cách giải các bài toán xác suất thống kê , để không nhầm lẫn trong quá trình giải bài trong kì thi đại học.bộ tài liệu này nhằm giúp các bạn bị yếu phần xác xuất thống kê có kả năng làm bài tốt nhất có thể
Dạng I: Tính xác suất biến cố theo định nghĩa cổ điển Cách giải: Để tính xác suất P(A)P(A) biến cố AA ta thực bước + Xác định không gian mẫu ΩΩ, tính số phần tử n(Ω)n(Ω) Ω.Ω + Xác định tập mô tả biến cố A,A, tính số phần tử n(A)n(A) tập hợp AA + Tính P(A)P(A) theo công thức P(A)=n(A)n(Ω)P(A)=n(A)n(Ω) Thí dụ 11 Một tổ học sinh gồm 99 em, có 33 nữ chia thành 33 nhóm Tính xác suất để nhóm có 11 nữ Lời giải Gọi AA biến cố : “ 33 nhóm học sinh nhóm có 11 nữ” + Để tìm n(Ω)n(Ω) ta thực Chọn ngẫu nhiên 33 99 em đưa vào nhóm thứ nhất, số khả C39C93 Chọn 33 số 66 em lại đưa vào nhóm thứ hai, số khả C36.C63 Chọn 33 em đưa vào nhóm thứ 3,3, số khả C33=1.C33=1 Vậy n(Ω)=C39.C36.1=1680n(Ω)=C93.C63.1=1680 Vì phân ngẫu nhiên nên biến số sơ cấp không gian biến cố sơ cấp có khả xuất Để tìm n(A)n(A) ta thực Phân 33 nữ vào 33 nhóm nên có 3!3! Cách khác Phân 66 nam vào 33 nhóm theo cách trên, ta có C26.C24.1C62.C42.1 cách khác Suy n(A)=3!.C39.C36.1=540n(A)=3!.C93.C63.1=540 + Do P(A)=n(A)n(Ω)=5401680=2784P(A)=n(A)n(Ω)=5401680=2784 DẠNG II Tính xác suất quy tắc cộng Cách giải Sử dụng kỹ thuật đếm công thức sau để tính xác suất biến cố đối, biến cố hợp, P(A¯¯¯¯)=1−P(A);P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A¯)=1−P(A);P(A∪B)=P(A)+P(B), A∩B=∅A∩B=∅ Thí dụ 22: Một hộp đựng 88 viên bi xanh 44 viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên 33 viên bi Tính xác suất để a) Lấy 33 viên bi màu b) Lấy 33 viên bi khác màu c) Lấy 22 viên bi xanh Lời giải: a) gọi AA biến cố “ Lấy 33 viên bi xanh”, BB biến cố “ lấy 33 viên bi đỏ” HH biến cố “ lấy 33 viên bi màu” Ta có H=A∪BH=A∪B, AA BB xung khắc nên P(H)=P(A)+P(B)P(H)=P(A)+P(B) Ta có P(A)=C38C312=1455;P(B)=C34C312=155P(A)=C83C123=1455;P(B)=C43C123=1 55 Từ P(H)=1455+155=311P(H)=1455+155=311 b) Biến cố “ lấy 33 viên bi khác màu” biến cố H¯¯¯¯¯H¯, Vậy P(H¯¯¯¯¯)=1−P(H)=1−311=811P(H¯)=1−P(H)=1−311=811 c) Gọi CC biến cố lấy 22 viên bi xanh viên bi đỏ” , K biến cố “ lấy 22 viên bi xanh” Ta có K=A∪CK=A∪C , AA CC xung khắc, nên P(K)=P(A)+P(C)P(K)=P(A)+P(C) Ta có P(C)=C28.C14C312=2855P(C)=C82.C41C123=2855 Suy P(K)=1455+2855=4255P(K)=1455+2855=4255 DẠNG III Tính xác suất quy tắc nhân Cách giải Để tính xác suất biến cố giao hai biến cố độc lập AA BB ta dùng công thức P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B) Thí dụ 33 Có hai hộp chứa cầu Hộp thứ thất chứa 33 cầu trắng, 77 cầu đỏ 1515 cầu xanh Hộp thứ hai chứa 1010 cầu trắng, 66 cầu đỏ 99 cầu xanh Từ hộp lấy ngẫu nhiên cầu Tính xác suất để hai cầu lấy có màu giống Lời giải : Gọi AA biến cố "Quả cầu lấy từ hộp thứ màu trắng", BB biến cố "Quả cầu lấy từ hộp thứ hai màu trắng" Ta có P(A)=325,P(B)=1025P(A)=325,P(B)=1025 Vậy xác suất để hai cầu lấy màu trắng P(AB)=P(A)P(B)=325.1025=30625P(AB)=P(A)P(B)=325.1025=30625( A,BA,B độc lập) Tương tự, xác suất để hai cầu lấy màu xanh 1525.925=1356251525.925=135625, xác suất để lấy hai cầu màu đỏ 625.725=42625.625.725=42625 Theo quy tắc cộng, xác suất để lấy hai cầu màu 30625+135625+42625=20762530625+135625+42625=207625 Dạng IV Lập bảng phân bố xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc Cách giải : Để lập bảng phân bố xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc XX ta thực bước : + Xác định tập giá trị {x1,x2,⋯,xn}{x1,x2,⋯,xn} XX + Tính xác suất pi=P(X=xi),pi=P(X=xi), {X=xi}{X=xi} biến cố "XX nhận giá trị xixi" + Trình bày bảng phân bố xác suất theo dạng sau Ví dụ 4.4 Một lô hàng gồm 1010 sản phẩm có 33 sản phẩm xấu Chọn ngẫu nhiên lúc 44 sản phẩn để kiểm tra Gọi XX số sản phẩm xấu gặp phải kiểm tra Lập bảng phân bố xác suất XX Lời giải : Dễ thấy XX nhận giá trị thuộc tập {0,1,2,3}{0,1,2,3} Ta có : P(X=0)=C47C410=35210P(X=0)=C74C104=35210 P(X=1)=C13.C37C410=105210P(X=1)=C31.C73C104=105210 P(X=2)=C23.C27C410=63210P(X=2)=C32.C72C104=63210 P(X=3)=C33.C17C410=7210P(X=3)=C33.C71C104=7210 Vậy bảng phân bố xác suất XX Dạng V Tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên rời rạc Cách giải : Để tính kỳ vọng, phương sai độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên rời rạc XX ta dùng công thức : E(X)=∑i=1nxipi;V(X)=∑i=1n(xi−μ)2piE(X)=∑i=1nxipi;V(X)=∑i=1n(xi−μ)2pi V(X)=∑i=1nx2ipi−μ2;σ(X)=V(X)−−−−−√V(X)=∑i=1nxi2pi−μ2;σ(X)=V(X), pi=P(X=xi),∀i=1,n¯¯¯¯¯¯¯¯;μ=E(X)pi=P(X=xi),∀i=1,n¯;μ=E(X) Ví dụ 55 Một hộp đựng 1010 thẻ, có bốn thẻ ghi số 11, ba thẻ ghi số 22, hai thẻ ghi số 33và thẻ ghi số 44 Chọn ngẫu nhiên hai thẻ cộng hai số hai thẻ với Gọi XX số thu a) Lập bảng phân bố xác suất XX b) Tính kì vọng, phương sai độ lệch chuẩn XX Lời giải : a) Gọi AijAij biến cố "Chọn thẻ ghi số ii thẻ ghi số jj." Dễ thấy XX nhận giá trị thuộc tập {2,3,4,5,6,7}{2,3,4,5,6,7} Ta có : P(X=2)=P(A11)=C24C210=645P(X=2)=P(A11)=C42C102=645 P(X=3)=P(A12)=C14.C13C210=1245P(X=3)=P(A12)=C41.C31C102=1245 P(X=4)=P(A13)+P(A22)=C14.C12C210+C23C210=1145P(X=4)=P(A13)+P(A22)=C41 C21C102+C32C102=1145 P(X=5)=P(A14)+P(A23)=C14.C11C210+C13.C12C210=1045P(X=5)=P(A14)+P(A23) =C41.C11C102+C31.C21C102=1045 P(X=6)=P(A33)+P(A24)=C22C210+C13.C11C210=445P(X=6)=P(A33)+P(A24)=C22C 102+C31.C11C102=445 P(X=7)=P(A34)=C12.C11C210=245P(X=7)=P(A34)=C21.C11C102=245 Vậy bảng phân bố xác suất XX b) Ta có : E(X)=2.645+3.1245+4.1145+5.1045+6.445+7.245=4E(X)=2.645+3.1245+4 1145+5.1045+6.445+7.245=4 V(X)=22.645+32.1245+42.1145+52.1045+62.445+72.245−42≈1,78.V(X)=22 645+32.1245+42.1145+52.1045+62.445+72.245−42≈1,78 σ(X)=V(X)−−−−−√=1,78−−−−√≈1,33 σ(X)=V(X)=1,78≈1,33 BÀI TẬP ÁP DỤNG 11 Một hộp đựng 1212 cầu kích thước có 33 cầu xanh, 44 cầu đen 55 cầu trắng Chọn nhẫu nhiên lúc 44 cầu tính xác suất để 44 cầu chọn có a) 44 cầu màu b) 22 cầu trắng c) 11 cầu trắng, 11 cầu đen 22 Gieo đồng thời đồng 55 xu Tính xác suất để a) 33 mặt ngửa b) có 33 mặt ngửa c) có 11 mặt ngửa 33 Hai bạn Đào Mai học xa nhà Xác suất để Đào Mai thăm nhà vào ngày chủ nhật tương ứng 0,20,2 0,250,25 Tính xác suất để vào ngày chủ nhật a) hai thăm nhà b) hai không thăm nhà c) có 11 người thăm nhà d) có 11 người thăm nhà 4.4 Một hộp đề thi vấn đáp có 3030 câu hỏi, có 1010 câu hỏi khó Một học sinh cần rút ngẫu nhiên 33câu hỏi để trả lời Gọi XX số câu khó số 33 câu hỏi rút a) Lập bảng phân bố xác suất XX b) Tính xác suất để học sinh nhận toàn câu khó c) Tính xác suất để học sinh nhận 22 câu khó d) Tính kỳ vọng, phương sai độ lệch chuẩn XX