Các phương pháp hiệu chỉnh lặp newton kantorovich và điểm gần kề cho phương trình toán tử không chỉnh phi tuyến đơn điệu tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ *** NGUYỄN DƯƠNG NGUYỄN CÁC PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LẶP NEWTON-KANTOROVICH VÀ ĐIỂM GẦN KỀ CHO PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ KHƠNG CHỈNH PHI TUYẾN ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SỸ TỐN HỌC Hà Nội - 2018 Cơng trình hồn thành tại: Học viện Khoa học Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Người hướng dẫn khoa học 1: GS TS Nguyễn Bường Người hướng dẫn khoa học 2: PGS TS Đỗ Văn Lưu Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ, họp Học viện Khoa học Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam vào hồi ’, ngày tháng năm 2018 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Học viện Khoa học Công nghệ - Thư viện Quốc gia Việt Nam Mở đầu Nhiều vấn đề trong khoa học, công nghệ, kinh tế sinh thái trình xử lý ảnh, chụp cắt lớp vi tính, chụp cắt lớp địa chấn địa chất cơng trình, đo sâu âm xấp xỉ sóng, tốn quy hoạch tuyến tính dẫn đến việc giải tốn dạng phương trình tốn tử sau (A Bakushinsky A Goncharsky, 1994; F Natterer, 2001; F Natterer F Wă ubbeling, 2001): A(x) = f, (0.1) ú A tốn tử (ánh xạ) từ khơng gian mêtric E vào không gian mêtric E f ∈ E Tuy nhiên, tồn lớp toán số tốn mà nghiệm chúng khơng ổn định theo kiện ban đầu, tức thay đổi nhỏ kiện dẫn đến sai khác lớn nghiệm Người ta nói tốn đặt khơng chỉnh Vì vậy, u cầu đặt phải có phương pháp giải tốn đặt khơng chỉnh cho sai số liệu nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm gần với nghiệm tốn xuất phát Nếu E không gian Banach với chuẩn số trường hợp ánh xạ A, tốn (0.1) hiệu chỉnh phương pháp cực tiểu phiếm hàm làm trơn Tikhonov: Fαδ (x) = A(x) − fδ + α x − x+ , (0.2) với việc chọn tham số hiệu chỉnh α = α(δ) > thích hợp, fδ xấp xỉ f thỏa mãn fδ − f ≤ δ x+ phần tử chọn E nhằm giúp cho ta tìm nghiệm (0.1) theo ý muốn Nếu A ánh xạ phi tuyến phiếm hàm Fαδ (x) nói chung khơng lồi Do đó, khơng thể áp dụng kết đạt việc cực tiểu phiếm hàm lồi để tìm thành phần cực tiểu Fαδ (x) Vì vậy, để giải tốn (0.1) với A ánh xạ phi tuyến đơn điệu, người ta đưa dạng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, có tên phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov Năm 1975, Ya.I Alber xây dựng phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov để giải toán (0.1) A ánh xạ phi tuyến đơn điệu sau: A(x) + αJ s (x − x+ ) = fδ (0.3) Ta thấy, trường hợp E khơng gian Hilbert J s ánh xạ phi tuyến đó, (0.3) tốn phi tuyến, A ánh xạ tuyến tính Đây lớp tốn khó giải thực tế Hơn nữa, vài thơng tin nghiệm xác, ví dụ độ trơn, khơng giữ nguyên nghiệm hiệu chỉnh ánh xạ J s xác định tồn khơng gian nên ta khơng thể biết nghiệm hiệu chỉnh nằm đâu E Vì vậy, vào năm 1991, Ng Bường thay ánh xạ J s ánh xạ tuyến tính đơn điệu mạnh B để đưa phương pháp: A(x) + αB(x − x+ ) = fδ (0.4) Trường hợp E ≡ H khơng gian Hilbert phương pháp (0.3) có dạng đơn giản với s = Khi đó, phương pháp (0.3) trở thành: A(x) + α(x − x+ ) = fδ (0.5) Năm 2006, Ya.I Alber I.P Ryazantseva đưa hội tụ phương pháp (0.5) A ánh xạ J-đơn điệu không gian Banach E điều kiện ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J E liên tục yếu theo dãy Rất tiếc lớp không gian Banach vơ hạn chiều có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy nhỏ (chỉ có không gian lp ) Năm 2013, Ng Bường Ng.T.H Phương chứng minh hội tụ phương pháp (0.5) mà khơng địi hỏi tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J Tuy nhiên, ta thấy, A ánh xạ phi tuyến (0.3), (0.4) (0.5) tốn phi tuyến Chính lí đó, phương pháp ổn định khác để giải tốn (0.1), có tên phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich quan tâm nghiên cứu Phương pháp đề xuất A.B Bakushinskii vào năm 1976 để giải toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ phi tuyến đơn điệu Đây phương pháp hiệu chỉnh xây dựng dựa phương pháp tiếng giải tích số phương pháp Newton-Kantorovich Năm 1987, dựa sở phương pháp A.B Bakushinskii, để tìm nghiệm toán (0.1) trường hợp A ánh xạ đơn điệu từ không gian Banach E vào không gian đối ngẫu E ∗ , I.P Ryazantseva đưa phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich: A(zn ) + A (zn )(zn+1 − zn ) + αn J s (zn+1 ) = fδn (0.6) Tuy nhiên, phương pháp (0.6) sử dụng ánh xạ đối ngẫu J s làm thành phần hiệu chỉnh nên có hạn chế giống phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov (0.3) Trường hợp A ánh xạ J-đơn điệu không gian Banach E, để tìm nghiệm tốn (0.1), dựa tư tưởng phương pháp A.B Bakushinskii, năm 2005, Ng Bường V.Q Hùng nghiên cứu hội tụ phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich: A(zn ) + A (zn )(zn+1 − zn ) + αn (zn+1 − x+ ) = fδ , (0.7) điều kiện A(x) − A(x∗ ) − J ∗ A (x∗ )∗ J(x − x∗ ) ≤ τ A(x) − A(x∗ ) , ∀x ∈ E (0.8) A (x∗ )v = x+ − x∗ , (0.9) τ > 0, x∗ nghiệm toán (0.1), A (x∗ ) đạo hàm Fréchet ánh xạ A x∗ , J ∗ ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc E ∗ v phần tử E Ta thấy, điều kiện (0.8) (0.9) sử dụng đạo hàm Fréchet ánh xạ A nghiệm chưa biết x∗ nên chúng chặt chẽ Năm 2007, A.B Bakushinskii A Smirnova chứng minh hội tụ phương pháp (0.7) đến nghiệm toán (0.1) A ánh xạ đơn điệu từ không gian Hilbert H vào H (trong không gian Hilbert, khái niệm J-đơn điệu trùng với khái niệm đơn điệu) điều kiện A (x) ≤ 1, A (x) − A (y) ≤ L x − y , ∀x, y ∈ H, L > (0.10) Nội dung thứ luận án trình bày kết phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi tuyến với tốn tử loại đơn điệu (đơn điệu J-đơn điệu) không gian Banach mà chúng tơi đạt được, khắc phục hạn chế kết nêu Tiếp theo, ta xét tốn: Tìm phần tử p∗ ∈ H cho ∈ A(p∗ ), (0.11) H khơng gian Hilbert, A : H → 2H ánh xạ đa trị đơn điệu cực đại Một phương pháp để tìm nghiệm tốn (0.11) phải kể đến phương pháp điểm gần kề B Martinet giới thiệu vào năm 1970 để tìm cực tiểu phiếm hàm lồi tổng quát hóa R.T Rockafellar vào năm 1976 sau: xk+1 = Jk xk + ek , k ≥ 1, (0.12) Jk = (I + rk A)−1 gọi toán tử giải A với tham số rk > 0, ek vectơ sai số I ánh xạ đơn vị H Vì A ánh xạ đơn điệu cực đại nên Jk ánh xạ đơn trị (F Wang H Cui, 2015) Do vậy, ưu điểm bật phương pháp điểm gần kề đưa toán đa trị toán đơn trị để giải R.T Rockafellar chứng minh phương pháp (0.12) hội tụ yếu tới không điểm ánh xạ A giả thiết tập không điểm ánh xạ A khác rỗng, ∞ k=1 ek < ∞ rk ≥ ε > 0, vi mi k Nm 1991, O Gă uler phương pháp điểm gần kề đạt hội tụ yếu mà không hội tụ mạnh khơng gian vơ hạn chiều Với mục đích đạt hội tụ mạnh, số cải biên phương pháp điểm gần kề để tìm khơng điểm ánh xạ đơn điệu cực đại không gian Hilbert (O.A Boikanyo G Morosanu, 2010, 2012; S Kamimura W Takahashi, 2000; N Lehdili A Moudafi, 1996; G Marino H.K Xu, 2004; Ch.A Tian Y Song, 2013; F Wang H Cui, 2015; H.K Xu, 2006; Y Yao M.A Noor, 2008) ánh xạ J-đơn điệu không gian Banach (L.C Ceng đồng tác giả, 2008; S Kamimura W Takahashi, 2000; X Qin Y Su, 2007; Y Song, 2009) nghiên cứu Sự hội tụ mạnh tất cải biên đưa điều kiện dẫn tới dãy tham số toán tử giải ánh xạ A không khả tổng, tức ∞ k=1 rk = +∞ Vì vậy, câu hỏi đặt là: có tồn cải biên phương pháp điểm gần kề mà hội tụ mạnh đưa điều kiện dãy tham số toán tử giải khả tổng, tức ∞ k=1 rk < +∞? Để trả lời câu hỏi này, nội dung thứ hai luận án giới thiệu cải biên phương pháp điểm gần kề mà chúng tơi đạt để tìm khơng điểm ánh xạ đơn điệu cực đại khơng gian Hilbert, hội tụ mạnh phương pháp đưa giả thiết dãy tham số toán tử giải khả tổng Các kết thu luận án là: 1) Đưa chứng minh hội tụ mạnh cải biên phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich (0.6) I.P Ryazantseva để giải toán (0.1) với A ánh xạ đơn điệu từ không gian Banach E vào không gian đối ngẫu E ∗ , khắc phục hạn chế nêu phương pháp (0.6) 2) Đưa chứng minh hội tụ mạnh phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich (0.7) để tìm nghiệm tốn (0.1) trường hợp A ánh xạ J-đơn điệu không gian Banach E với việc loại bỏ điều kiện (0.8), (0.9), (0.10) khơng địi hỏi tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J 3) Đưa hai cải biên phương pháp điểm gần kề để tìm khơng điểm ánh xạ đơn điệu cực đại không gian Hilbert, hội tụ mạnh cải biên chứng minh giả thiết dãy tham số toán tử giải khả tổng Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận án bố cục gồm ba chương Chương có tính chất bổ trợ, trình bày số khái niệm tính chất khơng gian Banach, khái niệm tốn đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Chương trình bày phương pháp Newton-Kantorovich số cải biên phương pháp điểm gần kề để tìm khơng điểm ánh xạ đơn điệu cực đại khơng gian Hilbert Chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich để giải phương trình tốn tử khơng chỉnh phi tuyến loại đơn điệu không gian Banach, bao gồm: đưa phương pháp định lí hội tụ phương pháp Cuối chương đưa ví dụ số minh họa cho kết nghiên cứu đạt Chương trình bày cải biên phương pháp điểm gần kề mà đạt để tìm khơng điểm ánh xạ đơn điệu cực đại không gian Hilbert, bao gồm: giới thiệu phương pháp kết hội tụ phương pháp Một ví dụ số đưa mục cuối chương nhằm minh họa cho kết nghiên cứu đạt Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức cần thiết nhằm phục vụ cho việc trình bày kết nghiên cứu luận án chương sau 1.1 Không gian Banach vấn đề liên quan 1.1.1 Một số tính chất khơng gian Banach Mục trình bày số khái niệm tính chất khơng gian Banach 1.1.2 Bài tốn đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh • Mục đề cập đến khái niệm tốn đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh • Xét tốn tìm nghiệm phương trình A(x) = f, (1.1) với A ánh xạ từ không gian Banach E vào không gian Banach E Nếu (1.1) tốn đặt khơng chỉnh u cầu đặt phải sử dụng phương pháp giải (1.1) cho δ nghiệm xấp xỉ tìm gần với nghiệm (1.1) Như trình bày phần Mở đầu, trường hợp A ánh xạ đơn điệu từ không gian Banach E vào khơng gian đối ngẫu E ∗ , tốn (1.1) giải phương pháp hiệu chỉnh dạng Browder-Tikhonov (0.3) (xem trang 2) (0.4) (xem trang 2) Trường hợp A ánh xạ J-đơn điệu không gian Banach E, phương pháp sử dụng rộng rãi để giải toán (1.1) phương pháp hiệu chỉnh dạng Browder-Tikhonov (0.5) (xem trang 2) Ng Bường Ng.T.H Phương (2013) chứng minh kết sau cho hội tụ mạnh phương pháp (0.5): Định lí 1.17 Cho E khơng gian Banach thực, phản xạ, lồi chặt, có chuẩn khả vi Gâteaux A ánh xạ m-J-đơn điệu E Khi đó, với α > fδ ∈ E, phương trình (0.5) có nghiệm xδα Hơn nữa, tham số α chọn cho δ/α → α → dãy {xδα } hội tụ mạnh tới phần tử x∗ ∈ E nghiệm bất đẳng thức biến phân sau x∗ ∈ S ∗ : x∗ − x+ , j(x∗ − y) ≤ 0, ∀y ∈ S ∗ , (1.2) S ∗ tập nghiệm (1.1) S ∗ khác rỗng Ta thấy, Định lí 1.17 đưa hội tụ mạnh dãy nghiệm hiệu chỉnh {xδα } sinh phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov (0.5) đến nghiệm x∗ toán (1.1) mà khơng địi hỏi tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J Kết cải tiến đáng kể so với kết Ya.I Alber I.P Ryazantseva (2006) (xem phần Mở đầu) Do A ánh xạ phi tuyến (0.3), (0.4) (0.5) toán phi tuyến nên để khắc phục hạn chế này, Chương 2, chúng tơi trình bày phương pháp hiệu chỉnh khác, có tên phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich Đây phương pháp hiệu chỉnh xây dựng dựa phương pháp tiếng giải tích số phương pháp Newton-Kantorovich trình bày khái quát lại Mục 1.2 1.2 Phương pháp Newton-Kantorovich Mục trình bày phương pháp Newton-Kantorovich định lí hội tụ phương pháp 1.3 Phương pháp điểm gần kề số cải biên Trong mục này, ta xét tốn: Tìm phần tử p∗ ∈ H cho ∈ A(p∗ ), (1.3) H không gian Hilbert A : H → 2H ánh xạ đơn điệu cực đại Ký hiệu Jk = (I + rk A)−1 toán tử giải A với tham số rk > 0, I ánh xạ đơn vị H 1.3.1 Phương pháp điểm gần kề Mục trình bày phương pháp điểm gần kề R.T Rockafellar (1976) để tìm nghiệm bi toỏn (1.3) v khng nh ca O Gă uler (1991) phương pháp điểm gần kề đạt hội tụ yếu mà không hội tụ mạnh không gian vô hạn chiều 1.3.2 Một số cải biên phương pháp điểm gần kề Mục trình bày số cải biên phương pháp điểm gần kề hội tụ mạnh cải biên để tìm nghiệm tốn (1.3) bao gồm kết N Lehdili A Moudafi (1996), H.K Xu (2006), O.A Boikanyo G Morosanu (2010; 2012), Ch.A Tian Y Song (2013), S Kamimura W Takahashi (2000), G Marino H.K Xu (2004), Y Yao M.A Noor (2008), F Wang H Cui (2015) Nhận xét 1.6 Sự hội tụ mạnh cải biên phương pháp điểm gần kề nêu sử dụng điều kiện (C0) exists constant ε > such that rk ≥ ε for every k ≥ (C0’) lim inf k→∞ rk > (C0”) rk ∈ (0; ∞) for every k ≥ and limk→∞ rk = ∞ Các điều kiện dẫn tới dãy tham số {rk } tốn tử giải khơng ∞ rk = +∞ Trong Chương 3, đưa hai khả tổng, tức k=1 cải biên phương pháp điểm gần kề mà hội tụ mạnh phương pháp đưa điều kiện dãy tham số tốn tử giải hồn tồn khác so với kết biết Cụ thể, sử dụng ∞ rk < +∞ điều kiện dãy tham số toán tử giải khả tổng, tức k=1 10 pháp Newton-Kantorovich để tìm nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân sau khơng gian Hilbert H: Tìm phần tử x∗ ∈ Q ⊆ H cho A(x∗ ), x∗ − w ≤ 0, ∀w ∈ Q, (2.3) A : H → H ánh xạ đơn điệu, Q tập lồi đóng H A.B Bakushinskii đưa phương pháp lặp để giải toán (2.3) sau:  z ∈ H,  A(z ) + A (z )(z n n n+1 − zn ) + αn zn+1 , zn+1 − w ≤ 0, ∀w ∈ Q (2.4) Dựa sở phương pháp A.B Bakushinskii, để tìm nghiệm phương trình (2.1) A ánh xạ đơn điệu từ không gian Hilbert H vào H, A.B Bakushinskii A Smirnova (2007) chứng minh hội tụ mạnh phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich: z0 = x+ ∈ H, A(zn ) + A (zn )(zn+1 − zn ) + αn (zn+1 − x+ ) = fδ , (2.5) với việc sử dụng nguyên lý độ lệch suy rộng ≤ τ δ < A(zn ) − fδ , ≤ n < N = N (δ), (2.6) A (x) ≤ 1, A (x) − A (y) ≤ L x − y , ∀x, y ∈ H (2.7) A(zN ) − fδ điều kiện Nhận xét 2.1 Phương pháp (2.5) có ưu điểm bật tính chất tuyến tính Phương pháp công cụ quan trọng để giải toán (2.1) trường hợp A ánh xạ đơn điệu không gian Hilbert Tuy nhiên, ta thấy điều kiện (2.7) chặt cần khắc phục để phương pháp (2.5) áp dụng với lớp ánh xạ rộng Khi E không gian Banach, để giải phương trình (2.1) trường hợp thay cho f , ta biết xấp xỉ fδn ∈ E ∗ , thỏa mãn (2.2), δ thay δn , I.P Ryazantseva (1987, 2006) phát triển phương pháp (2.4) để đưa phương pháp hiệu chỉnh lặp: z0 ∈ E, A(zn ) + A (zn )(zn+1 − zn ) + αn J s (zn+1 ) = fδn (2.8) Sự hội tụ phương pháp (2.8) I.P Ryazantseva đưa với giả thiết E không gian Banach có tính chất ES, khơng gian đối ngẫu E ∗ 11 lồi chặt ánh xạ A thỏa mãn điều kiện A (x) ≤ ϕ( x ), ∀x ∈ E, (2.9) ϕ(t) hàm không âm không giảm Nhận xét 2.2 Ta thấy không gian lp Lp (Ω) (1 < p < +∞) khơng gian Banach có tính chất ES không gian đối ngẫu lồi chặt Tuy nhiên, phương pháp (2.8) sử dụng ánh xạ đối ngẫu J s làm thành phần hiệu chỉnh nên có nhược điểm giống phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov (0.3) nêu Để khắc phục hạn chế này, [3 ], đưa phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich sau: z0 ∈ E, A(zn ) + A (zn )(zn+1 − zn ) + αn B(zn+1 − x+ ) = fδn , (2.10) B ánh xạ tuyến tính đơn điệu mạnh Trước hết, để tìm nghiệm phương trình (2.1) trường hợp khơng có nhiễu cho f , ta có phương pháp lặp sau: z0 ∈ E, A(zn ) + A (zn )(zn+1 − zn ) + αn B(zn+1 − x+ ) = f (2.11) Sự hội tụ phương pháp (2.11) đưa định lí sau: Định lí 2.4 Cho E khơng gian Banach thực, phản xạ, B ánh xạ tuyến tính, mB -đơn điệu mạnh với D(B) = E, R(B) = E ∗ A ánh xạ đơn điệu, L-liên tục Lipschitz hai lần khả vi Fréchet E thỏa mãn điều kiện (2.9) Giả sử dãy {αn } điểm xuất phát z0 (2.11) thỏa mãn điều kiện sau: a) {αn } dãy đơn điệu giảm với < αn < tồn số σ > cho αn+1 ≥ σαn , với n = 0, 1, ; b) ϕ0 z0 − x0 ≤ q < 1, ϕ0 = ϕ(d + γ), 2mB σα0 d ≥ max (2.12) B(x+ − x∗ ) /mB + x∗ , L B(x+ − x∗ ) /m2B , số dương γ tìm từ bất đẳng thức 2mB σα0 /ϕ0 ≤ γ, x∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân x∗ ∈ S, B(x+ − x∗ ), x∗ − y ≥ 0, ∀y ∈ S (2.13) 12 x0 nghiệm phương trình sau với với n = 0: A(x) + αn B(x − x+ ) = f c) 2mB σ αn − αn+1 ≤ c(q − q ), c = αn3 ϕ0 d Khi đó, zn → x∗ , zn xác định (2.11) Bây giờ, ta có kết sau cho hội tụ phương pháp (2.10): Định lí 2.5 Cho khơng gian E ánh xạ A, B Định lí 2.4 fδn phần tử E ∗ thỏa mãn (2.2), δ thay δn Giả sử dãy {αn }, số thực d điểm xuất phát z0 (2.10) thỏa mãn điều kiện a), b) Định lí 2.4 c) mB σ δn m2B σ αn − αn+1 2 ≤ c1 (q − q ), c1 = , ≤ c2 (q − q ), c2 = (2.14) αn3 ϕ0 d αn2 ϕ0 Khi đó, zn → x∗ , zn xác định (2.10) Nhận xét 2.3 Ta thấy, (2.10) (2.11) tốn tuyến tính Việc đưa phương pháp khắc phục tính chất "phi tuyến" phương pháp trước để tìm nghiệm phương trình khơng chỉnh phi tuyến với ánh xạ đơn điệu không gian Banach Về hội tụ mạnh, phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich (2.8) áp dụng khơng gian Banach E có tính chất ES không gian đối ngẫu E ∗ lồi chặt, phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng NewtonKantorovich (2.10) (2.11) sử dụng khơng gian Banach thực phản xạ Tuy nhiên, phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich (2.10) (2.11) đòi hỏi điều kiện A ánh xạ liên tục Lipschitz 2.2 Hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi tuyến với tốn tử J-đơn điệu khơng gian Banach Xét tốn tìm nghiệm phương trình phi tuyến A(x) = f, f ∈ E, (2.15) 13 A ánh xạ J-đơn điệu khơng gian Banach E Giả sử tập nghiệm (2.15), ký hiệu S ∗ , khác rỗng thay cho f ta biết xấp xỉ fδ ∈ E thỏa mãn (2.2) Nếu A khơng có thêm tính chất J-đơn điệu mạnh J-đơn điệu tốn (2.15), nói chung, tốn đặt khơng chỉnh Một phương pháp sử dụng rộng rãi để giải toán (2.15) phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov (0.5) (xem trang 2) Tuy nhiên, A ánh xạ phi tuyến (0.5) tốn phi tuyến Để khắc phục hạn chế này, Ng Bường V.Q Hùng (2005) nghiên cứu hội tụ phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich sau để tìm nghiệm toán (2.15) trường hợp thay cho f ta biết xấp xỉ fδn ∈ E thỏa mãn điều kiện (2.2), δ thay δn : z0 ∈ E, A(zn ) + A (zn )(zn+1 − zn ) + αn (zn+1 − x+ ) = fδn (2.16) Sự hội tụ mạnh phương pháp (2.16) Ng Bường V Q Hùng đưa giả thiết E với không gian đối ngẫu E ∗ khơng gian lồi đều, E có tính chất xấp xỉ ánh xạ A thỏa mãn điều kiện A(x) − A(x∗ ) − J ∗ A (x∗ )∗ J(x − x∗ ) ≤ τ A(x) − A(x∗ ) , ∀x ∈ E (2.17) A (x∗ )v = x+ − x∗ , (2.18) τ số dương đó, x∗ ∈ S ∗ xác định (2.17), J ∗ ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc E ∗ v phần tử E Nhận xét 2.4 Ta thấy, (2.16) có ưu điểm tốn tuyến tính Tuy nhiên, hội tụ mạnh phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng NewtonKantorovich cần thỏa mãn điều kiện (2.17) (2.18) Đây điều kiện tương đối chặt chúng sử dụng đạo hàm Fréchet ánh xạ A nghiệm chưa biết x∗ Gần đây, [2 ], để giải phương trình (2.15), chứng minh hội tụ phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich sau: z0 ∈ E, A(zn ) + A (zn )(zn+1 − zn ) + αn (zn+1 − x+ ) = fδ , (2.19) 14 mà không cần sử dụng điều kiện (2.7), (2.17) (2.18) Các kết chứng minh dựa Định lí 1.17 Do đó, hội tụ mạnh phương pháp (2.19) không cần sử dụng giả thiết liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J Trước hết, xét phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich cho trường hợp khơng có nhiễu cho f : x0 ∈ E, A(xn ) + A (xn )(xn+1 − xn ) + αn (xn+1 − x+ ) = f (2.20) Định lí 2.7 Cho E không gian Banach thực, phản xạ, lồi chặt với chuẩn khả vi Gâteaux đều, A ánh xạ m-J-đơn điệu hai lần khả vi Fréchet E với điều kiện (2.9) Giả sử dãy {αn }, số thực d điểm xuất phát x0 thỏa mãn điều kiện sau: a) {αn } dãy đơn điệu giảm với < αn < tồn σ > cho αn+1 ≥ σαn , với n = 0, 1, ; b) ϕ0 x0 − xα0 ≤ q < 1, ϕ0 = ϕ(d + γ), 2σα0 số dương γ tìm từ bất đẳng thức 2σα0 /ϕ0 ≤ γ, d ≥ x∗ − x+ + x+ , (2.21) x∗ ∈ S ∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân (1.2) xα0 nghiệm phương trình sau với n = 0: A(x) + αn (x − x+ ) = f (2.22) c) αn − αn+1 q − q2 ϕ0 d ≤ ; c1 = αn c1 2σ Khi đó, xn → x∗ , xn xác định (2.20) Định lí 2.8 Cho khơng gian E ánh xạ A Định lí 2.7 Ánh xạ A thỏa mãn thêm tính chất L-liên tục Lipschitz Giả sử dãy {αn } thỏa mãn điều kiện a) Định lí 2.7 Số τ > (2.6) chọn cho ϕ˜ z0 − xα0 3dL ≤ q, < q < − , 2σα0 τ˜σ √ ϕ˜ = ϕ0 + 2L2 /˜ τ , τ˜ = ( τ − 1)2 , (2.23) 15 d xác định Định lí 2.7, số dương γ tìm từ bất đẳng thức (2.21) với ϕ0 thay ϕ˜ αn − αn+1 d 2Lσ + ≤ q αn2 τ˜ ϕ˜ ˜τ (2.24) ϕ˜ zn − xαn ≤ q, 2σαn (2.25) Khi đó, Với n = 0, 1, , N (δ), zn nghiệm (2.19) N (δ) chọn (2.6) lim zN (δ) − y = 0, y ∈ S ∗ Nếu N (δ) → ∞ δ → y = x∗ , δ→0 x∗ ∈ S ∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân (1.2) Nhận xét 2.5 Ngồi việc khơng cần sử dụng điều kiện (2.7), (2.17), (2.18) tính chất liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J, giả thiết không gian Banach E kết nhẹ so với kết Ng Bường V.Q Hùng (2005) Cụ thể, Định lí 2.7 Định lí 2.8, chúng tơi cần giả thiết E không gian phản xạ, lồi chặt với chuẩn khả vi Gâteaux thay E với khơng gian đối ngẫu E ∗ không gian lồi E có tính chất xấp xỉ kết N Bường V.Q Hùng Tuy nhiên, hội tụ mạnh phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich (2.19) cần bổ sung thêm điều kiện liên tục Lipschitz ánh xạ A 2.3 Ví dụ số xấp xỉ hữu hạn chiều cho phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich Để giải phương trình (2.1), ta sử dụng phương pháp hiệu chỉnh dạng Browder-Tikhonov (0.4) phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich (2.10) Tuy nhiên, để sử dụng (0.4) (2.10) cho việc giải tốn thực tế máy tính nhiệm vụ trước tiên phải xấp xỉ (0.4) (2.10) phương trình tương ứng không gian hữu hạn chiều Ng Bường (1996; 2001) đưa phương pháp xấp xỉ hữu hạn chiều cho nghiệm xδα (0.4) sau: An (x) + αBn (x − x+ ) = fnδ , (2.26) 16 với An = Pn∗ APn , Bn = Pn∗ BPn , fnδ = Pn∗ fδ , Pn phép chiếu tuyến tính từ E lên khơng gian En E thỏa mãn En ⊂ En+1 , với n, Pn ≤ c, với c số Pn∗ ánh xạ liên hợp Pn Ta có kết sau cho hội tụ dãy nghiệm {xδαn } (2.26) đến nghiệm xδα (0.4): Định lí 2.9 (Ng Bường, 2001) Giả sử Pn∗ BPn x → Bx, với x ∈ D(B) Điều kiện cần đủ để với α > fδ ∈ E ∗ , dãy nghiệm {xδαn } (2.26) hội tụ mạnh đến nghiệm xδα (0.4) Pn x → x n → ∞, với x ∈ E Áp dụng phương pháp (2.26) cho (2.10) với αn = α cố định, ta An (zn ) + An (zn )(zn+1 − zn ) + αBn (zn+1 − x+ ) = fnδn (2.27) Cho k(t, s) hàm số thực hai biến số liên tục, không suy biến khơng âm hình vng [a, b] × [a, b] thỏa mãn: tồn số q = 2, < q < ∞ cho b b |k(t, s)|q dsdt < +∞ a (2.28) a Khi đó, ánh xạ A xác định b k(t, s)x(s)ds, x(s) ∈ Lp [a, b], (Ax)(t) = (2.29) a 1 + =1 p q liên tục (S Banach, 1932) Vì k(t, s) hàm số liên tục không âm ánh xạ từ không gian Lp [a, b] vào không gian Lq [a, b] với hình vng [a, b] × [a, b] nên A ánh xạ đơn điệu Lp [a, b] Sau đây, chúng tơi trình bày việc áp dụng phương pháp (2.27) để giải phương trình tích phân kiểu Hammerstein sau: b (Ax)(t) = k(t, s)x(s)ds = f (t), (2.30) a với f (t) ∈ Lq [a, b] Giả sử nghiệm x(t) (2.30) hai lần khả vi Fréchet thỏa mãn điều kiện biên x(a) = x(b) = Lấy Bx(t) = x(t) − x (t), với x(t) ∈ D(B) bao đóng tất hàm C [a, b] theo metric Wq2 [a, b], thỏa mãn x(a) = x(b) = Cho {tn0 = a < tn1 < · · · < tnn = b} phân hoạch đoạn [a, b] Xấp xỉ không gian E dãy không gian tuyến tính En = L{ψ1 , ψ2 , , ψn }, ψi (t) = 1, t ∈ (tni−1 , tni ] 0, t ∈ / (tni−1 , tni ] 17 Chọn phép chiếu n x(tni )ψi (t) Pn x(t) = (2.31) i=1 Xét phương trình (2.30) với a = 0, b = 1, k(t, s) = |t − s| Rõ ràng 1 3/2 |k(t, s)| |t − s|3/2 dsdt < +∞ dsdt = 0 (2.32) Vì vậy, ta xét q = 3/2 p = Với nghiệm xác x∗ (s) = s(1 − s), ta tính f (t) = −(1/6)t4 + (1/3)t3 − (1/6)t + 1/12 Sau kết tính tốn với việc lấy x+ (t) = 2,22 fδn = f + δn , δn = 1/(1 + n)2 : Bảng 2.1 Kết tính tốn với α = 0,5 n zn+1 − x∗ n zn+1 − x∗ 0,2689666069 64 0,0424663883 0,1620043546 128 0,0298464819 16 0,1003942097 256 0,0230577881 32 0,0640826159 1024 0,0203963532 Bảng 2.2 Kết tính tốn với α = 0,1 n zn+1 − x∗ n zn+1 − x∗ 0,2600031372 64 0,0388129413 0,1534801504 128 0,0269295563 16 0,0936525099 256 0,0204623013 32 0,0591546836 1024 0,0176684288 Bảng 2.3 Kết tính tốn với α = 0,01 n zn+1 − x∗ n zn+1 − x∗ 0,1948813288 64 0,0295640389 0,1176798737 128 0,0196621910 16 0,0739066898 256 0,0138863679 32 0,0461148835 1024 0,0099425015 Qua kết trên, ta thấy, việc áp dụng phương pháp (2.27) cho kết hội tụ tới nghiệm phương trình (2.30) tốt Đặc biệt, với α nhỏ tiến tới zn+1 tiến gần tới nghiệm xác x∗ Chương Phương pháp lặp để tìm khơng điểm ánh xạ đơn điệu cực đại không gian Hilbert Chương trình bày cải biên phương pháp điểm gần kề mà chúng tơi đạt để tìm khơng điểm ánh xạ đơn điệu cực đại không gian Hilbert Nội dung chương trình bày dựa vào cơng trình [1 ] [4 ] danh mục cơng trình cơng bố 3.1 Bài tốn tìm khơng điểm ánh xạ đơn điệu cực đại • Mục giới thiệu tốn: Tìm phần tử p∗ ∈ H cho ∈ A(p∗ ), (3.1) H khơng gian Hilbert A : H → 2H ánh xạ đơn điệu cực đại • Một phương pháp đưa để tìm nghiệm tốn (3.1) phải kể đến phương pháp điểm gần kề (0.12) Tuy nhiên, phương pháp điểm gần kề (0.12) đạt hội tụ yếu mà không hội tụ mạnh khơng gian vơ hạn chiều Với mục đích đạt hội tụ mạnh, số cải biên phương pháp điểm gần kề đưa (xem Mục 1.3.2) Như Nhận xét 1.6 Mục 1.3.2, hội tụ mạnh cải biên chứng minh điều kiện dẫn tới dãy tham số ∞ tốn tử giải ánh xạ A khơng khả tổng, tức rk = +∞ k=1 • Để tìm p∗ ∈ H nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân p∗ ∈ C : F p∗ , p∗ − p ≤ 0, ∀p ∈ C, (3.2) với C = ZerA tập không điểm ánh xạ A, F ánh xạ L-liên tục Lipschitz η-đơn điệu mạnh H, S Wang (2012) đề xuất phương 19 pháp lặp: xk+1 = Jk [(I − tk F )xk + ek ], k ≥ 1, (3.3) Jk toán tử giải A ek vectơ sai số (xem Mục 1.3) Tác giả chứng minh hội tụ phương pháp (3.3) điều kiện (C0’) lim inf k→∞ rk > nêu Mục 1.3.2 Đây điều kiện dẫn tới dãy tham số {rk } toán tử giải ánh xạ A khơng khả tổng • Để trả lời câu hỏi phần Mở đầu (xem trang 4), mục tiếp theo, giới thiệu hai cải biên phương pháp điểm gần kề để tìm khơng điểm ánh xạ đơn điệu cực đại A không gian Hilbert H với hội tụ mạnh đưa điều kiện dãy tham số toán tử giải khả tổng, tức ∞ k=1 rk < +∞ Các cải biên thu trường hợp riêng mở rộng phương pháp (3.3) để tìm nghiệm toán bất đẳng thức biến phân (3.2) 3.2 Các cải biên phương pháp điểm gần kề với dãy tham số toán tử giải khả tổng Trong [1 ], đưa hai cải biên phương pháp điểm gần kề tương ứng với dãy {xk } {z k } xác định bởi: xk+1 = J k (tk u + (1 − tk )xk + ek ), k ≥ 1, (3.4) z k+1 = tk u + (1 − tk )J k z k + ek , k ≥ 1, (3.5) J k = J1 J2 · · · Jk hợp k toán tử giải Ji = (I + ri A)−1 , i = 1, 2, , k ánh xạ A Trước hết, đề xuất phương pháp lặp: xk+1 = J k [(I − tk F )xk + ek ], k ≥ 1, (3.6) để tìm nghiệm p∗ ∈ H toán bất đẳng thức biến phân (3.2) với C = ZerA, F : H → H ánh xạ η-đơn điệu mạnh γ-giả co chặt Sau đó, từ (3.6), cách chọn ánh xạ F thích hợp, chúng tơi thu phương pháp (3.4) (3.5) Ký hiệu |Ax| = inf{ y : y ∈ Ax}, x ∈ D(A) Gọi A0 ánh xạ xác định A0 x = {y ∈ Ax : y = |Ax|}, x ∈ D(A) Do A ánh xạ đơn điệu cực đại nên A0 ánh xạ đơn trị (Ya.I Alber I.P Ryazantseva, 2006) 20 Định lí 3.2 Cho A ánh xạ đơn điệu cực đại không gian Hilbert H thỏa mãn D(A) = H, C := ZerA = ∅, ánh xạ A0 giới nội, F ánh xạ η-đơn điệu mạnh γ-giả co chặt với η + γ > Giả sử tk , ri ek thỏa mãn điều kiện (C1), (C5’) (C0” ’) ri > 0, với i ≥ ∞ i=1 ri < +∞ Khi đó, dãy {xk }, xác định phương pháp (3.6), hội tụ mạnh tới phần tử p∗ k → ∞, p∗ nghiệm (3.2) Chú ý 3.1 Chú ý trình bày cách biến đổi chọn ánh xạ F để từ phương pháp (3.6) ta thu phương pháp (3.4) (3.5) Thật vậy, (3.6), đặt z k = (I − tk F )xk + ek , sau ký hiệu lại tk := tk+1 ek := ek+1 , ta thu z k+1 = (I − tk F )J k z k + ek (3.7) Tiếp theo, lấy F = I − f , f = aI + (1 − a)u, với a số cố định thuộc (0; 1) u điểm cố định thuộc H Với ánh xạ F chọn trên, (3.6) (3.7) tương ứng trở thành xk+1 = J k (tk (1 − a)u + (1 − tk (1 − a))xk + ek ), (3.8) z k+1 = tk (1 − a)u + (1 − tk (1 − a))J k z k + ek (3.9) Khi đó, (3.8) (3.9), ký hiệu lại tk := (1 − a)tk , ta thu phương pháp (3.4) (3.5) tương ứng Chú ý 3.2 Điều kiện dãy tham số toán tử giải khả tổng, tức điều kiện (C0” ’) thỏa mãn, dẫn tới limk→∞ rk = Kết mục gợi mở cho hướng nghiên cứu hội tụ mạnh cải biên phương pháp điểm gần kề điều kiện dãy tham số toán tử giải thỏa mãn limk→∞ rk = 3.3 Ví dụ số minh họa Xét tốn tối ưu lồi sau: tìm phần tử p∗ ∈ R2 cho f (p∗ ) = inf2 f (x) (3.10) x∈R Ta biết, f (x) phiếm hàm lồi, thường nửa liên tục vi phân ∂f ánh xạ đơn điệu cực đại toán (3.10) 21 tương đương với tốn tìm khơng điểm ∂f (H.H Bauschke P.L Combettes, 2017; R.T Rockafellar, 1966) Sau đây, ta áp dụng phương pháp (3.4) (3.5) để tìm nghiệm tốn (3.10) với hàm f (x) cho cụ thể sau:  0, x2 ≤ 1, f (x) = (3.11) x − 1, x > 2 Với r > 0, ta có  (x , x ), x2 ≤ 1, −1 (I + r∂f ) (x) = (x , x /(1 + r)), x > 1 2 (3.12) Lấy a = 1/2 u = (0; 2) Khi đó, nghiệm tốn (3.10) thỏa mãn bất đẳng thức biến phân (3.2) với A = ∂f p∗ = (0; 1) Sử dụng tk = 1/(k + 1), ri = 1/(i(i + 1)) ek = (0; 0), ta thu bảng kết sau: a) Trường hợp điểm xuất phát (2,0; 6,0): Bảng 3.1 Kết tính tốn áp dụng phương pháp (3.4) với thời gian tính tốn 2,745 giây k xk+1 xk+1 k xk+1 xk+1 2 1,5000000000 3,3333333333 2000 0,0504468881 0,9999996953 10 0,6727523804 0,9982716570 5000 0,0319113937 0,9999999357 20 0,4895426850 0,9997219609 8000 0,0252293542 0,9999999775 50 0,3152358030 0,9998464349 10000 0,0225661730 0,9999999803 100 0,2242781046 0,9999270505 12000 0,0206002179 0,9999999883 500 0,1007993740 0,9999960565 15000 0,0184255869 0,9999999946 1000 0,0713204022 0,9999986543 20000 0,0159571926 0,9999999954 Bảng 3.2 Kết tính tốn áp dụng phương pháp (3.5) với thời gian tính tốn 2,730 giây 22 k z1k+1 z2k+1 k z1k+1 z2k+1 1,5000000000 3,5000000000 2000 0,0504468881 1,0002497795 10 0,6727523804 1,0367234670 5000 0,0319113937 1,0000999281 20 0,4895426850 1,0225868918 8000 0,0252293542 1,0000624662 50 0,3152358030 1,0092381210 10000 0,0225661730 1,0000499833 100 0,2242781046 1,0048024836 12000 0,0206002179 1,0000416476 500 0,1007993740 1,0009925330 15000 0,0184255869 1,0000333306 1000 0,0713204022 1,0004981392 20000 0,0159571926 1,0000249980 b) Trường hợp điểm xuất phát (10; 20): Bảng 3.3 Kết tính tốn áp dụng phương pháp (3.4) với thời k xk+1 gian tính tốn 2,699 giây xk+1 k xk+1 xk+1 7,5000000000 10,3333333333 2000 0,2522344403 0,9999996174 10 3,3637619019 0,9837468002 5000 0,1595569687 0,9999999232 20 2,4477134250 0,9999068009 8000 0,1261467712 0,9999999725 50 1,5761790149 0,9997667170 10000 0,1128308650 0,9999999996 100 1,1213905229 0,9998979723 12000 0,1030010894 0,9999999861 500 0,5039968702 0,9999947597 15000 0,0921279346 0,9999999932 1000 0,3566020110 0,9999983305 20000 0,0797859628 0,9999999946 Bảng 3.4 Kết tính tốn áp dụng phương pháp (3.5) với thời gian tính tốn 2,683 giây k z1k+1 z2k+1 k z1k+1 z2k+1 7,5000000000 10,5000000000 2000 0,2522344403 1,0002497442 10 3,3637619019 1,0343656695 5000 0,1595569687 1,0000999239 20 2,4477134250 1,0224448516 8000 0,1261467712 1,0000624636 50 1,5761790149 1,0091958993 10000 0,1128308650 1,0000499805 100 1,1213905229 1,0047946859 12000 0,1030010894 1,0000416627 500 0,5039968702 1,0009920670 15000 0,0921279346 1,0000333302 1000 0,3566020110 1,0004979605 20000 0,0797859628 1,0000249977 Qua bảng trên, ta thấy, việc áp dụng phương pháp (3.4) (3.5) cho kết hội tụ tốt tới nghiệm toán (3.10) 23 KẾT LUẬN CHUNG Kết đạt luận án bao gồm: - Đưa chứng minh định lí hội tụ mạnh phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich để tìm nghiệm phương trình phi tuyến với ánh xạ đơn điệu khơng gian Banach - Đưa chứng minh định lí hội tụ mạnh phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich để tìm nghiệm phương trình phi tuyến với ánh xạ J-đơn điệu không gian Banach - Đưa chứng minh định lí hội tụ mạnh cải biên phương pháp điểm gần kề để tìm khơng điểm ánh xạ đơn điệu cực đại không gian Hilbert, với cách tiếp cận khác điều kiện dãy tham số tốn tử giải, hội tụ cải biên trước đưa giả thiết dãy tham số toán tử giải không khả tổng, hội tụ mạnh cải biên chứng minh giả thiết dãy tham số toán tử giải khả tổng Kiến nghị hướng nghiên cứu tiếp theo: • Tiếp tục nghiên cứu việc xấp xỉ hữu hạn chiều với dãy tham số hiệu chỉnh {αn } đánh giá tốc độ hội tụ tới nghiệm phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich đưa Chương để giải phương trình với tốn tử loại đơn điệu • Phát triển phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich đưa Chương để xây dựng phương pháp hiệu chỉnh giải hệ phương trình với tốn tử loại đơn điệu • Đánh giá tốc độ hội tụ tới nghiệm phương pháp lặp để tìm không điểm ánh xạ đơn điệu cực đại khơng gian Hilbert đạt Chương • Đề xuất nghiên cứu hội tụ phương pháp lặp để tìm khơng điểm ánh xạ loại đơn điệu không gian Hilbert không gian Banach 24 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ [1 ] Ng Buong, P.T.T Hoai, Ng.D Nguyen, Iterative methods for a class of variational inequalities in Hilbert spaces, J Fixed Point Theory Appl., 2017, 19 (4), 2383-2395 [2 ] Ng Buong, Ng.D Nguyen, Ng.T.T Thuy, Newton-Kantorovich iterative regularization and generalized discrepancy principle for nonlinear ill-posed equations involving accretive mappings, Russian Math (Iz VUZ), 2015, 59 (5), 32-37 [3 ] Ng.D Nguyen, Ng Buong, Regularization Newton-Kantorovich iterative method for nonlinear monotone ill-posed equations on Banach spaces, Kỷ yếu Hội thảo Quốc gia lần thứ XVIII: Một số vấn đề chọn lọc Công nghệ thông tin truyền thơng, thành phố Hồ Chí Minh, ngày 5-6 tháng 11 năm 2015, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, 2015, 278-281 [4 ] Ng.D Nguyễn, Kết số cho phương pháp lặp dạng NewtonKantorovich điểm gần kề giải phương trình với ánh xạ đơn điệu, Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Thái Nguyên, 2018, 178 (2), 145-150 ... số toán tử giải khả tổng, tức k=1 Chương Phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton- Kantorovich cho phương trình phi tuyến với tốn tử loại đơn điệu Chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton- Kantorovich. .. tìm khơng điểm ánh xạ đơn điệu cực đại không gian Hilbert Chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton- Kantorovich để giải phương trình tốn tử khơng chỉnh phi tuyến loại đơn điệu không gian... (0.10) Nội dung thứ luận án trình bày kết phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton- Kantorovich cho phương trình phi tuyến với tốn tử loại đơn điệu (đơn điệu J -đơn điệu) không gian Banach mà chúng tơi