Bài giảng Giải tích mạch - Chương 8: Biến đổi Fourier

Chương 8: Biến đổi Fourier. Sau khi học xong chương này, người học có thể hiểu được một số kiến thức cơ bản về: Phân tích chuổi fourier, các hệ số khai triển fourier, biến đổi dạng lượng lượng giác 3 thành phần, áp dụng chuổi fourier để phân tích mạch, trị hiệu dụng hàm tuần hoàn, công suất trung bình P, chuổi fourier dạng hàm mũ, phổ biên độ và phổ pha rời rạc.

Chương8: Biến đổi Fourier         8.1 Phân tích chuổi Fourier 8.2 Các hệ số khai triển Fourier 8.3 Biến đổi dạng lượng lượng giác thành phần 8.4.Áp dụng chuổi Fourier để phân tích mạch 8.5.Trị hiệu dụng hàm tuần hồn 8.6.Cơng suất trung bình P 8.7.Chuổi Fourier dạng hàm mũ 8.8.Phổ biên độ phổ pha rời rạc CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 8.1.Phân tích chuổi Fourier f(t): Hàm tuần hồn có chu kỳ T biểu diễn chuỗi Fourier dạng lượng giác thành phần (dạng chuẩn):  f (t )  a v   a n cos n  t  b n sin n  t ( 1) n 1 *Với n số nguyên 1,2,3, … *av , an , bn gọi hệ số khai triển Fourier *ω0 = 2л/T: gọi tần số ; tần số bội ω gọi sóng hài 2ω sóng hài bậc 2; 3ω sóng hài bậc v.v *Ta phân tích nguồn kích thích tuần hoàn thành chuổi Fourier gồm thành phần chiều av + tổng thành phần điều hòa (an bn ) dùng nguyên lý xếp chồng để tìm đáp ứng xác lập Ta xác định hệ số khai triển Fourier sau: CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 8.2 Các hệ số khai triển Fourier av  ak  bk  T T T t0  T  f ( t ) dt (9 ) t0  t0  T t0  t0  T t0 f ( t ) cos k  t dt ( ) f ( t ) sin k  t dt (9 ) Ta lưu ý trị giá tích phân sau: CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt  t0  T t0  t0  T t0  t0  T t0  t0  T t0 sin m  t dt  cos m  t dt  cos m  t sin n  t dt  sin m  t sin n  t dt  ;  T m  n ; m  n cos m  t cos n  t dt  ; m  n  t0  T t0  T ; m  n CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ tìm chuổi Fourier dạng sóng cho trước Vm  v(t) T 2T T Để tính av; ak; bk ta phải chọn to Trong trường hợp ta nên chọn t0 = Biểu thức v(t) khoảng T:v(t) = (Vm /T)t av  ak  T T T  (  T Vm T )tdt  Vm  2V m  t  ( ) t cos k  t dt  cos k  t  sin k  t   2  T T k  k  0   Vm  2V m    2  cos  k     T k 0  CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt T bk   T ( Vm T T 2V m     T  k  )t sin k  t dt sin k  t  2V m  T 0    T k  t k  cos k  t    T  Vm cos  k     k  Chuổi Fourier v(t) là: v (t )  Vm  Vm  Vm   Vm    n 1 n sin  t  CuuDuongThanCong.com sin n  t Vm 2 sin  t  Vm 3 sin  t  https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ tìm chuổi Fourier dạng sóng cho trước Vm Vm /3 T/3 2T/3 T    Tính hệ số khai triển Fourier av; ak; bk hàm điện áp Vm = л V Trả lời: av= 21,99 V; ak = (6/k)sin4kл/3 V; bk = (6/k)(1- cos4kл/3) V CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Các hàm đối xứng *Hàm chẳn: Nếu f(t) = f(-t ) Các hệ số Fourier rút gọn: av  ak  T T  T /2 f ( t ) dt  T /2 f ( t ) cos k  t dt bk  CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Các hàm đối xứng *Hàm lẻ: Nếu f(t) = -f(-t ) Các hệ số Fourier rút gọn: av  ak  bk  T CuuDuongThanCong.com  T /2 f ( t ) sin k  t dt https://fb.com/tailieudientucntt Các hàm đối xứng A A T H.a  A T H.b T H.c Tùy thuộc vào điểm t = nằm vị trí mà hàm tuần hồn khơng đối xứng hình a; đối xứng chẳn (hàm chẳn) hình b hay đối xứng lẻ (hàm lẻ) hình c CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đáp ứng ngõ tương ứng với thành phần bậc k: V0 k  ( 4V m ) k  v0k  1 k 0R C 2 2   k; 4V m k 1 k 0R C 2 2  k  tg 1 k  RC sin( k  t   k ) *Đáp ứng ngõ tương ứng với hàm kích thích vg: v (t )  4V m CuuDuongThanCong.com    n  , , sin( n  t   n ) n  ( n  RC ) https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ áp dụng chuổi Fourier để phân tích mạch Vm -Vm    vg + vg 10kΩ 20nF T/2 T - 20mH + v0 - *Sóng vng cung cấp cho mạch hình Hãy viết thành phần chuổi Fourier đáp ứng ngõ v0 xác lập? Biết Vm = 210л V; T = 0,2л ms Trả lời: 17,5cos(10000t+ 88,810 ) + 26,14cos(30000-95,360 ) + 168cos(50000t) + 17,32cos(70000t + 98,300 ) + …V CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ áp dụng chuổi Fourier để phân tích mạch vi Vm -Vm    + vi T/2 T 100kΩ 100nF + v0 - - *Sóng tam giác cung cấp cho mạch hình Hãy viết thành phần khác không chuổi Fourier đáp ứng ngõ v0 xác lập? Biết Vm = 281,25л2 mV; T = 200л ms Trả lời: 2238,83cos(10t - 5,710 ) +239,46cos(30t -16,700 ) + 80,50cos(50t – 26,570 )+… mV CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 8.5.Trị hiệu dụng hàm tuần hoàn Trị hiệu dụng hàm tuần hoàn f(t) định nghĩa: F rms  F rms  T T  t0  T f ( t ) dt t0  t0  T t0   av     F rms  av   n 1 CuuDuongThanCong.com   n 1  A n cos( n  t   n )  dt   An  av   n 1  An      https://fb.com/tailieudientucntt (9 ) Ví dụ tính trị hiệu dụng hàm tuần hồn *Giả sử tín hiệu tuần hoàn gồm thành phần: Vdc = 15V V1 = 27,01/√2 V: Trị hiệu dụng tần số V2 = 19,10/√2 V: Trị hiệu dụng sóng hài bậc V3 = 9/√2 V: Trị hiệu dụng sóng hài bậc V5 = 5,4/√2 V: Trị hiệu dụng sóng hài bậc Vậy trị hiệu dụng tín hiệu tuần hồn là: F rms  15 2  27 , 01   19 ,10     , 40                   28 , 76 V CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 8.6.Công suất trung bình P hàm tuần hồn Gọi v i áp dòng đầu phần tử ; giả sử v i hàm tuần hồn Cơng suất P phần tử là:  v ( t )  V dc   V n cos( n  t   ) n 1  i ( t )  I dc   I n cos( n  t   in ) n 1 P  T  t0  T pdt  t0 T  P  V dc I dc  CuuDuongThanCong.com  n 1 VnIn  t0  T v ( t ) i ( t ) dt t0 cos(    in ) https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ cơng suất P hàm tuần hoàn v(t) Vm T/4 T/2 3T/4 T Giả sử tín hiệu áp hình cung cấp đầu điện trở 15Ω Biết Vm = 60V T = 5ms  A) Viết thành phần đầu khác không chuổi Fourier v(t)  B) Tính cơng suất trung bình ứng với thành phần?  C) Tính cơng suất P tổng cộng điện trở  D) Công suất thành phần phần trăm công suất tổng cộng?  Giải:  CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt *Theo kết ví dụ trước ta có: A) Thành phần DC v(t): av = 60(T/4)/T = 15 V A1 = √2(60)/л = 27,01 V ; θ1 = -450 ; A2 = 60/л = 19,10 V; θ2 = -900 ; A3 = (20)√2/л = V; θ3 = -1350 ; A4 = V; θ4 = 00 ; A5 = 5,40 V; θ2 = -450 ; ω0 = 2л/T = 2л(1000)/5 = 400л rad/s B) Pdc = 152 /15 = 15 W P1 = 27,012 / (2x15) = 24,32 W P2 = 19,102 / (2x15) = 12,16 W P3 = 92 / (2x15) = 2,7 W P5 = 5,42 / (2x15) = 0,97 W CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt C) Ta tính trị hiệu dụng tín hiệu: V rms  ( 60 ) ( T / )  900  30 V T Công suất PT điện trở: PT = 302 /15 = 60 W D) Công suất thành phần đầu khác không là: P = Pdc +P1 + P2 + P3 + P4 = 55,15 W → (55,15/60) x 100 = 91,92% CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Công suất phản kháng, công suất biểu kiến, công suất méo dạng hàm tuần hồn *Cơng suất biểu kiến: Là tích trị hiệu dụng điện áp dịng điện S = Vrms Irsm •Cơng suất phản kháng hài thứ k: Qk = Vrmsk Irmsk sin φk •*Cơng suất phản kháng tồn bộ:  Q   Q k k 1 •*Cơng suất méo dạng T: S2 = P2 + Q2 +T2 •Ta chứng minh muốn cho cơng suất méo dạng khơng trổ kháng mạch không phụ thuộc vào ω nghĩa trở kháng tương đương mạch trở CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Hàm lượng sóng hài, hệ số sóng hài,hệ số cơng suất, hệ số méo dạng *Hàm lượng sóng hài: Là tỉ số biên độ thành phần thứ k>1 thành phần tần số bản: hk = Ak /A1 (k > 1) •Hệ số sóng hài:  h   hk k 2 *Hệ số công suất cosφ = P/S *Trên thực tế thường nguồn kích thích điều hịa cịn dịng mạch bị méo dạng nên : Cosφ = V1rms I1rms cos φ1/Vrms Irms ; Mà V1 = V → cos φ = k0 cosφ1 ; k0 = I1rms /Irms < : gọi hệ số méo dạng CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 8.7.Chuổi Fourier dạng hàm mũ Chuổi Fourier dạng hàm mũ:   f (t )  C ne jn  0t ; C n   f (t )e  jn  0t dt t0 T n   t0  T Ta có quan hệ dạng mũ dạng lượng giác sau: C C n   T ( a n  jb n )   t0  T t0 An n; n  , , f ( t ) dt  a v *Trị hiệu dụng:  F rms  C  2 C n n 1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ chuổi Fourier dạng hàm mũ v(t) Vm ∆/2 - ∆/2  T-∆/2 T T+∆/2 Tìm chuổi Fourier dạng hàm mũ hàm v(t)?  Giải:  Ta tính tích phân Cn bắt đầu điểm t = -∆/2 sau: C  n  T jV m n  0T  t0  T t0 e Vme  jn   jn  t  /2 CuuDuongThanCong.com  e  jn  t Vm  e  dt   T   jn  jn   /2  2V m n  0T      /2  /2 sin n   / https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ chuổi Fourier dạng hàm mũ Bởi v(t) hàm chẳn nên số hạng bn = ta đoán Cn số thực Hơn biên độ Cn có dạng (sin x)/x ta viết lại sau: C n  V m  sin n   / T    v (t )  n   n 0 /  V m   sin n   / e   n 0 /  T   sin n   /  Vm    e   n 0 /  T  n   CuuDuongThanCong.com jn  t https://fb.com/tailieudientucntt jn  t 8.8.Phổ biên độ phổ pha rời rạc ICnI θn 1800 0,8 0,2 -2л    -л -9 л -7 -6-5 -2 -1 12 567 2л *Biên độ hệ số triển khai Fourier hàm n gọi phổ biên độ rời rạc tín hiệu tuần hoàn *Pha hệ số triển khai Fourier hàm n gọi phổ pha rời rạc Hình cho ta phổ biên độ phổ pha hệ số Fourier thí dụ với Vm = 5V; ∆= T/5 Phổ biên độ có dạng sinx/x ; phổ pha n = -1;-2;-3;-4;1;2;3;4; không xác định -5 +5 =1800 -6;-7;-8;-9;6;7;8;9.v.v CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... https://fb.com/tailieudientucntt *a1 -jb1 = Vm /л - jVm /л = √2Vm /л /-4 50 ; *a2 -jb2 = 0- jVm /л = Vm /л /-9 00 ; *a3 -jb3 = -Vm /3л - jVm /3л = √2Vm /3л /-1 350 ; Vậy số hạng đầu chuổi Fourier v(t): v (t ) ... rạc ICnI θn 1800 0,8 0,2 -2 л    -? ? -9 л -7 -6 -5 -2 -1 12 567 2л *Biên độ hệ số triển khai Fourier hàm n gọi phổ biên độ rời rạc tín hiệu tuần hoàn *Pha hệ số triển khai Fourier hàm n gọi phổ... ta phổ biên độ phổ pha hệ số Fourier thí dụ với Vm = 5V; ∆= T/5 Phổ biên độ có dạng sinx/x ; phổ pha n = -1 ;-2 ;-3 ;-4 ;1;2;3;4; không xác định -5 +5 =1800 -6 ;-7 ;-8 ;-9 ;6;7;8;9.v.v CuuDuongThanCong.com