Mot so cau hoi tiep tuyen do thi ham so

Kiểm nghiệm rằng các tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. Giải hệ tìm được.[r]

Một số câu hỏi tiếp tuyến đồ thị hàm số PHẦN I: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

Cho hàm số: y = f(x) có đồ thị (C), điểm Mo(xo ; f(xo))  (C) 1) Ý nghĩa hình học đạo hàm:

Đạo hàm hàm số y = f(x) điểm xo hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm Mo(xo ; f(xo))

2) Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm Mo(xo ; f(xo)) là:

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm điểm xo tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm Mo(xo ; f(xo)) có phương trình là:

0 0

'( ).( ) ( )

yf x x x  f x

3) Điều kiện để hai đồ thị hàm số tiếp xúc nhau:

a) Định nghĩa: Giả sử hai hàm số f g có đạo hàm điểm x0 Ta nói hai đường cong yf x( ) y g x ( ) tiếp xúc với điểm M x y( ; )0 M điểm chung chúng hai

đường cong có tiếp tuyến chung M Điểm M gọi tiếp điểm hai đường cong cho

b) Điều kiện để hai đồ thị tiếp xúc nhau:

Hai đường cong yf x( ) y g x ( ) tiếp xúc với

chỉ hệ phương trình sau có nghiệm:

( ) ( )

'( ) '( )

f x g x f x g x

 



 

( Nghiệm hệ phương trình hồnh độ tiếp điểm) PHẦN II: số dạng bản

Bài toán 1: ( Biết tọa độ tiếp điểm)

Cách giải: +) Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) có dạng:

0 0

'( ).( ) ( )

yf x x x  f x

+) Tính f x'( ) tính f x'( )0

+) Viết phương trình tiếp tuyến cần lập Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hàm số y x 3 x2 (C)

Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm A(0; 2) Bài giải:

Ta thấy A(0;2)  (C)

Ta có: y' 3 x2  ; y'(0)1

Phương trình tiếp tuyến cần lập là: y x2 Ví dụ 2: Cho hàm số y x 3 6x29x, có đồ thị (C)

Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm đồ thị có hồnh độ x =

Bài giải:

Gọi điểm

( ; ) ( )

2

M x y C

y x

 

 



 

Ta có: y' 3 x2  12x ; y'(2)3 Phương trình tiếp tuyến cần lập là:

3( 2)

y x   y  x

Ví dụ 3: Cho hàm số

2

x x y

x

 

 

Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số giao điểm đồ thị với trục hoành

Hoành độ giao điểm đồ thị với trục hoành nghiệm

phương trình:

2

0

x x x

 

 

0

x x

 

  



Ta có:

2

2

'

( 1)

x x y

x

  





1 '(0) 1; '(1)

2

y  y 

Các phương trình tiếp tuyến cần lập là: y x

1

2

y  x

Nhận xét: Khi viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số dạng cần kiểm tra xem điểm cho thuộc đồ thị hàm số chưa?

Nếu cho hồnh độ điểm phải tìm tung độ cịn cho tung độ phải tìm hồnh độ

Bài tập tương tự:

1) Cho hàm số y x 3 3x2

Viết phương trinh tiếp tuyến đồ thị điểm đồ thị có tung độ y = - 4

2) Cho hàm số y  x32x2 

Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm tâm dối xứng đồ thị hàm số

3) Cho hàm số y x  2x2 1

Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm cực đại đồ thị hàm số

Bài toán 2: ( Biết hệ số góc)

Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết hệ số góc k Cách giải: +) Tính y'f x'( )

+) Hoành độ tiếp điểm x0 nghiệm phương trình:

0 '( )

f x k

+) Giải phương trình tìm x0, từ tìm , từ tìm y0 f x 0

+) Viết phương trình tiếp tuyến cần lập: y k x x (  0)y0

Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hàm số

2

1

x y

x

 



Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y 3x1

Bài giải:

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y 3x1 nên có hệ số góc là: k = -3

Ta có

3 '

( 1)

y x

 

 ;  x 1

Hoành độ tiếp điểm x0 nghiệm phương trình:

3 (x 1)



 

0

0

0

( 1)

2

x x

x

 

    

 

Với x0 =  y0 y(0)1, phương trình tiếp tuyến cần lập là:

3

y x

Với x0 = y0 y(2) 5 , phương trình tiếp tuyến cần lập là:

3( 2) 11

Ví dụ 2: Cho hàm số

3

1

2

3

y  x  x  x

Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến

vng góc với đường thẳng

1

y x

Bài giải:

Vì tiếp tuyến vng góc với đường thẳng

1

y x

nên có hệ số góc k =

Ta có: y'x2  4x3

Hồnh độ tiếp điểm x0 nghiệm phương trình: x2  4x 3

2 4 0

4

x x x

x

 

    

 

Với x0  0 y0 0, phương trình tiếp tuyến cần lập là: y3x

Với x0 =

4

y

 

, phương trình tiếp tuyến cần lập là:

4

3( 4)

3

y x 

hay

32

3

y x

Ví dụ 3: Cho hàm số

3

1

3

y x  x

Tìm đồ thị điểm mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng

1

3

y x

Bài giải:

Ta có y'x2 

Hoành độ tiếp điểm x0 nghiệm phương trình:

0

0

0

2

x x

x

 

   

 

Với x = -2, ta có y = Với x = 2, ta có

4

y 

Vậy có hai điểm cần tìm:

4 ( 2;0); (2; )

3 

Ví dụ 4: Cho hàm số: y 2x33x2 

Tìm đồ thị điểm mà hệ số góc tiếp tuyến đạt giá trị nhỏ Bài giải:

Ta có y' 6 x26x

=

2

6

4

x x

 

  

 

 

=

2

1 3

2 2

x

 

  

 

 

Vậy hệ số góc tiếp tuyến đồ thị cho nhỏ

3 

đạt

1

x

Điểm cần tìm là:

1

;

2

 

 

 

 

Nhận xét: Dựa vào toán tiếp tuyến biết hệ số góc ta tìm tiếp điểm của đồ thị hàm số với tiếp tuyến

1) Cho hàm số y x 3 3x22

Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y 3x 13

2) Cho hàm số

3

1

y  x  x

Trong tất tiếp tuyến đồ thị hàm số tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ

3) Cho hàm số

3

1

2

3

y  x  x  x

Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm tâm đối xứng đồ thị chứng minh tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ

Bài tốn 3: (Biết qua điểm)

Cho hàm số y f x( ), viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua điểm M x y( ; )1

Cách giải:

Cách 1: (Dùng điều kiện tiếp xúc)

+) Lập phương trình đường thẳng d qua điểm M x y( ; )1

và có hệ số góc k : y k x x (  1) y1

+) Đường thẳng d tiếp tuyến đồ thị hàm số

khi hệ phương trình sau có nghiệm:

1

( ) ( )

'( )

f x k x x y f x k

  

 

 

+) Giải hệ phương trình tìm x k suy phương trình tiếp tuyến

(Nghiệm x hệ hồnh độ tiếp điểm) Cách 2:

Thì phương trình tiếp tuyến có dạng: y f x'( ).(0 x x 0) f x( )0

+) Vì tiếp tuyến qua điểm M x y( ; )1 nên ta có:

1 '( ).(0 0) ( )0

y f x x  x  f x

+) Giải phương trình tìm x0  f x( )0 suy phương

trình tiếp tuyến cần lập Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hàm số y x  3x2 2 Viết phương trình đồ thị hàm số qua điểm A( 1; 0)

Bài giải:

Đường thẳng d qua điểm A( 1; 0), hệ số góc k phương trình có dạng: y k x (  1)

Đường thẳng d tiếp tuyến đồ thị hàm số hệ

phương trình sau có nghiệm:

3

2

3 ( 1)

3

x x k x x x k

    

 

 

 

Thế k từ phương trình (2) vào phương trình (1) ta được:

3 2

2

3 (3 ).( 1)

( 1).(2 2)

1

x x x x x x x x

x

    

    

 

Với x = 1, ta k = -

Vậy phương trình tiếp tuyến cần lập là: y3x3

Nhận xét: Thấy A( 1; 0) thuộc đồ thị hàm số nên hệ phương trình ln có nghiệm x =

Ví dụ 2: Cho hàm số y x  3x

Đường thẳng d qua điểm M( - 1; 2), hệ số góc k có phương trình là: y k x ( 1) 2

Đường thẳng d tiếp tuyến đồ thị hàm số  hệ phương trình

sau có nghiệm:

3

3 ( 1)

3

x x k x x k

    

 

 

 

Giải hệ tìm : x1,k 0

1

,

2

x k 

Vậy phương trình tiếp tuyến cần lập là:

2

9

4

y

y x

  

  



Ví dụ 3: Cho hàm số y2x33x2  12x

Tìm điểm M đồ thị hàm số cho tiếp tuyến đồ thị hàm M qua gốc tọa độ

Bài giải:

Đường thẳng d qua gốc 0(0; 0), hệ số góc k phương trình có dạng: y kx

Đường thẳng d tiếp tuyến đồ thị hàm số  hệ phương trình

sau có nghiệm:

3

2

2 12

6 12

x x x kx x x k

    

 

  





Giải hệ tìm x 1 yf( 1) 12  Vậy điểm cần tìm là: M ( 1;12)

Ví dụ 4: Cho hàm số y x  x2 1

Bài giải:

Gọi điểm M(0; )b oy

Đường thẳng qua điểm M, hệ số góc k phương trình có dạng: y kx b 

Đường thẳng tiếp tuyến  hệ phương trình sau có nghiệm:

4

3

1

4

x x kx b x x k

    

 

 

 

Dùng phương pháp ta phương trình:

4

3x  x  b 0 (*)

Để kẻ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số phương trình (*) phải có nghiệm phân biệt

Đưa phương trình (*) pt: 3t2  t b  0 (**)

Để thỏa mãn tốn pt(**) phải có nghiệm: 0 t1 t2

0 (0)

0

g S

   

  

 



12 13

1

1

b

b b



  



     

   

Vậy điểm cần tìm là: M(0;1) Ví dụ 5: Cho hàm số

1

x y

x

 



Tìm trục tung điểm mà từ kẻ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số

Bài giải:

Gọi điểm M(0; )b oy

Đường thẳng qua điểm M, hệ số góc k phương trình có dạng: y kx b 

2 1

( 1)

x

kx b x

k x

 

 

   

 

  

Dùng phương pháp đưa phương trình:

2

(b 1)x  2(b1)x b  1 0 (*)

Để kẻ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số phương trình (*) phải có nghiệm khác

+) Nếu b 1: Phương trình (*) có nghiệm x =

+) Nếu b = 1: Phương trình (*) có nghiệm

' (1)

1 '

(1)

g

b g

    

 



  

    

  



Vậy điểm cần tìm là: M(0;1); M(0; 1) Bài tập tương tự:

1) Cho hàm số y x 3 3x24 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số qua điểm M(0; 4)

2) Cho hàm số

3

1

y  x  x

Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số xuất phát từ điểm A(3; 0)

3) Cho hàm số

3

3

y  x  x

Cho điểm M thuộc đồ thị hàm số có hồnh độ

x Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M tiếp

4) Tìm trục hồnh điểm cho từ kẻ tiếp tuyến

đến đồ thị hàm số:

2 3

2

x x y

x

  



5) Cho đồ thị hàm số

2 1

x y

x

 

Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số kẻ từ điểm A(2;0) Kiểm nghiệm tiếp tuyến vng góc với