Do đó, nếu trong mô hình chứa các cạnh vuông góc thì ta ưu tiên chọn các đường đó lần lượt thuộc các trục tọa độ.. Cụ thể :.[r]
(1)Chọn hệ trục tọa độ Oxyz khơng gian
Ta có : Ox Oy Oz, , vng góc đơi Do đó, mơ hình chứa cạnh vng góc ta ưu tiên chọn đường thuộc trục tọa độ Cụ thể :
Với hình lập phương hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B' C ' D' Với hình lập phương
Chọn hệ trục tọa độ cho :
(0;0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; D(0; ;0)
A B a C a a a
'(0;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ; ) A a B a a C a a a a a Với hình hộp chữ nhật.
Chọn hệ trục tọa độ cho :
(0;0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; D(0; ;0)
A B a C a b b
'(0;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ;c)
A c B a c C a b c b
Với hình hộp đáy hình thoi ABCD A ' B' C ' D' Chọn hệ trục tọa độ cho :
- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O hai đường chéo hình thoi ABCD - Trục Oz qua tâm đáy
Với hình chóp tứ giác S.ABCD Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ
Giả sử cạnh hình vng a đường cao SO h
Chọn O(0;0;0) tâm hình vng Khi : A(−a√2
2 ;0;0);C(
a√2
2 ;0;0)
2
0; ;0 ; 0; ;0 ; (0;0; )
2
a a
B D S h
Với hình chóp tam giác S.ABC Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ
Giả sử cạnh tam giác a đường cao h Gọi I trung điểm BC
Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ
z
D’ A’
B’ C’
A D
y
C B
x
z
A
B C
D D’ C
A’ B’
O O’
x
y
z
y
x
S
O
A
C
D
B
z
y
S
(2)cho I(0;0;0)
Khi : 2;0;0 ; 2;0;0
a a
A B
3
0; ;0 ; S 0; ;
2
a a
C h
Với hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật SA (ABCD) ABCD hình chữ nhật AB a AD b ;
chiều cao h
Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0)
Khi : B a ;0;0 ; C a b ; ;0 D0; ;0 ; (0;0; )b S h
Với hình chóp S.ABC có ABCD hình thoi SA (ABCD) ABCD hình thoi cạnh a
chiều cao h
Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho O(0;0;0)
Với hình chóp S.ABC có SA (ABC) ABC vuông A Tam giác ABC vuông A có
;
AB a AC b đường cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0)
Khi : B a ;0;0 ; C 0; ;0 b S 0;0; h
S
z
D y
x
O
A
C B
S z
D y
x
O
A
C B
z
B C A
S
(3)Với hình chóp S.ABC có SA (ABC) ABC vng B Tam giác ABC vng B có
;
BA a BC b đường cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho B(0;0;0)
Khi : A a ;0;0 ; C 0; ;0 b S ;0;a h
Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân S và ABC vuông C
ABC vuông C CA a CB b ; chiều cao h
H trung điểm AB
Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho C(0;0;0)
Khi : A a ;0;0 ; B 0; ;0 b ( ; ; )2
a b
S h
Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân S và ABC vuông A
ABC vuông A AB a AC b ; chiều cao h
H trung điểm AB
Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0)
Khi : B a ;0;0 ; C 0; ;0 b (0; ; )2
a
S h
z
B C A
S
x y
S z
B C
A H
x y
z
S
B C A
H
(4)Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân S và ABC vuông cân C
Tam giác ABC vng cân C có CA CB a đường cao h
H trung điểm AB
Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho H(0;0;0)
Khi :
;0;0 ; A 0; ;0
2
a a
C
B 0; ;0 ; S 0;0;
a
h
Bài tập áp dụng
Bài toán 1 Cho tứ diện OABC có tam giác OAB,OBC,OCA tam giác vuông đỉnh O Gọi α , β , γ góc hợp mặt phẳng (OBC),(OCA),(OAB) với mặt phẳng (ABC).Chứng minh : cos2α+cos2β+cos2γ=1
( SGK Hình 11, trang 96, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000,SGK Hình 12, trang 106, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 )
Hướng dẫn Bài giải Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : O(0;0;0) ;
A(a;0;0) ; B(0;b ;0) C(0;0;c) ; ⃗AB=(− a ;b ;0)
⃗AC=(− a ;0; c)
Tìm vectơ pháp tuyến : Mặt phẳng (ABC) Mặt phẳng (OBC) Mặt phẳng (OCA) Mặt phẳng (OAB)
⃗n=[⃗AB,⃗AC]=(bc ; ac ; ab) ⃗
i=(1,0, 0) :
Ox⊥(OBC) ⃗j=(0, 1, 0)
: Oy⊥(OCA) ⃗k=(0, 0, 1)
vì : Oz⊥(OAB) Sử dụng cơng thức tính góc hai
mặt phẳng:
cosα=cos((OBC),(ABC))
cosα= |b.c|
√b2c2+c2a2+a2b2
cosβ= |c.a|
√b2c2+c2a2+a2b2 z
H
y
x
S
A
C
B
O
C’ C
B A
γ z
y
(5)cosβ=cos((OBC),(ABC))
cosγ=cos((OBC),(ABC)) cosγ=
|a.b|
√b2c2
+c2a2+a2b2
Kết luận
cos2α
+cos2β+cos2γ=b 2c2
+c2a2+a2b2 b2c2+c2a2+a2b2=1
Bài toán 2 Bằng phương pháp toạ độ giải tốn sau : Cho hình lập phương ABCD A ' B' C ' D' có cạnh a
a.Chứng minh đường chéo A ' C vng góc với mặt phẳng (AB' D ')
b.Chứng minh giao điểm đường chéo A ' C mặt phẳng (AB' D ') trọng tâm tam giác AB' D '
c.Tìm khoảng cách hai mặt phẳng (AB' D ') (C 'BD) d.Tìm cosin góc tạo hai mặt phẳng (DA' C) (ABB' A ') ( SGK Hình 12, trang 112, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 )
Hướng dẫn Bài giải
Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau :
O≡ A(0;0;0) ; A '(0;0; a) B(a ;0;0) ; B '(a ;0;a) C(a ;a ;0) ; C '(a ;a ;a) D(0;a ;0) ; D'(0;a ;a)
a Chứng minh :
A ' C⊥(AB' D') Nếu
¿
A ' C⊥AB'
A ' C⊥AD'
⇒A ' C⊥(AB' D')
¿{
¿
Ta có :
¿
⃗A ' C=(a ;a ;− a) ⃗AB'=(a ;0;a) ⃗AD'=(0;a ; a)
¿{ {
¿
Vì
¿
⃗A ' C.⃗AB'=a2+0− a2=0 ⃗A ' C.⃗AD'=0+a2−a2=0
⇔
¿A ' C⊥AB'
A ' C⊥AD'
¿{
¿
Nên
A ' C⊥mp(AB' D ') b Chứng minh : G trọng tâm
tam giác AB' D ' Phương trình tham số đường thẳng A ' C
Gọi G=A ' C ∩(AB' D ') Toạ độ giao điểm
G đường thẳng A ' C mặt phẳng
A
z
y
x
G C’
A’ D’
D C B
(6)A ' C: x=t y=t z=a − t (t∈R)
¿{ {
Phương trình tổng quát mặt phẳng (AB' D ')
(AB' D '):x+y − z=0
Trong vectơ pháp tuyến mặt phẳng (AB' D ')
⃗
n1=[⃗AB' ,⃗AD']=(− a2;−a2;a2)
(AB' D ') nghiệm hệ :
¿
x=t y=t z=a − t x+y − z=0
⇔
¿x=a
3
y=a
3 z=2a
3
¿{ { {
¿
G(a
3;
a
3;
2a
3 ) (1)
Mặt khác :
¿
xG=xA+xB '+xD '
3 =
a yG=yA+yB '+yD '
3 =
a zG=zA+zB '+zD '
3 =
2a
3
¿{{
¿
(2)
So sánh (1) (2), kết luận
Vậy giao điểm G đường chéo A ' C mặt phẳng (AB' D ') trọng tâm tam giác AB' D '
c Tính d((AB' D'),(C 'BD))
Phương trình tổng qt mặt phẳng (C 'BD) (C 'BD):x+y − z − a=0 Trong vectơ pháp tuyến mặt phẳng (C 'BD)
⃗
n2=[⃗C ' B ,⃗C ' D]=(a2;a2;− a2)
Ta có : (AB' D '):x+y − z=0 (C 'BD):x+y − z − a=0
⇒ (AB' D ') // (C 'BD) ⇒
d((AB' D'),(C 'BD))=d(B ,(AB' D'))= a √3
d Tính cos((DA' C),(ABB' A '))
Oy⊥(ABB' A ')⇒ Vec tơ pháp tuyến
của (ABB' A ') ⃗j=(0;1;0) Vectơ pháp tuyến (DA' C) :
⃗
n3=[⃗DA' ,⃗DC]=(0; a2;− a2)=a2(0;1;−1)
Vec tơ pháp tuyến (ABB' A ') ⃗j=(0;1;0) Vectơ pháp tuyến của (DA' C) : ⃗n3=(0;1;−1) cos((DA' C),(ABB' A '))=
√2 ⇒ ((DA' C),(ABB' A '))=45o
Bài tốn 3 Cho hình lập phương ABCD A ' B' C ' D' có cạnh a
(7)Hướng dẫn Bài giải Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau :
O≡ A(0;0;0) ;
A '(0;0; a) ; B(0;a ;0) ; B '(0;a ;a)
C(a ;a ;0) ; C '(a ;a ;a) D(a ;0;0) ; D'(a ;0;a)
Chứng minh B ' D '
A ' B chéo nhau, ta chứng
minh ba vectơ
⃗B ' D ' ;⃗A ' B ,⃗BB' không đồng phẳng
Cần chứng minh
tích hỗn hợp ba vectơ ⃗B ' D ' ;⃗A ' B ,⃗BB' khác 0
Ta có : ⃗B ' D '=(a ;−a ;0) ⃗A ' B=(0;a ;− a) ;
⃗BB'=(0;0; a)
[⃗B ' D ' ,⃗A ' B]=(a2;a2;a2) [⃗B ' D ' ,⃗A ' B].⃗BB'=a3≠0
⇒ ba vectơ ⃗B ' D ' ;⃗A ' B ,⃗BB' không đồng phẳng
hay B ' D ' A ' B chéo Tính d(B ' D',A ' B)
A ' B ⃗B ' D ' ,⃗¿
¿ ¿ ¿ ¿
d(B ' D',A ' B)=¿
d(B ' D',A ' B)= a
3
√a4+a4+a4=
a3 a2√3=
a√3
Bài tốn 4 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi AC cắt BD gốc toạ độ O Biết A(2;0;0) ; B(0;1;0) ; S(0;0;2√2) Gọi M trung điểm SC
1 Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SA BM Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD N Tính thể tích khối chóp S.ABMN
( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối A năm 2004 )
Hướng dẫn Bài giải
Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : O(0;0;0) ;
A(2;0;0) ; B(0;1;0) ;
B
z
y x
C’ B’
A’ D’
D C A
C D
S
N M
(8)S(0;0;2√2) Ta có :
C(−2;0;0) ; D(0;−1;0) ;
M(−1;0;√2) ⃗
SA=(2;0;−2√2) ;
⃗BM=(−1;−1;√2)
1a.Tính góc SA BM
Gọi α góc SA BM Sử dụng cơng thức tính góc hai đường thẳng
Ta có :
cosα=|cos(⃗SA,⃗BM)|=|⃗SA ⃗BM| |⃗SA||⃗BM|=
√3
⇒α=30o
1b Tính khoảng cách SA BM Chứng minh SA BM chéo Sử dụng cơng thức tính khoảng cách hai đường thẳng chéo
[⃗SA,⃗BM]=(−2√2;0;−2) ; ⃗AB=(−2;1;0)
[⃗SA,⃗BM].⃗AB=4√2≠0
d(SA,BM)=|[ ⃗SA,⃗BM].⃗AB| |[⃗SA,⃗AB]| =
4√2
√8+4=
2√6
3 Tính thể tích khối chóp S.ABMN
Dễ dàng nhận thấy :
MN=(ABM)∩(SCD)
VS ABMN=VS ABM+VS AMN
Trong đó :
VS ABM=
1
6|[ ⃗SA,⃗SM].⃗SB| VS AMN=1
6|[⃗SA,⃗SM].⃗SN|
MN // AB // CD⇒ N trung điểm SD Toạ độ trung điểm N (0;−1
2;√2)
⃗
SA=(2;0;−2√2) ;
⃗
SM(−1;0;−√2) ⃗SB=(0;1;−2√2)
; ⃗SM(−1;0;−√2)
⇒[⃗SA,⃗SM]=(0;4√2;0)
VS ABM=1
6|[ ⃗SA,⃗SM].⃗SB|=
4√2
6 =
2√2
3 VS AMN=1
6|[⃗SA,⃗SM].⃗SN|=
2√2
6 =√
2 Kết luận Vậy VS ABMN=VS ABM+VS AMN=√2
(đvtt)
Bài toán Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC A1B1C1 với A(0;−3;0) ; B(4;0;0) ; C(0;3;0) ; B1(4;0;4)
Tìm toạ độ đỉnh A1 ; C1 Viết phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCC1B1) Gọi M trung điểm A1B1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, M song song với BC1 ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2005 )
Hướng dẫn Bài giải
Dựng hình :
A
C D
S
N M
O
C1 B1 M
A1
(9)Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : O(0;0;0) ;
Với :
A(0;−3;0) ; B(4;0;0) ; C(0;3;0) ; B1(4;0;4)
⇒
A1(0;−3;4) C1(0;3;4)
¿{
Toạ độ trung điểm M A1B1 2;−
3
2;4
M(¿)
Toạ độ hai đỉnh A1 ; C1 . Ta có : A1(0;−3;4)∈mp(Oyz) C1(0;3;4)∈mp(Oyz) Phương trình mặt cầu có tâm A
và tiếp xúc với mặt phẳng (BCC1B1)
Viết phương trình mp (BCC1B1)
Tìm bán kính mặt cầu (S) R=d(A ,(BCC1B1))
Vectơ pháp tuyến mp (BCC1B1)
⃗
n=[⃗BC,⃗BB1]=(12;16;0)
Phương trình tổng quát mp (BCC1B1) : (BCC1B1):3x+4y −12=0
Bán kính mặt cầu (S) : R=24
Phương trình mặt cầu (S) : (S) y+3¿
+z2=576 25 :x2+¿
Phương trình mặt phẳng (P) : Tìm vectơ pháp tuyến (P)
¿
AM⊂(P)
BC1//(P)
⇒⃗nP=[⃗AM,⃗BC1]
¿{
¿
⃗AM=(2;3
2;4) ;
⃗BC
1=(−4;3;4)
Vectơ pháp tuyến (P) :
⃗
nP=[⃗AM,⃗BC1]=(−6;−24;12)
Phương trình mặt phẳng (P) : (P):x+4 y −2z+12=0
Bài tốn Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng(ABC); AC=AD=4 cm ; AB=3 cm ; BC=5 cm Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) ( trích đề thi tuyển
sinh ĐH&CĐ khối D năm 2002 )
Hướng dẫn Bài giải
Dựng hình :
ΔABC có : AB2
+AC2=BC2=25
nên vng A Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau
A
B C
C1
O B1 M
z
y
H D
(10)O≡ A(0;0;0) ; B(3;0;0) ; C(0;4;0) D(0;0;4) ; Tính : AH=d(A ,(BCD))
Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (BCD)
Phương trình tổng quát mặt phẳng (BCD) (BCD): x
3+
y
4+
z
4=1⇔4x+3y+3z −12=0
Sử dụng cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt
phẳng d(A ,(BCD))=
|−12|
√16+9+9= 12 √34=
6√34
17
Bài toán Cho hai nửa đường thẳng Ax By vng góc với nhận AB=a (a>0) đoạn vng góc chung Lấy điểm M Ax điểm N By cho AM=BN=2a
Xác định tâm I tính theo a bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN Tính khoảng cách hai đường thẳng AM BI
Hướng dẫn Bài giải
Dựng hình :
Dựng Ay '// By⇒Ax⊥Ay' Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Axy' z sau :
A(0;0;0) ; B(0;0;a) ; M(2a ;0;0) N(0;2a ;a) Toạ độ trung điểm I MN I(a ; a ; a
2)
1a Xác định tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN Chú ý :
¿
Ax⊥By
Ax⊥Ay'
¿{
¿
Hai tam giác AMN BMN hai tam giác vuông nhận MN cạnh huyền nên trung điểm I(a ; a ; a
2) MN tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN
1b.Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN
Ta có : ⃗MN=a(−2;2;1)
Bán kính mặt cầu : R=MN
2 =
3a
2 Tính d(AM,BI) Ta có : ⃗AM=(2a ;0;0) ;
z
B
N
y
A
M I y '
(11)Chứng minh AM BI chéo
Sử dụng cơng thức tính khoảng cách hai đường thẳng chéo
⃗
BI=(a ;a ;−a
2) ; ⃗AB=(0;0;a)
[⃗AM,⃗BI]=(0;a2;2a2) d(AM,BI)=|[⃗AM,⃗BI].⃗AB|
|[⃗AM,⃗BI]| =
2a√5
5
Bài toán Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vng góc với BD tính (theo a ) khoảng cách hai đường thẳng MN AC ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2007 )
Hướng dẫn Bài giải
Dựng hình :
Gọi O tâm hình vng ABCD ⇒ SO⊥(ABCD) Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau :
O(0;0;0) ; S (0;0;h) ;
A ;0;0 a
; C
2 ;0;0 a
D
(0;a√2
2 ;0) ; B (0;−
a√2
2 ;0)
Toạ độ trung điểm P SA P
; ;
4 a h
; E
2 ; ; 2 a a h M 2 ; ;
2
a a h
N
2 ; ;0 4 a a
;0; ; (0; 2;0)
4
a h
MN BD a
Vì : ⃗MN ⃗BD=0⇒MN⊥BD
Tính (theo a) khoảng cách hai đường thẳng MN AC
Chứng minh MN AC chéo Sử dụng cơng thức tính khoảng cách hai đường thẳng chéo
Ta có :
2
, 0; ;0
2 ah
MN AC
⃗ ⃗ 0; ; a h
AM
⃗
Vì :
2
,
4 a h MN AC AM
⃗ ⃗ ⃗
⇒ MN AC chéo d(MN,AC)=|[⃗MN,⃗AC].⃗AM|
|[⃗MN,⃗AC]| = a2h
4
√a2h2
2
(12)Bài tốn Cho tứ diện ABCD, có AD vng góc với mặt phẳng (ABC) tam giác ABC vuông A; AD a AC b AB c , ,
a Tính diện tích S tam giác BCD theo a b c, , b Chứng minh : 2S abc a b c
Hướng dẫn Bài giải
Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0)
Khi : B c ;0;0 ; C 0; ;0 b D 0;0; a
Ta có : BC c b; ;0
BD c;0;a ⃗
, ; ;
BC BD ac ac bc
⃗ ⃗
Áp dụng bất đẳng thức Côsi :
2 2 2
a b b c ab c
2 2 2
b c c a abc
2 2 2
c a a b a bc
a Tính diện tích S tam giác BCD
2 2 2
1
,
2
S BC BD a b a c b c
b Chứng minh : 2S abc a b c
Ta có :
2
abc a b c a bc b ac c ab
2 2 2
2 2
2 2
b c a c a b
a b c
2 2 2 2
BCD a b a c b c S
Bài tốn 10 Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm cạnh SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN Biết mặt phẳng (AMN) vng góc với mặt phẳng (SBC)
Hướng dẫn Bài giải
Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Gọi I trung điểm BC
Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho I(0;0;0)
Khi :
3
0; ;0 ; ;0;0
2
a a
A B
z
C A
D
x y
B
N M
z
y
x
S
I
B A
H
(13)3
;0;0 ; S 0; ; ; 0; ;0
2 6
a a a
C h H
3
; ; ; ; ;
4 12 12
a a h a a h
M N
5
; ;
4 12
a a h
AM
⃗
5
; ;
4 12
a a h
AN
⃗
+ Pháp vectơ mp (AMN) :
2
5
, 0; ;
4 24
ah a n AM AN
⃗ ⃗ ⃗ ; ; a a
SB h
⃗ ; ; a a
SC h
⃗
AMN SBC n1 n2 n n1 0
2 4
2
15 15
0
4 24.6 16 24
a h a a h a
+ Pháp vectơ mp (SBC) :
2
3
, 0; ;
6 a n SB SC ah
Diện tích tam giác AMN :
2
2
1 75
,
2 16 24
AMN
a h a
S AM AN
4
4
2
1 15 75 10
90
2 24 24 48 16
a a a
a
đvdt
Bài tốn 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a; SA a ; SB a 3 và mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo athể tích khối chóp S.BMDN tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN (
trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối B năm 2008 )
Hướng dẫn Bài giải
Dựng hình :
Gọi H hình chiếu vng góc S AB SH (ABCD) Ta có : SA2SB2 a23a2 AB2
SABvuông S SM a
Do : SAMđều
3 a SH
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz như sau :H(0;0;0); S
(14)3 0;0; a
; A 2;0;0 a
; B ;0;0 a
; D 2; ;0 a
a
; M
;0;0 a
; N ; ;0 a a ;0; 2 a a
SM
⃗ 3 ; ; 2 a a
SN a
⃗ 3 ;0; 2 a a
SB
⃗
3 ; ;
2
a a
SD a
⃗
2 ; ;0 DN a a
+ Thể tích khối chóp S.BMDN
S BMDN SMNB SMND
V V V
2 3 3
, ; ;
2 2
a a a
SM SN
3 , a SM SN SB
⃗ ⃗ ⃗ ; 3 , a SM SN SD
⃗ ⃗ ⃗ 3 , 12 SMNB a V SM SN SB
⃗ ⃗ ⃗ 3 , SMND a V SM SN SD
⃗ ⃗ ⃗
3 3
3 3
12
S BMDN SMNB SMND
a a a
V V V
+ Cơng thức tính góc SM, DN
cos , SM DN SM DN SM DN ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
+ Tính cosin góc SM, DN
2 2 cos , 4 a SM DN a a a a
Bài toán 12 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, AB BC a , cạnh bên
'
AA a Gọi M trung điểm BC Tính theo athể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách hai đường thẳng AM, B’C ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2008 )
Hướng dẫn Bài giải
Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau :
(0;0;0) B
A0; ;0a ; Ca;0;0; B’0;0;a 2 M ;0;0 a ; ;0 a
AM a
⃗
(15)
' 0; ;
AB a a ⃗
Chứng minh AM B’C chéo
2
2
, ' 2; ;
2 a AM B C a a
⃗ ⃗
+ Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
3 ' ' '
1
'
2 ABC A B C ABC V AA S a
đvtt + Khoảng cách AM B’C Vì :
3
, ' '
2 a AM B C AB
⃗ ⃗ ⃗
AM B’C chéo nhau
, ' , ' '
, ' AM B C AB d AM B C
AM B C
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
3
4 4
7
7
2 a
a
a a a
Bài toán 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang , BAD ABC 900 AB BC a ,
2
AD a, SA vng góc với đáy SA2a Gọi M,N trung điểm SA SD Chứng minh BCNM hình chữ nhật tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a( trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng năm 2008 )
Hướng dẫn Bài giải
Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau :
(0;0;0)
A ; Ba;0;0
; Ca a; ;0; D 0; ;0a
; S0;0; 2a M0;0;a ; N0; ;a a
0; ;0 MN a
; BC0; ;0a ⃗
;0; MB a a ⃗
+ Chứng minh BCNM hình chữ nhật
MN BC MN MB
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
BCNM hình chữ nhật + Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a
S BCNM SMCB SMCN
V V V
z
S
M N
A D y
B
C
(16)0;0; SM a ⃗
; SCa a a; ; ⃗
;0; SB a a ⃗
; SN 0; ;a a ⃗
2
, ; ;0
SM SC a a
,
SM SC SB a
,
SM SC SN a
⃗ ⃗ ⃗ , 6 SMCB a V SM SC SB
⃗ ⃗ ⃗ , 6 SMCN a V SM SC SN
⃗ ⃗ ⃗ S BCNM SMCB SMCN
a
V V V
đvtt
Bài toán 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA(ABCD SA); 2a Mặt phẳng qua BC hợp với AC góc 300 , cắt SA, SD M, N Tính diện tích thiết diện
BCNM
Hướng dẫn Bài giải
Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau :
(0;0;0)
A ; Ba;0;0
; Ca a; ;0; D 0; ;0a
; S0;0; 2a Đặt AM h 0 h2a
M0;0;h
Xác định vị trí điểm M
;0; BM a h ⃗
; BC0; ;0a ⃗
2
, ;0; ;0;
BM BC ah a a h a
⃗ ⃗
; ;0 1;1;0 AC a a a ⃗
Ta có :
( )
/ / / / / /
MN SAD
MN BC AD BC AD ( )
BC SAB BCBM
Pháp vectơ mặt phẳng : ,
n BM BC
⃗ ⃗ ⃗
n h;0;a
⃗
Vectơ phương đường thẳng AC : ; ;0 1;1;0 1;1;0 AC a a a u
⃗ ⃗
mặt phẳng hợp với AC góc 300
0
2
1. 1.0 0.
sin 30
1 0
n u h a
n u h a
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 2 2 2 h
h h a
h a
h a
M trung điểm SA z
S
M N
A D y
B
(17)ABM
vuông cân A BM a
1
2
a MN AD
+
/ / MN BC BM BC
BCNM hình thang vng
+ Diện tích thiết diện BCNM :
2
1
2
BCNM
a S BM MN BC
Bài toán 15 Cho hình chóp O.ABC có OA a OB b OC c ; ; đôi vng góc Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách đến mặt phẳng (OBC); (OCA); (OAB) 1; 2; Tính a b c; ; để thể tích khối chóp O.ABC nhỏ
Hướng dẫn Bài giải
Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz như sau :O(0;0;0)
Aa;0;0 ; B0; ;0b ; C0;0;c ,( ) M
d M OBC x
, ( ) M
d M OCA y
,( ) M
d M OAB z
M1;2;3
Aa;0;0 OA( ;0;0)a
B0; ;0b OB(0; ;0)b ⃗
C0;0;c OC (0;0; )c ⃗
+Thể tích khối chóp O.ABC
1
,
6
O ABC
V OA OB OC abc
⃗ ⃗ ⃗
Giải hệ :
1 3
6
1
a
a b c b
c a b c
+ Phương trình mặt phẳng (ABC) :
(ABC) :
x y z abc
1
( )
M ABC
a b c
Áp dụng bất đẳng thức Côsi :
3
1 3
1
a b c a b c abc
1
27 6abc
z
C
M
O y
B
H
E A
(18)
3
1
27
9 O ABC
a
MinV b
a b c c
Bài tốn 16 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh a
a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)
c. Tính góc SB mặt phẳng (SCD)
Hướng dẫn Bài giải
Dựng hình : Gọi OACBD
⇒ SO⊥(ABCD)
2
2 2
2
a a
SO SC OC a Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau :
O(0;0;0)
; S
2 0;0;
2 a
;
A
2 ;0;0 a
; C
2 ;0;0 a
D
(0;a√2
2 ;0) ; B (0;−
a√2
2 ;0)
Phương trình mặt phẳng (SCD)
(SCD):
1
2 2
2 2
x y z
a a a
2 a x y z
a.Tính thể tích khối chóp S.ABCD
3
1
3
S ABCD ABCD
a a
V SO S a
b Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)
Phương trình mặt phẳng (SCD) (SCD):
2 a x y z
2
2 2 6
,( )
3
3
a a
a a
d A SCD
Bài toán 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang , ABC BAD 900 AB BC a , AD2a
, SA vng góc với đáy SA a 2 Gọi H hình chiếu A SB Chứng minh tam giác SCD
vng tính theo akhoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2007 )
Hướng dẫn Bài giải
z
y
x O
D C
B
A S
(19)Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau :
(0;0;0)
A ; Ba;0;0
; Ca a; ;0; D 0; ;0a ; S0;0; 2a
;0; 2
SB a a
; ; 2
SC a a a ⃗
0; ; 2
SD a a ⃗
2 2
, 2; 2;
SC SD a a a
⃗ ⃗
2 2 1;1; 2
a
+ Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc A SB
Phương trình tham số SB :
SB :
2 x a at y
z a t
(t R )
+ Viết phương trình mặt phẳng (SCD) (SCD) qua điểm S nhận vectơ
1;1; 2
n ⃗
làm pháp vectơ
(SCD) : 1(x 0) 1( y 0) 2(z a 2) 0
+ Chứng minh tam giác SCD vuông ; ;
SC a a a ⃗
; CD a a; ;0 ⃗
SC CD SCCD
Tam giác SCD vuông C
+ Tính ( theo a) khoảng cách từ H đến (SCD) Tọa độ điểm H :
( ; ; ) ;0;
H x y z SB H a at a t
( ;0; )
AH a at a t
AH SB AH SB ⃗ ⃗
2
3
3
a t a t
2
;0;
3
a a
H
+ Khoảng cách từ H đến (SCD) Phương trình mặt phẳng (SCD) (SCD) : x y 2z 2a0
2
2
3
,( )
2
a a a
a d H SCD
S
H
I
A D y
B
C