Tài liệu giảng dạy môn toán cao cấp (ngành khoa học cây trồng)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TRÀ VINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MƠN TỐN TÀI LIỆU GIẢNG DẠY MƠN TỐN CAO CẤP (NGÀNH KHOA HỌC CÂY TRỒNG) GV biên soạn: Phạm Minh Triển Trà vinh, năm 2015 Lƣu hành nội MỤC LỤC Nội dung Trang Chương I: Giới hạn dãy số, giới hạn hàm số biến số Bài 1: Tập hợp, ánh xạ Bài 2: Giới hạn dãy số Bài 3: Giới hạn hàm số 11 Bài 4: Hàm số liên tục 17 Chương II: Đạo hàm vi phân hàm biến số 19 Bài 1: Đạo hàm hàm số biến số 19 Bài 2: Vi phân hàm số biến số 23 Bài 3: Một số ứng dụng đạo hàm 26 Chương III: Tích phân hàm biến số 30 Bài 1: Tích phân bất định 30 Bài 2: Tích phân xác định 38 Bài 3: Tích phân suy rộng 43 Chương IV: Phép tính vi phân hàm nhiều biến 47 Bài 1: Hàm nhiều biến phép tính vi phân hàm nhiều biến 47 Bài 2: Cực trị hàm nhiều biến 53 Chương V: Ma trận, định thức hệ phương trình tuyến tính 56 Bài 1: Ma trận 56 Bài 2: Định thức 60 Bài 3: Hệ phương trình tuyến tính 67 Chương VI: Phương trình vi phân 75 Bài 1: Phương trình vi phân cấp 75 Bài 2: Phương trình vi phân cấp hai 80 Tài liệu tham khảo 85 Tài liệu giảng dạy Môn: Toán Cao cấp CHƢƠNG I GIỚI HẠN DÃY SỐ, GIỚI HẠN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ BÀI TẬP HỢP, ÁNH XẠ Mục tiêu học tập: Sau học xong này, người học có thể: - Trình bày khái niệm tập hợp ánh xạ, - Thực phép toán tập hợp ánh xạ - Trình bày khái niệm số phức, phép tốn số phức - Trình bày khái niệm hàm số tính chất hàm số 1.Tập hợp 1.1 Khái niệm Tập hợp khái niệm dùng để tổng thể nhiều đối tượng có số tính chất Các tập hợp thường ký hiệu: A, B, C, Mỗi đối tượng tập hợp gọi phần tử tập hợp, ký hiệu phần tử x thuộc tập hợp A x  A , ngược lại ta ký hiệu x  A Tập hợp không chứa phần tử gọi tập rỗng, ký hiệu:  Xét hai tập hợp A B , phần tử A phần tử B ta nói A chứa B , ký hiệu A  B , ta nói A phận B tập B Nếu A  B B  A ta nói A  B Lưu ý A  hai tập hiển nhiên tập A Ví dụ: N  0,1,2,3, : Tập hợp số tự nhiên Z   ,3,2,1,0,1,2,3, : Tập hợp số nguyên a  Q   , a  Z , b  Z , b  0 : Tập hợp số hữu tỉ b  R : Tập hợp số thực C  a  ib, a  R, b  R, i  1 : Tập hợp số phức Và N  Z  Q  R  C   1.2 Các phép toán tập hợp 1.2.1 Phép hợp: Hợp hai tập hợp A B tập hợp gồm phần tử thuộc A , thuộc B Ký hiệu: C  A  B  x : x  A  x  B Ví dụ: A  a, b, c, d , B  a, b, e, f  A  B  a, b, c, d , e, f  1.2.2.Phép giao: Giao hai tập hợp A B tập hợp gồm phần tử vừa thuộc A , vừa thuộc B Ký hiệu: C  A  B  x : x  A  x  B Ví dụ: A  a, b, c, d , B  a, b, e, f  A  B  a, b 1.2.3.Phép hiệu: Hiệu hai tập hợp A B tập hợp gồm phần tử thuộc A mà không thuộc B Ký hiệu: C  A \ B  x : x  A  x  B Ví dụ: A  a, b, c, d , B  a, b, e, f  A \ B  c, d  Ánh xạ Tài liệu giảng dạy mơn: Tốn cao cấp Một ánh xạ từ tập A vào tập B tương ứng f cho x  A có phần tử y  B ứng với x Ký hiệu: f :AB x y x : gọi tạo ảnh y qua f y : gọi ảnh x qua f , ký hiệu y  f (x) A : gọi tập nguồn (tập xác định), B gọi tập đích (tập giá trị) ánh xạ f Phân loại ánh xạ: a/ f gọi đơn ánh  f ( x1 )  f ( x2 ) x1  x2 b/ f gọi tồn ánh  x  B y  B để y  f (x) c/ f gọi song ánh  f vừa đơn ánh vừa toàn ánh Sơ lƣợc tập hợp số phức C 3.1 Định nghĩa: Cho tập hợp C  z  a  ib, a  R, b  R, i  1 , tập hợp ta định nghĩa hai phép toán cộng nhân sau: z1  z2  (a  ib)  (c  id )  (a  c)  i (b  d ) z1.z2  (a  ib).(c  id )  (ac  bd )  i (ad  bc) a  b Hai số phức (a  ib)  (c  id )   b  d Dạng z  a  ib gọi dạng đại số số phức Cho số phức z  a  ib a gọi phần thực ký hiệu Re(z), b gọi phần ảo ký hiệu Im(z), i gọi đơn vị ảo số phức z  a  ib Ta ký hiệu z modun số phức z  a  ib z  a  b2 Cho số phức z  a  ib , số phức z gọi số phức liên hợp z z  a  ib * Một số tính chất: e / z  R; z   z  a/z  z f / z  z z b/ z z  z z 2 c / z1.z2  z1.z2 g/ z  z z  z d /   z2  z2 h / z1.z2  z1 z2 i/ z z1  z2 z2 3.2 Biểu diễn hình học số phức: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M (a, b) số phức z  a  ib , ta gọi OM  z  a  b2  r     (OM , Ox)  Argument(z) , ký hiệu Arg ( z )  Arg(z)  2 Lúc ta xem số phức z  a  ib điểm M (a, b) mặt phẳng Oxy với hoành độ tung độ tương ứng phần thực phần ảo số phức a  r cos  Từ ta có  z  a  ib  r (cos +isin ) ta gọi dạng lượng  b  r sin  giác số phức Tài liệu giảng dạy môn: Toán cao cấp 3.3 Lũy thừa số số phức: i/ x  R ta ký hiệu: eix  cosx+isinx , từ ta có số tính chất sau: a / x, y  R : ei ( x  y )  eix eiy b / x  R : e ix     n  Z , x  R : eix ix e n  eixn c / x  R : eix  e ix Số phức dạng z  eix ta gọi dạng cực   ii/ Từ công thức n  Z , x  R : eix e  ix n n  eixn , ta có:  eixn   cosx+isinx   cosnx+isinnx (Cơng thức Moivre) n iii/ Cho số phức z  C , xét n z , đặt Z  n z suy Z n  z z  r (cos +isin ) Nếu Z=r / (cos +isin )  Zn =(r / ) n (cosn +isinn )  r/  n r / n  r  (r )  r (cos +isin )  (r / ) n (cosn +isinn )      k 2 , k  0, n  n    k 2   n   +k2  +k2 Vậy n z  n r (cos( )  isin( )), k  0, n  n n i   k 2 i( ) n n Hơn nữa: z  e z  r e , k  0, n  3.4 Một số ví dụ: i/ Biểu diễn số phức thành dạng lượng giác dạng cực, sau khai với bậc ra: a / z  1, z , z ; b / z  i, z , z ; c / z   i, z , z ; d / z   i , z, z; 2 ii/ Giải phương trình sau C: a / z  z   0; n b / z  zcos   0,   R; c /(3  i ) z  (8  6i ) z  25  5i  0; d /( z  z )  40( z  z )  375  e /( z  i )  ( z  1)  ( z  i )  f / z  (1  2i) z  (1  i) z  2i  , biết phương trình có nghiệm ảo g / z  4iz  12(1  i) z  45  , biết phương trình có nghiệm thực nghiệm ảo iii/ Hãy tìm bậc số phức z  8a  (1  a )2  4a(1  a )i; a  R iv/ Hãy biểu diễn cos x,sin x, cos3x,sin3x,cos4x,sin5x, qua lũy thừa sinx,cosx Hàm số 4.1.Khái niệm hàm số Cho D  R Ánh xạ f : D  R gọi hàm số xác định D , : D gọi miền xác định f ; T  f ( x) x  D gọi miền giá trị f Tài liệu giảng dạy mơn: Tốn cao cấp 4.2.Tính chất: Hai hàm số y  f (x) , y  g (x) , y  F (x) i/ f  g f , g có miền xác định D x  D : f ( x)  g ( x) x2  , g ( x)  x  x 1 ii/ f  g f , g có miền xác định D x  D : f ( x)  g ( x) iii/ F  f  g  x  D miền xác định F F ( x)  f ( x)  g ( x) Hiệu, tích, thương f , g định nghĩa tương tự iv/ Hàm số y  f (x) gọi tăng hay đồng biến  x1, x2  D : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) v/ Hàm số y  f (x) gọi giảm hay nghịch biến  x1, x2  D : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Ví dụ: f ( x)  Ví dụ: a/Hàm số y  x3 tăng tồn miền xác định b/ Hàm số y  x tăng (0,) , giảm (,0) c/ Hàm số y  f (x) gọi bị chặn D k  : f ( x)  k , x  D Ví dụ: Hàm số y  cos x, y  sin x bị chặn  1;1 vii/ Hàm số y  f (x) gọi hàm số chẵn miền đối xứng (a; a) x  (a; a) : f ( x)  f ( x) viii/ Hàm số y  f (x) gọi hàm số lẻ miền đối xứng (a; a) x  (a; a) : f ( x)   f ( x) Ví dụ: a/ y  x , y  cos x, y  x sin x, y  hàm số chẵn b/ y  x3 , y  x cos x, y  sin x hàm số lẻ ix/ Hàm số y  f (x) gọi hàm số tuần hoàn tồn số l  cho f ( x  l )  f ( x) , số dương bé số l gọi chu kỳ hàm số tuần hoàn y  f (x) Ví dụ: Hàm số y  sin x, y  cos x tuần hoàn với chu kỳ 2 , Hàm số y  tan x, y  cot anx tuần hoàn với chu kỳ  4.3 Hàm số hợp g :Y  Z f : X Y h: X  Z Khái niệm: Cho , hàm số gọi y  z  g ( x) x  z  h( x ) x  y  f ( x) hàm số hợp f , g , ký hiệu: h  g.h z  g (h( x)) Ví dụ: Cho f ( x)  x  1, g ( x)  sin x Tìm f f , g.g , f g , g f Ta có x a/ f f ( x)  f ( f ( x))  ( f ( x))2   ( x  1)2  b/ g.g ( x)  g ( g ( x))  sin 2( g ( x))  sin 2(sin x) 4.4 Hàm số ngƣợc f : X Y Cho hàm số , f song ánh f 1 hàm số ngược x  y  f ( x) f y2 x2 Ví dụ: a/ y  x  hàm số ngược x  ( y  ) 2 b/ y  log a x hàm số ngược x  a y ( y  a x ) 4.5 Một số hàm số sơ cấp bản: Tài liệu giảng dạy mơn: Tốn cao cấp 4.5.1 Hàm số: y  x ,  R , miền xác định phụ thuộc vào  a/ Nếu   N D  R b/ Nếu   Z  D  R \ o c/ Nếu  Q  D  R  d/ Nếu  Q  D  R  \ 0 4.5.2 Hàm số: y  a x , a  0, a  , xác định x  R  \ 0, hàm số tăng a  , giảm  a  4.5.3 Hàm số: y  log a x, a  0, a  , hàm số ngược y  a x xác định x  , hàm số tăng a  , giảm  a  Một số tính chất cần lưu ý a/ log a x y  log a x  log a y x b/ log a  log a x  log a y y c/ log a b    log a b  d/ N  log a a N e/ log a b  log a c log c b 4.5.4 Các hàm số lƣợng giác y  sin x, y  cos x miền xác định R  y  tan x, xác định x  (2k  1) , k  Z y  cot anx, xác định x  k , k  Z * Lưu ý công thức lượng giác 4.5.5 Các hàm số lƣợng giác ngƣợc y  arcsin x hàm số ngược y  sin x y  arccos x hàm số ngược y  cos x y  arctan x hàm số ngược y  tan x y  arc cot anx hàm số ngược y  cot anx Nếu y  sin x hàm ngược x  arcsin y Ta có hai đẳng thức sau: arcsin x  arccos x   , arctan x  arc cot anx   Chứng minh: Đặt A  arcsin x, B  arccos x  x  sin A  cos B  sin( Vậy A    B  A B     B) 2 4.5.6 Các hàm Hyperpol Các hàm hyperbol hàm số xác định đẳng thức sau: e x  e x shx  đọc hàm sin hyperbol Tài liệu giảng dạy mơn: Tốn cao cấp e x  e x đọc hàm cosin hyperbol shx e x  e x đọc hàm tang hyperbol thx   chx e x  e x chx e x  e x cthx   đọc hàm cotang hyperbol shx e x  e x Hàm cosin hyperpol hàm chẵn, hàm sin hyperbol, tang hyperbol, cotang hyperbol hàm lẻ; Và sh0  0, ch0  1, ch2 x  sh2 x  1, thx.cthx  chx  Tài liệu giảng dạy mơn: Tốn cao cấp BÀI GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Mục tiêu học tập: Sau học xong này, người học có thể: - Trình bày khái niệm giới hạn dãy số tính chất giới hạn dãy số - Tìm giới hạn số dãy số Khái niệm: 1.1Định nghĩa 1: Hàm số u : N *  R Những giá trị hàm số ứng với n  1,2,3, , n, gọi dãy số Đặt u1  u(1), u2  u(2), , un  u(n), Dãy số viết dạng un  u1 , u2 , u3 , , un , , số ui gọi số hạng dãy, un gọi số hạng tổng quát dãy n  n  Ví dụ: a/Dãy un    ,  dãy số : , , , n 1  n  1 b/ Dãy un   n2 dãy số : 1, 4,9, , n2 , 1.2 Định nghĩa 2: Số a gọi giới hạn dãy số un  n   , ký hiệu   lim un  a hay un  a n   ,   0, N  : n  N un  a   n  Dãy số có giới hạn gọi hội tụ, ngược lại gọi phân kỳ n Ví dụ: Chứng minh lim  Thật vậy,   bé tùy ý, ta chọn số n  n  1 bé cụ thể đó, chẳng hạn   10 n 1 1     n  104  Thì ta phải Muốn cho un  a    n 1 10 n  10 chọn N  10  , lúc ta có un 1   1.3 Định nghĩa 3: Dãy un  dần dến vô n tiến đến vô với M  lớn tùy ý , có số nguyên dương N cho với n  N , ta ln có un  M Ký hiệu: lim un   n  Ví dụ: Chứng minh lim n   Thật vậy: chọn M  105 , muốn cho n  n  10  n  10 ta chọn N  1010 Lúc n  1010  10 n M 1.4 Định nghĩa 4: Dãy un  gọi vô lớn lim un   , Dãy un  gọi vô bé n  1 lim un  Lưu ý un  vô lớn   vơ bé ngược lại n   un  Các định lý giới hạn dãy 2.1 Các tính chất: a/ Nếu dãy un  có giới hạn a a  p(a  p) tồn N cho với n  N un  p(un  p) b/ Nếu dãy un  có giới hạn a un  p(un  p), n a  p(a  p) c/ Nếu dãy un  có giới hạn a a d/ Nếu dãy un  có giới hạn bị chặn, tức k  : un  k , n 2.2 Các định lý: 2.2.1 Định lý 1: Cho lim un  a, lim  b , n  n  Tài liệu giảng dạy mơn: Tốn cao cấp a/ Nếu un  , n a  b b/ Nếu un  , n a  b 2.2.2 Định lý 2: Nếu un   wn lim un  lim wn  a lim  a n  Ví dụ: Tính I  lim ( 1 n 2   n 3 n n 1 1     Đặt  n2  n2  n2  n2  n n n Và   2 n 1 n n n n Mặt khác lim  lim 1 n  n  n  n  n Theo định lý lim  n  n 1  n  n  2 ) n  2.2.3.Các phép tính giới hạn dãy số : Nếu dãy un  , vn  hội tụ a/ dãy un  cũng hội tụ lim un    lim un  lim n  n  n  b/ dãy un  hội tụ lim un   lim un lim Hơn nữa: n  lim k.vn   k lim n  n  n  n   u  lim un u  + dãy  n  hội tụ lim  n   n  , lim  n  v n   n  nlim    Một số công thức giới hạn dãy số thường gặp: 0  a  1 a lim a n   , b lim n a  1, a  , c lim n n  , d lim (1  ) n  e n  n  n  n  n    a 1 Bài tập: Tìm giới hạn: 2n  n  2n6  3n  n  2n  n  lim lim a lim , b , c , d lim  n3 4 n  n  5n  n  n  5n  n  n  n  4n  Tìm giới hạn: a lim n  n  n  2n  2n  n  lim , b , c lim ( n2  n   n) , n  n  n  5n   2n  d lim ( 3n2  n   n ) , e lim ( n2  n  n2  1) , f lim n  n  n  ( n   n2  ) Cho q  , đặt Sn   q  q  q3   q n Tìm lim Sn n   4.3 3.2n  5.7 n , b lim n    7.3n n   4n  3.5n 1 n 1 n n n 1 Tìm giới hạn: a lim (1  ) n , b lim (1  )3n , c lim ( ) , d lim ( ) n  n   n   n   n 2n n 1 n 1 n n Áp dụng: Tìm giới hạn: a lim 10 Tài liệu giảng dạy mơn: Tốn cao cấp Nội dung phƣơng pháp: a/ Tính rang ( A), rang ( A) b/ Nếu rang ( A)  rang ( A) hệ vô nghiệm ` c/ Nếu rang ( A)  rang ( A)  n hệ hệ Cramer, suy hệ có nghiệm tìm nghiệm ta biết d/ Nếu rang ( A)  rang ( A)  r  n hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào n-r tham số Trong trường hợp ta thực sau Chọn định thức sở Dr  0, rang ( A)  r (0  r  min(m, n)) , xác định phương trình chính, ẩn sở, ẩn tự Trong A , loại bỏ dịng khơng chứa phần tử Dr ta ma trận S Gọi S(r) ma trận vuông cấp r S thỏa det S (r )  Dr Biến đổi sơ cấp dòng S để đưa S(r) dạng I r Khi S thành S / / Xét hệ phương trình với S ma trận mở rộng Chuyển ẩn tự sang vế phải giải hệ ta thu nghiệm tổng quát hệ cho Ví dụ: Giải hệ phương trình  x  2y  z t  s   x  y  z  2t  s  5    x  y  z  2t  3s  13 4 x  y  z  5t  3s  16 3.3.3 Phƣơng pháp khử Gauss Nội dung phƣơng pháp: a/ Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa ma trận mở rộng A dạng ma trận bậc thang dòng A/ , lúc ta dễ dàng nhận biết hạng A A , so sánh chúng kết luận chúng có nghiệm hay vơ nghiệm b/ Nếu hệ có nghiệm, dựa vào ma trận thu ta dễ dàng xác định ẩn sở ẩn tự c/ Chuyển ẩn tự sang vế phải giải hệ biết Như chất phương pháp khử Gauss khử dần ẩn số, số ẩn sở hệ giảm dần từ xuống Tuy nhiên ta cần lưu ý vấn đề sau: * Nếu thấy xuất dịng bỏ dịng * Nếu thấy xuất hai dịng tỉ lệ ta bỏ dịng * Nếu thấy xuất dòng dạng:  0 a  ; a  R \ 0 kết luận hệ vô nghiệm không cần giải tiếp 2 x  y  z  5t  13  x  y  z  t  14  Ví dụ: Giải hệ  Lập ma trận mở rộng hệ x  y  z  t  13   x  y  z  4t  71 Tài liệu giảng dạy môn: Toán cao cấp 2  A   A B   6  2 13   6 1 14  thực phép biến đổi sơ cấp 9 13   3 2 4  3 4 dòng A Ta có:  3 4 13   3 4 13      d  d  d1 0 11 40  d3 13 d3  0 11 40  d3  d3 3 d1  A    d4 d4  d4  0 13 13 52   0 1       0 9 22   0 9 22   3 4 13   3 4 13      0 1  d2 d3 9 d2  0 1  d  d3      0 11 40  d4 d4  d2  0 2       0 9 22   0 7 14   3 4 13   3 4 13    1 d3  d3 0 1  xóad4       0 1  d  d  0 2  d4 7 d3   0 2      0  14    x   x  y  z  t   13 x  z  t   13  y   2    z t   z t   z2 Ta có hệ     t  2 t  2 t  2     y   ,   R Ví dụ: Giải biện luận theo tham số m x  y  3t    x  y  z  5t  16   x  y  z  8t  23  x  12 y  z  13t  m  6 x  14 y  z  16t  46 Hệ phƣơng trình tuyến tính 72 Tài liệu giảng dạy mơn: Toán cao cấp  a11 x1  a12 x2   a1n xn   a x  a x   a x   2n n 4.1 Định nghĩa: Hệ phương trình có dạng sau:  21 22 (2) gọi hệ  am1 x1  am x2   amn xn  phương trình tuyến tính Hệ ln có nghiệm tầm thường (0,0, ,0) , ngược lại ta gọi nghiệm tầm thường 4.2 Định lý: Hệ (2) có nghiệm khơng tầm thường hạng hệ nhỏ ẩn số, tức rang ( A)  n 4.3 Hệ quả: Cho hệ phương trình tuyến tính có số phương trình số ẩn, với ma trận hệ số A ma trận vng Khi đó: Hệ có nghiệm tầm thường  det A  Hệ có nghiệm không tầm thường  det A  Ký hiệu P0 tập hợp nghiệm (2), tức P0  (c1 , c2 , , cn ), ci  R;(c1 , c2 , , cn )  (0,0, ,0) 4.4 Định lý: Các nghiệm (2) có tính chất sau: Tổng hai nghiệm (2)là nghiệm (2), tức C1 , C2  P0  C1  C2  P0 Tích nghiệm (2) với số thực thuộc R nghiệm (2), tức C1  P0  kC1  P0   kR 4.5 Phƣơng pháp giải: Hệ phương trình trường hợp riêng hệ khơng nhất, nên phương pháp giải hệ không áp dụng cho hệ  x  2y  z t   Ví dụ: Cho hệ 2 x  y  3z  t  11  3x  y  z  14  a/ Giải hệ tương ứng b/ Từ suy nghiệm hệ không Bài tập: Các hệ sau có phải hệ Cramer? Hãy giải chúng  x1  x2  3x3  x4   x1  x2  x3   x1  x2  x3  1     x1  x2  x3  3x4  a / 3x1  x2  x3  11; b / 2 x1  x2  x3  4; c /  ; x  x  x  x  4 3x  x  x  11 4 x  x  x  2  3   2 x1  3x2  x3  x4  8  x1  x2  3x3  x4  3x  3x  3x  x   d /  3x1  x2  x3  x4   3x1  x2  3x3  x4  12 Giải biện luận theo m hệ phương trình: 73 Tài liệu giảng dạy mơn: Tốn cao cấp  mx  y  z   (m  3) x  y  z  m  (3m  1) x  2my  (3m  1) z     a /  x  my  z  m ; b /  mx  (m  1) y  z  2m ; c /  2mx  2my (3m  1) z  m  x  y  mz  m 3(m  1) x  my  (m  3) z  (m  1) x  (m  1) y  2(m  1) z  m     x  my  m z   x  y  z  2t  m x  2y  z  t  m     13 d /  x  y  z  ; e /  x  y  z  t  2m  1; f / 2 x  y  z  2t  2m  1;  x  3y  9z   x  y  z  t  m  x  y  z  3t  m     x  y  z  2t   2x  y  z  t   g/  3x  z  t   x  y  m Giải hệ phương trính khơng tương ứng sau  x y z t u   2x  y  z  t  u   3x  y  z  t  3u  2  x  y  z  t  2u    a/ ,b /   y  z  2t  6u  23 3x  y  3z  3t  4u  5 x  y  3z  3t  u  12 4 x  y  z  3t  7u  74 Tài liệu giảng dạy mơn: Tốn cao cấp CHƢƠNG VI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN BÀI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP Mục tiêu học tập: Sau học xong này, người học có thể: Trình bày khái niệm hệ phương trình vi phân, loại phương trình vi phânh Giải số phương trình vi phân cấp Khái niệm phƣơng trình vi phân 1.1 Định nghĩa: Ta gọi phương trình vi phân phương trình có dạng: F ( x, y, y / , y // , , y ( n) )  (1) Trong x biến số độc lập, y  y( x) hàm số phải tìm, y / , y // , , y ( n) đạo hàm Cấp phương trình vi phân đạo hàm cấp cao y  y( x) có mặt phương trình Phương trình (1) gọi tuyến tính biểu thức F bậc / // y , y , , y ( n) Dạng tổng quát phương trình vi phân tuyến tính cấp n y ( n)  a1 ( x) y ( n1)  a2 ( x) y ( n2)   an1 ( x) y /  an ( x) y  f ( x) (2) Trong a1 ( x), a2 ( x), , an ( x), f ( x) hàm số cho trước Phương trình (2) cịn gọi phương trình tuyến tính khơng Và phương trình y ( n)  a1 ( x) y ( n1)  a2 ( x) y ( n2)   an1 ( x) y /  an ( x) y  (3) gọi phương trình vi phân tuyến tính Nghiệm phương trình vi phân nói chung hàm số y  y( x) thỏa mãn phương trình Giải phương trình vi phân tìm tất nghiệm 1.2 Ví dụ: a/ y y /  e xy sinx phương trình vi phân cấp b/ x2 y //  3xy /  y  e x phương trình vi phân cấp hai(cịn gọi phương trình vi phân tuyến tính cấp hai khơng nhất) c/ x2 y //  3xy /  y  gọi phương trình vi phân tuyến tính cấp hai d/ Phương trình (2) gọi phương trình vi phân cấp n e/ Nghiệm phương trình vi phân y //  y  hàm số y  c1cosx+c2 sinx;c1c2  R Sau ta xét số dạng phương trình vi phân cấp cấp hai Phƣơng trình vi phân cấp 2.1 Định nghĩa: Dạng phương trình vi phân cấp F ( x, y, y / )  (4), phương trình F ( x, y, y / )  tương đương với y /  f ( x, y) (5) Ví dụ: Các phương trình y /  xy  xe x , yy /  x  y  Nghiệm ta tìm từ phương trình (4) thường gọi nghiệm tổng quát, cho số c giá trị xác định ta có nghiệm riêng (4), bên cạnh phương trình (4) cho kèm thêm điều kiện ban đầu y x  x  y0 gọi toán giá trị ban đầu(hay tốn Cauchy) Đơi ta khơng thể tìm nghiệm phương trình (4) dạng tường minh y  y( x, c), c  R mà tìm hệ thức có dạng  ( x, y, c)  0, c  R , hệ thức xác 75 Tài liệu giảng dạy mơn: Tốn cao cấp định nghiệm dạng ẩn, cho c  c0 biểu thức  ( x, y, c0 ) gọi tích phân riêng của phương trình 2.2 Phƣơng trình vi phân biến số phân ly 2.2.1 Định nghĩa: Phương trình vi phân biến số phân ly phương trình y /  f ( x, y) vế phải f ( x, y) có dạng p( x).q( x) Tức y /  p( x).q( y) 2.2.2 Cách giải: dy dy  p( x).q( y)   p( x)dx Từ phương trình y /  p( x).q( x) , ta có dx q( y ) từ ta tìm nghiệm phương trình ban đầu dy Lưu ý dy  y / dx  y /  dx 2.2.3 Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm nghiệm phương trình y /  e x  y thỏa điều kiện ban đầu y(1)  Ví dụ 2: Giải tốn sau x  y dx  y  x dy  0, y(0)  Ví dụ 3: Giải phương trình ( x3  1) y /  x y  x 2x 1 ; y  1, y (0)  1 Ví dụ 4: Giải phương trình y /  2y  Ví dụ 5: Giải phương trình y /  sin( x  y)  sin( x  y) Ví dụ 6: Giải phương trình y /  cos( x  y) , HD đặt z  x  y 2.3 Phƣơng trình vi phân cấp 2.3.1 Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp y /  f ( x, y) gọi vế phải  y f ( x, y) viết dạng g   x  y 2.3.2 Cách giải: Để giải phương trình y /  g   ta đặt y  u.x với u  u( x) hàm x / / số x Khi y  u.x  y  u  x.u thay vào phương trình ban đầu ta g (u )  u du g (u )  u du dx  y u  x.u /  g    g (u )  u /      Phương trình x dx x g (u )  u x x cuối phương trình biến số phân ly, giải phương trình ta nghiệm u ( x) , nghiệm phương trình ban đầu y  x.u( x) 2.3.3 Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình y /  2xy  y x  xy y  y   x x / Phương trình tương đương với y  (*) y 1 x / / Đặt y  x.u , ta có y  u  x.u thay vào (*) ta 76 Tài liệu giảng dạy mơn: Tốn cao cấp 2u  u du 2u  u u u  x.u   x  u  1 u dx 1 u 1 u (1  u )du dx    ln u  u  ln cx , c  R u x y u u y u  eu   e x , c  R nghiệm tổng quát phương trình ban Suy ra: ln c.x c.x cx đầu / Ví dụ 2: Giải phương trình xdy  ydx  x  y dx Ví dụ 3: Giải phương trình x2 ydy  ( x3  y3 )dx 2.4 Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2.4.1 Định nghĩa: Là phương trình có dạng: y /  p( x) y  q( x) , q( x), p( x) hàm số liên tục khoản tập số thực Phương trình y /  p( x) y  q( x) gọi tuyến tính q( x)  , ngược lại gọi không Hay a/ y /  p( x) y  (i) phương trình b/ y /  p( x) y  q( x) (ii) phương trình khơng 2.4.2 Cách giải: Để giải phương trình (ii) ta phải giải phương trình (i) trước a/ Giải phương trình y /  p( x) y  phương trình biến số phân ly  p ( x ) dx dy y nghiệm (i)   p( x)dx  ln    p( x)dx  y  c.e  y c b/ Giải y /  p( x) y  q( x) Bây ta xem số c nghiệm (i) hàm số theo x , tức ta tìm hàm c( x) cho y  c( x).e  Suy y /  c / ( x).e c / ( x).e   p ( x ) dx  c / ( x).e   p ( x ) dx  c( x) p( x).e   c( x) p( x).e   p ( x ) dx  p ( x ) dx  p ( x ) dx  c( x)   q( x).e  p ( x ) dx thỏa phương trình (ii) thay vào (ii) ta có  p( x).c( x).e   q( x)  c / ( x)  q ( x).e   p ( x ) dx  p ( x ) dx  q( x) p ( x ) dx dx  C p ( x ) dx  p ( x ) dx Vậy y    q( x).e  dx  C  e  ;C  R   Phương pháp gọi phương pháp biến thiên số 2.4.3 Các ví dụ: Giải phương trình y s inx a/ y /   x x y  ( x  1)3 b/ y /  x 1 c/ ( x  y )dy  ydx (*) 2.4.4 Phương trình Bernoulli:Là phương trình có dạng y /  p( x) y  q( x) y ;  0,   , để giải phương trình ta đặt z  y1 để đưa phương trình dạng phương trình tuyến tính cấp y3 Ví dụ: Giải phương trình y /  y  x x 77 Tài liệu giảng dạy mơn: Tốn cao cấp Phương trình tương đương với y / y 3  2 y  x x Đặt z  y 2  z /  2 y / y 3 , nên phương trình trở thành  z /  z  x x 2.5 Phương trình vi phân tồn phần (*) 2.5.1 Định nghĩa: Là phương trình có dạng P( x, y)dx  Q( x, y)dy  , P( x, y)dx  Q( x, y)dy vi phân toàn phần hàm số z  f ( x, y) đó, điều xảy Py/ ( x, y)  Qx/ ( x, y) Nói cách khác tốn tìm hàm z  f ( x, y) thỏa  z x/  P( x, y )  P( x, y)dx  Q( x, y)dy  , dz  P( x, y )dx  Q( x, y )dy;  /   z y  Q ( x, y ) Ví dụ: Giải phương trình (2 xy  cosy)y/  e x  y  Bài tập 1.Giải phương trình sau: a / x(1  y ) dx  y (1  x ) dy  b /(1  x ) y /  xy c /( x  yx ) y /  y  xy  d /( x  y x)dx  ( y  x y )dy  e / ydx  ( x  a )dy Giải phương trình vi phân xy  y a / y/  , b /( y  x)dx  ( y  x)dy  x2 x y c / y/   , d /( x  y )dx  xydy  x y y  y y e / y /   sin , y (1)  , f / xy /  sin  y sin  x x x x x y g / xy /  y  xe x Giải phương trình y e2 a /( x  1) y  xy  2, b / y   x ln x, ( x  0, y (e)  ) x ln x y   c / y /  xy  x, d / y /   ( x  0, y (1)  2), e / y /   y tan x(   x  ) x x 2 / / f / x y /  xy  cosx,y( )=0;g/y / cos x  y  t anx,(  x  , y (0)  0) h /(1  x )  xy  (1  x ) ; i / y /  xy  xe x ( y (1)  0); k / xy /  y / ln y  y, y  y s inx  x x Giải phương trình sau l / y/  78 Tài liệu giảng dạy mơn: Tốn cao cấp y y xy 2y / / a / y   x y ;b / y  4 arctanx;c/y   3x y ; x  x2 x  x2 / d / y/  y y y2 2y  ; e / y/  2 ; f / xy /  y  e x x y ; x 1 x 1 x cos x x g / y/  y  e2 y Chứng minh phương trình sau phương trình vi phân tồn phần giải chúng: a / xydx  ( x  y )dy  0; b /(2  xy ) xdx  (4 y  x3 ) ydy  0; y dx  ( y  ln x)dy  0; e /(1  y sin x)dx  y cos xdy  x x y f /(e  y  sin y )dx  (e  x  x cos y )dy  0; g /( x  y  1)dx  (e y  x)dy c / e y dx  (2 y  xe y )dy  0; d / 79 Tài liệu giảng dạy mơn: Tốn cao cấp BÀI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI Mục tiêu học tập: Sau học xong này, người học có thể: Trình bày khái niệm phương trình vi phân cấp 2, phân loại phương trình vi phân cấp Giải số phương trình vi phân cấp hai Dạng tổng quát phương trình vi phân cấp hai tuyến tính y //  p( x) y /  q( x) y  f ( x) (iii) Trong p( x), q( x), f ( x) hàm số liên tục khoản Phương trình y //  p( x) y /  q( x) y  (iv) gọi phương trình vi phân cấp hai tuyến tính nhất, phương trình (iii) gọi phương trình vi phân cấp hai tuyến tính khơng Lưu ý hai phương trình (iii) (vi) có mối liên quan với Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp hai 1.1Định nghĩa: Hai hàm số y1 ( x), y2 ( x) gọi phụ thuộc tuyến tính tỉ số y1 ( x)  K , K  const , ngược lại ta nói y1 ( x), y2 ( x) độc lập tuyến tính y2 ( x) 1.2 Định lý: Nếu y1 ( x), y2 ( x) hai nghiệm phương trình (iv) y( x)  C1 y1 ( x)  C2 y2 ( x) ( C1 , C2 số) nghiệm phương trình (iv) 1.3 Định lý: Nếu y1 ( x), y2 ( x) hai nghiệm độc lập tuyến tính phương trình (vi) y* ( x)  C1 y1 ( x)  C2 y2 ( x) ( C1 , C2 số) nghiệm tổng quát phương trình (vi) 1.4 Định lý: Nếu y1 ( x), y2 ( x) hai nghiệm độc lập tuyến tính phương trình (vi) y ( x) y1 ( x)  p ( x ) dx Với W  1/ W=C.e  y1 ( x) y2/ ( x) Chứng minh Vì y1 ( x), y2 ( x) hai nghiệm (iv) nên ta có y1//  p( x) y1/  q( x) y  0(a) y2//  p( x) y2/  q( x) y  0(b) Nhân (a) cho y2 (b) cho  y1 , sau cộng lại y2 y1//  p( x) y2 y1/  y1 y2//  p( x) y1 y2/   y2 y1//  y1 y2//  p ( x)( y2 y1/  y1 y2/ )   p ( x )dx W / (x)   p( x)  ln W(x)    p( x)dx  W(x)=e  W(x) 1.5 Định lý: Nếu biết nghiệm riêng y1 ( x)  (iv) ta tìm nghiệm riêng y2 ( x) (vi) độc lập tuyến tính với y1 ( x) sau:  W / (x)+p( x)W(x)=0   p ( x ) dx e  y2 ( x)  y1 ( x). dx y1 ( x) Chứng minh: Ta có  p ( x ) dx  p ( x ) dx W(x)=C.e   y y /  y y /  C.e  2 /  p ( x ) dx  p ( x ) dx  p ( x ) dx  y2  C.e  y1 y2/  y2 y1/ C.e  C.e       y  y dx    2 y12 y12 y y y 1  1 // / Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát phương trình: (1  x ) y  xy  y  80 Tài liệu giảng dạy mơn: Tốn cao cấp Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp hai khơng Phương trình y //  p( x) y /  q( x) y  f ( x) (iii) có phương trình tương ứng y //  p( x) y /  q( x) y  (iv) 2.1.Định lý: Nghiệm tổng quát (iii) nghiệm tổng quát (iv) cộng với nghiệm riêng (iii), tức y  y *  y, y y * nghiệm tổng quát (iii) (iv), y nghiệm riêng (iii) 2.2.Phƣơng pháp biến thiên số Lagrange: (để tìm nghiệm riêng y (iii)) Giả sử y*  c1 y1  c2 y2 nghiệm phương trình (iv), ta tìm nghiệm riêng (iii) dạng y  c1 ( x) y1  c2 ( x) y2 / Suy y  c1/ ( x) y1  c1 ( x) y1/  c2/ ( x) y2  c2 ( x) y2/ Lúc ta chọn c1/ ( x) y1  c2/ ( x) y2  (a) / Và y  c1 ( x) y1/  c2 ( x) y2/ //  y  c1/ ( x) y1/  c1 ( x) y1//  c2/ ( x) y2/  c2 ( x) y2// / // Ta thay y, y , y vào (iii) được: c1/ ( x) y1/  c1 ( x) y1//  c2/ ( x) y2/  c2 ( x) y2//  p( x)(c1/ ( x) y1  c1 ( x) y1/  c2/ ( x) y2  c2 ( x) y2/ )  q( x)(c1 ( x) y1  c2 ( x) y2 )  f ( x)  (c1 ( x) y1//  p( x)c1 ( x) y1/  q( x)c1 ( x) y1 )  (c2 ( x) y2//  p( x)c2 ( x) y2/  c2 ( x) y2 ) c1/ ( x) y1/  c2/ ( x) y2/  f ( x)  c1/ ( x) y1/  c2/ ( x) y2/  f ( x)(b) Bây ta xét hệ gồm phương trình (a) (b)  c1/ ( x) y1  c2/ ( x) y2   / / / / c1 ( x) y1  c2 ( x) y2  f ( x) Vì y1 , y2 độc lập tuyến tính nên y1 y2 / y2/ y 0  c / ( x)  1 ( x)   c1 ( x)   1 ( x)dx Nên hệ có nghiệm  1/  c ( x)   2 ( x)dx c2 ( x)  2 ( x)   / y x x Đầu tiên ta tìm nghiệm phương trình y //  y /  x Dễ thấy nghiệm y1  c1 , c1  R Từ ta có p ( x ) dx C.e  C  p ( x ) dx C  1x dx y2  y1. dx  e dx  e dx y12 c c Ví dụ: Tìm nghiệm tổng qt phương trình y //   C ln x C e dx   xdx  c2 x  c c 81 Tài liệu giảng dạy mơn: Tốn cao cấp Vậy nghiệm tổng quát phương trình y*  c1  c2 x Nghiệm riêng phương trình khơng tìm dạng y  c1 ( x)  c2 ( x).x  x3 c1/ ( x)  c2/ ( x).x  c1 ( x)    c3 c ( x)  c ( x).x    Xét hệ    / / c2 ( x)   2c2 ( x).x  x   c ( x )  x  c   2 x3 Vậy nghiệm riêng phương trình ban đầu y    c3  ( x  c4 ).x Suy nghiệm tổng quát phương trình ban đầu là: x3 y  c1  c2 x   c3  ( x  c4 ).x Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số số (hệ số không đổi) 3.1 Định nghĩa: Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số số có dạng y //  py /  qy  f ( x) với p, q số thực Ta gọi y //  py /  qy  f ( x) phương trình khơng y //  py /  qy  phương trình 3.2 Cách giải: a/ Phƣơng trình y //  py /  qy  Nếu ta tìm hai nghiệm riêng y1 , y2 độc lập tuyến tính nghiệm tổng qt phương trình thể dạng y*  c1 y1  c2 y2 / / 2 Ta tìm nghiệm riêng phương trình dạng y  ekx , k số mà ta phải xác định Ta có y  ekx  y /  kekx  y //  k 2ekx thay vào phương trình y //  py /  qy  ,ta k  pk  q  0, ekx  Phương trình ta gọi phương trình đặc trưng phương trình Ta xét trường hợp sau: i/Nếu phương trình k  pk  q  có hai nghiệm thực k1 , k2 , suy ta có hai nghiệm riêng y  ek1x , y  ek2 x nghiệm tổng quát y*  c1ek1x  c2ek2 x ii/ Nếu phương trình k  pk  q  có nghiệm kép thực k  k1  k2 , lúc ta có nghiệm riêng y1  ekx , nghiệm riêng y2 độc lập tuyến tính với y1 tìm  pdx  pdx e  e  kx công thức y2  y1. dx  e  kx dx  xekx ,(vì 2k   p ) y1 e Vì nghiệm tổng quát y*  c1ek1x  xc2ek2 x iii/ Nếu phương trình k  pk  q  có hai nghiệm phức k    i , lúc phương trình có nghiệm riêng dạng e( i ) x  e x ei x Mặt khác theo cơng thức Euler ta có ei x  cos x  i sin  x Do đó, phương trình có nghiệm riêng y  e x (cos x  i sin  x) , suy phương trình có hai nghiệm riêng y1  e x cos x, y2  e x sin  x) độc lập tuyến tính 82 Tài liệu giảng dạy mơn: Tốn cao cấp Vậy nghiệm tổng qt của phương trình trường hợp y*  e x (c1cos x  c2 sin  x) Ví dụ: Giải phương trình vi phân sau a / y //  y /  y  b / y //  y /  y  c / y //  y /  y  Ví dụ*: Giải phương trình vi phân sau: a / y (4)  y  b / y (4)  y //  y /  y  b/ Phƣơng trình y //  py /  qy  f ( x) Nghiệm tổng quát phương trình khơng tìm dạng y  y *  y, y * nghiệm tổng quát phương trình nhất, y nghiệm riêng phương trình khơng Nghiệm riêng y tìm cách dùng phương pháp biến thiên số Lagrange, nhiên số trường hợp đặc biệt vế phải f ( x) ta tìm nghiệm riêng mà không cần dùng phương pháp biến thiên số Lagrange Cụ thể sau: Trƣờng hợp 1: Nếu f ( x)  e x Pn ( x) , Pn ( x) đa thức bậc n x  số Nếu  không nghiệm phương đặc trưng nghiệm riêng có dạng y  e x Qn ( x) Nếu  nghiệm đơn phương đặc trưng nghiệm riêng có dạng y  e x x.Qn ( x) Nếu  nghiệm kép phương đặc trưng nghiệm riêng có dạng y  x 2e x Qn ( x) Trong Qn ( x) đa thức bậc với Pn ( x) hệ số xác định phương pháp hệ số bất định (phương pháp đồng thức) Ví dụ: Giải phương trình sau: a / y //  y /  y   x b / y //  y /  y  e x (3  x) c / y //  y /  y  e 2 x Trƣờng hợp 2: Nếu f ( x)  e x  Pn ( x)cos x+Pm ( x)sin  x  , Pn ( x), Pm ( x) đa thức có bậc n, m x  ,  số Nếu   i khơng nghiệm phương trình đặc trưng nghiệm riêng phương trình có dạng y  e x  Q1 ( x)cos x+R1 ( x)sin  x  Nếu   i nghiệm phương trình đặc trưng nghiệm riêng phương trình có dạng y  xe x  Q1 ( x)cos x+R1 ( x)sin  x  Trong Q1 ( x), R1 ( x) đa thức có bậc bậc cao bậc hai đa thức Pn ( x), Pm ( x) hệ số chúng xác định phương pháp hệ số bất định Ví dụ: Giải phương trình vi phân 83 Tài liệu giảng dạy mơn: Tốn cao cấp a / y //  y  x sin x b / y //  y /  y  e x cosx 3.3 Định lý:(Nguyên lý chồng chất nghiệm) Cho phương trình dạng: y //  p( x) y /  q( x) y  f1 ( x)  f ( x) Nếu y1 nghiệm riêng phương trình y //  p( x) y /  q( x) y  f1 ( x) y2 nghiệm riêng phương trình y //  p( x) y /  q( x) y  f ( x) y  y1  y2 nghiệm riêng phương trình ban đầu Bài tập: Tích phân phương trình sau: a / x y //  xy /  y  x ln x; b /(2 x  1) y //  4(2 x  1) y /  y  8 x  4; / y  y  2sin(ln x); d /( x  1)2 y //  (2 x  1) y /  y  4cos  ln(1+x)  x x Giải phương trình vi phân tuyến tính sau: a / y //  y /  y  0; b / y //  y /  0; c / y //  y /  y  0; d / y //  y /  y  0; c / y //  e / y //  y /  10 y  0; f / y //  y /  Giải phương trình vi phân tuyến tính sau: a / y //  y /  y  e x ; b / y //  y /  y  3xe x ; c / y //  y /  y  s inx; d/y //  y /  4s inx;e/y //  y /  y  x 2e x ; f / y //  y /  y  x cos x; g / y //  y /  y  e4 x  xe x ; h / y //  y /  y  e x  s in2x;i/y //  y  x sin x k / y //  y /  y  xe2 x 84 Tài liệu giảng dạy mơn: Tốn cao cấp TÀI LIỆU THAM KHẢO * TÀI LIỆU THAM KHẢO ĐỂ BIÊN SOẠN NỘI DUNG MƠN HỌC [1] Giải tích tập 1, 2, 3, 4, Jean-Marie Monier, NXB GD, năm 2000 [2] Tốn cao cấp tập 1, 2, 3, Nguyễn Đình Trí- Tạ Văn Dĩnh- Nguyễn Hổ Huỳnh, NXB GD năm 1999 [3] Đại số tuyến tính, Trần Văn Hạo, NXB Khoa Học Kỹ Thuật, 1997 * TÀI LIỆU THAM KHẢO ĐỀ NGHỊ CHO HỌC VIÊN [4] Toán cao cấp tập 1, 2, 3, Nguyễn Đình Trí- Tạ Văn Dĩnh- Nguyễn Hổ Huỳnh, NXB GD năm 1999 [5] Đại số tuyến tính, Trần Văn Hạo, NXB Khoa Học Kỹ Thuật, 1997 85 Tài liệu giảng dạy mơn: Tốn cao cấp ... lim 15 Tài liệu giảng dạy mơn: Tốn cao cấp x e lim (1  sin x) , x 0 f lim x cos x x 0 16 Tài liệu giảng dạy mơn: Tốn cao cấp BÀI HÀM SỐ LIÊN TỤC Mục tiêu học tập: Sau học xong này, người học. .. Bài 1: Phương trình vi phân cấp 75 Bài 2: Phương trình vi phân cấp hai 80 Tài liệu tham khảo 85 Tài liệu giảng dạy Môn: Toán Cao cấp CHƢƠNG I GIỚI HẠN DÃY... gián đoạn loại 18 Tài liệu giảng dạy môn: Toán cao cấp CHƢƠNG II ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN SỐ BÀI ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ Mục tiêu học tập: Sau học xong này, người học có thể: Trình