De thi hoc sinh gioi toan 9

[r]

Phòng giáo dục đào tạo

Chi lăng lớp THcs năm học 2008-2009Kỳ thi chọn Học sinh Giỏi

Môn : Toán

Thi gian:150 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề thi gm 01 trang)

Câu 1 (4 điểm)

Giải phơng trình:

x 10

x 3 3

2 x 3



 

.

Câu (4 điểm)

Trên đờng thẳng y = 2

3x + 1, tìm điểm có tọa độ nguyên nằm hai đ-ờng thẳng x = -5 x = 10 (Tọa độ nguyên tọa độ có hồnh độ tung độ l s nguyờn)

Câu 3 (6 điểm).

Trên cạnh AB, BC, CA tam giác ABC lấy theo thứ tự điểm M, N, P (khác đỉnh tam giác) cho AM = BN = CP

1 Gọi G trọng tâm tam giác ABC chứng minh GM = GN = GP. 2 Xác định vị trí điểm M, N, P để chu vi tam giác MNP nhỏ nhất. Câu 4 (3 điểm)

Cho M điểm nằm tam giác ABC Chứng minh từ ba đoạn MA, MB, MC ta dng c mt tam giỏc.

Câu 5 (3 điểm)

Tìm tất số nguyên dơng n để: P = n2012 + n + số nguyờn t.

Họ tên thí sinh: Sè b¸o danh: ……… hÕt …………

Phịng giáo dc o to

Chi lăng Kỳ thi chọn HsG lớp THcsnăm học 2008-2009 Hớng dẫn chấm: Toán - Líp 9

Chú ý: Các cách giải khác đáp án , mà cho điểm theo thang điểm ó nh.

Cách giải Điểm

Câu (4 điểm) Pt x x x 10 x 3         x 1 

 x = VËy nghiÖm pt x =

2 1

Câu (4 điểm) Gọi M(x; y) với x, y số nguyên điểm phải tìm

y =

2

3x + để x, y số nguyên x = 3k, kZ x phải thỏa mãn -5  x  10 suy -1 k  3, kZ

Vậy điểm cần tìm (-3; -1), (0; 1), (3; 3), (6; 5), (9; 7)

1 1

Câu (6 điểm).

VÏ h×nh 0,5

1 Ta cã AM = BN (gt),

Do G trọng tâm ABC nên: GA = GB GAM GBN 30   Do GMA = GNB  GM = GN. Tơng tự GM = GP Vậy: GM = GN = GP

1 1 Từ AMP = BNM = CPN  MNP đều

Suy tam giác cân GMN GKH đồng dạng Do đó:

MN GN

KH GH

Do GH BC  GN  GH,

V× vËy MN  KH, dÊu b»ng  N  H

Hay: M, N, P trung điểm cạnh tơng ứng

Vy chu vi tam giỏc MNP nhỏ M, N, P trung điểm cạnh tơng ứng cho

1 0,5 0,5 0,5

Câu (3 điểm). Không giảm tổng quát giả sư MA  MB vµ MAMC Ta chøng minh MA < MB + MC

Gọi N giao điểm AM BC, ta có AM < AN Mặt khác N nằm đoạn BC nên:

AN < max{AB, AC} = BC  AM < BC

Từ MBC ta có BC < MB + MC  MA < MB + MC Vậy MA, MB, MC độ dài ba cạnh tam giác

1 1 1

Câu (3 điểm).

Với n = ta có P = số nguyên tố

Với n nguyên n > ta cã: P = n2(n2010 - 1) + n2 + n + 1.

Do: n2010 - = (n3)670 - chia hÕt cho (n3 - 1), vµ n3 - = (n- 1)(n2 + n +1)

Suy ra: P chia hÕt cho n2 + n + hay P hợp số n > 1, n N

VËy n =