Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi 1 khác nhau sao cho chữ số đứng cuối chia hết cho 4... Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành.[r]
(1)TỔ HỢP
I HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN 1 Quy tắc cộng
Giả sử cơng việc thực theo k phương án A1, A2, A3 , Ak Có n1 cách
lựa chọn phương án 1, n2 cách chọn phương án 2, nk cách chọn phương án k Khi cơng việc
có thể thực n1 + n2 + n3 + +nk cách
2 Quy tắc nhân
Giả sử cơng việc bao gồm k công đoạn A1, A2, A3 , Ak Công đoạn A1 thực
hiện theo n1 cách, cơng đoạn A2 thực theo n2 cách, , cơng đoạn Ak thực theo nk
cách Khi cơng việc thực theo n1.n2 nk cách
II HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP 1 Hoán vị
- Cho tập hợp A có n(n1) phần tử Khi xếp n phần tử theo thứ tự, ta hoán vị các phần tử tập A (gọi tắt hoán vị A)
- Số hoán vị tập hợp có n phần tử là:
Pn = n! = n(n – 1)(n – 2) = 1.2.3.4.5 n 2 Chỉnh hợp
- Cho tập A gồm n phần tử số nguyên k với 1kn Khi lấy k phần tử A xếp chúng theo thứ tự, ta chỉnh hợp chập k n phần tử (gọi tắt chỉnh hợp chập k A) - Số chỉnh hợp chập k tập hợp có n phần tử (1kn) là:
) ) (
2 )(
(
n n n n k
Ank Chú ý:
+) Với 0<k<n thì:
)! (
! k n
n Ank
+) Ta quy ước: 0! = An0 1 3 Tổ hợp
- Cho tập A có n phần tử số nguyên k với 1kn Mỗi tập A có k phần tử gọi tổ hợp chập k n phần tử A (gọi tắt tổ hợp chập k A)
- Số tổ hợp chập k tập hợp có n phần tử (1kn) là:
!
) ) (
2 )( (
! k
k n n
n n k A C
k n k n
- Tính chất Cho số nguyên dương n số nguyên k với 0kn Khi Cnk Cnnk
- Tính chất Cho số nguyên n k với 1kn Khi đó: 1
k n k n k
n C C
C (hằng đẳng thức Pascal) Các dạng toán ứng dụng.
Dạng 1: Các toán đếm số phương án
Dạng 2: Rút gọn biểu thức đại số tổ hợp Dạng Chứng minh đẳng thức; bất đẳng thức đại số tổ hợp
(2)DẠNG CÁC BÀI TOÁN ĐẾM SỐ PHƯƠNG ÁN
Dạng này gồm phần:
1. Các toán liên quan đến số tự nhiên 2. Các toán liên quan đến yếu tố hình học
3. Các tốn đếm thực tế
1 Các toán liên quan đến số tự nhiên
Ví dụ Một nhóm học có 15 học sinh Nhóm cần bầu nhóm trưởng, nhóm phó thư ký Biết không bầu người vào hay chức vụ Hỏi có cách?
Giải
- Có 15 cách chọn nhóm trưởng - Có 14 cách chọn nhóm phó - Có 13 cách chọn thư ký
Vậy có 15.14.13 = 2730 cách chọn
Ví dụ Có tuyến xe bus A B Có tuyến B C Hỏi: a. Có cách xe bus từ A qua B đến C
b. Có cách xe bus từ A đến C, qua B
c. Có cách xe bus từ A đến C qua B cho tuyến xe bus không một lần?
Giải
a – Có cách từ A đến B - Có cách từ B đến C
Vậy có 4.3 = 12 cách từ A đến C qua B b – Có 12 cách từ A đến C qua B
- Có 12 cách từ C đến A qua B
Vậy có 12.12 = 144 cách từ A đến C qua B
c – Có cách từ A đến B, có cách từ B đến C Để tránh đường cũ có cách từ C quay B cách từ B A
Vậy có 4.3.2.3 = 72 cách
Ví dụ Cho chữ số 2, 3, 4, 5, 6, 7, Hỏi từ số cho lập số đôi khác và:
a. Gồm chữ số
b. Gồm chữ số nhỏ 400 c. Gồm chữ số chẵn
d. Gồm chữ số chia hết cho
Giải
Đặt A = abc
a Có cách chọn a Có cách chọn b Có cách chọn c Vậy có 6.5.4 = 120 số b Có cách chọn a (2 3) Có cách chọn b
Có cách chọn c Vậy có 2.5.4 = 40 số
(3)Có cách chọn c Vậy có 2.5.4 = 40 số
d Vì A5 nên có cách chọn c (c = 5) Có cách chọn a
Có cách chọn b Vậy có 1.5.4 = 20 số
Bài 1. Xét dãy gồm chữ số (mỗi chữ số chọn từ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) thỏa mãn chữ số vị trí thứ chẵn, chữ số cuối không chia hết cho 5, chữ số 4, 5, đôi khác Hỏi có cách chọn
Bài 2 Có thể lập số chẵn gồm chữ số khác lấy từ 0, 4, 5, 7, 8? Bài 3 Có số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho 5?
Bài 4. Cho tập E
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
1 Có số tự nhiên có chữ số lập từ E?
2 Có số tự nhiên có chữ số khác lập từ E?
3 Có số tự nhiên có chữ khác phải có mặt chữ số lập từ E? Có số tự nhiên có chữ số khác số chẵn lập từ E?
5 Có số tự nhiên có chữ số khác chia hết cho lập từ E? Có số tự nhiên chẵn có chữ số khác nhỏ 2013 lập từ E? Có số tự nhiên chẵn có chữ số khác lớn 3210 lập từ E? Có số tự nhiên có chữ số lập từ E?
9 Có số tự nhiên chẵn có chữ số khác nhau, có chữ số đứng đầu lập từ E? 10 Có số tự nhiên có chữ số khác chia hết cho lập từ E?
11 Có số tự nhiên chẵn có chữ số khác chia hết cho lập từ E? 12 Tính tổng S số tự nhiên có chữ số khác lập từ AE\
0,2,6,7,8,9
13 Có số tự nhiên có chữ số lập từ E?14 Có số tự nhiêu có chữ số khác lập từ E?
15 Tính tổng S số tự nhiên có chữ số khác lập từ AE\
0,6,7,8,9
16 Có số tự nhiêu có chữ số khác thiết phải có mặt chữ số 3? 17 Có số tự nhiêu có chữ số khác có 123 lập từ E?18 Có số tự nhiêu có chữ số khác số 1,2,3 cạnh lập từ E? 19 Có số tự nhiêu có chữ số khác khơng có mặt chữ số lập từ E? 20 Có số tự nhiên có chữ số lập từ E?
21 Có số tự nhiên có chữ số khác lập từ E?
22 Có số tự nhiêu có chữ số khác chia hết cho lập từ E chữ số 1,2,5 đứng cạnh theo thứ tự đó?
(4)BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài (ĐHQG HCM-99) Với số 1,2,5,7,8 lập số gồm chữ số phân biệt thoả mãn điều kiện:
a Là số chẵn b Là số nhỏ 278 c Là số chẵn nhỏ 278
Bài Xétmột dãy số gồm chữ số (Mỗi chữ số chọn từ số 0, 1, 2, 3, 4,…9 ) thoả mãn: - Chữ số vị trí thứ chẵn
- Chữ số vị trí cuối chia hết cho
- Các chữ số vị trí thứ 4, 5, đơi khác Hỏi có tất dãy số ? Bài (ĐHCSND99): với 10 chữ số từ đến lập thành chữ số gồm chữ số khác nhau?
Bài 4 (ĐH Đà Lạt–D): có 10 chữ khác nhau: a Lập chữ có chữ cái?
b Lập chữ có chữ khác nhau?
Bài 5 (ĐHSPV99-00): Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Từ chữ số lập số, số gồm chữ số, đôi khác chia hết cho 10
Bài 6 (ĐHSPV-2000): Có số tự nhiên 1, 2, 3, 4, Hỏi có số có chữ số đôi khác tạo thành từ số cho?
Bài 7 (ĐHYHN99) Có thể lập số chẵn có năm chữ số khác lấy từ số 0, 2, 3, 6, 9?
Bài 8 (CĐSPHN) Có miếng bìa, miếng có ghi chữ số 0, 1, 2, 3, Lấy miếng từ miếng bìa đặt cạnh từ trái qua phải để số gồm chữ số Hỏi lập số có nghĩa gồm chữ số có số chẵn
Chú ý: chữ số đôi khác số chỉ có miếng bìa Bài (ĐHQGHCM01)
Có số chẵn gồm chữ số khác đơi chữ số chữ số lẻ? Có số gồm chữ số khác đôi có chữ số lẻ chữ số chẵn Bài 10 (ĐHSPHN2):
Có thể lập số gồm chữ số chữ số có mặt lần chữ số khác có mặt lần từ chữ số: 1,2,3,4,5,6?
Bài 11 Với số 0, 1, 2, 3, 4, ta lập số gồm chữ số số có mặt lần số khác có mặt lần?
Bài 12 (ĐHHuế2001) Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, từ chữ số cho lập được: Bao nhiêu chữ số chẵn có chữ số chữ số khác đơi một?
2 Bao nhiêu chữ số chia hết cho 5, có chữ số chữ số khác đơi Bao nhiêu chữ số chia hết cho 9, có chữ số chữ số khác đơi
Bài 13 Người ta viết số có chữ số chữ số 1, 2, 3, 4, sau: Trong số viết có chữ số xuất lần chữ số cịn lại xuất lần Hỏi có số Bài 14 Có số tự nhiên có chữ số viết chữ số 1, 2, 3, chữ số xuất lần
Bài 15 Có số tự nhiên có chữ số?
Bài 16 Cho A = {1,3,5,6,8} Có số tự nhiên gồm chữ số lấy từ chữ số tập A? Bài 17 Cho A = {0,1,2,3,5,7,9} Từ tập A có số tự nhiên gồm chữ số đôi khác nhau. Bài 18 Với tập E = {1,2,3,4,5,6,7} lập số gồm chữ số phân biệt và:
a Trong có chữ số
(5)Bài 19 Với chữ số 1,2,3,4,5 lập số gồm chữ số đôi khác nhau: a Không chữ số
b Không 123
Bài 20 Cho E = {0,1,2,3,4,5,6,7} Có thể lập số gồm chữ số đôi khác lấy từ E trường hợp sau:
a Là số chẵn
b Một số
Bài 21 Từ số 0,1,2, ,9 lập số gồm chữ số khác cho số có mặt chữ số
Bài 22 Với chữ số 0,1,2,3,4,5 ta lập số gồm chữ số khác cho số phải có mặt chữ số
Bài 23 Cho chữ số 0,2,4,5,6,8,9 Hỏi lập số: a Có chữ số mà số chữ số khác b Có chữ số khác có chữ số
Bài 24 Với chữ số 1,2,3,4,5 lập số gồm chữ số phân biệt thoả mãn: a Mỗi số nhỏ 40000
b Mỗi số nhỏ 45000
Bài 25 Cho số 0,1,2, ,9 có số lẻ gồm chữ số khác nhỏ 60000 xây dựng từ 10 chữ số
Bài 26 Từ số 0,1,2,3,4,5,6 lập được:
a Bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác b Bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác
Bài 27 Có số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ chữ số 0,2,4,6,8 Bài 28 Từ số 0,1,2,3,4,5,6 lập được:
a Bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số?
b Tìm số tự nhiên gồm chữ số lấy từ số cho: Chữ số
2 Các chữ số khác Không tận chữ số
Bài 29 Với chữ số 0,1,2,3,4,5 ta thành lập số chẵn số gồm chữ số khác
Bài 30 Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8} Từ tập A:
a Có thể lập số tự nhiên lẻ gồm chữ số b Có thể lập số tự nhiên gồm chữ số lẻ
c Có thể lập số tự nhiên chẵn gồm chữ số đơi khác d Có số tự nhiên gồm chữ số đôi khác chia hết cho
e Có thể lập số tự nhiên gồm chữ số đôi khác cho chữ số đứng cuối chia hết cho
Bài 31 Với chữ số 1,2,3,4 lập số có chữ số phân biệt
Bài 32 Với chữ số 1,2,3,4 ,5 lập số gồm chữ số phân biệt là: a Số lẻ
(6)Bài 33(ĐHAN-97) Từ chữ số 0,1,2,3,4,5,6 lập số chẵn có chữ số khác Bài 34 Từ chữ số 0,1,2,3,4,5 lập số gồm chữ số khác có bao
nhiêu số chia hết cho
Bài 35 Từ chữ số 0,1,2,3,4,5,7,8 lập số gồm chữ số khác không chia hết cho
Bài
36 Từ chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 lập số gồm chữ số khác số khơng chia hết cho 10Bài 37 (ĐH Huế99): Người ta viết chữ số 0,1,2,3,4,5, lên phiếu, sau xếp thứ tự ngẫu nhiên thành hàng
a Có số lẻ gồm chữ số thành (288) b Có số chẵn gồm chữ số thành (312)
Bài 38 (ĐHHH99): Có cách xếp bạn học sinh A, B, C, D, E vào ghế cho:
a Bạn C ngồi (24)
b Hai bạn A E ngồi hai đầu ghế (12)
Bài 39 (ĐHSPV2000): Tìm tất số thự nhiên có chữ số cho số chữ số đứng sau lớn chữ số đứng liền trước?
- Số đứng trước số nên số có chữ số tạo thành từ chữ số thuộc tập A = {1,2,3 9} Ứng với chữ số chọn có cách xếp thỏa mãn toán Vậy số số là: 126
9
C số
Bài 40. (ĐHAN2001): Cho chữ số 0,1,2,3,4 Hỏi lập số có bảy chữ số từ chữ số trên, số có mặt ba lần, chữ số khác có mặt lần? - Có cách chọn vị trí cho số
- Có C63 20cách vị trí cho chữ số vào vị trí - Có A32 6 cách số 1,2,3 vào vị trí cịn lại => có 6.20.6 = 720 số
Bài 41. (ĐH Huế 2001): Có số tự nhiên gồm chữ số cho khơng có chữ số lặp lại lần?
- Số số tự nhiên có chữ số 9.10.10.10 = 9000 số
- Ta tìm số số tự nhiên lặp lại ba lần (để dùng phương pháp bù trừ) + Có số dạng a000
+ Có 35 số mà số lặp lại lần
+ Có 35 số mà số lặp lại ba lần => có 9.35 + = 324 số lặp lại ba lần Vậy số số thỏa mãn là: 9000 – 324 = 8676 số
Bài 42 (ĐH khối A dự bị2005): Từ chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 lập số tự nhiên, số gồm chữ số khác tổng chữ số hàng chục, trăm, ngàn 8? (1440)
Bài 43 (ĐH khối B2003 dự bị): Từ chữ số 1,2,3,4,5,6 lập số tự nhiên mà số có chữ số thỏa mãn điều kiện: sáu chữ số số khác số có tổng ba chữ số đầu nhỏ tổng ba chữ số cuối đơn vị? (108)
(7)2 Các toán liên quan đến yếu tố hình học.
Bài 1. Cho điểm mặt phẳng cho khơng có điểm thẳng hàng
a Có đường thẳng mà đường thẳng qua điểm nói trên? b Có tam giác với đỉnh điểm nói trên?
c Có vectơ khác vectơ 0? Bài (CĐSP A02)Tìm số giao điểm tối đa của:
a 10 đường thẳng phân biệt? b đường tròn phân biệt?
c 10 đường thẳng đường tròn trên? (195) Bài a Có đường chéo đa giác lồi n cạnh?
b Có tam giác có đỉnh đỉnh đa giác n cạnh? Trong có tam giác có cạnh khơng phải cạnh đa giác n cạnh?
Bài (CĐBC Hoa Sen D06): Cho hai đường thẳng song song d1 d2 Trên d1 cho 10 điểm phân biệt Trên d2 cho điểm phân biệt Hỏi có tam giác mà đỉnh tam giác lấy từ 18 điểm trên? (640)
3 Các toán thực tế
Bài Từ hồng vàng, hồng trắng bơng hồng, ta chọn bó gồm bơng a Có cách chọn bó hoa có bơng hồng đỏ?
b Có cách chọn bó hoa có bơng hồng vàng bơng hồng đỏ? Bài (HVKTQS–2000):Một lớp có 20 em h/s có 14 nam nữ Hỏi có cách lập đội gồm h/s đó:
a Số nam nữ b Có nữ
Bài (ĐHYHN-2000): Có nhà toán học nam, nhà toán học nữ nhà vật lý nam Lập đồn cơng tác người cần có nam nữ, cần có nhà tốn học nhà vật lý Hỏi có cách? Bài (ĐHĐN-2000): Một tổ có h/s nam h/s nữ xếp thành hàng dọc
a Có cách xếp khác nhau?
b Có cách xếp cho khơng có h/s giới đứng cạnh nhau?
Bài (ĐHHuế-2000): Một lớp có 30 h/s nam 15 h/s nữ Có h/s chọn để lập tốp ca Hỏi có cách lập khác nhau:
a Nếu phải có nữ? b Nếu chọn tuý ý?
Bài (ĐHThái Nguyên–2000): Một đội văn nghệ có 20 người, có 10 nam 10 nữ Hỏi có cách chọn người cho:
a Có nam người
b Có nam 1nữ người
Bài (HVKTQS-2000) Một đồn cảnh sát khu vực có người Trong ngày cần cử người làm nhiệm vụ địa điểm A, người làm nhiệm vụ địa điểm B, người lại trực đồn Hỏi có cách phân cơng?
(8)Bài (HVCTQGHCM-01-02): Một đội văn nghệ có 10 người có nữ nam
a Có cách chia đội văn nghệ thành nhóm có số người nhóm có số nữ nhau?
b Có cách chọn người mà có khơng q nam?
Bài 10 (ĐHCần Thơ-01-02): Một nhóm gồm 10 h/s có nam nữ Hỏi có cách xếp 10 h/s thành hàng dọc cho h/s nam phải đứng liền nhau?
a Có cách xếp khác nhau?
b Có cách xếp cho khơng có h/s giới đứng cạnh nhau?
Bài 11 (ĐH khối B DB2003): Từ tổ gồm học sinh nữ học sinh nam cần chọn em số học sinh nữ phải nhỏ Hỏi có cách chọn vậy?
Bài 12 (ĐHHuế-99-2000): Một hộp đựng viên bi đỏ, viên bi trắng viên bi vàng Người ta chọn viên bi từ hộp Hỏi có cách chọn để số bi lấy không đủ mầu? Bài 13 (HVQY-99-2000): Xếp bi đỏ có bán kính khác bi xanh giống vào dãy trống
a Hỏi có cách xếp khác nhau?
b Hỏi có cách xếp khác cho bi đỏ xếp cạnh bi xanh xếp cạnh nhau?
Bài 14 (ĐH Cần Thơ D-99-00): Một nhóm h/s gồm 10 nam nữ Hỏi có cách chọn trường hợp sau:
a Có h/s nhóm?
b Có h/s nhóm có nam nữ?
Bài 15 (ĐHCần Thơ A-99-00): Trong phịng có bàn dài, bàn có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 h/s gồm nam nữ Hỏi có cách xếp nếu:
a Các h/s ngồi tuỳ ý?
b Các h/s nam ngồi bàn h/s nữ ngồi bàn?
Bài 16 (ĐHluật HN-99-00): Một đồn tầu có toa chở khách: toa I, toa II, toa III Trên sân ga có hành khách chuẩn bị tầu Biết toa có chỗ trống Hỏi:
a Có cách xếp cho hành khách lên toa tầu đó?
b.Có cách xếp cho hành khách lên tầu để có toa có hành khách trên? Bài 17 (ĐHSPHN –B- 99 - 00): Một trường tiểu học có 50 h/s đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, có cặp anh em sinh đơi Cần chọn nhóm h/s số 50 h/s dự đại hội cháu ngoan Bác Hồ cho nhóm khơng có cặp anh em sinh đơi Hỏi có cách chọn? Bài 18 (ĐHSPV-G-99-00): Một tổ sinh viên có 20 em có em biết tiếng Anh, em biết tiếng Pháp, em biết tiếng Đức Cần lập nhóm thực tế gồm em biết tiếng Anh, em biết tiếng Pháp, em biết tiếng Đức Hỏi có cách chọn?
Bài 19 (ĐHKT-98-99): Một đội xây dựng gồm 10 công nhân, kỹ sư Để lập tổ công tác cần chọn kỹ sư làm tổ trưởng, cơng nhân làm tổ phó cơng nhân làm tổ viên Hỏi có cách thành lập tổ công tác?
Bài 20 Để lập hồ sơ thi tuyển vào đại học, thí sinh cần thực việc: - Chọn trường thi có tất 305 trường
(9)Bài 21 Có đường nối thành phố X Y, có đường nối thành phố Y Z Muốn từ X đến Z phải qua Y
a Hỏi có cách chọn đường từ X đến Z?
b Có cách chọnđường từ X đến Z lại X đường khác nhau?
Bài 22 Ở Việt Nam, học sinh tốt nghiệp THPT có quyền dự thi vào trường đại học (có 305 trường) trường cao đẳng (có 105 trường) trường trung học chuyên nghiệp (có 21 trường) Hỏi học sinh tốt nghiệp THPT có cách chọn trường thi?
Bài 23 Mỗi người sử dụng hệ thống máy tính có mật dài từ đến ký tự, ký tự chữ hoa hay chữ số Mỗi mật phải chứa chữ số Hỏi người có mật khẩu? Biết có 26 chữ in hoa, 10 chữ số
Bài 24 Xếp sách toán, sách Lý, sách Hoá sách Sinh vào kệ sách theo môn Tất sách khác Hỏi có cách xếp?
Bài 25 Có cách chọn cầu thủ khác 10 cầu thủ đội bóng quần vợt để chơi bốn trận đấu đơn, trận đấu có thứ tự?
Bài 26 Một lớp học có 40 h/s gồm 25 nam 15 nữ Có cách lập ban cán lớp gồm: a học sinh
b học sinh gồm nam nữ
c học sinh có nam
Bài 27. (ĐH, CĐ 2005): Một đội niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân cơng đội niên tình nguyện giúp đỡ tỉnh miền núi, cho tỉnh có nam nữ?
Bài 28. (Đề thi CĐ 2005 – Khối D)
Một bó hồng gồm 10 hồng bạch 10 hồng nhung Bạn Hoa muốn chọn bơng để cắm bình, phải có bơng hồng bạch bơng hồng nhung Hỏi có cách chọn?
(10)NHỊ THỨC NIU-TƠN
1 Công thức nhị thức Niu-tơn
nn k k n k n n n n n n k k n n k k n n C b a C b a C b a C C b a C b
a
1 20
V
ới n
*N
2 Tính chất
1 S
ố
s
ố hạng khai triển n + 1
2 T
ổng số mũ a v
à b m
ỗi số hạng n
3 S
ố hạng tổng quát thứ k + có dạng:
k n k kn
k C a b
T 1
(k = 1, 2, 3, ,n)
4 Các h
ệ
s
ố cặp số hạng cách số hạng đầu v
à cu
ối th
ì b
ằng nhau:
1 nk k
n C
C
5
n
n
n C
C
;
1 k n k n k
n C C
C
- Nh
ận xét:
Trong khai tri
ển nhị thức Niu
-
tơn, ta gán cho a v
à b nh
ững giá trị đặc
bi
ệt
, c
ụ thể th
ì ta s
ẽ thu cơng thức đặc biệt
Ví d
ụ:
nn k n k n n n n n n C x C x C x C
x
1 1 Cn0 Cn1Cn2 Cn3 Cn4 2n
nn n k n k n k n n n n n C x C x C x C
x1 1 (1) (1) Cn0C1n Cn2Cn3 (1)nCnn 0 Các dạng toán thường gặp:
- Tính tổng tổ hợp
- Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức tổ hợp - Tìm giá trị hệ số khai triển
- Tìm số hạng khơng chứa biến
Bài 1: Cho khai triển: f(x)
1xx2 x3
5 a0 a1xa2x2 a15x15 a Tính hệ số a11b Tính tổng: S1 a0 a1 a2 a15
c Tính: S2 a0 a1a2 a3 a15
d Tính: S3 a0 a1a2 a15
Bài 2: Cho khai triển:
100100 2 100 )
(x x a a x a x a x
f
a Tính hệ số a95 x95
b Tính tổng: Sa0 a1a2 a15
Bài 3: Cho khai triển:
24 242 12 )
(x x x a a x a x a x
f
a Tính hệ số a3
b Sa0a1a2 a19 a24
Bài 3: Tính tổng:
0 2001 2002 2001 2002 2002 2001 2001 2002 2001 2002
2002.C C C C C C C
C
S k kk
n Cn Cn Cn nCnn S ) ( 3
(11)Bài 4: Tính:
a S C n C n C n C nn
2 2 2
2
b S3 Cn06Cn1 62C22n 6nCnn Bài 5: Chứng minh rằng:
a 2 (1) n 0 n n n
n n
n C C C C
C
b C20nC22n C22nn C21nC23n C22nn1
Bài 6: Tìm hệ số x5 khai triển biểu thức:
(x + 1)4 + (x + 1)5 + (x + 1)6 + (x + 1)7 Bài 7: Tìm hệ số x9 khai triển biểu thức:
(x + 1)9 + (x + 1)10 + (x + 1)11 + + (x + 1)14
Bài 8: Trong khai triển của: 10 10
9 2 10 3 x a x a x a x a a
x
Tìm hệ số ak lớn (0k 10)
Bài 9: Trong khai triển của:
1212 2 12
1 x a a xa x a x Tìm max(a1, a2, , a12)
Bài 10: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển sau:
n x x
x
15 28
Biết rằng: Cnn Cnn1Cnn2 79
Bài 11: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển sau:
n x x 3
Biết rằng: Cn1 Cn3 13n Bài 12: Khai triển:
12x
n a0a1xa2x2 anxn Tìm hệ số a5 biết rằng: a0 + a1 + a2 = 71Bài 13: Cho
10 20 1 x x x x
A Sau khai triển rút gọn A có số hạng?
Bài 14: Tìm hệ số x8 khai triển thành đa thức:
)] (
[ x x
Các dạng tốn: Phương trình, bất phương trình; Đẳng thức, bất đẳng thức tổ hợp em tự tham khảo sách tham khảo
Thầy chúc các thành viên gia đình em Mạnh Khỏe, Hạnh Phúc và Thành Công Thầy chúc em Khỏe Mạnh, Vui Tươi đạt kết tốt học kỳ tới.
Nguyện chúc cho người người an vui, nguyện chúc cho nhà nhà hạnh phúc
Thầy cảm ơn gia đình em, thầy cảm ơn em