Bài 3 XÁC SUẤT TOÁN 11

BÀI XÁC SUẤT Mục tiêu  Kiến thức + Hiểu khái niệm biến cố phân biệt biến cố giao, biến cố hợp, biến cố đối biến cố độc lập + HIểu định nghĩa xác suất biến cố tính chất xác suất + Nắm vững công thức cộng xác suất cơng thức nhân xác suất  Kĩ + Tính xác suất biến cố toán xác suất cổ điển + Vận dụng quy tắc tính xác suất toán thực tế Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phép thử ngẫu nhiên khơng gian mẫu Phép thử ngẫu nhiên Ví dụ: Phép thử: Khi ta tung đồng xu có Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt phép thử) thí mặt, ta hồn tồn khơng biết trước kết nghiệm mà ta khơng đốn trước kết nó, mặc dù biết tập hợp tất kết có phép thử Tuy nhiên, ta lại biết chắn đồng xu rơi xuống trạng thái: Không gian mẫu sấp (S) ngửa (N) Tập hợp kết xảy phép thử Không gian mẫu phép thử gọi khơng gian mẫu phép thử ký hiệu  Biến cố    S; N Biến cố A: “Kết tung đồng xu sấp” Một biến cố A (còn gọi kiện A) liên quan tới Ta có A �  phép thử T biến cố mà việc xảy hay khơng xảy cịn tùy thuộc vào kết T Mỗi kết phép thử T cho biến cố A xảy gọi kết thuận lợi cho A  Tập hợp kết thuận lợi cho A kí hiệu  A Để đơn giản, ta dùng chữ A để kí hiệu tập hợp kết thuận lợi cho A Khi ta nói biến cố A mơ tả tập A  Biến cố chắn biến cố xảy thực phép thử T Biến cố chắn mô tả tập  kí hiệu   Biến cố biến cố không xảy thực phép thử T Biến cố mơ tả tập � Các phép tốn biến cố  Tập  \ A gọi biến cố đối biến cố A, kí hiệu A Giả sử A B hai biến cố liên quan đến phép thử Ta có:  Tập A �B gọi hợp biến cố A B  Tập A �B gọi giao biến cố A B Trang  Nếu A �B  � ta nói A B xung khắc Xác suất biến cố Định nghĩa xác suất Giả sử phép thử T có số hữu hạn kết đồng khả Khi xác suất biến cố A liên quan tới T tỉ số số kết thuận lợi cho A số kết P  A  A  Trong sống nói biến cố, ta thường nói biến cố có nhiều khả xảy ra, biến cố có khả xảy ra, biến cố có nhiều khả xảy biến cố Tốn học định lượng hóa khả cách gán cho biến cố số không âm, nhỏ gọi xác suất biến cố Từ định nghĩa cổ điển xác suất ta có bước để tính Nhận xét: Việc tính số kết (bước xác suất biến cố sau: 1) thường dễ dàng nhiều so với việc Bước Xác định không gian mẫu  tính số phần tính số kết thuận lợi cho A (bước 1) Để tử  , tức đếm số kết phép thử T giải tốt toán xác suất ta cần Bước Xác định tập A mơ tả biến cố A tính số nắm phần tổ hợp trước phần tử A, tức đếm số kết thuận lợi cho A Bước Lấy kết bước chia cho bước Từ định nghĩa cổ điển xác suất suy ra: �P  A  �1; P     1; P  �  Chú ý: Các kí hiệu n    ; n  A  hiểu tương đương với  ;  A số phần tử không gian mẫu tập hợp thuận lợi cho biến cố A Quy tắc cộng xác suất Nếu hai biến cố A, B xung khắc P  A �B   P  A   P  B  Nếu biến cố A1 , A2 , A3 , , Ak đơi xung khắc P  A1 �A2 � �Ak   P  A1   P  A2    P  Ak  Cơng thức tính xác suất biến cố đối Xác suất biến cố đối A biến cố đối A   Vì A �A   A �A  � nên theo công thức cộng xác suất   P A   P  A  P     P  A  P A Biến cố độc lập Một cách tổng quát, cho k biến cố Trang Hai biến cố gọi độc lập việc xảy hay không A1 , A2 , A3 , , Ak Chúng gọi độc lập xảy biến cố không ảnh hưởng tới xác suất xảy với việc xảy hay khơng xảy biến cố nhóm biến cố khơng làm ảnh hưởng tới xác suất xảy Quy tắc nhân xác suất Nếu A B hai biến cố độc lập P  AB   P  A  P  B  biến cố lại Một cách tổng quát, k biến cố A1 , A2 , A3 , , Ak đôi độc lập P  A1 , A2 , A3 , , Ak   P  A1  P  A2  P  Ak  Nếu A B độc lập A B độc lập, B A độc lập, Chú ý: Nếu đẳng thức bị vi B A độc lập Do đố A B độc lập ta cịn có phạm hai biến cố A B khơng độc lập đẳng thức: với     P  AB   P  A  P  B  P  AB   P  A  P  B  P AB  P  A  P B II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Sử dụng định nghĩa cổ điển xác suất Phương pháp giải Trong toán này, việc xác định số phần tử Ví dụ: Một hộp chứa 11 viên bi đánh số từ thuận lợi cho biến cố cần tìm dễ dàng xác định (có đến 11 Chọn viên bi cách ngẫu nhiên thể liệt kê phương án, tính cách cộng số viên bi rút với chọn ngắn gọn) Bước Tìm số phần tử khơng gian mẫu Tính xác suất để kết thu số lẻ Hướng dẫn giải Chọn ngẫu nhiên viên bi 11 viên bi số cách chọn n     C11  462 Bước Đếm số phần tử thuận lợi không Gọi A biến cố: “Chọn viên bi cộng số gian mẫu viên bi thu số lẻ” Trong 11 viên bi có viên bi mang số lẻ {1;3;5;7;9;11} viên bi mang số chẵn {2;4;6;8;10} Trường hợp 1: viên bi mang số lẻ viên bi mang số chẵn Số cách chọn trường hợp C6 C5 cách Trường hợp 2: viên bi mang số lẻ viên bi Trang mang số chẵn 3 Số cách chọn trường hợp C6 C5 cách Trường hợp 3: viên bi mang số lẻ viên bi mang số chẵn Số cách chọn trường hợp C6 C5 cách Suy Bước Tính xác suất P  A   n  A n   n  A   C61 C55  C63 C53  C65 C51   200  30  236 Ta có P  A    A 236 118    462 231 Ví dụ mẫu Ví dụ Một hộp đựng 15 viên bi, có viên bi xanh viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi (khơng kể thứ tự) khỏi hộp Tính xác suất để viên bi lấy có viên màu đỏ A B 418 455 C 13 D 12 13 Hướng dẫn giải Chọn ngẫu nhiên viên bi từ 15 viên bi số cách chọn n     C15  455 Gọi A biến cố “trong viên bi lấy có viên màu đỏ” Số trường hợp thuận lợi cho biến cố A là: Trường hợp 1: Lấy viên màu đỏ, số cách lấy là: C8 C7 Trường hợp 2: Lấy viên màu đỏ, số cách lấy là: C8 C7 Trường hợp 3: Lấy viên màu đỏ, số cách lấy là: C8 2 Số trường hợp thuận lợi cho biến cố A n  A   C8 C7  C8 C7  C8  420 Vậy P  A   C81.C72  C82 C71  C83 12  C153 13 Chọn D Cách khác: Nhận xét: Trong nhiều Chọn ngẫu nhiên viên bi từ 15 viên bi số cách chọn tốn tính xác suất, n     C153  455 Gọi A biến cố “trong viên bi lấy có viên màu đỏ” biến cố A “cả ba viên bi lấy khơng có màu đỏ” (tức lấy ba viên bi màu xanh) Số cách chọn viên bi mà viên bi màu xanh việc tính số phần tử thuận lợi cho biến cố A trở nên khó khăn có nhiều trường hợp, ta tìm số phần tử thuận lợi cho biến cố đối biến cố A Sau lấy số phần tử Trang   không gian mẫu trừ kết n A  C73  35 Số cách chọn viên bi mà có viên bi màu đỏ 455 – 35 = 420 cách � n  A   n     n  A   455  35  420 Vậy P  A   vừa tìm ta có số phần tử thuận lợi cho biến cố A n  A  420 12   n    455 13 Ví dụ Xét số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ số 1; 3; 5; 7; Tính xác suất để tìm số không bắt đầu 135 A B 60 C 59 60 D Hướng dẫn giải Số phần tử không gian mẫu n     5!  120 Gọi A biến cố “số tìm khơng bắt đầu 135” Biến cố A biến cố “số tìm bắt đầu 135” Nhóm số 1; 3; thành 135 ta số cịn phần tử Số số tạo thành thỏa mãn số 135 đứng đầu 1.2.1 = cách Vậy n  A   120   118 cách Vậy P  A   n  A  118 59   n    120 60 Chọn C Ví dụ Đề thi kiểm tra 15 phút có 10 câu trắc nghiệm câu có bốn phương án trả lời, có phương án đúng, trả lời câu 1,0 điểm Một thí sinh làm 10 câu, câu chọn phương án Tính xác suất để thí sinh đạt từ 8,0 điểm trở lên A 436 410 B 463 410 C 436 104 D 163 104 Hướng dẫn giải 10 Với câu hỏi, thí sinh có phương án lựa chọn nên số phần tử không gian mẫu n     Gọi X biến cố “thí sinh đạt từ 8,0 điểm trở lên” Trường hợp 1: Thí sinh câu (tức 8,0 điểm): Chọn câu số 10 câu hỏi câu cịn lại câu có cách chọn đáp án sai nên có C10 cách để thí sinh câu Trường hợp 2: Thí sinh câu (tức 9,0 điểm): Chọn câu số 10 câu hỏi câu cịn lại có cách chọn đáp án sai nên có C10 cách để thí sinh câu Trường hợp 3: Thí sinh 10 câu (tức 10,0 điểm): Chỉ có cách Trang Suy số kết thuận lợi cho biến cố X n  X   C10  C10   436 Vậy xác suất cần tìm P  X   n  X  436  10 n   Chọn A Ví dụ Cho đa giác 20 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O Chọn ngẫu nhiên đỉnh đa giác Xác suất để đỉnh chọn đỉnh hình chữ nhật A 216 B 969 C 323 D Hướng dẫn giải Số cách chọn đỉnh 20 đỉnh C20  4845  n    Gọi A biến cố: “4 đỉnh chọn đỉnh hình chữ nhật” Số đường chéo đa giác qua tâm O đường tròn 10 (do đa giác có 20 đỉnh) Cứ hai đường chéo tạo thành hình chữ nhật Do số hình chữ nhật tạo thành n  A   C102  45 Vậy P  A   n  A 45   n    4845 323 Chọn C Ví dụ Cho hai đường thẳng song song a b Trên đường thẳng a lấy điểm phân biệt; đường thẳng b lấy điểm phân biệt Chọn ngẫu nhiên điểm điểm cho hai đường thẳng a b Tính xác suất để điểm chọn tạo thành tam giác A 11 B 60 169 C 11 D 11 Hướng dẫn giải Số phần tử không gian mẫu n     C11  165 Gọi A biến cố: “3 điểm chọn lập thành tam giác” Trường hợp 1: Chọn điểm đường thẳng a điểm đường thẳng b có C6 C5 cách Trường hợp 2: Chọn điểm đường thẳng a điểm đường thẳng b có C6 C5 cách 1 Suy n  A   C6 C5  C6 C5  135 Vậy xác suất để điểm chọn tạo thành tam giác P  A   n  A  n    11 Chọn D Ví dụ Cho A tập số tự nhiên có chữ số Lấy số tập A Xác suất để lấy số lẻ chia hết cho Trang A 625 1701 B C 18 D 1250 1701 Hướng dẫn giải Số phần tử không gian mẫu n     9000000  9.10 số Gọi A biến cố thỏa mãn tốn Ta đếm số phần tử A Ta có số lẻ chia hết cho dãy 1000017; 1000035; 1000053; …; 9999999 lập thành cấp số cộng có u1  1000017 d  18 nên số phần tử dãy 9999999  1000017   500000 18 Vậy n ( A) = 5.10 Xác suất cần tìm P  A   n  A  5.105   n    9.106 18 Chọn C Ví dụ Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số lập từ tập hợp X = {1;2;3;4;5;6;7;8;9} Chọn ngẫu nhiên số từ S Xác suất để số chọn chia hết cho A 27 B 28 C D Hướng dẫn giải Số phần tử không gian mẫu n     Gọi A biến cố: “số chọn chia hết cho 6” Giả sử số cần tìm abcd Do số cần tìm chia hết chia hết cho Do chọn d � 2; 4;6;8 có cách Chọn a, b có 92 cách Để chọn c ta xét tổng M  a  b  d : Nếu M chia cho dư c � 3; 6;9 suy có cách chọn c Nếu M chia cho dư c � 2;5;8 suy có cách chọn c Nếu M chia cho dư c � 1; 4;7 suy có cách chọn c Do n  A   4.9  972 Vậy P  A   972  94 27 Chọn A Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Một lớp có 20 nam sinh 15 nữ sinh Giáo viên chọn ngẫu nhiên học sinh lên bảng giải tập Xác suất để học sinh chọn có nam nữ Trang A 4615 5236 B 4651 5236 C 4615 5263 D 4610 5236 Câu 2: Một hộp chứa viên bi đỏ viên bi xanh Lấy viên bi từ hộp Xác suất để viên bi lấy lần thứ bi xanh A B 24 C 11 12 D Câu 3: Gieo ngẫu nhiên súc sắc cân đối đồng chất Xác suất biến cố: “Hiệu số chấm xuất súc sắc 1” A B C 18 D Câu 4: Một lô hàng gồm 30 sản phẩm tốt 10 sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên sản phẩm Xác suất để sản phẩm lấy có sản phẩm tốt A 135 988 B 247 C 244 247 D 15 26 Câu 5: Cho đa giác có 18 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O Gọi X tập tam giác có đỉnh đỉnh đa giác Xác suất để chọn tam giác từ tập X tam giác cân tam giác A 21 136 B 17 C 144 136 D 816 Câu 6: Một đội gồm nam nữ Lập nhóm gồm người hát tốp ca Xác suất để bốn người chọn có ba nữ A 70 143 B 73 143 C 56 143 D 87 143 Câu 7: Một bình đựng viên bi xanh viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi Xác suất để có hai viên bi xanh bao nhiêu? A 41 55 B 14 55 C 28 55 D 42 55 Câu 8: Cho hai đường thẳng song song a b Trên đường thẳng a lấy điểm phân biệt; đường thẳng b lấy điểm phân biệt Chọn ngẫu nhiên điểm điểm cho hai đường thẳng a b Xác suất để điểm chọn tạo thành tam giác A 11 B 60 169 C 11 D 11 Câu 9: Cho đa giác 12 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O Chọn ngẫu nhiên đỉnh đa giác Xác suất để đỉnh chọn tạo thành tam giác khơng có cạnh cạnh đa giác cho A 12.8 C123 B C128  12.8 C123 C C123  12  12.8 C123 D 12  12.8 C123 Câu 10: Từ chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; ta lập số tự nhiên có chữ số, đôi khác Chọn ngẫu nhiên số vừa lập, xác suất để chọn số có chữ số lẻ mà chữ số lẻ xếp kề A 35 B 35 C 840 D 210 Trang Câu 11: Một túi đựng 10 thẻ đánh số từ đến 10 Rút ngẫu nhiên ba thẻ từ túi Xác suất để tổng số ghi ba thẻ rút số chia hết cho A 2C33  C43  C31C31C41 B C103 2C33  C43 C C103 2C31C31C41 D C103 Câu 12: Cho X = {0; 1; 2; 3; …; 15} Chọn ngẫu nhiên số tập hợp X Xác suất để ba số chọn khơng có hai số liên tiếp A 13 35 B 20 C 20 35 D 13 20 Câu 13: Một hộp đựng viên bi đỏ, viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên viên bi từ hộp Xác suất lấy viên đỏ A 37 42 B 21 C 42 D 20 21 Câu 14: Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB, BC, CD, DA cho 1, 2, n điểm phân biệt  n �3; n �� tam giác khác A, B, C, D Lấy ngẫu nhiên điểm từ n  điểm cho Biết xác suất lấy 439 Tìm n 560 A n  10 –A 11 – B –A 12 – D B n  19 3–C 13 – D 4–C 14 - A C n  11 –A –A D n  12 7–D 8–D 9–C 10 – A HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Số cách chọn học sinh lên bảng: n     C35 4 Số cách chọn học sinh có nam có nữ: C20  C15 4 Số cách chọn học sinh có nam nữ C35  C20  C15 Xác suất để học sinh gọi có nam nữ: C354  C204  C154 4615  5236 C354 Câu 1 Số phần tử không gian mẫu n     C10 C9 Gọi A biến cố: “Viên bi lấy lần thứ hai bi xanh” 1 Trường hợp 1: Lần thứ lấy viên đỏ, lần thứ hai lấy viên xanh: Có C6 C4 cách chọn 1 Trường hợp 2: Lần thứ lấy viên xanh, lần thứ hai lấy viên xanh: Có C4 C3 cách chọn 1 1 Suy n  A   C6 C4  C4 C3 Trang 10 Vậy P  A   n  A n    24  12  10.9 Câu Số phần tử không gian mẫu: n     6.6  36 Gọi A biến cố thỏa mãn yêu cầu toán A    1;  ,  2;1 ,  3;  ,  2;3  ,  3;  ,  4;3  ,  4;5  ,  5;  ,  5;6  ,  6;5   nên n  A   10 Vậy P  A   10  36 18 Câu Chọn ba sản phẩm tùy ý có C40  9880 cách chọn Do n     9880 Gọi A biến cố có sản phẩm tốt Khi A biến cố sản phẩm khơng có sản phẩm tốt   n A  C103  120   Do n  A   n     n A  9880  120  9760 Vậy P  A   9760 244  9880 247 Câu Số tam giác n     C18 Số tam giác 18 6 Có 18 cách chọn đỉnh đa giác, đỉnh có cách chọn đỉnh lại để tam giác cân Số tam giác cân là: 18.8 = 144 Số tam giác cân không là: 144  6.3  126 � n  A   126 Xác suất cần tìm P  A   126 21  C183 136 Câu Không gian mẫu: n     C13  715 (cách chọn) Gọi A biến cố “Bốn người chọn có ba nữ” Ta có n  A   C8 C5  C8  350 (cách chọn) Suy P  A   350 70  715 143 Câu Số phần tử không gian mẫu n     C12  220 (cách chọn) Gọi A biến cố “Lấy hai viên bi xanh” Trang 11 Ta có n  A   C8 C4  C8 C4  168 (cách chọn) Vậy xác suất P  A   168 42  220 55 Câu Số phần tử không gian mẫu n     C11  165 Gọi A biến cố: “ba điểm chọn lập thành tam giác” Trường hợp 1: Chọn hai điểm đường thẳng a điểm đường thẳng b có C6 C5 cách Trường hợp 2: Chọn điểm đường thẳng a hai điểm đường thẳng b có C6 C5 cách 1 Suy n  A   C6 C5  C6 C5  135 Vậy xác suất để điểm chọn tạo thành tam giác P  A   n  A n    135  165 11 Câu Số phần tử không gian mẫu là: n     C12 Gọi A: “Chọn ba đỉnh tạo thành tam giác khơng có cạnh cạnh đa giác cho” Suy A : “Chọn ba đỉnh tạo thành tam giác có cạnh cạnh đa giác cho” Do A : “Chọn ba đỉnh tạo thành tam giác có cạnh hai cạnh cạnh đa giác cho” Trường hợp 1: Chọn tam giác có cạnh cạnh đa giác cho, ta chọn đỉnh liên tiếp đa giác 12 cạnh Có 12 cách Trường hợp 2: Chọn tam giác có cạnh cạnh đa giác cho, ta chọn cạnh đỉnh không liền với đỉnh cạnh Suy có 12 cách chọn cạnh C8  cách chọn đỉnh Vậy có 12.8 cách   Số phần tử biến cố A là: n A  12  12.8 Số phần tử biến cố A là: n  A   C12  12  12.8 n  A C123  12  12.8  Xác suất biến cố A P  A   n   C123 Câu 10 Ta có số phần tử không gian mẫu n     A8  20160 Gọi A: “Số chọn có chữ số lẻ mà chữ số lẻ xếp kề nhau” Chọn chữ số lẻ có A4  24 cách Ta coi chữ số lẻ số a Sắp số số a vào vị trí có cách; Cịn vị trí cịn lại xếp chữ số chẵn có A4  24 cách Trang 12 Khi n  A   24.4.24  2304 Vậy xác suất cần tính P  A   n  A n    2304  20160 35 Câu 11 Số cách rút ngẫu nhiên ba thẻ từ túi có 10 thẻ là: C10 cách Trong số từ đến 10 có ba số chia hết cho 3, bốn số chia cho dư 1, ba số chia cho dư Để tổng số ghi ba thẻ rút số chia hết cho ba thẻ phải có số ghi thỏa mãn trường hợp sau: - Ba số chia hết cho - Ba số chia cho dư - Ba số chia cho dư - Một số chia hết cho 3, số chia cho dư 1, số chia cho dư 3 1 Do số cách rút để tổng số ghi thẻ rút số chia hết cho C3  C4  C3  C3 C4 C3 (cách) Vậy xác suất cần tìm là: 2C33  C43  C31C31C41 C103 Câu 12 Khơng gian mẫu có số phần tử là:   C16  560 (phần tử) Ta tìm số cách lấy ba số có hai số liên tiếp lấy ba số liên tiếp Khi ta có trường hợp sau: Trường hợp 1: Lấy ba số có hai số liên tiếp Trong ba số lấy có hai số 0,1 14, 15 số thứ ba có 13 cách lấy Do trường hợp có: 2.13 = 26 cách lấy Trong ba số lấy khơng có hai số 0,1 14, 15 ta có 13 cặp số liên tiếp khác 0,1 14, 15, số thứ ba có 12 cách lấy Do trường hợp có: 13.12 = 156 cách lấy Trường hợp 2: Lấy ba số liên tiếp có 14 cách lấy Vậy ta có 26 + 156 + 14 = 196 cách lấy ba số liên tiếp lấy ba số có hai số liên tiếp Xác suất để ba số chọn khơng có hai số liên tiếp là: P  560  196 13  560 20 Câu 13 Lấy viên bi từ + = viên bi có C9 cách + Lấy viên đỏ viên xanh có C5 C4 cách + Lấy viên đỏ viên xanh có C5 C4 cách Trang 13 + Lấy viên đỏ có C5 cách Vậy xác suất cần tìm C51C42  C52 C41  C53 20  21 C93 Câu 14 Số phần tử không gian mẫu n     Cn  Gọi A biến cố đỉnh tạo thành tam giác Để điểm đỉnh tam giác điểm khơng thẳng hàng Ta xét biến cố A biến cố đỉnh không tạo thành tam giác Trường hợp 1: Lấy điểm thuộc cạnh CD có cách Trường hợp 2: Lấy điểm thuộc cạnh DA có Cn cách   Vậy n A   Cn Dó P  A   Cn3   Cn3 439  Cn3 560 Theo giả thiết ta có: � Cn3   Cn3 Cn3 � n  n  1  n   �  Cn3 121  n  6  n  5  n  4  � 560 � 1 � 121 560 6 Cn  � � � 439n3  3495n  7834n  11160  � n  10 Dạng 2: Các tập sử dụng quy tắc tính xác suất Ví dụ mẫu Ví dụ Ba xạ thủ A1 , A2 , A3 độc lập với nổ súng bắn vào mục tiêu Biết Ghi nhớ: xác suất bắn trúng mục tiêu A1 , A2 , A3 tương ứng 0,7; 0,6 0,5 Tính cố đối A biến cố xác suất để có xạ thủ bắn trúng A 0,45 B 0,21 C 0,75 +) Xác suất biến D 0,94 Hướng dẫn giải A   P A   P  A Gọi Ai : “Xạ thủ thứ i bắn trúng mục tiêu” với i  1,3 Khi Ai : “Xạ thủ thứ i bắn không trúng mục tiêu”   Ta có P  A1   0, � P A1  0,3 ;   P  A   0,5 � P  A   0,5 P  A2   0, � P A2  0, ; 3 Gọi B: “Cả ba xạ thủ bắn khơng trúng mục tiêu” B : “có xạ thủ +) Nếu k biến cố bắn trúng mục tiêu” A1 , A2 , A3 , , Ak đôi Trang 14       Ta có P  B   P A1 P A2 P A3  0,3.0, 4.0,5  0, 06 độc lập P  A1 , A2 , A3 , , Ak    Khi P B   P  B    0, 06  0,94  P  A1  P  A2  P  Ak  Chọn D Ví dụ Một xạ thủ bắn bia Biết xác suất bắn trúng vòng 10 0,2; vòng +) Nếu biến cố 0,25 vòng 0,15 Nếu trúng vòng k k điểm Giả sử xạ thủ bắn ba phát súng cách độc lập Xạ thủ đạt loại giỏi đạt 28 điểm Xác suất để xạ thủ đạt loại giỏi A 0,0935 B 0,0755 C 0,0365 A1 , A2 , A3 , , Ak đôi xung khắc D 0,0855 P  A1 �A2 � �Ak  Hướng dẫn giải  P  A1   P  A2   Gọi H biến cố: “Xạ thủ bắn đạt loại giỏi” A; B; C; D biến cố sau:  P  Ak  A: “Ba viên trúng vòng 10”; B: “Hai viên trúng vòng 10 viên trúng vòng 9”; C: “Một viên trúng vòng 10 hai viên trúng vòng 9”; D: “Hai viên trúng vòng 10 hai viên trúng vòng 8” Các biến cố A; B; C; D biến cố xung khắc đôi nên H  A �B �C �D Áp dụng quy tắc cộng mở rộng ta có: P  H   P  A  P  B   P  C   P  D  Mà P  A    0,   0,   0,   0, 008 ; P  B    0,   0,   0, 25    0,   0, 25   0,    0, 25   0,   0,   0, 03 ; P  C    0,   0, 25   0, 25    0, 25   0,   0, 25    0, 25   0, 25   0,   0, 0375 P  D    0,   0,   0,15    0,   0,15   0,    0,15   0,   0,   0, 018 Do P  H   0, 008  0, 03  0, 0375  0, 018  0,0935 Chọn A Ví dụ Túi I chứa bi trắng, bi đỏ, 15 bi xanh Túi II chứa 10 bi trắng, bi đỏ, bi xanh Từ túi lấy ngẫu nhiên viên bi Xác suất để lấy hai viên màu A 207 625 B 72 625 C 418 625 D 553 625 Hướng dẫn giải Gọi At , Ad , Ax biến cố bi rút từ túi I trắng, đỏ, xanh Gọi Bt , Bd , Bx biến cố bi rút từ túi II trắng, đỏ, xanh Các biến cố At , Ad , Ax độc lập với Bt , Bd , Bx Ta có P  At   15 ; P  Ad   ; P  Ax    25 25 25 Trang 15 P  Bt   10  ; P  Bd   ; P  Bx   25 25 25 Vậy xác suất để lấy hai bi màu P  At Bt �Ad Bd �Ax Bx   P  At Bt   P  Ad Bd   P  Ax Bx   P  At  P  Bt   P  Ad  P  Bd   P  Ax  P  Bx   207    25 25 25 25 625 Chọn A Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Xác suất bắn trúng mục tiêu vận động viên bắn viên đạn 0,6 Người bắn hai viên đạn cách độc lập Xác suất để viên trúng mục tiêu viên trượt mục tiêu A 0,45 B 0,4 C 0,48 D 0,24 Câu 2: Việt Nam chơi cờ Trong ván cờ, xác suất Việt thắng Nam 0,3 Nam thắng Việt 0,4 Hai bạn dừng chơi có người thắng, người thua Xác suất để hai bạn dừng chơi sau hai ván cờ A 0,12 B 0,7 C 0,9 D 0,21 Câu 3: Ba xạ thủ bắn vào bia, xác suất trúng đích 0,5; 0,6 0,7 Xác suất để có người bắn trúng bia A 0,29 B 0,44 C 0,21 D 0,79 Câu 4: Một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu, câu có phương án trả lời có phương án đúng, câu trả lời 0,2 điểm Một thí sinh làm cách chọn ngẫu nhiên phương án câu Xác suất để thí sinh điểm A 0, 2530.0, 7520 B 0, 2520.0, 7530 30 20 20 C 0, 25 0, 75 C50 D  0, 2520.0, 7530 Câu 5: Trong thi có 10 câu hỏi trắc nghiệm, câu có phương án trả lời, có phương án Với câu, chọn phương án trả lời thí sinh cộng điểm, chọn phương án trả lời sai bị trừ điểm Tính xác suất để thí sinh làm cách lựa chọn ngẫu nhiên phương án 26 điểm, biết thí sinh phải làm hết câu hỏi câu hỏi chọn phương án trả lời (chọn giá trị gần nhất) A P  0, 016222 1–C 2–D B P  0, 0162227 3–B 4–C C P  0, 028222 D P  0, 282227 –A HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Gọi A1 , A2 , X biến cố bắn trúng mục tiêu viên đạn thứ nhất, viên đạn thứ hai, viên đạn trúng mục tiêu viên trượt mục tiêu Khi X  A1 A2  A1 A2 Trang 16     Xác suất cần tìm P  X   P A1 A2  P A1 A2  0, 6.0,  0, 4.0,  0, 48 Câu Ván 1: Xác suất Việt Nam hòa   0,3  0,   0,3 Ván 2: Xác suất Việt thắng Nam thắng 0,3  0,  0, Xác suất để hai bạn dừng chơi sau hai ván cờ là: P  0,3.0,  0, 21 Câu Gọi A biến có người thứ bắn trúng A biến cố người thứ bắn trượt   Vậy P  A   0,5 ; P A  0,5 Gọi B biến cố người thứ hai bắn trúng C biến cố người thứ ba bắn trúng     Tương tự ta có P  B   0, ; P B  0, ; P  C   0, ; P C  0,3 Để hai người bắn trúng bia có khả sau xảy ra: Trường hợp 1: Người thứ thứ hai bắn trúng, người thứ ba bắn trượt   Xác suất xảy là: P  A  P  B  P C  0,5.0, 6.0,3  0, 09 Trường hợp 2: Người thứ thứ ba bắn trúng, người thứ hai bắn trượt   Xác suất xảy là: P  A  P B P  C   0,5.0, 4.0,  0,14 Trường hợp 3: Người thứ hai thứ ba bắn trúng, người thứ bắn trượt   Xác suất xảy là: P A P  B  P  C   0,5.0, 6.0,  0, 21 Vậy xác suất để hai người bắn trúng bia là: 0, 09  0,14  0, 21  0, 44 Câu Xác suất để chọn câu trả lời , xác suất để chọn câu trả lời sai 4 Để điểm thí sinh phải trả lời 30 câu trả lời sai 20 câu 20 30 �3 � �1 � Xác suất để thí sinh điểm C � � � �  0, 2530.0, 7520.C5020 �4 � �4 � 20 50 Câu Gọi A: “Thí sinh 26 điểm” Ta có A: “Thí sinh trả lời câu hỏi trả lời sai câu hỏi” Xác suất trả lời câu hỏi Xác suất trả lời sai câu hỏi �1 � �3 � Xác suất biến cố A là: P  A   C104 � � � �  0, 016222 �4 � �4 � Trang 17 ... 2C 33  C 43 C C1 03 2C31C31C41 D C1 03 Câu 12: Cho X = {0; 1; 2; 3; …; 15} Chọn ngẫu nhiên số tập hợp X Xác suất để ba số chọn khơng có hai số liên tiếp A 13 35 B 20 C 20 35 D 13 20 Câu 13: ... hết cho 3, số chia cho dư 1, số chia cho dư 3 1 Do số cách rút để tổng số ghi thẻ rút số chia hết cho C3  C4  C3  C3 C4 C3 (cách) Vậy xác suất cần tìm là: 2C 33  C 43  C31C31C41 C1 03 Câu 12...  Cn3   Cn3 439  Cn3 560 Theo giả thiết ta có: � Cn3   Cn3 Cn3 � n  n  1  n   �  Cn3 121  n  6  n  5  n  4  � 560 � 1 � 121 560 6 Cn  � � � 439 n3  34 95n  7 834 n