Gieo một con súc sắc cân đối, đồng chất một lần và quan sát số chấm xuất hiện a/ Hãy mô tả không gian mẫu.. b/ Hãy xác định các biến cố sau: A: “ Xuất hiện mặt chẵn chấm”; B: “Xuất hiện[r]
(1)Chương II.TỔ HỢP -XÁC SUẤT
Bài QUI T C Ắ ĐẾM
1/ QUY TẮC CỘNG QUY TẮC
Một cơng việc hồn thành một hai hành động Nếu hành động có m cách thực hiện, hành động có n cách thực khơng trùng với cách hành động thứ cơng việc có m+n cách thực
Chú ý Quy tắc cộng mở rộng cho nhiều trường hợp 2/ QUY TẮC NHÂN
QUY TẮC
Một công việc hoàn thành hai hành động liên tiếp Nếu có m cách thực hành động thứ ứng với cách có n cách thực hành động thứ hai có m.n cách hồn thành cơng việc
Chú ý Quy tắc nhân mở rộng cho nhiều trường hợp
Bài Trong đội văn nghệ có bạn nam bạn nữ Hỏi có cách chọn đôi
song ca nam- nữ?
Bài 2 Trong lớp có 17 bạn nam 15 bạn nữ Hỏi có cách chọn a/ Một bạn phụ trách quỹ lớp ?
b/ Hai bạn, có nam nữ?
Bài 3. Trên giá có sách tiếng Việt khác nhau, sách tiếng Anh khác sách tiếng Pháp khác Hỏi có cách chọn
a/ Một sách?
b/ Ba sách tiếng khác nhau? c/ Hai sách tiếng khác nhau?
Bài 4.Từ chữ số 1;2;3 Có thể lập số tự nhiên gồm : a/ chữ số;
b/ có chữ số phân biệt
Bài 5 Có số tự nhiên có tính chất:
a/ Là số chẵn có hai chữ số ( khơng thiết khác nhau); b/ Là số lẻ có hai chữ số ( không thiết khác nhau); c/ Là số lẻ có hai chữ số khác nhau;
d/ Là số chẵn có hai chữ số khác nhau;
Bài 6.Cho tập hợp A = 1;2;3;4;5;6
a/ Có thể lập số gồm chữ số khác hình thành từ tập A
b/ Có thể lập số gồm chữ số khác hình thành từ tập A số chia hết cho
c/ Có thể lập số gồm chữ số khác hình thành từ tập A số chia hết cho
Bài 7.Cho chữ số 0.1.2.3,4.5.6 Có số tự nhiên : a/ Chẵn có chữ số khác nhau?
(2)Bài 2.HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP
HOÁN VỊ
1 Định nghĩa : Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n 1) Mỗi kết thứ tự n
phần tử tập hợp A gọi hốn vị n phần tử
2 Số hốn vị n phần tử :
Nếu kí hiệu số hoán vị n phần tử Pn Pn = n! = 1.2.3………(n-1).n
Bài 1.Từ chữ số 1,2,3,4,5 lập số tự nhiên có chữ số khác Bài 2.Từ chữ số 3,4,5 lập số tự nhiên có chữ số khác nhau.Tính tổng tất số
Bài 3 Một khay trịn đựng bánh kẹo ngày Tết có ngăn hình quạt mẫu khác Hỏi có cách bày loại bánh kẹo vào ngăn đó?
Bài 4.Có sách Tốn khác , sách Lý khác sách Hóa khác Hỏi có cách xếp số sách lên kệ dài, cho :
a/ Các sách xếp tùy ý
b/ Các sách môn xếp cạnh Bài 5
a/ Có số tự nhiên gồm chữ số đôi khác lớn b/ Tính tổng tất số
CHỈNH HỢP
1 Định nghĩa : Cho tập hợp A có n phần tử( n 1)
Kết việc lấy k phần tử khác từ n phần tử tập hợp A thứ tự chúng theo thứ tự đĩ gọi chỉnh hợp chập k n phần tử đcho
2 Số chỉnh hợp chập k n phần tử :
Nếu kí hiệu số chỉnh hợp chập k n phần tử Ank An k
= n ! (n −k)!
Bài 1.Có cách chọn ban cán gồm người: lớp trưởng,1 lớp phó thủ quỹ lớp có 30 học sinh ?
Bài 2. Từ chữ số 1,2,3,4 lập số tự nhiên có a/ hai chữ số khác
b/ ba chữ số khác c/ bốn chữ số khác Bài 3
a/ Từ chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 lập số tự nhiên có chữ số khác nhau? b/ Tính tổng chúng
Bài 4 Trong mặt phẳng có 10 điểm phân biệt, có vectơ khác vectơ khơng có điểm đầu điểm cuối cho?
(3)TỔ HỢP
1.Định nghĩa : Cho tập hợp A có n phần tử ( n 1) Mỗi tập gồm k phần tử A ( k n ) gọi là tổ hợp chập k n phần tử
2 Số tổ hợp chập k n phần tử :
Nếu kí hiệu số tổ hợp chập k n phần tử Cnk : Cn k
= n !
k !.(n − k)!
3 Các hệ thức số Cnk :
1/Cnk=Cnn −k (0≤ k ≤n)
2/Cn −k−11+Ckn −1=Cnk (1≤ k<n)
Bài Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 học sinh nam 15 học sinh nữ Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn học sinh vào ban trật tự Hỏi có cách chọn :
a/ Số nam nữ ban tuỳ ý ? b/ Phải có nam nữ c/ Phải có nam nữ d/ Ít phải có nam Bài 2. Cĩ cách chia 10 người thành
a/Hai nhóm, nhóm có người, nhóm người? b/ Ba nhóm tương ứng 5,3,2 người?
Bài 3 Có tam giác mà đỉnh chúng thc tập hợp gồm 10 điểm nằm đường trịn?
Bài 4 Một đa giác lồi có đường chéo?
Bài 5 Trong môn học ,thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó ,10 câu hỏi trung bình ,15 câu hỏi dễ.Từ 30 câu hỏi lập đề kiểm tra ,mỗi đề gồm câu hỏi khác ,sao cho đề thiết phải có đủ loại câu hỏi (khó ,trung bình , dễ) số câu hỏi dễ khơng ? (ĐHKB/2004) ĐS:56875
Bài NHỊ THỨC NIUTƠN
1 Công thức nhị thức Niu tơn
(a+b)n=Cn0an+C1nan −1b+C2nan−2b2+ +Cnkan −kbk+ +Cn −na1a.bn −1+Cnnbn (1) = ∑
k=0
n
Cnkan − kbk (*)
Hệ
Với a=b=1, ta có : 2n=Cn0+C1n+ .+Cnn
Với a=1;b=-1, ta có : 0=Cn0−Cn1+ +(−1)kCnk+ .+(−1)nCnn Chú ý Trong biểu thức vế phải cơng thức (1) a/ Số hạng tử (n +1)
b/ Các hạng tử có số mũ a giảm dần từ n đến 0, số mũ b tăng dần từ đến n , tổng số mũ a b hạng tử n ( qui ước a0=b0=1)
(4)2 Tam giác Pa-xcan
n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 10 10 Nhận xét
Cnk=Cn−k−11+Cn −k
Bài 1 Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn: a/ ( 2a+b)4, b/ ( x-3y)5, c/
(x+3
x)
6
Bài 2
a/ Tìm hệ số x10 khai triển (2+x)15,
b/ Tìm hệ số x9 khai triển (2-x)19,
Bài 3 Tìm số hạng thứ năm khai triển (x+2
x)
10
, mà số hạng x giảm dần Bài Tìm hệ số x5 khai triển
(3x3−
x2)
5
(x ≠0)
Bài 5.Trong khai triển (x+1
x)
12
hãy tìm số hạng tự Bài 6 Hãy tìm hệ số x4 khai triển
(3x−
x)
12
Bài 7 Biết hệ số x2 khai triển (1+3x)n bằng 90 Hãy tìm n.
Bài 8 Trong khai triển (1+ax)n ta có số hạng đầu 1, số hạng thứ hai 24x, số hạng thứ
ba 252x2 Hãy tìm n a.
Bài 9.Tìm hệ số x5 khai triển :x(1-2x)5 +x2(1+3x)10 ( ÑHKD/ 07)
nguyên dương , Ank số chỉnh hợp chập k n phần tử Cnk số tổ hợp chập k n phần tử )
Bài PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ I- PHÉP THỬ, KHÔNG GIAN MẪU 1/ Phép thử
Phép thử ngẫu nhiên phép thử mà ta khơng đốn trước kết nó, biết tập hợp tất kết phép thử
2/ Khơng gian mẫu
Tập hợp kết xảy phép thử gọi không gian mẫu phép thử kí hiệu Ω
II- BIẾN CỐ
Biến cố là tập không gian mẫu
Tập gọi biến cố khơng thể Cịn tập Ω gọi biến cố chắn
III- PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN CỐ
Tập Ω \A gọi biến cố đối biến cố A, kí hiệu A
Tập AB gọi hợp biến cố A B
(5)Nếu A B= ta nói A B xung khắc.
Chú ý
AB xảy A xảy B xảy
AB xảy A B đồng thời xảy Biến cố AB cịn kí hiệu A.B
A B xung khắc chúng không nao xảy
Bài Gieo súc sắc cân đối, đồng chất lần quan sát số chấm xuất a/ Hãy mô tả không gian mẫu
b/ Hãy xác định biến cố sau: A: “ Xuất mặt chẵn chấm”; B: “Xuất mặt lẻ chấm”;
C: “ Xuất mặt có số chấm không nhỏ 3”
c/ Trong biến cố trên, tìm biến cố xung khắc Bài 2.Gieo đồng tiền hai lần
a/ Hãy mô tả không gian mẫu b/ Hãy xác định biến cố sau A : “ Lần thứ hai xuất mặt ngửa” B : “ Kết hai lần khác ”
Bài Gieo đồng tiền ba lần quan sát xuất mặt sấp (S), mặt ngửa (N) a/Xây dựng không gian mẫu
b/ Hãy xác định biến cố sau: A : “ Lần gieo đầu xuất mặt sấp”; B : “Ba lần xuất mặt nhau”; C: “ Đúng hai lần xuất mặt sấp”; D: “Ít lần xuất mặt sấp”
Bài 4.Gieo đồng tiền, sau gieo súc sắc Quan sát xuất mặt sấp (S), mặt ngửa (N) đồng tiền số chấm xuất súc sắc
a/ Hãy mô tả không gian mẫu b/ Hãy xác định biến cố sau
A : “ Đồng tiền xuất mặt sấp súc sắc xuất mặt chẵn chấm ” B : “ Đồng tiền xuất mặt ngửa súc sắc xuất mặt lẻ chấm ” C: “ Mặt chấm xuất hiện”
Bài 5. Từ hộp chứa bi trắng, bi đỏ, lấy ngẫu nhiên đồng thời bi a/ Xây dựng không gian mẫu
b/ Xác định biến cố sau: A : “ Hai bi màu trắng”; B : “Hai bi màu đỏ”; C: “Hai bi màu ”; D: “ Hai bi khác màu ”
c/ Trong biến cố , tìm biến cố xung khắc, biến cố đối Bài XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
(6)Giả sử A biến cố liên quan đến phép thử có số hữu hạn kết đồng khả xuất Ta gọi tỉ số nn(A)
(Ω) xác suất biến cố A, kí hiệu P(A) Vậy P(A)=n(A)
n(Ω)
Chú ý
n(A) số phần tử A
n( Ω ) số kết xảy phép thử II/ TÍNH CHẤT CỦA XÁC SUẤT
1/ Định lí
a/ P() =0, P( Ω )=1
b/ P(A)1, với biến cố A
c/ Nếu A B xung khắc P( A B ) = P(A)+P(B)
Hệ
Với biến cố A, ta có P(A)=1− P(A)
III/ CÁC BIẾN CỐ ĐỘC LẬP, CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT A B hai biến cố độc lập P(AB)=P(A).P(B)
Bài 1. Từ hộp chứa cầu ghi chữ T, cầu ghi chữ Đ cầu ghi chữ H Tính xác suất biến cố sau
a/ Lấy cầu ghi chữ T b/ Lấy cầu ghi chữ Đ c/ Lấy cầu ghi chữ H
Bài 2 Gieo ngẫu nhiên súc sắc cân đối đồng chất Tính xác suất biến cố sau A: “ Mặt lẻ xuất hiện”
B: “Xuất mặt có số chấm chia hết cho 3” C: “Xuất mặt có số chấm lớn 2” Bài 3 Gieo ngẫu nhiên súc sắc hai lần a/ Hãy mô tả không gian mẫu
b/ Hãy xác định biến cố sau A: “ Lần đầu xuất điểm 6” B:” Tổng điểm hai lần 4” c/ Tính P(A) P(B)
Bài 4. Gieo đồng tiền ba lần a/ Hãy mô tả khơng gian mẫu
b/ Hãy tính xác suất biến cố sau A: “ Lần đầu xuất mặt sấp”
B: “ Lần thứ hai xuất mặt ngửa”
Bài Lấy ngẫu nhiên thẻ từ hộp chứa 20 thẻ đánh số từ đến 20 Tính xác suất để thẻ lấy ghi số
a/ Chẵn;
b/ Chia hết cho 3; c/ Lẻ chia hết cho
(7)a/ Cả hai nữ; b/ Không có nữ nào; c/ Ít người nữ; d/ Có người nữ
Bài 7 Một hộp chứa 10 cầu đỏ đánh số từ đến 10, 20 cầu xanh đánh số từ đến 20 Lấy ngẫu nhiên Tìm xác suất cho chọn:
a/ Ghi số chẵn; b/ Màu đỏ;
c/ Màu đỏ ghi số chẵn; d/ Màu xanh ghi số lẻ
Bài 8.Gieo hai đồng xu cân đối cách độc lập Tính xác suất để : a/ Cả hai đồng xu sấp
b/ Có đồng xu sấp c/ Có đồng xu ngửa
Bài 9 Một hộp đèn có 12 bóng, tróng có bóng tốt bóng cịn lại bóng xấu ( chất lượng ) Lấy ngẫu nhiên bóng đèn Tính xác suất để lấy bóng tốt
Bài 10 Có bình, bình chứa viên bi khác màu.Một bi xanh, bi vàng, bi đỏ Lấy ngẫu nhiên bình viên bi Tính xác suất để hai viên bi khác màu Bài 11.Trong hộp có 20 cầu giống gồm 12 trắng màu đen
1/ Tính xác suất để lấy cầu có màu đen
2/ Tính xác suất để lấy có màu đen ( ĐHNNHN/96)
Bài 12.Một bình đựng viên bi xanh , viên bi vàng , viên bi trắng khác màu Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất biến cố sau :
1/ A : Lấy bi xanh 2/ B : Lấy bi vàng
3/ C : Lấy viên bi màu (ĐHNN1HN/96)
Bài 13.Một hộp có 20 viên bi , có 12 viên bi màu đỏ viên bi màu xanh Lấy ngẫu nhiên viên bi Tìm xác suất để :
a/ Cả viên bi màu đỏ ; b/ Cả viên bi màu xanh ;
c/ Có viên bi màu đỏ ( ĐHCS KC/97)
Bài 14 Trong hộp có 12 bóng đèn giống , có bóng hỏng Lấy ngẫu nhiên bóng Tính xác suất để :
a/ Được bóng tốt b/ Được bóng hỏng
c/ Được bóng tốt (ĐHAN tpHCM99) d/ Được bóng tốt
Bài 15.Một đợt xổ số phát hành 20 000 vé có giải , 100 giải nhì , 200 giải ba , 1000 giải tư 5000 giải khuyến khích Tìm xác suất để người mua vé , trúng giải nhì hai giải khuyến khích (ĐHGTVT/ 97)
Bài 16.Một hộp đựng viên bi xanh , viên bi đỏ có kích thước trọng lượng Lấy ngẫu nhiên viên bi Tìm xác suất để lấy viên bi đỏ ( ĐHDL KTCN99)
Bài 17.Một hộp đựng 10 viên bi xanh ,trong có viên bi màu xanh viên bi màu Lấy ngẫu nhiên viên bi Tìm xác suất để viên bi lấy có
a/ Cả viên màu xanh
(8)Bài 18 Ngân hàng đề thi có 100 câu hỏi Mỗi đề thi có câu Một học sinh thuộc 80 câu tìm xác suất để học sinh rút ngẫu nhiên đề thi có câu hỏi học thuộc Bài 19.Trong 100 vé số có vé trúng 10000 đồng , vé trúng 000đồng 10 vé trúng 1000đồng Một người mua ngẫu nhiên vé Tính xác suất biến cố :
a/ Người trúng 3000 đồng