skkn cuc tri hinh hoc 9

Để giải quyết các bài toán về cực trị trong hình học, người ta phải bằng các cách giải thông minh nhất, tìm ra các biện pháp hữu hiệu và phù hợp nhất với trình độ kiến thức ở bậc học THC[r]

A - ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong trường phổ thơng mơn Tốn có vị trí quan trọng Các kiến thức phương pháp Toán học công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt mơn học khác, hoạt động có hiệu lĩnh vực Đồng thời mơn Tốn cịn giúp học sinh phát triển lực phẩm chất trí tuệ; rèn luyện cho học sinh khả tư tích cực, độc lập, sáng tạo; giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức thẩm mỹ người cơng dân

Ở trường THCS, dạy học Tốn, với việc hình thành cho học sinh hệ thống vững khái niệm, định lí; việc dạy học giải tốn có tầm quan trọng đặc biệt vấn đề trung tâm phương pháp dạy học Toán trường phổ thơng Đối với học sinh THCS, coi việc giải tốn hình thức chủ yếu việc học tốn

Trong chương trình Tốn THCS tốn cực trị hình học đa dạng, phong phú có ý nghĩa quan trọng em học sinh bậc học Để giải toán cực trị hình học, người ta phải cách giải thơng minh nhất, tìm biện pháp hữu hiệu phù hợp với trình độ kiến thức bậc học THCS để giải quết toán loại Do đó, địi hỏi người học phải có cách suy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức cách logic có hệ thống

B - GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I - CƠ SỞ LÝ LUẬN

Các tốn cực trị hình học đa dạng, phong phú có ý nghĩa quan trọng em học sinh bậc học Để giải tập toán cực trị người ta phải cách giải thông minh nhất, tìm biện pháp hữu hiệu phù hợp với trình độ kiến thức bậc học THCS để giải quết tập toán loại

Đây dạng tốn hình học sử dụng chương trình hình học THCS Tuy nhiên sách giáo khoa lại khơng hướng dẫn phương pháp giải tốn cách cụ thể, học sinh thường lúng túng gặp dạng toán

Các toán cực trị gắn tốn học với thực tiễn việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ việc tìm tối ưu thường đặt đời sống kỹ thuật

Do đó, việc giải tập tốn cực trị hình học THCS địi hỏi người học phải có cách suy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ cách logic có hệ thống

Trong đa số học sinh trường THCS n Lâm khơng có hứng thú với loại toán lẽ, hầu hết em học sinh cảm thấy khó khăn gặp tập tốn cực trị hình học khơng biết vận dụng để giải tập khác

II - THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ

trình dạy để kiểm tra việc thực hành ứng dụng học sinh tơi đưa số ví dụ đa số học sinh làm

Trong trình dạy bồi dưỡng học sinh lớp 9, thân tơi tìm hiểu nhiều tài liệu nhận thấy dạng toán tương đối khó, nhiên phần nhiều tài liệu đưa tập giải đề cập đến lý thuyết học sinh giải dạng tốn khơng hiểu đề, khơng tìm lời giải có đơn giản khơng trình bày giải

Qua nhiều biện pháp điều tra việc giải toán cực trị hình học hai lớp 9A 9B, kết cụ thể thu sau:

Lớp Tổng số Giỏi Khá TB Yếu-

SL % SL % SL % SL %

9AB 72 03 4,2 08 11,1 37 51,4 24 33,3

III - CÁC BIỆN PHÁP VÀ GIẢI PHÁP THỰC HIỆN AIII - Phương pháp giải tốn cực trị hình học:

1 - Dạng chung tốn cực trị hình học:

“Trong tất hình có chung tính chất, tìm hình mà đại lượng ( độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số đo diện tích …) có giá trị lớn giá trị nhỏ nhất.” cho dạng:

a) Bài tốn dựng hình

Ví dụ: Cho đường tròn (O) điểm P nằm đường trịn, xác định vị trí dây qua điểm P cho dây có độ dài nhỏ

b) Bài toán vể chứng minh

c) Bài tốn tính tốn

Ví dụ: Cho đường tròn (O;R) điểm P nằm đường trịn có OP = h Tính độ dài nhỏ dây qua P

- Hướng giải tốn cực trị hình học:

a) Khi tìm vị trí hình H miền D cho biểu thức f có giá trị lớn nhất ta phải chứng tỏ được:

+ Với vị trí hình H miền D f ≤ m ( m số ) + Xác định vị trí hình H miền D cho f = m

b) Khi tìm vị trí hình H miền D cho biểu thức f có giá trị nhỏ nhất ta phải chứng tỏ được:

+ Với vị trí hình H miền D f ≥ m ( m số ) + Xác định vị trí hình H miền D để f = m

- Cách trình bày lời giải tốn cực trị hình học:

+ Cách 1: Trong hình có tính chất đề bài,chỉ hình chứng minh hình khác có giá trị đại lượng phải tìm cực trị nhỏ ( lớn ) giá trị đại lượng hình

+ Cách 2: Thay điều kiện đại lượng đạt cực trị (lớn nhỏ nhất) điều kiện tương đương, cuối dẫn đến điều kiện mà ta xác định vị trí điểm đạt cực trị

Ví dụ: Cho đường tròn (O) điểm P nằm đường trịn( P khơng trùng với O) Xác định vị trí dây qua điểm P cho dây có độ dài nhỏ Giải:

+ Cách 1:

Gọi AB dây vng góc với OP P, dây CD

là dây qua P không trùng với AB ( h.1) H O C

D

A

B H C

h.4

a Kẻ OH  CD

OHP vuông H  OH < OP  CD > AB

Như tất dây qua P, dây vng góc với OP P có độ dài nhỏ

+ Cách 2:

Xét dây AB qua P ( h.2) Kẻ OH  AB Theo liên hệ dây khoảng cách đến tâm: AB nhỏ  OH lớn

Ta lại có OH ≤ OP  OH = OP  H ≡ P Do đó, max OH = OP

Khi dây AB vng góc với OP P

BIII - Các kiến thức thường dùng giải tốn cực trị hình học:

1- Sử dụng quan hệ đường vng góc, đường xiên, hình chiếu : a - Kiến thức cần nhớ:

a1) ( h.3 ) ABC vng A (có thể suy biến thành đoạn thẳng)  AB ≤ BC dấu “=” xảy  A ≡ C

a2) ( h.4 ) + AH  a  AH ≤ AB Dấu “=” xảy  B ≡ H

+ AB < AC  HB < HC

a3) ( h.5 ) A, K a; B, H  b; a // b; HK  a  HK ≤ AB

và dấu “=” xảy  A ≡ K B ≡ H A

B

C

h.3

H O A

B

P

h

A

B H

K a

b

b - Các ví dụ:

Ví dụ 1: Trong hình bình hành có hai đường chéo cm cm, hình có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn

Giải:

Xét hình bình hành ABCD có AC = cm; BD = cm ( h.6) Gọi O giao điểm hai đường chéo Kẻ BH  AC

Ta có: SABCD = 2SABC = AC.BH

Ta có AC = 8cm, BH ≤ BO = 3cm Do đó: SABCD ≤ 8.3 = 24 (cm2)

SABCD = 24 cm2 BH ≡ BO  H ≡ O  BD AC

Vậy max SABCD = 24 cm2 Khi hình bình hành ABCD hình thoi (h.7) có

diện tích 24cm2.

Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a Vẽ phía AB tia Ax By vng góc với AB Qua trung điểm M AB có hai đường thẳng thay đổi ln vng góc với cắt Ax, By theo thứ tự C D Xác định vị trí điểm C, D cho tam giác MCD có diện tích nhỏ Tính diện tích tam giác

Giải: (h.8)

Gọi K giao điểm CM DB

Ta có: MA = MB; A B 90   0, AMC BMK 

MAC = MBK  MC = MK Mặt khác DM  CK

A

C

D B

O

H A

B

C D

O≡H

DCK cân  D 1D Kẻ MH  CD

MHD = MBD  MH = MB = a  SMCD =

1

2CD.MH ≥

2AB.MH =

2 2a.a = a2

SMCD = a2  CD  Ax AMC = 450;



BMD = 450  SMCD = a2

Vậy điểm C, D xác định Ax; By cho AC = BC = a

2- Sử dụng quan hệ đường thẳng đường gấp khúc : a - Kiến thức cần nhớ:

Với ba điểm A, B, C ta có: AC + CB ≥ AB AC + CB = AB  C thuộc đoạn thẳng AB

b - Các ví dụ:

Ví dụ 3: Cho gócxOy điểm A nằm góc Xác định điểm B thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy cho OB = OC tổng AB + AC nhỏ

Giải: (h.9)

Kẻ tia Om nằm ngồi góc xOy cho

 

yOm xOA Trên tia Om lấy điểm D sao

cho OD = OA Các điểm D A cố định OD = OA, OC = OB, COD BOA 

h.9

O

x A

B C

D m

y C

A B

K H

D

M

1 y x

DOC = AOB  CD = AB Do AC + AB = AC + CD

Mà AC + CD ≥ AD  AC + AB ≥ AD Xảy đẳng thức C  AD

Vậy min(AC + AB) = AD Khi C giao điểm AD Oy, B thuộc tia Ox cho OB = OC

Ví dụ 4: Cho hình chữ nhật ABCD điểm E thuộc cạnh AD Xác định vị trí điểm F thuộc cạnh AB, G thuộc cạnh BC, H thuộc cạnh CD cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ

Giải:

Gọi I, K, L theo thứ tự trung điểm EF, EG, EH (h.10) AEF vng A có AI trung tuyến  AI =1/2EF

CGH vng C có CM trung tuyến  CM =1/2GH IK đường trung bình EFG  IK = 1/2FG

KM đường trung bình EGH  KM = 1/2EH

Do đó: chu vi EFGH = EF + FG + GH + EH = 2(AI + IK + KM + MC) Ta lại có: AI + IK + KM + MC ≥ AC

Suy chu vi EFGH ≥ 2AC ( độ dài AC không đổi )

Chu vi EFGH nhỏ 2AC  A, I, K, M, C thẳng hàng

Khi ta có EH//AC, FG//AC, AEI EAI ADB   nên EF//DB, tương tự

GH//DB Suy tứ giác EFGH hình bình hành có cạnh song song với đường chéo hình chữ nhật ABCD (h.11)

A E

D

F B

C G

H I

K

M

h.12

A E

D

F B

C G

H I

K

M

h.10

A E

D

F B

C G H

I

K M

3- Sử dụng bất đẳng thức đường tròn : a - Kiến thức cần nhớ:

a1) AB đường kính, CD dây  CD ≤ AB (h.14)

a2) OH,OK khoảng cách từ tâm đến dây AB CD:

AB ≥ CD  OH ≤ OK (h.15)

a3) AB, CD cung nhỏ (O): AB ≥ CD  AOB COD  (h.16)

a4) AB, CD cung nhỏ (O): AB ≥ CD  AB CD  (h.17)

b - Các ví dụ:

Ví dụ 5: Cho hai đường trịn (O) (O’) cắt A B cát tuyến chung CBD (B nằm C D) cắt đường tròn (O) (O’) C D Xác định vị trí cát tuyến CBD để ACD có chu vi lớn

Giải: (h.16) sđC =

1

2sđAmB ; sđ D =

2sđ AnB  số đo góc ACD khơng đổi

 ACD có chu vi lớn cạnh lớn nhất, chẳng hạn AC lớn AC dây đường tròn (O), AC lớn AC đường kính

đường trịn (O), AD đường kính đường trịn (O’) Cát tuyến CBD vị trí C’BD’ vng góc với dây chung AB

h.12 h.13 h.14 h.15

C

D

A O B O

A

O B

C

D

D

A

B

A

B C

D D

H

K

h.16

A

B C

D

D’ C’

O n O’

m C

Ví dụ 6: Cho đường trịn (O) điểm P nằm đường tròn Xác định dây AB qua P choOAB có giá trị lớn

Giải: (h.17)

Xét tam giác cân OAB, góc đáy OAB lớn  góc đỉnh AOB nhỏ Mà:



AOB



sđAB

 Góc AOB nhỏ  CungAB nhỏ

 dây AB nhỏ  Khoảng cách đến tâm OH lớn

Ta có: OH ≤ OP  OH = OP  H ≡ P nên max OH = OP  AB OP Suy dây AB phải xác định dây A’B’ vng góc với OP P

4- Sử dụng bất đẳng thức lũy thừa bậc hai : a - Kiến thức cần nhớ:

Các bất đẳng thức lũy thừa bậc hai sử dụng dạng: A2 ≥ 0;

A2 ≤ Do với m số, ta có:

f = A2 + m ≥ m; f = m với A = 0

f =  A2 + m ≤ m; max f = m với A = b - Các ví dụ:

Ví dụ 7: Cho hình vng ABCD có cạnh 4cm Trên cạnh AB, BC, CD, DA, lấy theo thứ tự điểm E, F, G, H cho AE = BF = CG = DH Tính độ dài AE cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ

Giải: (h.18)

O

A B

P P H A’

B’

A’

h.17

AHE = BEF = CFG = DGH  HE = EF = FG = GH, HEF = 900

 HEFG hình vng nên chu vi EFGH nhỏ HE nhỏ

Đặt AE = x HA = EB = 4-x HAE vng A nên :

HE 2 = AE2 + AE2 = x2 + (4  x)2

= 2x2 8x +16 = 2(x  2)2 + ≥ 8

HE = = 2  x =

Chu vi tứ giác EFGH nhỏ 2cm, AE = cm

Ví dụ 8: Cho tam giác vng ABC có độ dài cạnh góc vng AB = cm, AC = 8cm.M điểm di chuyển cạnh huyền BC Gọi D E chân đường vng góc kẻ từ M đến AB AC Tính diện tích lớn tứ giác ADME Giải: (h.19)

ADME hình chữ nhật Đặt AD = x ME = x ME //AB 

EM CE x CE

CE x

AB CA    3

 AE =  3x.

Ta có: SADME = AD.AE = x (8 

3 x ) = 8x  x2 =



3(x  3)2 +12 ≤ 12

SADME = 12 cm2  x =

Diện tích lớn tứ giác ADME 12 cm2 ,khi D trung điểm

của AB, M trung điểm BC E trung điểm AC H

A B

C D

E

F

G

x

4-x

4-x

h.18

h. 1 9

A

B

D x 8-x E M

5- Sử dụng bất đẳng thức Cô-si : a-Kiến thức cần nhớ:

Bất đẳng thức Cô-si: Với x ≥ 0; y ≥ ta có:

x y

xy

 

Dấu “=” xảy x = y Bất đẳng thức Cô-si thường sử dụng dạng sau:

+ Dạng 1:

 2

2 x y

x y xy

2



  

Dấu “=” xảy x = y

+ Dạng 2:

x y2 xy    ;   xy x y    ;

 2 2 x y x y     ;   2

x y

2 x y



 



Dấu “=” xảy x = y

+ Dạng 3: Với x ≥ 0; y ≥ 0; x + y khơng đổi xy lớn x = y + Dạng 4: Với x ≥ 0; y ≥ 0; xy khơng đổi x+y nhỏ x = y

b - Các ví dụ:

Ví dụ 9: Cho đoạn thẳng AB, điểm M di chuyển đoạn thẳng Vẽ đường trịn có đường kính MA MB Xác định vị trí điểm M để tổng diện tích hai hình trịn có giá trị nhỏ

nhất

Giải: (h.20) Đặt MA = x, MB = y

Ta có: x + y =AB (0 < x, y < AB) Gọi S S’ theo thứ tự diện tích

của hình trịn có đường kính MA MB

 

O O’

A M B

x y

Ta có: S + S’ = 2 x y 2              = . 2 x y 

Ta có bất đẳng thức:

 2

2 x y

x y

2



 

nên :

S + S’

x y2   = AB 

Dấu đẳng thức xảy x = y Do (S+S’) =

2 AB

8



Khi M trung điểm AB

Ví dụ 10: Cho ABC, điểm M di động cạnh BC Qua M kẻ đường thẳng song song với AC với AB, chúng cắt AB AC theo thứ tự D E Xác định vị trí điểm M cho hình bình hành ADME có diện tích lớn

Giải: (h.21)

SADME lớn  ADME

ABC S

S lớn

Kẻ BK  AC cắt MD H SADME = MD HK; SABC =

1

2AC BK ADME

ABC

S MD HK

2

S  AC BK

Đặt MB = x, MC = y, MD//AC ta có:

MD BM x

AC BC x y ;

HK MC y

BK BC x y

Theo bất đẳng thức   xy x y       ADME ABC

S 2xy

S  x y 2

Dấu đẳng thức xảy x = y

A

B x M y C

D K

H E

1

Vậy maxSADME =

2 SABC M trung điểm BC.

6- Sử dụng tỉ số lượng giác : a - Kiến thức cần nhớ:

Hệ thức cạnh góc tam giác vng + b = a.sinB = a.cosC

+ b = c.tgB = c.cotgC b - Các ví dụ:

Ví dụ 11: Chứng minh tam giác cân có diện tích tam giác có cạnh đáy nhỏ hơnlà tam giác có góc

đỉnh nhỏ Giải: (h.23)

Xét tam giác ABC cân A có diện tích S Kẻ đường cao AH Đặt BAC = 

AHC vng H, ta có :



HAC

 

; AH = HC.cotg



=

1

2BC.cotg



Do đó: S =

1

2BC.AH = BC.

1

2BC.cotg



=

1

4BC2cotg



 BC =

4S

2 S.t g cot g   

Do S không đổi nên: BC nhỏ  tg2



nhỏ 



nhỏ  nhỏ  BAC nhỏ

A B C a c b h.22 h.23 A

Ví dụ 12: Cho hình chữ nhật ABCD Trên cạnh BC,CD lấy điểm K,M cho BK : KC = : 1, CM : MD = : Tìm tỉ số AB : BC để số đo góc KAM lớn

(Cho cơng thức biến đổi tg(x + y) =

t gx t gy 1 t gx.t gy



 )

Giải: (h.24)

Đặt BAK x  , DAM y  ( x + y < 900 )



KAMlớn  BAK + DAM nhỏ  x + y nhỏ  tg (x + y) nhỏ Giả sử AB : BC = 1: m ( m> 0)

tg x =

BK BK BC 4m

AB BC AB

tg y =

DM DM DC

AD DC AD 5m

tg(x + y) =

t gx t gy t gx.t gy



 =

4m 4m

:

5 5m 5m

             = 25 21 4m 5m       

tg (x + y) nhỏ 

4m

5 5m nhỏ

Theo bất đẳng thức Cơ-si ta có:

4m 5m ≥

4m

2

5 5m 5

Dấu đẳng thức xảy 

4m

5 5m  m =

Vậy x + y nhỏ m =

1

Do KAM lớn AB : BC = :

A B

C D MM

K x

y

CIII - Bài tập ôn luyện:

Bài 1: Cho hình vng ABCD Hãy xác định đường thẳng d qua tâm hình vng cho tổng khoảng cách từ bốn đỉnh hình vng đến đường thẳng là:

a) Lớn b) Nhỏ

Bài 2: Cho ABC vuông cân A điểm D, E theo thứ tự di chuyển cạnh AB, AC cho BD = AE Xác định vị trí điểm D, E cho:

a) DE có độ dài nhỏ

b) Tứ giác BDEC có diện tích lớn

Bài 3: Cho  ABC vng A có BC = a, diện tích S Gọi M trung điểm BC Hai dường thẳng thay đổi qua M vng góc với cắt cạnh AB, AC D, E Tìm:

a, Giá trị nhỏ đoạn thẳng DE b, Giá trị nhỏ diện tích  MDE

Bài 4: Cho điểm M di chuyển đoạn thẳng AB Vẽ tam giác đềuAMC BMD phía AB Xác định vị trí M để tổng diện tích hai tam giác nhỏ

Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC có cạnh a, b, c tương ứng đường cao AH = h Hãy dựng hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác ABC cho có diện tích lớn Biết MAB; NAC; P, Q BC

Bài 6: Cho  ABC vuông A Từ điểm I nằm tam giác ta kẻ IMBC, INAC, IK AB Tìm vị trí I cho tổng IM2 + IN2 + IK2 nhỏ

Tìm vị trí I cho tổng x2 + y2 + z2 nhỏ nhất.

Bài 8: Cho nửa đường trịn đường kính AB = 10cm Một dây CD = 6cm có hai đầu di chuyển nửa đường tròn Gọi E F theo thứ tự hình chiếu A B CD Tính diện tích lớn tứ giác ABFE

Bài 9: Cho hình vng ABCD cạnh a Vẽ cung BD tâm A bán kính a (nằm hình vng) Một tiếp tuyến với cung cắt BC, CD theo thứ tự M N Tính độ dài nhỏ MN

Bài 10: Cho hai đường trịn (O) (O’) tiếp xúc ngồi A Qua A vẽ hai tia vng góc với nhau, chúng cắt đường tròn (O), (O’) B C Xác định vị trí tia để  ABC có diện tích lớn

Bài 11: Cho đường trịn (O;R) đường kính BC, A điểm di động đường tròn Vẽ tam giác ABM có A M nằm phía BC Gọi H chân đường vng góc kẻ từ C xuống MB Gọi D, E , F, G theo thứ tự trung điểm OC, CM, MH, OH Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác DEFG đạt giá trị lớn

Bài 12: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) D điểm thuộc cung BC không chứa A không trùng với B, C Gọi H, I, K theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ D đến đường thẳng BC, AC, AB

Đặt BC = a, AC = b, AB = c, DH = x, DI = y, DK = z a) Chứng minh rằng:

b c a y z x

b) Tìm vị trí điểm D để tổng

a b c

x y z nhỏ nhất.

Bài 13: Cho ABC nhọn, điểm M di chuyển cạnh BC Gọi P, Q hình chiếu M AB, AC Xác định vị trí điểm M để PQ có độ dài nhỏ

Bài 15: Cho đường tròn (O;R) Trong đường tròn (O) vẽ hai đường tròn (O1) (O2) tiếp xúc tiếp xúc với (O) bán kính

đường trịn (O2) gấp đơi bán kính đường trịn (O1) Tìm giá trị nhỏ diện

tích phần hình trịn (O) nằm ngồi hình trịn (O1) và(O2)

IV HIỆU QUẢ ÁP DỤNG

Sau áp dụng hướng dẫn học sinh giải tập tốn cực trị hình học, thực tế em trọng giải, khơng lúng túng, khó khăn trước

Kết thu sau áp dụng đề tài thể bảng sau:

Lớp Tổng số Giỏi Khá TB Yếu-

SL % SL % SL % SL %

9AB 72 06 8,3 18 25,0 48 66,7 0

C KẾT LUẬN

Qua thực tế giảng dạy nhận thấy đề tài áp dụng cho việc dạy tự chọn bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh tiếp thu tốt có hiệu em ham thích mơn Tốn có khiếu học Tốn sử dụng tài liệu để tự học, tự nghiên cứu Học sinh có hứng thú, tự tin học Toán

Sau thực giảng dạy phần “ Bài tốn cực trị hình học 9” theo nội dung đề tài kết mà thu kết khả quan:

quan, kích thích đam mê học tốn nói chung say mê giải toán cực trị nói riêng

Phát huy tính tự giác rèn luyện khả tư tích cực độc lập, sáng tạo học sinh thơng qua hoạt động giải tốn học

Giúp học sinh thêm gần gũi với kíên thức thực tế đời sống, rèn luyện nếp nghĩ khoa học, mong muốn làm công việc đạt hiệu cao nhât, tốt

Với đề tài “ Hướng dẫn học sinh lớp giải tốn cực trị hình học” Tơi hệ thống số dạng tốn cực trị hình học Trong dạy tơi có đưa sở lí thuyết ví dụ ví dụ có gợi ý hướng dẫn học sinh cách giải ý cần thiết để gặp ví dụ khác em giải

D.TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách Giáo khoa Toán 7, 8,  Nhà xuất Giáo dục

2 – Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh Toán 8, Nhà xuất Giáo dục 3– Nâng cao phát triển Toán 8, Nhà xuất Giáo dục

4 Các toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hình học phẳng THCS  Vũ Hữu Bình (chủ biên)  Nhà xuất Giáo dục