Sau khi đi được nửa quãng đường AB với vận tốc ấy, người lái xe đã cho xe tăng vận tốc mỗi giờ 5km, do đó đã đến thành phố B sớm hơn 30 phút so với dự định.. Sau đó 24 phút, trên cùng tu
Trang 1Tổng hợp các dạng toán ôn thi vào 10
I Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai:
Bài 1 Cho biểu thức: P 1 a a 1 : a 1 1 a a 2 a a a 1
a Rút gọn P b Tìma sao cho P>1. c Cho a 19 8 3 Tính P
Hướng dẫn: a.
1 a
1 a a P
3 3
3 9 24 P
Bài 2 Cho biểu thức
3 x
3 x 1 x
x 2 3
x 2 x
19 x 26 x x P
a Rút gọn P b Tính giá trị của P khi x 7 4 3
c Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó
Hướng dẫn: a.
3 x
16 x P
22
3 3 103
P c P
min=4 khi x=4
Bài 3 Cho biểu thức P 2 2 x x 2 x x x x 2 4 x 4 : 2 2 x 2 x x 3 x
a Rút gọn P b Tìm các giá trị của x để P>0 c Tìm các giá trị của x để P= -1
d Với giá trị nào của x thì P P
Hướng dẫn: a.
3 x
x P
b x>9 c
16
9
x
Bài 4 Cho biểu thức P 3 x x 1 1 3 x 1 1 8 x x 1 : 1 3 3 x x 2 1
a Rút gọn P b Tìm các giá trị của x để
5
6
P Hướng dẫn: a.
1 x 3
x x P
25
9
; 4
x
Bài 5 Cho biểu thức P x x 2 x x x 1 x 1 1 : 1 x x 1
a Rút gọn P b Tìm các giá trị của x để P<0
Hướng dẫn: a.
x x 1
x 1 P
b x>1
Bài 6 Cho biểu thức P 1 x x 1 : x x 2 3 3 x x 2 x 5 x x 2 6
a Rút gọn P b Tìm các giá trị của x để P<0
c Tìm các số m để có các giá trị của x thỏa mãn: P x 1 m ( x 1 ) 2
d Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất ấy
Hướng dẫn: a.
1 x
2 x P
b 0 x 4 c
2
1 m
0
Bài 7 Cho biểu thức P x x 1 1 x x 1 1 x x : x x 1 1 1 x x 1
a Rút gọn P b Tìm giá trị của P khi
2
3 2
x c So sánh P với
2
1 d Tìm x để P 2 P 1min
Trang 2Hướng dẫn: a.
x 4
1 x
P c P>
2 1
Bài 8 Cho biểu thức P 1 1 a a a a . 1 1 a a a a
a Rút gọn P b Tính a đểP 7 4 3
Hướng dẫn: a. 2
a 1
P b 3 1 a 3 1 ; a 1
Bài 9 Cho biểu thức
x 3
1 x 2 2 x
3 x 6 x 5 x
9 x 2 P
a Rút gọn P b Tìm các giá trị của x để P<1 c Tìm các giá trị của x để P có giá trị nguyên
Hướng dẫn: a.
3 x
1 x P
b 0 x 9 ; x 4 c x=1;16;25;49
1 x
2 x 1
x 1 x
1 : 1 x
1 x 1 x
1 x P
a Rút gọn P b Tìm giá trị của P khi
2
3 4 7
x c Tìm các giá trị của x để
2
1
P
Hướng dẫn: a.
2
1 x
x 4 P
b.P 12 3 20 c x 17 12 2
a 1
a 1 1 a a
a 1
a
1 a
3
a Rút gọn P b.Xét dấu biểu thức P 1 a
Hướng dẫn: a. P a 1 b P 1 a<0
Bài 12 Cho biểu thức P a a a a 1 a a a a 1 a 1 a . 3 a a 1 2 a a 1
a Rút gọn P b Với giá trị nào của a thì P a 7
c Chứng minh rằng với mọi giá trị của a (thỏa mãn điều kiện xác định) ta đều có P>6
Hướng dẫn: a.
a
2 a 4 a
P b a=4.
Bài 13 Cho biểu thức P x x 3 9 x 1 : x 9 x x 6 2 x x 3 x x 3 2
a Rút gọn P b Tìm các giá trị của x để P<0
Hướng dẫn: a.
2 x
3 P
b 0 x 4
Bài 14 Cho biểu thức P 2 x x 3 x x 3 x x 9 3 : 2 x x 3 2 1
a Rút gọn P b Tìm x để
2
1
P c Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Hướng dẫn: a.
3 x
3 P
b 0 x 9 c Pmin= -1 khi x=0
Bài 15 Cho biểu thức P 1 : x x x 2 1 x x x 1 1 x 1 1
a Rút gọn P b Hãy so sánh P với 3
Trang 3Hướng dẫn: a.
x
1 x x
P b P>3
x 1
1 x
2 x 2 x
1 x 2 x x
3 x x P
a Rút gọn P b Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên c Tìm các giá trị của x để P x
Hướng dẫn: a.
1 x
1 x P
b x=4;9 c x 3 2 2
II Phương trình - Hệ phương trình:
Bài 1 Cho phương trình (m-1)x2-2mx+m-2=0 (x là ẩn)
a Tìm m để phương trình có nghiệm x 2 Tìm nghiệm còn lại
b Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
2
2
2
3
x theo m
Bài 2 Cho phương trình x2-2(m+1)x+m-4=0 (x là ẩn)
a Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
b CMR phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m
c CM biểu thứcM x 1 1 x 2 ) x 2 1 x 1 )không phụ thuộc m
Bài 3 Cho hệ phương trình:
a y ax
3 y x ) 1 a (
a Giải hệ phương trình với a 2
b Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện x+y>0
Bài 4 Cho hàm số: y=(m-2)x+n (d)
Tìm các giá trị của m và n để đồ thị (d) của hàm số:
a Đi qua điểm A(-1;2) và B(3;-4)
b Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 2
c Cắt đường thẳng -2y+x-3=0
d Song song với đường thẳng 3x+2y=1
Bài 5 Cho phương trình x2+px+q=0
a Giải phương trình khi p 3 2 ;q 3 2
b Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là:
1
2 2
1
x
x
; x
1; x2 là nghiệm của phương trình đã cho)
Bài 6 Tìm m để phương trình:
a x2-x+2(m-1)=0 có hai nghiệm dương phân biệt
b 4x22x+m-1=0 có hai nghiệm âm phân biệt
c (m2+1)x2-2(m+1)x+2m-1=0 có hai nghiệm trái dấu
Bài 7 Xác định a, b để hệ phương trình:
1 by ax
b ay x
a Có nghiệm là x 2 ; y 3 b Có vô số nghiệm
Trang 4a Giải bất phương trình khi m 3 2 1 b Giải và biện luận bất phương trình.
Bài 9 Tìm giá trị của m để hệ phương trình:
2 y ) 1 m ( x
1 m y x ) 1 m (
có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện x+y nhỏ nhất
Bài 10 Cho hàm số y=2x2 (P)
a Vẽ đồ thị
b Tìm trên (P) các điểm cách đều hai trục tọa độ
c Tùy theo m, hãy xét số giao điểm của (P) với đường thẳng y=mx-1
d Viết phương trình đường thẳng đi qua A(0;-2) và tiếp xúc với (P)
Bài 11 Cho Parabol (P): y=x2 và đường thẳng (d): y=2x+m
Xác định m để hai đường đó:
a Tiếp xúc với nhau Tìm hoành độ tiếp điểm
b Cắt nhau tại hai điểm, một điểm có hoành độ x=-1.Tìm tọa độ điểm còn lại
c Giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B Tìm quĩ tích trung điểm I của AB khi m thay đổi
Bài 12 Cho đường thẳng có phương trình:
2(m-1)x+(m-2)y=2 (d)
a Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P); y=x2 tại hai điểm phân biệt A và B
b Tìm tọa độ trung điểm của đoạn AB theo m
c Tìm m để (d) cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất
d Tìm điểm cố định mà (d) đi qua khi m thay đổi
Bài 13 Cho b, c là hai số thỏa mãn:
2
1 c
1 b
1
Chứng minh ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm: x 2 bx c 0 ; x 2 cx b 0
Bài 14 Cho (P): y=-x2
a Tìm tập hợp điểm M sao cho từ đó có thể kẻ được hai đường thẳng vuông góc với nhau và tiếp xúc với (P)
b Tìm trên (P) các điểm sao cho khoảng cách tới gốc tọa độ bằng 2
Bài 15 Cho phương trình 2x2-2mx+m2-2=0
a Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
b Giả sử phương trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dương lớn nhất của phương trình
Trang 5III Giải toán bằng cách lập phương trình - Hệ phương trình:
Bài 1 Trong tháng đầu hai tổ sản xuất được 800 chi tiết máy Sang tháng thứ hai, tổ I vượt 15%, tổ II vượt mức 20%
do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất được 945 chi tiết máy Tính xem trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy
Bài 2 Một người lái xe ôtô đi từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc dự định là 60km/h Sau khi đi được nửa
quãng đường AB với vận tốc ấy, người lái xe đã cho xe tăng vận tốc mỗi giờ 5km, do đó đã đến thành phố B sớm hơn
30 phút so với dự định
Bài 3 Một xe máy khởi hành từ Hà Nội đi Nam Định với vận tốc 35km/h Sau đó 24 phút, trên cùng tuyến đường đó,
một ôtô xuất phát từ Nam Định đi Hà Nội với vận tốc 45km/h Biết quãng đường Nam Định-Hà Nội dài 90km Hỏi sau bao lâu, kể từ khi xe máy xuất phát, hai xe gặp nhau ?
Bài 4 Một ôtô và một xe đạp đi trên quãng đường AB Vận tốc xe đạp là 15km/h còn vận tốc của ôtô là 50km/h Biết
rằng người đi xe đạp chỉ đi đoạn đường bằng
3
1 đoạn đường của ôtô và tổng thời gian đi của hai xe là 4 giờ 16 phút Tính chiều dài quãng đường cả hai đã đi
Bài 5 Một ôtô đi từ A đến B với vận tốc ban đầu là 40km/h Sau khi đi được
3
2 quãng đường, ôtô đã tăng vận tốc lên 50km/h Tính quãng đường AB biết rằng thời gian ôtô đi hết quãng đường đó là 7 giờ
Bài 6 Một canô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4 giờ, ngược dòng từ bến B về bến A mất 5 giờ Tính khoảng
cách giữa hai bến A và B, biết rằng vận tốc của dòng nước là 2km/h
Bài 7 Một canô đi xuôi dòng 44km rồi ngược dòng 27km hết 3h30' Biết rằng vận tốc thực của canô là 20km/m.Tính
vận tốc của dòng nước
Bài 8 Hai canô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85km đi ngược chiều nhau Sau 1h40 phút thì gặp nhau.
Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô biết rằng vận tốc canô đi xuôi lớn hơn vận tốc canô đi ngược 9km/h và vận tốc của một mảng bèo trôi tự do trên sông đó là 3km/h
Bài 9 Một công nhân được giao làm một số sản phẩm trong một thời gian nhất định Khi còn làm nốt 30 sản phẩm
cuối cùng người đó nhận thấy cứ giữ nguyên năng suất cũ thì sẽ chậm 30 phút, nếu tăng năng suất thêm 5 sản phẩm một giờ thì sẽ xong sớm so với dự định 30 phút Tính năng suất của người công nhân lúc đầu
Bài 10 Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h Khi đến B người đó nghỉ 20 phút rồi quay về A
với vận tốc trung bình 25km/h Tính quãng đường AB biết tổng thời gian đi lẫn về là 5 giò 50 phút
Bài 11 Lúc 6h một ôtô xuất phát từ A đến B với vận tốc trung bình là 40km/h Khi đến B người lái xe làm nhiệm vụ
giao hàng trong 30 phút rồi cho xe quay lại A với vận tốc trung bình 30km/h Tính quãng đường AB biết rằng ôtô về
đến A lúc 10h cùng ngày
Bài 12 Hai địa điểm A, B cách nhau 56km Lúc 6h45phút, một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 10km/h Sau
đó 2 giờ một người đi xe đạp đi từ B đến A với vận tốc 14km/h Hỏi đến mấy giờ họ gặp nhau và cách A bao nhiêu km?
Bài 13 Một tổ sản xuất phải làm một số dụng cụ trong một thời gian, tính ra mỗi ngày phải làm 30 dụng cụ Do làm
trong mỗi ngày 40 dụng cụ nên không những đã làm thêm 20 dụng cụ mà tổ đó còn làm xong trước thời hạn 7 ngày Tính số dụng cụ mà tổ sản xuất đó phải làm theo kế hoạch
Bài 14 Một đội máy cày dự định mỗi ngày cày 40 ha Khi thực hiện mỗi ngày cày 52 ha Vì vậy đội không những đã
cày xong trước thời hạn 2 ngày mà còn cày thêm được 4 ha Tính diện tích ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch ?
Bài 15 Một đoàn đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt được 20 tấn cá, nhưng đã vượt mức 6 tấn mỗi tuần
nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm một tuần mà còn vượt kế hoạch 10 tấn Tính mức kế hoạch đã định?
Bài 16 Một ôtô dự định đi từ A đến B với vận tốc 40km/h Lúc đầu ôtô đi với vận tốc dự định đó, nhưng tới khi còn
60km nữa thì được một nửa quãng đường AB thì ôtô tăng vận tốc thêm 10km trên quãng đường còn lại Do đó ôtô tới
B sớm hơn dự định 1 giờ
Bài 17 Hai máy làm việc trên hai cánh đồng Nếu cả hai máy cùng cày thì 4 ngày xong việc Nhưng thực tế thì hai
máy chỉ cùng làm việc với nhau trong 2 ngày đầu Sau đó máy I đi cày nơi khác, máy II một mình cày nốt trong 6 ngày nữa thì xong Hỏi mỗi máy làm một mình thì trong bao lâu cày xong cả một cánh đồng ?
Bài 18 Hai công nhân cùng làm một công việc thì 12 ngày hoàn thành Nhưng sau khi làm chung 3 ngày, người thứ
nhất đi làm việc khác, người thứ hai làm nốt công việc còn lại trong 15 ngày Hỏi mỗi người làm riêng thì sau bao lâu hoàn thành công việc ?
Bài 19 Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong Nếu người thứ nhất làm trong 3h và người hai
làm 6h thì họ làm được 25% công việc Hỏi mỗi người làm công việc đó trong mấy giờ thì xong?
Trang 6Bài 20 Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể chứa không có nước thì sau 1h30' sẽ đầy bể Nếu mở vòi thứ nhất
trong 15 phút rồi đóng lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 20 phút thì sẽ được 1/5 bể Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu đầy bể?
Bài 21 Một phòng họp có 360 ghế ngồi được xếp thành từng hàng và số ghế ở mỗi hàng đều bằng nhau Nếu số
hàng tăng thêm 1 và số ghế ở mỗi hàng cũng tăng thêm 1 thì trong phòng sẽ có 400 ghế Hỏi có ban đầu phòng họp
có bao nhiêu hàng, mỗi hàng có bao nhiêu ghế?
Bài 22 Một người đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã định Khi còn cách B một khoảng 30km, người đó
nhận thấy rằng sẽ đến B chậm hơn nửa giờ nếu giữ nguyên vận tốc đang đi, nhưng nếu tăng vận tốc thêm 5km/h thì
sẽ đến B sớm hơn nửa giờ Tính vận tốc xe đạp trên quãng đường đã đi lúc đầu?
Bài 23 Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng đường 120k trong một thời gian đã định Đi
được một nửa quãng đường xe nghỉ 3 phút nên để đến nơi đúng giờ, xe phải tăng vận tốc thêm 2km/h trên nửa còn lại của quãng đường Tính thời gian xe lăn bánh trên đường?
IV Hình học:
Bài 1 Đường phân giác thuộc cạnh huyền chia cạnh huyền của tam giác vuông thành hai đoạn theo tỉ số
4
3
Tìm độ dài 2 cạnh góc vuông biết cạnh huyền bằng 10cm
Bài 2 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH=24cm Biết AB:AC=3:4 Tính độ dài các cạnh của tam giác Bài 3 Cho tam giác ABC có B, C là các góc nhọn, đường cao AH Biết AB=9cm, BH=1cm, HC=8cm.Tính AC Bài 4 Cho tam giác ABC vuông cân tại A Một đường thẳng d bất kỳ luôn qua A Chứng minh rằng tổng bình phương
khoảng cách từ B đến d và từ C đến d là hằng số
Bài 5 Cho tam giác ABC vuông tại A Một đường thẳng cắt hai cạnh AB, AC tại D và E Chứng minh:
2 2 2
CD
Bài 6 Cho hình chữ nhật ABCD và một điểm M bất kì Chứng minh MA 2 MC 2 MB 2 MD 2
Bài 7 Cho hình chữ nhật ABCD, AC=50cm, AC tạo với AB một góc 30O Tính chu vi và diện tích của nó
Bài 8 Cho hình thang ABCD có cạnh bên AD và BC bằng nhau, đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC Biết
AD=5a, AC=12a Tính:
a
B cos B sin
B cos B sin
b Tính chiều cao của hình thang ABCD.
Bài 9 Chứng minh các hệ thức sau không phụ thuộc
A
Bài 10 Cho tam giác ABC các góc đều nhọn Vẽ các đường cao AH, BK, CL Chứng minh rằng:
cos A cos B cos C
1 S
S ) c A
cos S
S ) b BC
AC
LK AL
AB
AK
)
ABC
HKL 2
ABC AKL
2
Bài 11 Cho đoạn thẳng AB và C là một điểm nằm giữa A và B Người ta kẻ trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB hai
tia Ax và By vuông góc với AB Trên tia Ax lấy một điểm I Tia Cz vuông góc với tia CI tại C và cắt By tại K Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P Chứng minh:
a Tứ giác CPKB nội tiếp
b AI.BK=AC.CB
c. APB vuông
d Giả sử A, B, I cố định Hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn nhất
Bài 12 Cho (O) và một điểm A nằm ngoài (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với (O) (B, C, M, N
cùng thuộc (O); AM<AN) Gọi E là trung điểm của dây MN, I là giao điểm thứ hai của đường thẳng CE với (O)
a Chứng minh bốn điểm A, O, E, C cùng nằm trên một đường tròn
b Chứng minh góc AOC=góc BIC
c Chứng minh BI//MN
d Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất
Bài 13 Cho tam giác ABC vuông ở A (AB<AC), đường cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy D sao cho HD=HB Vẽ CE
vuông góc với AD (EAD)
a Chứng minh tứ giác AHCE nội tiếp
b Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHCE
Trang 7c Chứng minh CH là tia phân giác của góc ACE.
d Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng CA, CH và cung nhỏ AH của đường tròn nói trên biết AC=6cm; góc ACB = 30o
Bài 14 Cho (O) có đường kính BC Gọi A là một điểm thuộc cung BC (cung AB < cung AC) D là điểm thuộc bán
kính OC Đường vuông góc với BC tại D cắt AC ở E, cắt tia BA ở F
a Chứng minh tứ giác ADCF nội tiếp
b Gọi M là trung điểm của EF Chứng minh: góc AME=2 góc ACB
c Chứng minh AM là tiếp tuyến của (O)
d Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng BC, BA và cung nhỏ AC của (O) biết BC=8cm; góc ABC =
60o
Bài 15 Cho đường tròn (O) đường kính AB=2R và một điểm M di chuyển trên nửa đường tròn Người ta vẽ đường
tròn tâm E tiếp xúc với (O) tại M và tiếp xúc với AB tại N Đường tròn này cắt MA, MB lần lượt tại các điểm thứ hai C, D
a Chứng minh CD//AB
b Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đường thẳng MN đi qua một điểm K cố định
c Chứng minh tích KM.KN cố định
d Gọi giao điểm của các tia CN, DN với KB, KA lần lượt là C', D' Tìm vị trí của M để chu vi tam giác NC'D' đạt giá trị nhỏ nhất có thể được
Bài 16 Cho một đường tròn đường kính AB, các điểm C, D ở trên đường tròn sao cho C, D không nằm trên cùng
một nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD>AC Gọi các điểm chính giữa các cung AC, AD lần lượt là M, N Giao điểm của MN với AC, AD lần lượt là H, I Giao điểm của MD với CN là K
a CM:NKD vàMAK cân
b CM: tứ giác MCKH nội tiếp được Suy ra KH//AD
c So sánh các góc CAK với góc DAK
d Tìm một hệ thức giữa số đo AC, số đo AD là điều kiện cần và đủ để AK//ND
Bài 17 Cho (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm A và tiếp tuyến chung Ax Một đường thẳng d tiếp xúc với (O1), (O2) lần lượt tại B, C và cắt Ax tại điểm M Kẻ các đường kính BO1D, CO2E
a Chứng minh M là trung điểm BC
b Chứng minhO1MO2 vuông
c Chứng minh B, A, E thẳng hàng; C, A, D thẳng hàng
d Gọi I là trung điểm của DE Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xúc với d