Các phương pháp hiệu chỉnh lặp newton kantorovich và điểm gần kề cho phương trình toán tử không chỉnh phi tuyến đơn điệu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NGUYỄN DƯƠNG NGUYỄN CÁC PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LẶP NEWTON-KANTOROVICH VÀ ĐIỂM GẦN KỀ CHO PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ KHƠNG CHỈNH PHI TUYẾN ĐƠN ĐIỆU Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TS Nguyễn Bường PGS TS Đỗ Văn Lưu HÀ NỘI - NĂM 2018 ii LỜI CAM ĐOAN Các kết trình bày luận án cơng trình nghiên cứu tơi, hồn thành hướng dẫn GS TS Nguyễn Bường PGS TS Đỗ Văn Lưu Các kết trình bày luận án chưa công bố cơng trình người khác Tơi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Tác giả luận án Nguyễn Dương Nguyễn iii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam hướng dẫn tận tình GS TS Nguyễn Bường PGS TS Đỗ Văn Lưu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tác giả bày tỏ lòng biết ơn tới Ban lãnh đạo, thầy tồn thể cán bộ, công nhân viên thuộc Viện Công nghệ thông tin, Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam tạo điều kiện tốt nhất, giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, thầy cô Khoa Cơ bản, trường Đại học Ngoại thương, nơi tác giả công tác, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận án Tác giả xin cảm ơn anh chị em nghiên cứu sinh chuyên ngành Toán ứng dụng, bạn bè đồng nghiệp có trao đổi kiến thức đóng góp ý kiến quý báu cho tác giả suốt q trình học tập, seminar, nghiên cứu hồn thành luận án Tác giả xin kính tặng người thân yêu gia đình mình, người ln động viên, chia sẻ khích lệ để tác giả hồn thành cơng việc học tập nghiên cứu mình, niềm vinh hạnh to lớn Tác giả Mục lục Trang bìa phụ i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục iv Một số ký hiệu viết tắt vi Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach vấn đề liên quan 9 1.1.1 Một số tính chất khơng gian Banach 1.1.2 Bài tốn đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh 20 1.2 Phương pháp Newton-Kantorovich 22 1.3 Phương pháp điểm gần kề số cải biên 24 1.3.1 Phương pháp điểm gần kề 25 1.3.2 Một số cải biên phương pháp điểm gần kề 26 Chương Phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi tuyến với tốn tử loại đơn điệu 2.1 Hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi 32 tuyến với tốn tử đơn điệu không gian Banach 32 2.2 Hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi tuyến với tốn tử J-đơn điệu khơng gian Banach 44 2.3 Ví dụ số xấp xỉ hữu hạn chiều cho phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich 55 v Chương Phương pháp lặp tìm khơng điểm ánh xạ đơn điệu cực đại không gian Hilbert 64 3.1 Bài tốn tìm khơng điểm ánh xạ đơn điệu cực đại 64 3.2 Các cải biên phương pháp điểm gần kề với dãy tham số toán tử giải khả tổng 66 3.3 Ví dụ số minh họa 79 Kết luận chung 83 Kiến nghị hướng nghiên cứu 84 Danh mục cơng trình cơng bố liên quan đến luận án 85 Tài liệu tham khảo 86 Một số ký hiệu viết tắt Rn không gian Euclide n-chiều H không gian Hilbert E∗ không gian đối ngẫu không gian Banach E θE phần tử không không gian E 2E tập tất tập không gian E x, x∗ giá trị phần tử x∗ ∈ E ∗ x ∈ E R tập hợp số thực ∅ tập rỗng A\B hiệu tập hợp A tập hợp B inf M cận tập hợp số M sup M cận tập hợp số M S1 (0) mặt cầu đơn vị khơng gian E BE hình cầu đơn vị khơng gian E Br (x0 ) hình cầu tâm x0 bán kính r ∀x với x D(A) miền xác định ánh xạ A R(A) miền ảnh ánh xạ A A−1 ánh xạ ngược ánh xạ A A∗ ánh xạ liên hợp ánh xạ A I ánh xạ đơn vị Jk toán tử giải ánh xạ A với tham số rk ZerA tập không điểm ánh xạ A Lp (Ω) khơng gian hàm khả tích bậc p Ω (1 < p < ∞) lp không gian dãy số khả tổng bậc p (1 < p < ∞) vii l1 không gian dãy số khả tổng bậc l∞ không gian dãy số bị chặn Wpm (Ω) không gian Sobolev lim sup xn giới hạn dãy số {xn } n→∞ lim inf xn giới hạn dãy số {xn } αn dãy số thực {αn } hội tụ giảm α0 n→∞ α0 xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh đến x xn dãy {xn } hội tụ yếu đến x x Js ánh xạ đối ngẫu tổng quát J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị Fix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T M bao đóng tập hợp M ρE mêtric không gian mêtric E int(C) phần tập hợp C ∂ m x(t) đạo hàm riêng cấp m hàm x(t), với t = (t1 , t2 , , tn ) ∂tα1 ∂tα2 · · · ∂tαnn Dom(f ) miền hữu hiệu f PC phép chiếu mêtric lên tập hợp C ∂f vi phân phiếm hàm lồi f arg f tập tất điểm cực tiểu (toàn cục) phiếm hàm f B tích đề hai tập hợp A B A≡B A trùng B x≈y x xấp xỉ y Mở đầu Nhiều vấn đề trong khoa học, công nghệ, kinh tế sinh thái trình xử lý ảnh, chụp cắt lớp vi tính, chụp cắt lớp địa chấn địa chất cơng trình, đo sâu âm xấp xỉ sóng, tốn quy hoạch tuyến tính dẫn đến việc giải tốn dạng phương trình tốn tử sau (xem [15, 67, 68]): A(x) = f, (0.1) A tốn tử (ánh xạ) từ khơng gian mêtric E vào không gian mêtric E f ∈ E Tuy nhiên, tồn lớp toán số tốn mà nghiệm chúng khơng ổn định theo kiện ban đầu, tức thay đổi nhỏ kiện dẫn đến sai khác lớn nghiệm, chí làm cho tốn trở nên vơ nghiệm vơ định Người ta nói tốn đặt khơng chỉnh Do số liệu thường thu thập thực nghiệm (đo đạc, quan trắc ) sau lại xử lý máy tính nên chúng khơng tránh khỏi sai số Vì vậy, yêu cầu đặt phải có phương pháp giải tốn đặt không chỉnh cho sai số liệu nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm gần với nghiệm toán xuất phát Những người có cơng đặt móng cho lý thuyết tốn đặt không chỉnh V.K Ivanov [50], M.M Lavrent’ev [57], J.L Lions [102], A.N Tikhonov [83, 84], Do tầm quan trọng đặc biệt lý thuyết mà nhiều nhà toán học dành phần lớn thời gian cơng sức cho việc nghiên cứu phương pháp giải tốn đặt khơng chỉnh, điển hình Ya.I Alber [9], A.B Bakushinskii [15, 16], J Baumeister [19], H.W Engl [40, 41], V.B Glasko [42], A.V Goncharskii [15], R Gorenflo [10, 44], C.W Groetsch [40, 45], M Hanke [41, 47], B Hoffmann [49, 98], A.K Louis [99], V.A Morozov [63, 64], M.Z Nashed [66], F Natterer [67, 68], A Neubauer [41], G.M Vainikko [88], F.P Vasil’ev [89, 90], Một số nhà toán học Việt Nam sâu nghiên cứu có nhiều đóng góp cho lý thuyết ứng dụng toán đặt không chỉnh Đ.Đ Áng [10], P.K Anh [1], Ng Bường [1, 2], Đ.Đ Trọng [10], v.v có cơng trình liên quan đến lý thuyết Ng.M Chương [36], Đ.N Hào [48, 87], T.Đ Vân [87], Nếu E khơng gian Banach với chuẩn số trường hợp ánh xạ A, tốn (0.1) hiệu chỉnh phương pháp cực tiểu phiếm hàm làm trơn Tikhonov: Fαδ (x) = A(x) − fδ + α x − x+ , (0.2) với việc chọn tham số hiệu chỉnh α = α(δ) > thích hợp, fδ xấp xỉ f thỏa mãn fδ − f ≤ δ 0, (0.3) x+ phần tử chọn E nhằm giúp cho ta tìm nghiệm (0.1) theo ý muốn Chính lí mà x+ gọi phần tử dự đoán Nếu A ánh xạ phi tuyến phiếm hàm Fαδ (x) nói chung khơng lồi Do đó, khơng thể áp dụng kết đạt việc cực tiểu phiếm hàm lồi để tìm thành phần cực tiểu Fαδ (x) Điều dẫn đến việc cực tiểu rời rạc hóa (0.2) phức tạp Vì vậy, để giải tốn (0.1) với A ánh xạ phi tuyến đơn điệu, người ta đưa dạng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, có tên phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov Tư tưởng phương pháp F.E Browder [24] đưa vào năm 1966 để tìm nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân, sử dụng ánh xạ M làm thành phần hiệu chỉnh, với M có tính chất đơn điệu, hemi-liên tục, giới nội thỏa mãn điều kiện Cụ thể, cho T : E −→ E ∗ ánh xạ phi tuyến đơn điệu cho f : E −→ (−∞, +∞] phiếm hàm lồi, thường nửa liên tục Với phần tử ω ∈ E ∗ , xét toán bất đẳng thức biến phân: Tìm phần tử u0 ∈ D(T ) cho T (u0 ) − ω, v − u0 ≥ f (u0 ) − f (v), v ∈ E (0.4) Kí hiệu tập nghiệm toán (0.4) tương ứng với phần tử ω Aω Thay cho việc giải bất đẳng thức biến phân (0.4), F.E Browder xét bất đẳng thức biến phân sau: Tα (uα ) − ωα , v − uα ≥ f (uα ) − f (v), v ∈ E, (0.5) α > 0, Tα = T + αM ωα = ω + αv0 , với v0 phần tử E ∗ Ông với α > 0, bất đẳng thức biến phân (0.5) có nghiệm uα dãy nghiệm {uα } hội tụ mạnh phần tử u0 ∈ Aω α → 0, với u0 nghiệm bất đẳng thức biến phân: M u0 − v0 , v − u0 ≥ 0, v ∈ Aω Nếu E không gian Banach phản xạ không gian đối ngẫu E ∗ khơng gian lồi chặt ánh xạ đối ngẫu tổng quát J s E có tính chất ánh xạ M nêu (xem [9]) Năm 1975, dựa tư tưởng phương pháp hiệu chỉnh F.E Browder tính chất ánh xạ đối ngẫu J s , Ya.I Alber (xem [1, 7, 9]) xây dựng phương pháp hiệu chỉnh BrowderTikhonov để giải toán (0.1) A ánh xạ phi tuyến đơn điệu sau: A(x) + αJ s (x − x+ ) = fδ (0.6) Năm 2016, Ng Bường, T.T Hương Ng.T.T Thủy [32] phát triển phương pháp (0.6) để đưa phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình tốn tử Ai (x) = fi , i = 0, 1, , N, (0.7) N số nguyên dương cố định, fi ∈ E ∗ Ai : E → E ∗ ánh xạ đơn điệu không gian Banach E, i = 0, 1, , N Ta thấy, trường hợp E khơng phải khơng gian Hilbert J s ánh xạ phi tuyến đó, (0.6) toán phi tuyến, A ánh xạ tuyến tính Đây lớp tốn khó giải thực tế Hơn nữa, vài thông tin nghiệm xác, ví dụ độ trơn, không giữ nguyên nghiệm hiệu chỉnh ánh xạ J s xác định tồn khơng gian nên ta biết nghiệm hiệu chỉnh nằm đâu E Vì vậy, vào năm 1991, Ng Bường (xem [2, 28]) cải tiến phương pháp (0.6) cách thay ánh xạ J s ánh xạ tuyến tính đơn điệu mạnh B để đưa phương pháp sau: A(x) + αB(x − x+ ) = fδ (0.8) 81 k z1k+1 z2k+1 k z1k+1 z2k+1 1,5000000000 3,5000000000 2000 0,0504468881 1,0002497795 10 0,6727523804 1,0367234670 5000 0,0319113937 1,0000999281 20 0,4895426850 1,0225868918 8000 0,0252293542 1,0000624662 50 0,3152358030 1,0092381210 10000 0,0225661730 1,0000499833 100 0,2242781046 1,0048024836 12000 0,0206002179 1,0000416476 500 0,1007993740 1,0009925330 15000 0,0184255869 1,0000333306 1000 0,0713204022 1,0004981392 20000 0,0159571926 1,0000249980 b) Trường hợp điểm xuất phát (10; 20): Bảng 3.3 Kết tính tốn áp dụng phương pháp (3.4) với thời gian tính tốn 2,699 giây k xk+1 xk+1 k xk+1 xk+1 2 7,5000000000 10,3333333333 2000 0,2522344403 0,9999996174 10 3,3637619019 0,9837468002 5000 0,1595569687 0,9999999232 20 2,4477134250 0,9999068009 8000 0,1261467712 0,9999999725 50 1,5761790149 0,9997667170 10000 0,1128308650 0,9999999996 100 1,1213905229 0,9998979723 12000 0,1030010894 0,9999999861 500 0,5039968702 0,9999947597 15000 0,0921279346 0,9999999932 1000 0,3566020110 0,9999983305 20000 0,0797859628 0,9999999946 Bảng 3.4 Kết tính tốn áp dụng phương pháp (3.5) với thời k z1k+1 gian tính tốn 2,683 giây z2k+1 k z1k+1 z2k+1 7,5000000000 10,5000000000 2000 0,2522344403 1,0002497442 10 3,3637619019 1,0343656695 5000 0,1595569687 1,0000999239 20 2,4477134250 1,0224448516 8000 0,1261467712 1,0000624636 50 1,5761790149 1,0091958993 10000 0,1128308650 1,0000499805 100 1,1213905229 1,0047946859 12000 0,1030010894 1,0000416627 500 0,5039968702 1,0009920670 15000 0,0921279346 1,0000333302 1000 0,3566020110 1,0004979605 20000 0,0797859628 1,0000249977 Các kết tính tốn chạy phần mềm Free Pascal IDE với máy tính Pentium(R) Dual-Core CPU E5300 @ 2.60GHz, 2.59 GHz, 1.99 GB of RAM 82 Qua bảng trên, ta thấy, việc áp dụng phương pháp (3.4) (3.5) cho kết hội tụ tốt tới nghiệm toán (3.27) KẾT LUẬN Chương trình bày cải biên phương pháp điểm gần kề mà đạt để tìm khơng điểm ánh xạ đơn điệu cực đại không gian Hilbert Sự hội tụ mạnh cải biên phương pháp điểm gần kề trước đưa giả thiết dẫn tới dãy tham số toán tử giải không khả tổng, hội tụ mạnh cải biên chứng minh điều kiện dãy tham số toán tử giải khả tổng Điều thể Định lí 3.2 Mục cuối chương đưa ví dụ số minh họa cho hội tụ cải biên 83 KẾT LUẬN CHUNG Luận án đề cập đến vấn đề sau: - Nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich để giải phương trình phi tuyến với tốn tử loại đơn điệu (đơn điệu J-đơn điệu) không gian Banach - Nghiên cứu phương pháp lặp để tìm khơng điểm ánh xạ đơn điệu cực đại không gian Hilbert Kết đạt luận án bao gồm: - Đưa chứng minh định lí hội tụ mạnh phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich để tìm nghiệm phương trình phi tuyến với ánh xạ đơn điệu không gian Banach - Đưa chứng minh định lí hội tụ mạnh phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich để tìm nghiệm phương trình phi tuyến với ánh xạ J-đơn điệu không gian Banach - Đưa chứng minh định lí hội tụ mạnh cải biên phương pháp điểm gần kề để tìm khơng điểm ánh xạ đơn điệu cực đại không gian Hilbert, với cách tiếp cận khác điều kiện dãy tham số tốn tử giải, hội tụ cải biên trước đưa giả thiết dãy tham số tốn tử giải khơng khả tổng, hội tụ mạnh cải biên chứng minh giả thiết dãy tham số toán tử giải khả tổng 84 KIẾN NGHỊ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO • Tiếp tục nghiên cứu việc xấp xỉ hữu hạn chiều với dãy tham số hiệu chỉnh {αn } đánh giá tốc độ hội tụ tới nghiệm phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich đưa Chương để giải phương trình với tốn tử loại đơn điệu • Phát triển phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich đưa Chương để xây dựng phương pháp hiệu chỉnh giải hệ phương trình với tốn tử loại đơn điệu • Đánh giá tốc độ hội tụ tới nghiệm phương pháp lặp để tìm khơng điểm ánh xạ đơn điệu cực đại không gian Hilbert đạt Chương • Đề xuất nghiên cứu hội tụ phương pháp lặp để tìm khơng điểm ánh xạ loại đơn điệu không gian Hilbert không gian Banach 85 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ [1 ] Ng Buong, P.T.T Hoai, Ng.D Nguyen, Iterative methods for a class of variational inequalities in Hilbert spaces, J Fixed Point Theory Appl., 2017, 19 (4), 2383-2395 [2 ] Ng Buong, Ng.D Nguyen, Ng.T.T Thuy, Newton-Kantorovich iterative regularization and generalized discrepancy principle for nonlinear ill-posed equations involving accretive mappings, Russian Math (Iz VUZ), 2015, 59 (5), 32-37 [3 ] Ng.D Nguyen, Ng Buong, Regularization Newton-Kantorovich iterative method for nonlinear monotone ill-posed equations on Banach spaces, Kỷ yếu Hội thảo Quốc gia lần thứ XVIII: Một số vấn đề chọn lọc Công nghệ thông tin truyền thông, thành phố Hồ Chí Minh, ngày 5-6 tháng 11 năm 2015, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, 2015, 278-281 [4 ] Ng.D Nguyễn, Kết số cho phương pháp lặp dạng NewtonKantorovich điểm gần kề giải phương trình với ánh xạ đơn điệu, Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Thái Nguyên, 2018, 178 (2), 145-150 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] P.K Anh, Ng Bường, Bài tốn đặt khơng chỉnh, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005 [2] Ng Bường, Hiệu chỉnh toán phi tuyến phương pháp toán tử đơn điệu, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001 [3] P.Đ Chính, Giải tích hàm, Tập 1: Cơ sở lý thuyết, Nhà xuất Đại học trung học chuyên nghiệp, 1978 [4] N.X Liêm, Giải tích hàm, Nhà xuất Giáo dục, 2002 [5] H Tụy, Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2003 Tiếng Anh [6] R.P Agarwal, D O’Regan, D.R Sahu, Fixed point theory for Lipschitzian-type mappings with applications, Springer, 2009, New York [7] Ya.I Alber, On the solution of nonlinear equations with monotone operators in a Banach space, Siberian Math J., 1975, 16, 1-8 [8] Ya.I Alber, C.E Chidume, H Zegeye, Regularization of nonlinear ill-posed equations with accretive operators, Fixed Point Theory and Applications, 2005, 2005 (1), 11-33 [9] Ya.I Alber, I.P Ryazantseva, Nonlinear ill-posed problems of monotone type, Springer, 2006, Dordrecht [10] D.D Ang, R Gorenflo, V.K Le, D.D Trong, Moment theory and some inverse problems in potential theory and heat conduction, Springer, 2002, Berlin 87 [11] P.N Anh, L.D Muu, Coupling the Banach contraction mapping principle and the proximal point algorithm for solving monotone variational inequalites, Acta Mathematica Vietnamica, 2004, 29 (2), 119133 [12] P.N Anh, L.D Muu, V.H Nguyen, J.J Strodiot, Using the Banach contraction principle to implement the proximal point method for multivalued monotone variational inequalities, J Optim Theory Appl., 2005, 124 (2), 285-306 [13] J.B Baillon, R.E Bruck, S Reich, On the asymptotic behavior of nonexpansive mappings and semigroups in Banach spaces, Houst J Math., 1978, 4, 1-9 [14] A.B Bakushinskii, A regularizing algorithm based on the NewtonKantorovich method for solving variational inequalities, USSR Comput Math and Math Phys., 1976, 16 (6), 16-23 [15] A Bakushinsky, A Goncharsky, Ill-posed problems: Theory and applications, Springer, 1994, Dordrecht [16] A.B Bakushinsky, M.Yu Kokurin, Iterative methods for approximate solution of inverse problems, Springer, 2004, Dordrecht [17] A.B Bakushinskii, A Smirnova, Iterative regularization and generalized discrepancy principle for monotone operator equations, Numer Funct Anal Optim., 2007, 28 (1-2), 13-25 [18] V Barbu, Nonlinear differential equations of monotone types in Banach spaces, Springer, 2010, New York [19] J Baumeister, Stable solution of inverse problems, Friedr Vieweg & Sohn, 1987, Braunschweig [20] H.H Bauschke, P.L Combettes, Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces (Second edition), Springer, 2017, Switzerland [21] O.A Boikanyo, G Morosanu, A proximal point algorithm converging strongly for general errors, Optim Lett., 2010, 4, 635-641 88 [22] O.A Boikanyo, G Morosanu, A generalization of the regularization proximal point method, Nonlinear Anal Appl., 2012, Article ID jnaa00129, 6, doi: 10.5899/2012/jnaa-00129 [23] F.E Browder, Nonlinear elliptic boundary value problems, Bull Amer Math Soc., 1963, 69 (6), 862-874 [24] F.E Browder, Existence and approximation of solutions of nonlinear variational inequalities, Proc Nat Acad Sci U.S.A., 1966, 56 (4), 1080-1086 [25] F.E Browder, On the unification of the calculus of variations and the theory of monotone nonlinear operators in Banach spaces, Proc Nat Acad Sci U.S.A., 1966, 56, 419-425 [26] F.E Browder, Nonlinear mappings of nonexpansive and accretive type in Banach spaces, Bull Amer Math Soc., 1967, 73 (6), 875-882 [27] F.E Browder, Nonlinear maximal monotone operators in Banach space, Math Ann., 1968, 175, 89-113 [28] Ng Buong, The regularization of variational inequalities and a general approximation scheme for regularized solutions in Banach spaces, Ukrain Mat Zh., 1991, 43 (9), 1273-1276 [29] Ng Buong, Regularization by linear operators, Acta Mathematica Vietnamica, 1996, 21 (1), 135-145 [30] Ng Buong, Ng.D Dung, A regularized parameter choice in regularization for a common solution of a finite system of ill-posed equations involving Lipschitz continuous and accretive mappings, Comput Math Math Phys., 2014, 54 (3), 397–406 [31] Ng Buong, V.Q Hung, Newton-Kantorovich iterative regularization for nonlinear ill-posed equations involving accretive operators, Ukrain Mat Zh., 2005, 57 (2), 271-276 [32] Ng Buong, T.T Huong, Ng.T.T Thuy, A quasi-residual principle in regularization for a common solution of a system of nonlinear mono- 89 tone ill-posed equations, Russian Math (Iz VUZ), 2016, 60 (3), 47–55 [33] Ng Buong, Ng.T.H Phuong, Regularization methods for nonlinear ill-posed equations involving m-accretive mappings in Banach spaces, Russian Math (Iz VUZ), 2013, 57 (2), 58-64 [34] L.C Ceng, Q.H Ansari, J.Ch Yao, Mann-type steepest-descent and modified hybrid steepest descent methods for variational inequalities in Banach spaces, Num Funct Anal Optim., 2008, 29 (9-10), 9871033 [35] L.C Ceng, H.K Xu, J.Ch Yao, Strong convergence of an iterative method with perturbed mappings for nonexpansive and accretive operators, Num Funct Anal Optim., 2008, 29 (3-4), 324-345 [36] Ng.M Chuong, Ng.V Kin, Regularization of variational inequalities with perturbed nonmonotone and discontinuous operators, Differ Uravn., 1991, 27 (12), 2171–2172 [37] I Cioranescu, Geometry of Banach spaces, duality mappings and nonlinear problems (Mathematics and its applications, 62), Kluwer Academic Publishers, 1990, Dordrecht [38] J.A Clarkson, Uniformly convex spaces, Trans Amer Math Soc., 1936, 40 (3), 396-414 [39] P Deuflhard, A short history of Newton’s method, Doc Math., 2012, Extra vol.: Optimization stories, 25-30 [40] H.W Engl, C.W Groetsch, Inverse and ill-posed problems, Academic Press, Inc., 1987, London [41] H.W Engl, M Hanke, A Neubauer, Regularization of inverse problems (Mathematics and its applications, 375), Kluwer Academic Publishers, 1996, Dordrecht [42] V.B Glasko, Inverse problems of mathematical physics (Translated from the Russian by A Bincer), American Institute of Physics, 1988, New York 90 [43] K Goebel, W.A Kirk, Topics in metric fixed point theory (Cambridge studies in advanced mathematics 28), Cambridge University Press, 1990, Cambridge [44] R Gorenflo, S Vessella, Abel integral equations: Analysis and applications, Springer, 1991, Berlin [45] C.W Groetsch, Theory of Tikhonov regularization for fredholm equations of the first kind, Pitman Publishing Inc, 1984, Boston [46] O Gă uler, On the convergence of the proximal point algorithm for convex minimization, Siam J Control and optimization, 1991, 29 (2), 403-419 [47] M Hanke, Conjugate gradient type methods for ill-posed problems, Longman Scientific & Technical, 1995, Harlow [48] D.N Hao, H.-J Reinhardt, Gradient methods for inverse heat conduction problems, Inverse Problems in Engineering, 1998, (3), 177–211 [49] B Hoffmann, Regularization for applied inverse and ill-posed problems, BSB B G Teubner Verlagsgesellschaft, 1986, Leipzig [50] V.K Ivanov, On ill-posed problem, Mat Sb (N.S.), 1963, 61 (2), 211-223, [51] S Kamimura, W Takahashi, Approximating solutions of maximal monotone operators in Hilbert spaces, J Approx Theory, 2000, 106, 226-240 [52] S Kamimura, W Takahashi, Weak and strong convergence of solutions to accretive operator inclusions and applications, Set-Valued Analysis., 2000, 8, 361-374 [53] L.V Kantorovich, Functional analysis and applied mathematics, Uspekhi Mat Nauk, 1948, 3, 89-185 [54] L.V Kantorovich, G.P Akilov, Functional analysis in normed spaces, Fizmatgiz, 1959, Moscow 91 [55] L.V Kantorovich, G.P Akilov, Functional analysis, Nauka, 1977, Moscow [56] A.G Kartsatos, Theory and applications of nonlinear operators of accretive and monotone type (Lecture notes in pure and applied mathematics, 178), Marcel Dekker, Inc., 1996, New York [57] M.M Lavrent’ev, Some improperly posed problems of mathematical physics, Springer, 1967, Berlin, Heidelberg [58] N Lehdili, A Moudafi, Combining the proximal algorithm and Tikhonov regularization, Optimization, 1996, 37, 239-252 [59] W Li, H Zhen, The applications of theories of accretive operators to nonlinear elliptic boundary value problems in Lp -spaces, Nonl Anal., 2001, 46 (1), 199-211 [60] G Marino, H.K Xu, Convergence of generalized proximal point algorithms, Comm Pure Appl Anal., 2004, 3, 791-808 [61] S Matsushita, L Xu, Finite convergence of the proximal point algorithm for variational inequality problems, Set-valued Var Anal., 2013, 21, 297-309 [62] G.J Minty, On a "monotonicity" method for the solution of nonlinear equations in Banach spaces, Proc Nat Acad Sci U.S.A., 1963, 50 (6), 1038-1041 [63] V.A Morozov, Methods for solving incorrectly posed problems, Springer-Verlag, 1984, New York [64] V.A Morozov, Regularization methods for ill-posed problems (Translated from the 1987 Russian original), CRC Press, 1993, Boca Raton, Florida [65] I.P Mysovskikh, On the convergence of Newton’s method, Trudy Mat Inst Steklov., 1949, 28, 145-147 (in Russian) [66] M.Z Nashed, F Liu, On nonlinear ill-posed problems II: Monotone operator equations and monotone variational inequalities Theory and 92 applications of nonlinear operators of accretive and monotone type, 223-240, Lecture notes in pure and applied mathematics, 178, Marcel Dekker, Inc., 1996, New York [67] F Natterer, The mathematics of computerized tomography (Reprint of the 1986 original), SIAM, 2001, Philadelphia, PA [68] F Natterer, F Wă ubbeling, Mathematical methods in image reconstruction, SIAM, 2001, Philadelphia, PA [69] V.N Pavlenko, Nonlinear equations with discontinuous operators in Banach spaces, Ukrainian Mathematical Journal, 1979, 31 (5), 569572 [70] P.M Prenter, Splines and variational methods, Wiley-Interscience, 1975, NewYork [71] X Qin , Y Su, Approximation of a zero point of accretive operator in Banach spaces, J Math Anal Appl., 2007, 329, 415-424 [72] R.T Rockafellar, Characterization of the subdifferentials of convex functions, Pacific J Math., 1966, 17 (3), 497-510 [73] R.T Rockafellar, On the maximality of sums of nonlinear monotone operators, Trans Amer Math Soc., 1970, 149 (1), 75-88 [74] R.T Rockafellar, Monotone operators and the proximal point algorithm, Siam J Control and optimization, 1976, 14 (5), 877-898 [75] R.T Rockafellar, Augmented Lagrangians and applications of the proximal point algorithm in convex programming, Math Oper Res., 1976, (2), 97-116 [76] B.D Rouhani, S Moradi, Strong convergence of two proximal point algorithms with possible unbounded error sequences, J Optim Theory Appl., 2016, DOI: 10.1007/s10957-016-1028-5 [77] I.P Ryazantseva, Iterative methods of the Newton-Kantorovich type for solving nonlinear ill-posed problems with monotone operators, Differential Equations, 1987, 23 (11), 2012-2014 93 [78] A.M Saddeek, Generalized iterative process and associated regularization for J-pseudomonotone mixed variational inequalities, Appl Math Comput., 2009, 213 (1), 8-17 [79] R.E Showalter, Monotone operator in Banach space and nolinear partial differential equations (Mathematical surveys and monographs, 49), American mathematical society, 1997 [80] Y Song, New iterative algorithms for zeros of accretive operators, J Korean Math Soc., 2009, 46 (1), 83-97 [81] G Talenti, Best constant in Sobolev inequality, Ann Mat Pura Appl., 1976, 110, 353-372 [82] Ch.A Tian, Y Song, Strong convergence of a regularization method for Rockafellar’s proximal point algorithm, J Glob Optim., 2013, 55, 831-837 [83] A.N Tikhonov, Solution of incorrectly formulated problems and the regularization method, Soviet Mathematics Doklady, 1963, 4, 10351038 [84] A.N Tikhonov, Regularization of incorrectly posed problems, Soviet Mathematics Doklady, 1963, 4, 1624-1627 [85] A.N Tikhonov, V.Y Arsenin, Solution of ill-posed problems (Translated from the Russian Preface by translation editor Fritz John Scripta Series in Mathematics), V H Winston & Sons, 1977, Washington, D.C [86] M.M Vainberg, Variational method and method of monotone operators, Nauka, 1972, Moscow [87] T.D Van, D.N Hao, Differential operators of infinite order with real arguments and their applications, World Scientific Publishing Co Pte Ltd., 1994, Singapore [88] G.M Vainikko, Methods for solving linear ill-posed problems in Hilbert spaces, Tartu Gos Univ., 1982, Tartu 94 [89] F.P Vasil’ev, Numerical methods for solving extremal problems, Nauka, 1980, Moskow [90] F.P Vasil’ev, Methods for solving extremal problems, Nauka, 1981, Moskow [91] F Wang, H Cui, Convergence of the generalized contraction-proximal point algorithm in a Hilbert space, Optimization, 2015, 64 (4), 709715 [92] S Wang, A modified regularization method for the proximal point algorithm, J Appl Math., 2012, Article ID 567948, Doi: 10.1155/2012/567948 [93] Y Wang, F Wang, H.K Xu, Error sensitivity for strongly convergent modifications of the proximal point algorithm, J Optim Theory Appl., 2016, 168, 901-916 [94] H.K Xu, An iterative approach to quadratic optimization, J Optim Theory Appl., 2003, 116 (3), 659-678 [95] H.K Xu, A regularization method for the proximal point algorithm, J Glob Optim., 2006, 36, 115-125 [96] H.K Xu, Averaged mappings and the gradient-projection algorithm, J Optim Theory Appl., 2011, 150, 360-378 [97] Y Yao, M.A Noor, On convergence criteria of generalized proximal point algorithms, J Comp Appl Math., 2008, 217, 46-55 Tiếng Đức [98] B Hoffmann, Mathematik inverser probleme, B.G Teubner Verlagsgesellschaft, 1999, Stuttgart [99] A.K Louis, Inverse und schlecht gestellte probleme, B.G Teubner, 1989, Stuttgart Tiếng Pháp [100] S Banach, Théorie des opérations linéaires, 1932, Warszawa 95 [101] J Hadamard, Le problème de Cauchy et les équations aux dérivées partielles linéaires hyperpoliques, Hermann, 1932, Paris [102] R Lattès, J.L Lions, Méthode de quasi-réversibilité et applications, Dunod, 1967, Paris [103] B Martinet, Regularisation d’inéquations variationnelles par approximations successives, Revue Francaise d’Informatique et de Recherche Opérationnelle, série rouge, 1970, (3), 154-159 ... biên phương pháp điểm gần kề 26 Chương Phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton- Kantorovich cho phương trình phi tuyến với tốn tử loại đơn điệu 2.1 Hiệu chỉnh lặp Newton- Kantorovich cho phương trình. .. pháp hiệu chỉnh lặp Newton- Kantorovich cho phương trình phi tuyến với tốn tử loại đơn điệu Chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh lặp NewtonKantorovich để giải phương trình tốn tử khơng chỉnh phi. .. nghiệm phương trình phi tuyến với tốn tử loại đơn điệu Mục 2.1 đưa kết phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton- Kantorovich cho phương trình tốn tử không chỉnh phi tuyến đơn điệu Mục 2.2 giới thiệu kết phương