Giao an on thi tn phan khao sat

CHUYÊN ĐỀ: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ.. I..[r]

CHUYÊN ĐỀ: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

I Các kiến thức cần nhớ: 1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số

*) Tìm TXĐ D *) Tính y’

*) Tìm nghiệm phương trình y’=0 điểm mà y’ khơng xác định

*) Tìm xlim , lim  y x y

*) Tìm tiệm cận đứng, ngang (nếu có)

*) Lập bảng biến thiên điền đầy đủ yếu tố *) Nêu đồng biến,nghịch biến cực trị (nếu có)

*) Tìm điểm đặc biệt (giao với trục Ox, giao với trục Oy) số điểm

*) Vẽ đồ thị

2) Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Cho hàm số y = f(x)

Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm M(x0;y0)

- Xác định x0; y0

- Tính y’ sau tính y’(x0) hay f’(x0)

- Viết phương trình y y f x'( )(0 x x 0)

Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước - Tính y’ suy f’(x0)

- Giải phương trình f’(x0) = k tìm x0

- Có x0 tìm y0, viết phương trình y y f x'( )(0 x x 0)

3) Biện luận số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị (C ): y=f(x) - Đưa phương trình dạng f(x) = A(m).

- Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y = f(x)

với đường thẳng y = A(m).

- Vẽ hai đồ thị hệ trục tọa độ biện luận kết

Lưu ý: Đôi tốn u cầu tìm m để phương trình có 3, nghiệm, ta chỉ trả lời yêu cầu toán đưa ra.

4) Tìm GTLN, GTNN hàm số y = f(x) [a; b] - Nhận xét: Hàm số y = f(x) liên tục [a;b] - Tính y’

- Giải phương trình y’=0 tìm nghiệm xi [a;b], tìm xj [a;b] cho

f(xj) không xác định

- Tính f(a), f(b), f(xi),

- So sánh giá trị kết luận 5) Điều kiện để hàm số có cực trị

- Hàm số đạt cực trị x0 f’(x0) = 0 (f(x) có đạo hàm x0)

- Nếu f a''( ) 0 : Hàm f x( ) đạt cực đại

'( ) ''( )

f a x a

f a  

  

 

- Nếu f a''( ) 0 : Hàm số f(x) đạt cực tiểu

'( ) ''( )

f a x a

f a  

  

 

6) Số giao điểm hai đồ thị hàm số y = f(x) y = g(x) - Giải phương trình hồnh độ giao điểm: f(x) = g(x).

- Số nghiệm phương trình số giao điểm hai đồ thị cho II Các dạng tốn luyện tập:

1.Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số:

Bài 1: Tìm khoảng đồng biến hay nghịch biến cực trị (nếu có) hàm số sau:

a)

3

1

3

y x  x  x

; b) y=x

3

−3x2+1

; c) y=x

4

−2x2+3 ; d) y=x

2−2x x −1 ; e)

2

y= 2x - x ; g) y ex x

  . Hướng dẫn học sinh giải :

* Các bước tìm : - Nêu TXĐ

- Tính đạo hàm y'

- Xét dấu y' dựa vào định lý nêu kết luận Giải

a)

3

1

3

y x  x  x TXĐ: 

 2

' 0,

y x  x  x  x  Hàm số đồng biến .Hàm số khơng có cực trị

b) y=x3−3x2+1 TXĐ: 

2 '

y  x  x;

0 '

2

x y

x      

 Dấu y' :

X    y' + - +

Y

-3

Vậy hàm số đồng biến khoảng  ;0 , 2;   Hàm số nghịch biến khoảng 0;2

c) y=x4−2x2+3 TXĐ: 

 

3

' 4

y  x  x x x  ;

0

'

1

x

y x

x   

  

    Dấu y' :

x   -1  y' - + - +

y

Hàm số đồng biến khoảng 1;0 , 1;  

Hàm số nghịch biến khoảng   ; , 0;1  

Hàm số đạt cực đại x = 0, yCD= Hàm số đạt cực tiểu x = -1, x =1, yCT 2

d) y=x

2 −2x x −1

TXĐ : \ 1 

   

   

2

2

2 2 2

' 0,

1

x x x x x x

y x

x x

     

    

 

Hàm số đồng biến khoảng  ;1 , 1;   e) y= 2x - x2

TXĐ: 0; 2

2 '

2

x y

x x  

 ; y' 0  x1 Dấu y' :

x y' || + - ||

y

Vậy hàm số đồng biến khoảng 0;1 nghịch biến khoảng 1; 2 Hàm số đạt cực đại x=1, yCD=1

g) y e x x TXĐ : 

' x 1; ' 0

Dấu y' :

x    y' - + y

Hàm số nghịch biến khoảng  ;0 đồng biến khoảng 0; Hàm số đạt cực tiểu x = , yCT 1

Bài 2: Tìm giá trị tham số m để hàm số

3

1

( )

3

f x  x  x  mx

nghịch biến khoảng 1;3

Giải : TXĐ: 

2

'

y x  x m

Để hàm số nghịch biến khoảng 1;3,

     

' 0, 1;3 0, 1;3 , 1;3

y   x  x  x m   x  x  x m x  

Xét hàm số f x( )x2 4x 1;3 , ta có f x'( ) 2 x 4; '( ) 0f x   x2 x f'(x) - + f(x) -3 -3

-

Để f x( )m x, 1;3 1;3 f ( )

m Max x

3

m

  .

Bài 3: Cho hàm số y x 3(m1)x2 (2m1)x 1 3m.Tìm m để hàm số có cưc trị

Giải :

 TXĐ: D = R

 y' 3 x22(m1)x (2m1)

 Hàm số y x 3(m1)x2 (2m1)x 1 3m có cực trị  y' 0 có hai nghiệm phân biệt

 Xét y' 0  3x22(m1)x (2m1) 0

2 2

' (m 1) 3(2m 1) m 4m (m 2) 0, m

           

Bài 4: Cho hàm số y x 3 mx2 m1, m tham số Xác định m để hàm số đạt cực tiểu điểm x =

Giải : TXĐ : R

Cách 1: y’ = 3x2 – 2mx

Hàm số đạt cực tiểu x =2 nên y’(2) =  m3.

Với m = 3, ta có hàm số : y = x3 - 3x2 + 2

y’ = 3x2

– 6x; y’ = x = 0, x =

x    y' + - +

hàm số đạt cực tiểu x = Vậy m = giá trị cần tìm Cách 2:

2

' ; ''

y  x  mx y  x m.

TH1: y''(2) 0  m6 trường hợp y'(2) 0  m6 không thoả mãn. TH2: y''(2) 0 :

Hàm số đạt cực tiểu x = 

'(2) 12

3 ''(2) 12

y m m

m

y m m

                     .

Vậy m = giá trị cần tìm

3 Tìm GTLN-GTNN hàm số : Bài 5: Tìm GTLN, GTNN hàm số: a) f x( )x33x29x2 [ -2;2] ; b)

3 ( ) 2sin sin

3

f x  x x

[0; ] c) y x  4 x2 ; d)

1

y x x  

khoảng (0; ) Giải :

a)

2

'( ) 9; '( )

3

x

f x x x f x

x          

( 2) 4; (2) 24; ( 1) 3; (3) 29

f   f  f   f 

Do  2; 2  2; 2

max ) 29; ( )fx f x

    b) ( ) 2sin sin

3

f x  x x

[0; ]

Đặt s inxt, với x0;  t 0;1 Thay vào hàm số ta hàm

3 ( )

3

g t  t t

với t0;1

 

1

0;1 '( ) ; '( )

1

t

g t t g t

t             

2 2

(0) 0; (1) ; ( )

3

g  g  g 

Vậy 0;  0; 

2

max ( ) ; ( )

f x f x

 

 

c) y x  4 x2 TXĐ: 2; 2

2

2

2

4

' ; '

4

x x x

y y x x

x x

 

       

 

0

2

x

x x

 

   

 

( 2) 2, (2) 2, ( 2) 2

y   y  y  .

maxy2 2; miny2.

d)

1 '

y

x  

,

 

1 0; '

1

x y

x

   

    

x 0 + y' || - +

y + +

3

Hàm số có giá trị nhỏ

3

2 đạt x = 1.

Hàm số khơng có giá trị lớn

4 Khảo sát hàm số toán liên quan: Bài 6: Cho hàm số yx33x21

a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số

b) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình

3

3

x  x m .

Bài giải a)

 TXĐ: D = R  y'3x26x



2

' 3x 6x=0

2

x y

x  

     

   Dấu y':



x    y' +

-

 Hàm số đồng biến (0 ; 2); hàm số nghịch biến ( ;0) (2;)  Hàm số đạt cực đại x = 2, yCĐ = 3; hàm số đạt cực tiểu x = 0, yCT =

-1

 Giới hạn: xlim  y, limx y 

 Điểm đặc biệt: (0;-1), (-1; 3), (3; -1), (1; 1)  Đồ thị:

b)

 x3 3x2m  0 x33x21 m

 Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số

3 3 1

yx  x  với đường thẳng y = m – 1.  Vậy:

1

m   m : Phương trình có nghiệm.

1

m   m : Phương trình có nghiệm.

3m1  1 4m0: Phương trình có nghiệm.

1

m   m :Phương trình có nghiệm.

1

m    m : Phương trình có nghiệm. Bài 7: Cho hàm số y x 4 2x2 có đồ thị (C ).

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C )

b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hồnh độ x0 =

Bài giải a) TXĐ: D = R.

 y' 4 x3 4x



3

' 4

1

x

y x x

x  

     

   Dấu y':



x   -1  y' - + - +

 Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ = 0; hàm số đạt cực tiểu x1, yCT =

-1

 Giới hạn: xlim  y, limx y

 Bảng biến thiên:



 Điểm đặc biệt: ( 2;0),( 2;0),(0;0)  Đồ thị:

b)

 Hàm số y x 4 2x2 với x0 = y0 16 2.4 8 

 y' 4 x3 ,x y'(2) 4.8 4.2 24    Phương trình tiếp tuyến:

0 '( )(0 0) 24( 2) 24 40

y y y x x x  y  x  y x Bài 8:Cho hàm số

2

x y

x  

 có đồ thị (C).

a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm (C) với trục tung

Bài giải a)

 TXĐ:

1 D \

2

 

  

  



8

' 0,

(2x 1)

y     x D 

 Hàm số nghịch biến khoảng xác định  Giới hạn: xlim  y1; limx y1,

1

2

lim ; lim

x x

y y

 

   

   

   

  

1

x

tiệm cận đứng đồ thị hàm số  Bảng biến thiên:

 Hàm số khơng có cực trị  Điểm đặc biệt:

3

;0 , (0; 3)

 

 

 

 

 Đồ thị:

b)

 Tại giao điểm với trục tung x0 = 0, y0 3



8

' '(0)

(2x 1)

y    y 



 Phương trình tiếp tuyến:

0 '( )(0 0) 8( 0)

y y y x x x  y  x  y x

Bài 9: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) trường hợp: a) y x 3 3x22 biết tiếp tuyến có hệ số góc 9.

b) y x 4 2x2 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 24x. c)

2

x y

x  

 biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng

1

y x Bài giải

a)

 y' 3x 2

 Hệ số góc k =

2

0 0

'( ) 3x

y x x

      

Phương trình tiếp tuyến:

0 '( )(0 0) 9( 2) 9x 14

y y y x x x  y  x  y   Với x0 = -2 y0 0

Phương trình tiếp tuyến:

0 '( )(0 0) 9( 2) 18

y y y x x x  y  x  y x Vậy có hai phương trình tiếp tuyến: y9x 14 y9x18.

b)

 Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 24x nên có hệ số góc k = 24  y' 4x 3 4x



3

0 0

24 4x 4x 24

k      x 

 x0  2 y0 8

 Phương trình tiếp tuyến:

0 '( )(0 0) 24( 2) 24 40

y y y x x x  y  x  y x c)

 Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng

1

y x

nên có hệ số góc k = -2



8 '

(2x 1)

y   



0

0

8

2

1 (2x 1)

2

x k

x 

  

    

 

   Với 0

3

3

x   y 

Phương trình tiếp tuyến:

0 '( )(0 0) 3 2( )

2

y y y x x x

y x

y x

  

   

  

 Với 0

1

1

x   y 

phương trình tiếp tuyến:

0 0

1

'( )( ) 2( ) 2

2

y y y x x x  y  x  y x Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm: y2x6 y2x 2. Bài 10: Cho hàm số y x43x21 có đồ thị (C)

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phương trình x4 3x2log3m0 có nghiệm

phân biệt

Bài giải a)

b)

 x4 3x2m  0 x43x2  1 log3m

 Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị (C) với đường thẳng y = log 3m

 Dựa vào đồ thị , phương trình có nghiệm phân biệt

9

3

13

1 log log

4

m m m

         

Bài 11: Cho hàm số

2

x y

x  

 có đồ thị (C).

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

b) Chứng minh với giá trị m, đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt

Bài giải a)

Thực tương tự bước khảo sát 3, ta có đồ thị (C) sau:

b)

 Đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt phương trình

2

x

x m x

  

 Xét phương trình:

2

( 2)

x

x m x x



  



2

2x (x m x)( 2) x 4x mx 2m x (4 m x) 2m

                

Có  (4m)2 4(1 ) m m28m16 8  m m 212 0 m

 Vậy với m đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) hai điểm phân

biệt

III Bài tập tự luyện

Bài 1: Lập bảng xét dấu đạo hàm y’ kết luận tính đồng biến, nghịch biến cực trị hàm số sau:

y= x3-3x+5

y=

1

3x3+x2-3

y= x4-2x2

2 y= -x3+3x2-1

4 y= -x3+2x2-3x

6 y=

-1

4x4+2x2

7 y=

2x 2x

-Bài2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số:

1 y= x2-4x+3

y = x3+3x2-9x-7 đoạn [-4;3]

y= x4-2x2 đoạn [0;2]

y= x4- 2x2+2 đoạn [-2;1]

3 2sin - sin

3

y x x

đoạn [0;π]

2 y = -x2+6x-1

4 y= -3x2+4x-8 đoạn [0;1]

6 y = x43x22 khoảng (-1;3)

8 y= 4x- đoạn [-1;1] 10

2 cos 4sin

y x x, x[0;π/2] Bài

a Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y=x3+3x2+1

b Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình x3+3x2+1-m=0

c Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C) , Ox đường thẳng x=-2, x=0

Bài 4.

a Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y=-x3+3x+1

b Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình x3-3x+m-1=0

c Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ Bài 5.

a Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y= -x3+3x2-4x+2

b Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ x0, biết

y”(x0)=0

c Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) , Ox Oy Bài

a Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y = x3-3x+1

b Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm với trục tung

c Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C), x’Ox đường thẳng x=0, x=1

a Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y = x3 – 3x +5

b Dùng đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm phương trình: x3 – 3x – k +4 = 0

c Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) đường thẳng (D): y = Bài

a Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y = -x3+3x2-2

b Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ -1

c Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh bỡi hình phẳng giới hạn bỡi (C), Ox, x =1, x =2 quay quanh Ox

Bài

a Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y=x4-2x2+1

b Tìm m để phương trình x4-2x2 = log2m có nghiệm phân biệt.

c Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C) trục hồnh Bài 10.a Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y =

x x

+ -

b.Cho điểm A có hồnh độ 3 thuộc (C).Viết PT tiếp tuyến (C) A. Bài 11: Cho hàm số y x 3 3mx23(2m1)x1

a) Định m để hàm số đồng biến TXĐ

b) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị với m = Bài 12:Cho hàm số

3

x y

x  



a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho

b) Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng y mx 2 cắt đồ thị hàm số cho hai điểm phân biệt

Bài 13: Cho hàm số y x 4 mx2 (m1) có đồ thị (C

m)

a) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm M(-1;4)

b) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = -2

c) Tìm m để hàm số y x 4 mx2 (m1) có cực đại cực tiểu. Bài 14: Cho hàm số

1

x y

x  



a) Khảo sát hàm số