b) Chöùng minh: Phaân giaùc ngoaøi cuûa goùc OBH luoân ñi qua 1 ñieåm coá ñònh khi B di ñoäng treân (O). c) GoÏi M laø giao ñieåm cuûa BH vôùi phaân giaùc cuûa goùc AOB. Treân cung nho[r]
(1)CÁC BAØI TẬP NÂNG CAO LUYỆN THI VAØO LỚP 10 A ĐẠI SỐ:
Bài 1: Thực phép tính:
a) 2 2 b) 4 15 10 6 4 15 c)
1 1
1 2 3 48 49 d)
√2+√3+√6+√8+4 √2+√3+√4
Bài 2: Cho biết (x+√x2+3)(y+√y2+3)=3 (1) Hãy tính : E = x+ y
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A, B với A(2m – ; m2 + 1) B(m + ; 1) Xác định giá trị
của m để độ dài đoạn thẳng AB ngắn Bài 4: Giải hệ phương trình:
4
) ;
9
x y
a
y x
1
)
1 12
x y
b
x y
Bài 5: Cho hệ phương trình:
3
(2 1)
mx y
m x y
Với giá trị nguyên m hệ có nghiệm ngun Bài 6: Tìm m để hệ phương trình
3 (1)
3 (2)
x y m
x my
có nghiệm thỏa mãn x > y > 0.
Bài 7: Chứng minh với a, b, c phương trình: (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = ln có nghiệm
Bài 8: Cho hệ số a, b, c thỏa mãn điều kiện a > 0; b > a + c Chứng minh phương trình: ax2 + bx + c = có hai nghiệm phân biệt.
Bài 9: Chứng minh phương trình (ẩn x) sau có nghiệm: ax2 + 2bx + c = (1)
bx2 + 2cx + a = (2)
cx2 + 2ax + b = (3)
Baøi 10: Xét phương trình bậc hai (ẩn x):
ax2 + bx + c = (1) vaø ax2 + bx – c = (2)
a) Tìm điều kiện để hai vơ nghiệm
b) Chứng tỏ có phương trình có nghiệm
Bài 11: Cho a, b, c ba số thỏa mãn a > b > c > a + b + c = 12 Chứng minh ba phương trình sau:
x2 + ax + b = (1)
x2 + bx + c = (2)
x2 + cx + a = (3)
có phương trình có nghiệm, có phương trình vô nghiệm Bài 12: Cho a, b, c ba số khác thỏa mãn 3ab + 4bc + 5ca = -
Chứng tỏ phương trình (ax2 + bx + c)(bx2 + cx + a)( cx2 + ax + b) = có nghiệm.
Bài 13: Cho hai phương trình (ẩn x): x2 + x + a = vaø x2 + ax + = 0.
Tìm a để hai phương trình vơ nghiệm
Bài 14: Với giá trị a hai phương trình (ẩn x): x2 – ax + = (1) x2 – x + a = (2)
(2)Bài 15: Giải phương trình:
a) x x 0 b) 2x 5 x 8
c) x2 3x x2 3x5 7 d)
4 2 x x x e) 36 9 x x x f)
3 17
2 x x x x Bài 16: Giải phương trình:
2
2 2 2
2
2 2
2
) ) 3
) 2 10 16 ) 3
2
) )
1
a x x b x x x x
c x x x x d x x x x
x x
e x x x x f
x x
Bài 17: Giải phương trình:
2 2
) 12 330 ) 21
) 15 ) 7 18 24
a x x x x b x x
c x x x x d x x x x
Baøi 18: Các số a b c, , 1; 4 thoả mãn điều kiện a+2b+3c ≤4
Chứng minh bất đẳng thức: a2+2b2+3c2≤36 Đẳng thức xảy ?
Bài 19: Với số k nguyên dương, đặt Sk = ( + 1)k + ( - 1)k
Chứng minh rằng: Sm+n + Sm- n = Sm Sn với m, n số nguyên dương m > n
Baứi 20:
a) Giải hệ phơng tr×nh: 2
2 0
( 1) 1
x y xy
x y x y xy
b) Chøng minh r»ng víi mäi x ta lu«n cã:
2
(2x1) x x 1 (2x 1) x x 1
Bài 21: Giải phương trình:
a) ( )
2 1 2 2 1
4
x - + x + + =x x + +x x+
b)
1 1
3
x 2x 4x 5x
.
Baøi 22: Cho số thực m, n, p thỏa mãn :
2
2 1
2
m
n np p
Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức : B = m + n + p
Bài 23: Cho hai sè a,b kh¸c tho¶ m·n 2a2 +
2 b
a = Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc S = ab + 2009. Baøi 24: Cho x, y tháa m·n:
3
x2 y y2 x Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc:
2
B x 2xy 2y 2y 10.
Bài 25: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: A =
6 4x
x
(3)Baøi 26: Cho b,c hai số thoả mãn hệ thức:
1 1
2
b c .Chứng minh hai phương trình sau
phải có nghiệm: x2 + bx + c = (1) ; x2 + cx + b = (2)
Baứi 27: Cho số dơng x, y, z tháa m·n xyz - 16
0
x y z
Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc P = (x + y)(x + z)
Baứi 28: Tìm số nguyên x; y thoả mãn đẳng thức: x2+ xy + y2 - x2y2 = 0
Baøi 29: Gọi x , x hai nghiệm phương trình: x2 2(m 1)x 2m 29m 0 (m tham số). Chứng minh :
1
1
7(x x )
x x 18
2
Baøi 30:
a) Cho số a, b, c > Chứng minh rằng: 3 3 3
1 1
a b abc b c abc c a abc abc
b) Tìm x, y nguyên cho x + y + xy + = x2 + y2
c) Cho x, y > x y 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2
1
A
x y xy
B HÌNH HỌC:
Bài 1: Cho đường trịn (O) đường kính AB = 2R, C trung điểm OA dây MN vng góc với OA C Gọi K điểm tùy ý cung nhỏ BM, H giao điểm AK MN
a) Chứng minh tứ giác BCHK tứ giác nội tiếp b) Tính tích AH AK theo R c) Xác định vị trí điểm K để tổng (KM + KN + KB) đạt giá trị lớn tính giá trị lớn
Bài 2: Cho đường trịn (O) nội tiếp tam giác cân ABC (AC = AB) tiếp xúc với cạnh AB, BC, AC D, E, F
a) Chứng minh tứ giác OECF nội tiếp b) Chứng minh DF // BC
c) BF cắt đường tròn (O) P Gọi I giao điểm DP với BC Chứng minh IEP IDE; IBP IDB
d) Chứng minh diện tích tam giác DBI diện tích tam giác DIE
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) có đường cao AH trung tuyến AM Vẽ đường trịn tâm H bán kính AH, cắt AB điểm D, cắt AC điểm E (D E khác điểm A) Chứng minh rằng:
a) D, H, E thẳng hàng b) MAE ADE MA DE
c) Bốn điểm B, C, D, E thuộc đường tròn d) DE BC e) Cho góc ACB300 AH = a Tính diện tích tam giác HEC theo a.
Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có ACB450 Đường trịn tâm I, đường kính AB cắt cạnh AC BC M N
a) Chứng minh MN OC
b) Chứng minh MN AB : 2.
c) Cho A, B cố định, ACB450 không đổi C di động cung lớn AB Tìm quỹ tích trung điểm P IC
Bài 5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn đường cao AH Gọi M N điểm đối xứng H qua AB AC
(4)c) Giả sử MN cắt AB AC F E Chứng minh E thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMBH d) Chứng minh AH, BE, CF đồng quy
Bài 6: Cho đường trịn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm A O cho
2 . AI AO
Kẻ dây MN vng góc với AB I Gọi C điểm tùy ý thuộc cung lớn MN cho C không trùng với M, N B Nối AC cắt MN E
a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp
b) Chứng minh AME ACM AM2 = AE.AC
c) Chứng minh AE.AC – AI.IB = AI2.
d) Hãy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ
Bài 7: Cho đường tròn (O; R), đường thẳng d không qua O cắt đường tròn hai điểm A B Từ điểm C d (C nằm ngồi đường trịn) kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đường tròn (M, N thuộc (O)) Gọi H trung điểm AB, đường thẳng OH cắt tia CN K
a) Chứng minh bốn điểm C, O, H, N nằm đường tròn b) Chứng minh KN.KC = KH.KO
c) Đoạn thẳng CO cắt đường tròn (O) I Chứng minh I cách CM, CN, MN
d) Một đường thẳng qua O song song với MN cắt tia CM, CN E F Xác định vị trí C d cho diện tích tam giác CEF nhỏ
Bài 8: Cho tam giác ABC nhọn, AB < AC, hai đường cao BD, CE cắt H I trung điểm BC Hai đường tròn ngoại tiếp BEI CDI cắt K (khác I)
a) Chứng minh BDK CEK .
b) DE cắt BC M Chứng minh M, H, K thẳng hàng c) Chứng minh tứ giác BKDM nội tiếp
Bài 9: Cho đường tròn (O; R), đường thẳng d cắt (O) A B Từ điểm M d đường tròn vẽ hai tiếp tuyến MN, MP (N P hai tiếp điểm)
a) Chứng minh NMO NPO .
b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP qua hai điểm cố định M di động d c) Xác định vị trí M d cho MNOP hình vng
Bài 10: Cho nửa đường trịn (O), đường kính AB C điểm đoạn thẳng AB Nối C với điểm M nửa đường trịn Đường thẳng vng góc M với CM cắt tiếp tuyến A B E F a) Chứng minh ACME BCMF tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh ECF 900.
c) Tìm quỹ tích trung điểm N EF M chạy nửa đường trịn đường kính AB với C cố định
Bài 11: Cho ba điểm A, B, C nằm đường thẳng xy theo thứ tự Vẽ đường trịn (O) qua B C Từ A vẽ hai tiếp tuyến AM, AN Gọi E F trung điểm BC MN
a) Chứng minh AM2 = AN2 = AB.AC.
b) Đường thẳng ME cắt đường tròn (O) I Chứng minh IN // AB
c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF nằm đường thẳng cố định đường tròn (O) thay đổi
Bài 12: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi I điểm cung nhỏ BC Trên cạnh AB lấy điểm M tia AC lấy điểm N cho: CN = BM (C nằm A, N) Chứng minh:
a) IM = IN b) Tứ giác AMIN nội tiếp
(5)d) Cho P điểm di động cung ACI H hình chiếu P xuống AI; E hình chiếu H xuống AP; F hình chiếu H xuống IP Xác định vị trí P để tứ giác PEHF có diện tích lớn
Bài 13: Cho (O; R) đường thẳng xy tiếp xúc với (O) A Điểm B lấy (O), kẻ BH vng góc xy H
a) Chứng minh: BA phân giác góc OBH
b) Chứng minh: Phân giác ngồi góc OBH ln qua điểm cố định B di động (O) c) GoÏi M giao điểm BH với phân giác góc AOB Tìm quĩ tích M B di động (O) Bài 14: Cho Δ ABC nội tiếp (O) Trên cung nhỏ AB lấy M, dây MC lấy N cho MB = CN a) Chứng minh : Δ AMN
b) Kẻ đường kính BD (O) Chứng minh: MD đường trung trực AN
c) Tiếp tuyến kẻ từ D (O) cắt tia BA MC T, K Tính số đo độ góc tổng
NATNKT
d) Khi M di động cung nhỏ AB, xác định vị trí M để tổng MA + MB lớn ?
Bài 15: Trên đường tròn tâm O lấy dây cung cố định AB khác đường kính hai điểm C, D di động cung lớn AB cho AD // BC
a) Chứng minh: Hai cung AB, CD
b) Khi AC BD cắt M; C D di động theo điều kiện điểm M chạy đường ? Hãy xác định đường ?
c) Một đường thẳng d qua M song song với AD CMR: d chứa đường phân giác góc AMB d qua điểm cố định mà ta đặt điểm I