Chứng minh AC AM = AD AN tích khơng đổi C, D di động Bài 139 Xét nửa đờng trịn (O), đờng kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax dây AC Tia phân giác góc Cax cắt nửa đờng trịn D, tia AD BC cắt E
a) Chứng minh tam giác ABE cân B
b) Các dây AC BD cắt t¹i K Chøng minh EK AB
c) Tia BD cắt tia Ax F Chứng minh tứ giác AKEF hình thoi
Bi 140 Cho ABC nội tiếp đờng tròn tâm O , tia phân giác góc A cắt BC
E cắt đờng tròn M
a) CMR OM BC
b) Dựng tia phân giác Ax góc A CMR Ax qua im c nh
c) Kéo dài Ax cắt CB kéo dài F CMR FB EC = FC EB
Bµi 141 Cho ABC nhọn nội tiếp (O), H trực tâm tam giác ABC, M điểm
trên cung BC không chứa điểm A
a) Xỏc nh v trớ M để tứ giác BHCM hình bình hành
b) Gọi N E lần lợt điểm đối xứng M qua AB AC Chứng minh ba điểm N H , E thẳng hàng
c) Xác định vị trí M để NE có độ dài lớn
Bài 142 Cho nửa lục giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn (O ; R) Hai tip tuyn
tại B D cắt T
a) Chứng minh OT // AB
b) Chøng minh ba ®iĨm O, C, T thẳng hàng
c) Tính chu vi diÖn tÝch TBD theo R
(28)Cho đờng trịn tâm O, đờng kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B vẽ đờng tròn tâm O’ đờng kính BC Gọi M trung điểm AB Từ M kẻ dây cung DE vng góc với AB, DC cắt (O’) I
a) Tø gi¸c ADBE hình ? sao?
b) Chứng minh BI // AD
c) Chøng minh ba ®iĨm I, B, E thẳng hàng MD = MI
d) Xác định giải thích vị trí tơng đối đờng thẳng MI với (O’)
Bài 144 Cho nửa đờng trịn (O) đờng kính AB, bán kính OC vng góc với AB Gọi M điểm di động cung BC ( M ≠ B, M ≠ C) AM cắt OC N
a) Chứng minh tích AM AN khơng đổi
b) VÏ CD AM Chøng minh c¸c tø gi¸c MNOB vµ AODC néi tiÕp
c) Xác định vị trí điểm M cung BC để tam giác COD cân D
Bµi 145 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Tia phân giác góc A cắt BC D, cắt (O)
ti E Tiếp tuyến đờng tròn A cắt đờng thẳng BC M
a) Chøng minh MA = MD
b) Gọi I điểm đối xứng với D qua M, gọi F giao điểm IA với (O) Chứng minh E, O, F thẳng hàng
Bµi 146 Cho tam giác ABC vuông A
a) Nêu cách dựng (O) qua A tiếp xúc với BC B Nêu cách dựng (O) qua tiếp xóc víi BC t¹i C
b) Hai đờng trịn (O) (O’) vị trí tơng đối nào?
c) Gọi M trung điểm BC Cmr : AM lµ tiÕp tun chung cđa (O) vµ (O’)
d) Cho AB = 36cm, AC = 48 cm Tính độ dài BC bán kính (O) , (O’) Bài 147
Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng (O) đờng kính MC Đờng thẳng BM cắt (O) D Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) S
a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp CA tia phân giác góc SCB
b) Gi E giao điểm BC với (O) Cmr: đờng thẳng BA, EM, CD đồng qui
c) Chøng minh DM phân giác góc ADE
(29)Cho (O, R) (O’, r) tiếp xúc M ( R > r ) Đ ờng thẳng OO’ cắt (O) C, cắt (O’) D Tiếp tuyến chung AB ( A∈(O), B∈(O ') ) cắt đòng thẳng OO’ H Tiếp tuyến chung hai đờng tròn M cắt AB I
a) Chứng minh tam giác OIO AMB tam giác vuông
b) Chứng minh AB=2R.r
c) Tia AM cắt (O) A, tia BM cắt (O) B Chứng minh ba điểm A, O, B A , O , B thẳng hàng CD2 = BB’2 + AA’2.
d) Gọi N N’ lần lợt giao điểm AM với OI BM với O’I Tính độ dài đoạn thẳng MI, AB, OI, O’I, OH, O’H theo R r
Bµi 149
Cho (O) đờng kính AB, điểm C ( khác A, B ) nằm đờng tròn Tiếp tuyến Cx (O) cắt tia AB I Phân giác góc CIA cắt OC O’
a) Chứng minh (O’, O’C) vừa tiếp xúc với (O) vừa tiếp xúc với đờng thẳng AB
b) Gọi D, E theo thứ tự giao điểm thø hai cđa CA, CB víi (O’) Chøng minh D, O, E thẳng hàng
c) Tỡm v trớ C cho đờng tròn ngoại tiếp tam giác OCI tiếp xúc với AC Bài 150
Cho nửa đờng trịn đờng kính AB = 2R Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đờng tròn C D hai điểm di động nửa đờng tròn Các tia AC AD cắt Bx lần lợt E F ( F nằm B E )
a) Chứng minh hai tam giác ABF BDF đồng dạng
b) Chøng minh tø gi¸c CEFD néi tiÕp
c) Khi D C di động nửa đờng tròn , Cmr :AC AE = AD AF = số Bài 151
Cho (O) Vẽ hai dây AB CD vng góc M bên (O) Từ A vẽ đờng thẳng vuông góc với BC H, cắt CD E F điểm đối xứng C qua AB Tia AF cắt tia BD K Chứng minh rằng:
a) Gãc MAH = gãc MCB
b) Tam gi¸c ADE cân
c) Tứ giác AHBK nội tiếp Bài 152
Cho đoạn thẳng AB C điểm nằm A B Ngời ta kẻ nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I Tia Cz CI C cắt By K Đờng trịn đờng kính IC cắt IK P Chứng minh:
(30)b) AI.BK = AC.CB
c) APB vu«ng
d) Giả sử A, B, I cố định Xác định vị trí điểm C cho diện tích hình thang vng ABKI lớn
Bµi 153
Cho (O) điểm A nằm (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN với (O) (B, C, M, N thuộc (O); AM < AN) Gọi E trung điểm dây MN, I giao điểm thứ hai đờng thẳng CE với (O)
a) Chứng minh bốn điểm A, O, E, C nằm đờng tròn
b) Chøng minh gãc AOC = gãc BIC
c) Chøng minh BI//MN
d) Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn Bài 154
Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC), đờng cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy D cho HD = HB Vẽ CE vng góc với AD (EAD)
a) Chøng minh tø gi¸c AHCE néi tiÕp
b) Chứng minh AB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp AHCE
c) Chøng minh CH tia phân giác góc ACE
d) Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng CA, CH cung nhỏ AH đ-ờng tròn nãi trªn biÕt AC = 6cm; gãc ACB = 30o.
Bµi 155
Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng trịn tâm O Các đờng cao AD , BK cắt H , BK kéo dài cắt đờng F Vẽ ng kớnh BOE
a) Tứ giác AFEC hình ? Tại ?
b) Gọi I trung điểm AC , chứng minh H , I , E thẳng hàng
c) CMR OI = BH
2 H ; F đối xứng qua AC
Bài 156 Cho (O) có đờng kính BC Gọi A điểm thuộc cung BC (cung AB < AC)
D OC Đờng vuông góc với BC D cắt AC E, cắt tia BA ë F
a) Chøng minh tø gi¸c ADCF nội tiếp
b) Gọi M trung điểm cña EF Chøng minh: gãc AME = gãc ACB
c) Chøng minh AM lµ tiÕp tun cđa (O)
(31)Bài 157 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R điểm M di chuyển nửa đờng tròn Ngời ta vẽ đờng tròn tâm E tiếp xúc với (O) M tiếp xúc với AB N Đ-ờng tròn cắt MA, MB lần lợt điểm thứ hai C, D
a) Chøng minh CD//AB
b) Chứng minh MN tia phân giác góc AMB đờng thẳng MN qua điểm K cố định
c) Chứng minh tích KM.KN cố định
d) Gọi giao điểm tia CN, DN với KB, KA lần lợt C', D' Tìm vị trí M để chu vi NC'D' đạt GTNN
Bµi 158
Cho đờng trịn đờng kính AB, điểm C, D đờng tròn cho C, D không nằm nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC Gọi điểm cung AC, AD lần lợt M, N Giao điểm MN với AC, AD lần lợt H, I Giao điểm MD với CN K
a) CM: NKD MAK cân
b) CM: tứ giác MCKH nội tiếp đợc Suy KH//AD
c) So s¸nh c¸c gãc CAK víi gãc DAK
d) Tìm hệ thức số đo AC, số đo AD điều kiện cần đủ để AK//ND Bài 159
Cho (O1) (O2) tiếp xúc với điểm A tiếp tuyến chung Ax Một đ-ờng thẳng d tiếp xúc với (O1), (O2) lần lợt B, C cắt Ax điểm M Kẻ đờng kính BO1D, CO2E
a) Chøng minh M trung điểm BC
b) Chứng minh O1MO2 vuông
c) Chứng minh B, A, E thẳng hàng; C, A, D thẳng hàng
d) Gi I trung điểm DE Cmr : đờng tròn ngoại tiếp IO1O2 tiếp xúc với d Bài 160
Cho hai đờng trịn tâm O O’ có R > R’ tiếp xúc C Kẻ đờng kính COA CO’B Qua trung điểm M AB , dựng DE AB.
a) Tø giác ADBE hình ? Tại ?
b) Nối D với C cắt đờng tròn tâm O’ F CMR ba điểm B , F , E thẳng hàng
c) Nối D với B cắt đờng tròn tâm O’ G CMR : EC qua G
(32)Cho nửa đờng trịn đờng kính COD = 2R Dựng Cx , Dy CD Từ điểm E nửa đờng tròn , dựng tiếp tuyến với đờng tròn , cắt Cx P , cắt Dy Q
a) Chứng minh POQ vuông ; POQ đồng dạng với CED
b) TÝnh tÝch CP.DQ theo R
c) Khi PC = R
2 CMR
ΔPOQ ΔCED=
25 16
Bµi 162
Cho đờng trịn tâm O bán kính R có hai đờng kính AOB , COD vng góc với Lấy điểm E OA , nối CE cắt đờng tròn F Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đờng tròn , qua E dựng Ey vng góc với OA Gọi I giao điểm Fx Ey
a) Chứng minh I, F, E, O nằm ng trũn
b) Tứ giác CEIO hình ?
c) Khi E chuyển động AB I chuyển động đờng ? Bài 163
Cho đờng tròn tâm O điểm A đờng tròn Qua A dựng tiếp tuyến Ax Trên Ax lấy điểm Q , dựng tiếp tuyến QB
a) CMR tứ giác QBOA nội tiếp đợc
b) Gọi E trung điểm QO , tìm quỹ tích E Q chuyển động Ax
c) H¹ BK Ax , BK cắt QO H CMR OBHA hình thoi Bài 164
Cho (O, R) (O’, R’ ) (với R > R’ ) tiếp xúc A Đờng nối tâm cắt đờng tròn O’ đờng tròn O B C Qua trung điểm P BC dựng dây MN BC Nối A với M cắt đờng trịn O’ E
a) So s¸nh AMO víi NMC
b) Chøng minh N , B , E thẳng hàng OP = R ; OP = R’
c) Xét vị trí PE với đờng tròn tâm O’ Bài 165
Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB Lấy B làm tâm vẽ đờng trịn bán kính OB Đ-ờng tròn cắt đĐ-ờng tròn O C D
a) Tứ giác ODBC hình ? Tại ?
b) CMR OC AD ; OD AC
c) CMR trực tâm tam giác CDB nằm đờng tròn tâm B Bài 166
Cho đờng tròn tâm O đờng thẳng d cắt đờng trịn hai điểm cố định A B Từ điểm M đờng thẳng d nằm đoạn AB ngời ta kẻ hai tiếp tuyến với đờng tròn MP MQ ( P, Q tiếp điểm )
a) TÝnh c¸c gãc cđa ΔMPQ biÕt r»ng gãc hai tiếp tuyến MP MQ 45
(33)b) Gọi I trung điểm AB CMR ®iĨm M , P , Q , O , I nằm đ ờng tròn
Bµi 167 Cho ABC ( AB = AC , A < 900 ), mét cung tròn BC nằm ABC
tip xúc với AB , AC B C Trên cung BC lấy điểm M hạ đờng vng góc MI , MH , MK xuống cạnh tơng ứng BC , CA , AB Gọi P giao điểm MB , IK Q giao điểm MC , IH
a) CMR tứ giác BIMK , CIMH nội tiếp đợc
b) CMR tia đối tia MI phân giác HMK
c) CMR tứ giác MPIQ nội tiếp đợc Suy PQ BC
Bµi 168 Cho ABC ( AC > AB ; B^A C > 900 ) I , K theo thø tù trung điểm
AB , AC Các đờng trịn đờng kính AB , AC cắt điểm thứ hai D ; tia BA cắt đờng tròn (K) điểm thứ hai E ; tia CA cắt đờng tròn (I) điểm thứ hai F
a) CMR ba ®iĨm B , C , D thẳng hàng
b) CMR t giỏc BFEC ni tip đợc
c) Chứng minh ba đờng thẳng AD , BF , CE đồng quy
d) Gọi H giao điểm thứ hai tia DF với đờng tròn ngoại tiếp AEF Hãy so sánh độ dài đoạn thẳng DH , DE
Bài 169 Cho đờng tròn (O; R) điểm A với OA = R√2 , đờng thẳng (d) quay quanh A cắt (O) M , N ; gọi I trung điểm đoạn MN
a) CMR OI MN Suy I di chuyển cung tròn cố định với hai điểm giới hạn B , C thuộc (O)
b) Tính theo R độ dài AB , AC Suy A , O , B , C bốn đỉnh hình vng
c) Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn đoạn AB , AC cung nhỏ BC cđa (O)
Bài 170 Cho nửa đờng trịn đờng kính AB = 2R , C trung điểm cung AB Trên cung AC lấy điểm F Trên dây BF lấy điểm E cho BE = AF
a) AFC vµ BEC cã quan hƯ víi nh thÕ nµo ? Tại ?
b) CMR FEC vuông cân
c) Gọi D giao điểm đờng thẳng AC với tiếp tuyến B nửa đờng tròn CMR tứ giác BECD nội tiếp đợc
Bài 171 Cho đờng trịn (O; R) hai đờng kính AB , CD vng góc với E điểm cung nhỏ BD ( E ≠ B ; E ≠ D ) EC cắt AB M , EA cắt CD N
a) CMR AMC đồng dạng ANC
b) CMR : AM.CN = 2R2
c) Gi¶ sư AM = 3MB TÝnh tØ sè CN ND
(34)hai điểm cungAM , MB ; gọi Q trung điểm dây MB , K giao điểm AM , HI
a) Tính độ lớn góc HKM
b) Vẽ IP AM P , CMR IP tiếp xúc với đờng trịn (O)
c) Dựng hình bình hành APQR Tìm tập hợp điểm R M di động nửa đờng trịn (O) đờng kính AB
Bài 173 Gọi O trung điểm cạnh BC ABC Vẽ góc xOy = 600 cho tia Ox,
Oy cắt cạnh AB , AC lần lợt M, N
a) CMR OBM đồng dạng NCO , từ suy BC2 = BM.CN
b) CMR : MO, NO theo thứ tự tia phân giác gãc BMN, MNC
c) CMR đờng thẳng MN ln tiếp xúc với đờng trịn cố định , góc xOy quay xung quanh O cho tia Ox, Oy cắt cạnh AB, AC tam giác ABC
Bài 174 Cho M điểm nửa đờng trịn tâm (O) đờng kính AB = 2R Bài 175 ( M ≠ A , B ) Vẽ tiếp tuyến Ax , By , Mz nửa đờng trịn Đờng
Mz cắt Ax , By lần lợt N P Đờng thẳng AM cắt By C đờng thẳng BM cắt Ax D Chứng minh :
a) Tứ giác AOMN nội tiếp đờng tròn NP = AN + BP
b) N P lần lợt trung điểm đoạn thẳng AD BC
c) AD.BC = 4R2
d) Xác định vị trí M để t giác ABCD có diện tích nhỏ Bài 176
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tâm (O) I điểm cung AB (cung AB khơng chứa C D ) Dây ID , IC cắt AB lần lợt M N
a) CMR tứ giác DMNC nội tiếp đờng tròn
b) IC AD cắt E ; ID BC cắt F CMR EF // AB
Bài 177 Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B ( B ≠ C )
vẽ đờng tròn tâm (O’) đờng kính BC Gọi M trung điểm đoạn AB Qua M kẻ dây cung DE vng góc với AB , DC cắt đờng trịn (O’) I
a) Tø gi¸c ADBE hình ? Tại ?
b) Chứng minh ba điểm I , B , E thẳng hàng
c) CMR: MI tiếp tuyến đờng tròn (O’) MI2 = MB.MC Bài 178
(35)a) Chøng minh : CD // AB
b) Chứng minh MN tia phân giác góc AMB đờng thẳng MN ln qua điểm K cố định
c) CMR : KM.KN không đổi Bài 179
Cho đờng trịn đờng kính AB, điểm C, D đờng tròn cho C, D không nằm nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC Gọi điểm cung AC, AD lần lợt M, N; giao điểm MN với AC, AD lần lợt H, I; giao điểm MD với CN K
a) CMR: ΔNKD; ΔMAK c©n
b) CMR tứ giác MCKH nội tiếp đợc Suy KH // AD
c) So s¸nh gãc CAK víi gãc DAK Bµi 180
Cho ba điểm A , B , C đờng thẳng theo thứ tự đờng thẳng (d) vng góc với AC A Vẽ đờng trịn đờng kính BC lấy điểm M Tia CM cắt đờng thẳng d D ; tia AM cắt đờng tròn điểm thứ hai N ; tia DB cắt đờng tròn điểm thứ hai P
a) CMR tứ giác ABMD nội tiếp đợc CMR : CM.CD khơng phụ thuộc vị trí M
b) Tø giác APND hình ? Tại ?
c) Cmr : trọng tâm G MAC chạy đờng tròn cố định M di động Bài 181
Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB Một điểm M nằm cung AB ; gọi H điểm cung AM Tia BH cắt AM điểm I cắt tiếp tuyến A (O) điểm K Các tia AH ; BM cắt S
a) BAS tam giác ? Tại ? Suy điểm S nằm đờng tròn cố định
b) Xác định vị trí tong đối đờng thẳng KS với đờng trịn (B; BA)
c) Đờng tròn qua B , I , S cắt đờng tròn (B; BA) điểm N CMR đờng thẳng MN qua điểm cố định M di động cung AB
d) Xác định vị trí M cho MK A=^ 900 . Bài 182
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn P điểm cung AB khơng chứa C D Hai dây PC PD lần lợt cắt dây AB E F Các dây AD PC kéo dài cắt I ; dây BC PD kéo dài cắt K CMR:
a) Gãc CID b»ng gãc CKD
b) Tứ giác CDFE nội tiếp đợc
c) IK // AB
(36)Bài 183 Cho hai đờng tròn (O1) (O2) tiếp xúc với A , kẻ tiếp tuyến chung Ax Một đờng thẳng d tiếp xúc với (O1) , (O2) lần lợt điểm B , C cắt Ax điểm M Kẻ đờng kính BO1D v CO2E
a) CMR: M trung điểm cđa BC
b) CMR: Δ O1MO2 vu«ng
c) Chứng minh B , A , E thẳng hàng ; C , A , D thẳng hàng
d) Gi I trung điểm DE Cmr : đờng tròn ngoại tiếp IO1O2 tiếp xúc với đ-ờng thẳng d
Bài 184 Cho (O; R) có dây AB = R √2 cố định điểm M di động
cung lớn AB cho tam giác MAB có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác MAB ; P , Q lần lợt giao điểm thứ hai đờng thẳng AH , BH với đờng tròn (O) ; S giao điểm đờng thẳng PB , QA
a) CMR : PQ đờng kính đờng trịn (O)
b) Tø gi¸c AMBS hình ? Tại ?
c) Chứng minh độ dài SH không đổi
d) Gọi I giao điểm đờng thẳng SH , PQ Chứng minh I chạy đ-ờng tròn cố định
Bµi 185
Cho đờng trịn (O; R) đờng kính AB , kẻ tiếp tuyến Ax lấy điểm P cho AP > R Kẻ tiếp tuyến PM (M tiếp điểm )
a) CMR : BM // OP
b) Đờngthẳng vuông gócvới AB O cắt tia BM N Tứ giác OBNP hình ? Tại ?
c) Gọi K giao điểm AN với OP ; I giao điểm ON với PM ; J giao điểm PN víi OM CMR : K , I , J thẳng hàng
d) Xỏc nh v trớ ca P cho K nằm đờng tròn (O) Bài 186
Cho (O; R) , hai đờng kính AB CD vng góc Trong đoạn thẳng AB lấy điểm M ( khác điểm O ) , đờng thẳng CM cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai N Đờng thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N với (O) điểm P
a) CMR tứ giác OMNP nội tiếp đợc
b) Tứ giác CMPO hình ? Tại ?
c) CMR : CM.CN không đổi
d) CMR : M di động đoạn AB P chạy mộtđờng thẳng cố định Bài 187
Cho nửa đờng trịn đờng kính AB = 2R điểm M nửa đờng tròn ( M khác A B ) Đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn M cắt đờng trung trực đoạn AB I Đờng tròn (I) tiếp xúc với AB cắt đờng thẳng d C D ( D nằm góc BOM )
(37)b) CMR : CA DB vuông góc với AB
c) CMR : ΔAMB đồng dạng ΔCOD
d) CMR : AC.BD = R2 Bµi 188
Cho nửa (O) đờng kính AB hai điểm C , D thuộc nửa đờng tròn cho cung AC < 900 CO D^
=900 Gọi M điểm nửa đờng trịn cho C điểm chính cung AM Các dây AM , BM cắt OC , OD lần lợt E F
a) OEMF hình ? Tại ?
b) CMR : D điểm gi÷a cđa cung MB
c) Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn M cắt tia OC , OD lần lợt I , K CMR tứ giác OBKM ; OAIM nội tiếp đợc
d) Giả sử tia AM cắt tia BD S Xác định vị trí C D cho điểm M , O , B , K , S thuộc đờng tròn
Bµi 189
Cho hai đờng trịn (O) , (O’) cắt hai điểm A B Các đờng thẳng AO , AO’ cắt đờng tròn (O) lần lợt điểm thứ hai C , D cắt đờng tròn (O’) lần lợt điểm thứ hai E , F
a) CMR: B , F , C thẳng hàng
b) T giác CDEF nội tiếp đợc
c) Chứng minh A tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BDE
d) Tìm điều kiện để DE tiếp tuyến chung đờng tròn (O) , (O’) Bài 190
Cho ABC(AB = AC ), cung tròn BC nằm bên ABC tiếp xúc với AB , AC B , C cho A tâm cung BC nằm khác phía BC Trên cung BC lấy điểm M kẻ đờng vng góc MI , MH , MK xuống cạnh tơng ứng BC , CA , AB Gọi giao điểm BM , IK P ; giao điểm CM , IH Q
a) CMR tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc
b) CMR : MI2 = MH MK
c) CMR tứ giác IPMQ nội tiếp đợc Suy PQ MI
d) CMR nÕu KI = KB th× IH = IC
LUYỆN TẬP ø VỊ TIẾP TUYẾN Bµi 191
Cho (O, R) đường kính AB, tiếp tuyến Bx, Bx lấy BM = R, kẻ tiếp tuyÕn MC, AM cắt (O) E
a) Chứng minh: OCMB hình vng
b) Chứng minh:MA.ME = R2
c) Chứng minh: Δ CME ~ Δ AMC
(38)Bµi 192
Cho (O, R) đường kính BC, kẻ dây AD vng góc OB trung điểm OB > Vẽ BM, CN tiếp tuyến (A) (M N tiếp điểm)
a) Chứng minh:OBAC hình thoi
b) Chứng minh:BM + NC = BC
c) Chứng minh:M, A, N thẳng hàng
d) Tính SBMNC theo R
Bµi 193
Cho nửa(O) đường kính AB, C thuộc (O), kẻ OH vng góc BC, OH cắt tiếp tuyến B E Gọi D giao điểm OE với (O), M giao điểm AD với BC
a) Chứng minh: AC B^ =A^B E H trung điểm BC b) Chứng minh: AD phân giác C^A B
c) Chứng minh: EC tiếp tuyến (O)
d) AD cắt BE I, IH cắt BD K Chứng minh: KH.BI = IK.BH
Bµi 194
Cho AB AC tiếp tuyến của(O, R) Kẻ đường kính CM, kẻ OH vng góc BC H, AM cắt (O) N
a) Chứng minh: AB C^ =AC B^
b) Chứng minh: O, H, A thẳng hàng
c) Chứng minh: AB2 = AM.AN.
d) Chứng minh: A^H N=A^M O
e) Biết OA = 3R Tính BC SAOM theo R
Bµi 195
Cho (O) đường kính AB, kẻ bán kính OI vng góc BC H, gọi M giao điểm BC AI Vẽ (I) bán kính IB, AC cắt (I) K
a) Chứng minh: H trung điểm BC b) Chứng minh: AI phân giác C^A B
c) Chứng minh: B, I, K thẳng hàng
d) Gọi E trung điểm AM, chứng minh: CE tiếp tuyến (I)
(39)Cho (O, R) đường kính AB, Trên tiếp tuyến A lấy AD = 2R, (O) lấy điểm C cho AD = DC vẽ (I) đường kính OA cắt AC M
a) Chứng minh: hai đường tròn tâm O I tiếp xúc
b) Chứng minh: OM // BC điểm O, M, D thẳng hàng c) Chứng minh: DC tiếp tuyến (O)
d) Kẻ AI // OC ( I thuộc AD) Chứng minh: AOCI hình thoi tính SAOCI theo R
Bµi 197 Cho (O, R) đường kính AB, tiếp tuyến Ax, Ax lấy điểm M cho OM =
2R, kẻ tiếp tuyến MC, kẻ CH AB OK AC Tiếp tuyến B cắt AC D a) Chứng minh: O, K, M thẳng hàng
b) Chứng minh: AC.AD = 4R2
c) Kẻ CE vng góc AM cắt OM P Chứng minh: OCPA hình thoi
d) Gọi I làtrung điểm CH, AI cắt BD N Chứng minh: CN tiếp tuyến của(O)
Bµi 198
Cho (O) đờng kính AB, dãy AC < CB.Tia phãn giaực AOC^ caột tieỏp tuyeỏn ụỷ A tái M, keỷ CH vuõng goực AB
a) Chứng minh: MC tiếp tuyến (O)
b) Chứng minh: OM // BC
c) OM.CH = MC.BC
d) Gọi I giao điểm CH MB Chứng minh: I trung điểm CH
Bµi 199
Cho (O) đường kính AB, lấy C thuộc (O), kẻ bán kính OI // AC , BI cắt AC D, AI cắt tiếp tuyến B O’ Vẽ (O’) bán kính O’B
a) Chứng minh: O’B2 = O’A.O’I
b) Chứng minh:AO’ phân giác D^A B c) Chứng minh: AD tiếp tuyến (O’)
d) Kẻ dây cung EF (O’) qua I Chứng minh: IE.AF = IF.AE
(40)Cho (O) đường kính AB, dây cung AD > DB, kéo dài AD đoạn DM = AD BM cắt (O) C, gọi H giao điểm AC BD
a) Chứng minh:AB = BM
b) Chứng minh: AH.BC = HC.AB
c) Chứng minh:MH vng góc AB I
d) Chứng minh: AC.AH + BH.BD = 4R2
e) Gọi K trung điểm MH Chứng minh: DK tiếp tuyến của(O)
Bµi 201
Cho Δ ABC có góc nhọn , vẽ (O) đường kính BC cắt AB AC M
N Gọi H giao điểm BN CM
a) Chứng minh: AH vng góc BC D
b) Chứng minh: điểm B, M, H, D thuộc đường tròn, xác định tâm K đường tròn
c) Chứng minh: AH.AD + BH.BN = AB2