Tai lieu giang day Toan HH11

 Haõy neâu nhöõng ñaëc ñieåm khaùc nhau veà söï toàn taïi cuûa hai bieán coá A: "Con suùc saéc xuaát hieän maët 7 chaám" vaø B: "Con suùc saéc xuaát hieän maët coù soá chaá[r]

MỘT SỐ KÍ HIỆU THÔNG DỤNG

Kí hiệu Tên gọi Diễn giải

Pn Số hoán vị n phần tử Permutation

An

k Số chỉnh hợp chập k n phần tử

Cnk Số tổ hợp chập k n phần tử Combinatory

P(A) Xác suất biến coá A Probability

limun Giới hạn dãy số (un) Limit

lim

x → x0f(x) Giới hạn hàm số f(x) x dần tới x0 lim

x →− ∞f

(x) Giới hạn hàm số f(x) x dần tới âm vô cực lim

x →+∞f

(x) Giới hạn hàm số f(x) x dần tới dương vô cực

x → x+¿0 f(x)

lim ¿

Giới hạn bên phải hàm số f(x) x dần tới x0 lim

x → x0−f(x) Giới hạn bên trái hàm số f(x) x dần tới x0

y' f'(x) Đạo hàm hàm số y = f(x)

y'' f''(x) Đạo hàm cấp hai hàm số y = f(x) y(n) f(n)(x) Đạo hàm cấp n hàm số y = f(x)

dy df(x) Vi phân hàm số y = f(x) Differenttial

n(A) A Số phần tử hữu hạn tập A

-CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HAØM ĐỂ KHẢO SÁT HAØM SỐ

oOo

- CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:

Các giá trị lượng giác cung (góc) :

 sin xác định R sin( + k2) = sin

cos xác định R cos( + k2) = cos  -  sin (sin 1).

-  cos (cos 1).

 tan xác định  π2+kπ vaø tan(k) = tan;

cot xác định  k cot( + k) = cot.  Dấu giá trị lượng giác góc 

2 Bảng giá trị lượng giác đặc biệt:

 0 (00) π

6 (300) π

4 (450) π

3 (600) π

2 (900)

sin 0 12 √2

2

√3

2 1

cos 1 √3

2

√2 2

1

2 0

tan 0 1

√3 1 √3 kxñ

cot kxñ √3 1 1

√3 0

3 Công thức lượng giác bản:

 sin2 + cos2 = 1  1+tan2α= 1

cos2α ( π

2+kπ , k  Z).

 1+cot2α= 1

sin2α ( k, k  Z).  tan.cot = ( α ≠ k π

2 , k  Z).

Giá trị lượng giác cung có liên quan đặc biệt: Cung đối:(-) 

sin(-) = -sin

cos(-) = cos

tan(-) = -tan

cot(-) = -cot

Cung bù:( - ) 

sin( - ) = sin

cos( - ) = -cos

tan( - ) = -tan

cot( - ) = -cot

Cung phuï:( π2 - ) vaø 

sin( π2 - ) = cos

cos( π2 - ) = sin

tan( π2 - ) = cot

cot( π2 - ) = tan

Cung  : ( + ) 

sin( + ) = -sin

cos( + ) = -cos

tan( + ) = tan

cot( + ) = cot

Các công thức lượn giác thường sử dụng:

Công thức cộng: Công thức nhân đôi: Công thức hạ bậc:

Phần tư

Giá trị lượng giác I II III IV

sin + + -

-cos + - - +

tan + - +

cos(a - b) = cosacosb + sinasinb cos(a + b) = cosacosb - sinasinb sin(a - b) = sinacosb - cosasinb sin(a + b) = sinacosb + cosasinb tan(a −b)=tana −tanb

1+tanatanb

tan(a+b)=tana+tanb

1−tanatanb

sin2a = 2sinacosa cos2a = cos2a - sin2a

= cos2a - 1

= - 2sin2a

tan 2a=2tana

1−tan2a

cos2a=1+cos 2a

2

sin2a

=1−cos 2a

2

tan2a=1−cos 2a

1+cos 2a

Công thức biến tích thành tổng:

cosacosb = 12 [cos(a + b) + cos(a - b)] sinasinb =- 12 [cos(a + b) - cos(a - b)] sinacosb = 12 [sin(a + b) + sin(a - b)]

Cơng thức biến đổi tổng thành tích: cosu + cosv = 2cos u+2v cos u − v2 cosu - cosv = -2sin u+2v sin u − v2 sinu + sinv = 2sin u+2v cos u − v2 sinu - sinu = 2cos u+2v sin u − v2  Công thức nhân ba:

sin3a = 3sina - 4sin3a cos3a = 4cos3a - 3cosa

 Công thức sina + cosa:

sina + cosa = √2 sin(a + π4 ) sina - cosa = √2 sin(a - π4 )

sina + cosa = √2 cos(a - π4 ) sina - cosa = - √2 cos(a + π4 )



Ghi chuù:

§1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

I- ĐỊNH NGHĨA:

1 Hàm số sin hàm số côsin:

a) Hàm số sin:

 Quy tắc đặt tương ứng số thực x với số thực sinx

sin: R  R

x ↦ y = sinx

gọi hàm số sin, kí hiệu y = sinx

 Tập xác định hàm số sin là: D = R.

b) Hàm số côsin:

 Quy tắc đặt tương ứng số thực x với số thực cosx

cos: R  R

x ↦ y = cosx

gọi hàm số cơsin, kí hiệu y = cosx

 Tập xác định hàm số côsin là: D = R.

2 Hàm số tang hàm số côtang:

a) Hàm số tang:

 Hàm số tang hàm số xác định công thức y = sincosxx (cosx ≠ 0), kí hiệu y = tanx.

 Tập xác định hàm số y = tanx là: D = R\{ π2 + k, k  Z}.

b) Hàm số côtang:

 Hàm số cơtang hàm số xác định công thức y = cossinxx (sinx ≠ 0), kí hiệu y =

cotx.

 Tập xác định hàm số y = cotx là: D = R\{k, k  Z}.

* Nhận xét: Hàm số y = sinx hàm số lẻ, hàm số y = cosx hàm số chẵn, từ suy hàm số y = tanx y = cotx hàm số lẻ.

II- TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC:  Giải nghĩa từ tuần hồn, lấy ví dụ thực tế đời sống.

Tìm số T cho f(x + T) = f(x) với x thuộc tập xác định hàm số: a) y = sinx; b) y = tanx.

 Hàm số y = sinx hàm số tuần hoàn với chu kì 2.

 Hàm số y = cosx hàm số tuần hoàn với chu kì 2.

 Hàm số y = tanx y = cotx hàm số tuần hồn, với chu kì .

III- SỰ BIẾN THIÊN VAØ ĐỒ THỊ CỦA HAØM SỐ LƯỢNG GIÁC: 1 Hàm số y = sinx:

 Hàm số y = sinx xác định với x  R -1  sinx  1;  Là hàm số lẻ;

 Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2.

a) Sự biến thiên đồ thị hàm số y = sinx đoạn [0;  ] :

Hàm số y = sinx đồng biến [0; π2 ] nghịch biến [ π2 ; ].

Bảng biến thiên:

x 0 π2 

y = sinx 1

0 0

* Chú ý: Vì hàm số y = sinx hàm số lẻ nên lấy đối xứng đồ thị hàm số đoạn [0; ] qua gốc tọa độ O,

ta đồ thị hàm số đoạn [-; 0].

c) Tập giá trị hàm số y = sinx:

Tập giá trị hàm số y = sinx T = [-1; 1].

Hàm số y = cosx:

 Hàm số y = cosx xác định với x  R -1  cosx  1;  Là hàm số chẵn;

 Là hàm số tuần hồn với chu kì 2;

 Hàm số y = cosx đồng biến [-; 0] nghịch biến [0; ].  Bảng biến thiên:

x - 

y = cosx

1

-1 -1

 Đồ thị hàm số y = cosx:

 Taäp giá trị hàm số y = cosx T = [-1; 1].

Đồ thị hàm số y = sinx, y = cosx gọi chung đường hình sin. 3 Hàm số y = tanx:

 Tập xác định: D = R\{ π2+kπ , k  Z};  Là hàm số lẻ;

 Là hàm số tuần hồn với chu kì ;

a) Sự biến thiên hàm số y = tanx nửa khoảng [0; π2 ):

x -

π 4 π

2

y = tanx

+

1 0

* Nhận xét: Khi x gần π2 đồ thị hàm số y = tanx gần đường thẳng x = π2 . b) Đồ thị hàm số y = tanx D:

 Đồ thị hàm số y = tanx (−π2;π2) :

 Đồ thị hàm số y = tanx D:

 Tập giá trị hàm số y = tanx T = (-; +).

4 Hàm số y = cotx:

 Tập xác định: D = R\{k, k  Z};  Là hàm số chẵn;

 Là hàm số tuần hồn với chu kì ;

a) Sự biến thiên đồ thị hàm số y = cotx khoảng (0;  ) :

Hàm số y = cotx nghịch biến khoảng (0; ).

x 0 π2 

y = tanx +

b) Đồ thị hàm số y = cotx D:

 Tập giá trị hàm số y = cotx laø T = (-; +).



Ghi chuù:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập bản:

Bài 1: Hãy xác định giá trị x đoạn [-; 32π ] để hàm số y = tanx:

a) Nhận giá trị 0; b) Nhận giá trị 1;

c) Nhận giá trị dương; d) Nhận giá trị âm.

Bài 2: Tìm tập xác định hàm số: a) y = sin1+cosx x ; b) y = √1+cosx

1−cosx ; c) y = tan(x − π

3) ; d) y = cot(x+ π 6) .

Bài 3: Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, tìm giá trị x để cosx = 12 .

Bài 4: Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, tìm khoảng giá trị x để hàm số nhận giá trị dương. Bài 5: Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, tìm khoảng giá trị x để hàm số nhận giá trị âm. Bài 6: Tìm giá trị lớn hàm số:

a) y = 2 √cosx + 1; b) y = - 2sinx.

Bài 7: Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, vẽ đồ thị hàm số y = sinx.

Bài 8: Chứng minh sin2(x + k) = sin2x với số nguyên k Từ vẽ đồ thị hàm số y = sin2x.

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Xét tính chẵn - lẻ hàm số sau:

a) y = -2sinx; b) y = 3sinx - 2; c) y = sinx - cosx; d) y = sinxcos2x + tanx.

Bài 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau:

a) y = 2cos(x + π3 ) + 3; b) y = √1−sin(x2) - 1; c) y = 4sin √x .

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

§2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1 Phương trình sinx = a:

Xét phương trình sinx = a (a  R) (1)

Trường hợp a > 1: phương trình (1) vơ nghiệm

Trường hợp a 1:

sinx = sin

x=α+k2π

x=π − α+k2π(k∈Z)

¿

sinx = a

sinx = a 

x=arcsina+k2π

x=π −arcsina+k2π(k∈Z)

¿

* Chú ý:

sinu(x)=sinα

[sinu(x)=sinβ0] 

u(x)=α+k2π[β0+k3600]

u(x)=π − α+k2π[1800− β0+k3600](k∈Z) ¿

 sinu(x) = a

(-1  a  1)

sinu(x)=a

(sinu(x)=a) 

u(x)=arcsina+k2π[arcsina+k3600]

u(x)=π −arcsina+k2π[1800−arcsina+k3600](k∈Z)

¿

 Tổng quát: sin[f(x)] = sin[g(x)] 

f(x)=g(x)+k2π

f(x)=π − g(x)+k2π(k∈Z)

¿

 Đặc biệt: sin[f(x)] =  f(x) = π2 + k2, k  Z

sin[f(x)] = -1  f(x) = - π2 + k2, k  Z

sin[f(x)] =  f(x) = k, k  Z.

Ví dụ: Giải phương trình sau:

a) sinx = 12 ; b) sinx = 15 ; c) sin2x = 1; d) sin(x + 450) =

-√2 2 .

Giaûi:

2 Phương trình cosx = a:

Xét phương trình cosx = a (a  R) (2)

Trường hợp a > 1: phương trình (2) vơ nghiệm

Trường hợp a 1:

cosx = cos

x=α+k2π

x=− α+k2π(k∈Z)

¿

cosx = a

cosx = a 

x=arccosa+k2π

x=−arccosa+k2π(k∈Z)

¿

* Chú ý:

cosu(x)=cosα

[cosu(x)=cosβ0] 

u(x)=α+k2π[β0+k3600]

u(x)=− α+k2π[− β0+k3600](k∈Z)

¿

 cosu(x) = a

(-1  a  1)

cosu(x)=a

[cosu(x)=a] 

u(x)=arccosa+k2π[arccosa+k3600]

u(x)=−arccosa+k2π[−arccosa+k3600](k∈Z) ¿

 Tổng quát: cos[f(x)] = cos[g(x)] 

f(x)=g(x)+k2π

f(x)=− g(x)+k2π(k∈Z)

¿

 Đặc biệt: cos[f(x)] =  f(x) = k2, k  Z

cos[f(x)] = -1  f(x) =  + k2, k  Z

cos[f(x)] =  f(x) = π2 + k, k  Z.

Ví dụ: Giải phương trình sau:

a) cosx = cos π6 ; b) cos3x = - √2

2 ; c) cosx =

1

3 ; d) cos(x + 600) = √

2 2 .

Giaûi:

3 Phương trình tanx = a:

tanx = tan x =  + k, k  Z [x = 0 + k1800, k  Z]

tanx = a

tanx = a x = arctana + k, k  Z [x = arctana + k1800, k  Z]

* Chú ý:

tan[u(x)] = tan u(x) =  + k, k  Z [ux) = 0 + k1800, k  Z]  tan[u(x)] = a

tan[u(x)] = a ux) = arctana + k, k  Z [ux) = arctana + k1800, k  Z]  Tổng quát: tan[f(x)] = tan[g(x)]  f(x) = g(x) + k, k  Z.

 Đặc biệt: tan[u(x)] =  u(x) = k, k  Z.

Ví dụ: Giải phương trình sau:

a) tanx = tan π5 ; b) tan2x = - 13 ; c) tan(3x + 150) =

√3 . Giaûi:

4 Phương trình cotx = a:

cotx = cot x =  + k, k  Z [x = 0 + k1800, k  Z]

cotx = a

cotx = a x = acrcota + k, k  Z [x = acrcota + k1800, k  Z]

* Chú ý:

cot[u(x)] = cot u(x) =  + k, k  Z [ux) = 0 + k1800, k  Z]  cot[u(x)] = a

cot[u(x)] = a ux) = acrcota + k, k  Z [ux) = acrcota + k1800, k  Z]  Tổng quát: cot[f(x)] = cot[g(x)]  f(x) = g(x) + k, k  Z.

 Đặc bieät: cot[u(x)] =  u(x) = π2 + k, k  Z.

Ví dụ: Giải phương trình sau:

a) cot4x = cot 27π ; b) cot3x = -2; c) cot(2x - 100) = 1

√3 .



Ghi chuù:

1 Bài tập bản:

Bài 1: Giải phương trình sau:

a) sin(x + 2) = 13 ; b) sin3x = 1;

c) sin( 23x−π 3 ) =

-1

2 ; d) sin(x + 200) = - √

3 2 .

Bài 2: Với giá trị x giá trị hàm số y = sin3x y = sinx nhau? Bài 3: Giải phương trình sau:

a) cos(x - 1) = 32 ; b) cos3x = cos120;

c) cos( 32x−π 4 ) =

-1

2 ; d) cos22x =

1 4 .

Baøi 4: Giải phương trình 12 cos 2−sin 2xx=0 .

Bài 5: Giải phương trình sau: a) tan(x - 150) = √3

3 ; b) cot(3x - 1) = - √3 ;

c) cos2x.tanx = 0; d) sin3xcotx = 0.

Bài 6: Với giá trị x giá trị hàm số y = tan( π4 - x) y = tan2x nhau? Bài 7: Giải phương trình sau:

a) sin3x - cos5x = 0; b) tan3x.tanx = 1.

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Tìm nghiệm phương trình sau khoảng cho: a) sin2x = −1

2 với < x < ; b) cos(x - 5) = √

3

2 với - < x < ;

c) tan(2x - 150) = với -1800 < x< 900; d) cot3x = −1

√3 với − π

2 < x < 0.

Bài 2: Tìm tập xác định hàm số sau: a) y = 1−cosx

2 sinx+√2 ; b) y =

sin(x −2)

cos 2x −cosx

c) y = tan1 x

+tanx ; d) y =

1

√3 cot 2x+1 .

CAÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

§3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

I- PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Định nghĩa: Phương trình bậc hàm số lượng giác phương trình dạng: at + b = 0 a, b số (a ≠ 0) t hàm số lượng giác.

Cách giải: Biến đổi phương trình cho phương trình lượng giác bản. Ví dụ: Giải phương trình sau:

a) 2sinx - = 0; b) 5cosx + = 0; c) √3 tanx + = 0; d) √3 cotx - =

Giaûi:

II- PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HAØM SỐ LƯỢNG GIÁC:

Định nghĩa: Phương trình bậc hai hàm số lượng giác phương trình dạng: at2 + bt + c = 0

a, b, c số (a ≠ 0) t hàm số lượng giác.

Cách giải: Đặt ẩn phụ (điều kiện cho ẩn phụ có), giải phương trình theo ẩn phụ đưa việc giải các phương trình lượng giác bản.

Ví dụ: Giải phương trình sau:

a) 3cos2x - 5cosx + = 0; b) 3tan2x - 2

√3 tanx + = 0; c) 2sin2 x2 + √2 sin

x

2 - = 0.

Giaûi:

III- PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx VÀ cosx:

Cơng thức biến đổi biểu thức asinx + bcosx:

asinx + bcosx = √a2

+b2 sin(x + )

với cos = a

√a2

+b2 vaø sin =

b √a2

+b2

Phương trình dạng asinx + bcosx = c:

Xét phương trình asinx + bcosx = c (a2 + b2≠ 0) (1)

Nếu a = 0, b ≠ (hoặc a ≠ 0, b = 0) (1) phương trình bậc hàm số lượng giác.

Neáu a ≠ 0, b ≠ (1)  √a2+b2 sin(x + ) = c  sin(x + ) = c

√a2

+b2

Ví dụ 1: Giải phương trình sinx + √3 cosx = 1. Giaûi:

Ví dụ 2: Giải phương trình 3sin3x - 4cos3x = 5.

Giaûi:



Ghi chuù:

Bài 1: Giải phương trình sau:

a) sin2x - sinx = 0; b) 2cos2x - 3cosx + = 0; c) 2tan2x + 3tanx + = 0.

Bài 2: Giải phương trình sau:

a) cosx - √3 sinx = √2 ; b) √3 sin3x - cos3x = √2 ;

c) 2sinx + 2cosx - √2 = 0; d) 5cos2x + 12sin2x - 13 = 0.

Baøi 3: Giải phương trình sau:

a) 2sin2x + √2 sin4x = 0; b) sin2 x2−2cos2x+2=0 ; c) tanx - 2cotx + = 0.

Bài 4: Giải phương trình sau:

a) 2sin2x + sinxcosx - 3cos2x = 0; b) 3sin2x - 4sinxcosx + 5cos2x = 2;

c) sin2x + sin2x - 2cos2x = 1

2 ; d) 2cos2x - 3 √3 sin2x - 4sin2x = -4.

Bài 5: Giải phương trình sau:

a) tan(2x + 1)tan(3x - 1) = 1; b) tanx + tan(x + π4 ) = 1.

Baøi 6: Giải phương trình sau:

a) 2(sinx + cosx) + 6sinxcosx – = 0; b) 2sin2x - 3 √3 (sinx + cosx) + = 0;

c) (1 - √2 )(1 + sinx – cosx) = sin2x; d) cosx – sinx + 3sin2x – = 0;

e) 5sin2x + sinx + cosx + = 0; f) sin2x + √2 sin(x - π4 ) = 1.

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Giải phương trình sau:

a) cosxcos5x = cos2xcos4x; b) sin2x + sin4x = sin6x;

c) sin24x + sin23x = sin22x + sin2x; d) (sinx – cosx)2 – (

√2 + 1)(sinx – cosx) + √2 = 0.

Bài 2: Giải phương trình sau:

a) sinx + √3 cosx = 2sin(2x + π6 ); b) 2sinx(cosx - 1) = √3 cos2x;

b) cos3x - sinx = √3 (cosx - sin3x); c) √3 cosx - sinx = √2

(sin3x - cos3x).

Bài 3: Giải phương trình sau: a) cos[π

2cos(x − π 4)]=√

2

2 ; b) tan[

π

4(cosx+sinx)]=1 . CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

* ÔN TẬP CHƯƠNG I *

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập bản:

Bài 1: a) Hàm số y = cos3x có phải hàm số chẵn không? Tại sao? b) Hàm số y = tan(x + π5 ) có phải hàm số lẻ không? Tại sao?

Bài 2: Căn vào đồ thị hàm số y = sinx, tìm giá trị x đoạn [ −3π

2 ; 2] để hàm số đó:

a) Nhận giá trị -1; b) Nhận giá trị âm.

Bài 3: Giải phương trình sau:

a) sin(x + 1) = 32 ; b) sin22x = 1

2 ; c) cot2

x 2 =

1

3 ; d) tan(

π

12 + 12x) =

-√3 .

Bài 4: Giải phương trình sau: a) 2cos2x - 3cosx + = 0; b) 2sinx + cosx = 1.

Bài 5: Tìm giá trị lớn hàm số sau:

a) y = √2(1+cosx) + 1; b) y = 3sin(x - π

6 ) - 2;

c) y = - 4sinx; d) y = - √cosx .

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Tìm tập xác định hàm số: a) y =

2−cosx 1+tan(x −π

3)

; b) y = tan1−sin 2x+cotxx .

Bài 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau: a) y = 2cos( x+π

3 ) + 3; b) y = √1−sin(x

2

) - 1; c) y = 4sin √x .

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

CHƯƠNG II TỔ HỢP - XÁC SUẤT

oOo

- CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:

Tập hợp:

 Tập rỗng:  tập hợp không chứa phần tử nào.

 Taäp con:

A B  ∀x:x∈A⇒x∈B )

 Số tập tập có n phần tử 2n.

 A = B  A  B B  A  Tính chất:

a) A A với tập hợp A.

b) Nếu A B B C A C. c)  A với tập hợp A.

 Kí hiệu: N*, Z*, Q*, R* tập hợp số

khơng có phần tử 0.

2 Các phép toán tập hợp: Giao

 A B ={xx A vaø x

B}

 x∈A ∩ B⇔{x∈A

x∈B

Hợp

 A B ={xx A x

B}



x∈A x∈B x∈A∪B⇔¿

Hieäu

 A\ B ={xx A vaø x

B}

 ¿x∈A⇔{xx∈∉BA

Phần bù

Khi B A A\B gọi phần bù B trong A, kí hiệu

CAB Dấu hiệu chia hết:

 Số chia hết cho số có chữ số tận 0; 2; 4; 6; 8.  Số chia hết cho số có chữ số tận 5.  Số chia hết cho số có tổng chữ số chia hết cho 3.  Số chia hết cho số có tổng chữ số chia hết cho 9.

Số chữ số:

128



Ghi chuù:

số có ba chữ số

§1.QUY TẮC ĐẾM

Số phần tử hữu hạn tập hợp A kí hiệu n(A) A.

a) Nếu A = {a, b, c} số phần tử tập hợp A 3, ta viết n(A) = |A| = 3.

b) Nếu A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} B = {2, 4, 6, 8} A\ B = {1, 3, 5, 7}. - Số phần tử tập hợp A n(A) =

- Số phần tử tập hợp B n(B) = - Số phần tử tập hợp A\B n(A\B) =

I- Quy tắc cộng:

Quy tắc: Một cơng việc hồn thành hai hành động Nếu hành động có m cách thực hiện, hành động có n cách thực (khơng trùng với cách hàng động thứ nhất) thì cơng việc có m + n cách thực hiện.

* Chú ý: Quy tắc cộng mở rộng cho nhiều hành động.

 Quy tắc cộng thực chất quy tắc đếm số phần tử hai tập hợp hữu hạn không giao nhau.

Vậy A B tập hữu hạn khơng giao n(A B) = n(A) + n(B).

II- Quy taéc nhân:

Quy tắc:Một cơng việc hồn thành hai hành động liên tiếp Nếu có m cách thực hành động thứ ứng với cách có n cách thực hành động thứ hai có m.n cách hồn thành cơng việc.

* Chú ý: Quy tắc nhân mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp. Ví dụ 1: Một mạng đường thành phố A, B, C, D sau:

(Số hai địa điểm số đường hai địa điểm đó) Có cách từ thành phố A đến thành phố D?

Giaûi:

Ví dụ 2: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số tự nhiên gồm:

a) chữ số; b) chữ số khác nhau.

Giaûi:

Ví dụ 2: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên gồm chữ số khác và chia hết cho 5?

Giaûi:

Ví dụ 3: Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác nhau?

Giaûi:

 Có số điện thoại gồm chữ số.



Ghi chú:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập bản:

Bài 1: Từ chữ số 1, 2, 3, lập số tựnhiên gồm:

a) Một chữ số? b) Hai chữ số? c) Hai chữ số khác nhau?

Bài 2: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên bé 100? Bài 3: Các thành phố A, B, C, D nối với đường (như hình vẽ).

Hỏi: a) Có cách từ A đến D mà qua B C lần? b) Có cách từ A đến D rối quay lại A?

Bài 4: Có ba kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vng, trịn, elip) bốn kiểu dây (kim loại, da, vải nhựa). Hỏi có cách chọn đồng hồ gồm mặt dây?

Bài 5: Lớp 11CB1 có 20 nam 24 nữ Có cách chọn ban cán lớp người gồm lớp trưởng nam, lớp phó nam lớp phó nữ.

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, có cách chọn số số chẵn số nguyên tố.

Bài 2: Có số nguyên dương gồm không ba chữ số khác nhau?

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

§2 HỐN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP

I- HỐN VỊ:

 Có cách xếp ba bạn A, B, C vào bàn dài có chỗ ngồi.

1 Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  1) Mỗi kết xếp thứ tự n phần tử của

tập hợp A gọi hốn vị n phần tử đó.

* Nhận xét: Hai hoán vị n phần tử khác thứ tự xếp. 2 Số hốn vị: Kí hiệu Pn số hoán vị n phần tử Ta có:

Pn = n(n - 1)(n - 2) 2.1 = n!

Ví dụ: Có số tự nhiên có chữ số khác nhau, chữ số lấy từ tập A = {1, 2, 3, 4, 5}. Giải:

II- CHỈNH HỢP:

 Có cách chọn hai bạn giữ chức vụ bí thư phó bí thư chi đồn số bạn đắc cử ban chấp hành.

1 Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  1) Kết việc lấy k phần tử khác từ n

phần tử tập hợp A sắp xếp chúng theo thứ tự gọi laø chỉnh hợp chập k n phần tử cho.

Số chỉnh hợp: Kí hiệu Ank số chỉnh hợp chập k n phần tử (1  k  n) Ta có: Ank = n(n - 1)(n - 2) (n - k + 1)

* Chú ý:

a) Với quy ước 0! = 1, ta có: Ank = n !

(n − k)! (1  k  n)(n, k  N)

b) Mỗi hoán vị n phần tử chỉnh hợp chập n n phần tử Vì Pn = An n .

Ví dụ: Trong mặt phẳng cho tập hợp gồm điểm phân biệt Có vectơ khác vectơ ⃗0 có

điểm đầu điểm cuối thuộc tập hợp điểm này? Giải:

III- TỔ HỢP:

 Trong mặt phẳng cho điểm phân biệt A, B, C, D (khơng có ba điểm thẳng hàng) Liệt kê tất đoạn thẳng tạo thành từ điểm đó?

1 Định nghĩa: Giả sử tập A có n phần tử (n  1) Mỗi tập con gồm k phần tử A gọi tổ

hợp chập k n phần tử cho.

* Chú ý: Vì tập  (0 phần tử) tập tập A nên ta có điều kiện  k  n.

2 Số tổ hợp: Kí hiệu Cnk là số tổ hợp chập k n phần tử Ta có: Cnk= n !

k !(n − k)! (0  k  n) (n, k  N)

b) Có cách lập đồn đại biểu, có ba nam, hai nữ. Giải:

Tính chất số Cnk :

a) Tính chất 1: Cn k

=Cnn− k (0  k  n)

Ví dụ: C73=C74

b) Tính chất 2: Cn −k−11+Ckn −1=Cnk (1 k < n) - công thức Pascal

Ví dụ: C7

+C7

=C8

Ví dụ: Chứng minh rằng, với  k  n - 2, ta có: Cn k

=Cn−k−22+2Ck −n −21+Cn −k 2 .

Giaûi:



Ghi chuù:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập bản:

a) Có tất số?

b) Có số chẵn, số lẻ? c) Có số bé 432000?

Bài 2: Có cách xếp chỗ ngồi cho mười người khách vào mười ghế kê thành dãy.

Bài 3: Giả sử có bảy bơng hoa màu khác ba lọ khác Hỏi có cách cắm ba bơng hoa vào ba lọ cho (mỗi lọ cắm bông)?

Bài 4: Trong mặt phẳng, cho sáu điểm phân biệt cho khơng có ba điểm thẳng hàng Hỏi có thể lập tam giác mà đỉnh thuộc tập điểm cho?

Bài 5: Có cách mắc nối tiếp bóng đèn chọn từ bóng đèn khác nhau?

Bài 6: Có cách cắm hoa vào lọ khác (mỗi lọ cắm không bông) nếu: a) Các hoa khác nhau?

b) Các hoa nhau?

Bài 7: Trong mặt phẳng có hình chữ nhật tạo thành từ bốn đường thẳng song song với nhau năm đường thẳng vng góc với bốn đường thẳng song song đó?

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Có cách xếp n đại biểu vào bàn hình trịn?

Bài 2: Một lớp học có 20 nam, 10 nữ Có cách chọn người trực lớp

a) Một cách tùy ý; b) Có nữ;

c) Có nữ; d) Có nhiều hai nữ.

Bài 3: Một lớp học có 20 nam, 10 nữ Có cách chọn ban cán gồm lớp trưởng, lớp phó học tập, lớp phó phong trào:

a) Một cách tuỳ ý; b) Lớp trưởng nữ;

c) Có nữ; d) Có nữ.

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

§3 NHỊ THỨC NEWTON

I- CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON:

 Khai triển đẳng thức (a + b)3 viết lại hệ số dạng tổ hợp chập k phần tử? Trong khai triển thành phần số hạng? thành phần hệ số số hạng?

a+b¿n=Cn0an+C1nan−1b+Cn2an−2b2+ +Cnkan− kbk+ +Cnn −1abn −1+Cnnbn

¿ Hệ quả:

 Với a = b = 1, ta có: (1 + 1)n = 2n = C

n

0

+Cn1+ +Cnn

 Với a = 1, b = -1, ta có: (1 - 1)n = 0n =

−1¿nCnn −1¿kCnk+ .+¿

Cn

0

−Cn

1

+ +¿

* Chú ý: Vế phải khai triển nhị thức NewTon: a) Số hạng tử n + 1;

b) Tổng số mũ a b hạng tử n (quy ước a0 = b0 = 1).

c) Các hệ số hạng tử cách hai hạng tử đầu cuối nhau. Ví dụ 1: Khai triển biểu thức (x + y)6.

Giaûi:

Ví dụ 2: Khai triển biểu thức (2x - 3)4.

Giaûi:

Ví dụ 3: Chứng tỏ với n  4, ta có: Cn0+Cn2+Cn4+ =Cn1+Cn3+ =2n −1 .

Giaûi:

II- TAM GIAÙC PASCAL:

n = 5 n = 6



Ghi chuù:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập bản:

Bài 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton:

a) (a + b)5; b) (a -

√2 )6; c) (x - 1x )13

Bài 2: Tìm hệ số x3 khai triển biểu thức (x + 2 x2 )6.

Bài 3: Từ khai triển biểu thức (3x - 4)17 thành đa thức, tính tổng hệ số đa thức nhận được.

Bài 4: Biết hệ số x2 khai triển (1 - 3x)n 90 Tìm n.

Bài 5: Tìm số hạng không chứa x khai triển ( x3+1

x )8. 2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Tìm số hạng thứ năm khai triển (x + 2x )10, mà khai triển số mũ x giảm dần.

Bài 2: Trong khai triển (1 + ax)n ta có số hạng đầu 1, số hạng thứ hai 24x, số hạng thứ ba là

252x2 Hãy tìm a b.

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

§4 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ

I- PHÉP THỬ, KHƠNG GIAN MẪU:

 Khi gieo súc sắc lần, em có biết trước kết khơng? Hãy liệt kê kết có việc gieo súc sắc 1 lần?

1 Phép thử:Phép thử ngẫu nhiên phép thử mà ta khơng đốn trước kết nó, đã biết tập hợp tất kết có phép thử đó.

Khơng gian mẫu:Tập hợpcác kết quả xảy phép thử gọi không gian mẫu

của phép thử kí hiệu .

Ví dụ: Mơ tả khơng gian mẫu phép thử sau: a) Gieo đồng tiền lần;

b) Gieo đồng tiền lần; c) Gieo súc sắc lần. Giải:

II- BIẾN CỐ:

 Hãy gieo đồng tiền hai lần, mô tả không gian mẫu Xét kiện A: "Kết hai lần gieo là

như nhau", viết lại kiện A theo kiểu liệt kê phần tử tập hợp A tập hợp khả năng có thể xảy kiện trên? Em cho thêm vài kiện khác?

Biến cố tập không gian mẫu.

* Chú ý:

i) Các biến cố thường kí hiệu chữ in hoa A, B, C, Khi nói: "cho biến cố A, B, C" (mà khơng nói thêm) ta hiểu chúng liên quan đến phép thử.

ii) Các biến cố thường cho mệnh đề mô tả biến cố mệnh đề xác định tập của không gian mẫu.

Ví dụ: Một hộp chứa bốn thẻ đánh số 1, 2, 3, Lấy ngẫu nhiên hai thẻ. a) Mô tả không gian mẫu.

b) Xác định biến cố A: "Tổng số hai thẻ số chẵn" mệnh đề mô tả tập con; c) Xác định biến cố B = {(2, 4), (1, 3)} mệnh đề.

Giaûi:

 Tập  gọi biến cố không thể (gọi tắt biến cố không) Còn tập  gọi biến cố chắc chắn.

* Chú ý: Biến cố A xảy phép thử kết phép thử phần tử tập A (hay thuận lợi cho A).

III- PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN CỐ:

a) Giả sử A biến cố liên quan đến phép thử Tập \A gọi biến cố đối biến cố A, kí

hiệu là A .

b) Giả sử A B hai biến cố liên quan đến phép thử Ta có:

 Tập A  B gọi hợp biến cố A B; A  B xảy A xảy B

xaûy

 Tập A  B gọi giao biến cố A B (còn viết tắt A.B); A  B xảy và

chỉ A B đồng thời xảy ra.

 Neáu A  B =  ta nói A B xung khắc; A B xung khắc chúng không nào

cùng xảy ra.

Kí hiệu Ngơn ngữ biến cố

A  A biến cố

A =  A biến cố không

A =  A biến cố chắn

C = A  B C biến cố "A B"

C = A  B C biến cố "A B"

A  B =  A B xung khắc

B = A¯ A B đối nhau.

Ví dụ: Xét phép thử gieo đồng tiền hai lần với biến cố A: "kết hai lần gieo nhau", B: "Có lần xuất mặt sấp", C: "Lần thứ hai xuất mặt sấp" D: "Lần đầu xuất hiện mặt sấp"

a) Xác định biến cố A, C, D dạng mệnh đề mô tả tập hợp. b) Xác định biến cố C  D A  D.

Giaûi:



Ghi chuù:

Bài 1: Gieo súc sắc hai lần. a) Mô tả không gian mẫu.

b) Phát biểu biến cố sau dạng mệnh đề: A = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}; B = {(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)}; C = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}.

Bài 2: Hai xạ thủ bắn vào bia Kí hiệu Ak biến cố: "Người thứ k bắn trúng", k = 1, 2.

a) Hãy biểu diễn biến cố A: "Không bắn trúng", B: "Cả hai bắn trúng", C: "Có một người bắn trúng" D: "Có người bắn trúng" qua biến cố A1, A2

b) Chứng tỏ A = D¯ ; B C xung khắc.

Bài 3: Gieo đồng tiền liên tiếp lần xuất mặt sấp bốn lần ngửa thì dừng lại.

a) Mô tả không gian mẫu;

b) Xác định biến cố A: "Số lần gieo không vượt ba" B: "Số lần gieo bốn" Bài 4: Gieo đồng tiền ba lần.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Xác định biến cố A: "Lần đầu xuất mặt sấp", B: "Mặt sấp xảy lần" C: "Mặt ngửa xảy lần".

Bài 5: Một hộp chứa năm cầu đánh số 1, 2, 3, 4, 5, lấy ngẫu nhiên liên tiếp hai lần lần một quả xếp theo thứ tự từ trái sang phải.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Xác định biến cố A: "Chữ số sau lớn chữ số trước", B: "Chữ số trước gấp đôi chữ số sau" và C: "Hai chữ số nhau".

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Gieo đồng tiền, sau gieo súc sắc Quan sát xuất mặt sấp (S), mặt ngửa (N) của đồng tiền số chấm suất súc sắc.

a) Xây dựng không gian mẫu.

b) Xác định biến cố A: "Đồng tiền xuất mặt sấp súc sắc xuất mặt chẵn chấm", B: "Đồng tiền xuất mặt ngửa súc sắc xuất mặt lẻ chấm" C: "Mặt chấm xuất hiện". Bài 2: Từ hộp chứa 10 thẻ, thẻ đánh số 1, 2, 3, màu đỏ, thẻ đánh số màu xanh và các thẻ đánh số 7, 8, 9, 10 màu trắng Lấy ngẫu nhiên thẻ.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Kí hiệu A, B, C biến cố A: "Lấy thẻ màu đỏ", B: "Lấy thẻ màu trắng" C: "Lấy được thẻ ghi số chẵn".

Hãy biểu diễn biến cố A, B, C tập hợp tương ứng không gian mẫu.

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

§5 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

I- ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT:

 Gieo ngẫu nhiên súc sắc cân đối đồng chất lần Mô tả không gian mẫu cho biết khả xuất của mỗi mặt bao nhiêu? Khả xuất biến cố A: "Con súc sắc xuất mặt lẻ" bao nhiêu?.

1 Định nghĩa: Giả sử biến cố liên quan đến phép thử có số hữu hạn kết đồng khả năng xuất Ta gọi tỉ số nn(A)

(Ω) xác suất biến cố A, kí hiệu P(A).

P(A) = nn(A)

(Ω)

* Chú ý: n(A) số phần tử A số kết thuận lợi cho biến cố A, n() số các

kết xảy phép thử. 2 Các ví dụ:

Ví dụ 1: Gieo ngẫu nhiên đồng tiền cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất biến cố: a) A: "Mặt sấp xuất hai lần";

b) B: "Mặt sấp xuất lần"; c) C: "Mặt sấp xuất lần". Giải:

Ví dụ 2: Gieo ngẫu nhiên một súc sắc cân đối đồng chất Tính xác suất biến cố: a) A: "Mặt chẵn xuất hiện";

b) B: "Xuất mặt có số chấm chia hết cho 3"; c) C: "Xuất mặt có số chấm không bé 3". Giaûi:

a) A: "Số chấm hai lần gieo nhau"; b) B: "Tổng số chấm 8".

Giải:

II- TÍNH CHẤT CỦA XÁC SUẤT:

1 Định lí: Giả sử A B biến cố liên quan đến phép thử có số hữu hạn kết đồng khả năng xuất Khi đó:

 P(P

P với biến cố A.

 Nếu A B xung khắc, P(A  B) = P(A) + P(B) (công thức cộng xác suất)

Hệ quả: Với biến cố A, ta có:

P( A¯ ) = - P(A)

2 Caùc ví dụ:

Ví dụ 1: Từ hộp chứa ba cầu trắng, hai cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời hai Hãy tính xác suất cho hai đó:

a) Khác màu; b) Cùng màu.

Giải:

Ví dụ 2: Một hộp chứa 20 cầu đánh số từ đến 20 Lấy ngẫu nhiên Tính xác suất của các biến cố sau:

a) A: "Nhận cầu ghi số chẵn";

b) B: "Nhận cầu ghi số chia hết cho 3"; c) A  B;

d) C: "Nhận cầu ghi số không chia hết cho 6". Giải:

III- CÁC BIẾN CỐ ĐỘC LẬP, CƠNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT:

Ví dụ: Bạn thứ có đồng tiền, bạn thứ hai có súc sắc (đều cân đối, đồng chất) Xét phép thử "Bạn thứ gieo đồng tiền, sau bạn thứ hai gieo súc sắc".

a) Mô tả khơng gian mẫu phép thử này. b) Tính xác suất biến cố sau:

A: "Đồng tiền xuất mặt sấp"; B: "Con súc sắc xuất mặt chấm"; C: "Con súc sắc xuất mặt lẻ".

c) Chứng tỏ P(A.B) = P(A).P(B); P(A.C) = P(A).P(C). Giải:



Ghi chú:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1 Bài tập bản:

Bài 1: Gieo ngẫu nhiên súc sắc cân đối đồng chất hai lần. a) Hãy mô tả khơng gian mẫu.

b) Xác định biến cố sau:

A: "Tổng số chấm xuất hai lần gieo không bé 10" B: "Mặt chấm xuất lần".

c) Tính P(A), P(B).

Bài 2: Gieo súc sắc cân đối đồng chất Giả sử súc sắc xuất mặt b chấm Xét phương trình x2 + bx + = Tính xác suất cho:

a) Phương trình có nghiệm; b) Phương trình vơ nghiệm; c) Phương trình có nghiệm ngun. Bài 3: Từ cỗ tú lơ khơ 52 con, rút ngẫu nhiên lúc bốn Tính xác suất cho:

a) Cả bốn át; b) Được át; c) Được hai át hai K.

Bài 4: Một người chọn ngẫu nhiên hai giày từ bốn đơi giày cỡ khác Tính xác suất để hai chiếc chon tạo thành đôi.

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Có bốn bìa đánh số từ đến Rút ngẫu nhiên ba tấm. a) Hãy mô tả không gian mẫu.

b) Xác định biến cố sau:

A: "Tổng số ba bìa 8";

B: "Các số ba bìa ba số tự nhiên liên tiếp". c) Tính P(A), P(B).

Bài 2: Hai bạn nam hai bạn nữ xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế xếp thành hai dãy đối diện nhau Tính xác suất cho:

a) Nam, nữ ngồi đối diện nhau; b) Nữ ngồi đối diện nhau.

Bài 3: Có hai hộp chứa cầu Hộp thứ chứa trắng, đen Hộp thứ hai chứa quả trắng, đen Từ hộp lấy ngẫu nhiên Kí hiệu:

A biến cố: "Quả lấy từ hộp thứ trắng" B biến cố: "Quả lấy từ hộp thứ hai trắng". a) Xét xem A B có độc lập khơng.

b) Tính xác suất cho hai cầu lấy màu. c) Tính xác suất cho hai cầu lấy khác màu.

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

* ÔN TẬP CHƯƠNG II *

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập bản:

Bài 1: Có số chẵn có bốn chữ số tạo thành từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, cho:

a) Các chữ số giống nhau; b) Các chữ số khác nhau.

Bài 2: Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang Tìm xác suất sao cho:

a) Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau; b) Ba bạn nam ngồi cạnh nhau.

Bài 3: Gieo súc sắc ba lần Tính xác suất cho mặt sáu chấm xuất lần.

Bài 4: Từ hộp chứa sáu cầu trắng bốn cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời bốn Tính xác suất cho:

a) Bốn lấy màu; b) Có màu traéng.

Bài 5: Cho lục giác ABCDEF Viết chữ A, B, C, D, E, F vào sáu thẻ Lấy ngẫu nhiên hai thẻ Tìm xác suất cho đoạn thẳng mà đầu mút điểm ghi thẻ là:

a) Cạnh lục giác;

b) Đường chéo lục giác;

c) Đường chéo nối hai đỉnh đối diện lục giác.

Bài 6: Gieo đồng thời hai súc sắc Tính xác suất cho: a) Hai súc sắc xuất mặt chẵn;

b) Tích số chấm hai súc sắc số lẻ.

2 Bài tập naâng cao:

Bài 1: Trong khai triển (x + a)3(x - b)6, hệ số x7 -9 khơng có số hạng chứa x8 Tìm a b.

Bài 2: Biết hệ số xn - 2 khai triển (x - 1

4 )n 31 Tìm n.

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

CHƯƠNG III DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG

oOo

- CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:

1 Tính chất chia chất tổng:

 Nếu tất số hạng tổng chia hết cho số tổng chia hết cho số đó.

 Nếu có số hạng tổng không chia hết cho số, số hạng khác chia hết cho số

đó tổng khơng chia hết cho số đó.

2 Tính chất luỹ thừa với số mũ nguyên dương:

a, b  Q, m, n  Z+, ta coù:

a0 = 1 a1 = a am.an = am + n am

an = a m – n

(am)n = am.n (ab)n = anbn a

b¿ n

=a

n bn ¿

(b ≠ 0)

3 Tính chất bất đẳng thức:

 a < b  a + c < b + c;

 Với c > a < b  ac < bc;  Với c > a < b  ac > bc;

 Với n  Z+ a < b  a2n + 1< b2n + 1;  Với n  Z+ < a < b  a2n< b2n;

 {ac<b

<d  a + c < b + d;  {

0<a<b

0<c<d  ac < bd;

 Với a > a < b  √a < √b ;  a < b  √3a < √3 b , a  R.



Ghi chuù:

§1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC

 Xét mệnh đề chứa biến dạng P(n) ="3n < n + 100" Q(n) = "2n > n" với n  N*.

a) Với n = 1, 2, 3, 4, P(n), Q(n) hay sai? b) Với n  N * P(n), Q(n) hay sai?

I– PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC: Bước Kiểm tra mệnh đề với n = 1.

Bước Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = k1 (gọi giả thiết quy nạp), chứng minh

rằng với n = k + 1. II– VÍ DỤ ÁP DỤNG:

Ví dụ 1:Chứng minh với nN* + + + … + (2n – 1) = n2.

Giaûi:

 Chứng minh với n  N* + + + + n = n(n+1) 2

Ví dụ 2: Chứng minh với nN* n3 - n chia hết cho 3.

Giaûi:

 Cho hai số 3n 8n với n  N* So sánh 3n với 8n n = 1, 2, 3, 4, sau dự đốn kết chứng minh.

Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề với n = p.

Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = kp phải chứng minh

cũng với n = k + 1.



Ghi chuù:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập bản:

Bài 1: Chứng minh với nN*, ta có đẳng thức:

a) + + +…+ 3n – = n(3n2+1) ; b) 1

2+ 1 4+

1 8+ +

1 2n=

2n−1 2n ;

c) 12 + 22 + 32 +…+ n2 = n(n+1)(2n+1)

6 .

Bài 2: Cho tổng Sn = 1 1 2+

1

2 3+ + 1 n(n+1)=

n

n+1 với nN

*.

a) Tính S1, S2, S3.

b) Dự đốn cơng thức tính tổng Sn chứng minh quy nạp.

Bài 3: Chứng minh số đường chéo đa giác lồi n cạnh n(n −3)

2 .

Bài 4: Chứng minh với n N*, ta có:

a) n3 + 3n2 + 5n chia heát cho 3; b) 4n+ 15n – chia heát cho 9; c) n3 + 11n chia hết cho 6; 2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Chứng minh với số tự nhiên n2, ta có bất đẳng thức:

a)3n 3n1; b)2n12n3.

Bài 2: Chứng minh tam giác ABC vng A, có số đo cạnh a, b, c với số tự nhiên n  2, ta có bất đẳng thức bn + cn an.

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

§2 DÃY SỐ

I– ĐỊNH NGHĨA:

 Cho hàm số f(n) = 2n −1 1 , n  N* Tính f(1), f(2), f(3), f(4), f(5).

1 Định nghĩa dãy số: Mỗi hàm số u xác định tập số nguyên dương N* gọi dãy số vơ

hạn (gọi tắt dãy số) Kí hiệu:

u: N*  R

n  u(n).

Người ta thường viết dãy số dạng khai triển: u1, u2, u3,…, un,…, un = u(n) viết tắt là

(un), gọi u1 số hạng đầu, un số hạng thứ n số hạng tổng quát dãy số.

Ví dụ: Chỉ số hạng đầu số hạng tổng quát dãy số sau:

a) Dãy số tự nhiên lẻ; b) Dãy số phương.

Giải:

Định nghĩa dãy số hữu hạn: Mỗi hàm số u xác định tập M = {1, 2, 3, …, m} với m N* gọi là

một dãy số hữu hạn.

Dạng khai triển u1, u2, u3,…, um, u1 số hạng đầu, um số hạng cuối.

Ví dụ:

a) -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13 dãy số hữu hạn có: u1 = = 13.

b) 21 , 14 , 18 , 161 , 321 là dãy số hữu hạn có: u1 = , u5 =

II– CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ:

Dãy số cho công thức số hạng tổng quát:

Ví dụ 1: Cho dãy số (un) với un = (-1)n. 3 n n

Ta coù: u5 =

Dạng khai triển: Ví dụ 2: Viết số hạng dãy số cho công thức un =

n

√n+1 .

Giaûi:

 Viết năm số hạng đầu số hạng tổng quát dãy số sau:

a) Dãy nghịch đảo số tự nhiên lẻ; b) Dãy số tự nhiên chia cho dư 1.

2 Dãy số cho phương pháp mô tả:

Lập dãy số (un) với un giá trị gần thiếu số  với sai số tuyệt đối 10-n, ta có:

u1 = 3,1; u2 = 3,14; u3 = ; u4 = ; u5 =

3 Dãy số cho phương pháp truy hồi:

Ví dụ: Viết 10 số hạng đầu dãy số (un) xác định sau:

{ u1=u2=1

un=un −1+un −2vớin ≥3 (Fibonacci)

Giải:

 Hãy cho dãy số khác phương pháp truy hồi.

III– BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA DÃY SỐ:

Ví dụ: Các số hạng dãy số cho công thức un = n+n1 biễu diễn trục số sau:

IV– DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VAØ DÃY SỐ BỊ CHẶN:  Cho dãy số (un) (vn) với un = 1+

1

n , vn = 5n - Tính un+1 vn+1, chứng minh un+1 < un vn+1 > vn, n  N*.

1 Dãy số tăng, dãy số giảm:

 Dãy số (un) gọi dãy số tăng ta có un+1 > un với mọi nN*.

 Dãy số (un) gọi dãy số giảm ta có un+1 < un với mọi nN*.

 Phương pháp chứng minh dãy số tăng, dãy số giảm:

Ví dụ: Chứng minh dãy số (un) với un = 2n – dãy số tăng. Giải:

Ví dụ: Dãy số (un) với un = n

n

3 dãy số giảm. Giải:

* Chú ý: Không phải dãy số tăng giảm Chẳng hạn, dãy số (un) với un =  

n 3

 , tức dãy

 Chứng minh bất đẳng thức n

n2+1≤

1

2 vaø n

2

+1

2n ≥1,∀n∈N

❑ .

Dãy số bị chặn:

 Dãy số (un) gọi bị chặn trên tồn số M cho un M, nN*.

 Dãy số (un) gọi bị chặn dưới tồn số m cho un m, nN*.

 Dãy số (un) gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức tồn số m, M sao cho mun M , nN*.

Ví dụ: Chứng minh dãy số (un) với un = n

n2+1 bị chặn.

Giaûi:



Ghi chuù:

Bài 1: Viết năm số hạng đầu dãy số có số hạng tổng quát un cho công thức:

a) un = 2n 1

n

; b) un = 2 1

1 2

 

n n

; c) un =

n n

   

1 1

; d) un = 1

2



n n

. Bài 2: Cho dãy số (un), biết: u1 = -1, un+1 = un + với n1.

a) Viết năm số hạng đầu dãy số.

b) Chứng minh phương pháp quy nạp: un = 3n – 4.

Bài 3: Xét tính tăng, giảm dãy số (un), biết:

a) un = 2 1



n ; b) un = 1

1

 

n n

;

c) un = (-1)n(2n + 1); d)un = 5 2

1 2

 

n n

.

Bài 4: Trong dãy số (un) sau, dãy số bị chặn dưới, bị chặn bị chặn?

a) un = 2n2 – 1; b) un = ( 2)

1



n

n ;

c) un =2 1 1

2



n ; d) un = sinn + cosn.

Bài 5: Dãy số (un) cho bởi: u1 = 3, un+1 =

2

1un , n1.

a) Viết năm số hạng đầu dãy số.

b) Dự đốn cơng thức số hạng tổng qt un chứng minh cơng thức phương pháp quy nạp. 2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Cho dãy số (un) với un = n2 - 4n + 3.

a) Viết công thức truy hồi dãy số; b) Chứng minh dãy số bị chặn dưới; c) Tính tổng n số hạng dãy cho.

Bài 2: Dãy số (un) xác định công thức {

u1=1

un+1=un+n3vớin ≥1 .

a) Tìm cơng thức số hạng tổng quát; b) Tính số hạng thứ 100 dãy số.

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

§3 CẤP SỐ CỘNG

 Biết bốn số hạng đầu dãy số -1, 3, 7, 11 Từ quy luật viết tiếp năm số hạng dãy cho theo quy

luật

I– ĐỊNH NGHĨA:

 Cấp số cộng dãy số (hữu hạn vơ hạn), kể từ số hạng thứ hai, số hạng đều

bằng số hạng đứng trước cộng với số khơng đổi d.  Số d gọi công sai cấp số cộng.

 Nếu (un) cấp số cộng với công sai d , ta có cơng thức truy hồi: un+1 = un + d với n  N*

 Đặc biệt d = 0 cấp số cộng dãy số không đổi (tất số hạng nhau)

Ví dụ 1: Chứng minh dãy số hữu hạn sau cấp số cộng: 1, -3, -7, -11, -15. Giải:

 Cho (un) cấp số cộng có sáu số hạng với u1 = −1

3 , d = Viết dạng khai triển nó.

II– SỐ HẠNG TỔNG QUÁT:

 Hai bạn chơi trò xếp que diêm thành hình tháp trên

mặt sân Cách xếp thể hình bên.

Hỏi tháp có 100 tầng cần que diêm để xếp tầng đế tháp?

1 taàng 2 taàng 3 taàng

Định lí: Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 cơng sai d số hạng tổng quát un xác định bởi công thức:

un = u1 + (n – 1)d với n2 Ví dụ: Cho cấp số cộng (un), biết u1 = -5, d = 3.

a) Tìm u15.

b) Số 100 số hạng thứ bao nhiêu?

c) Biểu diễn số hạng u1, u2, u3, u4, u5 trục số Nhận xét vị trí điểm u2, u3, u4 so với hai

điểm liền kề. Giải:

Định lí: Trong cấp số cộng, số hạng (trừ số hạng đầu cuối) trung bình cộng hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

uk = 2

1

1 

  k

k u

u

với k2 IV– TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG:

Định lí: Cho cấp số cộng (un) Đặt Sn = u1 + u2 + u3 +…+ un Khi đó:

Sn = 2

) (u1 un

n 

* Chú ý: Vì un = u1 + (n – 1)d nên cơng thức viết: Sn = nu1 +

d n n

2 ) 1 ( 

Ví dụ: Cho dãy số (un) với un = 3n – 1.

a) Chứng minh dãy (un) cấp số cộng Tìm u1 d. b) Tính tổng 50 số hạng đầu.

c) Biết Sn = 260, tìm n. Giaûi:



Ghi chuù:

1 Bài tập bản:

Bài 1: Tìm số hạng đầu công sai cấp số cộng sau, biết: a) 

      17 10 u u u u u

; b) 

    75 . 8 7 u u u u .

Bài 2: Trong toán cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng u1, d, n, un, Sn.

a) Hãy viết hệ thức liên hệ đại lượng Cần phải biết đại lượng để có thể tìm đại lượng cịn lại?

b) Lập bảng theo mẫu sau điền số thích hợp vào trống:

Bài 3: Từ đến 12 trưa, đồng hồ đánh tiếng, đánh chng báo số tiếng chuông số giờ?

Bài 4: Trong dãy số (un) sau đây, dãy số cấp số cộng? Tính số hạng đầu cơng sai nó.

a) un = – 2n; b) un =

1 2

n

; c) un =

n

3 ; d) un = 2 3 7 n

.

Bài 5: Mặt sàn tầng một nhà cao mặt sân 0,5m Cầu thang từ tầng lên tầng hai gồm 21 bậc, bậc cao 18 cm.

a) Viết cơng thức để tìm độ cao bậc tuỳ ý so với mặt sân. b) Tính độ cao sàn tầng hai so với mặt sân.

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Chứng minh ba số dương a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng số

1

√b+√c , 1

√c+√a , 1

√a+√b theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

Bài 2: Có thể cómột tam giác mà số đo cạnh chu vi lập thành cấp số cộng được khơng?

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

u1 d un n Sn

-2 55 20

-4 15 120

3

27 4

7

17 12 72

§4 CẤP SỐ NHÂN

 Hãy tìm quy luật dãy số: 2, 4, 8, 16, 32, 64 viết tiếp số hạng dãy theo quy luật Nhận xét một cách tổng quát mối quan hệ số hạng số hạng đứng trước dãy.

I– ĐỊNH NGHĨA:

 Cấp số nhân dãy số (hữu hạn vơ hạn), kể từ số hạng thứ hai, số hạng là

tích số hạng đứng trước với số không đổi q.  Số q gọi công bội cấp số nhân.

 Nếu (un) cấp số nhân với công bội q, ta có cơng thức truy hồi:

q u

un1  n. với nN*.

* Đặc biệt:

Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u1, 0, 0,…,0,… Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u1, u1, u1,…, u1,…

Khi u1 = với q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0,…, 0,… Ví dụ: Chứng minh dãy số hữu hạn sau cấp số nhân: -4, 1, -4

1 , 16

1 , 64

1



. Giaûi:

 Nếu ô thứ bàn cờ vua đặt hạt thóc, ô thứ hai đặt hạt, ô thứ ba đặt hạt, Hãy tính xem thứ 11 có hạt?

II– SỐ HẠNG TỔNG QUÁT:

Định lí: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 cơng bội q số hạng tổng quát un xác định công thức:

1

1. 

 n

n u q

u với n2

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (un) với u1 = 3, q = −12 .

a) Tính u7; b) Hoûi 256

3

số hạng thứ mấy? Giải:

a) Hỏi tế bào sau mười lần phân chia thành tế bào? b) Nếu có 105 tế bào sau hai phân chia thành tế bào?

Giaûi:

 Cho cấp số nhân (un) với u1 = -2 q = −

1

2 .Viết năm số hạng đầu dãy so sánh u22 với tích u1.u3 , u32 với

tích u2.u4 ; Từ nhận xét tổng quát từ kết trên.

III– TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ NHÂN:

Định lí: Trong cấp số nhân, bình phương số hạng (trừ số hạng đầu cuối) tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:

1

2 .

 

 k k

k u u

u (hay uk  uk1.uk1 ) với k2.

 Nếu ô thứ bàn cờ vua đặt hạt thóc, thứ hai đặt hạt, ô thứ ba đặt hạt, Hãy tổng số hạt thóc 11 đầu.

IV– TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN:

Định lí: Cho cấp số nhân (un) với cơng bội q1 Đặt Sn u1u2 un Khi đó:

q q u S

n n

  

1 ) 1 (

1

* Chú ý: Nếu q = cấp số nhân u1, u1,u1,…, u1,… Khi Sn = n.u1.

Ví dụ: Cho cấp số nhân (un), biết u1= 2, u3 = 18 Tính tổng mười số hạng đầu tiên. Giải:

 Tính tổng S = 1+1

3+ 1 32+ +

1 3n



Ghi chuù:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập baûn:

Bài 1: Cho cấp số nhân (un) với cơng bội q.

a) Biết u1 = 2, u6 = 486 Tìm q?

b) Biết q = 3 2

, u4 = 21 8

Tìm u1?

c) Biết u1 = 3, q = -2 Hỏi số 192 số hạng thứ mấy?

Bài 2: Tìm số hạng cấp số nhân (un) có năm số hạng, biết:

a) u3 = vaø u5 = 27. b) u4 – u2 = 25 vaø u3 – u1 = 50.

Bài 3: Tỉ lệ tăng dân số tỉnh X 1,4% Biết số dân tỉnh 1,8 triệu người Hỏi với mức tăng sau năm, 10 năm số dân tỉnh bao nhiêu?

Bài 4: Chứng minh dãy số (3

5 2 n

) , ( 5

2n) ,

(−1

2 ¿ n

)

¿

là cấp số nhân.

Bài 5: Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết tổng năm số hạng đầu 31 tổng năm số hạng sau 62.

Bài 6: Cho hình vng C1 có cạnh Người ta chia cạnh hình vuông thành bốn phần bằng

nhau nối điểm chia cách thích hợp để có hình vng C2 Từ hình vng C2 lại làm tiếp trên,

ta nhận dãy hình vng C1, C2, C3, …, Cn,… Gọi an độ dài cạnh hình vng Cn Chứng minh

dãy số (an) cấp số nhân. 2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Cho dãy số (un) với un = 22n + 1.

a) Chứng minh dãy số (un) cấp số nhân nêu nhận xét tính tăng, giảm dãy số;

b) Lập công thức truy hồi dãy số;

c) Hỏi số 2048 số hạng thứ dãy số này?

Bài 2: Cho bốn số nguyên dương, ba số đầu lập thành cấp số cộng, ba số sau lập thành một cấp số nhân Biết tổng số hạng đầu cuối 37, tổng hai số hạng 36, tìm bốn số đó.

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

* ÔN TẬP CHƯƠNG III *

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập bản:

Bài 1: Chứng minh với nN*, ta có:

a) 13n 1 chia heát cho 6 b) 3n315n chia heát cho 9.

Bài 2: Cho dãy số (un), biết u1 = 2, un+1 = 2un -1 (với n1).

a) Viết năm số hạng đầu dãy.

b) Chứng minh un = 2n11 phương pháp quy nạp.

Bài 3: Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un), biết:

a) un n n

1

 

; b) un =

 

n

n 1

sin 1 1



; c) un = n1 n.

Bài 4: Tìm số hạng đầu u1 cơng sai d cấp số cộng (un), biết:

a)     14 0 10 5 S u u

; b) 

      1170 60 12 15 u u u u .

Bài 5: Tìm số hạng đầu u1 công bội q cấp số nhân (un), biết:

a)     384 192 u u

; b) 

     144 72 u u u u

; c) 

       20 10 u u u u u u .

Bài 6: Tứ giác ABCD có số đo (độ) góc lập thành cấp số cộng theo thứ tự A, B, C, D Biết rằng góc C gấp năm lần góc A Tính góc tứ giác?

Bài 7: Biết ba số x, y, z lập thành cấp số nhân ba số x, 2y, 3z lập thành cấp số cộng. Tìm công bội cấp số nhân.

Bài 8: Người ta thiết kế tháp gồm 11 tầng Diện tích bề mặt tầng nửa diện tích mặt tầng bên diện tích bề mặt tầng nửa diện tích đế tháp Biết diện tích bề mặt đế tháp 12 288 m2 Tính diện tích mặt cùng?

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Chứng minh số a2, b2, c2 lập thành cấp số cộng (abc0) số bc 1

, ca

1 ,

b

a

1

lập thành cấp số cộng. Bài 2: Tính tổng:

a) 12+3

22+

5 23+ +

2n−1

2n ; b) 12 - 22 + 32 - 42 + + (-1)n-1.n2. CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

CHƯƠNG IV GIỚI HẠN

oOo

- CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:

Tính chất bậc hai: √A2

=|A|={ AnếuA ≥0

− AnếuA<0



Ghi chú:

§1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

I– GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ:

Định nghóa:

 Ta nói dãy số (un) có giới hạn n dần tới dương vơ cực, un nhỏ số dương bé tuỳ ý, kể từ số hạng trở đi.

Kí hieäu: nlimun 0 hay un 0 khi n .

 Ta nói dãy số (vn) có giới hạn số a (hay vn dần tới a) n , nếunlim(vn – a) = 0.

Kí hiệu: nlimvn = a hay vn a n  .

Ví dụ: Cho dãy số (vn) với vn = n

n 1

2 

Chứng minh nlimvn = 2.

Giaûi:

2 Một vài giới hạn đặc biệt:

Từ định nghĩa ta suy kết sau: a)nlim 0

1



n ;nlim 0

1



k

n với k nguyên dương;

b)nlim qn 0 neáu q 1;

c) Nếu un = c (c số) nlimun = nlimc = c.

* Chú ý: Từ sau thay chonlimun = a, ta viết tắt limun= a.

II– ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN: Định lí:

a) Nếu limun = a limvn = b thì:

 lim(un + vn) = a + b;  lim(un – vn) = a – b;

 lim(un.vn) = a.b;  lim b

a v u

n n 

(neáu b0).

b) Nếu un0 với n limun = a a0 lim un  a. Ví dụ 1: Tìm lim

2

1 3

n n n

 

. Giaûi:

* Nhận xét:

Ví dụ 2: Tìm lim n

n

2 1

4 1

 

. Giaûi:

* Nhận xét: III – TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN:

 Cấp số nhân vơ hạn (un) có cơng bội q, với q < gọi cấp số nhân lùi vơ hạn.

 Lấy hai ví dụ cấp số nhân lùi vô hạn (ứng với q âm q dương), sau tính tổng n số hạng cấp số nhân đã

cho theo n

 Gọi S tổng cấp số nhân lùi vô hạn (un) hay S = u1 + u2 + u3 +…+ un +… Khi đó:

S = q

u



1

1

q 1. Ví dụ:

a) Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn (un), với un = n 3

1 . b) Tính tổng 1

2

1 8 1 4 1 2

1

           

 n

Giaûi:

1 Định nghóa:

Ta nói dãy số (un) có giới hạn khi n , un lớn số dương bất kì, kể từ một số hạng trở đi.

Kí hieäu: limun =  hay un =  n .

 Dãy số (un) gọi có giới hạn   n  lim un. Kí hiệu: limun =   hay un   n .

* Nhận xét: limun =   lim un .

2 Một vài giới hạn đặc biệt: Ta thừa nhận kết sau: a) limnk  với k nguyên dương

b) limqn  neáu q > 1. 3 Định lí:

a) Nếu limun = a limvn = lim 0



n n

v u

.

b) Nếu limun = a > 0, limvn = vn > với n lim

 

n n

v u

. c) Nếu limun =  limvn = a > limunvn = .

Ví dụ 1: Tìm lim n n n

3 .

5 2 

Giaûi:

Ví dụ 2: Tìm lim(n2 - 2n - 1).

Giaûi:

Ví duï 3: lim n n n n

2 4

4 . 5 3

 

. Giaûi:

* Nhận xét:



Ghi chuù:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập bản:

Bài 1: Tính giới hạn sau:

a) lim3 2

1 6   n n

; b) lim 2 1

5 3 2    n n n

; c) Tính lim(2

+3n

2n+3n) ; d) lim 4 2

1 9    n n n . Bài 2: Để trang hoàng cho hộ mình, chuột Mickey định tơ màu miếng bìa hình vng cạnh Nó tơ màu xám hình vng nhỏ đánh số 1, 2, 3,…, n,…, cạnh của hình vng nửa cạnh hình vng trước Giả sử quy trình tơ màu Mickey có thể tiến vơ hạn.

a) Gọi un diện tích hình vng màu xám thứ n Tính u1, u2, u3 un. b) Tím limSn với Sn = u1 + u2 + u3 +…+ un.

Bài 3: Tính tổng S =

  10 1 10 1 10 1

1  2    1 

 n

n

Bài 4: Tính giới hạn sau:

a) lim(n3 + 2n2 - n + 1); b) lim(-n2 + 5n - 2);

c) lim( √n2− n - n); d) lim(

√n2− n + n).

Bài 5: Cho hai dãy số (un) (vn) Biết limun = 3, limvn =  Tính giới hạn:

a) lim 1

1 3   n n u u

; b) lim 1

2   n n v v .

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Có 1kg chất phóng xạ độc hại Biết rằng, sau khoảng thời gian T = 24 000 năm nửa số chất phóng xạ bị phân rã thành chất khác không độc hại sức khỏe người (T gọi là chu kì bán rã) Gọi un khối lượng chất phóng xạ cịn lại sau chu kì thứ n.

a) Tìm số hạng tổng quát un dãy số (un). b) Chứng minh (un) có giới hạn 0.

c) Từ kết câu b), chứng tỏ sau số năm khối lượng chất phóng xạ cho ban đầu khơng cịn độc hại người, cho biết chất phóng xạ khơng độc hại khối lượng chất phóng xạ lại bé 106

g.

Bài 2: Biết dãy số (un) thoả mãn 1 1

n

un  

với n Chứng minh limun = 1.

Bài 3: Cho số thập phân vô hạn tuần hồn a = 1,020 202… (với chu kì 02) Hãy viết số a dạng một phân số.

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

I– GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HAØM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM:

Kí hiệu: K = (a; b) K = (-; b) K = (a; +) K = (-; +)

Định nghóa:

Cho khoảng K chứa điểm x0 hàm số y = f(x) xác định K K\{x0}.

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn số L x dần tới x0 với dãy số (xn) bất kì, xn K\{x0} và

xn  x0, ta có f(x) L.

Kí hiệu:xlimx0 f(x)L hay f(x)  L x x0.

Ví dụ 1: Cho hàm số 2

4 ) (    x x x f

Chứng minh xlim2 f(x)4.

Giaûi: * Nhận xét:

 x → x0limx=x0  xx0cc

lim

, với c số.

Định lí giới hạn hữu hạn:

Định lí:

a) Giả sử lim ( )

x f

x

x L vaø lim ( )

x g

x

x M Khi đó:

 x x f x g x  L M

    ( ) ( ) lim ;

 x x f x g x  L M

    ( ) ( ) lim ;

 xlimx0f(x).g(x) L.M

  ;  M L x g x f x

x  

     ( ) ) ( lim

0 (neáu M0).

b) Nếu f(x)0 xlimx0 f(x)L, L0

L x f

x

xlim ( ) .

(Dấu f(x) xét khoảng tìm giới hạn, với xx0).

Ví dụ 1: Cho hàm số x

x x f 2 1 ) (  

Tìm limx3 f(x)?

Ví dụ 2: Tính 1 2 lim

2

1 

 

 x

x x

x .

Giaûi:

Giới hạn bên:

Định nghóa:

 Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (x0; b) Số L gọi giới hạn bên phải hàm số

y = f(x) x x0 với dãy số (xn) bất kì, x0 xn b xn  x0, ta có f(xn) L. Kí hiệu: xlimx f(x)L

0 .

 Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a;x0) Số L gọi giới hạn bên trái hàm số

y = f(x) x x0 với dãy số (xn) bất kì, axn x0 xn  x0, ta có f(xn) L. Kí hiệu: xlimx f(x)L

0 .

Định lí: lim ( )

x f

x

x L vaø chæ xlimx f(x)xlimx f(x)L

0

0 .

Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) = {5x+2 khix ≥1

x2−3 khix<1 Tính giới hạn hàm số x  (nếu có).

Giải:

Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) = {5x+akhix ≥1

x2−3 khix<1 Tìm a để hàm số có giới hạn x  1, tính giới hạn đó.

Giải:

II– GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VƠ CỰC:

a) Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a; +) Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn số L khi

 

x vói dãy số (xn) bất kì, xn > a xn  , ta có f(xn) L.

Kí hiệu: xlimf(x)L hay f(x) L x .

b) Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (-; a) Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn số L khi

 

x vói dãy số (xn) bất kì, xn < a xn   , ta coù f(xn) L. Kí hiệu: xlim f(x)L hay f(x) L x  .

Ví dụ: Cho hàm số 1 3 2 ) (

  

x x x f

Tìm xlim f(x) xlimf(x).

Giải:

* Chuù yù:

a) Với c, k số k ngun dương, ta ln có:  x →+∞lim c=c x →− ∞lim c=c ;

 lim

x →+∞ c

xk=0 vaø x →− ∞lim c xk=0 .

b) Định lí giới hạn hữu hạn hàm số x x0 x  xn   .

Ví dụ: Tìm 1

2 3 ) (

lim 22

  



 x

x x x f

x .

Giaûi:

* Nhaän xeùt:

III– GIỚI HẠN VƠ CỰC CỦA HÀM SỐ:

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a;) Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là



 x  với dãy số (xn) bất kì, xn > a xn  , ta có f(xn)  .

Kí hiệu: xlimf(x) hay f(x)  x .

* Nhận xét: xlimf(x) xlim( f(x)) . Một vài giới hạn đặc biệt:

a)nlim xk  với k nguyên dương.

b)nlim xk  neáu k số lẻ.

c)nlim xk  k số chẵn Một vài quy tắc giới hạn vô cực:

a) Quy tắc tìm giới hạn tích: f(x).g(x) Nếu lim ( )

x f

x

x L0 vaø lim ( )

x g

x

x (hoặc  ) lim0 ( ). ( )

x g x f

x

x được tính theo quy tắc cho

trong bảng sau:

) ( lim x f x

x lim0 ( )

x g

x

x lim0 ( ). ( )

x g x f x x

L > 0    

L < 0   

b) Quy tắc tìm giới hạn thương: ( ) ) ( x g x f ) ( lim x f x

x lim0 ( )

x g

x

x Dấu g(x) ( )

) ( lim

0 g x

x f

x x

L  Tuỳ ý 0

L > 0

0

+ 

-  

L < 0 +  

- 

* Nhận xét: Các quy tắc cho trường hợp x  +x¿

¿ , x  x

0

− , x

 +, x  -.

Ví dụ 1: Tìm x →− ∞lim (x3−2x) .

Giaûi:

Ví dụ 2: Tính giới hạn sau: a) 1 3 2 lim

1 





 x

x

x ; b) 1

3 2 lim

1 





 x

x

x .

Giaûi:



Ghi chuù:

1 Bài tập bản:

Bài 1: Tính giới hạn sau:

a) 1 1 lim     x x

x ; b) 2

4 lim 2     x x

x ; c) 6

3 3 lim     x x x ; d) x x x     4 6 2 lim

; e) 1

17 lim 2



  x

x ; f) x

x x x       3 1 2 lim . Bài 2: Tính giới hạn sau:

a)

x −2¿2 ¿ lim x→2

3x −5 ¿

; b) 1

7 2 lim     x x

x ; c) 1

7 2 lim     x x x .

Baøi 3: Tính:

a) lim( 1)

2    

 x x x

x ; b) lim( 2 3 5)

2    

 x x

x ;

c) lim 2 5

2

  

 x x

x ; d) x

x x

x 5 2

1 lim      .

Bài 4: Dùng định nghĩa, tìm giới hạn sau:

a) 3 2

1 lim    x x

x ; b) 3

5 2 lim 2     x x x .

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Cho hàm số f(x)={√2x+x1 khikhixx ≥<00 và dãy số (un) với n

un 1

, (vn) với n

vn  1

. a) Tính limun, limvn, limf(un) limf(vn).

b) Từ có kết luận giới hạn hàm số cho x 0?

Bài 2: Tính giới hạn hàm số x  + x  -

a) f(x) = √x2−3x

x+2 ; b) f(x) = x + √x

2

− x+1 ; c) f(x) = √x2− x −√x2+1 .

Baøi 3: Cho haøm soá f(x) = {

1 x −1−

3

x3−1khix>1 mx+2 khix ≤1

.

Với giá trị tham số m hàm số f(x) có giới hạn x  1? Tìm giới hạn này.

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

§3 HÀM SỐ LIÊN TỤC

I– HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM:

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng K x0K Hàm số y = f(x) gọi liên tục

tại x0 x → x0limf(x)=f (x0) .

Ví dụ: Xét tính liên tục hàm số ( )x 2

x x f

taïi x0 = 3.

Giaûi:

 Hàm số y = f(x) không liên tục x0 gọi laø hàm số gián đoạn điểm đó.

II– HAØM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG: Định nghĩa:

 Hàm số y = f(x) gọi liên tục khoảng liên tục điểm khoảng đó.  Hàm số y = f(x) gọi liên tục đoạn [a; b] liên tục khoảng (a; b) và

) ( ) (

lim f x f a

a

x  

 ,

) ( ) (

lim f x f b

b

x  

 .

Khái niệm hàm số liên tục nửa khoảng, (a; b], [a; +), định nghĩa cách tương tự.

* Nhận xét: Đồ thị hàm số liên tục khoảng “đường liền” khoảng đó.

Hàm số liên tục (a; b) Hàm số không liên tục (a; b)

III– MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN: Định lí 1:

a) Hàm số đa thức liên tục toàn tập số thực R.

b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương hai đa thức) hàm số lượng giác liên tục từng khoảng tập xác định chúng.

Định lí 2: Giả sử y = f(x) y = g(x) hai hàm số liên tục điểm x0 Khi đó:

a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) y = f(x).g(x) liên tục x0;

b) Hàm số ( )

) (

x g

x f

y

liên tục x0 g(x0)0.

Ví dụ: Cho hàm số h(x) = {2x

2

−2x

x −1 khix ≠1 5 khix=1

Xét tính liên tục hàm số tập xác định nó. Giải:

Định lí 3: Nếu hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a; b] f(a).f(b) < 0, tồn điểm

c∈(a ;b) sao cho f(c) = 0.

* Nhận xét: Ví dụ: Chứng minh phương trình 2 5 0

   x

x có nghiệm.

Giaûi:

* Nhận xét:



Ghi chuù:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập bản:

Bài 1: a) Dùng định nghóa xét tính liên tục hàm số f(x)x32x 1 x0 = 3.

b) Xét tính liên tục hàm số y = g(x) x0 = 2, biết g(x)={

x3−8

x −2 khix ≠2 5 khix=2

.

c) Trong biểu thức xác định g(x) trên, cần thay số số để hàm số liên tục x0 = 2.

Bài 2: Cho hàm số f(x) = { 3x+2 khix<1

x2−1 khix ≥ −1 .

a) Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) Từ nêu lên nhận xét tính liên tục hàm số tập xác định nó.

b) Khẳng định nhận xét chứng minh. Bài 3: Chứng minh phương trình:

a)2 6 1 0

   x

x có hai nghiệm;

b) cosx = x có nghiệm.

Bài 4: Cho hàm số 6

1 )

( 2

 

 

x x

x x

f

g(x) = tanx + sinx Với hàm số, xác định khoảng trên hàm số liên tục.

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Xét tính liên tục hàm số g(x) = {

x −1

√2− x −1,neáux<1 −2x ,neáux ≥1

x = 1. Bài 2: Tìm giá trị tham số m để hàm số f(x) = {x

2

− x −2

x −2 ,neáux ≠2 m,neáux=2

liên tục x = 2. Bài 3: Chứng minh phương trình (1 - m2)x5 - 3x - = ln có nghiệm với tham số m.

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

* ÔN TẬP CHƯƠNG IV *

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập bản:

Bài 1: Tên học sinh mã hóa số 1530 Biết chữ số số giá trị của một biểu thức A, H, N, O với:

a) 2

1 3 lim    n n A

; b) H = lim(√n

2

+2n −n)

;

c) 3 7

2 lim    n n N

; d) n

n n O 4 1 4 . 5 3 lim    .

Hãy cho biết tên học sinh này, cách thay chữ số chữ kí hiệu biểu thức tương ứng. Bài 2: Tìm giới hạn sau:

a) 4

3 lim 2

2  



 x x

x

x ; b) x x

x x x 3 6 5 lim 2    

 ; c) 4

5 2 lim     x x

x ; d)

lim x →+∞(− x

3

+x2−2x+1)

; e) 3 1

3 lim     x x

x ; f) 3 1

4 2 lim       x x x x x .

Bài 3: Xét tính liên tục R hàm số g(x) = {x

2

− x −2

x −2 khix>2 5− xkhix ≤2

. Bài 4: Chứng minh phương trình 3 5 2 0

    x x

x có ba nghiệm nằm khoảng (-2; 5).

Bài 5: a) Có nhận xét công bội cấp số nhân lùi vô hạn?

b) Cho ví dụ cấp số nhân lùi vơ hạn có cơng bội số âm cấp số nhân lùi vơ hạn có cơng bội số dương tính tổng cấp số nhân đó.

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Cho hai dãy số (un) (vn) Biết un 2 vn với n limvn = Có kết luận giới hạn của

dãy số (un)?

Bài 2: Chứng minh phương trình:

a) m(x - 1)3(x2 - 4) + x4 - = ln có hai nghiệm với giá trị tham số m.

b) x3 - 3x = m có hai nghiệm với giá trị m

 (-2; 2).

Bài 3: Cho dãy số (un) xác định {

u1=1

un+1=2un+3

un+2 vớin≥1

. a) Chứng minh un > với n.

b) Biết (un) có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn đó.

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

CHƯƠNG V ĐẠO HAØM

oOo

- CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:

1 Hệ số góc đường thẳng:

 Tang góc tạo đường thẳng  trục hoành gọi hệ số

góc đường thẳng .

 Đường thẳng : y = ax + b có hệ số góc k = a.

2 Phương trình đường thẳng:

Đường thẳng  qua M(x0; y0), hệ số góc k có dạng: y - y0 = k(x - x0)



Ghi chuù:

§1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HAØM

I– ĐẠO HAØM TẠI MỘT ĐIỂM:

1 Định nghĩa đạo hàm điểm:

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a; b) x0 (a; b) Nếu tồn giới hạn (hữu

haïn) lim x → x0

f(x)− f(x0)

x − x0 giới hạn gọi đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 kí hiệu là

f’(x0) (hoặc y’(x0)), tức là: f'(x0) = lim x → x0

f(x)− f(x0)

x − x0 .

* Chuù yù:

 Đại lượng x = x - x0 gọi số gia đối số x0.

 Đại lượng y = f(x) - f(x0) = f(x0 + x) - f(x0) gọi số gia tương ứng hàm số Vậy:

y’(x0) = x

y

x 



 lim0

2 Cách tính đạo hàm định nghĩa:

Quy taéc:

 Bước 1: Giả sử x số gia đối số x0, tính yf(x0 x) f(x0).

 Bước 2: Lập tỉ số x

y

 

.  Bước 3: Tìm x

y

x 



 lim0 .

Ví dụ:Tính đạo hàm hàm số f x x

1 ) ( 

điểm x0 = 2.

Giaûi:

3 Quan hệ tồn đạo hàm tính liên tục hàm số:

Định lí 1: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm x0 liên tục điểm đó.

* Chú ý:

a) Định lí tương đương với khẳng định: Nếu hàm số y = f(x) gián đoạn x0 khơng có

đạo hàm điểm đó.

b) Mệnh đề đảo Định lí khơng Một hàm số liên tục điểm khơng có đạo hàm điểm đó.

4 Ý nghĩa hình học đạo hàm:

 a) Vẽ đồ thị hàm số f (x)=x

2

2 b) Tính f'(1).

c) Vẽ đường thẳng qua điểm M(1; 1

a) Tiếp tuyến đường cong phẳng: Là đường thẳng tiếp xúc với đường cong (C) điểm M; điểm M gọi tiếp điểm.

b) Ý nghĩa hình học đạo hàm: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) có đạo hàm x0  (a; b) Gọi (C) đồ thị của

hàm số đó.

Định lí: Đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 hệ số góc

của tiếp tuyến M0T (C) điểm M0(x0; f(x0)).

c) Phương trình tiếp tuyến:

Định lí:Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = f(x) điểm M0(x0; f(x0))là:

y - y0 = f'(x0)(x - x0) y0 = f(x0).

Ví dụ: Cho parabol y = -x2 + 3x - Viết phương trình tiếp tuyến parabol điểm có hồnh độ x = 2.

Giaûi:

II– ĐẠO HAØM TRÊN MỘT KHOẢNG:

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) gọi có đạo hàm khoảng (a; b) có đạo hàm mọi điểm x khoảng đó.

Khi đó, ta gọi hàm số f': (a; b)  R

x ↦ f'(x)

là đạo hàm hàm số y = f(x) khoảng (a; b), kí hiệu y’ hay f’(x). Ví dụ: Hàm số y = x2 có đạo hàm y’ = 2x khoảng

(-; +).

Giaûi:



Ghi chuù:

1 Bài tập bản:

Bài 1: Tính y ΔyΔx của hàm số sau theo x vaø x:

a) y2x 5; b) yx21; c) y2x3; d) y x

1



. Bài 2: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm hàm số y = x2 + x tại x

0 = 1;

Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến đường cong y = x3:

a) Tại điểm (-1; -1);

b) Tại điểm có hồnh độ 2;

c) Biết hệ số góc tiếp tuyến 3.

Bài 4: Một vật rơi tự theo phương trình s = 12 gt2, g

 9,8m/s2 gia tốc trọng trường.

a) Tìm vận tốc trung bình chuyển động khoảng thời gian từ t (t = 5s) đến t + t, các

trường hợp t = 0,1s; t = 0,05s; t = 0,001s.

b) Tìm vận tốc tức thời chuyển động thời điểm t = 5s. Bài 5: Tìm số gia hàm số f(x) = x3, biết rằng:

a) x0 = 1; x = 1; b) x0 = 1; x = -0,1.

Bài 6: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm hàm số sau điểm ra:

a) y x

1



, taïi x0 = 2; b) 1

1

  

x x y

taïi x0 = 0.

Bài 7: Viết phương trình tiếp tuyến đường hypebol y x

1



a) Tại điểm ( 12 ; 2);

b) Tại điểm có hồnh độ -1;

c) Biết hệ số góc tiếp tuyến - 14 .

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Chứng minh hàm số f(x) =

x −1¿2khix ≥0 ¿

¿ ¿ ¿

khơng có đạo hàm điểm x = có đạo hàm điểm x = 2.

Bài 2: Chứng minh hàm số f(x) =

x −1¿2,neáux ≥0 ¿

x+1¿2,neáux<0

¿ ¿ ¿

khơng có đạo hàm x = 0, liên tục đó.

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

§2 QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

I– ĐẠO HAØM CỦA MỘT HAØM SỐ THƯỜNG GẶP:

Định lí 1: Hàm số yxn (nN,n1) có đạo hàm xR và: (xn)' = nxn - 1

* Nhận xét:

Đạo hàm hàm 0: (c') = 0 (c = const)

Đạo hàm hàm số y = x 1: (x)' = 1

Định lí 2: Hàm số y = √x có đạo hàm x dương và:

(√x)'= 1

2√x

II– ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HIỆU, TÍCH, THƯƠNG:

Định lí:

Giả sử u = u(x), v = v(x) hàm số có đạo hàm điểm x thuộc khoảng xác định Ta có:

 (u + v)' = u' + v';  (u - v)' = u' - v';

 (u.v)' = u'v + v'u;  (

u v)'=

u ' v − v ' u

v2 (v = v(x) ≠ 0).

Tổng quát: (u1 u2  un)' = (u1)'  (u2)'   (un)'.

Ví dụ:Tìm đạo hàm hàm số y = x2 - x4 +

√x . Giaûi:

 Tính đạo hàm hàm số y = 5x3 - 2x5, y = − x3

√x Hệ quả:

Hệ 1: Nếu k số (ku)' = ku'.

Hệ 2: (1

v)'=− v '

v2 (vv(x)0).

III– ĐẠO HAØM CỦA HAØM HỢP:

1 Hàm hợp: Giả sử u = g(x) hàm số x, xác định khoảng (a; b) lấy giá trị khoảng (c; d); y = f(u) hàm số u, xác định (c; d) lấy giá trị R Khi đó, ta lập hàm số xác định trên (a; b) lấy giá trị R theo quy tắc sau: x ↦ f(g(x))

Ta gọi hàm số y = f(g(x)) hàm hợp hàm y = f(u) với u = g(x).

Ví dụ 1: Hàm số y = (1 - x3)10 hàm số hợp hàm số với u =

Ví dụ 2: Tìm hàm số hợp hàm số y = f(u) = u3 biết u =

√x2+1

Giaûi:

Định lí: Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm x u'x hàm số y = f(x) có đạo hàm u y'u thì

hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm x là:

y'x = y'u.u'x.

Ví dụ: Tìm đạo hàm hàm số y = (1 - 2x)3.

Giaûi:



Ghi chuù:

1 Bài tập bản:

Bài 1: Tìm đạo hàm hàm số sau:

a) yx5 4x32x 3; b)

4

2 0,5

3 1 4 1

x x

x

y   

;

c) 5 1

4 3 2 2

2

  

x x x

y

; d) y3x5(8 3x2).

Bài 2: Tìm đạo hàm hàm số sau:

a) y = (x7 - 5x2)3; b) y = (x2 + 1)(5 - 3x2); c) y = 2x

x2−1 ;

d) y = 3−5x

x2− x+1 ; e) y =

m+ n

x2¿

3

¿

(m, n số). Bài 3: Tìm đạo hàm hàm số sau:

a) y = x2− x√x+1 ; b) y = √2−5x − x2 ;

c) y = x3

√a2− x2 (a số); d) y =

1+x

√1− x .

Bài 4: Cho yx3 3x2 2 Tìm x để:

a) y’ > 0; b) y’ < 3.

2 Baøi tập nâng cao:

Bài 1: Bằng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số sau:

a) y7x x2 taïi x0 = 1; b) yx3 2x1 taïi x0 = 2.

Bài 2: Cho f(x) = x5 + x3 - 2x - Chứng minh rằng: f'(1) + f'(-1) = -4f(0).

Baøi 3: Cho f(x) = 2x , g(x) = x2

2 − x3

3 Giaûi bất phương trình f(x)  g(x).

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

§3 ĐẠO HÀM CỦA HAØM SỐ LƯỢNG GIÁC

1 Giới hạn hàm số y = x x

sin :

 Tính sin 00,01,01,sin 00,001,001 bằng máy tính bỏ túi Định lí 1: lim

x→0

sinx x =1

Ví dụ 1: Tính lim x→0

tanx

x .

Giaûi:

Ví dụ 2: Tính lim

x→0

sin 2x

x .

Giaûi:

2 Đạo hàm hàm số y = sinx:

Định lí: Hàm số y = sinx có đạo hàm xR

(sinx)’ = cosx * Chuù ý: Nếu y = sinu u = u(x) thì:

(sinu)’ = u’.cosu Ví dụ: Tìm đạo hàm hàm số y = sin(3x+π

5) .

Giaûi:

3 Đạo hàm hàm số y = cosx:

 Tính đạo hàm hàm số y = sin(π

2− x)

Định lí: Hàm số y = cosx có đạo hàm xR và

(cosx)’ = -sinx * Chú ý: Nếu y = cosu u = u(x) thì:

(cosu)’ = -u’.sinu Ví dụ: Tìm đạo hàm hàm số y = cos(x3 - 1).

4 Đạo hàm hàm số y = tanx:

 Tính đạo hàm hàm f(x)=sinx

cosx(x ≠ π

2+kπ , k∈Z)

* Định lí: Hàm số y = tanx có đạo hàm x ≠ π2 + k, k  Z và:

(tanx)'= 1

cos2x

* Chú ý: Nếu y = tanu u = u(x) ta có:

(tanu)'= u '

cos2u

Ví dụ: Tìm đạo hàm hàm số y = tan(3x2 + 5).

Giaûi:

5 Đạo hàm hàm số y = cotx:

 Tính đạo hàm hàm số y = tan(π

2− x) với x ≠ k, k  Z

Định lí: Hàm số y = cotx có đạo hàm x ≠ k, k  Z và:

(cotx)'=− 1

sin2x

* Chú ý: Nếu y = cotu u = u(x), ta có:

(cotu)'=− u '

sin2u

Ví dụ: Tìm đạo hàm hàm số y = cot3(3x - 1).

Giaûi:



Ghi chú:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập bản:

Bài 1: Tìm đạo hàm hàm số sau:

a) y = 5sinx - 3cosx; b) y = sinsinxx −+coscosxx ; c) y = xcotx;

d) y = sinxx+ x

sinx ; e) y = √1+2 tanx ; f) y = sin√1+x2 .

Bài 2: Chứng nminh hàm số sau có đạo hàm khơng phụ thuộc x: a) y = sin6x + cos6x + 3sin2x.cos2x;

b) y = cos2(π

3− x)+cos

2

(π

3+x)+cos

2

(2π

3 − x)+cos

2

(2π

3 +x)−2 sin

2

x .

Baøi 3: Giải phương trình f'(x) = 0, biết rằng:

a) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x; b) f(x) = - sin( + x) + 2cos (2π2+x) .

Bài 4: Tìm đạo hàm hàm số sau:

a) 5 2

1    x x y

; b) x

x y 3 7 3 2   

; c) x

x x y 4 3 3 2    

; d) x x

x x y 3 3 7 2     . Bài 5: Tìm đạo hàm hàm số sau:

a) y = (9 - 2x)(2x3 - 9x2 + 1); b) y = (6√x − 1

x2)(7x −3) ; c) y = (x −2)√x

2

+1 ;

d) y = tan2x - cot2x; e) y = cos x

1+x .

Bài 6: Tính ϕf ''(1)

(1) , biết f(x) = x

2

(x) = 4x + sin πx2 .

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Giải bất phương trình sau: a) y’ < với y = x2+x+2

x −1 ; b) y’0với y =

x2

+3

x+1 ; c) y’ > với y =

2x −1 x2+x+4 .

Bài 2: Giải bất phương trình f'(x) > g'(x), biết rằng: a) f(x) = x3 +x -

√2 , g(x) = 3x2 + x +

√2 ; b) f(x) = 2x3 - x2 +

√3 , g(x) = x3 + x2 2

-√3 .

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

§4 VI PHÂN

1 Định nghóa:

 Cho hàm số f(x) = √x , x0 = x = 0.01 Tính f'(x0)x

Ta gọi tích f'(x)x vi phân hàm số y = f(x) x ứng với số gia x.

Kí hiệu df(x) dy, tức là: dy = df(x) = f'(x)x

* Chú ý: Áp dụng định nghĩa vào hàm số y = x, ta có: dx = d(x) = (x)'x = 1.x = x Do đó, với hàm

số y = f(x) ta coù:

dy = df(x) = f'(x)dx Ví dụ: Tìm vi phân hàm số sau:

a) y = x3 - 5x + 1; b) y = sin3x.

Giaûi:

2 Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng:

f(x0 + x)  f(x0) + f'(x0)x

Ví dụ: Tính giá trị gần √3 99 . Giải:



Ghi chú:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Tìm vi phân hàm soá sau:

a) a b

x y

 

(a, b số); b) y = (x

2

+4x+1)(x2−√x)

.

Bài 2: Tìm dy, biết: a) ytan2x; b) 1

cos

x x y

 

.

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

§5 ĐẠO HÀM CẤP HAI

I– ĐỊNH NGHĨA:

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm điểm x  (a; b) Khi đó, hệ thức y' = f'(x) xác định hàm số

mới khoảng (a; b) Nếu hàm số y' = f'(x) lại có đạo hàm x ta gọi đạo hàm y' đạo hàm cấp hai hàm số y = f(x) kí hiệu y'' f''(x).

* Chú ý:

 Đạo hàm cấp ba hàm số y = f(x) định nghĩa tương tự kí hiệu y''' f'''(x)hoặc f3(x).  Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp n – 1, kí hiệu fn - 1(x) (nN, n4) Nếu fn - 1(x) có đạo hàm

thì đạo hàm gọi đạo hàm cấp n f(x), kí hiệu y(n) hoặc fn(x).

fn(x) = (f(n - 1)(x))'

II– Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HAØM CẤP HAI:

Đạo hàm cấp hai f''(t) gia tốc tức thời chuyển động s = f(t) thời điểm t.

Ví dụ: Xét chuyển động có phương trình s(t) = Asin(t + ) (A, ,  số) Tìm gia tốc tức

thời thời điểm t chuyển động. Giải:



Ghi chuù:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: a) Cho f(x) = (x + 10)6 Tính f''(2).

b) Cho f(x) = sin3x Tính f''(−π

2) , f''(0) , f''( π 18) .

Bài 2: Tìm đạo hàm cấp hai hàm số sau:

a) y = 1− x1 ; b) y = 1

√1− x ; c) y = tanx; d) y = cos

2x.

CAÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

* ÔN TẬP CHƯƠNG V *

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập bản:

Bài 1: Tìm đạo hàm hàm số sau: a) y = x3

3 − x2

2 +x −5 ; b) y =

2 x−

4 x2+

5 x3−

6

7x4 ; c) y = 3x

2

−6x+7

4x ;

d) y = (2

x+3x)(√x −1) ; e) y =

1+√x

1−√x ; f) y =

− x2+7x+5

x2−3x .

Bài 2: Tìm đạo hàm hàm số sau: a) y = 2√xsinx −cosx

x ; b) y =

3 cosx

2x+1 ; c) y =

t2+2 cost

sint ;

d) y = 2 cos3 sinϕϕ−sinϕ

+cosϕ ; e) y =

tanx

sinx+2 ; f) y =

cotx 2√x −1 .

Baøi 3: Cho haøm số f(x) = √1+x Tính f(3) + (x - 3)f'(3).

Bài 4: Giải phương trình f'(x) = 0, biết rằng: f(x) = 3x+60

x − 64

x3+5 .

Baøi 5: Viết phương trình tiếp tuyến:

a) Của hypebol y = x −x+11 điểm A(2; 3);

b) Của đường cong y = x3 + 4x2 - điểm có hồnh độ x 0 = -1;

c) Của parabol y = x2 - 4x + điểm có tung độ y 0 = 1.

Baøi 6: Cho f(x) = cosxx , g(x) = xsinx Tính g 'f '(0)

(0)

Bài 7: Cho hàm số f(x) = tanx g(x) = 1− x1 Tính g 'f '(0)(0) .

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Cho chuyển động thẳng xác định phương trình s = t3 - 3t2 - 9t, t tính giây và

s tính mét.

a) Tính vận tốc chuyển động t = 2s. b) Tính gia tốc chuyển động t = 3s. c) Tính gia tốc thời điểm vận tốc triệt tiêu. d) Tính vận tốc thời điểm gia tốc triệt tiêu. Bài 2: Cho hai hàm số y = x1

√2 vaø y = x2

√2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số

đã cho giao điểm chúng Tính góc hai tiếp tuyến kể trên.

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI