Chương 8 BIẾN đổi FOURIER rời rạc và BIẾN đổi FOURIER NHANH

1 Chương BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC VÀ BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH Trong chương ta thấy chuỗi Fourier liên tục thời gian (CTFS) liên hệ thời gian liên tục với tần số rời rạc, biến đổi Fourier liên tục thời gian (CTFT) liên hệ thời gian rời rạc với tần số rời rạc Sự biểu diễn hai hình thức Fourier CTFS CTFT, không tuần hoàn miền tần số hai phép biến đổi DTFS DTFT toàn hoàn miền tần số kết lấy mẫu thời gian Trong chương này, biến đổi Fourier rời rạc (DFT) biến đổi Fourier nhanh xét đến trình bày Fourier thứ ba mà áp dụng cho tín hiệu không tuần hoàn rời rạc thời gian có chu kỳ giới hạn DFT FFT hữu ích phân tích xử lý nhiều vấn đề hệ thống tín hiệu biến biến thời gian LTI Chúng cho phép xử lý máy tính vi xử lý tín hiệu số Thật ra, DFT FTT nói đến chương (phần 3.9) Tín hiệu tương tự tuần hoàn Tín hiệu tương tự không tuần hoàn Rời rạc không tuần hoàn Rời rạc tuần hoàn Phổ rời rạc không tuần hoàn Phổ liên tục không tuần hoàn Phổ liên tục tuần hoàn spectrum Rời rạc tuần hoàn Hình 8.1: minh họa biến đổi thời gian-tần số cho phân tích Fourier khác 8.1 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT) Với tín hiệu không tần hoàn, x(n) nhìn chung tồn thời điểm, biến đổi Fourier rời rạc thời gian (DTFT) định nghĩa (phần 3.5) X ( )    x ( n)e  jn (DFFT) (8.1) n   Tín hiệu thời gian phục hồi cách lấy tích phân liên tục (IDFT) (8.2) x ( n)  X ( )e jn d 2 2 Chú ý tín hiệu thời gian x(n) rời rạc DFT X ( ) liên tục theo tần số, giống với DTFT Sự biến đổi áp dụng cho hệ thống  H ( )    h( n)e  jn (Đáp ứng tần số) (8.3) n   h( n)  2   H ( )e jn d (Đáp ứng xung) (8.4) 8.1.1 Rời rạc tần số liên tục  Một số vấn đề DTFT, vấn đề tính toán số (bằng máy tính vi xử lý số) Đầu tiên, tổng vô hạn (8.1) (8.3) xử lý được, thực tế chuỗi x(n) giới hạn chiều dài cắt cụt đi, để giảm vô hạn Mặc khác frequency  liên tục theo nguyên tắc ta phải tính (8.1) (8.3) giá trị vô hạn  dù tổng giới hạn mặt thời gian Vì tần số  phải rời rạc hóa Thứ hai, biến đổi X ( ) H ( ) giá trị liên tục, vấn đề tính tích phân cần xét đến Điều dẫn đến cần thiết để rời răc lấy mẫu tần  Với tín hiệu không tuần hoàn x(n) đáp ứng xung h(n), cách lấy mẫu chúng? Càng nhiều mẫu lấy, mẫu diễn tả tín hiệu tốt lại tốn nhiều thời gian cho tính toán Trả lời cho câu hỏi quan trọng nằm định lý lấy mẫu miền tần sô, dạng khác định lý lấy mẫu miền thời gian (phần 1.3.2) Định lý phát biểu sau: Phổ tần số liên tục tín hiệu tồn chu kỳ thời gian hữu hạn T0 giây có thẻ trình bày cách hoàn toàn mẫu tần số mà lấy khoảng tần số 1/H0 Hz (mẫu/giây) Phổ tần số phục hồi từ mẫu tần số (hình 8.2) H ( )  H10 /2   Hình 8.2: Lấy mẫu đáp ứng tần số 8.1.2 DFT đảo Đầu tiên, biến đổi Fourier rời rạc (DFT) biến đổi Fourier rời rạc thời gian (DTFT) lấy mẫu khoảng Xét tín hiệu nhân x(n) DTFT có từ (4.1) với ngưỡng tổng không  X ( )   x(n)e  jn (8.5) n 0 Kế đến xét tín hiệu hữu hạn thời gian có N mẫu (từ n=0 đến n=N-1) biến đổi trở thành N 1 X ( )   x(n)e  jn (8.6) n 0 Bây tính X ( ) N giá trị rời rạc  chu kỳ 2: k  2 N k, k  0, 1, 2, N  (8.7a) Hoặc fk  k k  2 N (8.7b) DFT tín hiệu có N mẫu từ n = đến n = N -1 N 1 X (k )   x(n)e  j ( 2 / N ) kn , k  0, 1, 2, , ( N  1) (DFT) (8.8) n 0 k gọi hệ số phổ X(k) gọi tần số lấy mẫu Chuỗi x(n) có giá trị thực phức Biến đổi ngược, tín hiệu x(n) phục hồi x ( n)  N  X ( k )e j ( 2 / N ) kn , n  0, 1, 2, , ( N  1) (IDFT) (8.9) Ta thấy DFT IDFT giống chuỗi Fourier rời rạc thời gian x(n) chu kỳ N (phần 3.4) Từ định nghĩa DFT, ta dễ dàng thấy X(0) thực x(n) thực DFT áp dụng cho hệ thống N 1 H (k )   h(n)e  j ( 2 / N ) kn , k  0, 1, 2, , N  (DFT) h( n)  (8.10) n 0 N 1  H (k )e j (2 / N )kn , n  0, 1, 2, , N  (IDFT) (8.11) N k 0 Sự định nghĩa (8.8), (8.9), (8.10) (8.11) DFT N điểm Nếu ta tính X(k) từ (8.8) dải  k  N  , ví dụ với N  k  N  N   k  , ta thấy giá trị lặp lại, nghĩa là, X(k) tuần hoàn với chu kỳ N giống vây, Nếu ta tính x(n) từ (8.9) ta thấy giá trị lập lại nghĩa x(n) tuần hoàn với chu kỳ N (tại thời điểm ban đầu ta xét x(n) chuỗi có chiều dài N từ n  to n  N  ) Vì vậy, hình 8.1 tín hiệu rời rạc tuần hoàn biến đổi DFT thành phổ rời rạc tuần hoàn Thường số N lấy số nguyên mũ (đó là, 32, 64, 128…) Khi số mẫu x(n) chiều dài ta cộng thêm mẫu không để có chiều dài với N (ví dụ x(n) có 120 mẫu ta cộng thêm mẫu không để có 128 mẫu) Đây thêm không padding không Để thuận tiện ta thích WN  e  j ( 2 / N ) (8.12a) Vì WNkn  e  j ( 2 / N ) kn (8.12b) WN kn  e j ( 2 / N ) kn (8.12c) WN*  WN1 (8.12d) Với dấu thích liên hiệp phức Cũng vậy, thay viết (2 /N) biểu thức ta cso thể viết để rõ ràng Ví dụ 8.1.1 Tìm DFT N điểm tín hiệu (a) x1 (n)   (n) (b) x2 (n)  (c) x3 (n)   (n  n0 ),  n0  N (d) x4 (n)  n ,  n  N (e) x5 (n)  4(n)  4(n  n0 ),  n0  N (f) x6 (n)  cos n0 ,  n0  ( N  1) and 0  (2 / N )k Giải (a) Từ định nghĩa DFT N 1 X (k )    (n)e  j ( 2 / N ) kn  1e  j ( 2 / N ) k  1, k  0, 1, , N  n 0 (b) Từ định nghĩa DFT N 1 X (k )  1e  j ( 2 / N ) kn n 0 Tổng có giá trị N với k= 0, k  Vì X (k )  N (k ) (c) Từ định nghĩa DFT N 1 X (k )    (n  n0 )e  j ( 2 / N ) kn  1e  j ( 2 / N ) kn0  e  j ( 2 / N ) kn0 , k  0,1, , N  n 0 (d) Từ định nghĩa DFT N 1 N 1 n 0 n 0  X (k )   n e  j ( 2 / N ) kn   e  j ( 2 / N ) k  n Sử dụng công thức chuỗi hình học hữu hạn( ), ta có    e  j ( 2 / N ) k X (k )  , k  0, 1, , N  1  e  j ( 2 / N ) k (e) Chú ý x5 (n) xung chữ nhật số (thấy ) có độ rộng không mẫu N Như (4.10a) (4.10b), ta viết WN  e  j ( 2 / N ) WNkn  e  j ( 2 / N ) kn , WN kn  e j ( 2 / N ) kn Vì vậy, từ định nghĩa DFT sử dụng công thức chuỗi hình học hữu hạn ( ), ta có n0 1 X (k )  W n 0 Tử số, lấy W thành kn0 / N kn N  WNkn0   WNK làm thừa số chung, mẫu số lấy WNk / làm thừa số chung, biến đổi trở X (k )  W k ( n0 1) / N WN kn0 /  WNkn0 / WN k /  WNk / sin(kn0 / N ) , k  0, 1, , N  sin(k / N ) Ta kiểm tra trường hợp n0  (kết 0) trường hợp n0  (kết trong1  e  j (( 2 / N ) k ( n0 1) / (b)) (f) Diễn tả cosin thành phần mũ phức x(n)  cos n0  12 e jn0  12 e  jn0 Vì X (k )  N 1 e  j ( 2N k 0 ) n  12 e  j 2N ( k  k0 ) n  12  e n 0  j ( 2N k 0 ) n Với 0  (2 / N )k X (k )  N 1 e n 0 N 1  j 2N ( k  k0 ) n n 0 Tổng thứ không với k  k , N với k  k Tổng thứ hai bằn không với k  ( N  k ) , N với k  ( N  k ) Vì biến đổi X (k )  12 N , k  k and k  N  k 0 , otherwise Ta hiểu (2 / N)k tần số DFT viết k  2N k rad / sample, k  0, 1, , N  Nếu, đôi biến đổi đặt dạng W 1 X ( k )   x(n)e  jk n , k  0, 1, , N  x ( n)  n 0 N 1 N  X ( k 0 k (DFT) )e jk n , n  0, 1, , N  (8.13) (DFT) (8.14) Vì ta tính X ( k ) thay thông thường X(k) Ví dụ 8.1.2 (cũng thấy ví dụ 3.9.2) (a) Tín đáp ứng tần số DFT H ( k ) lọc FIR mà có đáp ứng xung h(0) = 0, h(1) = 1, h(2) = 2, h(3) = 3, otherwise h(n) = (b) Chứng từ giá trị H ( k ) đáp ứng xung phục hồi cách hoàn toàn Giải (a) Đáp ứng xung có giá trị, N =  k  2 / Cũng ý dải  n  h(n) = n Đáp ứng tần số H ( k ) 3 n 0 n 0 H ( 24 k )   h(n)e  j ( 2 / 4) kn   h(n)e  j ( / 2) kn , k  0, 1, 2, Bây k  0, H (0)   ne  j ( / 2) 01     n 0 k  1, H ( 2 )   ne  j ( / 2)1n  e  j /  2e  j  3e  j 3 /  2  j n 0 k  2, H ( )   2e  j ( / 2) n  e  j  2e  j  3e  j  2 n 0 k  3, H ( 32 )   3e  j ( / 2)3n  e  j 3 /  2e  j 3  3e  j 9 /  2  j n 0 Kết vẽ hình 8.3 H() 2 2 0  /2  3 / k k Hình 8.3: Ví dụ 8.1.2 Đáp ứng tần số DFT (b) Trong hình 8.3 ta tưởng tượng đáp ứng tần số liên tục (đường chấm) lấy mẫu đồng điểm Bây ta muốn biết liệu đáp ứng xung có phục hồi cách đầy đủ từ mẫu hay không Đầu tiên, DFT đảo cho h( n)  H ( 2 k )e j ( / 2) kn , k  0, 1, , N   k 0 Bây n  : h(0)  1 H ( 2 k )e j ( / 2) k  6  (2  j 2)   (2  j 2)   4 H ( 2 k )e j ( / 2) k1  k 0  6e j ( / 2)  (2  j 2)e j ( / 2)1  2e j ( / 2)  (2  j 2)e j ( / 2)3  n  : h(1)    Ta lấy giá trị đầu h(2) h(3) Bên cạnh đó, ta tính h(4), h(5)…ta thấy chúng h(0), h(1)…vì DFT tuần hòan chu kỳ N Ví dụ 8.1.3 Một tín hiệu audio băng thông hạn giới hạn 8kHz lấy mẫu 20kHz sau DFT tính 1000 điểm (a) Tìm khoảng cách mẫu tần số (b) Đáp ứng tương tự với hệ số k = 200 ? Giải (a) Với tốc độ lấy mẫu f s  20 kHz DFT lấy N  100 điểm, khoảng lấy mẫu tần số f  (b) viết f s 20000   20 Hz N 1000 Tần số gốc tương tự  rad/sec liên hệ với tần số số  rd/sample ( 1.39), ta k  k fs DFT N điểm nghĩa DTFT lấy mẫu N điểm tần số Vì tần số DFT k  2 2 k k , k  0, 1, , N  N 1000 Vì tần số gốc tương tự cho 2  k  f sk  20000 1000 k  40k rad / s Và tần số tuyến tính tương tự fk  k  20 kHz 2 Vì hệ số phổ k = 200 tương ứng với tần số tương tự f  20  200  4000 Hz Tổng quát X(k) phức Và ta diễn tả thành phần phần thực ảo phổ biên độ phổ pha cho CTFT (phần 3.2.2) DTFT (phần 3.5) (8.15a) X (k )  X R (k )  jX I (k )  X (k ) e j ( k ) Với  X (k )  X R2 (k )  X I2 (k )  (8.15b) (k )  arg X (k )  arctg X I (k ) X R (k ) (8.15c) Là phổ biên độ phổ pha X(k), tương ứng Ví dụ 8.1.4 Chuỗi số cho x(n)  0, 0, 1, 1, 1, 1, 1 Tìm phổ biên độ phổ pha DFT 10 điểm Giải Với DFT 10 điểm, N = 10 chuỗi số n = đến n  N   Vì chuỗi cho có mẫu, ta cộng thêm mẫu không phần cuối để bậc tổng số 10 mẫu Vì chuỗi thêm không vào x(n)  0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0 DFT n 0 n2 X (k )   x(n)e  j ( 2 / N ) kn  W kn Bằng cách sử dụng công thức chuỗi hình học hữu hạn, ta có W 2 k  W 7 k X (k )   W k sin(k / 2)  e  j 4k / , k  0, 1, ,9 sin(k / 0) Từ điều ta tính phổ biên độ phổ pha, tương ứng sin(k / 2) sin(k / 10) 4 sin(k / 2) (k )   k , 0 sin(k / 10) 4 sin(k / 2)  k, 0 sin(k / 10) X (k )  Ví dụ 8.1.5 Một xung chữ nhật có chiều dài L x(n)  L, 0, 1, , L  0, otherwise (a) Tìm DFT (b) Dẫn xuất số điểm DFT với N  L Giải (a) Từ(8.1) DFT cho X ( )  L 1  x(n)e  jn  n 0 L 1 e  jn n 0  e  jL  e  j sin(L / 2)  j ( L 1) /  e sin( / 2)  Phổ biên độ pha X ( ) có từ kết với chiều dài L (ví dụ 3.5.1) (b) DFT N điểm X (k ) x(n) DTFT X ( ) tính N khoảng tần số đồng (8.7):  e  j 2kL / N  e  j 2k / N sin(kL / N )  , k  0, 1, , N  sin(k / N ) Nếu số điểm DFT gần với chiều dài tín hiệu L X (k )  L, k  X (k )   0, k  1, 2, , L  Điều giống với ví dụ 8.1.1b 8.1.1e Dù DTFT X ( ) trình bày x(n) miền tần số  liên tục, L điểm DFT không cung cấp đủ chi tiết đặc tính phổ x(n) khoảng tần số điểm tần số không đủ gần Giải pháp cho vấn đề lấy N điểm DFT với N > L, điều đồng nghĩa với việc tăng chiều dài chuỗi tín hiệu L đển N cách cộng thêm N-L mẫu không (đây cách thêm không trên) Ví dụ 8.1.6 [Trích từ A Antoniou, 2006] (a) Tìm phổ DFT chuỗi tuần hoàn với chu kỳ N = 10 (b) Bây chuỗi thêm không vào cuối để chiều dài từ 10 thành 20 Tìm phổ DFT sau thêm không Giải (a) DFT chuỗi tuần hoàn Bằng cách sử dụng chuỗi hình học ta có Phổ biên độ Và phổ pha , Otherwise Phổ vẽ hình 8.4a Hình 8.4a:Ví dụ 8.15 (tín hiệu phổ) (b) Với thêm không để tăng từ 10 đến 20 mẫu Tính toán giống (a) ta có phổ vẽ hình 8.4b Hình.8.4b: tiếp ví dụ 8.15 continued (tín hiệu phổ) 10 8.1.3Dạng ma trận DFT Ta viết chuỗi tín hiệu vào x(n) hệ số phổ ngõ X(k) dạng vector sau: x  x(0), x(1), , x( N  1) T (8.16) X  X (0), X (1), , X ( N  1) T Thật ra, x X vector cột N  viết dạng chuyển vị Đầu tiên ta định nghĩa ma trận N×N W thừa số W Nkn : 1    N 1 1 W N W N  kn W  W N 0 k ,n N 1         1 W NN 1 W N( N 1)  Ví dụ, với N = ma trận W N0 W N0 W N0 W N0 W N0    W N W N W N W N W N  W  W N0 W N2 W N4 W N6 W N8    12 W N W N W N W N W N   12 16  W N W N W N W N W N    (8.17) Vì DFT biến đổi tuyến tính mẫu vào x thành phổ ngõ X, nên diễn tả dạng ma trận sau: (8.18a) XWx Từ điều x  W 1 X Thật ra, không cần tính nghịch đảo W 1 W , tính chất định nghĩa DFT IDFT, W 1  W* / N Vì ma trận IDFT x  W* X N Ví dụ 8.1.6 Cho chuỗi x(n)  [1, 1, 0, 0] , tìm điểm DFT, sau lấy IDFT để phục hồi lại x(n) Giải Sự biến đổi 1  1 1 W W W  4  X x 1 W42 W44 W46   9 1 W4 W4 W4  Từ thuộc tính đối xứng tuần hoàn (phần 8.2) ta có W40  W44  1, W41  W49   j, W42  W46  1, and W43  j Vì 1  1  2 1 1  j  j  1  1      X 1  1   0 0     1 j   j  0 1  Đó  j    j (8.18b) 45 Fig 8.33 illustrates the spectral leakage in a more general case In fig 8.33a the signal is  2n   2n   2n  x(n)  0.1sin  16  0.2 sin  53  0.15 cos 211, n  1, 2, , 512 (8.64) 512 512 512       The signal comprises harmonics of a fundamental component: the 16 th, 53 th and 211 th The FFT program gives three separate line spectra Because only the magnitude spectrum is shown, the phase difference between the sine and cosine terms does not show up The magnitude spectrum is symmetrical about the mid frequency index 264 as x(n) is real-valued In Fig 8.32b we keep the first harmonic intact but the frequencies of the last two components are changed a little so that they are no longer harmonics: 2n  2n     2n  x(n)  0.1sin  16  0.2 sin 53.5   0.15 cos 211.25, n  1, 2, , 512 (8.65) 512 512 512       Note that the first component gives a distinct spectral coefficient as before, while the second component now gives two very close equal spectral coefficients 53 and 54 and leakage on both sides The third component has frequency nearer to the 211th harmonic than the 212th, so the spectral index 211 is higher, also with leakage on both sides Thus any discontinuity in a signal, such as when not a multiple of full period of a periodic signal is sampled, spectral leakage will occur A more fundamental explaination is based on the frequency sorting charecteristic of the DFT, by which the DFT operates as a bank bandpass filters to decompose an input signal into different frequency components, each prime filter is a sin   function (section 3.1.3) Fig 8.34 illustrates the frequency response of a prime bandpass filter in the case of N-point DFT The prime filters has the same response sin   but their peaks are at 2 / N , 4 / N , ,  2 / N ,  4 / N If the input sinewave has the frequency coinciding with a certain peak (mid-frequency of a bandpass filter), only a single spectral coeficient exists, the other coefficients all equal to zero (since all other sin   waveshapes cross the zero amplitude) If an input frequency does not coincide exactly with a peak, there are many spectral coefficients exist (since at that input frequency all sin  /  waveshapes not cross the zero amplitude) Actually with this explanation, we can determine quantitively all the leakage frequencies H()  6  4 N N  2 N 2 N 4 N 6 N  Fig.8.34: The frequency response of a prime bandpass filter of DFT is a sin   function Application of time windows The spectral leakage limits our interpretation of signals A way to reduce leakage is to trim down the amplitude of signals at both ends by using of time windows (section 5.3) Since multiplication of signals in time domain corresponds to convolution in frequency domain, an appropriately chosen window will reduce spectral leakage, but as we have seen in FIR filter design the adversity is that the spectral lines will spread out There are vairous windows to choose Our choice depends on input signals, and type of information we need to extract from the DFT analysis However we cannot have distinct spectral lines 46 at the same time with minimum leakage when using windows because these two requirements are contradictory for windows As we know, the spectrum of rectangular window has the narrowest mainlobe but largest sidelobes This means that the exact harmonics will not be widened, considerable leakage will occur for those frequencies which are not harmonics Other windows such as triangular (or Bartlett), von Hann (or Hanning), Hamming, Kaiser give a tradeoff The simple and popular Hamming window has the characteristic that the first sidelobe is rather small (-42 dB compared with 13.5 dB of rectangular window) and the mainlobe is wide (double that of rectangular window) The latter charecteristic has the effect of reducing spectral resolution See Fig 8.3b for example Instead of applying a window on the whole samples, especially for long sequence, one only need trim off about 15% of its both ends Rectangular window, N = 40 X(f) X(f) –   – Hamming window, N = 40     Rectangular window, N = 100 X(f) X(f) –   – Hamming window, N = 100 Fig 8.35: Result of FFT analysis in case of rectangular and Hamming windows As an example, consider a signal consisting of three sinusoidal components at frequencies kHz, 2.5 kHz, and kHz sampled at 10 kHz in ms and 10 ms to generate 40 samples and 100 samples These two input sequences are multiplied with rectangular window and Hamming window and then zero padded to have enough length for 256-point FFT analysis Fig 8.34 is the result with respect to continuous digital angular frequency  Another example is the signal  2n   2n   2n   2n  x(n)  sin    sin  24.5   sin  51  sin  53, n  1, 2, ,128 (8.66)  128   128   128   128  which consists an separate exact 9th harmonic, two close exact 51th and 53th harmonics, and a nonharmonic lying at the midle of the 24th and 25th harmonics A short 128-point FFT is used so that the spectrum is not too dense and the leakage clearer Fig 8.36 is the resultant spectrum which is symmetric about the mid spectral index since the signal x(n) is real-valued 47 n k (a) n k (b) n (c) k Fig 8.36: Application of time window to signal before taking 128-point FFT (a)Rectangular, (b) Hamming, (c) Hamming only at both ends For rectangular window (Fig 8.36a) the spectral lines appear clearly but the leakage of the non-harmonic spreads For Hamming window (Fig 8.36b), the leakage around the 9th, 51th and 53th harmonics is quite considerable (since the mainlobe of Hamming window is double that of rectangular window), but the leakage of the non-harmonic is reduced (due to small sidebobes) When the Hamming window only applies for the first and last 20 samples of the signal, the spectral lines 51 and 53 are more discernible but the leakage is more severe The application of time window is rather meticulous Depending on our intention, we choose an appropriate window to apply on the whole signal or just at both ends No window is good in all respects Especially, we should be cautions when interpreting the spectral analysis 8.7 POWER SPECTRUM DENSITY ESTIMATION The power spectral (spectrum) density (PSD) R xx(f) of an analog signal or random signal x(t) is the Fourier transform of its autocorrelation function r xx(t) It is a real, non-negative, even function and its value at dc frequency Rxx(0) is the average power of x(t) For sampled signals the PSD (also called periodogram) SN(k) is given by (8.30) repeated here S N (k )  X (k ) ,  k  N (8.67) N Many authors just take the PSD as X (k ) SN(k) is the average power contained in the kth spectral index of signal x(n) having N samples We connot determine precisely the PSD of a signal but only estimate it because the spectrum of a finite sequence often suffers from poor resolution and leakage The PSD estimate of noisy signals can be non-parametric where no assymtions about the data is made, or parametric where the data is modelled as the output of a digital filter excited by a noise input with a constant power spectral density The simplest non-parametric estimate is the 48 periodogram (8.67) Although SN(k) gives good estimate for deterministic band-limited power signals sampled above the Nyquist rate, it gives poor estimate for noisy signals Example Sampling a sinewave for a period at twice the Nyguist rate gives the sequence x(n)  0, 1, 0,  1 Find the periodogram Solution First, we find the DFT of the sequence, the result is X (k )  0,  j 2, 0, j 2 Then the periodogram is S N (k )  X (k )  0, 1, 0, 1 N Thus we have the total power N 1 Px  S N (k )  0.5 N k 0 which agrees with the true power of the sinewave There are a number of methods for the PSD estimation In the following we will discuss briefly a few of them  8.7.1 Bartlett’s method When the sequence x(n) is long, a more reliable way to estimate its PSD is to segment it into subsequences of equal length, then find the PSD of each subsequence and take the average of the partial PSDs Suppose the sequence x(n) of length N is divided into M subsequences of length L each, denoted as xm(n), for m  0, 1, , M  Let Xm(k) is the DFT of xm(n), the average PSD estimate is S A (k )  N M 1 X m (k ) , 0k  L m 0 x(n) n Fig 8.37: Uniformly distributed white noise over [-5, 5) with N = 512 The average periodogram was first developed by Bartlett Ideally, the PSD of white noise should be flat, that is, S N (k )  Px for all indices k Let’s look at an example For uniformly distributed white noise having amplitude in the range [-5, 5] (see Appendix of chapter 1), the sampled signal x(n) is 49 SN(k) k k Fig.8.38: Power spectrum density of uniform white noise (The horizontal line is the average power P u ) Shown in (Fig 8.37), the average power was calculated as Pu  8.333 , and the PSD was shown in (Fig 8.38) Now suppose use generate N = 4096 samples of the uniform white noise x(n) and divide x(n) into M = subsequences of length L = 512 each We then compute the eight periodgrams The resultant average periodogram would be as seen in Fig 8.38 Note that the average periodogram estimate is much flatter and closer to the ideal characteristic (P u = 8.333), a big improvement SN(k) k Fig.8.39: Average priodogram of uniform white noise in the range [-5,5] with N = 4096 (The horizontal line is the average Pu) If we take the PSD for the whole x(n) of length N = 4096, we will see that the PSD estimate is much worse than the average estimate of Fig 8.38 50 The averaging method also applies to the spectrum analysis for the detection of periodic signals embedded in noisy backgrounds Because noise is a random process, the sampling of the combined signal and noise depends on the sampling (instance, rate, duration) which is turn gives different spectral coefficients for DFTs of different number of points, especially when the random noise power is many times the signal power, or when the noise is not random (impulsive, bursty) 8.7.2 Welch’s method In the Bartlett’s method, suppose the number of samples is N = 512 and the sampling frequency is f s  1024 Hz , M = 4, L = 128 then the frequency increment is f F  s  Hz L Consider a signal comprising two simusoids at frequency f1  200 Hz and f  331 Hz Since frequency f1 is an integer multiple of f : 200   25 , the average periodogram will give a distinct spike at index k = 25 (corresponding to frequency F  kf s / L  200 Hz ) But frequency f2 is not an integer multiple of the frequency increment f : 331  41.375 , the average periodogram will not have a distinct spike at frequency 331 Hz, instead we will have spectral leakage around the frequency 41 f s  328 Hz L In order to reduce the leakage, Welch proposed modifying the average periodogram by dividing the original sequence x(n) into a number of overlapped subsequences as shown in Fig 8.40 Jump discontinuities occur when a subsequence does not cover an integer multiple of sinusoidal cycle In order to reduce the effect of discontinuities, window technique is applied to each subsequence x(0) x(L) x1(n) x3(n) x2(n) x(L/2) x(3L) … x(2L) x5(n) x4(n) … x(3L/2) Fig 8.40: Dividing original sequence x(n) into half-overlapped subsequences of length L 8.8 FAST CONVOLUTION In time domain, the output y(n) of a filter (or system in general) is the convolution of the input x(n) with the filter impulse response h(n) (y(n) = x(n)  h(n)) In this section we will make use of the convolution property (Table 8.1) of DFT to find the output y(n) by way of a method called fast convolution 8.8.1 Principle of fast convolution The fast convolution method makes use of the convolution property of DFT (8.39) and (8.40) First, the signal x(n) and impulse response h(n) are transformed to X(k) and H(k), respectively, by FFT Next, the direct multiplication in the frequency domain X(k)H(k) gives the output Y(k) Then we take the IFFT of Y(k) to obtain the output y(n) (Fig 8.41) For filters, the required frequency response H ( ) is sampled to obtain the needed spectral coefficient H(k) The problem is that since X(k) and H(k) are periodic, the output signal after the IFFT is the circular convolution c(n)  x(n)** h(n) whereas digital filters require linear convolution Fortunately, a period of output given by a circular convolution will be also the output given by a corresponding linear convolution by using zero padding as discussed previously (section 8.3) When the lengths of input signal and that of impulse response are short, we use DFT and IDFT instead of FFT and IFFT respectively 51 Input signal x(n) (Nx samples) X(k) FFT IFFT Multiplication Impulse response h(n) (Nh samples) FFT C(k) = X(k)H(k) H(k) Output signal y(n) c(n) = x(n) * h(n) Fig 8.41 : The principle of fast convolution Example 8.5.3 System Impulse response h(n) and input signal are given as h(n) = [1, 2, 3] x(n) = [1, 2, 2, 1] Find the output signal (a) Using 8-point fast convolution (b) By circular convolution in time domain (c) Using 4-point fast convolution Solution (a) The length of impulse response is Nh = 4, of the input signal is Nx = 4, and hence of the output is    Thus, the length of DFT is points at least For convenience, we use 8-point FFT The spectral coefficients of input signal is X k    xne  j2 kn / n 0 -jk/4 = 1+2e +2e-jk/2+e-j3k/4 k=0, 1, giving X(0) = 2 43 X(1) = j 2 X(2) = –1–j 2 43 X(3) = j 2 X(4) = 2 43 X(5) = j 2 X(6) = –1+j 2 43 X(7) = j 2 The spectral coefficients of impulse response are Hk    hne  jkn / n 0 = 1+2e-jk/4 + 3e-jk/2 giving H(0) = k=0, 1, 52       H(1) =   j  H(2) = –2–j2 H(3) =   j  H(4) = H(5) =   j  H(6) = –2 + j2 H(7) =   j    The DFT of output signal is Y(k) = H(k)X(k) giving Y(0) = 36 Y(1) = –14,07–j17,48 Y(2) = j4 Y(3) = 0,07+j0,515 Y(4) = Y(5) = 0,07–j0,515 Y(6) = –j4 Y(7) = –14,07+j17,48 Now the IDFT of Y(k) is yn   Y k e j2kn / 8 k 0  n = 0, 1, giving y(n) = [1, 4, 9, 11, 8, 3, 0, 0] Note that the first values of the output are expected result of the output, and the last two zero values appear because we have used 8-point DFT and IDFT whilst the actual needed points are only (b) Circular convolution will give the same result as linear convolution if (8.45) is satisfied, that is we zero pad h(n) and x(n) to have the length of each: hz (n)  1, 2, 3, 0, 0, 0 x z (n)  1, 2, 2, 1, 0, 0 Linear convoluting the two above sequence will give the result y(n)  1, 4, 9, 11, 8, 3 as previously (c) 4-point DFT of x(n) and h(n) are, respectively, X k    xne  j2 kn / n 0 = + 2e-jk/2+2e-jk+3e-j3k/2 Y(k) =  hne k = 0, 1, 2,  j2 kn / n 0 = 1+2e-jk/2+3e-jk k = 0, 1, 2, 53 Thus y(n)  9, 7, 9, 11 8.8.2 Speed advantage of fast convolution Fast convolution requires two N-point FFT and a N-point IFFT having about 3N log N complex multiplications and additions, and also N complex evaluations for the product X(k) H(k) Whereas time multiplication requires about NxNh real multiplications and additions For simplications let’s forget the additions and assume the compution time of complex multiplications is double that of real multiplications, also assume that Nx , Nh each equals to half of the transform length N Then the speed advantage of fast convolution is given by N x Nh Fast convolutio n N2 /4   Time convolutio n 23N log N  N  23N log N  N  Table 8.5 gives speed advantage for commonly used FFT Table 8.5 Speed advantage of fast convolution FFT length 64 128 256 512 1024 2048 4096 Speed advantage 0.44 0.727 1.28 2.29 4.13 7.53 13.8 In reality, most of signals and impulse responses are real Furthermore, the zero padding means that many multiplications are unecessary These factors double the speed advantage of the values given in the table Besides, there are cases where signals are already in the form of spectral coefficients, or the fast convolution result needs only stored in the frequency domain rather than goes through the IFTT However, fast convolution may not suitable for real time processing where we need to store various blocks of tempory results before continuing next steps There are other limitations, also For example if we use a general software program to process complex-valued inputs the fast convolution advantage will disappear Also, fast convolution is less suitable for recursive filtering Only when we program in machine language (rather than high level language) or, especially, when we process on special hardware (such as Digital Signal Processors), then fast convolution will really manifest its advantage Fig 8.42 gives an example of time convolution and fast convolution The lengths of x(n) and h(n) are 64 each but are zero padded to the length N = 128 Signal x(n) is a digital rectangular pulse of amplitude 1, and h(n) is the impulse response of a recursive filter having difference equation y(n)  1.5 y(n  1)  0.85 y(n  2)  x(n) That is, h(n) is given by the recursive equation h(n)  1.5h(n  1)  0.85h(n  2)   (n) The filter is assumed causal 54 x(n) h(n) 63 127 n 63 127 n y(n) (a) Convolution in time domain H(k) X(k) 127 y(n) Y(k) 0 k 127 k (b) Fast convolution Fig 8.42: Time convolution and fast convolution 127 n 127 k 127 k 8.7.3 Convolution of two sequences having of very different lengths When the input sequences x(n) and h(n) have lengths which are different but not two much, we zero pad them to use radix – FFT (for example Nx = 60, Nh = 45, then N = 64 or 128) But in reality, sometimes we need to convolute a rather long signal, for example, of throusands of samples, with a much shorter impulse response, for example of just score of samples In such cases it is not economic in terms of storage and computation if we use zero padding Moreover, in real time processing the transform of a two long sequence will cause unacceptible delay The problem is overcome by dividing the signal into segments having reasonable length (comparable with the length of the impulse response), and implementing the convolution for each segment, and then superimpose the parial convolutions The two well known methods are overlap-add (overlap-and-add) and overlap-save (overlap-and-save) Overlap-add method This method is presented through an example Assume the impulse response h(n) of samples the input signal x(n) is 10-sample long, and is divided into nonoverlaping segments x0(n), x1(n), each segment contains samples, so that the output signal of linear convolution will have + – = samples The output segments y0(n), y1(n) have an overlap of samples due to the spread of the convolution The overall output y(n) is the superposition at each instant n of the output segments Fig 8.43 depicts the overlap-add method Instead of using the graphical method, we can use the sequences (vector) method The two linear convolutions are y0 (n)  x0 (n) * h(n)  1, 2, 0,  1, 0*  1,  1, 1,  1 y1 (n)  x1 (n) * h(n)  - 1, 1, 2, 1, 1*  1,  1, 1,  1 We arrange the convolution result as follows: 55 y ( n) y1 (n)   y (n)  y (n)  y1 (n)      1 1 1  1   1    1   1 Zero padding is used whenever necessary in order radix-2 FFT and IFFT can be used x0(n) x1(n) x2(n) x(n) n n n n n h(n) y0(n) y1(n) y2(n) y(n) n Fig 8.43: Time convolution using overlap-add method 56 Overlap – save method First we add Nh – leading zeros to x(n) and divide it into overlapped segments of length L The overlapped part of two adjacent segments is N h – long We zero pad h(n) at the end to the same length L Next we find the circular convolution of h(n) with each segment of x(n) we discard the first Nh -1 samples which are contaminated by wraparound of the circular convolution, from each convolution and save the rest Finally we concatenate the remained parts The following example illustrates the method Let x(n)  1, 2, 3, 3, 4, 5 h(n)  1, 1, 1 Thus Nx = 6, Nh = First we add   leading zeros to x(n) with the last segment padded with zeros at the end: x0 (n)  0, 0, 1, 2, 3 x1 (n)  x ( n)  2, 3, 3, 4, 5 4, 5, 0, 0, 0 We also pad h(n) with L  N h  zeros at the end to become h(n)  1, 1, 1, 0, 0 The three circular convolution results are: y (n)  x (n) * h(n)  5, 3, 1, 3, 6 y1 (n)  x1 (n) * h(n)  11, 10, 8, 10, 12 y (n)  x (n) * h(n)  4, 9, 9, 5, 0 The first two samples (boldface figures) of each convolution are discarded and link in series the remained samples to obtain the final result: y(n)  x(n) * h(n)  1, 3, 6, 8, 10, 12, 9, 5, 0 Note that the last zero sample is due to the zero padding and, thus, may be dropped Example 8.5.4 The input sequence x(n) of length N x  8192 is to be convoluted with the impulse response h(n) of length N h  512 Both are complex-valued Find the number of complex multiplications (a) In time convolution (b) When the overlap-add method is used with 1024-point FFT Solution (a) In time domain convolution the number of complex multiplications is 512  8.192  4.194.304 (b) The input sequence x(n) is divided into many segments each having the length of 512 as the impulse response h(n), so that the 1024-point circular convolution is the same as the corresponding linear convolution Thus, the number of input segments is 8192  512  17 In the fast convolution we need 17 1024-FFTs and 16 1024-IFFTs, also 16 products H(k)X(k) Thus, the total complex multiplications are about 33  512 log 1024  16 1024  185.344 Which is only 4.5 % compared to the direct convolution  Example 8.5.5 A speech is sampled continuously for 10s at the rate 8kHz The samples are input to a FIR filter having impulse response of N h  64 If the method of overlap-save is used, how many FFT and IFFT are required ? Solution The number of speech samples is 57 N x  10  8000  8.10 If we section the long sequence into segments of 1024 samples each and then implement circular convolution each segment with h(n), the first 63 samples are overlapped (discarded) and the last 1024  63  961 samples correspond to linear convolution (saved) Because convolution of x(n) with h(n) gives the result having N x  N h   8.10  64   80063 samples Thus x(n) is sectioned into 80063  961  84 segments Thus, to implement the fast convolution we need 85 FFTs and 84 IFFTs  8.9 SUMMARY Chapter discussed the Continuous-Time Fourier Series (CTFS), Continuous Time Fourier Transform (CTFT), Discrete-Time Fourier Series (DTFS) and Discrete-Time Fourier Transform (DTFT) This chapter discusses the most important Fourier analysis, that is, the Discrete Fourier Transform (DTF) and its computation algorithms FFT 8.1 Discrete Fourier Transform (DFT) In DTFT the signal x(n) is discrete but its Fourier transform X() (and H()) is continuous and 2periodic since the frequency  is continuous To facilitate the computation, one needs to discretize the continuous frequency  according to (8.7a) and (8.7b) This leads to the DFT: X (k )  N 1  x ( n )e  j ( 2 / N ) kn , k  0,1, ,( N  1) (DFT) (8.8) n 0 N 1  (IDFT) (8.9) X (k )e j ( 2 / N ) kn , n  0,1, ,( N  1) N k 0 k is the frequency (spectral) point or index Above definition also applies to system H(k) and h(n) For writing convenience, one usually denotes (8.12a) WN  e  j ( 2 / N ) x ( n)  Then WNkn  e  j ( 2 / N ) kn , WNkn  e j ( 2 / N ) kn , WN*  WN1 Generally, X(k) is complex and thus consists of the magnitude and phase response (8.15) The signal sequence x(n) and the corresponding output spectral coefficients X(k) can be written in form of vectors (8.16), and the DFT and the IDFT in form of matrix (8.18a), (8.18b) respectively 8.2 Properties of DFT The DFT has many properites similar to the DTFT However in the DFT the time shift and frequency shift are not linear but circular, which makes several DFT properties more complicated Beside the basic properties such as periodicity, linearity, symmetry, one should pay attention to the periodic extension xp(n) of a given sequence x(n) (8.23), the mod operation (8.24), the circular shift expressed by (8.25), (8.26) and (8.27), and the Parseval’s theorem (8.28) involving the average signal power (8.29) and the power density spectrum (PDS) or power spectrum (spectral) density (PSD) also called periodogram (8.30) Table 8.1 summaries main properties of DFT Subsection 8.2.6 presents the relationship between the z-transform and DFT: X (k )  X ( z ) z WNk , k  0, 1, , N  (8.32) This relationship is illustrated in case N = by Fig 8.9 8.3 Circular convolution and zero padding The circular convolution of x(n) with h(n), denoted c(n), is defined in (8.36), (8.37) The circular convolution is periodic, commutative, and possesses two important properties (which can be considered as theorems) - Circular convolution in time (8.39) - Circular convolution in frequency (8.40) 58 There are several ways to compute the circular convolution The three basic methods are graphical, series (vector), and matrix (8.42) Subsection 8.3.4 presents very often-used techniques in DFT If two sequences to be circularly convolved have different lengths we have to zero pad the shorter sequence to the length of the longer one Also, we zero pad both sequences to have the length of integer power of two The zero padding is needed to satisfy the condition (8.45) so that the circular convolution is equal to the linear convolution 8.4 Fast Fourier Transform In principle we can compute the DFT and IDFT in the straight way, when the signal is real or complex, with no problems In reality, the problem is that for N large (say 32 upwards) there will be two many multiplications and additions (usually complex) and thus the straight computation of DFT is not time efficient The fast systematic algorithms to compute the DFT is called together the Fast Fourier Transform (FFT) Two basic FFT algorithms are decimation-in-time (subsection 8.4.1) and decimation-in-frequency (subsection 8.4.2), both are radix-2 algorithms (the number of point N is an integer power of 2) The butterfly (basic structure element) of decimation-in-time FFT is depicted in Fig 8.15, and the basic element of decimation-in-frequency in Fig 8.19 In each FFT, there are two arrangements: either with inputs shuffled and outputs in natural order, or with inputs in natural order and outputs shuffled Subsection 8.4.4 describes briefly the Matlab functions for FFT 8.5 Spectral analysis, Frequency resolution, and Zero padding Spectral analysis, or frequency analysis, is to decompose signals (or data in general) into spectral (frequency) components The working principle of DTMT Type of telephone set is an example In spectral analysis there is an important quality, that is, the frequency resolution whose limit is called Rayleigh limit (8.63) There is a simple way to improve the frequency resolution without increasing the sampling rate, that is bay zero padding the input sequence The spectrum estimated from a finite number of samples is correct only when the signal is periodic and is sampled within a full period or exact multiple of periods, otherwise there will be spectral leakage Subsection 8.5.3 shows that spectral analysis can help detect periodic signals embedded in background noise 8.6 Spectral leakage and application of windows When the frequency components of a DFT analysis are not distinct lines but blurred ones then there is the spectral leakage phenomenon which can be avoided by sampling the signal in its full period or multiple of full periods But in practice we may not be able to determine the period in advance In such cases we sample a long duaration of the signal (comprising many periods and some extra) The large number of samples will not only reduce the leakage but also improve the resolution Another measure to mitigate leakage is to trim off the input sequence by applying a window Which window to use is important Moreover we can apply a window on the whole signal or only at its both ends 8.7 Power density spectrum estimation We cannot determine precisely the PSD (also called PDS) of a signal but can only estimate it because the spectrum of a finite sequence often suffers from poor resolution and leakage The simplest nonparametric estimation is periodogram (8.30) It gives good estimate for deterministic band-limited power signals sampled above the Nyquist rate, but poor estimate for noisy signals A number of methods have been develop to improve this In the Bartlett’s method we sample a long sequence and segment its PSD into a number of subsequences of equal length, then find the PSD of each subsequence and take the average of those partial PSDs 59 In the Welch’s method, we modify the average periodogram by dividing the orginal sequence into a number of half overlapped subsequences (Fig 8.39) Window technique can also be applied 8.8 Fast convolution In time domain the output y(n) is the time convolution (linear convolution) of the input signal x(n) with the system impulse response h(n) y(n) = x(n) * h(n)) The fast convolution (Fig 8.40) makes use of the convolution property of DFT ((8.39) and (8.40)) Here we face with circular convolution not linear convolution but the zero padding technique can be used to solve this problem There are two methods of fast convolution when the two time sequences are of very different lengths: overlap-add and overlap-save Fast convolution is only effective when the FFT length is 256 and over Besides, fast convolution is not suitable for real time processing by software but quite suitable when processed is hardware such as digital signal processors Kết ( ) giống với nhân chập tuyến tính( ) tồn toán hạng mode, gọi nhân chập vòng c(n)  x(n)  h(n) Để bao gồm chiều dài N, y(n)  x(n) x(n) N h(n)  N h(n) N 1  x(m)h(n  m) mod N   X DFT m 0 (k ) X (k ) Nhân chập tròn tuần hoàn Lấy DFT phần bên trái, ta thấy giống với phần bên phải Đảo ngược ta có thuộc tính điều biến DFT x(n)h(n)   N1 X (k ) N Y (k ) Phươg pháp đồ dùng để tính nhân chập tròn nhân chập tuyến tính ( ) ta sử dụng nhân chập tròn x(m) h(m) [...]...  n 0 )  WNkn 0 X(k) (8. 26) Với X(k) là DFT của x(n) Ngược lại, với dịch tần số vòng ta có đơi biến đổi WNkn 0 x(n) X p (k  k 0 )[(k  k 0 )modN] (8. 27) 8. 2.5 Định lý Parseral Như chuỗi Fourier liên tục thời gian (CTFS), biến đổi Fourier liên tục thời gian(CTFT), chuỗi Fourier rời rạc thời gian (DTFS) và biến đổi Fourier rời rạc thời gian (DTFT), trong biến đổi Fourier rời rạc (DTF) ở đó có sự liên... số twidle nằm sau Vào Ngõ ra cánh bướm cơ bản thay vì trước -1 W Nk 34 Hình 8. 20: Dạng cánh bướm rút gọn của sự phân giải FFT theo tần số FFT X(0) x(0) x(1) –1 x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) –1 W80 –1 W82 W80 X(1) X(2) –1 W80 X(3) X(4) –1 W80 –1 W81 –1 W82 –1 W80 –1 W83 –1 W82 –1 W80 X(5) X(6) –1 W80 X(7) Hình.21:Phân giải đầy đủ FFT 8 điểm theo tần số FFT 8 điểm đầy đủ chỉ trong hình 8. 20 Sự tính tốn,... x(3) và x(7) 8 điểm DFT tổng qt phân giải trong thời gian được chỉ trong hình 8. 17 A(0) x(0) x(2) 4 – point DFT x(4) X(0) A(1) X(1) A(2) X(2) A(3) X(3) x(5) x(1) x(3) x(5) x(7) W80 1 X(4) B(1) W81 1 X(5) B(2) 1 B(0) 4 – point DFT W82 X(6) 32 1 B(3) W 3 8 X(7) Hình 8. 17: DFT 8 điểm sử dụng cánh bướm rút gọn x(0) x(4) X(0) X(1) –1 W80 x(2) x(6) W80 –1 W80 –1 W82 –1 x(1) x(5) W80 –1 x(3) x(7) W80 –1... W80 –1 W81 –1 W80 –1 W82 –1 W82 –1 W83 –1 X(4) X(5) X(6) X(7) Hình .8. 18: DFT 8 điểm hồn chỉnh phân giải trong thời gian với ngõ vào được hốn đổi và ngõ ra theo trật tự tự nhiên Bên cạnh rút giảm sự tính tốn, thuật tốn FFT cũng rút giảm bộ nhớ Với mỗi cánh bướm, ta có ngõ ra, vì vậy ngõ ra được cất dữ cùng những vị trí nhớ như ngõ vào Nghĩa là N thanh ghi phức hoặc 2N thanh ghi thực Cách tính tốn và. .. chỉnh của x(n) và h(n) Với N  N x  N h  1 khơng có sự trùng lắp 8. 4 FAST FOURIER TRANSFORM Trở lại đơi biến đổi (8. 8) và (8. 9) N 1 N 1 n 0 N 1 n 0 X (k )   x(n)e  j ( 2 / N ) kn   x(n)WNkn , k  0, 1, , N  1 x ( n)  (DFT) (8. 46) 1 1 N 1 X (k )e j ( 2 / N ) kn   X (k )WNkn , n  0, 1, , N  1 (IDFT) (8. 47)  N k 0 N k 0 Với w N được viết với e  j ( 2 / N ) , và vì vậy e j (... 0, 1, , N / 2  1 Hình .8. 15 chỉ giản đồ tín hiệu của DFT 8 điểm sau lần chia đầu tiên A(0) x(0) x(2) 4 – point DFT x(4) x(5) x(5) A(1) W80 A(2) W81 A(3) W82 W83 x(1) x(3) X(0) 4 – point DFT B(0) W84 B(1) W85 W6 X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6) 31 Hình 8. 15: Decimation – in – time DFT 8 điểm sau lần đầu tiên Từ đơi DFT A(k), B(k) đến đơi DFT X (k ), X (k  N / 2) ta chú ý rằng (8. 56a) X (k )  A(k ) ... (4)  1  1  0 Từ đối xứng liên hiệp phức, X (k )  X * (8  k ) và X (5)  X * (8  5)  X * (3)  0.293  j 0.707 X (6)  X * (8  6)  X * (2)  1  j X (7)  X * (8  7)  X * (1)  1.707  j 0.707 Vì vậy DFT tổng qt là X (k )  2,1.707  j 0.707,0.293  j 0.707,1  j,0,1  j,0.293  j 0.707,1.707  j 0.707 8. 2.6 DFT và biến đổi z Biến đổi z của chuỗi nhân quả N điểm x(n) là: N 1 X ( z )  ... 6 Hình 8. 10: DFT 8 điểm và biến đổi z tương ứng trên vòng tròn đơn vị Bảng 8. 2: Giá trị của z k  W8k Điểm W8k z0 1 2 (1  j ) z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 j 2 (1  j ) -1 2 (1  j ) j 2 (1  j ) 8. 3 NHÂN CHẬP TRỊN VÀ THÊM KHƠNG Nhân chập tuyến tính của x(n) với chiều dài Nx với h(n) có chiều dài Nh được định nghĩa trong (2.6) được lặp lại ở đây: y ( n)  x ( n)  h ( n )    x ( k ) h( n  k ) (8. 33)... trị là một nửa số ngun 0.5N Hình 8. 5 chỉ sự đối xứng của hai trường hợp trên N chẵn và lẻ Hình 8. 6 minh họa phổ biên độ và pha của tín hiệu thực 0 1 2 3 4 5 6 7 8 k N-1 N N/2 0 Đối xứng 1 2 3 N/2 4 5 Đối xứng (a) N even (N = 8) (b) N odd (N = 7) Hình 8. 5: Đối xứng của DFT với tín hiệu thực Hình .8. 6 : Phổ biên độ và pha DFT 256 điểm của tín hiệu x(n)  0.8n  (0.9)n 8. 2.4 Dịch vòng , n  0, 1, , 256... x(m)h (n  m) c(n)  x(n) h(n) p (8. 36) m 0 Sử dụng định nghĩa của sự mở rộng tuần hồn (8. 23) và (8. 25) ta có thể viết N 1 c(n)  x(n) h(n)  x(m)h[(n m) mod N] (8. 37) m 0 thay vào đó ta viết x(n)  h(n) ta có thể đặc biệt chiều dài N và viết x(n) hN(n N ) Nhân chập vòng c(n) là tuần hồn, và có thuộc tính giao hốn với nhân chập tuyến tính, nghĩa là, (8. 38) x(n)  h(n)  h(n)  x(n) Trong DFT, ... tục thời gian (CTFS), biến đổi Fourier liên tục thời gian(CTFT), chuỗi Fourier rời rạc thời gian (DTFS) biến đổi Fourier rời rạc thời gian (DTFT), biến đổi Fourier rời rạc (DTF) có liên hệ lượng... x(0) x(4) X(0) X(1) –1 W80 x(2) x(6) W80 –1 W80 –1 W82 –1 x(1) x(5) W80 –1 x(3) x(7) W80 –1 X(2) X(3) W80 –1 W81 –1 W80 –1 W82 –1 W82 –1 W83 –1 X(4) X(5) X(6) X(7) Hình .8. 18: DFT điểm hồn chỉnh... phục hồi từ mẫu tần số (hình 8. 2) H ( )  H10 /2   Hình 8. 2: Lấy mẫu đáp ứng tần số 8. 1.2 DFT đảo Đầu tiên, biến đổi Fourier rời rạc (DFT) biến đổi Fourier rời rạc thời gian (DTFT) lấy mẫu