Cac dang toan On thi vao lop 10

Sau khi đi được 2 giờ , người lái xe quyết định tăng tốc thêm 2km/h trên quãng đường còn lại .Do đó đã đến B sớm hơn dự kiến 30 phút.. Tính vận tốc ô tô đi ở đoạn đường đầu.[r]

I-CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ

2

( , 0)

( 0; 0)

1

0; ( ) ; ( )

A B A B A B

A A

A B

B B

A B A B

A

A B

B B

A A A A A A

 

  





  

A xxác định A  0

-Điều kiện phân thức xác định mẫu khác

- Khử mẫu biểu thức lấy trục thức mẫu - Bảy đẳng thức đáng nhớ

- Quy tắc rút gọn đổi dấu phân thức,quy tắc dấu ngoặc - Các phép toán cộng , trừ, nhân, chia phân thức

II-MỘT SỐ CHÚ Ý KHI GIẢI TOÁN VỀ BIỂU THỨC

1) Tìm ĐKXĐ ý : Trong 0 ,Mẫu  , biểu thức chia  0 2)Rút gọn biểu thức

-Đối với biểu thức thức thường tìm cách đưa thừa số dấu căn Cụ thể :

+ Số phân tích thành tích số phương

+Phần biến phân tích thành tích luỹ thừa với số mũ chẵn

-Nếu biểu thức chứa phép cộng trừ thức ta tìm cách biến đổi đồng dạng

- Nếu biểu thức tổng , hiệu phân thức mà mẫu chứa ta nên trục thức mẫu trước,có thể khơng phải quy đồng mẫu nữa.

-Nếu biểu thức chứa phân thức chưa rút gọn ta nên rút gọn phân thức trước -Nếu biểu thức có mẫu đối ta nên đổi dấu trước khi

-Ngoài cần thực thứ tự phép tính ,chú ý dùng ngoặc ,dấu “-“ , cách viết căn

Chú ý : Một số toán : Chứng minh đẳng thức , chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến… quy Rút gọn biểu thức

3) Tính giá trị biểu thức

-Cần rút gọn biểu thức trước.Nếu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối nên thay giá trị biến vào rút gọn tiếp

-Nếu giá trị biến cịn phức tạp nghĩ đến việc rút gọn trước thay vào tính 4) Tìm biến để biểu thức thoả mãn điều kiện đó

-Cần rút gọn biểu thức trước

-Sau tìm giá trị biến phải đối chiếu với ĐKXĐ III-CÁC DẠNG BÀI TẬP

DẠNG 1: BÀI TẬP RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN ĐƠN GIẢN

1)

2

2

149 76

457 384

 

2)

1

3 1

2

    

3)

1 33

48 75

2   11 

4) 9a  16a 49a Víia 0

5)

a a b

ab

b   b a

6) 5  9 80 7) 3 48 75 243

8) 32  6 9) 4 2 2 2 2

8 2 2 10)

3 2

 

 

 

11) 6 11 6 11

DẠNG : BÀI TẬP RÚT GỌN BIỂU THỨC HỮU TỈ

2

2x 2x x

A

x 3x x 4x x

  

   

2.

x 4x

B

x x x

  

  

3.

1 x 2x x(1 x) C

3 x x x

  

  

  

4.

2

2

5 3x

D

2x 6x x



  

 

5. 2

3x 3x

E

x 2x x x 2x

 

  

    

6.

5 10 15

K

x x (x 1) x

  

   

DẠNG 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1 Cho biểu thức A =

2

1 1

x x

x x x x x

  

 

 

     

 :

1

a Tìm điều kiện xác định

b Chứng minh A =

  x x

c Tính giá trị A x = - 28 d Tìm max A

Bài2 Cho biểu thức P = n

4 n n n n n        

( với n  ; n4) a Rút gọn P

b Tính giá trị P với n =

Bài3 Cho biểu thức M =

2

( a b) ab a b b a

a b ab

  



 ( a , b > 0) a Rút gọn biểu thức M

b Tìm a , b để M = 2006

Bài 4: Cho biểu thức : M =                     

 x x

x x x x x x x 1 :

a) Rút gọn M

b) Tính giá trị M x = + c) Tìm x cho M =1/2

Bài 5: Cho biểu thức : P =                        2 : x x x x x x x x

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị P x =

8



Bài 6 Cho biểu thức : B =                    : 1 1 x x x x x x x

a) Rút gọn B

b) Tìm x để : 2.B <

c) Với giá trị x B x = 4/5

Bài 7: Cho biểu thức : M =                       1 : x x x x x x x

a) Rút gọn M

c) Tìm x cho : M >

Bài 8: Cho biểu thức : A = :                  1 1 2 x x x x x x x x

a) Rút gọn A

b) Tính giá trị A x = - c) Tìm giá trị nhỏ A

Bài 9: Cho biểu thức : P =                           1 : 1 1 x x x x x x x x

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị P x =

3 7

c) Tìm x cho P = 1/2

Bài 10: Cho biểu thức : A =

2 1

1

1

x x x x

x

x x x

x                        

a) Rút gọn A

b) Tính giá trị A x =

3 2

Bài 11: Cho biểu thức : A =                      

 : 1

1 x x x x x x x x

a) Rút gọn A b) Tìm x để A <

Bài 12: Cho biểu thức : B =                       2 : 1 x x x x x x x x

a) Rút gọn B

b) Tính giá trị B x = + c) Tìm x nguyên để B nguyên

Bài 13: Cho biểu thức : A =                x x x x x

a) Rút gọn A

b) Tính giá trị A x =

2

Bài 14: Cho biểu thức : M =                  x x x x x x x 2

a) Rút gọn M b) Tìm x để M <

c) Tìm số tự nhiên x để M nguyên

Bài 15: Cho biểu thức : A =                           : 3 x x x x x x x x

a) Rút gọn A b) Tìm x để A >

Bài 16: Cho biểu thức : P =

3 : 2 4 2 x x x x x x x x x x                 

a) Rút gọn P

b) Tìm số nguyên x để P chia hết cho

Bài 17: Cho biểu thức : M =                       

 x x

x x x x x x

x

:

1

a) Rút gọn M

b) Tìm số tự nhiên x để M số nguyên c) Tìm x thoả mãn M <

Bài 18: Cho biểu thức : P =                          x x x x x x x x : 1

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị P x =

8

 c) Tìm x nguyên để P số tự nhiên d) Tìm x để P < -1

Bài 19: Cho biểu thức : B =                         

 x x

x x x x x x x x 2 : 3

a) Rút gọn B

b) Tính giá trị B x = - c) Tìm x cho B.( x – ) = x

a) Rút gọn M

b) Tính giá trị M x = - y =

1

 

Bài 21: Cho biểu thức : B =                  6 3 y x xy xy y x xy y x

a) Rút gọn B

b) Cho B= 10 ( 10)

10    y y y

Chứng minh : 10

9

 y x

Bài 22 : Cho biểu thức : 

                           : 2 x x x x x x x x x P

a) Rút gọn P

b) Tìm x để

5

 

P

Bài 23 : Cho biểu thức :

  1 2          x x x x x x x x x P a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị nhỏ P c) Tìm x để biểu thức P

x Q2

nhận giá trị số nguyên

Bài 24: Cho biểu thức :

2 2 1 1                        x x x x x x P

a) Rút gọn P b) Tìm x để

2

 x P

Bài 25: Cho biểu thức :                         2 : x x x x x x x x P a) Rút gọn P

b)*Tìm m để có x thoả mãn : Pmx x  2mx1

Bài26: Cho biểu thức A =

2 2 x x x 1 x 1            

1 Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa Rút gọn biểu thức A

PHẦN THỨHAI

A>KIẾNTHỨC CẦN NHỚ

-Hàm số bậc : y = ax + b đồng biến a > Khi Đths tạo với rrục hồnh ox góc nhọn Nghịch biến ngược lại

-ĐK hai đường thẳng song song :

' '

a a b b   

 

-ĐK hai đường thẳng cắt : a a’ -ĐK hai đường thẳng vng góc tích a.a’ = -1 -Đt hs y=ax( a0) qua gốc toạ độ

-Đths y=ax+b (a0,b0)không qua gốc toạ độ.Nó tạo với ox,oy tam giác B> BÀI TẬP

Bài : Cho hàm số y = (m + 5)x+ 2m – 10

a) Với giá trị m y hàm số bậc b) Với giá trị m hàm số đồng biến c) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm A(2; 3)

d) Tìm m để đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ e) Tìm m để đồ thị qua điểm 10 trục hồnh

f) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = 2x -1 g) Chứng minh đồ thị hàm số qua điểm cố định với m h) Tìm m để khoảng cách từ O tới đồ thị hàm số lớn

Bài 2: Cho đường thẳng y=2mx +3-m-x (d) Xác định m để: a) Đường thẳng d qua gốc toạ độ

b) Đường thẳng d song song với đường thẳng 2y- x =5 c) Đường thẳng d tạo với Ox góc nhọn

d) Đường thẳng d tạo với Ox góc tù

e) Đường thẳng d cắt Ox điểm có hồnh độ

f) Đường thẳng d cắt đồ thị Hs y= 2x – điểm có hồnh độ g) Đường thẳng d cắt đồ thị Hs y= -x +7 điểm có tung độ y =

h) Đường thẳng d qua giao điểm hai đường thảng 2x -3y=-8 y= -x+1 Bài 3: Cho hàm số y=( 2m-3).x+m-5.

a) Vẽ đồ thị với m=6

b) Chứng minh họ đường thẳng qua điểm cố định m thay đổi c) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục toạ độ tam giác vuông cân d) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hồnh góc 45o

e) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hoành góc 135o

f) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hồnh góc 30o , 60o

g) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 3x-4 điểm 0y h) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = -x-3 điểm 0x

Bài4 (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Hải Dương năm 2000,2001) Cho hàm số y = (m -2)x + m + 3. a)Tìm điều kiện m để hàm số ln ln nghịch biến

b)Tìm điều kiện m để đồ thị cắt trục hoành điểm có hồnh độ c)Tìm m để đồ thị hàm số y = -x + 2, y = 2x –1 y = (m - 2)x + m + đồng quy

d)Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục tung trục hoành tam giác có diện tích Bài 5(Đề thi vào lớp 10 tỉnh Hải Dương năm 2004).

Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho hàm số y = 2x + m (*) 1)Tìm m để đồ thị hàm số (*) qua điểm

a)A(-1 ; 3) ; b) B( 2 ; -5 2) ; c) C(2 ; -1)

2) Xác định m để đồ thị hàm số (*) cắt đồ thị hàm số y = 3x – góc phần tư thứ IV Bài 6:Cho (d1) y=4mx- ( m+5) ; (d2) y=( 3m2+1).x + m2-4

a) Tìm m để đồ thị (d1)đi qua M(2;3)

b) Cmkhi m thay đổi (d1)luôn qua điểm A cố định, (d2) qua B cố định

c) Tính khoảng cách AB

d)Tìm m để d1 song song với d2

e)Tìm m để d1 cắt d2 Tìm giao điểm m=2

Bài Cho hàm số y =f(x) =3x –

a)Tìm toạ độ giao điểm đths với hai trục toạ độ b) Tính f(2) ; f(-1/2); f( 7 24)

c) Các điểm sau có thuộc đths khơng? A(1;-1) ;B(-1;1) ;C(2;10) ;D(-2;-10) d)Tìm m để đths qua điểm E(m;m2-4)

g)Tính diện tích , chu vi tam giác mà đths tạo với hai trục toạ độ h)Tìm điểm thuộc đths có hồnh độ

k) Tìm điểm thuộc đths có tung độ -4

l) Tìm điểm thuộc đths có hồnh độ tung độ m) Tìm điểm thuộc đths cách hai trục toạ độ

PHẦN THỨ BA

A>KIẾNTHỨC CẦN NHỚ 1)Các phương pháp giải HPT

a) Phương pháp : Thường dùng giải HPT có phương trình ẩn , có hệ số ẩn hệ chứa tham số

b) Phương pháp cộng : Phải biến đổi tương đương HPT dạng sau xét hệ số ẩn phương trình :- Nếu đối cộng Nếu trừ Nếu khác nhân

Nếu kết phức tạp “đi vịng”

c) Phương pháp đặt ẩn phụ : Dùng để “đưa ” HPT phức tạp HPT bậc hai ẩn 2)Một số dạng toán quy giải HPT:

- Viết phương trình đường thẳng ( Xác định hàm số bậc nhất) - Ba điểm thẳng hàng

- Giao điểm hai đường thẳng(Toạ độ giao điểm hai đường thẳng nghiệm HPT) - Ba đường thẳng đồng quy

- Xác định hệ số đa thức , phương trình… 3)Giải phương trình bậc ẩn

B> CÁC DẠNG BÀI TẬP

I-Dạng 1: Giải HPT không chứa tham số ( Chủ yếu dùng phương pháp cộng đặt ẩn phụ ) Bài tập nhiều SGK,SBT tự

II-Dạng : Hệ phương trình chứa tham số

1)Cho HPT :

x my o

mx y m

 

 

  



a) Giải HPT với m = -2

b) Giải biện luận HPT theo tham số m

c) Tìm m để HPT có nghiệm (x ; y) thảo mãn 4x – 5y = d) Tìm m để HPT có nghiệm âm

e) Tìm m để HPT có nghiệm nguyên

f) Tìm đẳng thức liên hệ x,y độc lập với m

Chú ý : Việc giải biện luận HPT theo tham số quan trọng Nó giúp ta tìm điều kiện tham số đề HPT có nghiệm ,VN,VSN

2) Cho hệ phương trình: mx + y = 3

9x + my = 2m + 3 a Giải phương trình với m = 2, m = -1, m =

b Tìm m để phương trình có nghiệm, vơ nghiệm, vơ số nghiệm c Tìm m để 3x + 2y = , 2x + y >

d Tìm m để phương trình có nghiệm dương e Tìm m để phương trình có nghiệm nguyên âm

3)Cho hệ phương trình  

 



  

2 y ) m ( x

m y x ) m (

; có nghiệm (x ; y) a) Tìm đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m; b) Tìm giá trị m thoả mãn 2x2 - 7y = 1

c) Tìm giá trị m để biểu thức A = x y

y x

 

nhận giá trị nguyên

4)Cho hệ phương trình  

 

 

2 my x

1 y mx

a.Giải hệ phương trình theo tham số m

b.Gọi nghiệm hệ phương trình (x,y) Tìm giá trị m để x +y = c.Tìm đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m

5)Cho hệ phương trình :

( 1)

a x y a x y a

  

 

  

a) Giải hệ với a

b) Xác định giá trị a để hệ có nghiệm thoả mãn x + y > 6)Cho hệ phương trình

2

3

mx y

x my

  



 



a) Tìm giá trị m để hệ có nghiệm x = 1, y = 1 b) Chứng minh hệ ln có nghiệm với m

7)Cho hệ phương trình :  

 

  

a y x

a y

x

2

a)Tìm a biết y=1

b)Tìm a để : x2+y2 =17

8)Cho hệ phương trình

( 1)

2

m x my m

x y m

   

 

  



a) Giải hệ phương trình với m =

b) Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) mà S = x2+y2 đạt giá trị nhỏ nhất

Dạng Một số toán quy HPT

1) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(2;5) B(-5;7) 2) Cho hàm số y = (3m-1)x + 4n -2

Tìm m,n biết đồ thị hàm số qua điểm (5 ;-3) cắt trục hoành điểm có hồng độ -2 3)Tìm giao điểm hai đường thẳng 4x-7y=19 6x + 5y =

4) Cho đường thẳng: d1: y = mx + n

d2: (m - 1)x + 2ny =

a Xác định m,n biết d1 cắt d2 điểm (2;- 4)

b Xác định phương trình đường thẳng d1 biết d1 qua điểm (-1; 3) cắt ox

điểm có hồnh độ -

c Xác định phương trình đường thẳng d2 biết d2 qua điểm oy song

song với đường thẳng y - 3x =

5) Giả sử đường thẳng (d) có phương trình y = ax+ b

Xác định a, b để (d) qua hai điểm A (1;3) B (-3; 1) 6) Tìm giá trị m để đường thẳng sau cắt điểm:

y = - 4x ; y = 3x

; y = (m – 1)x + 2m 7)Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho hàm số y = 2x + m (*) a)Tìm m để đồ thị hàm số (*) qua điểm

A(-1 ; 3) ; B( 2 ; -5 2) ; C(2 ; -1)

b) Xác định m để đồ thị hàm số (*) cắt đồ thị hàm số y = 3x – góc phần tư thứ IV 8)Cho hàm số: y = (2m-3)x +n-4 (d) (

3

m )

1 Tìm giá trị m n để đường thẳng (d) : a) Đi qua A(1;2) ; B(3;4)

b) Cắt oytại điểm có tung độ y3 1 cắt ox điểm có hồnh độ x 1 2 Cho n = 0, tìm m để đường thẳng (d ) cắt đường thẳng (d/) có phương trình x-y+2 = 0

điểm M (x;y) cho biểu thức P = y2-2x2 đạt giá trị lớn nhất.

9)Cho hàm số y = (m -2)x + m +

a)Tìm điều kiện m để hàm số ln ln nghịch biến

b)Tìm điều kiện m để đồ thị cắt trục hồnh điểm có hồnh độ

10) Chứng minh điểm A(1 ;3) , B( -2;-3) ,C( 3;7) thẳng hàng 11)Tìm m để ba điểm A(4;5) ,B( 2m ; m2) ,C(-3;-2) thẳng hàng.

12)Chứng minh đường thẳng : 3x + 7y = 13 , 2x -5y = -1 y = 4x- cắt điểm

PHẦN THỨ TƯ

A.PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

LOẠI : PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG AX = C

Phương pháp giải: Biến đổi tương đương phương trình dạng: ax = c -Nếu a khác phương trình có nghiệm: x = c/a

-Nếu a = phương trình vơ nghiệm c khác , vô số nghiệm c = 0 -Nếu a chưa rõ ta phải xét tất trường hợp (biện luận)

Chú ý : Trong trình biến đổi : -Nếu có ngoặc thường phá ngoặc –Nếu có mẫu thường quy đồng khử mẫu

-Nếu mẫu lớn quy đồng tử – Chuyển vế hạngtử phải đổi dấu -Chỉ nhân ,chia 1số khác

LOẠI 2; PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2:

Phương pháp giải : Biến đổi tương đương Pt dạng ax2 + bx + c =

- Dạng khuyết ax2 + bx = đưa dạng phương trình tích x(ax + b) = 0

- Dạng khuyết ax2 + c = đưa dạng x2 = m

- Nếu a+ b + c = x = ; x = c/a - Nếu a – b + c = x =-1 ; x= -c/a

- Nếu b = 2b’ mà b’ đơn giản b dùng CTNTG - Cịn lại dùng CTN

LOẠI : PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Dạng 1: PT Chứa dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp giải : 1)Xét dấu biểu thức giá trị tuyệt đối chứa ẩn 2)Nếu ngồi khơng chứa ẩn đưa PT dạng /f(x)/ = m

Chú ý : -Đối chiếu ĐK – dạng đặc biệt /f(x)/ = f(x) /f(x)/ =- f(x)

Dạng 2: PT chứa dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp giải: 1) Xét dấu biểu thức giá trị tuyệt đối

2) Lập bảng xét dấu xét khoảng giá trị ẩn

Chú ý : -Đối chiếu ĐK – Dạng đặc biệt /f(x)/ = /g(x)/ f(x;y)/ + /g(x;y)/ =0

Dạng 3: PT chứa dấu giá trị tuyệt đối trở lên : lập bảng xét dấu …hoặc đưa HPT LOẠI : PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU CĂN (PT VƠ TỈ)

Giải PT vơ tỉ trước hết phải tìm ĐKXĐ

Dạng 1: = g (x) (1) Đây dạng đơn giản phương trình vơ tỉ

Sơ đồ cách giải:

= g (x)  g(x)  (2)

f(x) = [g(x)]2 (3).

Giải phương trình (3) đối chiếu với điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp suy nghiệm phương trình (1)

Dạng 2: Đưa PT chứa dấu // :

-Nếu viết dứa dạng bình phương đưa phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Dạng3 : Đặt ẩn phụ : -Nếu bên ngồi biến đổi giống đặt ẩn phụ ( ĐK ẩn phụ không âm)

Dạng : Dùng phương pháp bình phương vế :

Chú ý : Khi bình phương vế phải cô lập thức đạt điều kiện vế không âm -Dạng A B  A B m thường bình phương 2vế

LOẠI : PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU Giải PT chứa ẩn mẫu trước hết phải tìm ĐKXĐ

Phương pháp giải : 1) Thơng thường - Tìm ĐKXĐ -Quy đồng ,khử mẫu ,giải PT ,đối chiếu ,kết luận 2) Đặt ẩn phụ : -Nếu PT chứa phân thức giống nghịch đảo

3) Nhóm hợp lý ( việc QĐ khó khăn có phân thức trở lên) LOẠI : PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO -Đưa Pt tích -Đặt ẩn phụ

B.BÀI TẬP

a 3x+5 = x-1 h (2x+3)2-(4x-7)(x+5)=0

b

5 3

4

x x

 

i 7(x+4)-3(6-x)=0

c (2x - 3)2 - (x + 2)(4x - 1) = 0 k x 2x1 + x 2x 1 = 2 d x2 - ( 3 + 1)x = - l (x2 + x + 1) (x2 + x + 12) = 12

e

22 2

3 2

2

      

x x x x

x

m

5

1 2

2

      

 

 

x x x

x

= 6

g x + 7x2 = n x2- 3x + x2  3x1 = 1

r x

24 x x x

1 x x

3 x

2

    

   

t 4x2  4x1 = 20085 u) = PHẦN THỨ NĂM

A.CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Điều kiện PHB2 có nghiệm ,vơ nghiệm

Có thể xảy trường hợp

-Muốn chứng minh PTB2 ln có nghiệm , có nghiệm pb , vô nghiệm ta chứng minh Luôn không âm ,luôn dương , âm

-Muốn tìm điều kiện để PTB2 có nghiệm ,vơ nghiệm ta giải bất phương trình … Dạng ; Tính giá trị biểu thức nghiệm

Phương pháp giải : - Kiểm tra điều kiện có nghiệm Tính tổng ,tích nghiệm theo VIéT -Biến đổi biểu thức dạng tồn Tổng ,Tích nghiệm

Chú ý –Nếu gặp Hiệu ,Căn tính bình phương suy -Nếu biểu thức khơng đối xứng dùng ax12bx1 c ;

2

2

ax bx  c -Nếu mũ q lớn nhẩm nghiệm

Ngồi khó cần khéo léo vận dụng linh hoạt

Dạng : Viết hệ thức liên hệ nghiệm độc lập với tham số Bước : Tính tổng tích nghiệm theo Viét

Bước : Rút tham số từ tổng thay vào tích ngược lại

Chú ý : Nếu bậc tham số tổng tích trở lên ta phải khử bậc cao trước bẳng cách phương pháp cộng giải HPT

Dạng ; Tìm tham số biết hệ thức liên hệ nghiệm Bước1 : Tìm ĐK có nghiệm Tính tổng tích nghiệm theo Viét

Bước : Biến đổi tương đương hệ thức dạng tồn Tổng ,Tích nghiệm Nếu khơng giải hệ ( Hệ thức có bậc )

Chú ý : -Phải đối chiếu với ĐK có nghiệm - Nếu hệ thức chứa Hiệu ,căn bình phương ,chứa dấu giả trị tuyệt đối thành phần

Dạng : Lập phương trình bậc biết nghiệm Khi lập PT B2 cần biết nghiệm ẩn

- Muốn lập PTB2 có nghiệm x x1, ta làm sau :

Tính x1x2 S x x, P Vậy PTB2 cần lập : x2- Sx+ P =0

Dạng6 :Tìm số biết tổng tích :Dủng phương pháp đưa PTB2 Dạng7 :Xét dấu nghiệm PT

Xét phương trình bậc hai:

  bx c

ax (a0) Có b2 4ac

  

P = a

c x x1 2 

S = a

b x x1  2 

Trong nhiều trường hợp ta cần so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số cho trước xét dấu nghiệm phương trình bậc hai mà khơng cần giải phương trình đó, ta ứng dụng định lí Viét

1 Phương trình có nghiệm dương     

 

 

0 0

S P

2 Phương trình có nghiệm âm     

 

 

0 0

S P

3 Phương trình có nghiệm trái dấu: P0

Nhiều tốn địi hỏi tìm điều kiện để phương trình bậc có nghiệm khơng âm Thường có cách giải:

Cách 1: Có P 0 ( Trường hợp có nghiệm dương nghiệm khơng âm) Hoặc P = Trường hợp tồn nghiệm

Hoặc: 

  

  



0 0

S P

Thì hai nghiệm dương Cách 2:

Trước hết phải có 0khi phương trình có nghiệm không âm :



S ( Trường hợp tồn nghiệm dương)

Hoặc S = ( Trường hợp tồn nghiệm không âm)

Hoặc S0,P0 ( Trường hợp có nghiệm khơng âm nghiệm âm) Tuỳ theo đầu mà chọn cách xét biểu thức P hay S

Dạng 8: Nghiệm chung phương trình Dạng 9:Hai phương trình tương đương

VD3: Tìm m để hai phương trình x2 – mx + 2m -3 = (1); x2 – (m2 + m - 4)x + 1= 0

(2) tương đương

Hướng dẫn: Hai phương trình tương đương hai trường hợp

* Trường hợp 1: PT(1) PT(2) vô nghiệm        0                4 12 2 m m m m              2 m m m (không xảy ra)

* Trường hợp 2: PT(1) PT(2) có nghiệm x1; x2 theo định lý Vi-ét ta có:

2 4 2 2                      m m m m x x m m m x x

Thử lại với m = hai phương trình tương đương có nghiệm x = Vậy m =

Với loại toán ta cần lưu ý học sinh: Khi hai phương trình vơ nghiệm hai phương trình hai phương trình tương đương Cho nên với số toán ta phải xét hai trường hợp, trường hợp hai phương trình vơ nghiệm trường hợp hai phương trình có tập hợp nghiệm

VD4: Tìm m, n để phương trình x2 – (m + n)x -3 = (1)

và phương trình x2 – 2x + 3m – n – = (2) tương đương.

Hướng dẫn:

PT(1) có mn2 120m,n nên PT(1) ln có hai nghiệm phân biệt x

1; x2

Do PT(1) PT(2) tương đương hai phương trình có tập hợp nghiệm nghĩa là:

                          1 3 2 n m n m n m n m x x n m x x

Vậy m =1 n =1 giá trị cần tìm

Với tốn ta phương trình ln có hai nghiệm phân biệt, nên hai phương trình tương đương phương trình cịn lại phải có hai nghiệm giống hai nghiệm phương trình Áp dụng định lý Vi-ét tổng tích hai nghiệm ta tìm m, n B BÀI TẬP

Bài 1:Cho phương trình mx2+(2m-1)x+(m-2)=0

1 Giải phương trình với m =

2 Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thoả mãn x12+x22=2006

3. Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào m Bài 2: Cho phương trình (m-1)x2 + 2mx + m – = 0.

a) Giải phương trình m =

a) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt

Bài : Cho phương trình: x2-(m+1)x + m = 0

a) giải phương trình với m =

a) Tìm m để tổng bình phương nghiệm 17

b) Lập hệ thức độc lập nghiệm không phụ thuộc vào m

c) Giải phương trình trường hợp tổng bình phương nghiệm đạt giá trị nhỏ Bài : Cho phương trình: x2- 2mx + 2m – = 0

a) Giải phương trình với m=

a) Tìm m để tổng bình phương nghiệm 10

b) lập hệ thức độc lập nghiệm không phụ thuộc vào m c) Tìm m cho : 2(x12+x22)- 8x1x2 = 65

Bài 5: Cho phương trình : x2-(2k+1)x +k2 +2 = 0

a) Tìm k để phương trình có nghiệm gấp đơi nghiệm a) Tìm k để phương trình có x12+x22 nhỏ

Bài6: Cho phương trình x2+mx+m-1=0

a) Giải phương trình với m=3

b) Chứng minh phương trình có nghiệm với m c) Tính tổng tích nghiệm phương trình Bài 7: Cho phương trình: x2+( 2m+1 ).x+m2 +m-2=0

a) Giải phương trình với m=

b) Chứng minh phương trình có nghiệm với m

c) Gọi x1,x2 nghiệm phương trình Tính theo m: ( x1+1) ( x2+1)+ 7x1x2

Bài 8: Cho x2-4x-( m2+2m)=0

a) Giải phương trình với m=5

b) Chứng minh phương trình có nghiệm với m c) Tính x2

1+x22+8( x1x2+1) theo m

d) Tìm m để x2

1+x22=5( x1+x2)

Bài 9: Cho phương trình 2x2+6x+m=0

a)Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt

b) Xác định m để phương trìnhcó nghiệm thoả mãn 2

1  

x x x x

Bài 10: Cho x2-2( m-1)x +m-3=0

c) Tìm m để x1-3x2=5

Bài 11:Cho phương trình : x2 – (m + 5)x – m + = 0, với m tham số Tìm m để hai

nghiệm x1 , x2 thoả mãn : 2x1 + 3x2 = 13

Bài 12: Cho phương trình: x2 - 2mx + m = 7

a Giải phương trình với m = 7, m = - 4, m =

b Cm phương trình ln có nghiệm phân biệt với m

c Viết hệ thức liên hệ x1, x2 độc lập với m Tính x1 theo x2

d Tính theo m: 13

x +

x , 3x2

1 - 2mx1 + 2x22 + m

e Tính m để phương trình có nghiệm trái dấu, nghiệm dương g Với điều kiện m x1  x2 = ; 2x

1 + x2 = ;

(x1 + 3x2)(x2 + 3x1) = ; x

2

2 - (2m + 1)x2 - x1 + m >

h Tìm giá trị lớn A = x,1(x2 – x1) - x

2

Lập phương trình bậc có nghiệm số đối nghiệm phương trình Bài 13: Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phương trình x2 – 2(m- 1)x – =0

( m tham số ) Tìm m để x1 + x2 =

Bài 14: Cho phương trình:

x2 – 3x + = có nghiệm x

1, x2 Tính:

a x12 + x

2 d x

5 + x

5

2 h

1

x x 

+

x x 

b x13 + x

3

2 e x1  x2 i) x1 x2 + x2 x1

c x14 + x42 g x1 x1 + x2 x2 k x1(2x1- 3) + x22

Bài 15Cho phương trình:

x2 - 2x + m - = 0

* Tìm m để phương trình : a Có nghiệm kép Tìm nghiệm kép b Có nghiệm x1, x2 thoả mãn:

b3 x

2 + x

2

2 - x1x2 =

* Biết phương trình có nghiệm x1 = Tìm m x2

Bài 16Cho phương trình x2 – (m+4)x + 3m+3 = ( m tham số)

a Xác định m để phương trình có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại b Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x13 + x23 

Bài 17Cho phương trình bậc x.

(m + 1)x2 - 2(m - 1)x + m - = (3)

a Chứng minh phương trình (3) ln ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị củ m khác -

b- Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm dấu

c Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm dấu hai nghiệm có nghiệm gấp đơi nghiệm

Bài 18Cho phương trình : (m2 + 1)x2 + 2(m2 + 1)x – m = 0, với m tham số Tìm giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ : A = x12 +x22 với x1 , x2 nghiệm phương trình

Xét hai phương trình: x2+x+k+1 = (1) x2- (k+2)x+2k+4 = (2)

a) Giải phương trình (1) với k = - 1; k = -

b) Tìm k để phương trình (2) có nghiệm 2 ?

c) Với giá trị k hai phương trình tương đương ?

Bài 19Xét hai phương trình: x2+x+k+1 = (1) x2- (k+2)x+2k+4 = (2)

a)Giải phương trình (1) với k = - 1; k = -

b)Tìm k để phương trình (2) có nghiệm 2 ?

c)Với giá trị k hai phương trình tương đương ? Bài 21: Cho hai phương trình : x2 – (2m + n)x -3m = (1)

x2 – (m + 3n)x - = (2) Tìm m, n để hai phương trình tương

đương

Bài 22: Cho hai phương trình : x2 +(m + 1)x +1 = (3)

x2 + x + m+ = (4)

a) Tìm m để phương trình (3) có tổng bình phương hai nghiệm đạt giá trị nhỏ b) Tìm m hai phương trình tương đương

Bài 23: Tìm m để hai phương trình : x2 + 2x - m = (5)

2x2 + m x + = (6) tương đương

Bài 24: Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + m - = 0

a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

c) Chứng minh biểu thức H = x1(1 - x2) + x2(1 - x1) khơng phụ thuộc vào m

d) Tìm giá trị biểu thức x1 - x2 ; x12 - x22 ; x13 - x23

Bài 25:

a) Định m để phương trình mx2 - (12 - 5m)x - 4(1 + m) = có tổng bình phương nghiệm 13.

Bài 26: Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + m2 - 4m + = 0.

a) Định m để phương trình có nghiệm

b) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt dương

PHẦN THỨ SÁU

Bài 1: Hai xe ô tô khởi hành lúc từ Hà Nội vào Thanh Hoá Xe thứ đi nhanh xe thứ hai 10km nên đến Thanh Hoá sớm xe thứ hai 30 phút.Tính vận tốc xe,biết quãng đường Hà Nội –Thanh Hoá dài 150 km

Bài 2: Một xe tải từ A đến B cách 120 km Nửa sau xe máy chạy từ A để đến B chạy chậm xe tải km/h nên đến B chậm 70 phút so với xe tải.Tính vận tốc xe ?

Bài 3: Hai bến sông AB cách 80km Hai ca nô khởi hành lúc chạy từ A đến B , ca nô thứ chạy chậm ô tô thứ hai 4km/h Trên đường ca nô thứ hai dừng lại nghỉ 1giờ chạy tiếp đến B Tính vận tốc ca nô , biết ca nô thứ đến B trước ca nô thứ hai 20 phút

Bài 4: Một ca nơ xi dịng 90km , ngược dòng 36 km Biết thời gian xi dịng nhiều ngược dịng vận tốc xi dịng lớn ngược dịng 6km/h Tính thời gian ca nơ hết qng đường AB

Bài 5: Một tàu thuỷ chạy khúc sông dài 54km Cả lẫn 15 phút Tính vận tốc dịng nước , biết vận tốc riêng tàu nước yên lặng 21km/h

Bài 6: Hai ca nô khởi hành từ hai bến A B cách 60km ngược chiều Sau 1giờ 20 phút gặp Tính vận tốc riêng ca nơ , biết vận tốc ca nô xuôi lớn vận tốc ca nô ngược 9km/h vận tốc dịng nước 3km/h

Bài 7:Một ca nơ xi dòng từ A đến B cách 24km, lúc có bè trơi theo dịng nước từ A hướng B Sau ca nô đến B quay trở lại gặp bè trơi 8km Tính vận tốc riêng ca nơ, biết vận tốc bè vận tốc dòng nước 4km/h

Bài 8: Một ô tô dự định từ A đến B cách 120 km thời gian định.Khi nửa quãng đường xe bị chắn xe hoả phút Vì để đến B hạn xe phải tăng tốc 2km/h qng đường cịn lại Tính vận tốc dự định

Bài 9:Một xe tải xe khởi hành từ C đến D Xe tải với vận tốc 30km/h, xe với vận tốc 45km/h Sau 3/4 quãng đường CD, xe tăng vận tốc thêm 5km/h quãng đường lại đến D sớm xe tải 2giờ 20 phút.Tính quãng đường CD

Bài 10: Một người xe đạp dự định hết quãng đường AB dài 20km thời gian định Nhưng thực tế , sau với vận tốc dự định, người giảm vận tốc 2km/h qng đường cịn lại Vì đến B chậm dự kiến 15 phút.Tính vận tốc dự định thời gian lăn bánh đường

Bài 11:Một ô tô dự định hết quãng đường AB dài 150 km thời gian định Sau , người lái xe định tăng tốc thêm 2km/h qng đường cịn lại Do đến B sớm dự kiến 30 phút Tính vận tốc ô tô đoạn đường đầu ?

Bài 12: Một người dự định xe đạp từ A đến B cách 36 km thời gian định.Sau nửa quãng đường , người dừng lại nghỉ 30 phút Vì quãng đường lại tăng tốc thêm 2km/h

song đến đến B chậm dự kiến 12phút Tính vận tốc người xe đạp đoạn đường cuối đoạn AB

Bài 13: Một ô tô từ tỉnh A đến tỉnh B cách 120 km Cùng lúc có xe máy chạy từ B trở A gặp xe ô tô tỉnh C cách hai điểm khởi hành 75km Tính vận tốc xe ,biết vận tốc hai xe không đổi xe máy khởi hành trước ô tô 48 phút gặp quãng đường

Bài 14: Một ô tô từ địa điểm A đến điểm B với vận tốc xác định Nếu vận tốc tăng 20km/h so với dự định thời gian đến B giảm 1giờ, vận tốc giảm 10km/h thời gian đến B tăng thêm Tính vận tốc thời gian dự định ô tô

Bài 15 : Một bố nứa trụi tự (với vận tốc vận tốc dũng nước) ca nô dời bến A để xuôi dũng sụng Ca nụ xuụi dũng 144 km thỡ quay trở bến A ngay, lẫn hết 21 Trên đường ca nô trở bến A, cũn cỏch bến A 36 km thỡ gặp bố nứa núi trờn Tỡm vận tốc riờng ca nụ vận tốc dũng nước

Bài 16: Theo dự kiến , công nhân dự định làm 70 sản phẩm thời gian định Nhưng thực tế , áp dụng khoa học kỹ thuật nên tăng suất sản phẩm Do khơng hồn thành trước thời hạn 40 phút mà vượt mức 10 sản phẩm Tính suất dự kiến

Bài 17: Một công nhân dự định làm 33 sản phẩm thời gian định Trước làm việc xí nghiệp giao thêm cho 29 sản phẩm Do người làm tăng sản phẩm song hoàn thành chậm dự kiến 30 phút Tính suất dự kiến

Bài 18: Một máy bơm muốn bơm đầy nước vào bể chứa thời gian định phải bơm 10 m3 Sau bơm 1/3 thể tích bể chứa , người công nhân vận hành cho máy hoạt động với công

suất lớn 5m3 so với ban đầu. Do , so với qui định bể chứa bơm đầy trước 48 phút Tính

thể tích bể chứa

Bài 19: Một xí nghiệp giao cho công nhân làm 120 sản phẩm thời gian qui định Sau làm , người cải tiến kỹ thuật nên tăng 4sản phẩm/ so với dự kiến Vì thời gian qui định khơng hồn thành kế hoạch mà cịn vượt mức 16 sản phẩm Tính suất làm lúc đầu

Bài 20: Một công nhân dự định làm 36 sản phẩm thời gian định.Sau nửa số lượng giao , người dừng lại nghỉ 30 phút Vì làm thêm sản phẩm với nửa số sản phẩm cịn lại song hồn thành cơng việc chậm dự kiến 12phút Tính suất dự kiến

Bài 21:Hai vòi nước chảy vào bể chứa khơng có nước sau 30 phút đầy bể Nếu mở vòi thứ chảy 15 phút khoá lại, mở tiếp vịi thứ hai chảy 20 phút 20% bể Hỏi để vịi chảy sau bể đầy

Bài 22:Hai vòi nước chảy vào bể chứa khơng có nước sau 40 phút đầy bể Tính xem để vịi chảy vịi cần bao lâu, biết để chảy đầy bể vịi thứ cần nhiều vòi thứ hai

Bài 23:Hai công nhân làm công việc sau ngày hồn thành Biết làm xong việc người thứ làm nhanh người thứ hai ngày Tính thời gian người làm xong cơng việc

Bài 24: Trong buổi liên hoan, lớp học sinh mời 15 khách tới dự Vì lớp có 40 học sinh nên phải kê thêm dãy ghế dãy ghế phải xếp thêm người đủ chỗ ngồi.Hỏi ban đầu lớp học có dãy ghế, biết dãy có số người ngồi không người

Bài 25:Trong trang sách thêm dòng dòng bớt 1chữ số chữ trang tăng thêm chữ Nhưng bớt dòng dòng thêm chữ số chữ trang khơng thay đổi Tính số chữ , số dịng trang sách lúc đầu

Bài 27:Tổng chữ số hàng đơn vị hai lần chữ số hàng chục số có hai chữ số 10 Nếu đổi chỗ chữ số hàng chục hàng đơn vị cho số nhỏ số ban đầu 18 đơn vị Tìm số có hai chữ số

Bài 28:Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280m Người ta làm lối xung quanh vườn thuộc đất vườn rộng 2m , diện tích đất cịn lại để trồng trọt 4256m2 Tính kích thước vườn

Bài 29:Trên miếng đất hình thang cân chiều cao 35m, hai đáy 30m, 50m người ta làm hai đoạn đường có chiều rộng Các tim đường đường trung bình hình thang đoạn thẳng nối hai trung điểm hai đáy.Tính chiều rộng đoạn đường biết diện tích làm đường chiếm 0,25 diện tích hình thang

Bài 30 : Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kĩ thuật nên tổ I vượt mức 18% tổ II vượt mức 21% Vỡ thời gian quy định họ hồn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ theo kế hoạch ?

Bài 31 : Hai ụtụ khởi hành cựng lỳc trờn quóng đường từ A đến B dài 120 km Mỗi ôtô thứ chạy nhanh ôtô thứ hai 10 km nên đến B trước ôtô thứ hai 2/5 Tính vận tốc ơtơ ?

Bài 32 : Một ca nụ xuụi dũng từ bến sông A đến bến sông B cách 24 km ; lúc đó, từ A B bè nứa trôi với vận tốc dũng nước km/h Khi đến B ca nô quay lại gặp bè nứa địa điểm C cách A km Tính vận tốc thực ca nơ

Bài 33:Để hồn thành cơng việc, hai tổ phải làm chung Sau làm chung thỡ tổ hai điều làm việc khác, tổ hồn thành cụng việc cũn lại 10 Hỏi tổ làm riờng thỡ sau bao lõu làm xong cụng việc ?

Bài 34 : Một khu vườn hỡnh chữ nhật cú chiều dài 7/4 chiều rộng cú diện tớch bằng 1792m2 Tính chu vi khu vườn

PHẦN THỨ BẢY

Ở đời có ba điều đáng tiếc:Một hôm bỏ qua ,

Bài1- Cho hàm số y = 2

x2

a Vẽ đồ thị hàm số

b Tính giá trị hàm số x = 2 +

c Các điểm A(- 1; -

), B(4;8) , C( 2;1) có thuộc đồ thị hàm số không? d M, N điểm thuộc đồ thị hàm số có hồnh độ 2, -

Viết phương trình đường thẳng MN

e Tìm giao điểm đường thẳng y = x + với đồ thị hàm số

g Viết phương trình đường thẳng qua điểm (3; 4) tiếp xúc với đồ thị hàm số

h Chứng minh đường thẳng y = mx + m + cắt đồ thị hàm số với m Gọi giao điểm A, B Tìm m để:

x2A + x

2

B - xAxB = - ; xA + xB =

k Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ gấp đơi hoành độ Bài2 : Cho hàm số f(x) = x2 - x +2

a Tính giá trị hàm số x =

x = -3 b Tìm giá trị x f(x) = f(x) = 14

Bài : (1,5 điểm) Vẽ parabol y = - x2/2 (P) : đường thẳng (D) : y = 3x hệ trục

tọa độ Tỡm tọa độ giao điểm (P) (D) phép tính Bài 4:Cho y m 5 2.x2

a) Vẽ đồ thị hàm số với m=6

b) Tìm m để hàm số đồng biến với x<0

c) Tìm m để đồ thị hàm số qua A( -2:12)

Bài Cho ( P): y=-x2 Đường thẳng y =m cắt ( P) A; B Tìm m để tam giác AOB tính

diện tích tam giác ABO

Bài 6: Cho Parabol ( P) :

2

4

x y 

đờng thẳng(d): 2

1  

 x

a) Vẽ ( P) ( d) hệ trục toạ độ

b) Gọi A, B giao điểm ( P) ( d) Tìm M cung AB ( P) cho SMAB

lớn

c) Tìm N trục hoành cho NA+NB nhỏ

Bài 7: Cho Parabol ( P): y=3x2 hệ trục toạ độ Oxy Tìm m để đường thẳng y=x+m cắt ( P’)

tại hai điểm phân biệt A, B cho OA vng góc với OB

Bài 8: Cho Parabol y =

2

x 

điểm M(1, -2)

1 Chứng minh rằng: Phương trình đường thẳng qua M có hệ số góc k ln cắt Parabol điểm phân biệt A, B với k

b Gọi xA, xB hoành độ A B, xác định k để ( )

2

B A B A B

A x x x x x

x    đạt giá trị

lớn Tìm giá trị

Bài : Vẽ đồ thị hàm số : y = - x2/4 (P) đường thẳng (D) : y = 2x + hệ trục

tọa độ Tỡm tọa độ giao điểm (P) (D) phép tính Bài 10: Cho hàm số y = ax2 (1)

a) Xác định a biết đồ thị (1) qua điểm A ;2 2 b) Vẽ đồ thị hàm só (1) với a vừa tìm

c) Tìm giá trị lớn hàm số x  [ - ; ] ; x  [ ; ]

d) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số x  [ - ; ]

Bài 11: Cho hai hàm số

2

1

y x vµ y 2x 2

  

a) Vẽ đồ thị hai hàm số mặt phẳng tọa độ Oxy b) Tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị

Bài 12**: Tam giác AOB nội tiếp parabol y = ax2 đỉnh O gốc tọa độ đáy AB

song song với trục Ox, A B nằm parabol Hãy tính tung độ điểm B Bài 13: Cho đường thẳng (d): y = k(x - 1) parabol (P): y =

2

1 x

2 Với giá trị k (d):

a) Tiếp xúc với (P)

b) Cắt (P) điểm có tung độ hồnh độ dương Tìm tọa độ giao điểm (P) (d)

PHẦN BẤT ĐẲNG THỨC

Bài :a Cho x, y > Chứng minh : x y x y

4 1

b Cho a,b >0 thoả mãn a+ b =1 Tìm giá trị nhỏ :

ab b a

A 2 2  



Bài : Chứng minh bất đẳng thức:

a) ac2 bd2  a2 b2  c2 d2

b) c.a c cb c  ab với a c  0, b  c

c) ab cd  ad .bc với a, b, c, d >

Bài : Chứng minh : xy

y x y x

        

 2

2

2

Bài : Tìm giá trị nhỏ của: 16

  

x x A

với x >0 Bài :

a) Chứng minh bất đẳng thức : axby  a2 b2 x2 y2 b) Tìm giá trị lớn : A x 2 4 x

c) Giải phơng trình : x 2 4 x x2  6x11

d✰) Giải phơng trình: x 1 y1 z 1 2xyz 1

Bài :

Chứng minh bất đẳng thức : a xy + yz + zx  x2 + y2 +z2

b 3

2 2

z y x z y

x  

    



  

2 Cho x + y + z =

a Tìm giá trị nhỏ D = x2 + y2 +z2

b Tìm giá trị lớn T = xy + yz + zx Bài : Tìm giá trị nhỏ biểu thức :

A= x2 –4x + 3

B = 3x2 –6x -1

C = x2 +3x + 5

Bài : Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = x2 –4xy + 5y2 + 10x –22y + 30

B = x2 + 26y2 – 10xy + 14x – 76y + 100

C = 5x2 – 12xy + 9y2 – 4x +4

D = x2 + y2 – xy –x –y +1

Bài : Tìm giá trị lớn biểu thức : A= - 4x2 –4x + 3

B=5 - 8x- x2

C= + 6y – 5y2 – 12xy – 9x2

D = 15 – 10x – 10x2 + 24xy – 16y2

Bài 10: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức :

1 2     x x x A    x x B 2    x x C 27    x x D

Bài 11 : Cho x, y, z  thoả mãn :        6 4 z y x z y x

Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức :T = 5x – 6y + 7z

Bài 12 : Cho x, y, z  N thoả mãn :

         101 21 2 2 2 z y x t y x

Tìm giá trị nhỏ M = x2 + y2 + 2z2 + t2

Bài 13✰ : Cho x2 + y2 + z2 27 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức:

F = x + y + z + xy + yz + zx Bài 14 : Chứng minh :

a) k k k

1 1   

với k  N k 

b) n n

1

1 2  2   2  

với n  N n 

c)  

1 25     

n với n  N n  2

Bài 15 : Cho hai số x, y thoả mãn x > y x.y = Chứng minh :

0 2 2     y x y x