123doc cong thu c truy ho i va u ng du ng

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHAN VĂN TUYỂN CÔNG THỨC TRUY HỒI VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60 46 40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2011 Cơng trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: PGS TSKH Trần Quốc Chiến Phản biện 1: TS Lê Hồng Trí Phản biện 2: TS Hồng Quang Tuyến Luận văn ñược bảo vệ Hội ñồng chấm luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 29 tháng năm 2011 * Có thể tìm luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn ñề tài Có thể nói tư tổ hợp ñời từ sớm Vào thời nhà Chu Trung Quốc, người ta biết đến hình vng thần bí Thời cổ Hy lạp, kỷ thứ tư trước công ngun, nhà triết học Kxenokrat biết cách tính số từ khác lập từ bảng chữ cho trước Nhà tốn học Pitagor học trị tìm nhiều số có tính chất đặc biệt Tuy nhiên nói rằng, lý thuyết tổ hợp hình thành ngành tốn học vào kỷ XVII loạt cơng trình nghiên cứu nhà toán học xuất sắc Pascal, Fermat, Euler, Leibnitz, … Các vấn ñề liên quan ñến lý thuyết tổ hợp phận quan trọng, hấp dẫn thú vị tốn học nói chung tốn rời rạc nói riêng Nó nội dung phong phú ñược ứng dụng nhiều thực tế sống, ñặc biệt từ tin học ñời Trong toán sơ cấp, tổ hợp xuất nhiều tốn lí thú với độ khó cao Cơng thức truy hồi chủ ñề hay lý thuyết tổ hợp, kỹ thuật ñếm cao cấp ñể giải tốn đếm cơng cụ hữu hiệu để giải tốn khác có liên quan Chính lý trên, tơi chọn đề tài: “Cơng thức truy hồi ứng dụng” để làm ñề tài luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng cơng thức truy hồi để giải lớp tốn tổ hợp dãy số Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu lý thuyết tổ hợp, đặc biệt cơng thức truy hồi - Tìm hiểu xây dựng ứng dụng công thức truy hồi Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu công thức truy hồi - Phạm vi nghiên cứu công thức truy hồi ứng dụng tốn tổ hợp dãy số Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết - Phân loại hệ thống dạng toán Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài - Góp phần nghiên cứu tính ứng dụng công thức truy hồi - Đề tài áp dụng vào thực tiễn để giải tốn đặt từ thực tế sống Cấu trúc luận văn Ngồi phần mở đầu kết luận, luận văn ñược chia làm ba chương: - Chương Bài toán tổ hợp toán ñếm, - Chương Công thức truy hồi, - Chương Ứng dụng công thức truy hồi CHƯƠNG BÀI TOÁN TỔ HỢP VÀ CÁC BÀI TOÁN ĐẾM 1.1 Bài toán tổ hợp 1.1.1 Bài toán tổ hợp Bài tốn tổ hợp đa dạng, liên quan ñến nhiều vấn ñề, nhiều lĩnh vực khoa học ñời sống khác Chẳng hạn toán tháp Hà nội, toán xếp n cặp vợ chồng, … Lý thuyết tổ hợp nghiên cứu việc phân bố, xếp phần tử nhiều tập hợp thỏa mãn điều kiện Mỗi cách phân bố, xếp gọi cấu hình tổ hợp 1.1.2 Cấu hình tổ hợp Cho tập hợp A1, A2, …, An Giả sử S sơ ñồ xếp phần tử A1, A2, …, An ñược mô tả quy tắc xếp R1, R2, …, Rm ñiều kiện ràng buộc lên xếp theo sơ đồ S Khi xếp phần tử A1, A2, …, An thỏa mãn ñiều kiện R1, R2, …, Rm gọi cấu hình tổ hợp tập A1, A2, …, An 1.1.3 Các dạng toán tổ hợp Với cấu hình tổ hợp, ta thường gặp bốn dạng toán sau: toán tồn tại, tốn đếm, tốn liệt kê tốn tối ưu 1.2 Bài tốn đếm 1.2.1 Ngun lý cộng nguyên lý nhân 1.2.1.1 Nguyên lý nhân Giả sử cấu hình tổ hợp xây dựng qua k bước, bước thực n1 cách, bước thực n2 cách, …, bước k thực nk cách Khi số cấu hình tổ hợp n1 n2 … nk 1.2.1.2 Nguyên lý cộng Giả sử {X1, X2, …, Xn} phân hoạch tập S Khi ñó |S| = |X1| + |X2| + … + |Xn| 1.2.2 Các cấu hình tổ hợp 1.2.2.1 Chỉnh hợp lặp Định nghĩa 1.1 Một chỉnh hợp lặp chập k n phần tử khác có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử cho Các thành phần lặp lại Định lý 1.1 Gọi số tất chỉnh hợp lặp chập k n phần tử AR(n,k) AR(n,k) = nk 1.2.2.2 Chỉnh hợp khơng lặp Định nghĩa 1.2 Một chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử khác có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử cho Các thành phần khơng lặp lại Định lý 1.2 Gọi số tất chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử A(n,k) A(n,k) = n! ( n − k )! 1.2.2.3 Hoán vị Định nghĩa 1.3 Một hoán vị n phần tử khác cách xếp thứ tự phần tử Định lý 1.3 Gọi số tất hoán vị n phần tử P(n) P(n) = n ! 1.2.2.4 Tổ hợp Định nghĩa 1.4 Một tổ hợp chập k n phần tử khác không kể thứ tự gồm k thành phần khác lấy từ n phần tử cho Nói cách khác ta coi tổ hợp chập k n phần tử khác tập có k phần tử từ n phần tử ñã cho Định lý 1.4 Gọi số tổ hợp chập k n phần tử C(n,k) C(n,k) = n! k!( n − k )! 1.2.3 Các cấu hình tổ hợp mở rộng 1.2.3.1 Hoán vị lặp Định nghĩa 1.5 Hoán vị lặp hốn vị phần tử ñược ấn ñịnh số lần lặp lại cho trước Định lý 1.5 Số hoán vị lặp k phần tử khác nhau, phần tử thứ lặp n1 lần, phần tử thứ lặp n2 lần, , phần tử thứ k lặp nk lần P(n; n1, n2, , nk) = n! , n1 !.n2 ! nk ! n = n1 + n2 + … + nk 1.2.3.2 Tổ hợp lặp Định nghĩa 1.6 Tổ hợp lặp chập k từ n phần tử khác nhóm khơng phân biệt thứ tự gồm k phần tử trích từ n phần tử cho, ñó phần tử ñược lặp lại Định lý 1.6 Giả sử X có n phần tử khác Khi số tổ hợp lặp chập k từ n phần tử X, ký hiệu CR(n,k), CR(n,k) = C(k + n – 1,n – 1) = C(k + n – 1,k) 1.2.4 Hàm sinh Định nghĩa 1.7 Cho dãy số thực (ar)r = (a0, a1, a2, ) biến x Khi hàm sinh g(x) dãy (a0, a1, a2, ) biểu thức hình thức ∞ g(x) = a0 + a1x + a2x2 + … = ∑ a x k =0 k k Khi dùng để giải tốn đếm, hàm sinh ñược coi chuỗi lũy thừa hình thức Các phép tốn hàm sinh thực cách tự nhiên không quan tâm đến tính chất giải tích chúng (bán kính hội tụ chuỗi tương ứng 0) Định lý 1.7 i) Nếu g(x) hàm sinh dãy (ar)r h(x) hàm sinh dãy (br)r p.g(x) + q.h(x) hàm sinh dãy (p.ar + q.br)r với số thực p q ii) Nếu g(x) hàm sinh dãy (ar)r h(x) hàm sinh dãy (br)r g(x).h(x) hàm sinh dãy r ( ∑ i =0 aibr-i)r CHƯƠNG CÔNG THỨC TRUY HỒI 2.1 Khái niệm công thức truy hồi Định nghĩa 2.1 Công thức truy hồi dãy số s(0), s(1), s(2), phương trình xác định s(n) phần tử s(0), s(1), s(2), …, s(n–1) trước s(n) = F(s(0), s(1), s(2), …, s(n–1)) Điều kiện ban ñầu giá trị gán cho số hữu hạn phần tử ñầu 2.2 Giải công thức truy hồi phương pháp lặp Nội dung phương pháp thay liên tiếp cơng thức truy hồi vào nó, lần thay bậc n giảm đơn vị, đạt giá trị ban đầu 2.3 Cơng thức truy hồi tuyến tính hệ số 2.3.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.2 Cơng thức truy hồi tuyến tính hệ số bậc k có dạng s(n) = c1.s(n–1) + c2.s(n–2) + … + ck.s(n–k) + f(n), (2.1) ñó c1, c2, …, ck số, ck ≠ f(n) hàm theo n Điều kiện ban ñầu (2.1) giả thiết số phần tử đầu dãy có giá trị cho trước: s(0) = C0, s(1) = C1, …, s(k–1) = Ck-1 10 Định nghĩa 2.3 Nếu f(n) ≠ 0, (2.1) gọi cơng thức truy hồi tuyến tính khơng hệ số bậc k Nếu f(n) = 0, (2.1) gọi cơng thức truy hồi tuyến tính hệ số bậc k 2.3.2 Nghiệm Định lý 2.1 Cho công thức truy hồi tuyến tính khơng hệ số bậc k s(n) = c1.s(n–1) + c2.s(n–2) + … + ck.s(n–k) + f(n) (2.2) Khi nghiệm tổng qt (2.2) có dạng s(n) = h(n) + p(n), với p(n) nghiệm riêng (2.2) h(n) nghiệm tổng qt cơng thức truy hồi tuyến tính ứng với (2.2) s(n) = c1.s(n–1) + c2.s(n–2) + … + ck.s(n–k) (2.3) Định lý 2.2 Nếu s1, s2, …, sm nghiệm cơng thức truy hồi tuyến tính hệ số bậc k s(n) = c1.s(n–1) + c2.s(n–2) + … + ck.s(n–k) (2.4) s = C1.s1 + C2.s2 + … + Cm.sm nghiệm (2.4), với C1, C2, …, Cm số tuỳ ý Xét cơng thức truy hồi tuyến tính hệ số bậc k s(n) = c1.s(n–1) + c2.s(n–2) + … + ck.s(n–k) (2.4) Phương trình đặc trưng cơng thức truy hồi (2.4) có dạng tk – c1.tk-1 – c2.tk-2 – … – ck = (2.5) 12 t2 – c1.t – c2 = (2.7) i) Nếu phương trình đặc trưng (2.7) có hai nghiệm phân biệt r1 r2 nghiệm tổng quát (2.6) có dạng s(n) = C1 r1n + C2 r2n , C1, C2 số ii) Nếu phương trình đặc trưng (2.7) có nghiệm kép r0 nghiệm tổng quát (2.6) có dạng s(n) = C1 r0n + C2.n r0n , C1, C2 số iii) Nếu phương trình đặc trưng (2.7) có hai nghiệm phức liên hợp r = x + i.y r = x – i.y (i2 = –1) nghiệm tổng qt (2.6) có dạng s(n) = λ n (C1.cos(n ϕ ) + C2.sin(n ϕ )), λ = x + y , tg ϕ = y π π , ϕ ∈ (– , ) C1, C2 x 2 số Hệ 2.2 Cho công thức truy hồi tuyến tính hệ số bậc ba s(n) = c1.s(n–1) + c2.s(n–2) + c3.s(n–3), (2.8) c1, c2, c3 số c3 ≠ Phương trình đặc trưng cơng thức (2.8) có dạng t3 – c1.t2 – c2.t – c3 = (2.9) 13 i) Nếu phương trình đặc trưng (2.9) có ba nghiệm thực phân biệt r1, r2, r3 nghiệm tổng quát (2.8) có dạng s(n) = C1 r1n + C2 r2n + C3 r3n , C1, C2, C3 số ii) Nếu phương trình đặc trưng (2.9) có nghiệm thực r0 bội nghiệm đơn r1 nghiệm tổng qt (2.8) có dạng s(n) = (C1 + C2.n) r0n + C3 r1n , C1, C2, C3 số iii) Nếu phương trình đặc trưng (2.9) có nghiệm thực r0 bội nghiệm tổng quát (2.8) có dạng s(n) = (C1 + C2.n + C3.n2) r0n , C1, C2, C3 số iv) Nếu phương trình đặc trưng (2.9) có nghiệm thực r1 hai nghiệm phức liên hợp r2,3 = x ± i.y = λ (cos ϕ ± i.sin ϕ ) nghiệm tổng qt (2.8) có dạng s(n) = C1 r1n + λ n (C2.cos(n ϕ ) + C3.sin(n ϕ )), C1, C2, C3 số 2.3.3 Nghiệm riêng 2.3.3.1 Nghiệm riêng công thức truy hồi tuyến tính hệ số bậc Cơng thức truy hồi tuyến tính khơng hệ số bậc có dạng s(n) = q.s(n–1) + f(n), (2.10) 14 q ≠ 0, f(n) hàm n f(n) ≠ Nghiệm ñặc trưng s(n) = q.s(n–1) λ = q Định lý 2.5 Nếu f(n) ña thức bậc m n: f(n) = Pm(n) nghiệm riêng p(n) (2.10) có dạng: i) p(n) = Qm(n), λ ≠ 1, ii) p(n) = n.Qm(n), λ = 1, Qm(n) ña thức bậc m n Định lý 2.6 Nếu f(n) = α β n ( α , β ≠ 0) nghiệm riêng p(n) (2.10) có dạng: i) p(n) = c β n , λ ≠ β ii) p(n) = cn β n , λ = β Định lý 2.7 Nếu f(n) = Pm(n) β n ( β ≠ 0, Pm(n) ña thức bậc m n) nghiệm riêng p(n) (2.10) có dạng: i) p(n) = Qm(n) β n , λ ≠ β , ii) p(n) = n.Qm(n) β n , λ = β , Qm(n) ña thức bậc m n Định lý 2.8 Nếu - p1(n) nghiệm riêng phương trình s(n) = q.s(n–1) + f1(n), - p2(n) nghiệm riêng phương trình s(n) = q.s(n–1) + f2(n), … - pk(n) nghiệm riêng phương trình s(n) = q.s(n–1) + fk(n), 15 p(n) = p1(n) + p2(n) + … + pk(n) nghiệm riêng phương trình s(n) = q.s(n–1) + f1(n) + f2(n) + … + fk(n) 2.3.3.2 Nghiệm riêng cơng thức truy hồi tuyến tính hệ số bậc hai Công thức truy hồi tuyến tính khơng hệ số bậc hai có dạng s(n) = a.s(n–1) + b.s(n–2) + f(n), (2.11) ñó b ≠ 0, f(n) hàm n f(n) ≠ Phương trình đặc trưng s(n) = a.s(n–1) + b.s(n–2) λ – a λ – b = (2.12) Định lý 2.9 Nếu f(n) ña thức bậc k n: f(n) = Pk(n) nghiệm riêng p(n) (2.11) có dạng: i) p(n) = Qk(n), (2.12) khơng có nghiệm λ = 1, ii) p(n) = n.Qk(n), (2.12) có nghiệm đơn λ = 1, iii) p(n) = n2.Qk(n), (2.12) có nghiệm kép λ = 1, với Qk(n) ña thức bậc k n Định lý 2.10 Nếu f(n) = Pk(n) β n ( β ≠ 0, Pk(n) ña thức bậc k n) nghiệm riêng p(n) (2.11) có dạng i) p(n) = Qk(n) β n, (2.12) khơng có nghiệm λ = β , ii) p(n) = n.Qk(n) β n, (2.12) có nghiệm đơn λ = β , iii) p(n) = n2.Qk(n) β n, (2.12) có nghiệm kép λ = β , Qk(n) ña thức bậc k n Định lý 2.11 Nếu 16 - p1(n) nghiệm riêng phương trình s(n) = a.s(n–1) + b.s(n–2) + f1(n), - p2(n) nghiệm riêng phương trình s(n) = a.s(n–1) + b.s(n–2) + f2(n), … - pk(n) nghiệm riêng phương trình s(n) = a.s(n–1) + b.s(n–2) + fk(n), p(n) = p1(n) + p2(n) + … + pk(n) nghiệm riêng phương trình s(n) = a.s(n–1) + b.s(n–2) + f1(n) + f2(n) + … + fk(n) Từ ñịnh lý nghiệm riêng trên, ta có kết luận sau Kết luận Cho cơng thức truy hồi tuyến tính không hệ số s(n) = a.s(n–1) + b.s(n–2) + f(n), (2.13) với a, b số thực, a2 + b2 ≠ f(n) ≠ i) Giả sử f(n) = Qm(n).sn, với Qm(n) ña thức bậc m n s số thực Khi đó: - Nếu s khơng nghiệm đặc trưng phương trình tương ứng s(n) = a.s(n–1) + b.s(n–2) nghiệm riêng p(n) (2.13) có dạng p(n) = Pm(n).sn, với Pm(n) ña thức bậc m n - Nếu s nghiệm ñặc trưng bội q phương trình tương ứng s(n) = a.s(n–1) + b.s(n–2) nghiệm riêng p(n) (2.13) có dạng p(n) = nq Pm(n).sn, với Pm(n) ña thức bậc m n 17 ii) Giả sử f(n) = f1(n) + f2(n) + … + fk(n) Trong trường hợp này, ta tìm nghiệm riêng pi(n) ứng với hàm fi(n), i = 1, 2, …, k Khi nghiệm riêng p(n) (2.13) có dạng p(n) = p1(n) + p2(n) + … + pk(n) Nhận xét 2.2 Kết luận cịn cơng thức truy hồi tuyến tính khơng hệ số bậc k (k > 2) 2.4 Tuyến tính hóa cơng thức truy hồi Giả sử dãy số (un) thỏa mãn ñiều kiện u1 = a1, u2 = a2 , …, uk = ak un = f(un-1, un-2, …, un-k) với n, k ∈ N*, n > k, f ña thức bậc m, phân thức, biểu diễn siêu việt Giả sử un = f(un-1, un-2, …, un-k) tuyến tính hóa Khi điều kiện cần tồn số x1, x2 , …, xk ñể un = x1un-1 + x2un-2 + … + xkun-k (2.14) Để tìm x1, x2 , …, xk trước hết ta xác ñịnh uk+1, uk+2 , …, u2k Từ cơng thức lặp, ta có uk+1 = f(ak, ak-1, …, a2, a1) : = ak+1 uk+2 = f(ak+1, ak, …, a3, a2) : = ak+2 … u2k = f(a2k-1, a2k-2, …, ak+1, ak) : = a2k Thay giá trị u1, u2, …, uk ñã cho giá trị uk+1, uk+2, …, u2k vừa tìm vào (2.14), ta hệ phương trình tuyến tính gồm k phương trình với k ẩn x1, x2 , …, xk 18 uk+1 = x1.ak + x2.ak-1 + … + xk.a1 uk+2 = x1.ak+1 + x2.ak + … + xk.a2 (*) … u2k = x1.a2k-1 + x2.a2k-2 + … + xk.ak Giải hệ phương trình trên, ta tìm nghiệm x1, x2 , …, xk Thay vào (2.14), ta dạng biểu diễn tuyến tính cần tìm un = f(un-1, un-2, …, un-k) = x1un-1 + x2un-2 + … + xkun-k Sau ta kiểm tra ñiều kiện ñủ phương pháp quy nạp toán học Lưu ý Nếu hệ (*) vơ nghiệm hàm f khơng thể tuyến tính hóa 2.5 Giải cơng thức truy hồi hàm sinh Ngồi việc giải cơng thức truy hồi phương pháp lặp, phương trình đặc trưng, ta giải cơng thức truy hồi hàm sinh Nội dung phương pháp tìm cơng thức tường minh cho hàm sinh liên đới Nghĩa giả sử ta cần tìm số hạng tổng quát dãy số {an} cơng thức truy hồi đó, ta thiết lập hàm sinh F(x) {an} Dựa vào công thức truy hồi, ta tìm phương trình cho F(x), giải phương trình đó, ta tìm F(x) Khai triển F(x) theo lũy thừa x (khai triển Taylor), ta tìm an với n Trên lý thuyết, ta phải dùng công thức Taylor để tìm khai triển F(x) Đây toán phức tạp Tuy nhiên, nhiều 19 trường hợp, cơng thức nhị thức Newton tổng qt ñã ñủ dùng (1 + x ) α = + α x + α (α − 1) 2! x + + α (α − 1) (α − n + 1) n! Ta có kết quen thuộc sau: + x + x2 + x3 + … = (|x| < 1) 1− x + 2x + 3x2 + 4x3 + … = (1 − x ) x n + 20 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA CÔNG THỨC TRUY HỒI 3.1 Ứng dụng vào tốn tổ hợp Cơng thức truy hồi phương pháp hiệu ñể giải toán tổ hợp Nội dung khó khăn phương pháp thiết lập công thức truy hồi cho tốn, tức thay đếm trực tiếp s(n) theo u cầu tốn, ta thiết lập cơng thức liên hệ s(n), s(n–1), … để từ tính ñược s(n) Như vậy, ñể giải toán tổ hợp công thức truy hồi, ta thực bước sau: Bước Tìm giá trị ban đầu s(0) = C0, s(1) = C1, …, s(k–1) = Ck-1 Bước Thiết lập công thức truy hồi s(n) = c1.s(n–1) + c2.s(n–2) + … + ck.s(n–k) + f(n) Bước Giải cơng thức truy hồi với điều kiện ban đầu để tìm số hạng tổng qt s(n) 3.1.1 Ứng dụng cơng thức truy hồi tuyến tính bậc Bài tốn 3.1.1 (Bài tốn tháp Hà nội) Có ba cọc 1, 2, Ở cọc có n ñĩa, kích thước khác nhau, xếp chồng lên cho ñĩa nằm lớn ñĩa nằm Hãy chuyển tất ñĩa từ cọc sang cọc với ñiều kiện lần ñược chuyển ñĩa từ cọc sang cọc khác ñảm bảo ñĩa nằm lớn ñĩa nằm Hãy tính số lần di chuyển đĩa 21 Bài tốn 3.1.2 (Bài toán chia mặt phẳng) Trên mặt phẳng kẻ n đường thẳng cho khơng có ba đường đồng quy khơng có hai đường song song Hỏi mặt phẳng chia làm phần? Bài tốn 3.1.3 (Bài toán lãi kép) Giả sử người gởi 10 000 la vào tài khoản với lãi kép 11% năm Hỏi sau 30 năm có tiền tài khoản mình? Bài tốn 3.1.4 (Bài tốn tính số từ mã) Một hệ thống máy tính coi xâu chữ số hệ thập phân từ mã hợp lệ chứa số chẵn số Chẳng hạn, 1230407869 hợp lệ, 2011078802 không hợp lệ Giả sử an số từ mã hợp lệ ñộ dài n Hãy tính an Bài tốn 3.1.5 (Olympic Bungari, 1995) Cho số nguyên n ≥ Hãy tìm số hoán vị (a1, a2, …, an) 1, 2, …, n cho tồn số i ∈ {1, 2, , n – 1} thỏa mãn > ai+1 Bài tốn 3.1.6 Có n hình vng rời kích thước tương ứng × 1, × 2, …, n × n cần lát viên gạch kích thước × Hãy tính số viên gạch cần thiết để lát đủ n hình vng (bằng cơng thức phụ thuộc vào n) Bài tốn 3.1.7 Xét đa giác 12 đỉnh A1, A2 , …, A12 với tâm O Ta tô màu miền tam giác OAiAi+1 (1 ≤ i ≤ 12) (A13 ≡ A1) bốn màu xanh, đỏ, tím, vàng cho hai miền tam giác kề tơ hai màu khác Hỏi có cách tô màu vậy? 3.1.2 Ứng dụng công thức truy hồi tuyến tính bậc hai 22 Bài tốn 3.1.8 (Bài tốn tính số xâu nhị phân) Tính số xâu nhị phân độ dài n khơng có hai bit liên tiếp Bài toán 3.1.9 (Bài toán tính số thứ tự Dn) Cho n ∈ N*, X = {1, 2, …, n} Hoán vị {a1, a2, …, an} X gọi thứ tự, ≠ i, ∀ i = 1, 2, …, n Ký hiệu Dn số thứ tự X Hãy tính Dn Bài tốn 3.1.10 Có n thí sinh ngồi quanh bàn tròn (n > 1) Hỏi có cách phát đề cho hai thí sinh ngồi cạnh ln có đề khác nhau, biết ngân hàng đề có m đề (m > 1) hiển nhiên đề có nhiều Bài tốn 3.1.11 Tìm số số ngun dương n thỏa mãn điều kiện: i) n có 1000 chữ số, ii) Tất chữ số n lẻ, iii) Hiệu hai chữ số liên tiếp n ln Bài tốn 3.1.12 Tìm số số nguyên (a1, a2, …, an) (n > 1) thỏa mãn: i) |ai| ≤ 1, ∀ i = 1, 2, …, n ii) |ai – ai-1| ≤ 1, ∀ i = 1, 2, …, n – Bài toán 3.1.13 Cho số nguyên dương n X = {1, 2, …, n} Tìm số tập (kể tập rỗng) X mà không chứa hai số nguyên dương liên tiếp Bài toán 3.1.14 Cho số nguyên dương n X = {1, 2, …, n} Gọi cn số tập (không rỗng) X mà chứa ñúng hai số nguyên dương liên tiếp Chứng minh 23 cn = 2nFn +1 − (n + 1) Fn , với Fn số Fibonacci thứ n, tức n n  +   −   Fn =   −          Bài toán 3.1.15 (IMO 1979) Giả sử A E hai ñỉnh ñối diện bát giác ñều Một ếch bắt ñầu nhảy từ ñỉnh A Tại ñỉnh bát giác (trừ ñỉnh E), cú nhảy ếch nhảy tới hai đỉnh kề với đỉnh Khi ếch nhảy vào đỉnh E, bị kẹt vĩnh viễn Cho trước số ngun dương n Hỏi với n cú nhảy, có cách để ếch nhảy vào đỉnh E ? Bài tốn 3.1.16 (VMO năm 2009) Cho số nguyên dương n Ký hiệu T tập hợp gồm 2n số nguyên dương ñầu tiên Hỏi có tập S T có tính chất: Trong S khơng tồn số a, b mà |a – b| ∈ {1, n} Lưu ý: Tập rỗng coi tập có tính chất nêu 3.1.3 Ứng dụng công thức truy hồi khơng tuyến tính Bài tốn 3.1.17 (Bài tốn tính số Catalan) Số Catalan thứ n, ký hiệu cn, số cách chèn n cặp ngoặc trịn vào tích x1x2…xn+1 n + số, cho lần nhân có thừa số Hãy tính cn 3.2 Ứng dụng vào tốn tìm số hạng tổng qt dãy số 3.2.1 Các dãy số cho hệ cơng thức truy hồi tuyến tính Bài tốn 3.2.1 Tìm số hạng tổng quát dãy số (xn), (yn) thỏa mãn 24 x1 = a, y1 = b xn = pxn-1 + qyn-1 yn = rxn-1 + syn-1 a, b, p, q, r, s số thực 3.2.2 Dãy số cho công thức truy hồi dạng phân tuyến tính Bài tốn 3.2.2 Tìm số hạng tổng quát xn dãy số (xn) thỏa mãn x1 = a > 0, xn = xn −1 , ∀ n ≥ xn −1 + Bài toán 3.2.3 Tìm số hạng tổng quát xn dãy số (xn) thỏa mãn pxn −1 + q , ∀ n ≥ 1, rxn −1 + s x0 = a, xn = a, p, q, r, s số thực cho trước Bài tốn 3.2.4 Tìm số hạng tổng quát xn dãy số (xn) thỏa mãn x1 = a, xn = a, b, c ∈ * bxn −1 , ∀ n ≥ 2, cxn −1 + d , d∈ 3.2.3 Dãy số cho số cơng thức truy hồi dạng đặc biệt Bài tốn 3.2.5 Tìm số hạng tổng qt un dãy số (un) thỏa mãn u1 = α , un = aun-1 + bun2−1 + c , a2 – b = 1, α > 0, a > Bài toán 3.2.6 Tìm số hạng tổng quát xn dãy số (xn) thỏa mãn x1 = α , xn = xn −1 a+ x n −1 +b , a2 – b = 1, α > 0, a > Bài toán 3.2.7 Tìm số hạng tổng quát un dãy số (un) thỏa mãn 25 u1 = α , u2 = β , un = a + un2−1 , α,β ∈ un − * , a∈ Bài toán 3.2.8 Tìm số hạng tổng quát xn dãy số (xn) thỏa mãn x1 = α , x2 = β , xn = xn2−1 + 2bxn −1 − bxn − + c , α , β , b, c ∈ b + xn − Bài tốn 3.2.9 Tìm số hạng tổng quát xn dãy số (xn) thỏa mãn xn = c xns −1 xnt − & x1 = a, x2 = b a, b, c, s, t số thực dương Bài toán 3.2.10 Tìm số hạng tổng quát xn dãy số (xn) thỏa mãn xn = d xnr −1 xns − & x1 = a, x2 = b, x3 = c xnt −3 a, b, c, d, r, s, t số thực dương 26 KẾT LUẬN Đề tài công thức truy hồi ứng dụng ñã xây dựng hệ thống ñược lý thuyết cơng thức truy hồi tương đối đầy đủ Đề tài đưa phương pháp thiết lập cơng thức truy hồi để giải tốn tổ hợp thơng qua tốn cụ thể, phân loại đưa phương pháp để tìm số hạng tổng qt số dãy số Bên cạnh việc giải công thức truy hồi phương trình đặc trưng, phương pháp lặp, ñề tài ñề cập ñến việc sử dụng hàm sinh để giải cơng thức truy hồi Đây chủ ñề hay, hướng mở ñể tác giả tiếp tục nghiên cứu ... tư? ?ng phạm vi nghiên c? ? ?u - Đ? ?i tư? ?ng nghiên c? ? ?u c? ?ng th? ?c truy h? ?i - Phạm vi nghiên c? ? ?u c? ?ng th? ?c truy h? ?i ? ?ng d? ?ng tốn tổ hợp dãy số Phư? ?ng pháp nghiên c? ? ?u - Nghiên c? ? ?u lý thuyết - Phân lo? ?i. .. c? ? ?u ? ?ng d? ?ng c? ?ng th? ?c truy h? ?i để gi? ?i lớp toán tổ hợp dãy số Nhiệm vụ nghiên c? ? ?u - Tìm hi? ?u lý thuyết tổ hợp, đ? ?c biệt c? ?ng th? ?c truy h? ?i - Tìm hi? ?u xây d? ?ng ? ?ng d? ?ng c? ?ng th? ?c truy h? ?i Đ? ?i. .. cao c? ??p để gi? ?i tốn đếm c? ?ng c? ?? h? ?u hi? ?u để gi? ?i tốn kh? ?c có liên quan Chính lý trên, t? ?i chọn đề t? ?i: ? ?C? ?ng th? ?c truy h? ?i ? ?ng d? ?ng? ?? ñể làm ñề t? ?i luận văn th? ?c sĩ 4 M? ?c đích nghiên c? ? ?u Nghiên