Công thức truy hồi và ứng dụng

Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHAN VĂN TUYỂN CÔNG THỨC TRUY HỒI VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60 46 40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2011 Footer Page of 126 Header Page of 126 Công trình ñược hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: PGS TSKH Trần Quốc Chiến Phản biện 1: TS Lê Hoàng Trí Phản biện 2: TS Hoàng Quang Tuyến Luận văn ñược bảo vệ Hội ñồng chấm luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 29 tháng năm 2011 * Có thể tìm luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Footer Page of 126 Header Page of 126 MỞ ĐẦU Lý chọn ñề tài Có thể nói tư tổ hợp ñời từ sớm Vào thời nhà Chu Trung Quốc, người ta ñã biết ñến hình vuông thần bí Thời cổ Hy lạp, kỷ thứ tư trước công nguyên, nhà triết học Kxenokrat ñã biết cách tính số từ khác lập từ bảng chữ cho trước Nhà toán học Pitagor học trò ñã tìm ñược nhiều số có tính chất ñặc biệt Tuy nhiên nói rằng, lý thuyết tổ hợp ñược hình thành ngành toán học vào kỷ XVII loạt công trình nghiên cứu nhà toán học xuất sắc Pascal, Fermat, Euler, Leibnitz, … Các vấn ñề liên quan ñến lý thuyết tổ hợp phận quan trọng, hấp dẫn thú vị toán học nói chung toán rời rạc nói riêng Nó nội dung phong phú ñược ứng dụng nhiều thực tế sống, ñặc biệt từ tin học ñời Trong toán sơ cấp, tổ hợp xuất nhiều toán lí thú với ñộ khó cao Công thức truy hồi chủ ñề hay lý thuyết tổ hợp, kỹ thuật ñếm cao cấp ñể giải toán ñếm công cụ hữu hiệu ñể giải toán khác có liên quan Chính lý trên, chọn ñề tài: “Công thức truy hồi ứng dụng” ñể làm ñề tài luận văn thạc sĩ Footer Page of 126 Header Page of 126 Mục ñích nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng công thức truy hồi ñể giải lớp toán tổ hợp dãy số Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu lý thuyết tổ hợp, ñặc biệt công thức truy hồi - Tìm hiểu xây dựng ứng dụng công thức truy hồi Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu công thức truy hồi - Phạm vi nghiên cứu công thức truy hồi ứng dụng toán tổ hợp dãy số Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết - Phân loại hệ thống dạng toán Ý nghĩa khoa học thực tiễn ñề tài - Góp phần nghiên cứu tính ứng dụng công thức truy hồi - Đề tài áp dụng vào thực tiễn ñể giải toán ñặt từ thực tế sống Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở ñầu kết luận, luận văn ñược chia làm ba chương: - Chương Bài toán tổ hợp toán ñếm, - Chương Công thức truy hồi, - Chương Ứng dụng công thức truy hồi Footer Page of 126 Header Page of 126 CHƯƠNG BÀI TOÁN TỔ HỢP VÀ CÁC BÀI TOÁN ĐẾM 1.1 Bài toán tổ hợp 1.1.1 Bài toán tổ hợp Bài toán tổ hợp ña dạng, liên quan ñến nhiều vấn ñề, nhiều lĩnh vực khoa học ñời sống khác Chẳng hạn toán tháp Hà nội, toán xếp n cặp vợ chồng, … Lý thuyết tổ hợp nghiên cứu việc phân bố, xếp phần tử nhiều tập hợp thỏa mãn ñiều kiện ñó Mỗi cách phân bố, xếp gọi cấu hình tổ hợp 1.1.2 Cấu hình tổ hợp Cho tập hợp A1, A2, …, An Giả sử S sơ ñồ xếp phần tử A1, A2, …, An ñược mô tả quy tắc xếp R1, R2, …, Rm ñiều kiện ràng buộc lên xếp theo sơ ñồ S Khi ñó xếp phần tử A1, A2, …, An thỏa mãn ñiều kiện R1, R2, …, Rm gọi cấu hình tổ hợp tập A1, A2, …, An 1.1.3 Các dạng toán tổ hợp Với cấu hình tổ hợp, ta thường gặp bốn dạng toán sau: toán tồn tại, toán ñếm, toán liệt kê toán tối ưu 1.2 Bài toán ñếm 1.2.1 Nguyên lý cộng nguyên lý nhân 1.2.1.1 Nguyên lý nhân Giả sử cấu hình tổ hợp ñược xây dựng qua k bước, bước ñược thực n1 cách, bước Footer Page of 126 Header Page of 126 ñược thực n2 cách, …, bước k ñược thực nk cách Khi ñó số cấu hình tổ hợp n1 n2 … nk 1.2.1.2 Nguyên lý cộng Giả sử {X1, X2, …, Xn} phân hoạch tập S Khi ñó |S| = |X1| + |X2| + … + |Xn| 1.2.2 Các cấu hình tổ hợp 1.2.2.1 Chỉnh hợp lặp Định nghĩa 1.1 Một chỉnh hợp lặp chập k n phần tử khác có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử ñã cho Các thành phần ñược lặp lại Định lý 1.1 Gọi số tất chỉnh hợp lặp chập k n phần tử AR(n,k) AR(n,k) = nk 1.2.2.2 Chỉnh hợp không lặp Định nghĩa 1.2 Một chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử khác có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử ñã cho Các thành phần không ñược lặp lại Định lý 1.2 Gọi số tất chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử A(n,k) A(n,k) = n! ( n − k )! 1.2.2.3 Hoán vị Định nghĩa 1.3 Một hoán vị n phần tử khác cách xếp thứ tự phần tử ñó Footer Page of 126 Header Page of 126 Định lý 1.3 Gọi số tất hoán vị n phần tử P(n) P(n) = n ! 1.2.2.4 Tổ hợp Định nghĩa 1.4 Một tổ hợp chập k n phần tử khác không kể thứ tự gồm k thành phần khác lấy từ n phần tử ñã cho Nói cách khác ta coi tổ hợp chập k n phần tử khác tập có k phần tử từ n phần tử ñã cho Định lý 1.4 Gọi số tổ hợp chập k n phần tử C(n,k) C(n,k) = n! k!( n − k )! 1.2.3 Các cấu hình tổ hợp mở rộng 1.2.3.1 Hoán vị lặp Định nghĩa 1.5 Hoán vị lặp hoán vị ñó phần tử ñược ấn ñịnh số lần lặp lại cho trước Định lý 1.5 Số hoán vị lặp k phần tử khác nhau, ñó phần tử thứ lặp n1 lần, phần tử thứ lặp n2 lần, , phần tử thứ k lặp nk lần P(n; n1, n2, , nk) = n! , n1 !.n2 ! nk ! ñó n = n1 + n2 + … + nk 1.2.3.2 Tổ hợp lặp Định nghĩa 1.6 Tổ hợp lặp chập k từ n phần tử khác nhóm không phân biệt thứ tự gồm k phần tử trích từ n phần tử ñã cho, ñó phần tử ñược lặp lại Footer Page of 126 Header Page of 126 Định lý 1.6 Giả sử X có n phần tử khác Khi ñó số tổ hợp lặp chập k từ n phần tử X, ký hiệu CR(n,k), CR(n,k) = C(k + n – 1,n – 1) = C(k + n – 1,k) 1.2.4 Hàm sinh Định nghĩa 1.7 Cho dãy số thực (ar)r = (a0, a1, a2, ) biến x Khi ñó hàm sinh g(x) dãy (a0, a1, a2, ) biểu thức hình thức ∞ g(x) = a0 + a1x + a2x2 + … = ∑ a x k =0 k k Khi ñược dùng ñể giải toán ñếm, hàm sinh ñược coi chuỗi lũy thừa hình thức Các phép toán hàm sinh ñược thực cách tự nhiên không quan tâm ñến tính chất giải tích chúng (bán kính hội tụ chuỗi tương ứng 0) Định lý 1.7 i) Nếu g(x) hàm sinh dãy (ar)r h(x) hàm sinh dãy (br)r p.g(x) + q.h(x) hàm sinh dãy (p.ar + q.br)r với số thực p q ii) Nếu g(x) hàm sinh dãy (ar)r h(x) hàm sinh dãy (br)r g(x).h(x) hàm sinh dãy r ( ∑ i =0 Footer Page of 126 aibr-i)r Header Page of 126 CHƯƠNG CÔNG THỨC TRUY HỒI 2.1 Khái niệm công thức truy hồi Định nghĩa 2.1 Công thức truy hồi dãy số s(0), s(1), s(2), phương trình xác ñịnh s(n) phần tử s(0), s(1), s(2), …, s(n–1) trước s(n) = F(s(0), s(1), s(2), …, s(n–1)) Điều kiện ban ñầu giá trị gán cho số hữu hạn phần tử ñầu 2.2 Giải công thức truy hồi phương pháp lặp Nội dung phương pháp thay liên tiếp công thức truy hồi vào nó, lần thay bậc n giảm ñơn vị, cho ñến ñạt giá trị ban ñầu 2.3 Công thức truy hồi tuyến tính hệ số 2.3.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.2 Công thức truy hồi tuyến tính hệ số bậc k có dạng s(n) = c1.s(n–1) + c2.s(n–2) + … + ck.s(n–k) + f(n), (2.1) ñó c1, c2, …, ck số, ck ≠ f(n) hàm theo n Điều kiện ban ñầu (2.1) giả thiết số phần tử ñầu dãy có giá trị cho trước: s(0) = C0, s(1) = C1, …, s(k–1) = Ck-1 Footer Page of 126 Header Page 10 of 126 10 Định nghĩa 2.3 Nếu f(n) ≠ 0, (2.1) ñược gọi công thức truy hồi tuyến tính không hệ số bậc k Nếu f(n) = 0, (2.1) ñược gọi công thức truy hồi tuyến tính hệ số bậc k 2.3.2 Nghiệm Định lý 2.1 Cho công thức truy hồi tuyến tính không hệ số bậc k s(n) = c1.s(n–1) + c2.s(n–2) + … + ck.s(n–k) + f(n) (2.2) Khi ñó nghiệm tổng quát (2.2) có dạng s(n) = h(n) + p(n), với p(n) nghiệm riêng ñó (2.2) h(n) nghiệm tổng quát công thức truy hồi tuyến tính ứng với (2.2) s(n) = c1.s(n–1) + c2.s(n–2) + … + ck.s(n–k) (2.3) Định lý 2.2 Nếu s1, s2, …, sm nghiệm công thức truy hồi tuyến tính hệ số bậc k s(n) = c1.s(n–1) + c2.s(n–2) + … + ck.s(n–k) (2.4) s = C1.s1 + C2.s2 + … + Cm.sm nghiệm (2.4), với C1, C2, …, Cm số tuỳ ý Xét công thức truy hồi tuyến tính hệ số bậc k s(n) = c1.s(n–1) + c2.s(n–2) + … + ck.s(n–k) (2.4) Phương trình ñặc trưng công thức truy hồi (2.4) có dạng tk – c1.tk-1 – c2.tk-2 – … – ck = Footer Page 10 of 126 (2.5) Header Page 12 of 126 12 t2 – c1.t – c2 = (2.7) i) Nếu phương trình ñặc trưng (2.7) có hai nghiệm phân biệt r1 r2 nghiệm tổng quát (2.6) có dạng s(n) = C1 r1n + C2 r2n , ñó C1, C2 số ii) Nếu phương trình ñặc trưng (2.7) có nghiệm kép r0 nghiệm tổng quát (2.6) có dạng s(n) = C1 r0n + C2.n r0n , ñó C1, C2 số iii) Nếu phương trình ñặc trưng (2.7) có hai nghiệm phức liên hợp r = x + i.y r = x – i.y (i2 = –1) nghiệm tổng quát (2.6) có dạng s(n) = λ n (C1.cos(n ϕ ) + C2.sin(n ϕ )), ñó λ = x + y , tg ϕ = y π π , ϕ ∈ (– , ) C1, C2 x 2 số Hệ 2.2 Cho công thức truy hồi tuyến tính hệ số bậc ba s(n) = c1.s(n–1) + c2.s(n–2) + c3.s(n–3), (2.8) ñó c1, c2, c3 số c3 ≠ Phương trình ñặc trưng công thức (2.8) có dạng t3 – c1.t2 – c2.t – c3 = Footer Page 12 of 126 (2.9) Header Page 13 of 126 13 i) Nếu phương trình ñặc trưng (2.9) có ba nghiệm thực phân biệt r1, r2, r3 nghiệm tổng quát (2.8) có dạng s(n) = C1 r1n + C2 r2n + C3 r3n , ñó C1, C2, C3 số ii) Nếu phương trình ñặc trưng (2.9) có nghiệm thực r0 bội nghiệm ñơn r1 nghiệm tổng quát (2.8) có dạng s(n) = (C1 + C2.n) r0n + C3 r1n , ñó C1, C2, C3 số iii) Nếu phương trình ñặc trưng (2.9) có nghiệm thực r0 bội nghiệm tổng quát (2.8) có dạng s(n) = (C1 + C2.n + C3.n2) r0n , ñó C1, C2, C3 số iv) Nếu phương trình ñặc trưng (2.9) có nghiệm thực r1 hai nghiệm phức liên hợp r2,3 = x ± i.y = λ (cos ϕ ± i.sin ϕ ) nghiệm tổng quát (2.8) có dạng s(n) = C1 r1n + λ n (C2.cos(n ϕ ) + C3.sin(n ϕ )), ñó C1, C2, C3 số 2.3.3 Nghiệm riêng 2.3.3.1 Nghiệm riêng công thức truy hồi tuyến tính hệ số bậc Công thức truy hồi tuyến tính không hệ số bậc có dạng s(n) = q.s(n–1) + f(n), Footer Page 13 of 126 (2.10) Header Page 14 of 126 14 ñó q ≠ 0, f(n) hàm n f(n) ≠ Nghiệm ñặc trưng s(n) = q.s(n–1) λ = q Định lý 2.5 Nếu f(n) ña thức bậc m n: f(n) = Pm(n) nghiệm riêng p(n) (2.10) có dạng: i) p(n) = Qm(n), λ ≠ 1, ii) p(n) = n.Qm(n), λ = 1, ñó Qm(n) ña thức bậc m n Định lý 2.6 Nếu f(n) = α β n ( α , β ≠ 0) nghiệm riêng p(n) (2.10) có dạng: i) p(n) = c β n , λ ≠ β ii) p(n) = cn β n , λ = β Định lý 2.7 Nếu f(n) = Pm(n) β n ( β ≠ 0, Pm(n) ña thức bậc m n) nghiệm riêng p(n) (2.10) có dạng: i) p(n) = Qm(n) β n , λ ≠ β , ii) p(n) = n.Qm(n) β n , λ = β , ñó Qm(n) ña thức bậc m n Định lý 2.8 Nếu - p1(n) nghiệm riêng phương trình s(n) = q.s(n–1) + f1(n), - p2(n) nghiệm riêng phương trình s(n) = q.s(n–1) + f2(n), … - pk(n) nghiệm riêng phương trình s(n) = q.s(n–1) + fk(n), Footer Page 14 of 126 Header Page 15 of 126 15 p(n) = p1(n) + p2(n) + … + pk(n) nghiệm riêng phương trình s(n) = q.s(n–1) + f1(n) + f2(n) + … + fk(n) 2.3.3.2 Nghiệm riêng công thức truy hồi tuyến tính hệ số bậc hai Công thức truy hồi tuyến tính không hệ số bậc hai có dạng s(n) = a.s(n–1) + b.s(n–2) + f(n), (2.11) ñó b ≠ 0, f(n) hàm n f(n) ≠ Phương trình ñặc trưng s(n) = a.s(n–1) + b.s(n–2) λ – a λ – b = (2.12) Định lý 2.9 Nếu f(n) ña thức bậc k n: f(n) = Pk(n) nghiệm riêng p(n) (2.11) có dạng: i) p(n) = Qk(n), (2.12) nghiệm λ = 1, ii) p(n) = n.Qk(n), (2.12) có nghiệm ñơn λ = 1, iii) p(n) = n2.Qk(n), (2.12) có nghiệm kép λ = 1, với Qk(n) ña thức bậc k n Định lý 2.10 Nếu f(n) = Pk(n) β n ( β ≠ 0, Pk(n) ña thức bậc k n) nghiệm riêng p(n) (2.11) có dạng i) p(n) = Qk(n) β n, (2.12) nghiệm λ = β , ii) p(n) = n.Qk(n) β n, (2.12) có nghiệm ñơn λ = β , iii) p(n) = n2.Qk(n) β n, (2.12) có nghiệm kép λ = β , ñó Qk(n) ña thức bậc k n Định lý 2.11 Nếu Footer Page 15 of 126 Header Page 16 of 126 16 - p1(n) nghiệm riêng phương trình s(n) = a.s(n–1) + b.s(n–2) + f1(n), - p2(n) nghiệm riêng phương trình s(n) = a.s(n–1) + b.s(n–2) + f2(n), … - pk(n) nghiệm riêng phương trình s(n) = a.s(n–1) + b.s(n–2) + fk(n), p(n) = p1(n) + p2(n) + … + pk(n) nghiệm riêng phương trình s(n) = a.s(n–1) + b.s(n–2) + f1(n) + f2(n) + … + fk(n) Từ ñịnh lý nghiệm riêng trên, ta có kết luận sau Kết luận Cho công thức truy hồi tuyến tính không hệ số s(n) = a.s(n–1) + b.s(n–2) + f(n), (2.13) với a, b số thực, a2 + b2 ≠ f(n) ≠ i) Giả sử f(n) = Qm(n).sn, với Qm(n) ña thức bậc m n s số thực Khi ñó: - Nếu s không nghiệm ñặc trưng phương trình tương ứng s(n) = a.s(n–1) + b.s(n–2) nghiệm riêng p(n) (2.13) có dạng p(n) = Pm(n).sn, với Pm(n) ña thức bậc m n - Nếu s nghiệm ñặc trưng bội q phương trình tương ứng s(n) = a.s(n–1) + b.s(n–2) nghiệm riêng p(n) (2.13) có dạng p(n) = nq Pm(n).sn, với Pm(n) ña thức bậc m n Footer Page 16 of 126 Header Page 17 of 126 17 ii) Giả sử f(n) = f1(n) + f2(n) + … + fk(n) Trong trường hợp này, ta tìm nghiệm riêng pi(n) ứng với hàm fi(n), i = 1, 2, …, k Khi ñó nghiệm riêng p(n) (2.13) có dạng p(n) = p1(n) + p2(n) + … + pk(n) Nhận xét 2.2 Kết luận ñúng ñối với công thức truy hồi tuyến tính không hệ số bậc k (k > 2) 2.4 Tuyến tính hóa công thức truy hồi Giả sử dãy số (un) thỏa mãn ñiều kiện u1 = a1, u2 = a2 , …, uk = ak un = f(un-1, un-2, …, un-k) với n, k ∈ N*, n > k, ñó f ña thức bậc m, phân thức, biểu diễn siêu việt Giả sử un = f(un-1, un-2, …, un-k) tuyến tính hóa ñược Khi ñó ñiều kiện cần tồn số x1, x2 , …, xk ñể un = x1un-1 + x2un-2 + … + xkun-k (2.14) Để tìm x1, x2 , …, xk trước hết ta xác ñịnh uk+1, uk+2 , …, u2k Từ công thức lặp, ta có uk+1 = f(ak, ak-1, …, a2, a1) : = ak+1 uk+2 = f(ak+1, ak, …, a3, a2) : = ak+2 … u2k = f(a2k-1, a2k-2, …, ak+1, ak) : = a2k Thay giá trị u1, u2, …, uk ñã cho giá trị uk+1, uk+2, …, u2k vừa tìm ñược vào (2.14), ta ñược hệ phương trình tuyến tính gồm k phương trình với k ẩn x1, x2 , …, xk Footer Page 17 of 126 Header Page 18 of 126 18 uk+1 = x1.ak + x2.ak-1 + … + xk.a1 uk+2 = x1.ak+1 + x2.ak + … + xk.a2 (*) … u2k = x1.a2k-1 + x2.a2k-2 + … + xk.ak Giải hệ phương trình trên, ta tìm ñược nghiệm x1, x2 , …, xk Thay vào (2.14), ta ñược dạng biểu diễn tuyến tính cần tìm un = f(un-1, un-2, …, un-k) = x1un-1 + x2un-2 + … + xkun-k Sau ñó ta kiểm tra ñiều kiện ñủ phương pháp quy nạp toán học Lưu ý Nếu hệ (*) vô nghiệm hàm f tuyến tính hóa ñược 2.5 Giải công thức truy hồi hàm sinh Ngoài việc giải công thức truy hồi phương pháp lặp, phương trình ñặc trưng, ta giải công thức truy hồi ñó hàm sinh Nội dung phương pháp tìm công thức tường minh cho hàm sinh liên ñới Nghĩa giả sử ta cần tìm số hạng tổng quát dãy số {an} công thức truy hồi ñó, ta thiết lập hàm sinh F(x) {an} Dựa vào công thức truy hồi, ta tìm ñược phương trình cho F(x), giải phương trình ñó, ta tìm ñược F(x) Khai triển F(x) theo lũy thừa x (khai triển Taylor), ta tìm ñược an với n Trên lý thuyết, ta phải dùng công thức Taylor ñể tìm khai triển F(x) Đây toán phức tạp Tuy nhiên, nhiều Footer Page 18 of 126 Header Page 19 of 126 19 trường hợp, công thức nhị thức Newton tổng quát ñây ñã ñủ dùng (1 + x ) α = + α x + α (α − 1) 2! x + + α (α − 1) (α − n + 1) n! Ta có kết quen thuộc sau: + x + x2 + x3 + … = (|x| < 1) 1− x + 2x + 3x2 + 4x3 + … = Footer Page 19 of 126 (1 − x ) x n + Header Page 20 of 126 20 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA CÔNG THỨC TRUY HỒI 3.1 Ứng dụng vào toán tổ hợp Công thức truy hồi phương pháp hiệu ñể giải toán tổ hợp Nội dung khó khăn phương pháp thiết lập công thức truy hồi cho toán, tức thay ñếm trực tiếp s(n) theo yêu cầu toán, ta thiết lập công thức liên hệ s(n), s(n–1), … ñể từ ñó tính ñược s(n) Như vậy, ñể giải toán tổ hợp công thức truy hồi, ta thực bước sau: Bước Tìm giá trị ban ñầu s(0) = C0, s(1) = C1, …, s(k–1) = Ck-1 Bước Thiết lập công thức truy hồi s(n) = c1.s(n–1) + c2.s(n–2) + … + ck.s(n–k) + f(n) Bước Giải công thức truy hồi với ñiều kiện ban ñầu ñể tìm số hạng tổng quát s(n) 3.1.1 Ứng dụng công thức truy hồi tuyến tính bậc Bài toán 3.1.1 (Bài toán tháp Hà nội) Có ba cọc 1, 2, Ở cọc có n ñĩa, kích thước khác nhau, xếp chồng lên cho ñĩa nằm lớn ñĩa nằm Hãy chuyển tất ñĩa từ cọc sang cọc với ñiều kiện lần ñược chuyển ñĩa từ cọc sang cọc khác ñảm bảo ñĩa nằm lớn ñĩa nằm Hãy tính số lần di chuyển ñĩa Footer Page 20 of 126 Header Page 21 of 126 21 Bài toán 3.1.2 (Bài toán chia mặt phẳng) Trên mặt phẳng kẻ n ñường thẳng cho ba ñường ñồng quy hai ñường song song Hỏi mặt phẳng ñược chia làm phần? Bài toán 3.1.3 (Bài toán lãi kép) Giả sử người gởi 10 000 ñô la vào tài khoản với lãi kép 11% năm Hỏi sau 30 năm có tiền tài khoản mình? Bài toán 3.1.4 (Bài toán tính số từ mã) Một hệ thống máy tính coi xâu chữ số hệ thập phân từ mã hợp lệ chứa số chẵn số Chẳng hạn, 1230407869 hợp lệ, 2011078802 không hợp lệ Giả sử an số từ mã hợp lệ ñộ dài n Hãy tính an Bài toán 3.1.5 (Olympic Bungari, 1995) Cho số nguyên n ≥ Hãy tìm số hoán vị (a1, a2, …, an) 1, 2, …, n cho tồn số i ∈ {1, 2, , n – 1} thỏa mãn > ai+1 Bài toán 3.1.6 Có n hình vuông rời kích thước tương ứng × 1, × 2, …, n × n cần ñược lát viên gạch kích thước × Hãy tính số viên gạch cần thiết ñể lát ñủ n hình vuông ñó (bằng công thức phụ thuộc vào n) Bài toán 3.1.7 Xét ña giác ñều 12 ñỉnh A1, A2 , …, A12 với tâm O Ta tô màu miền tam giác OAiAi+1 (1 ≤ i ≤ 12) (A13 ≡ A1) bốn màu xanh, ñỏ, tím, vàng cho hai miền tam giác kề ñược tô hai màu khác Hỏi có cách tô màu vậy? 3.1.2 Ứng dụng công thức truy hồi tuyến tính bậc hai Footer Page 21 of 126 Header Page 22 of 126 22 Bài toán 3.1.8 (Bài toán tính số xâu nhị phân) Tính số xâu nhị phân ñộ dài n hai bit liên tiếp Bài toán 3.1.9 (Bài toán tính số thứ tự Dn) Cho n ∈ N*, X = {1, 2, …, n} Hoán vị {a1, a2, …, an} X gọi thứ tự, ≠ i, ∀ i = 1, 2, …, n Ký hiệu Dn số thứ tự X Hãy tính Dn Bài toán 3.1.10 Có n thí sinh ngồi quanh bàn tròn (n > 1) Hỏi có cách phát ñề cho hai thí sinh ngồi cạnh có ñề khác nhau, biết ngân hàng ñề có ñúng m ñề (m > 1) hiển nhiên ñề có nhiều Bài toán 3.1.11 Tìm số số nguyên dương n thỏa mãn ñiều kiện: i) n có 1000 chữ số, ii) Tất chữ số n lẻ, iii) Hiệu hai chữ số liên tiếp n Bài toán 3.1.12 Tìm số số nguyên (a1, a2, …, an) (n > 1) thỏa mãn: i) |ai| ≤ 1, ∀ i = 1, 2, …, n ii) |ai – ai-1| ≤ 1, ∀ i = 1, 2, …, n – Bài toán 3.1.13 Cho số nguyên dương n X = {1, 2, …, n} Tìm số tập (kể tập rỗng) X mà không chứa hai số nguyên dương liên tiếp Bài toán 3.1.14 Cho số nguyên dương n X = {1, 2, …, n} Gọi cn số tập (không rỗng) X mà chứa ñúng hai số nguyên dương liên tiếp Chứng minh Footer Page 22 of 126 Header Page 23 of 126 23 cn = 2nFn +1 − (n + 1) Fn , với Fn số Fibonacci thứ n, tức n n  +   −   Fn =   −          Bài toán 3.1.15 (IMO 1979) Giả sử A E hai ñỉnh ñối diện bát giác ñều Một ếch bắt ñầu nhảy từ ñỉnh A Tại ñỉnh bát giác (trừ ñỉnh E), cú nhảy ếch nhảy tới hai ñỉnh kề với ñỉnh ñó Khi ếch nhảy vào ñỉnh E, bị kẹt vĩnh viễn ñó Cho trước số nguyên dương n Hỏi với n cú nhảy, có cách ñể ếch nhảy vào ñỉnh E ? Bài toán 3.1.16 (VMO năm 2009) Cho số nguyên dương n Ký hiệu T tập hợp gồm 2n số nguyên dương ñầu tiên Hỏi có tập S T có tính chất: Trong S không tồn số a, b mà |a – b| ∈ {1, n} Lưu ý: Tập rỗng ñược coi tập có tính chất nêu 3.1.3 Ứng dụng công thức truy hồi không tuyến tính Bài toán 3.1.17 (Bài toán tính số Catalan) Số Catalan thứ n, ký hiệu cn, số cách chèn n cặp ngoặc tròn vào tích x1x2…xn+1 n + số, cho lần nhân có ñúng thừa số Hãy tính cn 3.2 Ứng dụng vào toán tìm số hạng tổng quát dãy số 3.2.1 Các dãy số cho hệ công thức truy hồi tuyến tính Bài toán 3.2.1 Tìm số hạng tổng quát dãy số (xn), (yn) thỏa mãn Footer Page 23 of 126 Header Page 24 of 126 24 x1 = a, y1 = b xn = pxn-1 + qyn-1 yn = rxn-1 + syn-1 ñó a, b, p, q, r, s số thực 3.2.2 Dãy số cho công thức truy hồi dạng phân tuyến tính Bài toán 3.2.2 Tìm số hạng tổng quát xn dãy số (xn) thỏa mãn x1 = a > 0, xn = xn −1 , ∀ n ≥ xn −1 + Bài toán 3.2.3 Tìm số hạng tổng quát xn dãy số (xn) thỏa mãn pxn −1 + q , ∀ n ≥ 1, rxn −1 + s x0 = a, xn = ñó a, p, q, r, s số thực cho trước Bài toán 3.2.4 Tìm số hạng tổng quát xn dãy số (xn) thỏa mãn x1 = a, xn = ñó a, b, c ∈ * bxn −1 , ∀ n ≥ 2, cxn −1 + d , d∈ 3.2.3 Dãy số cho số công thức truy hồi dạng ñặc biệt Bài toán 3.2.5 Tìm số hạng tổng quát un dãy số (un) thỏa mãn u1 = α , un = aun-1 + bun2−1 + c , a2 – b = 1, α > 0, a > Bài toán 3.2.6 Tìm số hạng tổng quát xn dãy số (xn) thỏa mãn x1 = α , xn = xn −1 a+ x n −1 +b , a2 – b = 1, α > 0, a > Bài toán 3.2.7 Tìm số hạng tổng quát un dãy số (un) thỏa mãn Footer Page 24 of 126 Header Page 25 of 126 25 u1 = α , u2 = β , un = a + un2−1 , α,β ∈ un − * , a∈ Bài toán 3.2.8 Tìm số hạng tổng quát xn dãy số (xn) thỏa mãn x1 = α , x2 = β , xn = xn2−1 + 2bxn −1 − bxn − + c , α , β , b, c ∈ b + xn − Bài toán 3.2.9 Tìm số hạng tổng quát xn dãy số (xn) thỏa mãn xn = c xns −1 xnt − & x1 = a, x2 = b ñó a, b, c, s, t số thực dương Bài toán 3.2.10 Tìm số hạng tổng quát xn dãy số (xn) thỏa mãn xn = d xnr −1 xns − & x1 = a, x2 = b, x3 = c xnt −3 ñó a, b, c, d, r, s, t số thực dương Footer Page 25 of 126 Header Page 26 of 126 26 KẾT LUẬN Đề tài công thức truy hồi ứng dụng ñã xây dựng hệ thống ñược lý thuyết công thức truy hồi tương ñối ñầy ñủ Đề tài ñã ñưa phương pháp thiết lập công thức truy hồi ñể giải toán tổ hợp thông qua toán cụ thể, ñã phân loại ñưa phương pháp ñể tìm số hạng tổng quát số dãy số Bên cạnh việc giải công thức truy hồi phương trình ñặc trưng, phương pháp lặp, ñề tài ñề cập ñến việc sử dụng hàm sinh ñể giải công thức truy hồi Đây chủ ñề hay, hướng mở ñể tác giả tiếp tục nghiên cứu Footer Page 26 of 126 ... ñược 2.5 Giải công thức truy hồi hàm sinh Ngoài việc giải công thức truy hồi phương pháp lặp, phương trình ñặc trưng, ta giải công thức truy hồi ñó hàm sinh Nội dung phương pháp tìm công thức tường... =0 Footer Page of 126 aibr-i)r Header Page of 126 CHƯƠNG CÔNG THỨC TRUY HỒI 2.1 Khái niệm công thức truy hồi Định nghĩa 2.1 Công thức truy hồi dãy số s(0), s(1), s(2), phương trình xác ñịnh... ñầu 2.2 Giải công thức truy hồi phương pháp lặp Nội dung phương pháp thay liên tiếp công thức truy hồi vào nó, lần thay bậc n giảm ñơn vị, cho ñến ñạt giá trị ban ñầu 2.3 Công thức truy hồi tuyến